Curvatura, vetores normal e binormal

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aula 06- - Colculo Dif. l IV que dada uma C pela r(t)= [a,b] da e dado por b b = S a = Sa a Exemplo: dearco da helice ide equacoo r(t) = cost i + sent do ponto (1,0,0) ponte = te sen (1) = -santi L = + 1 lett V cost da 2tt = = t = D 0 = Uma pode representada por de uma mas independente da D valor do premento de mesmoSuponha C dada pela r(t) + er percorida exatamente a t de a para b. a de arco por, t (dy) can a a de C entre r(a) r(t). Derivon do ambor or lados, : ids = - dt Se uma dada um de um para metro t a de arco, podemos t como de - a Curva pode ser entao reparametrizioda des S por a helice da por = comprimento de medido a de (1,0,0) na de ponto inicial (1,0,0) ao Vimos que, ids = 11 52 dt t t du = = t 11 V2 ndo vapelo de or = S 52 )i + + S2 s K Curvatura Uma dita (suave) lisa I, se r'for l emI. Uma não tim ponto l vetor langente Se C for uma curua por uma r, vetor tangente nitario dado por, T(t) = l indica da a de C em um dado porto e a medida de rapidamente a muda de no e dada pelo taxa do tangente unitario com relagoo ao de K = dI ids unando a regra da s=s(t) dt ds ids ids l lomo K= dT dr K=Exemplo: que la de um a um de centro na l raio r(t)= + - = = = e = cost) a = - l = =1 portanto - - I a que gronde l tem uma 6 ida reta pois a Terema: a de dada pela r é produto X r"(t) Exemplo, a ida cubica retorcida dada por r(t)= ponto generico (0,0,0) Q vetores l r"(t)l = = 1+ I R = 1 It - - - 6t,2) 0 2 6t = J portanto, 3 Na onde t=0, 2 Determine da parábola y= x2 (1,1) e (2,4). = (L, = (0,2) = V1 + = ? K 120 = 2) = 0 k K= 2 3No onde x como r(x)= = xi V1 r"(x)= L 0 K= 0 0, Vetores Normal e Binormal N(T) Em ponto dado de uma existem ortogonais vetor tangente B(t) Em particular Como N|t) T e ortogonal a T' = 1 B(1) 1 T (t) = 1 (t). (t) Podemor vetor normal unitario vetor = veter l perpendicular a Te Ne tamben Exemplo:- vetores normal e de = (cost, para