001-EXERCICIOS AULA 3

Prévia do material em texto

1. 
 
 
Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a 
direção do vetor v=(-4,-1,3). 
 
 
x=-4+t 
y=-2-t 
z=3-5t 
 
x=2-4t 
y=-t 
z=5+3t 
 
 
x=2t 
y=-3t 
z=5t 
 
 
x=t 
y=2t 
z=5+3t 
 
 
x=-4+2t 
y=-1 
z=3+5t 
 
 
 
Explicação: 
As equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por: 
x=x'+x"t 
y=y'+y"t 
z=z'+z"t 
BAsta então substituir os valores dados para se obter as equações. 
 
 
 
 
 
2. 
 
Determine as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A(5,-2,3) e tem a 
direção do vetor v=(4,-4,-7). 
 
 
x-5 / -4 = y-2 / -4 = z+3 / 7 
 
 
x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 / 7 
 
x-5 / 4 = y+2 / -4 = z-3 / -7 
 
 
x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3 
 
 
x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3 
 
 
 
Explicação: 
As equações simétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por x-x' / x" = y-y' /y" = 
z-z' / z". 
Basta então substituir os valores dados para se obter a equações pedidas. 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1, 
8) e B(-5, -1) defina a equação geral da reta que passa pelos pontos. 
 
 
7 x + 3y + 1 = 0 
 
 
3x + 2y + 2= 0 
 
 
x + 55 y + 2 = 0 
 
 
x - 7 y + 3 = 0 
 
9x - 4y + 41 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1, 8) e B(-5, -1) defina a equação geral da reta que 
passa pelos pontos. 
y - y0 = m (x - x0) 
m =(8-(-1) )/ (-1 -(-5)) = 9/4 
y - (-1) = 9/4 (x - (-5)) 
y + 1 = 9/4 (x+5) 
y + 1 = 9/4 x + (9/4) 5 
4y + 4 = 9 x + 45 
-4y + 9x - 4 + 45 = 0 
9x - 4y + 41 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1,8) 
e B(-5,-1), defina a equação geral da reta que passa pelos pontos. 
 
 
x+55y+2=0x+55y+2=0 
 
 
7x+3y+1=07x+3y+1=0 
 
 
3x+2y+2=03x+2y+2=0 
 
 
x−7y+3=0x−7y+3=0 
 
9x−4y+41=09x−4y+41=0 
 
 
 
Explicação: 
 x y 1 x y 
-1 8 1 -1 8 
-5 -1 1 -5 -1 
Teremos, 
(-40) (-x) (-y) (8x) (-5y) (1) 
.: 8x -5y + 1 + 40 + x + y = 0 
9x - 4y + 41 = 0 
 
 
 
 
 
5. 
 
Os pontos A(a,2) e B(0,b) pertencem à reta (r): 2x+y-6 = 0. Qual a distância entre os 
pontos A e B? 
 
 
4V5 
 
 
8V5 
 
 
V5 
 
 
3V5 
 
2V5 
 
 
 
Explicação: 
A pertence a r -> 2a+2-6=0 -> a=2 => A(2,2) 
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 => B(0,6) 
 
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)² = V4+16 = V20 = 2V5 
 
 
 
 
 
6. 
 
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por: 
 
 
-70x + 19y + 123 = 0 
 
-69x + 20y + 123 = 0 
 
 
-68x + 19y + 122 = 0 
 
 
70x - 21y - 124 = 0 
 
 
-69x + 21y - 122 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Na equação genérica da reta no R² (ax + by + c = 0) substituir as coordenadas dos dois pontos dados da reta. Resolver o sistema formado 
(2 equações para as 2 incógnitas - a e b) e determinar a equação da reta pedida 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Obter a equação geral da reta representada pelas equações paramétricas: 
x = t + 9 
y = t - 1 
 
 
x-y+10= 0 
 
 
2x-y+20=0 
 
x-y-10=0 
 
 
x+y-10=0 
 
 
x-2y-20=0 
 
 
 
Explicação: 
Isolando o parâmetro t: 
x = t + 9 
t = x - 9 
 x = t + 9 
 x = (y + 1) + 9 
 x = y + 1 + 9 
 x = y + 10 
 ← 
x - y - 10 = 0 
 
Equação Geral da Reta: x - y + 10 = 0 
 
 
 
 
 
8. 
 
Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(4,2) e tem inclinação de 45° com 
eixo das abscissas. 
 
 
y = x + 2 
 
 
y = - x - 1 
 
 
y = - x - 2 
 
 
y = x - 1 
 
y = x - 2 
 
 
 
Explicação: 
y = ax + b (equação geral da reta), onde a = coeficiente angular = tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abscissas 
No exercício a = tg 45º = 1 
y = x + b 
Como P (4, 2) pertence a reta, 
2 = 4 + b -> b = -2 
y = x - 2 
 
 
 
1. 
 
 
A equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(0,1) e B(6,8) é dada por: 
 
 
y=67x+1y=67x+1 
 
 
y=7x+1y=7x+1 
 
 
y=7x+16y=7x+16 
 
 
y=6x+1y=6x+1 
 
y=76x+1y=76x+1 
 
 
 
Explicação: 
I)m=8−16−0m=76I)m=8−16−0m=76 
II)q;A(0,1)y=mx+q1=76.0+q1=0+qq=1II)q;A(0,1)y=mx+q1=76.0+q1=0+qq=1 
III)y=76x+1III)y=76x+1 
 
 
 
 
 
2. 
 
Seja os pontos: A (-1,-1, 2), B (2, 1, 1) e C (M, -5, 3). Para qual valor de M o triângulo 
ABC é retângulo em A? 
 
 
0 
 
 
6 
 
2 
 
 
3 
 
 
8 
 
 
 
Explicação: 
seja AB.AC=0 
 
AB= (3,2, -1) e AC= ( M+1, -4,1), vem 
3 (M+1) +M+ 2(-4) -1(1)=0 
3M+ 3 -8 -1=0 
3M= 6 
M= 2 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determinar o valor de m para que as retas r: y=mx-5 e s: x=-2+t sejam 
ortogonais. 
 z=-3x y=4-2t 
 z=5t 
 
 
-15/2 
 
 
-9/2 
 
 
-11/2 
 
 
13/2 
 
 
7/2 
 
 
 
Explicação: 
Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente u=(1,m,-3) e v=(1,-2,5) 
Para que as retas sejam ortogonais devemos ter: u.v=0 
Daí: (1,m,-3).(1,-2,5)=0 -> 1-2m-15=0 -> -2m=15 -> m=-15/2 
 
 
 
 
 
4. 
 
Um pesquisador não conhece as coordenadas de P(m, 1, n) mas sabe que P pertence a 
reta que passa por A(3,-1,4) e B (4,-3,-1). Podemos definir que P é: 
 
 
P (3,4,5) 
 
 
P (4,2,1) 
 
 
P (3,3,1) 
 
P (2,1,9) 
 
 
P(0,1,3) 
 
 
 
Explicação: 
O ponto P(m, 1,n) pertence a reta que passa por A(3,-1,4) e B (4,-3,-1) , Determine P 
Temos o vetor AB = B - A = (4,-3,-1) - (3,-1,4)= (1,-2,-5) 
Com o vetor AB escrevemos a reta: t . AB 
Como P pertence a reta entao AP = P - A = ( m -3,1 - (-1), n - 4) = (m - 3, 2, n - 4) 
Como AP é paralelo a AB entao AP = t AB 
Entao temos o sistema: 
m -3 = 1 t 
1+1 = - 2 t 
n- 4 = -5 t 
Portanto -2 t = 2 entao t = -1 
m - 3 = 1 (-1) entao m = 2 
n - 4 = - 5 (-1) entao n = 9 
P ( 2,1,9) 
 
 
 
 
 
5. 
 
Dois carros percorrem estradas diferentes representadas pelas retas 3x - y + 1 = 0 e 2x 
- y + 5 = 0. Estas estradas se interceptam no ponto P. Determine o ponto P de 
interseção entre as retas. 
 
