Concreto armado

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Concreto Annado: Vigas submetidas a esforços de torção 
José Samuel Giongo 
sao Carlos, agosto de 1994 
Publicação 057/94 
O deste é as da área de concreto 
ministradas na Escola de Engenharia de Canos - USP, Departamento de 
Estruturas. O serve como apoio ao aprendizado e com a bibliografia 
pertinente, as noçOes sobre a mataria abrangida. 
~·~•~~-"'''~~ analisa a verificação segurança de vigas de concreto 
empregaclaS em estruturas de edifrcios submetidas a tensOes tangenciais 
análise teórica é baseada em trabalho de LEONHARDT (1977), são 
discutidos os modelos para determinação dos esforços resistentes e, é 
apresentada a de dimensionamento mostrada na NB 1 flS. De modo 
didático é o exemplo de dimensionamento de uma viga continua que faz 
parte de uma estrutura de marquise de ediflcio, desenvolvido inicialmente em 
notas de aula de PINHEIRO e GIONGO (1989). No exemplo é mostrado o 
detalhamento, em forma de memória de cálculo, das armaduras dimensionadas e, 
nao o detalhamento que deve ser encaminhado à obra, ficando este para uma 
versão posterior do trabalho. 
Nos casos de vigas o efeito de torção vem sempre acompanhado dos 
efeitos de flexao - momento fletor e força cortante, pois nao é possfvel evitar, pelo 
menos a açao de peso próprio das estruturas. Além disto ocorrem as ações 
inerentes à própria razao de existir da estrutura - ações de paredes, ações de 
utilizaçao, ações de costruçao, etc. Assim, sao discutidos os efeitos de torçao 
simples e torção combinada com os efeitos citados. 
No decorrer do desenvolvimento do trabalho o autor contou com a 
coiaboraçao do Eng. Flávio Barboza de Uma, professor na Universidade Federal 
de Alagoas e doutorando na ESSC-USP, Departamento de Estruturas, 
responsável pela revisao do texto e digitacao de parte dele. o autor agradece este 
inestimável apoio. 
DEDALUS - Acervo - EESC 
lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll 
31100103729 
1. 
1 .1 
12 
1.3 
2. 
2.1 
2.2 
2.2.1 
2.2.2 
3. 
4. 
4.1 
4.2 
4.3 
4.4 
5. 
5.1 
5.2 
5.2.1 
52.2 
5.2.3 
5.3 
5.3.1 
5.3.2 
5.3.3 
5.3.4 
5.3.5 
Introdução 
Generalidades 
SUMÁRIO 
Tensões principais no caso de torção simples 
Torção com empenamento impedido 
Esforços e tensões no caso de torção simples 
Analogia da treliça 
Determinação dos esforços e tensões em treliças espaciais 
Caso de armadura transversal inclinadas de 45 o 
Caso de barras longitudinais e estribos verticais 
Tensão tangencial de Torção 
Tipos de colapso em vigas submetidas à torção 
Escoamento das armaduras 
Ruptura por compressão do concreto 
Ruptura das quinas 
Ruptura das ancoragens 
Critérios de dimensionamento especificados pela N B 1 I 78 
Dimensionamento de peças submetidas a esforços de 
torção combinados com força cortante e momento fletor 
Cálculo da tensão na seção vazada 
Tensão na seção cheia 
Valor último de tensão de cálculo 
Resistência do banzo comprimido 
Cálculo da áreas de armaduras 
Generalidades 
Armadura para torção composta 
Armaduras para caso de torção simples 
Área da armadura mínima 
Espaçamento máximo entre as barras que compõem 
a armadura 
1 
1 
3 
7 
8 
8 
9 
9 
12 
14 
16 
16 
16 
16 
17 
17 
17 
18 
18 
19 
20 
20 
20 
21 
21 
22 
22 
6. 
6 1 
6.2 
6.2.1 
6.2.2 
6.2.3 
6.2.4 
6.2.5 
6 2.6 
6.2.7 
6.2.8 
6.2.9 
6.3 
6.3.1 
6.3.2 
6.3.3 
6.3.4 
6.35 
636 
637 
6 3.8 
639 
Exemplo de aplicação 
Apresentação 
Dimensionamento da laje da marquise 
Ações uniformente distribuídas 
Ação variável normal 
Ação total na laje 
Uniformemente distribuída no contorno 
Cálculo das solicitações 
Verificação das tensões devidas à força cortante 
Armadura transversal na laje 
Determinação das armaduras na laje 
Detalhamento esquemático das armaduras 
Dimensionamento da viga 
Ações a considerar 
Determinação dos momentos fletores e forças cortantes 
Determinação dos momentos torçores 
Verificação da segurança da viga 
Cálculo das armaduras longitudinais para momento fletor 
Cálculo das armaduras transversais para absorver 
a ação da força cortante 
Cálculo das armaduras para absorver o momento torçor 
Determinação das áreas das armaduras longitudinal 
e transversal finais 
Detalhamento esquemático da seção transversal 
da estrutura da marquise 
Referências Bibliográficas 
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29 
30 
30 
32 
35 
36 
36 
37 
38 
1. INTRODUÇÃCD 
/ 
Nas vigas de edifícios só se considera o efeito da torção quando este for 
imprescindível para a verificação do equilíbrio da estrutura. Podem ser citados 
como exemplos de situações em que a sua consideração é necessária para o 
equilíbrio da estrutura os casos de vigas que recebem lajes em balanços sem 
continuidade com outras lajes da estrutura. A simples ligação de lajes maciças 
com as vigas de borda , embora gerem torção, esta não é considerada, pois não 
há necessidade para o equilíbrio da estrutura. 
Considerando o pavimento de edifícios, constituído por lajes maciças e 
vigas, as vigas podem ser consideradas, estruturalmente fazendo parte da grelha 
do pavimento. Ao se determinar os esforços solicitantes nas barras da grelha vai­
se deparar com esforços de flexão - momento fletor e força cortante - e de torção 
oriundos das ligações entre as vigas no plano horizontal. Como será visto as 
seções transversais retangulares de vigas de concreto armado exigem rigidez 
suficiente à torçao para que este efeito seja considerado. Como na maioria dos 
casos de projetos estruturais de edifícios as espessuras das vigas ficam limitadas 
a valores da ordem de 1 Ocm a 20cm, por questões de interferência com o projeto 
arquitetônico, e estes valores não são suficientes para uma seção transversal 
absorver as tensões tangenciais oriundas da torção, na maiorias dos casos este 
efeito é desprezado. 
1.1 GENERALIDADES 
Nas estruturas usuais os efeitos da torção estão acompanhados dos efeitos 
de flexão (momento fletor e força cortante). Isto se dá pelo fato de as estruturas 
estarem submetidas às ações inerentes ao fim para qual a estrutura se destina. 
Para as vigas submetidas à torção simples muitos ensaios experimentais 
foram realizados justificando o modelo teórico para o dimensionamento. Estes 
resultados podem ser extrapolados para torção com ação combinada de 
momento fletor e força cortante. 
O efeito das tensões tangenciais oriundas da torçao provoca empenamento 
da seção transversal, isto devido aos diferentes alongamentos longitudinais das 
fibras. Quando o empenamento não é impedido, este tipo de torção é chamada de 
torção livre ou de St. Venant. Com impedimento, o que mais ocorre na prática das 
estruturas pois há iigaçao entre os elementos estruturais, originam-se novas 
tensões longitudinais. Nos casos de seções transversais com rigidez à torção e 
por ocorrer a fissuração do concreto, com perda de rigidez, o efeito de coação 
devido ao impedimento pode ser muito reduzido. Este efeito gerado pelo 
impedimento ao empenamento é considerado com a colocação de uma armadura 
construtiva convenientemente detalhada. 
A verificação da segurança de vigas de concreto armado submetida a 
tensões tangenciais oriundas da torção é feita baseada no princípio de que as 
resistências do concreto à tração são desprezadas e, portanto as barras de aço 
devem absorver as tensões de tração. O momento torçor deve ser majorado do 
coeficiente de majoração das solicitações, que é adotado igual a 1 ,4 , conforme 
indicação da NB 1/78. 
As condições de segurança devem atender: 
a As tensões nas armaduras, calculadas supondo o concreto fissurado 
(Estádioll), não devem ultrapassar a resistência de cálculo das barras da 
armadura; 
b. as tensões de compressão no concreto, no Estádio 11, devem ser limitadas a 
valores baixos, restringindo-se a uma parcela da resistência à compressão do 
concreto, pois nas diagonais comprimidas surgem tensões secundárias 
elevadas. 
Quando as tensões de torção foremelevadas, em função das ações 
atuantes na viga, há necessidade de se verificar as deformações, considerando 
as hipóteses do Estádio li - concreto fissurado, pois os deslocamentos podem ser 
incompatíveis com o fim ao qual se destina a estrutura. Lembra-se que a rigidez 
no estádio 11. é bem menor que a rigidez no estádio I - concreto ainda não 
fissurado. Nos casos em que os deslocamentos não forem satisfeitos há que 
reprojetar as dimensões da peça. 
