6 - INTEGRAIS APLICAÇÕES

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D
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1 Marcar para revisão
(CESGRANRIO/2018 -  adaptada) Considere a função   definida
por
Sujeita às restrições
e
Escreva o Lagrangeano para encontrar os pontos máximo e mínimo de
fx,y,z sujeita às duas condições.
f : R3 → R
f(x, y, z) = x + y + z
x2 + y2 = 2
x + z = 1
F(x, y, z,λ) = x + y + z + λ(x2 + y2 − 2)
F(x, y, z,λ) = x + y + z + λ(x2 + y2 + x + z − 3)
F(x, y, z,λ) = λ(x + y + z) + (x2 + y2 − 2) + (x + z − 1)
F(x, y, z,λ) = x + y + z + λ(x2 + y2 − 2)(x + z − 1)
F(x, y, z,λ,μ) = x + y + z + λ(x2 + y2 − 2) + μ(x + z − 1)
Questão 6
de
10
Corretas (9)
Incorretas (1)
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1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Cálculo a Várias… Sair
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B
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D
E
Resposta correta
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Gabarito Comentado
O método de Lagrange é uma técnica utilizada para encontrar os
máximos e mínimos de uma função sujeita a restrições. Neste caso, a
função é dada por e as restrições são
 e . Para aplicar o método de Lagrange,
adicionamos as restrições à função original, multiplicadas por
constantes λ e μ. Portanto, o Lagrangeano é dado por:
Essa é a alternativa correta, que corresponde à opção E.
f(x, y, z) = x + y + z
x2 + y2 = 2 x + z = 1
F(x, y, z,λ,μ) = x + y + z + λ(x2 + y2 − 2) + μ(x + z − 1)
2 Marcar para revisão
 (IFB/2017) A técnica utilizada para a resolução das integrais duplas é
denominada técnica das integrais iteradas. A região de integração dada
pela integral iterada
é a mesma de qual das integrais a seguir:


∫ 4
0 ∫0 f(x, y)dxdy + ∫ 6
4 ∫ 6−y
0 f(x, y)dxdy
y
2


∫ 2
0 ∫0 f(x, y)dxdy + ∫ 6
4 ∫ 6−y
0 f(x, y)dxdy
y
3


∫ 6
4 ∫ 6−y
0 f(x, y)dxdy


∫ 2
0 ∫0 f(x, y)dxdy
y
2


∫ 2
0 ∫0 f(x, y)dxdy + ∫
6
4 ∫ 6−x
0 f(x, y)dxdy
y
2
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A região R
 sobre a qual se está calculando a integral dupla é:
Caso se opte por integral primeiro em relação a x
 e depois em relação a y
, teremos a soma das seguintes integrais iteradas:
Onde a primeira integral corresponde à região R1 e a segunda integral
à região R2.
3 Marcar para revisão
(IFSC/2014) Maria e José estão discutindo a lista de exercícios de integrais
duplas quando se deparam com o problema de calcular o volume do sólido
S, obtido a partir da intersecção das superfícies 2x+4y+z=8,z=0,y=0 e
x=0.
José afirma que é possível resolver o problema através do cálculo da
integral dupla definida
Maria afirma que é possível resolver o problema através do cálculo da
integral duplas definida
A
B
C
D
E
Em relação às soluções propostas por Maria e José, analise as afirmações
a seguir e assinale a alternativa correta.
Maria está incorreta e José está correto.
Maria está correta e José está incorreto.
Ambos estão corretos.
Ambos estão incorretos, pois é necessário utilizar coordenadas
cilíndricas.
Ambos estão incorretos, pois é necessário utilizar coordenadas
esféricas.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
O sólido descrito é:
O volume pode ser calculado da seguinte maneira:
Ou podemos calcular da seguinte forma:
A
B
C
D
E
Portanto, ambos estão corretos.
4 Marcar para revisão
Paulo vende na feira batata e inhame. Estima-se que a demanda por
batatas seja dada por x kg/dia, e a quantidade de inhame demandada seja
de y kg/dia, quando seus preços unitários forem
p=20-0,005x-0,001y
q=15-0,001x-0,003y
reais, respectivamente.
Determine a função receita total diária das vendas de Paulo, R(x,y).
R(x, y) = 20y − 0, 005xy − 0, 001y2
R(x, y) = 35 − 0, 006x − 0, 004y
R(x, y) = 5 − 0, 004x + 0, 002y
R(x, y) = 20x + 15y − 0, 005x2 − 0, 003y2 − 0, 002xy
R(x, y) = 15x + 20y − 0, 001x2 − 0, 001y2 − 0, 008xy
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A função receita total de Paulo será dada pela soma das receitas
obtidas pela venda de batata e de inhame.
A
B
C
D
E
5 Marcar para revisão
O domínio de uma função é o maior conjunto possível para o qual a função
está definida.
Dada a função
seu domínio será:
D = (x, y)/x ≠ 0ey ≠ 0
D = (x, y)/x = 0ouy = 0
D = (x, y)/x ≠ y
D = (x, y)/x = −y
D = (x, y)/x = y = 0
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A função somente está definida quando x≠y, pois se x=y, o
denominador será igual a zero.
A
B
C
D
E
6 Marcar para revisão
O lucro mensal de uma empresa é dado pela seguinte função:
Calcule suas derivadas parciais no ponto (4.000, 150).
P(x, y) = −0, 02x2 − 15y2 + xy + 39x + 25y − 20.000
Px(4.000, 150) = 0;Py(4.000, 150) = 0
Px(4.000, 150) = −29;Py(4.000, 150) = 475
Px(4.000, 150) = 29;Py(4.000, 150) = −475
Px(4.000, 150) = 475;Py(4.000, 150) = −29
Px(4.000, 150) = −475;Py(4.000, 150) = 29
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A derivada parcial da função em relação a x
será dada por:
No ponto 4.000, 150 ela tem o valor de:
A derivada parcial da função em relação a y  será dada por:
No ponto 4.000, 150 ela tem o valor de:
A
B
C
D
E
7 Marcar para revisão
O PIB de um país é dado pela função:
Calcule as produtividades marginais.
P(x, y) = 40x(3/5)y(2/5)


