Matemática Ciências e Aplicações V3-103-105

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15 (Fuvest-SP) Determine a equação da reca que passa pelo pomo PC2, 3) e pelo ponto O, simétrico de P em relação ã erigem.
16 Os coeficientes linear u e angular m da reta s são tais que 2n = 3m. e .s passa pelo ponto (-6, t). Determine sua equação, na forma reduzida.
17 Quais as equações das retas r e s da figura ao lado? Obtenha o ponto / de interseção de r com .v.
A equação geral da reta
Consideremos a reta r, caracterizada por dois de seus pontos, A (x„ y,) e B (x2, y2). 
Sendo P(x, y) um ponto genérico de r, os 
pontos A,B e P respeitam a condição de alinha­
mento:
= 0X| Yi
x? y?
X y
Desenvolvendo:
x, y 3 + xy, + x ,y - x y , - x ; y ,- x ,y = 0 e 
x (y , - y .) + y [x , - x .) + (x .y , - x ; y,)̂ = 0
Lembrando que x,, x2, y, e y, são valores reais fixos, podemos fazer: 
y, - y, = a, x2 - x, = b e x. y2- x 2y =c
Assim, teremos:
ax + by + c = 0 ,
chamada forma geral da equação da reta.
Por extensão, dizemos que qualquer equação do 19grau com duas variáveis, do tipo 
ax + by + c = 0, com a, b, c G R, representa a equação de uma reta, sendo x e y as 
coordenadas de um ponto genérico da reta.
|(.‘A: U tNClA C APlirAÇflFS
Exemplo 1
Obter a equação geral da reta s que passa pelos 
pontos A(2, —1) e B(l, 3) equivale a resolver a equação:2 - 1 11 3 1
X y i 0,que é a condição de alinhamento de
A, Be P(x, y), ponto genérico de s, ou seja, ponto variável 
que pode percorrer a reta s.
Temos 6 - x + y - 3 x - 2 y + 1= 0=> -4x - y + 7 
que equivale a s: 4x + y - 7 = 0
0,
A equação da reta r: 2x - y + 1 = 0 apresenta os coeficientes a = 2, b = - l e c = 1 . 
O ponto P(l, 3) pertence a r, pois 2 . 1 - 3 + 1 = 0, e r também passa por Q(2, 5), pois 
2 • 2 - 5 + 1 = 0.
Já o ponto T (-3 ,2) não pertence a r, pois 2 ■ (-3) - 2 + 1 * 0 ; tampouco r passa pela 
origem, pois 2 ■ 0 - 0 + 1 * 0.
Para obtermos o ponto M em que r intercepta o eixo das abscissas, basta fazer y = 0 
na equação de r:
2 x - 0 + 1 = 0=>x = - j => MÍ- y ,°J
Da mesma forma, fazendo x = 0, obtemos:
2 - 0 - y + l = 0 = > y = 1
Assim, N(0, 1) é o ponto em que r corta o eixo y.
18 Encontre a forma geral da equação da reLa que passa pelos pontos dados, em cada caso:a) (1. 3) e (2, -3 ) 0 (-4 , 3) e (1, -2)b) (0. 0) e (-5. -4 ) d) (1, 1) e (-2, -4 )
19 Verifique se a reta r: 3x - 4y — 2 = 0 passa pelos pontos:a) 0(0, 0) d) R(-3, -2)b) F(—1, 0) e) S(2,l)
o q (44 )
21 A reta r é horizontal e passa por P(l, 3). Qual é a equação geral de r? E a equação reduzida?
22 Ache a equação geral da reta vertical que passa por (-1, -8).
23 Qual a forma reduzida da equação da reta 2x + 6y - 8 = 0?
24 Encontre a equação geral da reta r que passa por A(2, 3) e pelo ponto médio do segmento BC, sendo B(—5, —5) e C(l, -1). A reta r passa pela origem?
25 Dados os pontos A(3, 2), B(-3, —3), cfl, ̂ ] e —1, 4), ache a equaçãogeral de cada reta determinada por eles. O que pode ser afirmado sobre a posição relativa dos pontos?
26 Obtenha a equação geral da reta que passa por (-4 , 3) e tem declividade igual a -3 .
MATlMÀTlCA: ClÉNClA £ APLlClAÇÚfS