 
P (4,13) 
 
 
P(9,3) 
 
 
P(3,2) 
 
 
P(5,6) 
 
 
P(2,2) 
 
 
 
Explicação: 
Transformando as equações na forma reduzida: 
3x - y + 1 = 0 
y = 3x + 1 
E 
2x - y + 5 = 0 
y = 2x + 5 
Devemos resolver o seguinte sistema: 
y = 3x + 1 
y = 2x + 5 
Subtraindo a segunda da primeira equação: 
y ¿ y = 3x + 1 - (2x + 5) 
0 = 3x + 1 - 2x - 5 
0 = x - 4 
x = 4 
Substituindo da primeira equação: 
y = 3x + 1 
y = 3.4 + 1 
y = 12 + 1 
y = 13 
O ponto de interseção das retas é o ponto (4, 13). 
 
 
 
 
 
6. 
 
Considere o paralelogramo determinado pelos vetores v = (0,-1,-1) e s = (-3,5,8). A 
área desse quadrilátero é igual a um múltiplo k da raiz de três. O valor de k é igual a: 
 
 
5 
 
 
2 
 
 
4 
 
3 
 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
O produto vetorial de v x s será dado pelo vetor u: - 3i + 3j - 3k 
Assim, a área do paralelogramo será o módulo do vetor u. 
Logo: A = 3√ 3 3 
 
 
 
 
 
7. 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (1, 0, 1) 
 
 
x= 1+t , y = -2 , z = t 
 
 
x= -1-t , y = -2 , z = t 
 
 
x= -1+t , y = 2 , z = t 
 
 
x= -1+t , y = -2 , z = t 
 
 
x= -1+t , y = -2 , z = -t 
 
 
 
Explicação: 
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t 
y=-2 
z=t 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
O ângulo formado entre os vetores v = (-3,2) e u = (0,6) será aproximadamente igual 
a: 
 
 
65,66o 
 
 
12,77o 
 
 
22,56o 
 
56,31o 
 
 
90,05o 
 
 
 
Explicação: 
O ângulo será calculado aplicando-se a fórmula: 
cos x = (v . u) / (v . u) 
Onde: v e u são os módulos dos vetores 
(-3,2) . (0,6) = (-3) . 0 + 2 . 6 = 12 
v = √ 13 13u = 6 
 
1. 
 
É importante ressaltar que a equação vetorial da reta no R³ não é única. A 
equação vetorial no R³ da reta que passa pelo ponto P(xp, yp, zp) e tem a direção 
do vetor v é dada por (x, y, z) = (xp, yp, zp) + t. (xv, yv, zv). Com base nessas 
informações, determine a equação vetorial da reta no R³ que passe pelo ponto P 
(1, 2, 3) e tenha a direção do vetor v = (1, 2, 4). 
 
 
(x, y, z) = (1, 0, 3) + t.(1, 2, 0) 
 
 
(x, y, z) = (1, 2, -3) + t.(2, 2, 4) 
 
 
(x, y, z) = (0, 2, 3) + t.(1, 2, -4) 
 
 
(x, y, z) = (1, 2, -3) + t.(1, -2, 4) 
 
(x, y, z) = (1, 2, 3) + t.(1, 2, 4) 
 
 
 
Explicação: 
(x, y, z) = (1, 2, 3) + t.(1, 2, 4) 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,0, 1 ) que tem a 
direção do vetor (1, 1, 1) 
 
 
x= -2+t ; y = t ; z = 1+t 
 
 
x= -2+t ; y = -t ; z = 1+t 
 
 
x= -2-t ; y = t ; z = 1+t 
 
 
x= 2+t ; y = t ; z = 1+t 
 
 
x= -2+t ; y = t ; z = -1+t 
 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: (x,y,z)=(-2,0,1) + t(1,1,1) 
Daí, as equações paramétricas da reta serão: x=-2+t , y=t , z=1+t. 
 
 
 
 
 
3. 
 
Qual o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u = (-3,-3,-3), v = (0,4,9) e t = 
(-1,2,7)? 
 
