Aula 5 - Trabalho e Conservação da Energia (1)

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Trabalho, Energia e 
Conservação da Energia
Profa. Maryleide Ventura 
e-mail: maryleide.ventura@gmail.com
UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS
Fundamentos de Física
Conceitos Importantes
o Força: 
o Energia cinética (K): 
𝐹𝑔 = 𝑚𝑔o Força peso (P) – Força gravitacional (Fg):
Em uma dimensão (x): 
𝑃 = 𝐹𝑔
(solo como referencial inercial).
𝑃 = 𝑚𝑔
o Derivada e Integral 
𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2 No SI: [J] = Joule
O que é Energia ?
➢ O termo energia é tão amplo que é difícil pensar em uma definição concisa.
➢ Tecnicamente, a energia é uma grandeza escalar associada ao ESTADO
(movimento, parado ...) de um ou mais objetos.
➢ Energia é um número que associamos a um sistema de um ou mais objetos.
➢Se uma força muda um dos objetos, fazendo-o entrar em
movimento, por exemplo, o número que descreve a
energia do sistema varia.
➢Com isso, observamos que a energia pode ser
transformada de uma forma para outra e transferida de
um objeto para o outro, mas a quantidade total é sempre
a mesma – Energia é conservada !
➢ Na física, energia é uma quantidade usualmente associada à capacidade de
um sistema físico de realizar trabalho sobre outro.
➢ Se apresenta sob diversas formas:
o mecânica, térmica, química, elétrica, magnética, etc.
O que é Energia ?
Trabalho
➢ O trabalho devido a uma força constante, na condição
acima (direção e sentido do deslocamento retilíneo) é:
(1)
➢ Vamos definir conceitos importantíssimos para a Física, e para ciência de um
modo geral:
No SI, [J] = Joule
𝑊 = 𝐹∆𝑥
Em que:
o 𝐹→ Força (N);
o ∆𝑥→Variação da posição
- deslocamento (m)
1 𝐽 = 1 𝑁 ∙ 𝑚
➢ Vamos analisar com mais detalhes a definição de trabalho. 
(2)
➢Somente a componente || é capaz de realizar trabalho, logo: 
Componente perpendicular 
Componente paralela 
𝑊 = 𝐹∆𝑥𝑐𝑜𝑠𝜙
A Equação (2) possui a forma de um
produto escalar entre dois vetores,
podendo escrever:
O trabalho realizado por
uma força constante
que forma um ângulo em
relação ao deslocamento:
𝑊 = Ԧ𝐹 ∙ ∆ Ԧ𝑥 (3)
Trabalho
➢ O que podemos concluir com relação as forças aplicadas nas figuras abaixo?
𝜙 0
Trabalho é positivo𝑊 > 0
Trabalho – Positivo, negativo e nulo
𝜙 > 90°(𝑎𝑡é 180°) 𝑐𝑜𝑠𝜙comprimida de 5,0 cm (Figura abaixo). Encontre (a) o
trabalho realizado sobre o bloco pela mola enquanto o bloco se move de 𝑥 = 𝑥1 = −5,0 𝑐𝑚
até sua posição de equilíbrio 𝑥 = 𝑥2 = 0,0 𝑐𝑚, e (b) a velocidade do bloco em 𝑥2 = 0,0 𝑐𝑚.
(a) 𝑊 =
1
2
𝑘𝑥𝑖
2 −
1
2
𝑘𝑥𝑓
2 𝑊 = 0,50 𝐽
(b)
𝑊 =
1
2
𝑚𝑣2
2 −
1
2
𝑚𝑣1
2 𝑣2
2 = 𝑣1
2 +
2𝑊
𝑚
𝑣2
2 = 0 +
2(0,50)
4,0
𝑣2 = 0,50 𝑚/𝑠
5) Em uma tela de televisão, os elétrons são acelerados por um canhão eletrônico. A força
que acelera o elétron é uma força elétrica produzida pelo campo elétrico dentro do canhão.
Um elétron é acelerado a partir do repouso por um canhão eletrônico até atingir a energia
cinética de 2,5 KeV, em uma distância de 2,5 cm. Encontre a força sobre o elétron, supondo-a
constante e com a mesma orientação do movimento do elétron. Lembrando: 1 𝑒𝑉 =
1,6 𝑥 10−19 𝐽.