Como já foi dito os momentos torçores surgem nas estruturas de barras 
devido ao efeito de coação, ou seja através de impedimento às deformações 
longitudinais. Esta situação é denominada de torção de compatibilidade. Como 
exemplo podem ser citadas as vigas de borda dos pavimentos de edifícios. que 
devido à ação do momento fletor de engastamento da laje, tende a provocar giro 
na viga. Como a rigidez à flexão dos pilares se contrapõem ao giro, aparecem na 
viga tensões tangenciais que por sua vez provocam torção. 
A figura 1, apresentada em LEONHARDT(1977), mostra a situação de 
ligação de laje com viga de borda. O momento fletor uniformemente distribuído 
que atua na ligação da laje com a viga e, que provoca tração nas fibras superiores 
da laje, é transferido, por equilrbrio, para a viga. Este momento uniformemente 
distribuído atuante na viga, gera reações nos pilares que são momentos atuantes 
na ligação da viga com o pilar. O plano de ação destes momentos é perpendicular 
ao eixo da viga, gerando para os pilares uma situação de flexão normal composta 
Na viga há a ação de uma força uniformemente distribuída vertical 
representada pela reação de apoio na laje. Esta ação provoca na viga efeitos de 
flexão (momento fletor e força cortante). 
Em função das baixas rigidezes à torção das vigas de pavimentos de 
edifícios o efeito da torção é desprezado, isto se dá pela consideração de apoio 
das lajes nas vigas de borda e não de engastamento. As armaduras nas vigas são 
constituídas por estribos verticais e barras longitudinais por questões de 
facilidade de execução e de otimização de trabalho na obra. Este tipo de armação 
leva a uma diminuição da rigidez à torção de 5 a 8 vezes em relação à rigidez de 
flexão, justificando o fato de serem desprezados por ocasião do dimensionamento 
das vigas de pavimento. 
Define-se torção de equilíbrio aquela em que há necessidade de sua 
consideração para satisfazer as condições de equilíbrio estático da estrutura. A 
não consideração pode levar a estrutura ao colapso, por falta de capacidade 
resistente à torção. Como exemplo apresenta-se o caso das marquises ou de 
lajes onde não é possível considerar a sua continuidade com laje contígua. 
2 
Me 
(ll'illmr} 
FIGURA 1 -Laje maciça de pavimento ligada a viga de extremidade 
[Leonhardt, 1977] 
Na estrutura da figura 2 que representa o caso de uma marquise 
constituída por laje em balanço, isto é, laje com três bordas livres vinculada à viga 
e esta, por sua vez vinculada aos pilares. A única consideração possível de 
vinculação ê considerar a laje engastada na viga, o que gera na viga, além das 
ações verticais uniformemente distribuídas, um momento uniformemente 
distribuído que para ser equilibrado mobiliza a ação de momentos nos pilares. A 
ação do momento uniformemente distribuído na viga e dos momentos gerados 
pelos pilares leva ao aparecimento de momentos torçores nas seções transversais 
da viga, cujo valor máximo ocorre junto aos pilares. 
A viga deve ser dimensionada para absorver integralmente os momentos de 
torção. 
1.2 TENSÕES PRINCIPAIS NO CASO DE TORÇÃO SIMPLES 
Nas seções transversais com dupla simetria o centro de cisalhamento 
coincide com o centro de gravidade, sendo que o momento torçor deve ser 
referido a este centro. 
3 
PILAR VIGA PILAR ~ PILAR 
P----- ------- ______ LL ________ t· --------- =q 
; i 
:I LAJE . i 
1~-----------------------~-----1---------- ~I 
NERVURA 
~ 
VIGA 
NERVURA 
L LAJE 
NERVURA~ -
VIGA 
PILAR 
F I G U RA 2 - Laje maciça engastada em viga - Laje em balanço 
A torção simples com empenamento livre produz nas barras um sistema de 
tensões principais inclinadas de 45° e 135° . Analisando a figura 3 percebe-se 
que as tensões de tração ocorrem na direção da rotação e as de compressão 
perpendicular, de acordo com uma trajetória helicoidal, sendo que os valores 
máximos das tensões ocorrem nas faces externas da barra. A figura 4 mostra a 
variação das tensões em seções transversais retangulares, circulares e seções 
vazadas. 
4 
t 
y 
FIGURA 3 -Tensões principais em barra cilindrica submetida a torçao simples 
[Leoohardt, 1977] 
FIGURA 4 -Variação das tensOes em seções retangular, circulares e vazadas 
[Leoohardt, 1977] 
A tensão de torça pode ser calculada pela expressao 1 que representa 
uma tensão tangencial. 
T 
t'f =-
Wt 
[1] 
onde, T é o momento de torçao atuante na seçao transversal e Wt é o módulo de 
resistência à torçao. 
Sendo x o eixo coordenado paralelo ao eixo da barra e y o eixo 
perpendicular a este, contido no plano de corte da seçao transversal, e tendo em 
vista que a torçao livre ox = O e oy = O, a tensão tangencial 'tt é igual à tensão 
principal, ou seja: 
sendo a direçao de o-1 igual a 45° 
A variação da tensão tangencial 'tt na seçao transversal é indicada na figura 
4, para diversos tipos de seçao transversal, sendo que ao longo da seçao 
transversal a tensao tangencial troca de sinal. Ao longo do eixo longitudinal e nos 
cantos da barra a tensão tangencial é igual a zero ( 'tt = o ). 
5 
Na tabela 1 indicam-se os valores da tensão tangencial máxima ( ttmax) e 
dos momentos de inércia à torção lt para as seções transversais usuais A tabela 
1 foi adaptada de LEONHARDT(1977). 
TABELA 1 -Tensão de torção e momento de inércia à torção 
-r-- d t 
B1 
16 T 
Tt dT 
2 
Tt 
16 
rr 
1.,81 
T 
hedm2 
T 
--;3 
It 
'lt d I. 
32 
'lt 
(é-di 4 ) -
32 
Tt hedm 3 
-
4 
O, 11.1 a I. 
1,5 2,0 3,0 I. ,O 6,0 8,0 10,0 co 
O, 196 0,229 0,263 0,281 0,299 O, 307 0,313 Q333 
~ 1.,33 1.,01 3, 74 3,55 3,35 3,26 3,20 3,00 
1---------- - ···-- __ L.-·- -'--r-~---'-----'"---'---1 
Fórmula de Brlldt 
Seçlo vauc:la qU41iquar 
T 
2 Ae. he 
----- ---~---------1 
Soçio retlllragular vazada 
T 2 1 1 
--+--+--
bs he hs h e hs· he 
- 5,32 ;3 
o ,130 d'-
6 
Como já foi dito a deforTnaÇao das da barra na direção do eixo que 
surge em funça das rotações é denominada empanamento. Segundo 
Timoshenko o empanamento de uma barra retangular sob ação de uma . 
rotaçao pode ser representado 5. Este fenômeno fica mais visível se 
for desenhado um reticulado nas faces prisma. O plano da seçao transversal, 
depois do empenamento se transforma em curva espacial . 
FIGURA 5 - Barra solicitada à torção [Sossekind, 1985] 
As tensões longitudinais de empenamento sao variáveis ao longo do 
comprimento da barra, sendo que os valores máximos ocorrem nos pontos onde o 
empanamento é impedido. Nestes pontos as tensões diminuem com maior ou 
menor intensidade em função da rigidez e esbeltez da barra. As regiOes onde 
ocorrem as perturbações têm comprimentos menores que aqueles onde ocorrem 
o efeito de O't. St. Venant, isto é, com comprimento igual à altura da seção 
transversal. Para uma viga de seçao retangular, com vinculo de engastamento 
nas extremidades para as ações horizontais, a vanaçao das tensões pode ser 
vista na figura 6. O impedimento ao empenamento ocorre na regiao dos vinculas, 
no ponto de apiicaçao do momento torçor e, no caso de vigas continuas, entre os 
apoios intermediários. 
h 
Vwiaçio das tM~ loflgitudiMill 
d® Gill'l'lpc~N~m411'1to IJX 
FIGURA 6- Distribuiçao das tensões de empenamento [leonhardt, 1977] 
O valor e a variaçao das tensões longitudinais de empenamento sao 
calculados com as hipóteses da Teoria da Elasticidade, sendo que para peças de 
concreto armado as hipóteses só têm validade para peças que as tensões de 
7 
tração no concreto sao menores ( Estádio I ) do que aquelas que provocam o 
aparecimento de f;ssuras. As vigasque tenham seções com suficiente rigidez à 
torça, e que em função das ações aplicadas estejam fissuradas, foi observado 
que as tensões devidas ao empenamento descrescem oom a fissuraçao do 
concreto. Desse modo as peças fteam com sua segurança garantida, quando 
convenientemente dimensionadas à torçAo e, com relação ao empenamento 
recomenda-se dispor, na região de perturbação, armadura adicional com a 
finalidade de limitar a abertura das fissuras. 
2. ESFORÇOS E TENSÕES 
2.1 ANALOGIA DA TRELIÇA 
CASO DE 
Ensaios realizados por Leonhardt justificam que, após iniciado o processo 
de fissuraçâo das vigas submetidas a esforços de torção, as fessuras se 
desenvolvem em forma de hélice e com angu!o de 135° de inclinaçao. A 
resistência da peça é tal que apenas as paredes delgadas externas da seçao 
transversal colaboram, como se a seção transversal fosse vazada. As armaduras 
utilizadas no modelo foram constituidas por estribos verticais e barras 
longitudinais distribuídas na seçao transversal. O fato de apenas as paredes 
delgadas ooaborarem na resistência é justifteado pelo fato de ao se comparar os 
resultados de ensaios de viga de seção o que com outra de seçao cheia, os 
diagramas de deformações e de tensões no aço sao semelhantes nos dois casos. 
As áreas das seções transversais das armaduras e suas posiçOes foram as 
mesmas nos dois modelos. 
Como conclusão pode-se depreender que para a verifiCação da segurança 
de uma peça estrutural submetida à tensões tangenciais oriundas da torção, o 
procedimento é tal que as seções cheias podem ser analisadas como se fossem 
seção vazada. Os resultados dos ensaios comprovam este fato. 
A figura 7 mostra as forças internas atuantes na seção transversal de uma 
peça submetida a torçao simples. As forças Rst sao as que atuam na armadura 
longitudinal e o eixo destas barras e deve estar contido nos pianos médios das 
seções vazadas. As forças Reter sao as que atuam nas bielas de concreto e 
atuam com as inclinações indicadas na figura e em toda a espessura da seção 
vazada fictícia. As forças Rswt são as que atuam nos estribos verticais e sao 
devidas exclusivamente aos efeitos da torção. Nas vigas submetidas a tensões 
tangenciais oriundas da torção e do cisalhamento a armadura transvesal deverá 
resistir aos esforços transversais oriundos de ambas solicitações. 
As paredes de seçao vazada de espessura t podem ser associadas, para 
verifiCação da segurança, podem ser consideradas, para efeito de modelo de 
cálculo, como sendo treliças espaciais. As diagonais comprimidas da treliça 
desenvolvem-se em hélice ao redor da seção vazada, com uma inclinação de 135° 
em relação ao eixo da peça. 
Os esforços solicitantes na treliça espacial é feito considerando-a como 
uma superposição de seções vazadas com treliças de diagonais simples, ou seja 
treliças planas dispostas em cada face da peça, possibilitando, deste modo, a 
determinação dos esforços solicitantes na treliça espacial associando aos valores 
8 
obtidos para treliça plana. As direções da armadura transversal, a exemplo do que 
foi considerado para peças submetidas à ação de força cortante, são adotadas de 
45° e 90° em relação ao eixo longitudinal 
FIGURA 7 -Torção simples- modelo de uma seção cheia fissurada 
[Leonhardt, 1977] 
O mecanismo resistente da peça é tal que os esforços de traçao são 
absorvidos pela armadura transversal pois as treliças, que se formam nas faces 
da viga, não possuem banzes comprimidos inclinados e também não possuem 
diagonais comprimidas com inclinação menor do que 45°, a exemplo do que se 
fez para o mecanismo resistente para força cortante. 
2.2. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS E TENSÕES EM TRELIÇAS 
ESPACIAIS 
2.2.1 CASO DE ARMADURA TRANSVERSAL INCLINADAS DE 45° 
O modelo adotado para a determinação dos esforços internos em uma viga 
submetida a momento de torção consiste em associar a estrutura real a uma 
treliça espacial conforme mostrado na figura 8. 
Analisando o equilíbrio do nó A da treliça pode-se escrever: 
ou seja, a força atuante na diagonal tracionada é iguai à força atuante na diagonal 
comprimida 
9 
As l!amlis do benzo não são 
solicitadas por nenhuma força R 5 w to r 
Chapa extrema P!lnll a 
llfllieaçio de MT 
DisgoNis comprimidas 
FIGURA 8 - Treliça com armadura inclinada de 45°, [Leonhardt, 1977] 
Na seçao transversal representada pelo corte transversal passando pelo 
plano I - I, se for feita a análise do equilíbrio do esforço externo ( T ) e do esforço 
interno tem-se: 
[2] 
isto é, 
T 
Rsw = Rcw = b [3] 
w.J2 
Considerando a treliça espacial adotada como modelo, é possivef referir os 
esforços internos à unidade de comprimento, que neste caso é determinado como 
sendo a distância entre dois nós da treliça distantes ai do nó em retaçêo ao qual 
se fará referência para calcular este esforço. Geometricamente o segmento que 
define o comprimento unitário é determinado sobre a reta perpendicular à direçao 
10 
perpendicular ao eixo da barra da treliça que representa a armadura transversal, 
como pode ser visto na figura 9. 
A unidade de comprimento é dada por: 
Portanto os esforços internos referidos à unidade de comprimento podem 
ser escritos: 
[4] 
[5] 
As tensOes nas barras comprimidas e tracionadas da treliça espacial 
podem ser calculadas entendo-se que a tensão na barra comprimida é a tensao 
que ocorre nas bielas de concreto da viga e a tensao na barra tracionada é a que 
atua na armadura helicoidal. A área da seçao transvesal da treliça ( D2m) deve ser 
substituída pela área da viga de seção retangular que no caso é a área média Ae 
da seção vazada. 
A expressao com a qual se determina a tensao no aço da armadura 
helicoidal é dada por: 
Rsw T Se 
O"s,e = As . Se sena = 2Ac. r;:; 
,e Ase'\12 
' 
sendo, Ash a área da seção transversal da barra da armadura helicoidal e s o 
passo da armadura e a o angulo de inclinação da armadura adotado igual a 45° . 
conforme indicado na figura 9. 
FIGURA 9 - Área (Astor) e espaçamento (s) dos esbibos [Leonhardt, 1977] 
A tensão no concreto é calculada pela expressao 
[7] 
onde t é a espessura da parede da seção vazada associada à. seção real da viga. 
1 1 
O arranjo da armadura constituído barras dispostas longitudinalmente e 
distribufdas ao longo do perimetro dos estribos e por estribos perpendiculares ao 
eixo da viga, é o mais indicado. Pois, as barras a sua área da 
seçao transversal calculadas para absorver as tensOes normais oriundas 
da flexão e, os estribos também têm sua àrea em ·função· das tensOes 
tangenciais devido à flexêo. Além disto, este arranjo facilita a execução da viga na 
obra, em contraposição às armaduras helicoidais que exigem maior dispêndio de 
mão de obra. 
A análise dos esforços internos e tensões é feito considerando como 
modelo resistente a treliça da figura 1 O, que é constitulda por barras longitudinais 
tradonadas, barras perpependiculares ao eixo também tracionadas e 
por diagonais comprimidas. 
~/ 
CNp.~~ atrel'ml p.~~ra 
mt'licaçio de T 
FIGURA 10 - Torção simples- armadura perpendicular e paralela ao eixo 
[leonhardt, 1977] 
O equinbrio do nó B, figura 1 O, fornece: 
[8] 
Analisando o corte transversal li - li da treliça e determinado-se o equilíbrio 
das forças atuantes, pode-se escrever: 
Rcw 4.R5 t = 4.---=-
-.. /2 
[9] 
e, ainda, considerando a mesma seção e, equilibrando a ação do momento torçor 
com as quatro forças que atuam nesta seção, vem: 
T - ~-Rcw bm -b P r2· 
- . - m··~·'li 
J2 2 
[1 O] 
As forças que atuam nas bielas de concreto comprimido, na armadura 
longitudinal tracionada e nos estribos verticais também tracionados podem ser 
calculadas pelas expressões: 
[ 11] 
Rcw T 
Rst = Rsw = .J2 = 2 bm [12] 
No item anterior foi feita referência às unidades de comprimento sendo que 
as forças podem ser referidas à estas unidades, que estão indicadas na figura 1 O. 
As tensões que ocorrem na treliça são calculadas dividindo-se as forças 
calculadas por unidade de comprimento pelas àreas dos respectivoselementos 
da treliça. 
As tensões nos estribos verticais podem ser caiculadas por: 
T Se 
CJsw = 2 .4; · Asw 
As tensões na armadura longitudinal ficam: 
T u 
ast =--.-
2.Ac A 5 
As tensões nas bielas de concreto são dadas por: 
[13] 
[14] 
[15] 
Comparando as expressões 7 e 15 pode-se notar que as tensões que 
ocorrem no concreto nas treliças com armadura constituída por estribos verticais 
13 
é o dobro da tensao que ocorre na treliça com armadura inclinada. As tensões 
observadas, neste caso, sao maiores que as calculadas teoricamente o que indica 
que as tensões no concreto devem ser limitadas à valores compat~veis. 
Leonhardt indica que para a velificaçao do equiffblio da treliça não importa a 
posição das barras longitudinais na seção transversal; elas podem estar 
distribuidas nos quatro cantos ou no meio dos quatro lados. Alerta, ainda, que 
para evitar o deslocamento das diagonais comprimidas é necessário, no arranjo 
da armadura longitudinal, prever barras posicionadas nos cantos. Porém, para 
limitar a abertura das fissuras, há necessidade de distribuí-las em tocio o 
perimetro, dispondo sempre quatro barras nos cantos. 
Para as vigas de concreto armado o valor de cálculo das tensões, supondo 
a peça com tensões compatíveis com o Estádio 11, isto é, considerando-se seção 
fissurada, e considerando a seçao vazada equivalente, é calculado com a fórmula 
de Bredt, ou seja: 
T 
Tt = 2/Aehe [16] 
A espessura (he) da parede da seçao vazada é determinada como o sendo 
o menor valor entre, um sexto da dimensao menor da seção transversal e um 
quinto das distância entre os eixos das barras longitudinais posicionadas nas 
quinas dos estribos verticais, medida paralelamente ao menor lado da seção. 
Para seçao retangular indica-se as diversas possibilidades para a seçao 
vazada equivalente. Na figura 11 pode-se notar que os eixos da barras 
longitudinais posicionadas nas quinas podem coincidir com os planos médios da 
parede da seção vazada (figura 11 a ), podem ficar situadas para dentro ( f~gura 
11 . b ) , ou fiCar mais próximas das bordas ( figura 11 c ) 
No caso de seçao retangular a área limitada pela linha média da parede 
pode set calculada como a seguir se expõem, para os dois casos possiveis de 
determinaçao da espessura da seçao vazada: 
[17] 
b. Se ~ h = ~ e A = ~ bÍ h-~] 
e 6 e 6 L 6 
[18] 
14 
t 
~ 
-.11"---hs 
-,IJL----h-----,ô"-
al !Esquema básico 
h 
T 
b 
l 
FIGURA 11 - Seções vazadas equivalentes- análise das posições das barras 
[Leonhardt, 1977] 
LEONHARDT(1977) indica que, se prevalecer o critério de he = bw/6. 1sto 
é. quando as barras junto as quinas do estribo vertical estao posicionadas 
próximos das faces da viga, deve-se adotar a seçao vazada equivalente, de tal 
modo que os seus lados externos coincidam com o contorno da seçao retangular 
da viga. 
No caso de seções transversais constituídas por retângulos, a área da 
seção vazada correspondente é determinda com os critérios indicados na figura 
12a. 
Para seções irregulares a área da seçao vazada é área da seção da circular 
correspondente ao círculo de maior área incrito na seçao, conforme figura 12b. 
t -~ T,l - S 
I 
_j_ 
h dm e=-s 
F!GURA 12- Seções vazadas equivalentes para torção [Leonhardt, 1977] 
15 
4. TIPOS DE COLAPSO EM VIGAS SUBMETIDAS TORÇÃO 
4.1 Escoamento das armaduras 
A ruptura brusca de viga submetidas a tensões oriundas da torção deve ser 
evitada e, para que isto ocorra uma armadura mínima, para absorver as tensões 
de tração, deve ser adotada. 
A armadura deve ser dimensionada de tal modo que, se a peça for !evada à 
ruina, esta deve ocorrer por escoamento da armadura e não por ruptura do 
concreto. Assim procedendo fissuras características do efeito de torção 
aparecem na peça e medidas de proteção podem ser adotadas. 
As tensões de tração devem ser absorvidas exclusivamente pelas 
armaduras convenientemente ancoradas não havendo, portanto, possibilidade de 
redução como feita no modelo adotado para verificação da segurança com relação 
à força cortante. Leonhardt, indica que assim deve ser o procedimento, pois no 
modelo de treliça espacial, adotado para o mecanismo interno resistente, não há 
nenhum banzo comprimido inclinado. 
4.2 Ruptura por compressão do concreto 
Nas peças de concreto armado submetidas a tensões devidas a efeito de 
torção, as tensões no concreto são elevadas. E, as intensidades dependem do 
tipo de armadura adotada no projeto. 
Nos casos usuais a armação adotada é constitufda por estribos 
perpendiculares ao eixo e por barras longitudinais dispostas no perímetro dos 
estribos. Neste caso, ocorrem, no meio das diagonais comprimidas, junto as 
faces da peça, tensões da ordem de cinco vezes a tensão de torção dada pela 
fórmula de Bredt, ou seja, mais elevadas do que as avaliadas pela analogia da 
treliça espacial. Isto ocorre devido ao empenamento das faces laterais, sendo as 
comprimidas solicitadas com grande excentricidade. 
Leonhardt, indica que para as tensões oriundas da torção há necessidade 
de limitá-las a valores mais baixos que os adotados para o caso de solicitação de 
força cortante. 
Quando se adota armadura inclinada de 45° as tensões de compressão são 
cerca de quarenta por cento menores que as que ocorrem no caso de armadura 
perpendicular e paralela ao eixo, devido ao fato dos empenamentos serem 
menores. 
4.3 Ruptura das quinas 
Devido a mudança de direção das forças de compressão nas bielas 
inclinadas junto aos cantos de vigas de seção retangular, surgem forças de 
tração que podem provocar ruptura. isto ocorre para valores tais que suplantem a 
resistência à tração do concreto. 
Para evitar isto é indicado um espaçamento máximo de estribos de lOcm. 
Além disto há que se adotar diâmetros elevados para as barras longitudinais 
16 
posicionadas nas quinas dos estribos. Leonhardt indica que a tensão de torção 
determinada pela fórmula de Bredt, supondo seção fissurada ( Estádio li ) e, 
calculada com o valor do momento torçor de cálculo ( T d ), não deve ser maior do 
que 4% da resistência característica à compressão determinada através de cubos 
de 20cm de lado. Para utilizar esta indicação é preciso transformar a resistência 
determinada através de cubos em resistência cilíndrica. 
4.4 Ruptura das ancoragens 
Para evitar a ruptura da armadura na região das ancoragens, tanto as 
barras longitudinais quanto os estribos devem estar convenientemente ancorados 
Os estribos devem ser ancorados em ganchos e as barras longitudinais devem ter 
comprimentos de ancoragem suficientes para transferir as tensões de tração para 
o concreto que as envolve. 
5. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO ESPECIFICADOS PELA NB 1/18 
5.1 Dimensionamento de peças submetidas a esforços de torção 
combinados com força cortante e momento fletor 
A NB1/78 indica que: quando a torção não for essencial ao equilíbrio da 
estrutura, a sua consideração no estado !imite último pode ser dispensada a 
critério do projetista. 
As armaduras a serem dispostas nas vigas submetidas à ação de momento 
torçor acompanhado de momento fletor e força cortante são calculadas 
considerando-se cada efeito separadamente. 
Assim as armaduras longitudinais são dimensionadas para o momento 
fletor de cálculo para absorver as tensões normais de tração oriundas do efeito de 
flexão. Quando se fizer o dimensionamento das armaduras longitudinais para 
absover as tensões de tração devidas ao efeito do momento torçor, deve-se 
lembrar que as barras devem ser distribuídas ao longo do perímetro dos estribos. 
Portanto, na região tracionada da viga, devido à ação de momento fletor, as áreas 
das armaduras devem ser somadas. 
As áreas das armaduras transversais devem ser determinadas 
separadamente para os efeitos da força cortante e do momento torçor. As áreas 
mínimas de armadura para cada caso devem ser respeitadas e os espaçamentos 
máximos dos estribos devem ser atendidos para ambos os casos. 
Com relação à verificação das bielas de concreto que são comprimidasa 
segurança é verificada somando-se as tensões tangenciais devidas à força 
cortante e à torção. 
A resistência de cáiculo da armadura, a exemplo do que foi indicada para 
tensões tangenciais para verificação das tensões tangenciais oirundas da força 
cortante, não deve ultrapassar 435MPa. 
17 
As peças torcidas de seçao vazada deverao ser enrijecidas por 
diafragmas transversais nas extremidades e nas seções intermecflárias onde 
agirem momentos de torçao concentrados importantes. Quando a torçao nao for 
essencial ao equilibrio da estrutura, a sua oonsideraçao no estado limite último 
poderá ser dispensada a critério do projetista. 
5.2. CÁLCULO SECAO 
A tensão tangencial oriunda da torçao será 
[19j 
onde: 
Ae é área limitda pela linha média da parede, a parte vazada 
he é a espessura da parede no ponto considerado 
Quando o menor he for maior do que a espessura da parede fictícia da 
seção cheia de mesmo contorno externo, referida no item 3, adotar-se-á essa 
espessura em lugar de he. 
5.2.1- Tensão na seção cheia 
As seções cheias serão calculadas como seções vazadas, com parede 
fictícia de espessura h 1 , de acordo com as regras que seguem 
A. Seções retangulares 
Se b e h > b forem os lados do retângulo e bs e hs as distâncias entre os 
eixos das barras da armadura longitudinal dos cantos, medidas respectivamente 
nas direções paralelas aos lados b e h, a seção vazada a considerar será a 
seguinte: 
a) se bs ~ Sb/6, a espessura h1 da parede fictícia será tomada igual a b/6 sobre 
todo o contorno do retângulo, considerando-se o contorno externo da parede 
fictícia coincidente com o contorno externo da seçao: 
b) se bs:::;; 5b/6, a espessura h1 da parede fictícia será tomada a bsf5 sobre todo 
o contorno do retângulo, a linha média desta parede · coincidindo com o 
retângulo cujos vértices das barras de canto da armadura longitudinal. 
B. Seções compostas de retângulos 
Para as seções compostas de retângulos (figura 13), serao aplicadas as 
regras anteriores a cada um dos retângulos justapostos, suprimindo-se depois os 
18 
elementos da parede entre os vazamentos que não atinjam o contorno externo da 
seção. Obter-se-á, assim, uma parede contínua envolvendo um único vazamento 
Quando a razão dos lados dos retângulos não estiver entre 1/3 e 3, serão 
desprezados trechos desses retângulos de modo a fazer que a relação fique 
dentro destes limites . 
..... 
Vl 
.o 
FIGURA 13- Seção composta de retângulos [NB 1 I 1978] 
C Seções quaisquer de contorno convexo 
Para as seções de contorno poligonal convexo distinguem-se os seguintes 
casos: 
a) Se todos os ângulos do contorno forem superiores a 600, serão considerados 
os diâmetros b e bs dos círculos inscritos nesse contorno e no polígono 
formado pelos centros das seções das barras de canto de armadura 
longitudinal; a seção vazada correspondente será a que tem espessura b/6 e é 
limitada pelo contorno externo, se bs;::: Sb/6, e em caso contrário a espessura 
bsf5, tendo a parede por eixo central o polígono formado pelos centros das 
seções das barras de canto da armadura . 
b) Se houver ângulos menores ou iguais a 600, a parede da seção vazada será 
circular e inscrita no contorno externo, com espessura igual a 1 /6 do seu 
diâmetro. 
5.2.2- Valor último de tensão de cálculo 
Para as peças submetidas e efeitos de torção simples ou torção com 
cisalhamento os valores últimos das tensões de cálculo, são os indicados na 
NB1178, como segue: 
19 
a) Torção simples com armaduras paralela e normal ao eixo da peça: 
rtu = 0,22fcd :::; 4MPa 
b) Torção simples com armadura inclinada a 450 
c) Torção e flexão: 
rtu = 0,27fcd :::; SMPa 
7 wd + 7 td :::; 1 
7wu 7tu 
[20] 
[21] 
[22] 
Quando a peça estiver exposta à ação prejudicial de agentes externos, tais 
como ácidos, álcalis, águas agressivas, óleos e gases nocivos, temperatura muito 
alta ou muito baixa, os valores últimos das tensões de cálculo serão divididos por 
1,2 mantidos, porém, os limites absolutos. 
5.2.3- Resistência do banzo comprimido 
Nas seções em que a torção atua simultanemanete com solicitações 
normais intensas, que reduzam excessivamente a profundidade da linha neutra, 
particularmente em vigas de seção celular, o valor de cálculo da tensão principal 
de compressão não deve superar o valor 0,85 fcd· Esta tensão principal deve ser 
calculada como em um estado plano de tensões, a partir da tensão normal média 
que age no banzo comprimido de flexão e da tensão tangencial 'ttd de torção. 
5.3- CÁLCULO DAS ÁREAS DAS ARMADURAS 
5.3.1- Generalidades 
A armadura longitudinal de torção de área total Ast poderá ter arranjo 
distribuído ou concentrado, mantendo-se obrigatoriamente constante a relação 
Msl~u, onde ~u é o trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a 
cada barra ou feixe de barras de áreas Mst. Nas seções poligonais, em cada 
vértice dos estribos de torção, deve ser colocada pelo menos uma barra 
longitudinal. 
20 
5.3.2 Armadura para torção composta 
Nas peças submetidas à torção e flexão simples ou composta, as 
armaduras longitudinais devem ser calculadas separadamente para a torção e 
para as solicitações normais, como exposto a seguir. 
a. Armadura longitudinal 
Nas zona tracionada pela flexão, a armadura de torção é acrescentada à 
armadura necessária para solcitações normais, considerando-se em cada seção 
os esforços que agem concomitantemente. 
b. Armadura longitudinal no banzo comprimido por flexão 
No banzo comprimido pela flexão, a armadura longitudinal de torção pode 
ser reduzida em função dos esforços de compressão que atuam na esfessura 
efetiva het e no trecho de comprimento u correspondente à barra ou feixe de 
barras consideradas. 
5.3.3- Armaduras para caso de torção simples 
A armadura de torção será toda ela contida na área correspondente à 
parede fictícia: 
a. quando a armadura for composta de barras longitudinais e estribos normais ao 
eixo da peça, deve-se-á ter 
Td 
-=-= 
Vlefyd s u 
[23] 
onde: 
A90 = área da seção transversal de um estribo, simples ou múltiplo, normal ao 
eixo da peça 
Ast = soma das áreas das seções das barras longitudinais 
Ae = área limitada pela linha média da parede, incluindo a parte vazada 
u = perímetro de Ae 
s = afastamento entre os eixos dos estribos 
b. quando a armadura for inclinada a 450 sobre o eixo da peça, dever-se-á ter 
A4s Td 
--
s 2J2.Aefyd 
[24] 
onde: 
A45 = área da seção da barra inclinada a 450 
21 
s = distância entre os eixos dos ramos da barra inclinada a 450, medida 
paralelamente ao eixo da peça. 
5.3.4 - Area da Armadura Minima 
Na armadura de torçao, o volume das barras longitudinais, o volume dos 
estribos ou o volume das barras indicadas a 450 , em determinado trecho da 
peça, nao deve ser inferior, cada um deles, a 0,25% do volume do concreto nesse 
trecho, considerada apenas a parede, real ou flcUcia, para os aços CA-25, ou a 
O, 14% desse volume para os aços, CA-50 e CA-60. 
5.3.5- Espaçamento Máximo entre as barras que compõem a armadura 
Quando 'ttd 2! 0,6 'ttu o espaçamento das barras da armadura transversal, 
medido paralelamente ao eixo longitudinal da peça, nao deve ser superior ao 
menor dos três valores seguintes. 
- metade da menor dimensao transversal da peça; 
- um terço da maior dimensao transversal da peça; 
- 20cm. 
22 
6 EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
6.1. Apresentação 
Este exemplo de estrutura linear em concreto armado submetida a tensões 
tangenciais oriundas da torção e flexão foi desenvolvido inicialmente, como nota 
de aula, em trabalho de Pinheiro e Giongo [1979]. 
O exemplo apresentado nesta secção é relativo ao projeto estrutural de uma 
marquise, normalmente adotada nos projetos arquitetônicos para as entradas dos 
edifícios. A estrutura da marquise, neste caso, é constituída por laje maciça em 
balanço e viga contínua vinculada a três pilares. 
A figura 14 representa a forma estrutural da estrutura da marquise. O 
desenho da forma estrutural das estruturas de edifícios, construídosem concreto 
armado, são desenhados com o observador posicionado no nível inferior à 
estrutura que se quer mostrar e olhando para cima. Por isto os traços internos da 
viga e das nervuras na borda da marquise são desenhados em traço pontilhado. 
O corte transversal pode ser representado no próprio desenho da forma 
estrutural, desde que ai seja rebatido, ou fora dela, conforme mostrado na figura. 
~~-4~----------~3~53~--------~~30~--------~3=5~3------~----~Qf 
I 
Pl ....E_L i 
20130 Vl ( 20 x 50 l 20/30 2 
-o .,;-I 
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~ L_ _________________ V~l_l~x~O_!_ _______ _ 
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FORMA ESTRUTURAL 
ESC.: 1:50 
o 
r') 
776 
V2 
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CORTE ~ 
ESC. 1:20 
Figura 14- Forma estrutural da marquise 
23 
IS 
1-
1.,;­
I> 
_ ____ j 
Vl 
o 
l[) 
I I , I 
A marquise deste projeto é inacessivel a pessoas, isto é, acessfvel apenas 
a pessoas responsáveis por manutenção. O projeto arquitetônico prevê uma 
nervura em concreto aparente em todo o contorno, como pode ser visto no 
desenho da forma estrutural da marquise. A nervura é invertida, ou seja, a face 
inferior da nervura coincide com a face inferior da laje da marquise. 
As dimensões dos lados da seçao transversal dos pilares são 20cm e 
30cm, sendo esta medida paralelamente ao eixo da viga; as dimensões da viga 
são -largura (bw) igual a 20cm e altura (h) de 50cm; a largura da nervura é igual a 
10cm e a altura de 40cm. A largura da laje da marquise é de 90cm. Todas as 
medidas indicadas se referem as medidas da forma estrutural e não da edificação 
acabada que deve prever as espessuras dos revestimentos. A espessura da laje 
(h), em balanço, foi adotada com 1 Ocm e altura útil (d) com 8cm. 
Considera-se que as dimensões adotadas são de prédimensionamento que 
podem ser confirmadas ou modificadas na fase de dimensionamento, isto é, fase 
de verificaçao da segurança da estrutura em face dos esforços solicitantes de 
cálculo que atuam na estrutura em função das ações. As ações são as 
permanentes - calculadas em função dos pesos próprios dos materiais que 
compõem a estrutura e os materiais de acabamento da obra - e, as variáveis 
normais determinadas em funçao da utilizaçao da obra e indicadas na N B 5/80. 
O projeto arquitetônico prêve concreto aparente como acabamento e sobre 
a viga V 01 há uma parede de alvenaria de tijolos maciços de uma vez, isto é, com 
espessura total acabada de 23cm, ou seja, tijolos com 19cm de espessura e 2cm 
de revestimento de reboco em cada face .. 
6.2 Dimensionamento da laje da marquise 
Na laje da marquise existem dois tipos de ações: as ações uniformemente 
distribuidas na laje e as linearmente distribuídas no contorno externo da marquise, 
representada pela nervuras. 
6.2.1 Ações uniformemente distribuídas 
As ações permanentes diretas são as representadas pelo peso próprio da 
laje e pelo revestimento na face superior da laje, realizado com argamassa de 
cimento e areia com impermeabilizante. 
- açao devida ao peso próprio da laje 
gPP = 0,10. 25 = 2,50kNfm2 
sendo esta açao por unidade de área definida pelo produto da espessura da 
laje, em metro, e pelo peso especffico do concreto; 
- ação devida ao peso próprio da camada impermeabilizante 
gpp,imp = 0,03 . 21 = 0,63kNJm2 
24 
sendo a espessura da camada de argamassa impermeabilizante 
adotada de 3cm. Esta camada impermeabilizante serve também como 
regularização da face superior da laje, sendo que terá inclinação prevista para 
escoamento de água pluvial. 
oomo é o caso desta laje de marquise 
inacessfvel a pessoas a 5/80 prevê uma ação uniformemente distribuída 
considerada para a situaçao de utilização de manutenção de: 
q = 0,5kNJm2 
ação atuante na é somatório das ações permanentes e 
variável normal, resultando: 
g + q = 2,50 + 0,63 + 0,5 = 3,63 kNJm2 
Esta ação representa a ação total posslvel que atuará na laje; na maioria do 
tempo de vida útil da estrutura deve atuar apenas as ações permanentes, pois a 
utização da laje da marquise nao prevê o acesso de pessoas. Ela tem finalidade 
arquitetônica de cobrir a entrada do edifício. 
6.2.4 Uniformemente distribuída no contorno 
No contorno da laje da marquise há uma ação de peso próprio devida as 
nervuras, em concreto aparente. A força relativa a este peso próprio é dada por: 
9pp,nerv = 0,10 . 0,30 . 25 = 0,75 kN/m 
6.2.5 Cálculo das solicitações 
A vinculélção considerada para a laje da marquise é de engastamento 
da laje na viga interna: Esta consideração é a única possivel, pois o elemento 
estrutural capaz de fornecer reaçOes que mantenha o equilfbrio da laje é a viga. 
Com isto a laje têm, ao longo da ligação oom a viga, a ação de momento fletor 
uniformemente distribuído e força cortante uniformemente distribulda. 
Para determinação dos esforços solicitantes na laje, 
pode-se considerá-la como sendo uma sucessao de faixas unitárias, com a 
mesma condição de vinculação da laje e com o mesmo vao teórico. O 
comportamento das faixas é idêntico ao de viga em balanço. Esta consideração é 
possfvel pelo fato da laje ser armada em uma direçao, isto é, a laje têm três 
bordos considerados livres, pois as nervuras nos bordos nao têm finalidade 
estrutural. 
Na figura 15 encontram-se as dimensões geométricas, as indicações das 
ações atuantes e os diagramas dos esforços solicitantes. 
25 
rNERV" 0,75 kN/m 
100 
1----g +q = 3, 6 3 k N /m 
2 i 
====:dm, 
FIGURA 15- Vinculação, ações e esforços solicitantes 
Os valores do momento fletor máximo e força cortante, atuantes nas seções 
do engastamento da laje sao dados por: 
m'x = 
3·~1•02 +0,75.1,0 = 2,57kNm I m 
V'x = 3,63.1,0 + 0,75 = 4,38kN I m 
sendo que os esforços solicitantes assim calculados representam os 
valores caracterfsticos, e para estes cálculos foi considerado como distancia da 
ação da nervura até a seçao do engastamento o comprimento teórico do balanço 
que é de 1m. 
6.2.6 Verificação das tensões devidas à força cortante 
Nesta fase do projeto, antes de se determinar as armaduras necessárias e 
verificar a capacidade resistente da seçao transversal em absorver tensOes 
normais, é necessário verif~ear a capaciade resistente às tensões tangenciais. 
A tensao de referência com a qual se verifica a capacidade resistente às 
tensões tangenciais é dado por: 
V' x,d 1,4.4,38 O nno ,_,,.e I _? O 08Mil:) 
1:wd = bw.d = 1 OO.B = ;vuonnu c:nr = , r8 
26 
Este ultrapassar o limite de 'tbu dado, no anexo da 
NB 116/90, por: 
"rbw = P 
6.2.7 
a altura da laje é igual a 1 Ocm 
espessura relativa a este 
haver colapso da seçao 
do concreto comprimido das 
armadura transversal nas lajes usuais de 
estruturas de as dimens6es das espessuras das 
lajes sao de 1 Ocm e, na maioria dos casos nao 
ultrapassando 15cm, fica o trabalho de mao de obra de confecção e 
montagem de estribos com comprimentos dos ramos da ordem de 6cm. Assim 
estribos sao utilizados em lajes nos casos de grandes valores de forças cortantes 
e quando, por indicações do projeto arquitetônico, nao há possibilidade de se 
aumentar a espessura laje. 
O anexo da 116 /90 prevê que nos caso em que a tensao de referência 
( 'twd) for menor que um particular da tensao última de cisalhamento ( twu1) 
pode-se considerar que só o concreto é capaz de absorver as tensOes de traçao 
transversais devidas à açao da força cortante. 
O valor de twu1 pode ser determinado com os critérios indicados na norma 
citada ou usando tabela apresentada por GIONGO e TOTTI(1994) e 
PINHEIR0(1993), resultando: 
~wu1 = ljl4- Jt;k 
O valor de para ações uniformemente distribufdas é determinado em 
tabela, apresentada nos autores citados, em funçao da altura da laje (h) e da taxa 
geométrica da armadura longitudinal (p1) que neste exem~o é de 0,15%.Portanto: 
-rwu1 = 0;227. J2õ = 1,02MPa ft"l~.?'lll transversal na laje. 
6.2.8 Detenninação 
A determinaao eixo IOrnln:u::~u da viga e deve ficar junto à face superior 
27 
da laje, é feita usando-se as tabelas tipo k, indicadas em Pinheiro (1993). Com 
isto se faz simultaneamente a verlficaçao da capacidade resistente do concreto 
sob açao de tensões normais e se determina a área de armadura iongitudinal. 
Para o momento fletor solicitante de valor caractertstioo de 2,57kN/m 
calcula-se o valor de kc dado por: 
~., = bw. d2 = 1 oo.a2 - 17 a 
nc 1,4.257 - ' 
Na tabela indicada em Pinheiro, determina-se o valor de ~ e, com este 
determina-se o valor da área da seção transversal da armadura principal da laje, 
que é calculada por: 
kc = 0,024 ................... .4s = 0,024. 
1 •4·~7 = 1,0&rn2 I m 
As peças estruturais fletidas devem ter área da seção transversal de 
armadura respeitando as indicaçOes da NB 1/78 com relaçao ao valor mfnimo, 
que é dado por: 
0,15 2 .4smin = 0,15%.bw.h = 
100
.100.10 = 1,5an I m 
A área de armadura efetiva nao deve ser menor que a área minima de 
armadura que no caso desta laje é maior do que a calculada 
Os espaçamentos entre as barras da armadura deve respeitar a indicaçao 
da NB 1/78 com relaçao aos valores máximos. Assim, o espaçamento máximo, 
nao deve ser maior que duas vezes o valor da espessura da laje ( 2. h), que por 
sua vez nao deve ser maior que 20cm, como valor absoluto, no caso de laje 
armada em uma direçao . 
