2 - CÁLCULO DE DERIVADAS

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introdução
Introdução
Neste capítulo, daremos continuidade ao estudo de limite, evidenciando sua importância,
principalmente, para de�nir um operador matemático: a derivada de uma função. Introduziremos
este conceito por meio da taxa de variação instantânea, como a velocidade em um determinado
instante. Além disso, mostraremos a interpretação geométrica da derivada, como coe�ciente
angular da reta tangente a uma curva em um dado ponto. Por meio do cálculo da derivada de uma
CÁLCULO APLICADO - UMA VARIÁVELCÁLCULO APLICADO - UMA VARIÁVEL
CÁLCULO DE DERIVADASCÁLCULO DE DERIVADAS
Autora: Me. Ivana Barreto Matos
Revisor : Rosa lvo Miranda
IN IC IAR
função, podemos resolver uma in�nidade de problemas relacionados a várias áreas de
conhecimento, por exemplo, os problemas de otimização: custo mínimo, lucro máximo,
maximização de volume e outros. Podemos aplicar, também, em problemas que envolvem a taxa de
variação como velocidade e aceleração.
Nesta unidade, veremos como calcular limite, como algumas indeterminações matemáticas, dando
ênfase ao tipo 0/0. Posteriormente, de�niremos a função derivada como uma taxa de variação
instantânea, por meio da interpretação geométrica.
Propriedades de Limites e Cálculo de Limites
Para calcular limites, é imprescindível conhecer suas propriedades operatórias. Veri�que, a seguir,
essas propriedades e exempli�cações.
Se , então:
P1. 
P2. 
P3. 
P4. 
P5. 
P6. 
P7. 
P8.
Agora, veremos alguns exemplos de cálculo de limites utilizando as propriedades supracitadas.
Velocidade Instantânea,Velocidade Instantânea,
Limites 0/0 e Conceito deLimites 0/0 e Conceito de
DerivadasDerivadas
k ∈ R,     f (x) = L e  g (x) = Mlim
x→a
lim
x→a
k = klim
x→a
k ⋅ f (x) = k ⋅ f (x) = k.Llim
x→a
lim
x→a
(f ± g) (x) = f (x) ± g (x) = L ± Mlim
x→a
lim
x→a
(f ⋅ g) (x) = f (x) ⋅ g (x) = L ⋅ Mlim
x→a
lim
x→a
( ) (x) = = ,  M ≠ 0lim
x→a
f
g
f(x)lim
x→a
g(x)lim
x→a
L
M
= =lim
x→a
[f (x)]n [ f (x)]lim
x→a
n
Ln
  = = n ∈ .  Se n   par ent o L ≥ 0.lim
x→a
f (x)
− −−−√n f (x)lim
x→a
− −−−−−−
√n L,  
−−−√n ℵ∗ é a~
cos (f (x)) = cos( f (x)) = cos (L)   (vale para outras fun es trigonom tricas) .lim
x→a
lim
x→a
o~ é
Aplicação P1: o limite de uma constante é a própria constante 
Exemplos:   ; 
;   .
Aplicação P2: o produto entre uma constante e uma função 
Exemplos:   ; 
.
Aplicação P3: o limite da soma é igual à soma dos limites 
Exemplos: ; 
.
Aplicação P4: o limite do produto entre duas funções é o produto entre o limite de
cada uma destas 
Exemplos: ; 
.
Aplicação P5: o limite do quociente entre duas funções é o quociente entre o limite
de cada uma delas 
Exemplos: ; 
.
Aplicação P6: o limite do quociente entre duas funções é o quociente entre o limite
de cada uma destas 
Exemplos: ; 
.
Aplicação P7: o limite da função potência é igual à potência do limite da função. 
Exemplos: ; 
.
Aplicação P8: o limite da função trigonométrica de uma função é igual ao valor da
função trigonométrica aplicada ao valor do limite da função 
Exemplos: ; 
Para �nalizar os cálculos, temos um importante teorema de�nido, a seguir, que facilitará os cálculos
de limites.
5 = 5lim
x→10
11 = 11lim
x→−1
(ln5) = ln5lim
x→4
2 ⋅ (x + 1) = 2 ⋅ (x + 1)  lim
x→1
lim
x→1
5 ⋅ = 2 ⋅lim
x→−7
x2 lim
x→−7
x2
( + 9x) = + 9x lim
x→1
x3 lim
x→1
x3 lim
x→1
(8x − 5 ) = 8x − 5  lim
x→−3
x2 lim
x→−3
lim
x→3
x2
2 ⋅ ( ⋅ ) = ⋅  lim
x→3
1
x√3
x5 lim
x→3
1
x√3
lim
x→3
x5
(4x ⋅ )   = 4x ⋅  lim
x→−7
x
−−
√ lim
x→−7
lim
x→−7
x
−−
√
=  lim
x→6
7x8
3x
7lim
x→6
x8
3xlim
x→6
=lim
x→1
5x+9
x
5x+9lim
x→1
xlim
x→1
=  lim
x→6
7x8
3x
7lim
x→6
x8
3xlim
x→6
=lim
x→1
5x+9
x
5x+9lim
x→1
xlim
x→1
=  lim
x→1
(8x)7 [ (8x)]lim
x→1
7
=lim
x→−2
(33 − 4)x2 51 [ (33 − 4)]lim
x→−2
x2
51
cos (2x + π) = coslim
x→0
[ (2x + π)]lim
x→0
sec  (2x + ) = seclim
x→0
π
4
[ (2x + )]lim
x→0
π
4
.
Teorema
Se p(x) é uma função polinomial de�nida em um intervalo real, com valores reais, então,
.
Esse teorema decorre do fato de toda função polinomial ser contínua.
Veja, a seguir, alguns exemplos de cálculo de limites e veri�que que todos os seus resultados são
números reais.