𝑊 = ∆𝐾
𝐹𝑥∆𝑥 = 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖
𝐹𝑥 =
𝐾𝑓 − 𝐾𝑖
∆𝑥
𝐹𝑥 = 1,6 𝑥 10−14 N∆𝑥 Ƹ𝑖
Ԧ𝐹
𝑣𝑖 = 0 𝑣𝑓
Exercícios
➢ * Considere a seguinte situação: Um tomate de massa m é
arremessado para cima com velocidade inicial 𝑣0, tendo uma
energia cinética inicial, 𝐾𝑖 =
1
2
𝑚𝑣0
2. Na subida, o tomate é
desacelerado por uma força gravitacional Ԧ𝐹𝑔 , ou seja, a
energia cinética do tomate diminui, pois a Ԧ𝐹𝑔 realiza
trabalho sobre o tomate durante a subida.
➢ Tomate tratado como partícula → temos: 𝑊 = 𝐹𝑑𝑐𝑜𝑠𝜙→
trabalho realizado durante um deslocamento Ԧ𝑑 . Assim, o
trabalho 𝑊𝑔 realizado pela força gravitacional Ԧ𝐹𝑔 é:
𝑊𝑔 = 𝑚𝑔𝑑𝑐𝑜𝑠𝜙 (Trabalho executado por uma força gravitacional)(20)
Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
➢Na subida → Ԧ𝐹𝑔 sentido contrário ao deslocamento Ԧ𝑑:
𝑊𝑔 = 𝑚𝑔𝑑𝑐𝑜𝑠180° = 𝑚𝑔𝑑 −1 = −𝑚𝑔𝑑
➢ Depois que o objeto atinge a altura máxima e começa a descer, o ângulo 𝜙 entre a
força Ԧ𝐹𝑔 e o deslocamento Ԧ𝑑 é zero. Assim:
𝑊𝑔 = 𝑚𝑔𝑑𝑐𝑜𝑠0° = 𝑚𝑔𝑑 +1 = +𝑚𝑔𝑑
➢O sinal positivo (+) significa que a força gravitacional transfere uma energia 𝑚𝑔𝑑 para
a energia cinética do objeto. Isto está de acordo com o fato do objeto ganhar
velocidade na descida.
➢O sinal negativo (−) indica que, durante a subida, a força gravitacional
remove uma energia 𝑚𝑔𝑑 da energia cinética do objeto. Isto está de
acordo com o fato do objeto perder velocidade na subida.
(21)
(22)
Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
Trabalho e Energia Potencial (U)
➢ Voltemos ao exemplo do tomate - arremessado para cima. Já
sabemos que, enquanto o tomate está subindo, o trabalho Wg
realizado pela força gravitacional sobre o tomate é negativo, porque
a força extrai energia da energia cinética do tomate.
➢ Podemos concluir que, esta energia é transferida pela força
gravitacional da energia cinética do tomate para a energia potencial
gravitacional do sistema tomate – Terra.
➢ O tomate perde velocidade, para e começa a cair de volta, devido a
força gravitacional.
➢ Energia potencial (U): Qualquer energia associada a sistemas de corpos
exercendo forças uns sobre os outros;
➢ A energia potencial está sempre relacionada a transformação de energia.
Enquanto sobe, a Ԧ𝐹𝑔
realiza um trabalho
negativo sobre o tomate –
diminuindo sua energia
cinética ( 𝐾 ). Quando
desce, a Ԧ𝐹𝑔 realiza
trabalho positivo –
aumentando 𝐾.
➢ Durante a queda, a transferência se inverte: o trabalho Wg
realizado sobre o tomate pela força gravitacional é positivo, e
a força gravitacional passa a transferir energia da energia
potencial do sistema tomate-Terra para a energia cinética do
tomate.
➢ Tanto na subida como na descida, a variação ∆𝑼 da energia
potencial gravitacional é definida como o negativo do trabalho
realizado sobre o tomate pela força gravitacional. Assim,
temos:
∆𝑈 = −𝑊
Enquanto sobe, a Ԧ𝐹𝑔
realiza um trabalho
negativo sobre o tomate –
diminuindo sua energia
cinética ( 𝐾 ). Quando
desce, a Ԧ𝐹𝑔 realiza
trabalho positivo –
aumentando 𝐾.
(23)
Trabalho e Energia Potencial (U)
➢ Esta equação também se aplica a um sistema massa-mola.
➢ Se empurramos bruscamente o bloco, movimentando-o para a
direita, a força da mola atua para a esquerda e, portanto, realiza
trabalho negativo sobre o bloco, transferindo energia da energia
cinética do bloco para a energia potencial elástica do sistema
bloco-mola.
∆𝑈 = −𝑊
➢ O bloco perde velocidade até parar; em seguida, começa a se mover para a esquerda,
já que a força da mola ainda está dirigida para a esquerda. A partir desse momento, a
transferência de energia se inverte: a energia passa a ser transferida da energia
potencial do sistema bloco-mola para a energia cinética do bloco.
Trabalho e Energia Potencial (U)
(23)
𝑊 = −∆𝑈
➢ Resumidamente, temos: 
subida descida
➢ Esta observação nos leva a conclusão que em
ambos os trajetos:
(Teorema Trabalho-Energia Potencial)
(24)
Aumenta Diminui 
No SI, [J] = Joule
Trabalho e Energia Potencial (U)
➢ No caso mais geral, em que a força varia com a posição (em x, por exemplo),
podemos escrever o trabalho (W)
➢ Assim, podemos escrever que: 
∆𝑈 = −𝑊
𝑊 = න
𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝐹 𝑥 𝑑𝑥
∆𝑈 = −න
𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝐹 𝑥 𝑑𝑥
(25)
(26)
(27)
Trabalho e Energia Potencial (U)
Energia Potencial Gravitacional (Ug)
Este tipo de energia está associada com a posição dos corpos em um sistema. 
o Trata-se de uma energia associada ao estado de separação
entre dois objetos que se atraem mutuamente através da força
gravitacional, na caso, o objeto - Terra.
➢ Para yi = 0 e yf = y, a partir do teorema trabalho - energia
potencial determinamos:
(28)
(Energia potencial gravitacional)
+ y
∆𝑈 = −න
𝑦𝑖
𝑦𝑓
𝐹 𝑦 𝑑𝑦
Dedução ... 
∆𝑈 = −න
𝑦𝑖
𝑦𝑓
−𝑚𝑔 𝑑𝑦 = 𝑚𝑔න
𝑦𝑖
𝑦𝑓
𝑑𝑦 =𝑚𝑔 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 = 𝑚𝑔∆𝑦
𝑈 − 𝑈𝑖 = 𝑚𝑔 𝑦 − 𝑦𝑖
o Tomamos 𝑈𝑖 como sendo a energia potencial gravitacional do sistema quando ele se encontra em
uma configuração de referência na qual a partícula está em um ponto de referência 𝑦𝑖 .
Normalmente, tomamos 𝑈𝑖 = 0 e 𝑦𝑖 = 0. Fazendo isso, temos então:
𝑈𝑔(𝑦) = 𝑚𝑔𝑦 (Energia potencial gravitacional)
Depende apenas da posição vertical y (ou altura)
da partícula em relação à posição de referência
(𝑦𝑖 = 0).
+ y
Energia Potencial Gravitacional (Ug)
Energia Potencial Elástica (Uel)
Este tipo de energia está associada a força restauradora: F = -kx. 
𝑈𝑒𝑙(𝑥) =
1
2
𝑘𝑥2
o Trata-se da energia associada ao estado de compressão
ou distensão de um objeto elástico.
➢ Para xi = 0 e xf = x, a partir do teorema trabalho -
energia potencial determinamos:
(Energia Potencial Elástica) 
(29)
∆𝑈 = −න
𝑥𝑖
𝑥
𝐹 𝑥 𝑑𝑥
Dedução ... 
∆𝑈 = −න
𝑥𝑖
𝑥𝑓
−𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘න
𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝑥𝑑𝑥 =
1
2
𝑘𝑥𝑓
2 −
1
2
𝑘𝑥𝑖
2
𝑈 − 0 =
1
2
𝑘𝑥2 − 0
𝑈𝑒𝑙(𝑥) =
1
2
𝑘𝑥2 (Energia Potencial 
Elástica) 
Para associar um valor de energia potencial (U) ao bloco na posição x
escolhemos a configuração de referência como sendo aquela na qual a mola
se encontra no estado relaxado e o bloco está em xi = 0. Nesse caso, a
energia potencial elástica Ui é zero. Com isso, temos:
Bloco se move para
direita → Fel. da mola
realiza trabalho negativo
sobre o bloco.
