Matemática Ciências e Aplicações V3-097-099

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O Introdução
Em Geometria Analítica, 
uma reta é representada por 
uma equação. Há diferentes 
formas para apresentar a equa­
ção da mesma reta. Neste capí­
tulo daremos ênfase especial 
a duas destas formas, que são 
as mais utilizadas:a forma redu 
zida e a forma geral da equa­
ção da reta. Essas equações 
estabelecem a relação entre as 
coordenadas dos pontos da 
reta.
Elas serão apresentadas considerando-se o princípio de determinação de uma reta 
no plano.
Para que uma reta fique 
perfeitamente determinada, é 
necessário que seja satisfeita 
uma das condições:
1?) Dois de seus pontos sejam 
conhecidos.
2?) Um ponto da reta e sua di­
reção sejam conhecidos.
De fato, se são dados A e 
6, dois pontos distintos do pla­
no, é única a reta r que passa 
por eles.
MA 1F MÁ MCA: CIÉMCIA fc APLlCAÇÜCS
Por outro lado, se é conhecido um ponto P da reta r, da qual se sabe também a 
direção, fica determinada a reta r.
y
• p
X
9 representa a direção de r, expressando o 
angulo que a reta forma com o eixo das 
abscissas, no seu sentido oositivo.
O A equação reduzida da reta
Suponhamos que a reta r, que passa por P(x, y) e forma ângulo 0 com o eixo das 
abscissas, conforme a figura, corte o eixo das ordenadas no ponto Q(0, n).
No triângulo PQR, retângulo em R, temos:
tqQ _ cateto oposto a 6 _ PR _ y - n _ y - n
' cateto adjacente a 0 QR x - 0 x
Fazenco tg0 = m, podemos escrever m =
ou y = mx + n
Daqui em diante utilizaremos a notação "r: y =mx + n" significando que a equação 
da reta r é y = mx + n.
Esta última expressão é chamada forma reduzida da equação da reta r,ou simplesmente 
equaçào reduzida da reta r, na qual m, n £ R e:
• m representa a tangente do ângulo 0 formado entre a reta r e o eixo das abscissas, no 
seu sentido positivo; m é chamado coeficiente angular (ou declividade) da reta r;
■ n representa a ordenada do ponto em que a reta r corta o eixo das ordenadas; n é 
chamado coef/ciente linear de r;
• x e y são as coordenadas de um ponto genérico da reta r.
A KM A 95
Observações1') Se a reta r é horizontal, ela forma ângu­lo nulo com o eixo das abscissas; assim, m = tgO° = 0 e a equação reduzida da reta torna-se simplesmente y = n.
2a) Se a reta r é vertical, ela forma ângulo reto com o eixo das abscissas; como não existe tg 90°. é impossível escrever a for­ma reduzida da equação de qualquer reta vertical.
y
n
d r
0 X
y r
x
Exemplo 1
A reta r da figura passa pelos pontos A(2, 3) e 
B(3, 5). Temos;
X yA 2 3B 3 5
Para determinar a equação reduzida de r, podemos inicialmente calcular o seu coefi­
ciente angular mr usando, para isso, o triângulo ABC:
mr= tge = - f ^ = - f f f ^ mr= 2
Dessa forma, a equação de r pode ser escrita provisoriamente como y = 2x+n.
Para o cálculo de n, basta substituir na equação as coordenadas de qualquer ponto 
conhecido da reta, utilizando o ponto B:
5 = 2- 3 + n = > n = —1
Finalmente, r: y = 2x - 1. 
Lembre-se:
A G r => yA = 2xA - 1; de fato, 3 = 2 - 2 - 1
MATEM ATI CA: ÇlENCIA [ AfLlCAÇGCS