No entanto, nem sempre obtemos um valor real para o limite. Pode acontecer de obtermos as
seguintes indeterminações matemáticas:
Nesse caso, a indeterminação não signi�ca que o limite não exista. Devemos utilizar recursos
matemáticos para trabalhar a função e obter o valor do limite. Neste tópico, então, estudaremos a
indeterminação   .
Inicialmente, entendamos, gra�camente, o que ocorre. Seja a função racional   , cujo
domínio é . Veja, a seguir, o grá�co desta função.
p (x) = p (a)lim
x→a
reflita
Re�ita
Diante das propriedades e teorema supracitados,
para cada exemplo anterior, re�ita sobre o valor
�nal de cada limite apresentado. Para tanto, basta
substituir o valor da tendência da variável x na
função função polinomial.
( ) = = = = 1lim
x→4
lo (3x − 4)g2
x + 5
− −−−−
√
lo (3x − 4)lim
x→4
g2
 lim
x→4
x + 5
− −−−−
√
lo 8g2
9
–√
3
3
cos( ) = cos(   ) = cos( ) = cos (0) = 1lim
x→1
− 4x + 3)x2
2x + 1
lim
x→1
− 4x + 3)x2
2x + 1
0
3
= = = = 32lim
x→4
2 4x+9√ 2
4x+9lim
x→4
√
2 25√ 2 5 ~
= = = =lim
x→3
− 4x + 7x2
+ 2x − 6x2
− −−−−−−−−−
√  lim
x→3
− 4x + 7x2
  + 2x − 6x2
− −−−−−−−−−−−−−
√  lim
x→3
9 − 12 + 7
 9 + 6 − 6
− −−−−−−−−−−−
√ 4
9
−−
√ 2
3
0
0
±∞
±∞ ∞ − ∞ ∞ × 0 1∞ 00 ∞0
0
0
f (x) = −4x2
x−2
R − {2}
É fácil veri�car, pelo que você já estudou sobre limites, que o limite desta função, quando a variável
 aproxima-se de 2, é igual a 4. No entanto, ao resolvermos o limite:
Isso signi�ca que o limite não existe?
Obviamente, não, pois você já veri�cou que o valor do limite, gra�camente, é igual a 4. Como
podemos resolver esse limite sem a análise grá�ca? Simpli�cando a função. Veja os cálculos, por
fatoração, a seguir.
Sendo assim, quando a função racional é a razão entre duas funções polinomiais, e o limite é igual a
, precisamos fatorar os polinômios para simpli�car a função.
LEMBRETE : fatorando polinômios de grau 2
, que e são as raízes do polinômio do 2º grau.
Exemplo: resolvendo o limite por fatoração
 Indeterminação?
Fatorando, temos:
No caso de termos polinômios de grau maior do que 2, devemos utilizar o teorema de D’Alembert
para a fatoração.
Teorema de D’Alembert
Se P(x) é um polinômio e a é uma de suas raízes, então, P(x) é divisível por (x-a).
Figura 2.1 - Indeterminações 0/0 
Fonte: Elaborada pela autora.
x
=lim
x→2
− 4x2
x − 2
0
0
= = (x + 2) =  4lim
x→2
lim
x→2
− 4x2
x − 2
lim
x→2
(x − 2) (x + 2)
x − 2
lim
x→2
0/0
− = (x + a) (x − a)x2 a2
a + bx + c = a  (x − )   (x − )  x2 x′ x′′ x′  x′′
= =lim
x→−1
−1x2
+3x+2x2
−1(−1)2
+3(−1)+2(−1)2
0
0
= = = =   − 2lim
x→−1
− 1x2
+ 3x + 2x2
lim
x→−1
(x + 1) (x − 1)
(x + 1) ( + 2)x
lim
x→−1
(x − 1)
( + 2)x
−1 − 1
−1 + 2
Veri�que, na Figura 2.2, que, ao dividir o polinômio P(x) por (x-a), podemos reescrevê-lo como
, em que é o quociente, e r(x) é o resto da divisão. No
entanto, por meio do teorema de D’Alembert, o resto da divisão sempre será igual a zero.
A seguir, descreveremos uma regra prática para efetuarmos a divisão.
Regra de Briot-Ruf�ini
Observe a Figura 2.3, para entender a regra de fatoração do polinômio , com
�nalidade de resolver o limite indicado.
Siga os seguintes passos:
1. coloque, no diagrama, a raiz (2), que é sempre igual à tendência do limite.
2. na parte superior, você deve colocar os coe�cientes do polinômio, lembrando de colocar
zero, quando os termos daquele grau que está omitido (1; 0; -6 e 4).
3. repetir o primeiro coe�ciente na linha inferior (veja a repetição do algoritmo 1).
4. em seguida, inicia-se a operação, multiplicando a raiz (2) pelo primeiro algoritmo da
segunda linha (1) e somando com o segundo algoritmo da primeira linha (0), colocando o
resultado (2).
5. repete-se a operação sucessivamente, como mostra as setas no diagrama, até encontrar o
resto zero.
6.após a operação, obtém-se os coe�cientes do quociente Q(x), na segunda linha do
diagrama, que possui sempre um grau menor do que o polinômio P(x). Nesse caso,
 e, portanto, 
7. resolver o limite
P (x) = Q (x)   (x − a)   + r (x) Q (x)
Figura 2.2 - Divisão de Polinômios 
Fonte: Elaborada pela autora.
P (x) =   − 6x + 4x3
Figura 2.3 - Regra de Briot-Ru�ni 
Fonte: Elaborada pela autora.
Q (x) =   + 2x − 2x2 P (x) =  ( + 2x − 2)  (x − 2) .x2
= = = =lim
x→2
− 6x + 4x3
x2−4
lim
x→2
 ( + 2x − 2)  (x − 2)x2
(x − 2) (x + 2)
lim
x→2
 ( + 2x − 2)x2
(x + 2)
 ( + 2 (2) − 2)22
(2 + 2)
3
2
Veja outro exemplo de indeterminação 0/0, em que utilizamos, como artifício matemático, a
multiplicação pelo conjugado.
Taxa de Variação Instantânea e o Conceito de
Derivada
Suponha que você tenha feito uma viagem de 200 quilômetros em 2 horas. Se perguntarem qual foi
a velocidade média realizada nessa viagem, é claro que você responderia 100 km/h, sendo a função
espaço tempo , e a velocidade . Codi�cando, matematicamente, de�nimos a
velocidade média da seguinte forma:
, se esse limite existir.
Veri�que, na Figura 2.4, a interpretação grá�ca.
Agora, se a pergunta fosse “qual foi a velocidade exatamente em 1,5 hora de viagem?”, nesse caso,
você não responderia, pois seria necessário olhar no velocímetro do carro naquele momento. Essa
velocidade pontual é denominada velocidade instantânea.
De�inição da Derivada
Dizemos que a derivada de uma função em um ponto , denotada por ou , é igual ao
limite , se esse limite existir.
Veri�que a interpretação grá�ca na Figura 2.5.
= × = =lim
x→2
3 − 7 + x
− −−−−√
(x − 4)
lim
x→2
3 − 7 + x
− −−−−√
(x − 4)
3 + 7 + x
− −−−−√
3 + 7 + x
− −−−−√
lim
x→2
−32 ( )7 + x
− −−−−
√
2
(x − 4) ( 3 + )7 + x
− −−−−√
= = = −lim
x→2
9 − (7 + x)
(x − 4) ( 3 + )7 + x
− −−−−√
lim
x→2
− (x − 4)
(x − 4) ( 3 + )7 + x
− −−−−√
lim
x→2
−1
( 3 + )7 + x
− −−−−√
−1
 3 + 3
1
6
s = s (t) v = v (t)
v (t) = =Δs
Δt
lim
t→t0
s(t)−s( )t0
t−t0
Figura 2.4 - Taxa Média de Variação 
Fonte: Elaborada pela autora.
t0 ( )s′ t0 ( )ds
dt
t0
(t) =s′ lim
t→t0
s(t)−s( )t0
t−t0
Analisando a Figura 2.5, veri�que que a reta azul é uma reta secante à curva , uma vez que
passa por dois pontos P e Q. Observe que, quando tende a , o ponto P tende ao ponto Q.
Portanto, fazendo , a reta secante tende à reta tangente à curva no ponto P.
Passando o limite, temos o valor exato da taxa instantânea de variação da razão incremental ,
que resulta na velocidade instantânea.
Dessa forma, ao derivarmos a função espaço tempo, aplicada a um tempo especí�co, obtemos a
função velocidade. Similarmente, ao derivarmos a função velocidade, encontramos a função da
aceleração. Por outro lado, geometricamente, a derivada da função f(x), aplicada a um ponto P, é
igual ao coe�ciente angular da reta tangente à curva neste ponto. Isso signi�ca que a derivada da
função aplicada ao ponto é igual à tangente do ângulo formado por essa reta e o eixo das abscissas,
como mostra a Figura 2.6.
Dessa forma, por meio da função derivada, é possível determinar a equação da reta tangente no
ponto e, consequentemente, a equação da reta normal à curva nesse ponto. A Figura 2.7
mostra, geometricamente, essas retas, que são de�nidas como:
reta tangente: 
reta normal: 
Diante de tantas de�nições, vermos alguns exemplos para ajudá-lo a internalizar esses novos
conhecimentos.
Figura 2.5 - Taxa Instantânea de Variação 
Fonte: Elaborada pela autora.
s = s (t)
t t0
Δt  → 0 s = s (t)
Δs(t)
Δt
Figura 2.6 - Reta tangente e reta normal à curva 
Fonte: Elaborada pela autora.
P ( ,   )x0 y0
(y − ) = ( )   (x − )y0 f ′ x0 x0
(y − ) =   −   (x − )y0
1
( )f ′ x0
x0
Exemplos:
1) encontre a derivada da função no ponto , usando a sua de�nição.
2) calcule a derivada da função no ponto e para um ponto qualquer.
3) calcule a equação da reta tangente e da reta normal à parábola no ponto 
Solução:
Para , obtemos que . Portanto, o ponto 
Equação da reta tangente:
Equação da reta normal:
4) a equação do movimento de uma partícula é dada por , em que s está em metros,
e t está em segundos. Encontre as funções de velocidade e aceleração em função de t.
f (x) = + 3x2 = 1x0
(1) = = = = = (x + 1f ′ lim
x→1
f (x) − f (1)
x − 1
lim
x→1
( + 3) − 4x2
x − 1
lim
x→1
− 1x2
x − 1
lim
x→1
(x − 1)   (x + 1)
x − 1
lim
x→1
f (x) = + 3xx2 = 2x0 x0
( ) =f ′ x0 lim
x→x0
( + 3x) − ( + 3x2 x0
2 x0)
x − x0
= lim
x→x0
( − ) + 3(x −x2 x0
2 x0)
x − x0
= = 2 + 3lim
x→x0
(x − ) (x + ) + 3(x −x0 x0 x0)
x − x0
x0
(2) = 2 × 2 + 3 = 7f ′
f (x) = x2  = 1.x0
Figura 2.7 - Cálculo reta tangente e reta normal à curva 
Fonte: Elaborada pela autora.
= 1x0 f (1) = = 112  = (1, 1) .P0
(1) = = = = (x + 1) = 2f ′ lim
x→1
f (x) − f (1)
x − 1
lim
x→1
− 1x2
x − 1
lim
x→1
(x − 1) (x + 1)
x − 1
lim
x→1
(y − 1) = (1)   (x − 1) → (y − 1) = 2  (x − 1)   → y = 2x + 1f ′
(y − 1) =   −   (x − 1) → (y − 1) =   −   (x − 1)   → y = x +
1
(1)f ′
1
2
1
2
3
2
s (t) = − 1t2
Agora, é com você! Teste o seu conhecimento.
praticar
Vamos Praticar
Encontre a equação da reta tangente e normal à curva no ponto .
As equações encontradas para a reta tangente ( ) e reta normal ( ) , respectivamente, são:
v (t) = = =
d s (t)
dt
lim
t→t0
s (t) − s ( )t0
t − t0
lim
t→t0
− 1 −   ( − 1)t2 t0
2
t − t0
= = = 2lim
t→t0
( − )   −  1 + 1t2 t0
2
t − t0
lim
t→t0
(t − ) (t + )t0 t0
t − t0
t0
a (t) = = = = 2 = 2
d v (t)
dt
lim
t→t0
v (t) − v ( )t0
t − t0
lim
t→t0
2t −  2t0
t − t0
lim
t→t0
saiba mais
Saiba mais
Acredita-se que Isaac Newton estava observando o
movimento curvilíneo de corpos celestes. Ele imaginou que,
em vez de estudar as curvas elípticas que apresentavam
grau de di�culdade, poderia estudar pequenos segmentos
de retas, ou seja, as curvas poderiam ser representadas por
esses segmentos, facilitando o estudo de inúmeros
processos físicos. Conheça mais sobre sua história e sobre o
cálculo diferencial e integral no link a seguir.
ACESSAR
f (x) =  x−−√ = 4x0
Fonte: Elaborada pela autora.
rT rN
http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_derivadas.htm
a) 
Feedback: alternativa correta , para ,obtemos que . Portanto, o ponto 
 Equação da reta
tangente: 
Equação da reta normal: 
b) 
c) 
d) 
e) 
:   − 4x + 18 e  = + 1rT rN
x
4
= 4x0 f (4) = = 24
–√
= (4, 2) .P0 (4) = = = × =f ′ lim
x→4
f(x)−f(4)
x−4
lim
x→4
−2x√
x−4
lim
x→4
−2x√
x−4
+2x√
+2x√
= =lim
x→4
x−4
(x−4)( +2) x√
1
( +2) 4√
1
4 
(y − 2) = (4)   (x − 4) → (y − 2) =   (x − 4)  f ′ 1
4
→ y = x + 1 1
4
(y − 2) =   −   (x − 4) → (y − 2) =   − 4  (x − 4)  1
1/4
→ y = − 4x + 18
:   − 2x + 9 e  = + 1rT rN
x
2
:   − x + 11 e  = x + 1rT rN
:  4x + 18 e  = − + 1rT rN
x
4
:   − 3x + 16 e  = + 1rT rN
x
3
Agora, vamos dar continuidade ao estudo da função derivada, cujo cálculo será facilitado, por conta
da utilização das regras de derivação e da tabela de derivadas de funções elementares.
Tabela de Derivadas de Funções Elementares
A seguir, apresentaremos a tabela de derivadas das funções elementares. Vale ressaltar que a tabela
foi construída a partir da de�nição da derivada, por meio do limite, como já mostrado
anteriormente. Essas demonstrações são encontradas na maioria dos livros de cálculo. Aqui,
apresentaremos os resultados na Tabela 2.1 e utilizaremos-na para derivar funções não
elementares.
Veja um exemplo: a derivada da função constante é igual a zero.
De fato: se , então,
.
Similarmente, são calculadas as derivadas de outras funções apresentadas na Tabela 2.1. 
Derivadas Imediatas eDerivadas Imediatas e
Regras de DerivaçãoRegras de Derivação
f (x) = c  (c ∈ R)
(x) = = = = 0 = 0f ′ lim
x→x0
f(x)−f( )x0
x−x0
lim
x→x0
c−c
x−x0
lim
x→1
0
x−x0
lim
x→x0
Fonte: Adaptada de Fleming (2007, p. 158).
Resta-nos tomar conhecimento das regras de derivação com as operações usuais, que serão
apresentas a seguir.
Considere a , c e n constantes
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
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➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
1. y = c ,  c ∈ R = cy ′
2. y = x  = 1y ′
3. y =  1 
 x 
= −y ′  1 
   x2
4. y =   (n ≠ 0)  xn = ny ′ xn−1
5. y = (a > 0,  a ≠ 1)ax = ⋅ ln (a)y ′ ax
6. y = ex = lne =y ′ ex ex
7. y = lo x,  a > 0,  a ≠ 0ga =y ′  1 
 x  ln(a) 
8. y = ln (x) ,  a > 0,  a ≠ 0 = =y ′  1 
 x  ln(e) 
1
x
9. y = sen (x) = cos (x)y ′
10. y = cos (x) = −sen (x)y ′
11. y = tg (x) = se (x)y ′ c2
12. y = cotg (x) = −cosse (x)y ′ c2
13. y = sec (x) = sec (x) ⋅ tg (x)y ′
14. y = cossec (x) = −cossec (x) ⋅ cotg (x)y ′
15. y = arcsen (x) =y ′ 1
1−x2√
16. y = arccos (x) = −y ′ 1
1−x2√
17. y = arctg (x) =y ′ 1
1−x2
18. y = arccotg (x) = −y ′ 1
1−x2
19. y = arcosec (x) ,   |x| ≥ 1 = ,x| ≥ 1y ′ 1
|x| −1x2√
20. y = arccossec (x) ,   |x| ≥ 1 = − ,x| ≥ 1 y ′ 1
|x| −1x2√
Regras de Derivação
Sejam u e v funções deriváveis de x, bem como c e n constantes, para entender os exemplos, a
seguir, consulte a Tabela 2.1, para derivar as funções elementares.
1. A derivada da soma é a soma das derivadas
Exemplo:
2. A derivada do produto entre duas funções
Exemplo:
3. A derivada do produto entre uma constante e uma função
Veri�que que, ao aplicar a regra anterior, o primeiro termo sempre é anulado. Resulta que
, ou seja, a derivada de uma constante por uma função é
igual ao produto entre a constante e a derivada da função.
Exemplo: 
4. A derivada do produto quociente entre duas funções
f (x) = u (x) ± v (x)   → (x) = (x) ± (x)f ′ u′ v′
f (x) = + x + 6x4
(x) = + + = 4 + 1 + 0 = 4 + 1f ′ ( )x4 ′
(x)′ (6)′
x4−1 x1−1 x3
f (x) = u (x) ⋅ v (x)   → (x) = (x) ⋅ v (x) + u (x) ⋅ (x)f ′ u′ v′
f (x) = (sen (x)) ⋅ (cos (x))
(x) = ⋅ (cos (x)) + (sen (x)) ⋅f ′ (sen (x))′ (cos (x))′
=  cos (x) ⋅ cos (x) + sen (x) ⋅ (−sen (x))
=   −(cos (x))2 (sen (x))2
=  co (x) − se (x)s2 n2
f (x) = c ⋅ u (x)   → (x) = ⋅ u (x) + c ⋅ (x) = 0 + c ⋅ (x)f ′ c′ u′ u′
f (x) = c ⋅ u (x)   → (x) =  c ⋅ (x)f ′ u′
f (x) = 3 ⋅ tg (x)   → (x) = 3 ⋅ = 3 ⋅ se (x)  f ′ (tg (x))′
c2
f (x) = 3 + 9 + sen (2π)x10 x2−−√3
f (x) = + 9 +(3 )x10 ′ (  )x2/3 ′
(sen (2π))′
(x) = 3 ⋅ 10 ⋅ + 9 ⋅ ⋅f ′ x10−1 2
3 x2/3−1
(x) = 30  + 6f ′ x9 x−1/3
(x) = 30  +f ′ x9 6
x√3
f (x) =   → (x) =
u(x)
v(x)
f ′ (x)⋅v(x)−u(x)⋅ (x)u′ v′
[v(x)]2
Exemplo: derive 
Solução:
Agora, vamos mostrar mais alguns exemplos, para demonstrar como aplicar as regras de derivação
e, a seguir, vamos propor uma atividade para você praticar.
Exemplo: dada a função , encontre  o valor da .
Solução:
praticar
Vamos Praticar
Encontre a derivada da função , usando as regras de derivação adequadas. O valor
encontrado é igual a:
a) 
Feedback: alternativa correta , como mostra os seguintes cálculos: 
f (x) = 2 −4x3 x2
3 +x5 x2
(x) =f ′
(3 + )−[(2 −4 )  ](2 −4 )x3 x2 ′
x5 x2 x3 x2 (3 + )x5 x2 ′
[3 + ]x5 x2 2
=
(6 −8x) (3 + )−[(2 −4 ) (15 +2x)]x2 x5 x2 x3 x2 x4
[3 + ]x5 x2 2
=
18 +6 −24 −8 −30 −4 +60 +8 )]x7 x4 x6 x3 x7 x4 x6 x3
[3 + ]x5 x2 2
= −12 +36 +2x7 x6 x4
9 +6 +x10 x7 x4
= −12 +36 +2x3 x2
9 +6 +1x6 x3
f (x)   =   − tg (x)
3sen(x)
x
(π)f ′
(x) = − se (x)f ′ 3  (x)−[(3sen(x))  ](sen(x))′ (x)′
[x]2 c2
= −
3 x cos(x) −[3sen(x)]
x2
1
co (x)s2
= −
3 x cos(x) −3sen(x)
x2
1
co (x)s2
(π) = − = − = − 1 = − − 1 = −( )f ′ 3 π cos(π) −3sen(π)
π2
1
co (π)s2
3 π (−1) −3(0)
π2
1
(−1)2
−3 π 
π2
−3  
π
3−π
π
f (x)   =   2−x2
3x2+1
(x) =  f ′   −14x
(3 +1)x2 2
(x) =f ′
 (3 +1)−[(2− )  ](2− )x2 ′
x2 x2 (3 +1)x2 ′
[3 +1]x2 2
b) 
c) 
d) 
e) 
=
(−2x) (3 +1)−[(2− ) (6x)]x2 x2
[3 +1]x2 2
=
(−2x) (3 +1)−[(2− ) (6x)]x2 x2
[3 +1]x2 2
= −6 −2x−12x+6x3 x3
[3 +1]x2 2
= −14x
[3 +1]x2 2
(x) =  f ′   −11x2
(3 +1)x2 2
(x) =  f ′   15x
(3 +1)x2 2
(x) =  f ′   −24
(3 +1)x2 2
(x) =  f ′   −1
(3 +1)x2 2
Você aprendeu a derivar muitas funções, porém, até aqui, trabalhamos apenas com funções não
compostas, em que a variável x aparece isolada (
Agora, você vai aprender a derivar as funções
compostas, por exemplo,
Nesses exemplos,
veri�que que há composições de funções trigonométricas com funções polinomiais, funções
exponenciais compostas com polinomiais, funções   logarítmicas compostas com funções
trigonométricas e, até mesmo, composição de funções polinomiais com funções polinomiais.
A Figura 2.8 ilustra a composição entre a função g com a f. Nesse caso, veri�que, no diagrama, que a
função f leva um elemento a pertencente ao seu domínio da f a f(a) pertencente ao seu
contradomínio J. Para que haja a composição, o domínio da g deve coincidir com a imagem de f.
Assim, g leva um elemento f(a) à g(f(a)) pertencente ao conjunto Q. Portanto, escrevemos gOf (a) =
g(f(a)). 
A Regra da Cadeia
Para derivar uma função composta, utiliza-se a Regra da Cadeia de�nida a seguir.
Funções Compostas eFunções Compostas e
Regra da CadeiaRegra da Cadeia
cos (x) ,   ,  tg (x) ,   ,  ln (x) ,  sec (x) ,  etc.  ).  x3 ex
cos ( + 1) ,   ,  tg ( + 2x + 7) ,   ,  ln (sen (x)) ,  sec ( ) .  x2 (5x)3
x5 e +1x2
x2
Figura 2.8 - De�nição da Função Composta 
Fonte: Elaborada pela autora.
De�inição da Regra da Cadeia
Sejam e , tal que . Se é derivável em , e é derivável em
) , então, é derivável em , e .