Bloco se move para esquerda
em direção a x = 0 → Fel. da
mola realiza trabalho
positivo sobre o bloco.
Gráfico de energia
potencial elástica
da mola ideal é
uma parábola:
Energia Potencial Elástica (Uel)
Conservação da Energia Mecânica
➢ Sabemos que:
➢ Logo:
(Conservação da Energia Mecânica)
𝑊 = ∆𝐾 𝑊 = −∆𝑈
∆𝐾 = −∆𝑈 → 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = − 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖
𝐾𝑓 + 𝑈𝑓 = 𝐾𝑖 + 𝑈𝑖
𝐸𝑚𝑒𝑐,𝑓 = 𝐸𝑚𝑒𝑐,𝑖
➢ A energia mecânica (Emec.) de um
sistema é a soma da energia potencial U
do sistema com a energia cinética K dos
objetos que compõem o sistema:
𝐸𝑚𝑒𝑐. = 𝐾 + 𝑈 (Energia mecânica)
(30) (31)
(32)
(33)
(34)
➢ Esta equação nos diz o seguinte:
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐾 𝑒 𝑈 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
=
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐾 𝑒 𝑈 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
,
quando o sistema é isolado eapenas forças conservativas atuam sobre os objetos do
sistema. Em outras palavras:
Em um sistema isolado, onde apenas forças conservativas causam variações 
de energia, a energia cinética e a energia potencial podem variar, mas sua 
soma, a energia mecânica 𝐸𝑚𝑒𝑐 do sistema, não pode variar. 
Conservação da Energia Mecânica
➢ Este resultado é conhecido como Princípio de Conservação da Energia Mecânica.
➢ Podemos escrever este princípio de outra forma: 
∆𝐸𝑚𝑒𝑐.= ∆𝐾 + ∆𝑈 = 0
Quando a energia mecânica de um sistema é conservada, podemos relacionar a soma
da energia cinética com a energia potencial em um instante à soma em outro instante
sem levar em conta o movimento intermediário e sem calcular o trabalho realizado
pelas forças envolvidas.
𝐾𝑖 + 𝑈𝑖 = 𝐾𝑓 + 𝑈𝑓
(35)
Conservação da Energia Mecânica
➢ Exemplo – Pêndulo - princípio de conservação da
energia mecânica pode ser aplicado.
➢ Enquanto o pêndulo oscila, a energia do sistema
pêndulo-Terra é transferida da energia cinética
K para a energia potencial gravitacional U e vice-
versa, coma soma K + U permanecendo
constante.
➢ Se conhecemos a energia potencial gravitacional
quando o peso do pêndulo está no ponto mais alto
(c), a Equação da conservação nos fornece a
energia cinética do peso no ponto mais baixo (e).
Conservação da Energia Mecânica
➢ Vamos, por exemplo, escolher o ponto mais baixo
como o ponto de referência, com energia potencial
gravitacional U2 = 0. Suponha que a energia
potencial no ponto mais alto seja U1 = 20 J em
relação ao ponto de referência.
➢ Como o peso se imobiliza momentaneamente ao
atingir o ponto mais alto, K1 = 0. Substituindo
estes valores na Equação da conservação, obtemos
a energia cinética K2 no ponto mais baixo:
𝐾1 + 𝑈1 = 𝐾2 + 𝑈2 0 + 20 𝐽 = 𝐾2 + 0 𝐾2 = 20 𝐽
Conservação da Energia Mecânica
➢ Exemplos: Energia na pista de skate
https://phet.colorado.edu/sims/html/energy-skate-park/latest/energy-skate-park_pt_BR.html
Conservação da Energia Mecânica
https://phet.colorado.edu/sims/html/energy-skate-park/latest/energy-skate-park_pt_BR.html
➢ Exemplos: 
Conservação da Energia Mecânica
6) Na Figura, uma criança de massa m parte do repouso no alto de um
toboágua, a uma altura h = 8,5 m acima da base do brinquedo.
Supondo que a presença da água torna o atrito desprezível, encontre
a velocidade da criança ao chegar à base do toboágua.