A distribuiçao de armadura que respeita estas indicações e atende a área 
de armadura mfnima calculada é representada pela área efetiva de armadura de 
As = 1 ,58 cm2fm, correspondente a um diametro de 6,3mm distribuído a cada 
20cm, conforme pode ser observado em tabela apresentada em Pinheiro. 
As lajes armadas em uma direçao devem ter, posicionada na direção 
secundária, uma armadura de distribuição de área igual a 1/5 da área da 
armadura principal mas nao menor do que 0,9 cm2/m. Ao se detalhar esta 
armadura de distribuiçao deve-se atentar para a indicaçao da N B 1 ns com 
relação ao fato de se ter pelo menos três barras fazendo parte desta armadura. O 
espaçamento máximo entre as barras da armadura de distribuiçao indicado na 
NB 1/78 é de 33cm. 
Com as indicações citadas a área transversal da armadura de distribuíçao 
efetiva é de 0,91 cm2Jm representada pela distribuiçao de um diametro de 5mm a 
cada 22cm. 
6.2.9 Detalhamento esquemático das armaduras 
O detalhamento esquemático das armaduras dimensionadas pode ser visto 
na figura 16, onde se destacam a posiçao em verdadeira grandeza as barras da 
28 
armadura principal e em corte as barras da armadura de distribuição. Deve-se 
observar que as armaduras da laje em balanço são posicionadas junto a face 
superior, isto é, onde ocorrem as tensões longitudinais de tração, sendo portanto, 
a face inferior da laje submetida a tensões longitudinais de compressão. 
11'\ 
1\ 
0sPRINC. 
'\ '\ '\ 
\ \ \ 
~ 6,3 c/20(122) 
106 
'\ '\I 
\ 1\ í1l 5 c/22 
0 sDIST. 
2 
FIGURA 16 - Detalhamento esquemático da armação da laje 
6.3 DIMENSIONAMENTO DA VIGA 
As ações que atuam na viga são as diretas - que atuam diretamente na viga 
-representadas pelos pesos próprios da viga e da parede de alvenaria construída 
sobre ela e, as ações uniformemente distribuídas, por unidade de comprimento, 
oriundas da reação de apoio da laje. Além destas há que se considerar as ações 
oriundas da laje representada pela reação de apoio que é numericamente igual a 
força cortante que atua na laje ou seja, vale a lei da ação e reação. 
Os tramos da viga estão submetidos a ação de momento uniformemente 
distribuído que é igual ao momento fletor atuante na ligação da laje com a viga, 
onde, lembra-se, foi considerada engastada. 
6.3.1 Ações a considerar 
a. Peso próprio da viga 
A força atuante na viga devida ao seu próprio peso, por unidade de 
comprimento é dada pelo produto da área da seção transversal pelo peso 
específico do concreto, ou seja: 
gpp, = 0,20 . 0,50 . 25 = 2,50 kN/m 
b. Peso próprio da parede de alvenaria 
O peso próprio da parede de alvenaira, por unidade de comprimento da 
viga, é calculado pelo produto da altura da parede pela massa da parede por 
29 
unidade de área. No caso de parede de um tijolo furado rebocada nas duas faces, 
o peso próprio por unidade de área é de 3,2 kN/m2. Ou seja: 
gpp,alv = 2,0 . 3,2 = 6,40 kN/m 
c. Ação na viga devida a laje 
A ação na viga devida as ações que ocorrem na laje são numericamente 
igual à força cortante que atua na laje - lei da ação e reação. O módulo da reação 
de apoio, como já calculado no item 6.2.3, é igual a 4,38 kN/m. 
6.3.2 Determinação dos momentos fletores e forças cortantes 
O modelo adotado para o esquema estrutural da viga, para a determinação 
dos momentos fletores e forças cortantes, é aquele que considera a viga 
simplemente apoiada nos pilares. Para a avaliação dos momentos torçores há que 
se considerar os dois tramos das vigas engastados nos pilares. 
Para cálculo dos esforços solicitantes na viga se utilizará o processo de 
Cross para determinação do momento fletor atuante na seção transversal que 
coincide com o eixo do pilar P 2. Os momentos fletores atuantes ao longo dos 
tramos, bem como os valores das forças cortantes são determinados a partir do 
conhecimento do momento fletor negativo atuante no apoio central da viga. 
A figura 17 representa o modelo de vinculação adotado para a determinação 
dos momentos fletores e forças cortantes atuantes na viga. Indica os vãos 
teóricos - distâncias entre os centros dos pilares, as ações uniformemente 
distribuídas atuantes nos trames, os índices de rigidezes dos trames (r= 1/t) e os 
coeficientes de distribuição dos momentos fletores no apoio central ( ~t = rt::_r ), os 
momentos fletores de engastamentos perfeitos, a distribuição dos momentos 
fletores no apoio central, o cálculo dos valores das forças cortantes, as abscissas 
das seções, a partir da esquerda, onde atuam os máximos valores dos momentos 
fletores de sinal positivo e na linha seguinte, os valores característicos destes. 
Estão indicados também os valores de cálculo dos momentos fletores máximos 
que provocam tração nas fibras superiores ( M'd ) e inferiores ( Md ) e os valores 
das forças cortantes atuantes nas seções transversais que coincidem com os 
eixos dos pilares. As armaduras longitudinais devidas as ações dos momentos 
fletores são também mostradas na figura. 
6.3.3 Determinação dos momentos torçores 
Os momentos torçores atuantes nos trames das vigas são determinados 
com o modelo de vinculação indicado na figura 18. A ação que provoca o efeito de 
torção na viga é numericamente igual ao momento fletor oriundo da consideração 
de engaste da laje da marquise na viga. As reações de apoio, que sao momentos 
atuantes na seção de ligação da viga com os pilares, 
30 
v 1 ( 20 l( 50) 
.L.l... 
383 
Pl 
19,1 
9pp= 2,50 
' 9par= 6,40 
LAJE=~ 
13' 28 
r 543,9 5 
0,50 
- 24,3 5 
2 5, 4 3 25 '43 
- 6' 3 6 + 6,36 
~9 '07 31 '79 
1,4 4 
13,69 
26,7 44,5 
19,2 
792 30 10 
15 I 
~5 I 3 I2'J lO 
792 
..c:,._ 
383 
P2 
63,6 
2, 50 
6,40 
4,38 
13,28 
543, 95 
0,50 
+ 24,35 
25' 4 3 
+6, 36 
31,79 
2, 39 
13,70 
34,1 
44,5 
19,2 
(822) 
(822) 
L[.l... 
P'3 
19,1 
25,43 
-6,36 
19,07 
26,7 
~= 
~rvig 
20x 50 3 
12x 383 
543,95 
0,50 
13,28 X 3,83 z 
Mk = Meng= 8 
24,35kNm 
X 
l 15 
I~ 5 
FIGURA 17- Determinação dos momentos fletores e forças cortantes 
31 
são determinadas com as condições de equilíbrio da estática das estruturas. O 
módulo do momento torçor é determinado pelo produto do momento 
uniformemente distribuído aplicado ao longo do eixo da viga pelo comprimento 
teórico do tramo e dividido por dois. Analisando o diagrama de momentos torçores 
atuantes no tramo percebe-se que, a exemplo do que ocorre com as forças 
cortantes, os valores máximos atuam nas seções dos engastamentos junto aos 
pilares. 
~~ 
-
~ 0 t 
>> >> 3> 
-383 )(t 
T - T - 2,57. 3,83 - 4 92 kN 
Pl- P2- 2 - • m 
'JdPl = T dPZ = 6,89 kN m 
FIGURA18 - Determinação dos momentos torçores 
6.3.4 Verificações da segurança da viga 
a. Tensões normais 
Para verificar se as dimensões adotadas para a seção transversal estão 
compatíveis com os valores dos momentos fletores calculados, pode-se 
determinar o valor do momento fletor limite. Este momento fletor é o relativo ao 
limite entre os domínios 3 e 4 de deformações; se o momento fletor de cálculo 
para uma seção transversal for maior que o momento fletor limite há que se prever 
armadura dupla, em caso contrário armadura simples. 
O valor de Mdlim é determinado usando as tabelas tipo k de Pinheiro (1993) 
com kc igual a Kc1im , que para o caso de se adotar concreto C 20 e aço CA 50 A 
vale 2,2. O valor do momento fletor de cálculo limite para a seção transversal da 
viga da marquise é dado por; 
20.522 
Md lim = 
22 
= 24582kNcm = 245,8kNm 
Como o valor do máximo momento fletor de cálculo que atua na viga é de 
34,1 kNm, com certeza todas as seções transversais devem ser armadas com 
armadura simples. 
32 
b. Tensões tangenciais 
b.1 Força cortante 
A tensão tangencial de cálculo de referência twd não deve ser maior do que 
o valor último indicado na N B 1 . Se isto ocorrer as dimensões da seção 
transversal devem ser aumentadas. Esta verificação pode ser feita comparando o 
valor da força cortante de cálculo máxima atuante na viga com o valor da força 
cortante última. O valor da força cortante última pode ser calculado pela 
expressão, conforme mostrada em GIONGO e TOTTI(1994): 
Vdu = 0,1. twu .bw .d 
O valor da tensão última de cisalhamento para o concreto C 20 é 4,286 
MPa e, com bw e d iguais a 20cm e 47cm, respectivamente, resulta: 
Vdu = 0,1 . 4,286. 20. 47 = 402,9 kN 
Como o valor da máxima força cortante de cálculo atuante na seção 
transversal é de 45,4 kN e, portanto, menor que o valor último, não há 
necessidade de se alterarem as dimensões da seção transversal da viga. 
Comparando os valores das forças cortante de cálculo atuante nas várias 
seções da viga com valor da força cortante de cálculo mínima pode-se determinar 
as regiões que deve ter armadura transversal calculada ou mínima. 
O valor de Vdmin é dado pela expressão: 
Vdmin = O, 1 · 'twmin .bw .d 
para concreto C 20 o valor de twmin é de 1,113 MPa, resultando: 
Vdmin = 0,1 . 1,113. 20. 47 = 104,6kN 
Como os valores das forças cortantes de cálculo atuantes na seção 
transversal são menores do que o valor de V dmin todas as seções transversais 
terão armadura mínima. 
b. 2 F orça cortante com momento torço r 
A verificação da segurança da seção transversal de vigas submetidas a 
ação de força cortante e momento torço r é feita com a expressão: 
1:wd + 1:td nos=, 4 
Este transversal da armadura é menor que o mínimo 
de 1,5cm2, que deve prevalecer em relaçao ao valor calculado (As= 0,98cm2 ). 
Recorde-se que as áreas das armaduras longitudinais calculadas para absorver 
momento fletor devem ser acrescidas das áreas das armaduras longitudinais 
calculadas para absorver momento torçor. 
6.3.6 Cálculo 
cortante 
transversal para absorver a açio da forç~ 
Como foi vistCI no item 6.3.4-b1 o valor da máxima força cortante atuante 
nas barras da viga 44,5kN é menor que o valor da força cortante mínima de 
cálculo ( 104,6kN ). Esta condição indica que a armadura calculada é menor que 
a minima e, portanto, esta deve ser a adotada. 
A NB1!78 indica como taxa minima, para aço CA 50 ou CA 60 como 
armadura transversal, o valor de O, 14%. Foi mostrado e trabalho de GIONGO e 
TOTTI(1994) que a expressão com a qual se determina a área mlnima de 
armadura transversal para força cortante é: 
Awmin = 0,14.,-- ..... (cm2 / m) 
onde n é o número de ramos verticais do estribo. 
No caso do exemplo resulta: 
20 
Awmin = 0,14. 2 = 1,40crn2 I m 
6.3.7 Cálculo absorver o momento torçor 
Na figua 18 determinou-se o valor máximo do momento torçor de cálculo 
que é de 6,89kNm. Lembre-se que as expressões com as quais se determina as 
áreas das seções das armaduras transversal e longitudinal é dada por: 
t"d - = - = -:--:,--------:--
2.t\e.fyd s n 
com as indicações já feitas no item 5.3.5 o valor do terceiro membro da expressao 
anterior é dado por: 
t"d 689 
2 Ae. fyd = 2616.50 /1,15 = 
0·0129 
A determinação da área de armadura transversal e longitudinal para 
absorver momento torçor é feita com a expressão: 
----- -s n 
6.3.8 Determinação 
finais 
a. Área da armadura transversal 
e transversal 
Como foi visto vale a superposição dos efeitos da força cortante e do 
momento fletor. Calcula-se a área da armadura transversal final, somando-seos 
valores parciais determinados nos ítens 6.3.6 e 6.3.7, resultando portanto: 
Aswtotal = Asw + Aoo = 1,40 + 1,29 = 2,69em2fm 
' 
O espaçamento máximo entre os estribos nao deve ultrapassar os valores 
indicados na N B 1/78 nos casos de peças submetidas a ação de força cortante e 
de momento torçor. Para ação de força cortante o espaçamento máximo entre 
estribos é o menor valor entre: metade da altura útil ( d) = 0,5 . 47 = 23,50cm; 
30cm ou doze vezes o diâmetro da barra longitudinal comprimida, quando exigida 
pelo cálculo, o que nao ocorre neste exemplo. 
Para a ação do momento torçor o espaçamento máximo dos estribos é o 
menor valor entre: metade da largura da viga = 0,5 . 20 = 1 Ocm, um terço da 
altura da viga = 0,33 . 50 = 16,7cm e 20cm. 
De todos os valores indicados percebe-se que o espaçamento máximo 
entre os estribos é de 1 Ocm. 
Consultando tabela pertinente em Pinheiro, percebe-se que para as 
condições indicadas, Asw,total = 2,69cm2fm e espaçamento máximo de 10cm, 
pode-se adotar para armadura transversal: ~6,3 c/1 Ocm, perfazendo uma área de 
armadura transversal efetiva de 3, 15cm2fm. 
b. Áreas de armadura longitudinal 
Como a viga é contínua há que se considerar os casos de armaduras junto 
a face superior, junto a face inferior e junto aos ramos dos estribos. Devem ser 
somadas as áreas das armaduras longitudinais calculadas para absorver 
momento fletor e momento torçor. 
37 
b.1 . Armadura longitudinal superior 
As,sup = 1,74 + 1,29. b5 = 1,74 + 1,29. 0,14 = 1 ,92cm2 
Considerando que a área de uma barra de 10mm é 0,8cm2 tem-se: para 
área efetiva da armadura longitudinal superior 2,40cm2, ou seja, 34p10. 
b.2. Armadura longitudinal inferior 
As,inf = 1,50 + 1,29. O, 14 = 1 ,68cm2 
Considerando que a área de uma barra de 1 Omm é 0,8cm2 tem-se: para 
área efetiva da armadura longitudinal superior 1 ,60cm2, ou seja, 2$10. 
b.3. Armadura longitudinal junto aos ramos dos estribos 
As,lateral = 1 ,29 . hs = 1 ,29 . 0,44 = 0,57cm2 
Considerando que a área de uma barra de Smm é 0,20cm2 tem-se: para 
área efetiva da armadura longitudinal superior 0,60cm2, ou seja, 3$5, dispostas 
em cada face da viga. Como pode ser visto na figura 19, optou-se por posicionar 
4q>5 em cada face, sendo que uma destas barras serve como armadura para 
posicionar a armadura principal da laje da marquise. 
6.3.9 Detalhamento esquemático da seção transversal da estrutura da 
marquise. 
A figura 19 representa o detalhe esquemático da seção transversal da viga 
e da laje da marquise. As armaduras indicadas nestes elementos estruturais são 
as calculadas nesta memória de cálculo. Lembrando que as nervuras em concreto 
armado, na borda da laje não são estruturais, é necessário se determinar uma 
armadura construtiva, tanto longitudinal como transversal. É conveniente adotar 
para área da seção dessas armaduras os valores mínimos indicados na NB1/78. 
a. Armadura longitudinal na nervura 
Lembrando que para a área da armadura longitudinal de vigas a N B 1/78 
indica o valor da taxa de O, 15%, resulta: 
flsmin = 0,15%. bw. h = ~~ .1 0.40 = 0,60cm2 I m 
Esta armadura é representada por 2$6,3mm, As eft = 0,64cm2. Sendo que 
as barras são posicionadas duas junto a face superior e duas junto a face inferior 
da nervura. 
38 
b Armadura transversal na nervura 
A área mínima de armadura transversal posicionada nas nervuras é dada 
.nervura bw 1 O '/ 
-·-·-'--·- = 0,14.- = 0,14 -
2 
= 0,70cm- l m 
s n n 
Representada pela armadura efetiva de 1,11 cm2fm, ou seja, ~5 c/18crT· 
~o 
6 
4405 c/18(95) 
8 
N5 
N5 
Nl- 41 0 6,3 c/20( 122) 
106 
N2-1305 (792) 
N 3- 2 d 0 lO ( 8 22 l 
N5- 2x2 QJ 6,3(792) 
N3 
16 
N4-79 0 6,3 c/10 (135 l 
N3 
·8 
19 - Detalhamento das seções transversais da viga, laje e nervura 
39 
o cálculo 
5 e/ou NBR 6120 ) 
elementos 
Setor de PubiicaçOes. 
Concreto. Princlpios básicos 
1. Livraria lnterciência 
11. Editora Globo. Porto