 
10 
 
 
5 
 
15 
 
 
20 
 
 
30 
 
 
 
Explicação: 
O volume do paralelepípedo é definido por: 
V = |u,v,t| 
-3 -3 -3 
0 4 9 
-1 2 7 
O módulo do determinante da matriz será equivalente ao volume. Logo: V = 15 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1,8) 
e B(-5,-1), defina a equação geral da reta que passa pelos pontos. 
 
 
x−7y+3=0x−7y+3=0 
 
 
3x+2y+2=03x+2y+2=0 
 
9x−4y+41=09x−4y+41=0 
 
 
7x+3y+1=07x+3y+1=0 
 
 
x+55y+2=0x+55y+2=0 
 
 
 
Explicação: 
 x y 1 x y 
-1 8 1 -1 8 
-5 -1 1 -5 -1 
Teremos, 
(-40) (-x) (-y) (8x) (-5y) (1) 
.: 8x -5y + 1 + 40 + x + y = 0 
9x - 4y + 41 = 0 
 
 
 
 
 
5. 
 
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por: 
 
 
-69x + 20y + 123 = 0 
 
 
-69x + 21y - 122 = 0 
 
 
-70x + 19y + 123 = 0 
 
 
70x - 21y - 124 = 0 
 
 
-68x + 19y + 122 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Na equação genérica da reta no R² (ax + by + c = 0) substituir as coordenadas dos dois pontos dados da reta. Resolver o sistema formado 
(2 equações para as 2 incógnitas - a e b) e determinar a equação da reta pedida 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1, 
8) e B(-5, -1) defina a equação geral da reta que passa pelos pontos. 
 
 
7 x + 3y + 1 = 0 
 
 
3x + 2y + 2= 0 
 
 
x - 7 y + 3 = 0 
 
9x - 4y + 41 = 0 
 
 
x + 55 y + 2 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1, 8) e B(-5, -1) defina a equação geral da reta que 
passa pelos pontos. 
y - y0 = m (x - x0) 
m =(8-(-1) )/ (-1 -(-5)) = 9/4 
y - (-1) = 9/4 (x - (-5)) 
y + 1 = 9/4 (x+5) 
y + 1 = 9/4 x + (9/4) 5 
4y + 4 = 9 x + 45 
-4y + 9x - 4 + 45 = 0 
9x - 4y + 41 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a 
direção do vetor v=(-4,-1,3). 
 
 
x=-4+t 
y=-2-t 
z=3-5t 
 
x=2-4t 
y=-t 
z=5+3t 
 
 
x=-4+2t 
y=-1 
z=3+5t 
 
 
x=2t 
y=-3t 
z=5t 
 
 
x=t 
y=2t 
z=5+3t 
 
 
 
Explicação: 
As equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por: 
x=x'+x"t 
y=y'+y"t 
z=z'+z"t 
BAsta então substituir os valores dados para se obter as equações. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Os pontos A(a,2) e B(0,b) pertencem à reta (r): 2x+y-6 = 0. Qual a distância entre os 
pontos A e B? 
 
 
8V5 
 
2V5 
 
 
4V5 
 
 
3V5 
 
 
V5 
 
 
 
Explicação: 
A pertence a r -> 2a+2-6=0 -> a=2 => A(2,2) 
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 => B(0,6) 
 
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)² = V4+16 = V20 = 2V5 
 
1. 
 
Obter a equação geral da reta representada pelas equações paramétricas: 
x = t + 9 
y = t - 1 
 
 
x-y+10= 0 
 
x-y-10=0 
 
 
x-2y-20=0 
 
 
2x-y+20=0 
 
 
x+y-10=0 
 
 
 
Explicação: 
Isolando o parâmetro t: 
x = t + 9 
t = x - 9 
 x = t + 9 
 x = (y + 1) + 9 
 x = y + 1 + 9 
 x = y + 10 
 ← 
x - y - 10 = 0 
 
Equação Geral da Reta: x - y + 10 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A(5,-2,3) e tem a 
direção do vetor v=(4,-4,-7). 
 