Notações:
Para deixar claro sobre como usar a regra da cadeia para derivar funções compostas, vamos
mostrar alguns exemplos.
1) Derive a função   .
Solução: veri�que, nos cálculos, que você deve usar a mesma regra vista anteriormente para derivar
a função potência e multiplicar pela derivada da parte interna
. Nesse caso, ou   .
Portanto:
2) Derive a função   .
Solução: aqui, você vai utilizar a derivada da função exponencial ,
então, .
Portanto:
3) Derive a função   .
Solução: aqui, você vai utilizar a derivada da função exponencial ,
então, .
f : I → R    g : I → R f (I) ⊂ J f a ∈ R g
f(a g ∘ f a (a) = (f (a))   ⋅ (a)(g ∘ f)′
g ′ f ′
y = f (x)
(g ∘ f) (x) = g (f (x)) ⋅ f (x) = g (y)
(x) = (f (x)) ⋅ (x)(g ∘ f)′
g ′ f ′
y = g (u)   :. u = f (x)
= ⋅
dy
dx
dy
du
du
dx
f (x) = =(3 − 4x)x4 2
− −−−−−−−−
√3 (3 − 4x)x4
2
3
f (u)   = ,n ∈ R,    u = u (x)un
u = 3 − 4xx4   = ⋅
df
dx
df
du
du
dx
(x)   = (u)   ⋅ = n  ⋅f ′ f ′ u′ (u)n−1
u′
(x) =f ′ 2
3
(3 − 4x)x4 − 1
3 (3 − 4x)x4 ′
(x) = (12 − 4)f ′ 2
3
(3 − 4x)x4 − 1
3 x3
(x) =f ′
2  (12 − 4)x3
3   (3 − 4x)x4− −−−−−−−−√3
f (x) = 83 +5x2
y  = ,  a ∈ R,    u = u (x)au
  = ⋅ lna ⋅y′ au u′
(x) = ⋅ ln (8)   ⋅f ′ 83 +5x2
(3 + 5)x2 ′
(x) = ⋅ ln (8)   ⋅ (6x)f ′ 83 +5x2
f (x) = ln (5 + 4 + 9)x3 x2
y  = lo ,  a ∈ R,    u = u (x)ga
u
  = ⋅y′ 1
u⋅ln(a)
u′
Portanto:
4) Derive a função   .
Solução: a derivada da função trigonométrica é igual a
.
Portanto:
5) Derive a função  
Solução: a derivada da função trigonométrica   é igual a
.
Portanto:
Agora que você já entende a Regra da Cadeia, vamos adaptar a Tabela 1.1 de  derivadas de funções
elementares, porém generalizando para funções compostas com a regra da cadeia (Tabela 2.2).
(x) =   ⋅ = =  f ′ 1
(5 + 4 + 9) ⋅ ln (e)x3 x2
(5 + 4 + 9)x3 x2 ′ 15 + 8xx2
(5 + 4 + 9) ⋅ (1)x3 x2
15 + 8xx2
(5 + 4 + 9)x3 x2
f (x) = 3 tg (2x + 1)   + x−−√
y  = tg (u) ,  a ∈ R,    u = u (x)
  = se (u) ⋅y′ c2 u′
f (x) = 3 tg (2x + 1)   + x1/2
(x) = 3 se (2x + 1)   +   = 3 se (2x + 1)   (2)   +  f ′ c2 (2x + 1)′ 1
2
x −11
2 c2 1
2
x− 1
2
(x) = 6 se (2x + 1) +f ′ c2 1
2 x−−√
f (x) =   − cosse ( )   =   −  .c2 x3 [cosse ( )]x3 2
y  = cossec (u) ,  u = u (x)
  = −cossec (u) ⋅ cotag (u)  y′ u′
f (x) =   − [cosse ( )]x3 2
(x) = −2 cossec ( )     f ′ x3 [cossec ( )]x3 ′
(x) = −2 cossec ( ) ⋅ (−cossec ( ) ⋅ cotg ( ) ⋅ )f ′ x3 x3 x3  ( )x3 ′
(x) = 2 cosse ( ) ⋅ cotg ( ) ⋅ (3 )f ′ c2 x3 x3  x2
(x) = 6   ⋅ cosse ( ) ⋅ cotg ( )f ′ x2 c2 x3 x3 
Considere a , c e n constantes, e funções reais na variável x.
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
\(9.~y=sen\left( u\left( x \right) \right)\(
➜ \)y'=cos\left( u\left( x \right) \right)\cdot u'\left(
x \right)\(
➜ 
➜ \(y'=se{{c}^{2}}\left( x \right)\cdot u'\left( x
\right)\(
\)12.~y=cotg\left( u\left( x \right)
\right)\(
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜ 
➜➜ 
u = u (x)  e v = v (x)  
1. y = c ,  c ∈ R = cy ′
2. y = x  = 1y ′
3. y =  1 
 x 
= −y ′  1 
   x2
4. y =   (n ≠ 0)  (u (x))n = n  ⋅ (x)y ′ (u (x))n−1
u′
5. y = (a > 0,  a ≠ 1)au(x) = ⋅ (x)   ⋅ ln (a)y ′ au(x) u′
6. y = eu(x) = ⋅ (x) ⋅ ln (e) = ⋅ (x)y ′ eu(x) u′ eu(x) u′
7. y = lo u (x) ,  a > 0,  a ≠ 0ga = ⋅ (x)y ′  1 
 u(x)  ln(a) 
u′
8. y = ln (u (x)) ,  a > 0,  a ≠ 0 = ⋅ (x) = ⋅ (x)y ′  1 
 u(x)  ln(e) 
u′ 1 
u(x)
u′
10. y = cos (u (x)) = −sen (u (x)) ⋅ (x)y ′ u′
11. y = tg (u (x))
= −cosse (x) ⋅ (x)y ′ c2 u′
13. y = sec (u (x)) = sec (x) ⋅ tg (x) ⋅ (x)y ′ u′
14. y = cossec (u (x)) = −cossec (x) ⋅ cotg (x) ⋅   (x)y ′ u′
15. y = arcsen (u (x)) = ⋅ (x)y ′ 1
1−x2√
u′
16. y = arccos (u (x)) = − ⋅ (x)y ′ 1
1−x2√
u′
17. y = arctg (u (x)) = ⋅ (x)y ′ 1
1−x2 u′
18. y = arccotg (u (x)) = − ⋅ (x)y ′ 1
1−x2 u′
19. y = arcosec (u (x)) ,   |x| ≥ 1 = ⋅   (x)  , |x| ≥ 1y ′ 1
|x| −1x2√
u′
20. y = arccossec (u (x)) ,   |x| ≥ 1 = − ⋅   (x)  ,x| ≥ 1 y ′ 1
|x| −1x2√
u′
Tabela 2.2 - Tabela de derivadas de funções elementares não compostas 
Fonte: Adaptada de Flemming (2007, p. 158).
Veri�que que a Tabela 2.2 apresenta as funções compostas e suas derivadas. Para tanto, basta
utilizar a mesma regra da Tabela 1.1 e multiplicar por 
Agora, é com você. Consultando a tabela generalizada de derivadas, você pode obter as derivadas de
quaisquer funções.
Exemplo: usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada da função
.
Solução :
praticar
Vamos Praticar
Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada da função . O valor
encontrado é:
a) 
Feedback: alternativa correta , como mostram os cálculos a seguir: 
REGRAS OPERATÓRIAS DE DERIVAÇÃO
21. ➜ 
22. ➜ 
23. ➜ 
24. ➜ 
y = u (x) ± v (x) = (x) ± (x)  y ′ u′ v′
y = u (x) ⋅ v (x) = (x) ⋅ v (x) + u (x) ⋅ (x)  y ′ u′ v′
y = c ⋅ u (x) =  c ⋅ (x)  y ′ u′
y = ,  v (x) ≠ 0
u(x)
v(x)
=   ) y ′ (x) v(x)−u(x) (x)u′ v′
[v(x)]2
(x) .u′
y = ( − 1) (3x − 1) (5 + 2x)x2 x3
= (3x − 1) (5 + 2x) + ( − 1) (5 + 2x) + ( − 1) (3x − 1)y′ ( − 1)x2 ′
x3 x2 (3x − 1)′
x3 x2 (5 + 2x)x3
= (2x) (3x − 1) (5 + 2x) + ( − 1) (3) (5 + 2x) + ( − 1) (3x − 1) (15 + 2)y′ x3 x2 x3 x2 x2
y = 2
3 ( )5x+3
5 −3x
3
=y ′ −40 (5x+3)2
(5x−3)3
= ⋅ 3 ⋅y ′ 2
3 ( )5x+3
5 −3x
2
( )5x+3
5 −3x
′
= 2  ⋅ ( )( )5x+3
5 −3x
2 (5x−3)−[((5x+3) ](5x+3)′ (5x−3)′
(5 −3)x
2
′
= 2  ⋅ ( )( )5x+3
5 −3x
2 (5x−3)−[((5x+3) ](5x+3)′ (5x−3)′
(5 −3)x
2
= 2  ⋅ ( ) = 2  ⋅( )5x+3
5 −3x
2 −20
(5 −3)x
2 ( )5x+3
5 −3x
2 ( )−20
(5 −3)x
2 =
−40 (5x+3)2
(5x−3)3
= ⋅ 3 ⋅y ′ 2
3 ( )5x+3
5 −3x
2
( 5x+3
5 −3x
b) 
c) 
d) 
e) 
=y ′ −20
(5x−3)2
=y ′ −40
(5x−3)2
=   −y ′  (5x+3)2
(5x−3)3
=y ′ −20 (5x+3)2
(5x−3)3
Neste tópico, daremos continuação ao cálculo de derivadas, agora, mostrando como obter as
derivadas de ordens superiores, ou seja, para obter a derivada de ordem 2, devemos derivar,
novamente, a primeira derivada da função, caso esta exista. E, assim, sucessivamente, para obter as
derivadas de ordem acima de 2. Também, veremos como derivar funções dadas em forma especial,
especi�camente, na forma implícita, em que a variável y não está explícita y=f(x).
Derivadas Sucessivas
Dada a função e como sua primeira derivada, dizemos que:
a segunda  derivada da função é dada por ;
a terceira derivada da função é dada por ;
a quarta derivada da função é dada por 
Assim, sucessivamente, para encontrar as demais. No entanto, vale ressaltar que nem todas as
funções admitem as derivadas sucessivas. Existem funções contínuas que não admitem nem mesmo
a primeira derivada e, nesse caso, dizemos que essa função é de classe . No caso de a função só
admitir até a primeira derivada, sua classe é e, assim, sucessivamente, para as classes das
demais funções , , , etc.
Exemplo:
1) seja a função , calcule .
Veri�que que, nesse caso, vamos utilizar a regra número 7 e 25 da Tabela 2.2:
 e 
Solução:
Derivadas Sucessivas eDerivadas Sucessivas e
Derivação ImplícitaDerivação Implícita
y = f (x) = (x)y′ f ′
y = f (x)   = (x) =y ′′ f ′′ ( (x))f ′ ′
y = f (x) = (x) =y ′′′ f ′′′ ( (x))f ′′ ′
y = f (x)   = (x) = .   y ′′′ f ′′′ ( (x))f ′′ ′
C0
C1
C2 C3 C4 C5
f (x) = ln (1 + )x2 (2)f ′′
y = ln (u)   → =y′ u′
u
y = → =u
v
y′ v−uu′ v′
[v]2
(x) = =     =   ⋅ (1 + ) ⋅ = ⋅ 2x =f ′ [ln (1 + )]x2 ′ 1
1 + x2
(1 + )x2 ′ 1
1 + x2
x2 (1 + )x2 ′ 1
1 + x2
2x
1 + x
Derivadas Implícita
Agora, você vai aprender a derivar funções dadas na forma implícita. Mas, antes, vamos exempli�car
esse tipo de função. São funções em que, em sua escrita, a variável dependente y não aparece
explicitamente como . Veja alguns exemplos a seguir. Veri�que que, em alguns casos, é
possível isolar a variável y e representá-la explicitamente. Porém, nem sempre isso é possível,
justi�cando, assim, a importância de saber derivar funções dadas na forma implícita.
Exemplos de funções dadas na forma implícita:
1) 
2) 
3) 
Veri�que, nos exemplos, que a variável dependente y é uma função de x . No entanto, nas
equações apresentadas, esta é dada na forma implícita.   Dessa forma, para derivar as equações,
utilizaremos a regra da cadeia, que deriva as funções compostas. Veja os exemplos a seguir.
Exemplos:
1) encontre a derivada , em que é dada na forma implícita .
Veri�que o passo a passo.
1 - Ambos os lados da equação devem ser derivados, respeitando-se todas as regras de derivação já
vistas, inclusive, a regra da cadeia.
Regra do Produto
2 - Colocar todos os termos que possui do lado esquerdo e os demais do lado direito.
3 - Evidenciar .
(x) = = =f ′′ [ ]2x
1 + x2
′ (1 + ) − [(2x) ](2x)
′
x2 (1 + )x2
′
[1 + ]x2 2
(2) (1 + ) − [(2x) ]x2 (2x)
′
[1 + ]x2 2
= =
2 + 2   − 4x2 x2
[1 + ]x2 2
2 − 2  x2
[1 + ]x2 2
(2) = =f ′′ 2 − 2 ⋅ 2 
[1 + 2]2
−2
9
y = f (x)
yx + y + 1 = x
+ = 1y3 x2
+ = 1x2 y2
y = f (x)
y′ y + y = 10y2 x2
+ ( ⋅ y =( )y2 ′
x2 )′ (10)′
2y + y + ( ) ⋅ =  0y′ ( )x2 ′
x2 y′
2y + (2x) y + ( ) ⋅ =  0y′ x2 y′
y′
2y + ( ) ⋅ =   − (2x) yy′ x2 y′
y′
4 - Isolar , para explicitá-la.
Exemplos:
2) encontre a derivada , em que é dada na forma implícita .
Veri�que o passo a passo.
1 - 
Regra da Cadeia
2 - Evidenciar .
3 - Isolar , para explicitá-la.
praticar
Vamos Praticar
Seja a função , calcule . O valor encontrado é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
Feedback: alternativa correta . 
e) 
(2y + ( )) =   − (2x) yy′ x2
y′
=  y′ −2x y
2y+( )x2
y′ y cos (x + y) + tg (x + y) = 9
co (x + y) + t (x + y) =s′ g ′ 9′
−sen (x + y) ⋅ + se (x + y) ⋅ = 0(x + y)′
c2 (x + y)′
  − sen (x + y) ⋅ (1 + ) + se (x + y) ⋅ (1 + ) = 0y′ c2 y′
y′
(1 + )   [−sen (x + y) ⋅ (1 + ) + se (x + y)] = 0y′ y′ c2
y′
(1 + )   = 0y′
  = −1y′
f (x) = sen (x) + co (x)s2 (π)f ′′
(π) = πf ′′
(π) = −1f ′′
(π) = 3f ′′
(π) = −2f ′′
(x) = = + = cos (x) − 2 cos (x) ⋅  sen (x)f ′ (sen (x)   + co )s2 ′
(sen (x))′ (co (x))s2 ′
(x) = − [ sen (x) + (2cos (x))   ]= −sen (x) −[ − 2sen (x)  sf ′′ (cos (x))′ (2cos (x))′ (sen (x))′
(π) = 2πf ′′
indicações
Material
Complementar
LIVRO
Cálculo A: funções, limites, derivação e integração
Diva Marília Flemming  e  Mirian Buss Gonçalves
Editora: Pearson Prentice Hall
ISBN: 85-7605-115-X
Comentário: é um excelente livro de cálculo, que aborda todo o
conteúdo, elucidando a aplicação das derivadas em várias áreas do
conhecimento. Recomendo a leitura do capítulo 4, que aborda,
praticamente, todo o conteúdo desta unidade. Recomendo a resolução
de alguns exercícios das seções: 4.10 (função derivável); 4.12 (derivadas
de funções não compostas); 4.16 (derivadas de funções compostas); e
4.16 (derivadas sucessivas e implícitas).
FILME
Cálculo I - Aula 05 - Derivada
Ano: 2016
Comentário: esse vídeo mostra a aplicação de derivadas em problemas
que envolvem a cinemática. Você terá a oportunidade de ver várias
aplicações para reforçar os seus conhecimentos, por meio da aula 05 do
excelentíssimo professor Cláudio Possani, da Universidade Virtual do
Estado de São Paulo. Além disso, recomendo,também, as aulas 07 e 08,
que trabalham as regras de derivação.
TRA ILER
conclusão
Conclusão
Nesta unidade, você, caro(a) aluno(a), estudou os conceitos de derivadas, entendeu a sua de�nição
por meio do limite e, além disso, veri�cou sua aplicação como taxa de variação instantânea,
importante ferramenta para a resolução de problemas que envolvem a cinemática: velocidade e
aceleração. Aprendeu, também, a calcular derivadas por meio das regras operatórias e da tabela de
derivadas. Dessa forma, o cálculo �ca simpli�cado, evitando ter de utilizar a sua de�nição por limite
para o cálculo. Além disso, você aprendeu a derivar as funções compostas, sucessivamente, ao
encontrar derivadas de ordem superior, e implicitamente: funções dadas na forma implícita.
referências
Referências
Bibliográ�cas
ANTON, H. Cálculo . v. 1. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
COSTA, N. M. L. da. A História da Trigonometria. Universidade Federal do Rio Grande do Sul .
Disponível em:
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