𝐸𝑚𝑒𝑐,𝑓 = 𝐸𝑚𝑒𝑐,𝑖
𝐾𝑓 + 𝑈𝑓 = 𝐾𝑖 + 𝑈𝑖
1
2
𝑚𝑣𝑓
2 +𝑚𝑔𝑦𝑓 =
1
2
𝑚𝑣𝑖
2 +𝑚𝑔𝑦𝑖
1
2
𝑚𝑣𝑓
2 −
1
2
𝑚𝑣𝑖
2 = 𝑚𝑔𝑦𝑖 −𝑚𝑔𝑦𝑓
1
2
𝑣𝑓
2 −
1
2
𝑣𝑖
2 = 𝑔(𝑦𝑖−𝑦𝑓)
Sendo: 𝑣𝑖 = 0 e 𝑦𝑖 − 𝑦𝑓 = ℎ
𝑣𝑓
2 = 2𝑔ℎ
𝑣𝑓 = 2𝑔ℎ = 2(9,8 𝑚/𝑠²)(8,5 𝑚) = 13 m/s ≅ 47 Km/h
Exercícios
Exercícios
7) Um bloco de massa m = 2,0 kg é deixado cair de uma altura
h = 40 cm sobre uma mola de constante elástica k = 1960
N/m. Determine a variação máxima de comprimento da mola
ao ser comprimida.
Nosso ponto de referência para a energia potencial gravitacional é a
posição inicial do bloco.
O bloco cai uma distância total h + x, e a energia potencial gravitacional
final é –mg (h + x). A energia potencial da mola é 1/2kx2 na situação
final, e a energia cinética é zero no começo e no fim. Como a energia é
conservada, temos:
Potência
➢ A taxa de variação com o tempo do trabalho realizado por uma força recebe o
nome de potência.
➢ Se uma força realiza um trabalho 𝑊 em um intervalo de tempo ∆𝑡, a potência
média desenvolvida durante esse intervalo de tempo é:
𝑃𝑚é𝑑 =
𝑊
∆𝑡
(Potência média)
➢ A potência instantânea (em determinado instante de tempo t) é dada por:
𝑃 =
𝑑𝑊
𝑑𝑡
(Potência instantânea)
(taxa de variação instantânea com a qual o 
trabalho é realizado)
(36)
(37)
➢ Unidades de medida no SI: 
1 J/s = 1 W = 1 Watt
1 horsepower = 1 hp = 746 W
➢ Podemos observar também que o trabalho pode ser expresso como potência
multiplicada por tempo, como na unidade quilowatt-hora, muito usada na
prática. A relação entre o quilowatt-hora e o joule é a seguinte:
1 quilowatt-hora = 1 kW . h = (103 W)(3600s)
= 3,60 x 106 J = 3,60 MJ
Potência
➢ A potência instantânea também pode ser expressa por: 
𝑃 = Ԧ𝐹 ∙ Ԧ𝑣
Produto escalar entre Ԧ𝐹 e Ԧ𝑣
(Potência instantânea)
Potência
(38)
8) Um pequeno motor é usado para operar como um elevador que levanta
uma carga de peixes que pesa 500 N até uma altura de 10 m, em 20 s
(Figura), com velocidade constante. O elevador pesa 300 N. Qual é a
potência desenvolvida pelo motor?
𝑃 =
𝑊
∆𝑡
Sabemos que: 𝑃 =
𝐹∆𝑥
∆𝑡
𝑃 =
(800 𝑁)(10 𝑚)
(20 𝑠)
= 400𝑊
mas: 𝑊 = 𝐹∆𝑥
mas: 𝐹 = 500 N + 300N = 800 N
A intensidade da força 𝐹 para cima, exercida pelo motor, 
é igual ao peso do elevador, mais o peso dos tijolos. 
Assim: 
Exercícios
•Cap. 7: Energia Cinética e Trabalho(Halliday, 8ª edição) →
Problemas: 3, 13, 15, 19, 25, 27, 29, 37, 39, 49, 55, 61, 69.
Exercícios para resolver
•Cap. 8: Energia Potencial e Conservação da Energia
(Halliday, 8ª edição) → Problemas: 3, 5, 9, 15, 21, 29, 31,
33, 37, 79.