 
x-5 / 4 = y+2 / -4 = z-3 / -7 
 
 
x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3 
 
 
x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3 
 
 
x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 / 7 
 
 
x-5 / -4 = y-2 / -4 = z+3 / 7 
 
 
 
Explicação: 
As equações simétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por x-x' / x" = y-y' /y" = 
z-z' / z". 
Basta então substituir os valores dados para se obter a equações pedidas. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(4,2) e tem inclinação de 45° com 
eixo das abscissas. 
 
 
y = - x - 1 
 
 
y = - x - 2 
 
 
y = x + 2 
 
 
y = x - 1 
 
y = x - 2 
 
 
 
Explicação: 
y = ax + b (equação geral da reta), onde a = coeficiente angular = tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abscissas 
No exercício a = tg 45º = 1 
y = x + b 
Como P (4, 2) pertence a reta, 
2 = 4 + b -> b = -2 
y = x - 2 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Seja os pontos: A (-1,-1, 2), B (2, 1, 1) e C (M, -5, 3). Para qual valor de M o triângulo 
ABC é retângulo em A? 
 
 
8 
 
 
6 
 
2 
 
 
3 
 
 
0 
 
 
 
Explicação: 
seja AB.AC=0 
 
AB= (3,2, -1) e AC= ( M+1, -4,1), vem 
3 (M+1) +M+ 2(-4) -1(1)=0 
3M+ 3 -8 -1=0 
3M= 6 
M= 2 
 
 
 
 
 
5. 
 
Dois carros percorrem estradas diferentes representadas pelas retas 3x - y + 1 = 0 e 2x 
- y + 5 = 0. Estas estradas se interceptam no ponto P. Determine o ponto P de 
interseção entre as retas. 
 
 
P(2,2) 
 
 
P(3,2) 
 
P (4,13) 
 
 
P(9,3) 
 
 
P(5,6) 
 
 
 
Explicação: 
Transformando as equações na forma reduzida: 
3x - y + 1 = 0 
y = 3x + 1 
E 
2x - y + 5 = 0 
y = 2x + 5 
Devemos resolver o seguinte sistema: 
y = 3x + 1 
y = 2x + 5 
Subtraindo a segunda da primeira equação: 
y ¿ y = 3x + 1 - (2x + 5) 
0 = 3x + 1 - 2x - 5 
0 = x - 4 
x = 4 
Substituindo da primeira equação: 
y = 3x + 1 
y = 3.4 + 1 
y = 12 + 1 
y = 13 
O ponto de interseção das retas é o ponto (4, 13). 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere o paralelogramo determinado pelos vetores v = (0,-1,-1) e s = (-3,5,8). A 
área desse quadrilátero é igual a um múltiplo k da raiz de três. O valor de k é igual a: 
 
 
3 
 
 
5 
 
 
4 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
 
Explicação: 
O produto vetorial de v x s será dado pelo vetor u: - 3i + 3j - 3k 
Assim, a área do paralelogramo será o módulo do vetor u. 
Logo: A = 3√ 3 3 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (1, 0, 1) 
 
 
x= -1+t , y = 2 , z = t 
 
 
x= -1+t , y = -2 , z = -t 
 
 
x= -1-t , y = -2 , z = t 
 
x= 1+t , y = -2 , z = t 
 
 
x= -1+t , y = -2 , z = t 
 
 
 
Explicação: 
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t 
y=-2 
z=t 
 
 
 
 
 
8. 
 
O ângulo formado entre os vetores v = (-3,2) e u = (0,6) será aproximadamente igual 
a: 
 
 
12,77o 
 
56,31o 
 
 
65,66o 
 
 
22,56o 
 
 
90,05o 
 
 
 
Explicação: 
O ângulo será calculado aplicando-se a fórmula: 
cos x = (v . u) / (v . u) 
Onde: v e u são os módulos dos vetores 
(-3,2) . (0,6) = (-3) . 0 + 2 . 6 = 12 
v = √ 13 13 
u = 6