Px = 24( )
2/5
;Py = −16( )
3/5y
x
x
y


Px = 16( )
2/5
;Py = −16( )
3/5y
x
x
y


Px = 16( )
2/5
;Py = −24( )
3/5y
x
x
y


Px = −16( )
2/5
;Py = −24( )
3/5y
x
x
y


Px = −24( )
2/5
;Py = −24( )
3/5y
x
x
y
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A
B
C
D
E
A produtividade marginal relativa a x será dada por:
8 Marcar para revisão
 (CESGRANRIO/2018 - adaptada) Seja a função
O teste da segunda derivada para a função f(x,y) será igual a:
f(x, y) = xy2 + y/x + 2,x ≠ 0
D = 4y2 − 8y/x2 + 1/x4
D = −4y2 + 8y/x2 − 1/x4
D = −4y2 − 8y/x2 − 1/x4
D = 4y2 + 8y/x2 + 1/x4
D = −4y2 + 8y/x2 + 1/x4
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
Inicialmente calculamos as derivadas parciais de primeira ordem da
função.
Em seguida calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
A
B
C
O teste da segunda derivada é dado por:
9 Marcar para revisão
O método dos multiplicadores de Lagrange é utilizado para a solução de
problemas com restrições. Como se utiliza o método dos multiplicadores
de Lagrange para encontrar os extremos relativos de uma função de duas
variáveis f(x,y) sujeita à condição g(x,y)=0?
fx = fy = 0eg(x, y) = 0.
Encontrar os pontos críticos de  .F(x, y) = f(x, y) + g(x, y)
Encontrar os pontos críticos de  .F(x, y,λ) = f(x, y) + λg(x, y)
D
E
A
B
C
Encontrar os pontos críticos de  .F(x, y) = f(x, y) ∗ g(x, y)
Encontrar os pontos críticos de  .F(x, y,λ) = f(x, y)/g(x, y)
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O método dos multiplicadores de Lagrange é uma técnica poderosa
para encontrar os extremos de uma função sujeita a restrições. Neste
método, utilizamos um multiplicador para cada restrição. No caso do
problema apresentado, há apenas uma restrição, portanto, a função
Lagrangeana a ser resolvida será dada por: 
.
A solução é obtida identificando os pontos críticos da função
Lagrangeana. Isso é feito calculando as derivadas parciais primeiras
de  e igualando-as a zero. Portanto, a alternativa correta é a
C, que afirma que devemos encontrar os pontos críticos de 
.
F(x, y,λ) = f(x, y) + λg(x, y)
F(x, y,λ)
F(x, y,λ) = f(x, y) + λg(x, y)
10 Marcar pararevisão
Considere a função   .
O valor dessa função no ponto é igual a:
f(x, y, z) = ln(x2 + y2 − z2)
(√2, −√2, √3)
e
2e
-1
D
E
1
0
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Substituindo os valores do ponto da função, temos que: