GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR

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1. 
 
 
O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o 
ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado 
pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. 
 
 
10 u.c 
 
 
7 u.c 
 
√ 58 u.c58u.c 
 
 
1 u.c 
 
 
6 u.c 
 
 
 
Explicação: 
O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida 
pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. 
Vetor AB = B - A = (3,-2) - (0,5) = (3-0, -2 -5) = (3,-7) 
Modulo de AB que irá representar a distância = √ (3−0)2+(−2−5)2 (3−0)2+(−2−5)2= √ 32+(−7)2 =√ 58 u.c32+(−7)2=58u.c 
 
 
 
 
 
2. 
 
Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, 
os valores de m e n para que os vetores sejam iguais. 
 
 
2/3 e -2 
 
 
-1 e 0 
 
0 e 1/2 
 
 
1 e 2/3 
 
 
-1 e 1/2 
 
 
 
Explicação: 
2 + m = 2 
3 + 2n = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores 
são ortogonais ? 
 
 
2/5 
 
8/3 
 
 
-8/3 
 
 
-3/2 
 
 
3/2 
 
 
 
Explicação: 
O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o 
valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-
1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: 
 
 
O vetor P pode ser P(0,1,0) ou P(0,0,5) 
 
 
O vetor P pode ser P(0,0,1) ou P(0,3,2) 
 
 
O vetor P pode ser P(0,2,3) ou P(1,0,4) 
 
O vetor P pode ser P(0,0,0) ou P(0,0,-4) 
 
 
O vetor P pode ser P(1,0,0) ou P(0,0,0) 
 
 
 
Explicação: 
Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O 
pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: 
√ (0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2 =3entaoz2+4z+9=9(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9 
z = - 4 e z = 0 
Portanto P = (0,0,0) ou P (0,0,-4) 
 
 
 
 
 
5. 
 
Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4) 
 
 
 
45° 
 
 
60° 
 
0° 
 
 
30° 
 
 
90° 
 
 
 
Explicação: 
u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26 
!!u!!=V3²+2²=V9+4=V13 
!!v!!=V6²+4²=V36+16=V52=2V13 
 
Então: cos A= u.v / !!u!!.!!v!! = 26 /V13.2V13 = 1 => A=0° 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u =(2,3, -1) sendo sua 
extremidade o ponto B = (0, 4,2). 
 
 
A=(-2, 1, 3) 
 
 
A=(-2, -1, 3) 
 
 
A=(4, 1, -3) 
 
 
A=(2, 1, 3) 
 
 
A=(4, 1, 3) 
 
 
 
Explicação: 
u = AB = B - A -> A = B - u 
 
 
 
 
 
7. 
 
Marque a alternativa correta 
 
 
Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção. 
 
 
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou 
colineares. 
 
As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu sentido. 
 
 
Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas. 
 
 
Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas. 
 
 
 
Explicação: 
Definições no conteúdo online 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Sendo dados os vetores a=(1,1) , b=(1,0) e c=(0,1), calcule o ângulo entre os vetores 
a-c e c-b. 
 
 
180° 
 
 
120° 
 
 
0° 
 
 
270° 
 
135° 
 
 
 
Explicação: 
a-c=(1,1)-(0,1)=(1,0) 
c-b=(0,1)-(1,0)=(-1,1) 
(a-c).(c-b)=(1,0).(-1,1)=-1 
!!a-c!!=V1²+0²=1 
!!c-b!!=V(-1)²+1²=V2 
Logo: cos A=(a-c).(c-b) / !!a-c!!.!!c-b!! = -1 / 1.V2 = -V2/2 => Â=135° 
 
 
1. 
 
Um carro percorre uma distância de 72 km ao longo de uma estada, no 
sentido sul-norte, depois pega uma estrada secundária, percorrendo mais 
65 km, no sentido leste-oeste. Calcule o módulo do deslocamento 
resultante. 
 
 
30 
 
 
90 
 
 
72 
 
 
87 
 
97 
 
 
 
Explicação: 
c2=a2+b2 
c2=a2+b2 
c2=722+652 
c2=722+652 
c2=5184+4225 
c2=5184+4225 
c=9409 
√c=9409 
c = 97 km 
O vetor resultante tem módulo 97 quilômetros. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere o triângulo ABC definido pelos segmentos AB, BC e CA. Se A = (0,0), B = (-
5,5) e C = (4,7), qual o perímetro aproximado do triângulo ABC? 
 
 
24,35 
 
 
28,85 
 
 
20,05 
 
 
22,50 
 
 
32,54 
 
 
 
Explicação: 
AB = B - A = (-5,5) - (0,0) = (-5,5). Módulo de AB = 5√ 2 52 
BC = C - B = (4,7) - (-5,5) = (9,2). Módulo de BC = √ 85 85 
CA = (0,0) - (4,7) = (-4,-7). Módulo de CA = √ 65 65 
Perímetro: 5√ 2 +√ 85 +√ 65 52+85+65 
Ou seja, aproximadamente 24,35 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (3,-2) até 
o ponto B (-3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser 
representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. 
 
 
10 u.c 
 
 
7 u. c 
 
6 u. c 
 
 
8 u. c 
 
 
1 u. c 
 
 
 
Explicação: 
O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (3,-2) até o ponto B (-3,-2). Sabendo que a distância 
percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. 
√ (−3−3)2+(−2−(−2))2 =√ (−6)2+02 =6u.c(−3−3)2+(−2−(−2))2=(−6)2+02=6u.c 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determinar o módulo do vetor 2AB-3BC sendo A=(-1,4) , B=(3,2) e C=(-2,5). 
 
 
(18,-28) 
 
(23,-13) 
 
 
(21,-11) 
 
 
(15,13) 
 
 
(-29,-10) 
 
 
 
Explicação: 
AB=B-A=(3,2)-(-1,4)=(4,-2) 
BC=(-2,5)-(3,2)=(-5,3) 
2AB-3BC=2(4,-2)-3(-5,3)=(8,-4)-(-15,9)=(23,-13) 
 
 
 
 
 
5. 
 
Sabendo que a distância percorrida por uma partícula é o módulo do vetor que 
representa essa distância. Calcule a distância do vetor T(-12,9) a origem. 
 
 
15 u.c 
 
 
4 u.c 
 
 
5 u.c 
 
 
200 u.c 
 
 
2 u.c 
 
 
 
Explicação: 
O modulo do vetor T(-12,9) a origem será 
√ (−12−0)2+(9−0)2 =15u.c(−12−0)2+(9−0)2=15u.c 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sendo dados os vetores a=(1,1) , b=(1,0) e c=(0,1), calcule o ângulo entre os vetores 
a-c e c-b. 
 
 
270° 
 
 
180° 
 
 
120° 
 
135° 
 
 
0° 
 
 
 
Explicação: 
a-c=(1,1)-(0,1)=(1,0) 
c-b=(0,1)-(1,0)=(-1,1) 
(a-c).(c-b)=(1,0).(-1,1)=-1 
!!a-c!!=V1²+0²=1 
!!c-b!!=V(-1)²+1²=V2 
Logo: cos A=(a-c).(c-b) / !!a-c!!.!!c-b!! = -1 / 1.V2 = -V2/2 => Â=135° 
 
 
 
 
 
7. 
 
Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u =(2,3, -1) sendo sua 
extremidade o ponto B = (0, 4,2). 
 
 
A=(-2, 1, 3) 
 
 
A=(4, 1, 3) 
 
 
A=(-2, -1, 3) 
 
 
A=(2, 1, 3) 
 
 
A=(4, 1, -3) 
 
 
 
Explicação: 
u = AB = B - A -> A = B - u 
 
 
 
 
 
8. 
 
Marque a alternativa correta 
 
 
Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas. 
 
As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu sentido. 
 
 
Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas. 
 
 
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou 
colineares. 
 
 
Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção. 
 
 
 
Explicação: 
Definições no conteúdo online 
 
 
 
1. 
 
 
O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) 
até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser 
representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. 
 
 
7 u.c 
 
√ 58 u.c58u.c 
 
 
10 u.c 
 
 
6 u.c 
 
 
1 u.c 
 
 
 
Explicação: 
O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida 
pelo carteiroLogo, são apenas dois pontos. 
Letra C. 
 
 
 
 
 
5. 
 
A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz à 
desigualdade x2−32x+252x2−32x+252pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. 
Vetor AB = B - A = (3,-2) - (0,5) = (3-0, -2 -5) = (3,-7) 
Modulo de AB que irá representar a distância = √ (3−0)2+(−2−5)2 (3−0)2+(−2−5)2= √ 32+(−7)2 =√ 58 u.c32+(−7)2=58u.c 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, 
os valores de m e n para que os vetores sejam iguais. 
 
 
-1 e 1/2 
 
 
2/3 e -2 
 
0 e 1/2 
 
 
-1 e 0 
 
 
1 e 2/3 
 
 
 
Explicação: 
2 + m = 2 
3 + 2n = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores 
são ortogonais ? 
 
 
3/2 
 
 
-3/2 
 
 
-8/3 
 
 
2/5 
 
8/3 
 
 
 
Explicação: 
O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
 
 
 
 
4. 
 
Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o 
valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-
1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: 
 
 
O vetor P pode ser P(0,0,0) ou P(0,0,-4) 
 
 
O vetor P pode ser P(0,2,3) ou P(1,0,4) 
 
 
O vetor P pode ser P(1,0,0) ou P(0,0,0) 
 
 
O vetor P pode ser P(0,1,0) ou P(0,0,5) 
 
 
O vetor P pode ser P(0,0,1) ou P(0,3,2) 
 
 
 
Explicação: 
Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O 
pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: 
√ (0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2 =3entaoz2+4z+9=9(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9 
z = - 4 e z = 0 
Portanto P = (0,0,0) ou P (0,0,-4) 
 
 
 
 
 
5. 
 
Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4) 
 
 
30° 
 
 
 
45° 
 
 
60° 
 
0° 
 
 
90° 
 
 
 
Explicação: 
u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26 
!!u!!=V3²+2²=V9+4=V13 
!!v!!=V6²+4²=V36+16=V52=2V13 
 
Então: cos A= u.v / !!u!!.!!v!! = 26 /V13.2V13 = 1 => A=0° 
 
 
 
 
 
6. 
 
Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u =(2,3, -1) sendo sua 
extremidade o ponto B = (0, 4,2). 
 
 
A=(4, 1, -3) 
 
A=(-2, 1, 3) 
 
 
A=(4, 1, 3) 
 
 
A=(2, 1, 3) 
 
 
A=(-2, -1, 3) 
 
 
 
Explicação: 
u = AB = B - A -> A = B - u 
 
 
 
 
 
7. 
 
Marque a alternativa correta 
 
 
Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção. 
 
 
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou 
colineares. 
 
 
Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas. 
 
 
Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas. 
 
As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu sentido. 
 
 
 
Explicação: 
Definições no conteúdo online 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Sendo dados os vetores a=(1,1) , b=(1,0) e c=(0,1), calcule o ângulo entre os vetores 
a-c e c-b. 
 
 
180° 
 
 
270° 
 
 
120° 
 
 
0° 
 
135° 
 
 
 
Explicação: 
a-c=(1,1)-(0,1)=(1,0) 
c-b=(0,1)-(1,0)=(-1,1) 
(a-c).(c-b)=(1,0).(-1,1)=-1 
!!a-c!!=V1²+0²=1 
!!c-b!!=V(-1)²+1²=V2 
Logo: cos A=(a-c).(c-b) / !!a-c!!.!!c-b!! = -1 / 1.V2 = -V2/2 => Â=135° 
 
 
 
 
1. 
 
 
Sejam os vetores v = (0,-3,-4) e s = (-2,5,8). O vetor u = (a,b,c) é definido pela 
expressão 3v - s. Logo, a, b e c valem, respectivamente: 
 
 
20, 14 e 2 
 
 
-20, 2 e -14 
 
 
-14, 2 e -20 
 
2, -14 e -20 
 
 
-2, 14 e 20 
 
 
 
Explicação: 
3 . (0,-3,-4) - (-2,5,8) 
(0,-9,-12) - (-2,5,8) 
(2,-14,-20) 
 
 
 
 
 
2. 
 
O vetor v é definido pelo segmento orientado AB, onde A = (3,5) e B = (6,9). Se o 
vetor s é ortogonal a v e s = (a,-3), qual o valor de a? 
 
 
a = 0 
 
 
a = 2 
 
a = 4 
 
 
a = - 2 
 
 
a = - 4 
 
 
 
Explicação: 
AB = B - A = (6,9) - (3,5) = (3,4) 
(3,4) . (a,-3) = 0 ⇒ 3a - 12 = 0 ⇒ a = 4 
 
 
 
 
 
3. 
 
Qual o valor da soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 12 e 5 
unidade? 
 
 
s=12us=12u 
 
 
s=11us=11u 
 
s=13us=13u 
 
 
s=10us=10u 
 
 
s=9us=9u 
 
 
 
Explicação: 
122+52=|s|2122+52=|s|2 
s=√ 164 s=164 
s=13us=13u 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
Os ângulos (em graus) diretores do vetor v = (0,-3,5) em relação aos eixos x, y e z 
respectivamente são: 
 
 
31 ; 90 ; 121 
 
 
90 ; 90 ; 0 
 
 
121 ; 31 ; 90 
 
 
90 ; 31 ; 121 
 
90 ; 121 ; 31 
 
 
 
Explicação: 
Os ângulos diretores são dados por: 
cos x = x|v|x|v| ⇒ cos x = 0√ 34 034 ⇒ x = 90º 
cos y = y|v|y|v| ⇒ cos y = −3√ 34−334 ⇒ y = 120,96° 
cos z = z|v|z|v| ⇒ cos z = 5√ 34 534 ⇒ z = 30,96º 
 
 
 
 
 
5. 
 
Dados os vetores no plano R2, u = 2 i - 5 j e v = i + j,determine o vetor o vetor 3 u - 2 v 
 
 
3 i - 18 j 
 
 
9 i + 4 j 
 
 
17 i + 6 j 
 
 
12 i - 8 j 
 
4 i - 17 j 
 
 
 
Explicação: 
3u ¿ 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 j 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o 
valor de a? 
 
 
a=3a=3 
 
 
a=12a=12 
 
 
a=−3a=−3 
 
 
a=32a=32 
 
 
a=0a=0 
 
 
 
Explicação: 
y=mx+qy=mx+q 
r:x=−y.:y=−xr:x=−y.:y=−x 
s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3 
−1=−a3−3=−aa=3−1=−a3−3=−aa=3 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Qual o ângulo aproximado formado entre os vetores v = (-3,4,0) e s = (-1,2,5) ? 
 
 
66,32º 
 
 
87,88º 
 
 
76,77º 
 
 
45º 
 
 
55,68º 
 
 
 
Explicação: 
Módulo do vetor v ⇒ 5 
Módulo do vetor s ⇒ √ 30 30 
v . s = (-3,4,0) . (-1,2,5) = 11 
cos x = 115√ 30 11530 
x ≈ 66,32º 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine o valor de m para os vetores u = (5; m) v = ( -15; 25) sejam 
perpendiculares. 
 
 
6 
 
 
9 
 
 
12 
 
3 
 
 
5 
 
 
 
Explicação: 
A para dois vetores sejam perpendiculares é que seu produto escalar seja nulo, portanto: 
U= (5, m) V= (-15, 25) 
-75+25m=0 
25m=75 
m=75/25 
m=3 
 
 
 
1. 
 
Dados os vetores v = (2,2) e u = (0,2), calcule o ângulo entre eles 
 
 
48° 
 
 
46° 
 
 
49° 
 
 
47° 
 
45° 
 
 
 
Explicação: 
cosx=(2,2).(0,2)2√ 8 =42√ 8 cosx=(2,2).(0,2)28=428 
cosx=2√ 8 cosx=28 
x=π4=45°x=π4=45° 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Se u = (x,5) e v = (-2,10) são vetores paralelos, então o valor de x é: 
 
 
x = 1 
 
 
x = -5 
 
x = -1 
 
 
x = 2 
 
 
x = 25 
 
 
 
Explicação: 
Os vetores são proporcionais e não podem se cruzar (paralelos), logo: 
Se em →vv→, y=10y=10 
e em →uu→, y=5y=5 
(temos aqui uma divisão por 2) 
Logo, 
Se em →vv→, x=−2x=−2 
então em →uu→, x=−1x=−1 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
Sejam os vetores v = (3,2), s = (0,5) e t = (-3,-3). O resultado correto da expressão 
3v - 5s + t é dado por: 
 
 
(6,-22) 
 
 
(-22,-6) 
 
 
Nenhuma das alternativas 
 
 
(22,-6) 
 
 
(-6,-22) 
 
 
 
Explicação: 
3 . (3,2) - 5 . (0,5) + (-3,-3) 
(9,6) + (0,-25) + (-3,-3) 
(6,-22) 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calculando a área do paralelogramo definido pelos vetores 2u e -3v sendo u=(-2,0,3) e 
v=(1,-1,0) encontramos: 
 
 
9V17 
 
6V22 
 
 
5V21 
 
 
7V19 
 
 
2V23 
 
 
 
Explicação: 
Chamando de A a área do paralelogramo, temos que: A= !!(2u)x(-3v)!! 
2u=(-4,0,6) 
-3v=(-3,3,0) 
 i j k 
(2u)x(-3v) = -4 0 6 = -18i -18j - 12k = (-18 , -18 , -12) 
 -3 3 0 
 
Daí: A = !!(-18 , -18 , -12)!! = V324+324+144 = V792 = 6V22 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule o ângulo entre os vetores v = (2,2) e u = (0,2). 
 
 
α=44°α=44° 
 
α=45°α=45° 
 
 
α=48°α=48° 
 
 
α=47°α=47° 
 
 
α=46°α=46° 
 
 
 
Explicação: 
I)|v|=√ 22+22 =√ 8 =2√ 2 |u|=√ 02+22 =√ 4 =2II)|u|.|v|=2.2√ 2 =4√ 2 I)|v|=22+22=8=22|u|=02+22=4=2II)|u|.|v|=2.22=42 
III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cosα=44√ 2 cosα=1√ 2 cosα=√ 2 2α=45°III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cosα=442cos α=
12cos	 α=22α=45° 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as 
posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 
1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória 
retilínea que passa pelos pontos A e B. 
 
 
x + 3y - 6 = 0 
 
 
x + y - 3 = 0 
 
 
x + y = 3 
 
 
x - y = 0 
 
x + 2y - 6 = 0 
 
 
 
Explicação: 
 
 
Primeiro, devemos calcular o determinante entre os pontos P(x,y), A(2,2), B(4,1). 
| x y 1 | x y 
| 2 2 1 | 2 2 
| 4 1 1 | 4 1 
Depois, devemos fazer o cálculo do produto das diagonais principais, menos o produto das diagonais secundárias. 
2x+4y+2-8-x-2y=0 
x+2y-6=0 
Gabarito letra b 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
Determine o valor de x para que os vetores sejam paralelos u(x,2) e v(9,6) 
 
 
x=3x=3 
 
 
x=7x=7 
 
 
x=5x=5 
 
 
x=8x=8 
 
 
x=1x=1 
 
 
 
Explicação: 
x9=26x9=26 
6x=186x=18 
x=186x=186 
x=3x=3 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
O vetor v é definido pelo segmento orientado AB, onde A = (3,5) e B = (6,9). Se o 
vetor s é ortogonal a v e s = (a,-3), qual o valor de a? 
 
 
a = - 4 
 
 
a = - 2 
 
a = 4 
 
 
a = 0 
 
 
a = 2 
 
 
 
Explicação: 
AB = B - A = (6,9) - (3,5) = (3,4) 
(3,4) . (a,-3) = 0 ⇒ 3a - 12 = 0 ⇒ a = 4 
 
 
 
1. 
 
Determine o valor de m para os vetores u = (5; m) v = ( -15; 25) sejam 
perpendiculares. 
 
 
5 
 
 
9 
 
3 
 
 
6 
 
 
12 
 
 
 
Explicação: 
A para dois vetores sejam perpendiculares é que seu produto escalar seja nulo, portanto: 
U= (5, m) V= (-15, 25) 
-75+25m=0 
25m=75 
m=75/25 
m=3 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sejam os vetores v = (0,-3,-4) e s = (-2,5,8). O vetor u = (a,b,c) é definido pela 
expressão 3v - s. Logo, a, b e c valem, respectivamente: 
 
 
20, 14 e 2 
 
2, -14 e -20 
 
 
-2, 14 e 20 
 
 
-20, 2 e -14 
 
 
-14, 2 e -20 
 
 
 
Explicação: 
3 . (0,-3,-4) - (-2,5,8) 
(0,-9,-12) - (-2,5,8) 
(2,-14,-20) 
 
 
 
 
 
3. 
 
Qual o valor da soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 12 e 5 
unidade? 
 
 
s=9us=9u 
 
 
s=12us=12u 
 
 
s=11us=11u 
 
 
s=10us=10u 
 
s=13us=13u 
 
 
 
Explicação: 
122+52=|s|2122+52=|s|2 
s=√ 164 s=164 
s=13us=13u 
 
 
 
 
 
4. 
 
Os ângulos (em graus) diretores do vetor v = (0,-3,5) em relação aos eixos x, y e z 
respectivamente são: 
 
 
90 ; 90 ; 0 
 
90 ; 121 ; 31 
 
 
90 ; 31 ; 121 
 
 
31 ; 90 ; 121 
 
 
121 ; 31 ; 90 
 
 
 
Explicação: 
Os ângulos diretores são dados por: 
cos x = x|v|x|v| ⇒ cos x = 0√ 34 034 ⇒ x = 90º 
cos y = y|v|y|v| ⇒ cos y = −3√ 34−334 ⇒ y = 120,96° 
cos z = z|v|z|v| ⇒ cos z = 5√ 34 534 ⇒ z = 30,96º 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dados os vetores no plano R2, u = 2 i - 5 j e v = i + j,determine o vetor o vetor 3 u - 2 v 
 
 
17 i + 6 j 
 
4 i - 17 j 
 
 
12 i - 8 j 
 
 
9 i + 4 j 
 
 
3 i - 18 j 
 
 
 
Explicação: 
3u ¿ 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 j 
 
 
 
 
 
6. 
 
A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o 
valor de a? 
 
 
a=3a=3 
 
 
a=12a=12 
 
 
a=−3a=−3 
 
 
a=0a=0 
 
 
a=32a=32 
 
 
 
Explicação: 
y=mx+qy=mx+q 
r:x=−y.:y=−xr:x=−y.:y=−x 
s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3 
−1=−a3−3=−aa=3−1=−a3−3=−aa=3 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Qual o ângulo aproximado formado entre os vetores v = (-3,4,0) e s = (-1,2,5) ? 
 
 
87,88º 
 
 
76,77º 
 
66,32º 
 
 
55,68º 
 
 
45º 
 
 
 
Explicação: 
Módulo do vetor v ⇒ 5 
Módulo do vetor s ⇒ √ 30 30 
v . s = (-3,4,0) . (-1,2,5) = 11 
cos x = 115√ 30 11530 
x ≈ 66,32º 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
O vetor v é definido pelo segmento orientado AB, onde A = (3,5) e B = (6,9). Se o 
vetor s é ortogonal a v e s = (a,-3), qual o valor de a? 
 
 
a = 2 
 
 
a = - 4 
 
a = 4 
 
 
a = - 2 
 
 
a = 0 
 
 
 
Explicação: 
AB = B - A = (6,9) - (3,5) = (3,4) 
(3,4) . (a,-3) = 0 ⇒ 3a - 12 = 0 ⇒ a = 4 
 
 
1. 
 
 
Dados os vetores v = (2,2) e u = (0,2), calcule o ângulo entre eles 
 
 
48° 
 
 
49° 
 
 
47° 
 
45° 
 
 
46° 
 
 
 
Explicação: 
cosx=(2,2).(0,2)2√ 8 =42√ 8 cosx=(2,2).(0,2)28=428 
cosx=2√ 8 cosx=28 
x=π4=45°x=π4=45° 
 
 
 
 
 
2. 
 
Se u = (x,5) e v = (-2,10) são vetores paralelos, então o valor de x é: 
 
 
x = -5 
 
 
x = 25 
 
 
x = 1 
 
 
x = 2 
 
x = -1 
 
 
 
Explicação: 
Os vetores são proporcionais e não podem se cruzar (paralelos), logo: 
Se em →vv→, y=10y=10 
e em →uu→, y=5y=5 
(temos aqui uma divisão por 2) 
Logo, 
Se em →vv→, x=−2x=−2 
então em →uu→, x=−1x=−1 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Sejam os vetores v = (3,2), s = (0,5) e t = (-3,-3). O resultado correto da expressão 
3v - 5s + t é dado por: 
 
 
(6,-22) 
 
 
(-6,-22) 
 
 
Nenhuma das alternativas 
 
 
(-22,-6) 
 
 
(22,-6) 
 
 
 
Explicação: 
3 . (3,2) - 5 . (0,5) + (-3,-3) 
(9,6) + (0,-25) + (-3,-3) 
(6,-22) 
 
 
 
 
 
4. 
 
Calculando a área do paralelogramo definido pelos vetores 2u e -3v sendo u=(-2,0,3) e 
v=(1,-1,0) encontramos: 
 
 
9V17 
 
 
5V21 
 
 
7V19 
 
6V22 
 
 
2V23 
 
 
 
Explicação: 
Chamando de A a área do paralelogramo, temos que: A= !!(2u)x(-3v)!! 
2u=(-4,0,6) 
-3v=(-3,3,0) 
 i j k 
(2u)x(-3v) = -4 0 6 = -18i -18j - 12k = (-18 , -18 , -12) 
 -3 3 0 
 
Daí: A = !!(-18 , -18 , -12)!! = V324+324+144 = V792 = 6V22 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule o ângulo entre os vetores v = (2,2) e u = (0,2). 
 
 
α=47°α=47° 
 
 
α=48°α=48° 
 
α=45°α=45° 
 
 
α=46°α=46° 
 
 
α=44°α=44° 
 
 
 
Explicação: 
I)|v|=√ 22+22 =√ 8 =2√ 2 |u|=√ 02+22 =√ 4 =2II)|u|.|v|=2.2√ 2 =4√ 2 I)|v|=22+22=8=22|u|=02+22=4=2II)|u|.|v|=2.22=42 
III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cosα=44√ 2 cosα=1√ 2 cosα=√ 2 2α=45°III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cos α=442cos α=
12cos	 α=22α=45° 
 
 
 
 
 
6. 
 
Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as 
posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 
1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória 
retilínea que passa pelos pontos A e B. 
 
 
x + y - 3 = 0 
 
x + 2y - 6 = 0 
 
 
x + y = 3 
 
 
x - y = 0 
 
 
x + 3y - 6 = 0 
 
 
 
Explicação: 
 
 
Primeiro, devemos calcular o determinante entre os pontos P(x,y), A(2,2), B(4,1). 
| x y 1 | x y 
| 2 2 1 | 2 2 
| 4 1 1 | 4 1 
Depois, devemos fazer o cálculo do produto das diagonais principais, menos o produto das diagonais secundárias. 
2x+4y+2-8-x-2y=0 
x+2y-6=0 
Gabarito letra b 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine o valor de x para que os vetores sejam paralelos u(x,2) e v(9,6) 
 
 
x=8x=8 
 
x=3x=3 
 
 
x=1x=1 
 
 
x=7x=7 
 
 
x=5x=5 
 
 
 
Explicação: 
x9=26x9=26 
6x=186x=18 
x=186x=186 
x=3x=3 
 
 
 
 
 
8. 
 
O vetor v é definido pelo segmento orientado AB, onde A = (3,5) e B = (6,9). Se o 
vetor s é ortogonal a v e s = (a,-3), qual o valor de a? 
 
 
a = 2 
 
a = 4 
 
 
a = 0 
 
 
a = - 4 
 
 
a = - 2 
 
 
 
Explicação: 
AB = B - A = (6,9) - (3,5) = (3,4) 
(3,4) . (a,-3) = 0 ⇒ 3a - 12 = 0 ⇒ a = 4 
 
 
 
 
1. 
 
 
Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a 
direção do vetor v=(-4,-1,3). 
 
 
x=-4+t 
y=-2-t 
z=3-5t 
 
x=2-4t 
y=-t 
z=5+3t 
 
 
x=2t 
y=-3t 
z=5t 
 
 
x=t 
y=2t 
z=5+3t 
 
 
x=-4+2t 
y=-1 
z=3+5t 
 
 
 
Explicação: 
As equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por: 
x=x'+x"t 
y=y'+y"t 
z=z'+z"t 
BAsta então substituir os valores dados para se obter as equações. 
 
 
 
 
 
2. 
 
Determine as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A(5,-2,3) e tem a 
direção dovetor v=(4,-4,-7). 
 
 
x-5 / -4 = y-2 / -4 = z+3 / 7 
 
 
x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 / 7 
 
x-5 / 4 = y+2 / -4 = z-3 / -7 
 
 
x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3 
 
 
x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3 
 
 
 
Explicação: 
As equações simétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por x-x' / x" = y-y' /y" = 
z-z' / z". 
Basta então substituir os valores dados para se obter a equações pedidas. 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1, 
8) e B(-5, -1) defina a equação geral da reta que passa pelos pontos. 
 
 
7 x + 3y + 1 = 0 
 
 
3x + 2y + 2= 0 
 
 
x + 55 y + 2 = 0 
 
 
x - 7 y + 3 = 0 
 
9x - 4y + 41 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1, 8) e B(-5, -1) defina a equação geral da reta que 
passa pelos pontos. 
y - y0 = m (x - x0) 
m =(8-(-1) )/ (-1 -(-5)) = 9/4 
y - (-1) = 9/4 (x - (-5)) 
y + 1 = 9/4 (x+5) 
y + 1 = 9/4 x + (9/4) 5 
4y + 4 = 9 x + 45 
-4y + 9x - 4 + 45 = 0 
9x - 4y + 41 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1,8) 
e B(-5,-1), defina a equação geral da reta que passa pelos pontos. 
 
 
x+55y+2=0x+55y+2=0 
 
 
7x+3y+1=07x+3y+1=0 
 
 
3x+2y+2=03x+2y+2=0 
 
 
x−7y+3=0x−7y+3=0 
 
9x−4y+41=09x−4y+41=0 
 
 
 
Explicação: 
 x y 1 x y 
-1 8 1 -1 8 
-5 -1 1 -5 -1 
Teremos, 
(-40) (-x) (-y) (8x) (-5y) (1) 
.: 8x -5y + 1 + 40 + x + y = 0 
9x - 4y + 41 = 0 
 
 
 
 
 
5. 
 
Os pontos A(a,2) e B(0,b) pertencem à reta (r): 2x+y-6 = 0. Qual a distância entre os 
pontos A e B? 
 
 
4V5 
 
 
8V5 
 
 
V5 
 
 
3V5 
 
2V5 
 
 
 
Explicação: 
A pertence a r -> 2a+2-6=0 -> a=2 => A(2,2) 
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 => B(0,6) 
 
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)² = V4+16 = V20 = 2V5 
 
 
 
 
 
6. 
 
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por: 
 
 
-70x + 19y + 123 = 0 
 
-69x + 20y + 123 = 0 
 
 
-68x + 19y + 122 = 0 
 
 
70x - 21y - 124 = 0 
 
 
-69x + 21y - 122 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Na equação genérica da reta no R² (ax + by + c = 0) substituir as coordenadas dos dois pontos dados da reta. Resolver o sistema formado 
(2 equações para as 2 incógnitas - a e b) e determinar a equação da reta pedida 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Obter a equação geral da reta representada pelas equações paramétricas: 
x = t + 9 
y = t - 1 
 
 
x-y+10= 0 
 
 
2x-y+20=0 
 
x-y-10=0 
 
 
x+y-10=0 
 
 
x-2y-20=0 
 
 
 
Explicação: 
Isolando o parâmetro t: 
x = t + 9 
t = x - 9 
 x = t + 9 
 x = (y + 1) + 9 
 x = y + 1 + 9 
 x = y + 10 
 ← 
x - y - 10 = 0 
 
Equação Geral da Reta: x - y + 10 = 0 
 
 
 
 
 
8. 
 
Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(4,2) e tem inclinação de 45° com 
eixo das abscissas. 
 
 
y = x + 2 
 
 
y = - x - 1 
 
 
y = - x - 2 
 
 
y = x - 1 
 
y = x - 2 
 
 
 
Explicação: 
y = ax + b (equação geral da reta), onde a = coeficiente angular = tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abscissas 
No exercício a = tg 45º = 1 
y = x + b 
Como P (4, 2) pertence a reta, 
2 = 4 + b -> b = -2 
y = x - 2 
 
 
 
1. 
 
 
A equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(0,1) e B(6,8) é dada por: 
 
 
y=67x+1y=67x+1 
 
 
y=7x+1y=7x+1 
 
 
y=7x+16y=7x+16 
 
 
y=6x+1y=6x+1 
 
y=76x+1y=76x+1 
 
 
 
Explicação: 
I)m=8−16−0m=76I)m=8−16−0m=76 
II)q;A(0,1)y=mx+q1=76.0+q1=0+qq=1II)q;A(0,1)y=mx+q1=76.0+q1=0+qq=1 
III)y=76x+1III)y=76x+1 
 
 
 
 
 
2. 
 
Seja os pontos: A (-1,-1, 2), B (2, 1, 1) e C (M, -5, 3). Para qual valor de M o triângulo 
ABC é retângulo em A? 
 
 
0 
 
 
6 
 
2 
 
 
3 
 
 
8 
 
 
 
Explicação: 
seja AB.AC=0 
 
AB= (3,2, -1) e AC= ( M+1, -4,1), vem 
3 (M+1) +M+ 2(-4) -1(1)=0 
3M+ 3 -8 -1=0 
3M= 6 
M= 2 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determinar o valor de m para que as retas r: y=mx-5 e s: x=-2+t sejam 
ortogonais. 
 z=-3x y=4-2t 
 z=5t 
 
 
-15/2 
 
 
-9/2 
 
 
-11/2 
 
 
13/2 
 
 
7/2 
 
 
 
Explicação: 
Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente u=(1,m,-3) e v=(1,-2,5) 
Para que as retas sejam ortogonais devemos ter: u.v=0 
Daí: (1,m,-3).(1,-2,5)=0 -> 1-2m-15=0 -> -2m=15 -> m=-15/2 
 
 
 
 
 
4. 
 
Um pesquisador não conhece as coordenadas de P(m, 1, n) mas sabe que P pertence a 
reta que passa por A(3,-1,4) e B (4,-3,-1). Podemos definir que P é: 
 
 
P (3,4,5) 
 
 
P (4,2,1) 
 
 
P (3,3,1) 
 
P (2,1,9) 
 
 
P(0,1,3) 
 
 
 
Explicação: 
O ponto P(m, 1,n) pertence a reta que passa por A(3,-1,4) e B (4,-3,-1) , Determine P 
Temos o vetor AB = B - A = (4,-3,-1) - (3,-1,4)= (1,-2,-5) 
Com o vetor AB escrevemos a reta: t . AB 
Como P pertence a reta entao AP = P - A = ( m -3,1 - (-1), n - 4) = (m - 3, 2, n - 4) 
Como AP é paralelo a AB entao AP = t AB 
Entao temos o sistema: 
m -3 = 1 t 
1+1 = - 2 t 
n- 4 = -5 t 
Portanto -2 t = 2 entao t = -1 
m - 3 = 1 (-1) entao m = 2 
n - 4 = - 5 (-1) entao n = 9 
P ( 2,1,9) 
 
 
 
 
 
5. 
 
Dois carros percorrem estradas diferentes representadas pelas retas 3x - y + 1 = 0 e 2x 
- y + 5 = 0. Estas estradas se interceptam no ponto P. Determine o ponto P de 
interseção entre as retas. 
 
 
P (4,13) 
 
 
P(9,3) 
 
 
P(3,2) 
 
 
P(5,6) 
 
 
P(2,2) 
 
 
 
Explicação: 
Transformando as equações na forma reduzida: 
3x - y + 1 = 0 
y = 3x + 1 
E 
2x - y + 5 = 0 
y = 2x + 5 
Devemos resolver o seguinte sistema: 
y = 3x + 1 
y = 2x + 5 
Subtraindo a segunda da primeira equação: 
y ¿ y = 3x + 1 - (2x + 5) 
0 = 3x + 1 - 2x - 5 
0 = x - 4 
x = 4 
Substituindo da primeira equação: 
y = 3x + 1 
y = 3.4 + 1 
y = 12 + 1 
y = 13 
O ponto de interseção das retas é o ponto (4, 13). 
 
 
 
 
 
6. 
 
Considere o paralelogramo determinado pelos vetores v = (0,-1,-1) e s = (-3,5,8). A 
área desse quadrilátero é igual a um múltiplo k da raiz de três. O valor de k é igual a: 
 
 
5 
 
 
2 
 
 
4 
 
3 
 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
O produto vetorial de v x s será dado pelo vetor u: - 3i + 3j - 3k 
Assim, a área do paralelogramo será o módulo do vetor u. 
Logo: A = 3√ 3 3 
 
 
 
 
 
7. 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (1, 0, 1) 
 
 
x= 1+t , y = -2 , z = t 
 
 
x= -1-t , y = -2 , z = t 
 
 
x= -1+t , y = 2 , z = t 
 
 
x= -1+t , y = -2 , z = t 
 
 
x= -1+t , y = -2 , z = -t 
 
 
 
Explicação: 
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t 
y=-2 
z=t 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
O ângulo formado entre os vetores v = (-3,2) e u = (0,6) será aproximadamente igual 
a: 
 
 
65,66o 
 
 
12,77o 
 
 
22,56o 
 
56,31o 
 
 
90,05o 
 
 
 
Explicação: 
O ângulo será calculado aplicando-se a fórmula: 
cos x = (v . u) / (v . u) 
Onde: v e u são os módulos dos vetores 
(-3,2) . (0,6) = (-3) . 0 + 2 . 6 = 12 
v = √ 13 13 
u = 6 
 
1. 
 
É importante ressaltar que a equação vetorial da reta no R³ não é única. A 
equação vetorial no R³ da reta que passa pelo ponto P(xp, yp, zp) e tem a direção 
do vetor v é dada por (x, y, z) = (xp, yp, zp) + t. (xv, yv, zv). Com base nessas 
informações, determine a equação vetorial da reta no R³ que passe pelo ponto P 
(1, 2, 3) e tenha a direção do vetor v = (1, 2, 4). 
 
 
(x, y, z) = (1, 0, 3) + t.(1, 2, 0) 
 
 
(x, y, z) = (1, 2, -3) + t.(2, 2, 4) 
 
 
(x, y, z) = (0, 2, 3) + t.(1, 2, -4) 
 
 
(x, y, z) = (1, 2, -3) + t.(1, -2, 4) 
 
(x, y, z) = (1, 2, 3) + t.(1, 2, 4) 
 
 
 
Explicação: 
(x, y,z) = (1, 2, 3) + t.(1, 2, 4) 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,0, 1 ) que tem a 
direção do vetor (1, 1, 1) 
 
 
x= -2+t ; y = t ; z = 1+t 
 
 
x= -2+t ; y = -t ; z = 1+t 
 
 
x= -2-t ; y = t ; z = 1+t 
 
 
x= 2+t ; y = t ; z = 1+t 
 
 
x= -2+t ; y = t ; z = -1+t 
 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: (x,y,z)=(-2,0,1) + t(1,1,1) 
Daí, as equações paramétricas da reta serão: x=-2+t , y=t , z=1+t. 
 
 
 
 
 
3. 
 
Qual o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u = (-3,-3,-3), v = (0,4,9) e t = 
(-1,2,7)? 
 
 
10 
 
 
5 
 
15 
 
 
20 
 
 
30 
 
 
 
Explicação: 
O volume do paralelepípedo é definido por: 
V = |u,v,t| 
-3 -3 -3 
0 4 9 
-1 2 7 
O módulo do determinante da matriz será equivalente ao volume. Logo: V = 15 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1,8) 
e B(-5,-1), defina a equação geral da reta que passa pelos pontos. 
 
 
x−7y+3=0x−7y+3=0 
 
 
3x+2y+2=03x+2y+2=0 
 
9x−4y+41=09x−4y+41=0 
 
 
7x+3y+1=07x+3y+1=0 
 
 
x+55y+2=0x+55y+2=0 
 
 
 
Explicação: 
 x y 1 x y 
-1 8 1 -1 8 
-5 -1 1 -5 -1 
Teremos, 
(-40) (-x) (-y) (8x) (-5y) (1) 
.: 8x -5y + 1 + 40 + x + y = 0 
9x - 4y + 41 = 0 
 
 
 
 
 
5. 
 
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por: 
 
 
-69x + 20y + 123 = 0 
 
 
-69x + 21y - 122 = 0 
 
 
-70x + 19y + 123 = 0 
 
 
70x - 21y - 124 = 0 
 
 
-68x + 19y + 122 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Na equação genérica da reta no R² (ax + by + c = 0) substituir as coordenadas dos dois pontos dados da reta. Resolver o sistema formado 
(2 equações para as 2 incógnitas - a e b) e determinar a equação da reta pedida 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1, 
8) e B(-5, -1) defina a equação geral da reta que passa pelos pontos. 
 
 
7 x + 3y + 1 = 0 
 
 
3x + 2y + 2= 0 
 
 
x - 7 y + 3 = 0 
 
9x - 4y + 41 = 0 
 
 
x + 55 y + 2 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1, 8) e B(-5, -1) defina a equação geral da reta que 
passa pelos pontos. 
y - y0 = m (x - x0) 
m =(8-(-1) )/ (-1 -(-5)) = 9/4 
y - (-1) = 9/4 (x - (-5)) 
y + 1 = 9/4 (x+5) 
y + 1 = 9/4 x + (9/4) 5 
4y + 4 = 9 x + 45 
-4y + 9x - 4 + 45 = 0 
9x - 4y + 41 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a 
direção do vetor v=(-4,-1,3). 
 
 
x=-4+t 
y=-2-t 
z=3-5t 
 
x=2-4t 
y=-t 
z=5+3t 
 
 
x=-4+2t 
y=-1 
z=3+5t 
 
 
x=2t 
y=-3t 
z=5t 
 
 
x=t 
y=2t 
z=5+3t 
 
 
 
Explicação: 
As equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por: 
x=x'+x"t 
y=y'+y"t 
z=z'+z"t 
BAsta então substituir os valores dados para se obter as equações. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Os pontos A(a,2) e B(0,b) pertencem à reta (r): 2x+y-6 = 0. Qual a distância entre os 
pontos A e B? 
 
 
8V5 
 
2V5 
 
 
4V5 
 
 
3V5 
 
 
V5 
 
 
 
Explicação: 
A pertence a r -> 2a+2-6=0 -> a=2 => A(2,2) 
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 => B(0,6) 
 
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)² = V4+16 = V20 = 2V5 
 
1. 
 
Obter a equação geral da reta representada pelas equações paramétricas: 
x = t + 9 
y = t - 1 
 
 
x-y+10= 0 
 
x-y-10=0 
 
 
x-2y-20=0 
 
 
2x-y+20=0 
 
 
x+y-10=0 
 
 
 
Explicação: 
Isolando o parâmetro t: 
x = t + 9 
t = x - 9 
 x = t + 9 
 x = (y + 1) + 9 
 x = y + 1 + 9 
 x = y + 10 
 ← 
x - y - 10 = 0 
 
Equação Geral da Reta: x - y + 10 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A(5,-2,3) e tem a 
direção do vetor v=(4,-4,-7). 
 
 
x-5 / 4 = y+2 / -4 = z-3 / -7 
 
 
x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3 
 
 
x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3 
 
 
x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 / 7 
 
 
x-5 / -4 = y-2 / -4 = z+3 / 7 
 
 
 
Explicação: 
As equações simétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por x-x' / x" = y-y' /y" = 
z-z' / z". 
Basta então substituir os valores dados para se obter a equações pedidas. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(4,2) e tem inclinação de 45° com 
eixo das abscissas. 
 
 
y = - x - 1 
 
 
y = - x - 2 
 
 
y = x + 2 
 
 
y = x - 1 
 
y = x - 2 
 
 
 
Explicação: 
y = ax + b (equação geral da reta), onde a = coeficiente angular = tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abscissas 
No exercício a = tg 45º = 1 
y = x + b 
Como P (4, 2) pertence a reta, 
2 = 4 + b -> b = -2 
y = x - 2 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Seja os pontos: A (-1,-1, 2), B (2, 1, 1) e C (M, -5, 3). Para qual valor de M o triângulo 
ABC é retângulo em A? 
 
 
8 
 
 
6 
 
2 
 
 
3 
 
 
0 
 
 
 
Explicação: 
seja AB.AC=0 
 
AB= (3,2, -1) e AC= ( M+1, -4,1), vem 
3 (M+1) +M+ 2(-4) -1(1)=0 
3M+ 3 -8 -1=0 
3M= 6 
M= 2 
 
 
 
 
 
5. 
 
Dois carros percorrem estradas diferentes representadas pelas retas 3x - y + 1 = 0 e 2x 
- y + 5 = 0. Estas estradas se interceptam no ponto P. Determine o ponto P de 
interseção entre as retas. 
 
 
P(2,2) 
 
 
P(3,2) 
 
P (4,13) 
 
 
P(9,3) 
 
 
P(5,6) 
 
 
 
Explicação: 
Transformando as equações na forma reduzida: 
3x - y + 1 = 0 
y = 3x + 1 
E 
2x - y + 5 = 0 
y = 2x + 5 
Devemos resolver o seguinte sistema: 
y = 3x + 1 
y = 2x + 5 
Subtraindo a segunda da primeira equação: 
y ¿ y = 3x + 1 - (2x + 5) 
0 = 3x + 1 - 2x - 5 
0 = x - 4 
x = 4 
Substituindo da primeira equação: 
y = 3x + 1 
y = 3.4 + 1 
y = 12 + 1 
y = 13 
O ponto de interseção das retas é o ponto (4, 13). 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere o paralelogramo determinado pelos vetores v = (0,-1,-1) e s = (-3,5,8). A 
área desse quadrilátero é igual a um múltiplo k da raiz de três. O valor de k é igual a: 
 
 
3 
 
 
5 
 
 
4 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
 
Explicação: 
O produto vetorial de v x s será dado pelo vetor u: - 3i + 3j - 3k 
Assim, a área do paralelogramo será o módulo do vetor u. 
Logo: A = 3√ 3 3 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (1, 0, 1) 
 
 
x= -1+t , y = 2 , z = t 
 
 
x= -1+t , y = -2 , z = -t 
 
 
x= -1-t , y = -2 , z = t 
 
x= 1+t , y = -2 , z = t 
 
 
x= -1+t , y = -2 , z = t 
 
 
 
Explicação: 
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t 
y=-2 
z=t 
 
 
 
 
 
8. 
 
O ângulo formado entre os vetores v = (-3,2) e u = (0,6) será aproximadamente igual 
a: 
 
 
12,77o 
 
56,31o 
 
 
65,66o 
 
 
22,56o 
 
 
90,05o 
 
 
 
Explicação: 
O ângulo será calculado aplicando-se a fórmula: 
cos x = (v . u) / (v . u) 
Onde: v e u são os módulos dos vetores 
(-3,2) . (0,6) = (-3) . 0 + 2 . 6 = 12 
v = √ 13 13 
u = 6 
 
 
 
 
1. 
 
 
Encontre uma equação geral para o plano perpendicular ao vetor N = (−1, 4, 3) que 
passa pelo ponto (5, −2, 7). Encontre uma equação geral para o plano perpendicular a 
este mesmo vetor, mas que passa pelo ponto (0, 0, 0). 
 
 
−x + 4y + 3z = 0 
 
 
x+4y+3z=0 
 
 
2x+4y+3z=0 
 
 
-x-4y-3z=0 
 
 
-2x-4y-3z=0 
 
 
 
Explicação: 
Uma equação geral deste plano terá forma: 
−x + 4y + 3z + d = 0. 
O coeficiente d será determinado pelo fato de que o ponto (5, −2, 7) pertence a este plano: 
−5 + 4(−2) + 3 · 7 + d = 0 =⇒ d = −8. 
Portanto, uma equação geral para este plano será: 
−x + 4y + 3z − 8 = 0. 
Uma equação geral para o plano perpendicular a N passando pela origem será: 
 −x + 4y + 3z = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = 
(-2,3,4) é corretamenterepresentada por: 
 
 
2x - 4y - 3z - 9 = 0 
 
 
- 2x - 3y - 4z - 9 = 0 
 
 
3x - 4y + 5z - 11 = 0 
 
2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
x + y + z = 0 
 
 
 
Explicação: 
A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0 
Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considera a reta r que passa pelo ponto A(0,0,3) e tem a direção de v = (-1,2,2). O 
ponto P que pertence a reta r, quando o parâmetro t = -3, é dado por: 
 
 
P(0,0,0) 
 
 
P(-6,0,-3) 
 
 
P(-3,-6,-3) 
 
P(3,-6,-3) 
 
 
P(-6,-3,3) 
 
 
 
Explicação: 
Reta r(x,y,z) = (0,0,3) + t(-1,2,2) 
Para t = -3 
P(x,y,z) = (0,0,3) - 3(-1,2,2) = (0,0,3) + (3,-6,-6) = (3,-6,-3) 
 
 
 
 
 
4. 
 
A equação geral do plano δδ que passa pelo ponto A(2,3,4) e é paralelo ao plano ππ: 2x 
+ 3y - 5z + 11 = 0 é dada por: 
 
 
x + y + z - 11 = 0 
 
 
 - 2x + 5y - z + 7 = 0 
 
2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 x3x3+ 3y - z + 11 = 0 
 
 
2x - 3y - 5z - 7 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Pela equação geral do plano ππ podemos definir o vetor diretor n como n = (2,3,-5). 
Como os planos δδ e ππ são paralelos: 
v = an ⇒ Supondo a = 2, v = 2(2,3,-5) = (4,6,-10) 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + d = 0. Se A pertence a δδ, então: 
4(2) + 6(3) - 10(4) + d = 0 ⇒ d = 14 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + 14 = 0 ⇒ δδ: 2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um 
sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por: 
 
 
x = 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = 6h + 8t 
 
 
x = 2 + 3h + t 
y = - 2h - 2t 
z = -2 + h + 8t 
 
 
x = -2 + 3h 
y = 2h 
z = -2 + 6h + 8t 
 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x =3h + t 
y = 2h + t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
Explicação: 
Determinamos os vetores diretores do plano: 
AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) 
AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) 
Logo, as equações paramétricas serão: 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
 
 
6. 
 
O vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em z 
x = - 3 + z 
y = - 1 + z 
será: 
 
 
v = (-1,0,1) 
 
v = (1,1,1) 
 
 
v = (-3,2,-1) 
 
 
v = (0,0,0) 
 
 
v = (-2,1,0) 
 
 
 
Explicação: 
Uma maneira de resolver o problema é atribuir valores para z: 
Exemplo: z = 0 ⇒ x = -3, y = -1 ⇒ A(-3,-1,0) 
z = 1 ⇒ x = -2, y = 0 ⇒ B(-2,0,1) 
Logo: v = AB = B - A = (-2,0,1) - (-3,-1,0) = (1,1,1) 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o 
valor de a: 
 
 
a = 0 
 
 
a = - 3 
 
a = 3 
 
 
a = 1/2 
 
 
a = 3/2 
 
 
 
Explicação: 
x + y = 0 e ax - 3y = 0 
(1,1) . (a,-3) = 0 
a - 3 = 0 
a = 3 
 
 
 
 
 
8. 
 
A equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A = (0,-1,3) e tem a direção de v = (-
1,2,-1) é: 
 
 
r(x,y,z) = (-1,2,-1) + t(0,-1,3) 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) + t(-1,2-1) 
 
 
r(x,y,z) = (0,0,0) + t(0,-1,3) 
 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) 
 
 
r(x,y,z) = t(-1,2,-1) 
 
 
 
Explicação: 
A equação vetorial da reta é dada por: 
r(x,yz,) = A + tv 
 
 
 
 
1. 
 
 
As retas 2x - y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Assim sendo, o valor de a 
será: 
 
 
a = 1 
 
 
a = 0 
 
 
a = -1 
 
a = 4 
 
 
a = -4 
 
 
 
Explicação: 
Retas perpendiculares apresentam o produto abaixo igual a zero: 
ax + by + c = 0 
a'x + b'y + c' = 0 
(a,b) . (a',b') = 0 
a.a' + b.b' = 0 
 
 
 
 
 
2. 
 
Considera a reta r que passa pelo ponto A(0,0,3) e tem a direção de v = (-1,2,2). O 
ponto P que pertence a reta r, quando o parâmetro t = -3, é dado por: 
 
 
P(-3,-6,-3) 
 
 
P(-6,-3,3) 
 
 
P(0,0,0) 
 
 
P(-6,0,-3) 
 
P(3,-6,-3) 
 
 
 
Explicação: 
Reta r(x,y,z) = (0,0,3) + t(-1,2,2) 
Para t = -3 
P(x,y,z) = (0,0,3) - 3(-1,2,2) = (0,0,3) + (3,-6,-6) = (3,-6,-3) 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A equação geral do plano δδ que passa pelo ponto A(2,3,4) e é paralelo ao plano ππ: 2x 
+ 3y - 5z + 11 = 0 é dada por: 
 
 x3x3+ 3y - z + 11 = 0 
 
 
 - 2x + 5y - z + 7 = 0 
 
2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
x + y + z - 11 = 0 
 
 
2x - 3y - 5z - 7 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Pela equação geral do plano ππ podemos definir o vetor diretor n como n = (2,3,-5). 
Como os planos δδ e ππ são paralelos: 
v = an ⇒ Supondo a = 2, v = 2(2,3,-5) = (4,6,-10) 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + d = 0. Se A pertence a δδ, então: 
4(2) + 6(3) - 10(4) + d = 0 ⇒ d = 14 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + 14 = 0 ⇒ δδ: 2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um 
sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por: 
 
 
x = 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = 6h + 8t 
 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x = -2 + 3h 
y = 2h 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x = 2 + 3h + t 
y = - 2h - 2t 
z = -2 + h + 8t 
 
 
x =3h + t 
y = 2h + t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
Explicação: 
Determinamos os vetores diretores do plano: 
AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) 
AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) 
Logo, as equações paramétricas serão: 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
 
 
5. 
 
O vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em z 
x = - 3 + z 
y = - 1 + z 
será: 
 
 
v = (-1,0,1) 
 
 
v = (-3,2,-1) 
 
v = (1,1,1) 
 
 
v = (-2,1,0) 
 
 
v = (0,0,0) 
 
 
 
Explicação: 
Uma maneira de resolver o problema é atribuir valores para z: 
Exemplo: z = 0 ⇒ x = -3, y = -1 ⇒ A(-3,-1,0) 
z = 1 ⇒ x = -2, y = 0 ⇒ B(-2,0,1) 
Logo: v = AB = B - A = (-2,0,1) - (-3,-1,0) = (1,1,1) 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o 
valor de a: 
 
 
a = 0 
 
 
a = - 3 
 
 
a = 1/2 
 
a = 3 
 
 
a = 3/2 
 
 
 
Explicação: 
x + y = 0 e ax - 3y = 0 
(1,1) . (a,-3) = 0 
a - 3 = 0 
a = 3 
 
 
 
 
 
7. 
 
A equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A = (0,-1,3) e tem a direção de v = (-
1,2,-1) é: 
 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) 
 
 
r(x,y,z) = t(-1,2,-1) 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) + t(-1,2-1) 
 
 
r(x,y,z) = (0,0,0) + t(0,-1,3) 
 
 
r(x,y,z) = (-1,2,-1) + t(0,-1,3) 
 
 
 
Explicação: 
A equação vetorial da reta é dada por: 
r(x,yz,) = A + tv 
 
 
 
 
 
8. 
 
A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = 
(-2,3,4) é corretamente representada por: 
 
 
2x - 4y - 3z - 9 = 0 
 
2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
x + y + z = 0 
 
 
3x - 4y + 5z - 11 = 0 
 
 
- 2x - 3y - 4z - 9 = 0 
 
 
 
Explicação: 
A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0 
Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
 
 
1. 
 
 
Encontre uma equação geral para o plano perpendicular ao vetor N = (−1, 4, 3) 
que passa pelo ponto (5, −2, 7). Encontre uma equação geral para o plano 
perpendicular a este mesmo vetor, mas que passa pelo ponto (0, 0, 0). 
 
 
−x + 4y + 3z = 0 
 
 
x+4y+3z=0 
 
 
2x+4y+3z=0 
 
 
-2x-4y-3z=0 
 
 
-x-4y-3z=0 
 
 
 
Explicação: 
Uma equação geral deste plano terá forma: 
−x + 4y + 3z + d = 0. 
O coeficiente d será determinado pelo fato de que o ponto (5, −2, 7) pertence a este plano: 
−5 + 4(−2) + 3 · 7 + d = 0 =⇒ d = −8. 
Portanto, uma equação geral para este plano será: 
−x + 4y + 3z − 8 = 0. 
Uma equação geral para o plano perpendicular a N passando pela origem será: 
 −x + 4y + 3z = 0. 
 
 
 
 
 
2. 
 
A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = 
(-2,3,4) é corretamente representada por: 
 
 
x + y + z = 0 
 
2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
3x - 4y + 5z - 11 = 0 
 
 
2x - 4y - 3z - 9 = 0 
 
 
- 2x - 3y - 4z - 9 = 0 
 
 
 
Explicação: 
A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) 
Assim: ππ: -2x +3y + 4z + d = 0 
Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considera a reta r que passa pelo ponto A(0,0,3) e tem a direção de v = (-1,2,2). O 
ponto P que pertence a reta r, quando o parâmetro t = -3, é dado por: 
 
 
P(-6,0,-3) 
 
 
P(-3,-6,-3) 
 
 
P(-6,-3,3) 
 
P(3,-6,-3) 
 
 
P(0,0,0) 
 
 
 
Explicação: 
Reta r(x,y,z) = (0,0,3) + t(-1,2,2) 
Para t = -3 
P(x,y,z) = (0,0,3) - 3(-1,2,2) = (0,0,3) + (3,-6,-6) = (3,-6,-3) 
 
 
 
 
 
4. 
 
A equação geral do plano δδ que passa pelo ponto A(2,3,4) e é paralelo ao plano ππ: 2x 
+ 3y - 5z + 11 = 0 é dada por: 
 
 
 - 2x + 5y - z + 7 = 0 
 
 
x + y + z - 11 = 0 
 
2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
2x - 3y - 5z - 7 = 0 
 
 x3x3+ 3y - z + 11 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Pela equação geral do plano ππ podemos definir o vetor diretor n como n = (2,3,-5). 
Como os planos δδ e ππ são paralelos: 
v = an ⇒ Supondo a = 2, v = 2(2,3,-5) = (4,6,-10) 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + d = 0. Se A pertence a δδ, então: 
4(2) + 6(3) - 10(4) + d = 0 ⇒ d = 14 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + 14 = 0 ⇒ δδ: 2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um 
sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por: 
 
 
x =3h + t 
y = 2h + t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x = 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = 6h + 8t 
 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x = -2 + 3h 
y = 2h 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x = 2 + 3h + t 
y = - 2h - 2t 
z = -2 + h + 8t 
 
 
 
Explicação: 
Determinamos os vetores diretores do plano: 
AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) 
AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) 
Logo, as equações paramétricas serão: 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em z 
x = - 3 + z 
y = - 1 + z 
será: 
 
 
v = (-1,0,1) 
 
v = (1,1,1) 
 
 
v = (0,0,0) 
 
 
v = (-3,2,-1) 
 
 
v = (-2,1,0) 
 
 
 
Explicação: 
Uma maneira de resolver o problema é atribuir valores para z: 
Exemplo: z = 0 ⇒ x = -3, y = -1 ⇒ A(-3,-1,0) 
z = 1 ⇒ x = -2, y = 0 ⇒ B(-2,0,1) 
Logo: v = AB = B - A = (-2,0,1) - (-3,-1,0) = (1,1,1) 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o 
valor de a: 
 
 
a = 1/2 
 
 
a = 0 
 
 
a = 3/2 
 
 
a = - 3 
 
a = 3 
 
 
 
Explicação: 
x + y = 0 e ax - 3y = 0 
(1,1) . (a,-3) = 0 
a - 3 = 0 
a = 3 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
A equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A = (0,-1,3) e tem a direção de v = (-
1,2,-1) é: 
 
 
r(x,y,z) = (0,0,0) + t(0,-1,3) 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) + t(-1,2-1) 
 
 
r(x,y,z) = (-1,2,-1) + t(0,-1,3) 
 
 
r(x,y,z) = t(-1,2,-1) 
 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) 
 
 
 
Explicação: 
A equação vetorial da reta é dada por: 
r(x,yz,) = A + tv 
 
 
 
1. 
 
As retas 2x - y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Assim sendo, o valor de a 
será: 
 
 
a = 0 
 
 
a = -4 
 
 
a = -1 
 
 
a = 1 
 
a = 4 
 
 
 
Explicação: 
Retas perpendiculares apresentam o produto abaixo igual a zero: 
ax + by + c = 0 
a'x + b'y + c' = 0 
(a,b) . (a',b') = 0 
a.a' + b.b' = 0 
 
 
 
 
 
2. 
 
Considera a reta r que passa pelo ponto A(0,0,3) e tem a direção de v = (-1,2,2). O 
ponto P que pertence a reta r, quando o parâmetro t = -3, é dado por: 
 
 
P(-6,0,-3) 
 
P(3,-6,-3) 
 
 
P(-6,-3,3) 
 
 
P(0,0,0) 
 
 
P(-3,-6,-3) 
 
 
 
Explicação: 
Reta r(x,y,z) = (0,0,3) + t(-1,2,2) 
Para t = -3 
P(x,y,z) = (0,0,3) - 3(-1,2,2) = (0,0,3) + (3,-6,-6) = (3,-6,-3) 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A equação geral do plano δδ que passa pelo ponto A(2,3,4) e é paralelo ao plano ππ: 2x 
+ 3y - 5z + 11 = 0 é dada por: 
 
 
2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
2x - 3y - 5z - 7 = 0 
 
 
 - 2x + 5y - z + 7 = 0 
 
 
x + y + z - 11 = 0 
 
 x3x3+ 3y - z + 11 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Pela equação geral do plano ππ podemos definir o vetor diretor n como n = (2,3,-5). 
Como os planos δδ e ππ são paralelos: 
v = an ⇒ Supondo a = 2, v = 2(2,3,-5) = (4,6,-10) 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + d = 0. Se A pertence a δδ, então: 
4(2) + 6(3) - 10(4) + d = 0 ⇒ d = 14 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + 14 = 0 ⇒ δδ: 2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
 
 
 
4. 
 
Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um 
sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por: 
 
 
x = 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = 6h + 8t 
 
 
x = -2 + 3h 
y = 2h 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x = 2 + 3h + t 
y = - 2h - 2t 
z = -2 + h + 8t 
 
 
x =3h + t 
y = 2h + t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
Explicação: 
Determinamos os vetores diretores do plano: 
AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) 
AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) 
Logo, as equações paramétricas serão: 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em z 
x = - 3 + z 
y = - 1 + z 
será: 
 
 
v = (-2,1,0) 
 
 
v = (-1,0,1) 
 
 
v = (-3,2,-1) 
 
 
v = (0,0,0) 
 
v = (1,1,1) 
 
 
 
Explicação: 
Uma maneira de resolver o problema é atribuir valores para z: 
Exemplo: z = 0 ⇒ x = -3, y = -1 ⇒ A(-3,-1,0) 
z = 1 ⇒ x = -2, y = 0 ⇒ B(-2,0,1) 
Logo: v = AB = B - A = (-2,0,1) - (-3,-1,0) = (1,1,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o 
valor de a: 
 
 
a = 3 
 
 
a = 1/2 
 
 
a = 3/2 
 
 
a = - 3 
 
 
a = 0 
 
 
 
Explicação: 
x + y = 0 e ax - 3y = 0 
(1,1) . (a,-3) = 0 
a - 3 = 0 
a = 3 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
A equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A = (0,-1,3) e tem a direção de v = (-
1,2,-1) é: 
 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) + t(-1,2-1) 
 
 
r(x,y,z) = (0,0,0) + t(0,-1,3) 
 
 
r(x,y,z) = t(-1,2,-1) 
 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) 
 
 
r(x,y,z) = (-1,2,-1) + t(0,-1,3) 
 
 
 
Explicação: 
A equação vetorial da reta é dada por: 
r(x,yz,) = A + tv 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = 
(-2,3,4) é corretamente representada por: 
 
 
- 2x - 3y - 4z - 9 = 0 
 
 
2x - 4y - 3z - 9 = 0 
 
 
x + y + z = 0 
 
2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
3x - 4y + 5z - 11 = 0 
 
 
 
Explicação: 
A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0 
Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz à 
desigualdade x2−32x+252x2−32x+252o eixo dos x: 
a2=1a2=1 e b2=1b2=1 
c 2=a2+b2c 2=a2+b2 ⇒ c = ±√ 2 ±2 
Logo, os focos serão: F1(−√ 2 ,0−2,0) e F2(√ 2 ,02,0) 
 
 
 
 
 
4. 
 
O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x2 e y = 2x2 ¿ 1 é: 
 
 
12 
 
 
6 
 
 
1 
 
 
5 
 
2 
 
 
 
Explicação: 
Para encontrar os pontos de intersecção entre duas figuras, é necessário igualar suas equações. Como as equações das duas parábolas já 
estão em função de x, podemos fazer: 
 
Substituindo esses valores nas funções, teremos: 
 
Assim, os pontos tanto na primeira função quanto na segunda são: 
 
Logo, são apenas dois pontos. 
Letra C. 
 
 
 
 
 
5. 
 
Dada a hipérbole de equação x2−4y2+16=0x2−4y2+16=0, os vértices serão os 
pontos: 
 
 
A(-2,0) e A'(2,0) 
 
 
A(0,-4) e A'(0,4) 
 
A(0,-2) e A'(0,2) 
 
 
A(0,0) e A'(0,2) 
 
 
A(0,-2) e A'(0,0) 
 
 
 
Explicação: 
x2−4y2+16=0x2−4y2+16=0 ⇒ x216x216 - y24y24+ 1 = 0 ⇒ −x216−x216 + y24y24 = 1 
A equação reduzida representa uma hipérbole de centro C(0,0) e eixo real sobre o eixo dos y. Logo: 
a2=4a2=4 ⇒ a=±2a=±2 
b2=16b2=16 ⇒ b=±4b=±4 
Os vértices serão os pontos: A(0,-2) e A'(0,2). 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine a equação reduzida da circunferência com centro no ponto A(1,-2) e que 
passa pelo ponto P(2,3). 
 
 
(x−2)2+(y+2)2=23(x−2)2+(y+2)2=23 
 
(x−1)2+(y+2)2=26(x−1)2+(y+2)2=26 
 
 
(x−2)2+(y+1)2=24(x−2)2+(y+1)2=24 
 
 
(x−1)2+(y+2)2=25(x−1)2+(y+2)2=25 
 
 
(x+2)2+(y−1)2=22(x+2)2+(y−1)2=22 
 
 
 
Explicação: 
Primeiro ache o raio pela fórmula: 
r = d(P,A) = √ (x−a)2+(y+b)2 (x−a)2+(y+b)2 / r2 = (x-a)2 + (y-b)2 
r = √ (x−1)2+(y+2)2 (x−1)2+(y+2)2 
r = √ (2−1)2+(3+2)2 =√ 12+52 (2−1)2+(3+2)2=12+52 
r = √ 1+25 1+25 
r = √ 26 26 
Agora siga pela fórmula da equação: 
(x-a)2 + (y-b)2 = r2 
(x−1)2+(y+2)2=(√ 26 )2(x−1)2+(y+2)2=(26)2 
(x−1)2+(y+2)2=26(x−1)2+(y+2)2=26 
 
 
 
 
 
7. 
 
Determine a equação reduzida de uma circunferência com centro O(-3,1) e de raio 3. 
 
 
(x+1)2+(y−3)2=8(x+1)2+(y−3)2=8 
 
 
(x+2)2+(y−2)2=8(x+2)2+(y−2)2=8 
 
 
(x+2)2+(y−3)2=8(x+2)2+(y−3)2=8 
 
(x+3)2+(y−1)2=9(x+3)2+(y−1)2=9 
 
 
(x+1)2+(y−2)2=8(x+1)2+(y−2)2=8 
 
 
 
Explicação: 
(x+a)2 + (y-b)2 = r2 
(x+3)2 + (y-1)2 = 32 
(x+3)2 + (y-1)2 = 9 (equação na forma reduzida) 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Uma parábola passa pelos pontos A(0,5), B(2,-3) e C(3,-4). A soma das coordenadas do 
vértice é: 
 
 
1 
 
-1 
 
 
2 
 
 
-2 
 
 
0 
 
 
 
Explicação: 
y = ax2+bx+cax2+bx+c 
a(0) + b(0) + c = 5 ⇒ c = 5 
a(2)^2 + b(2) + 5 = - 3 ⇒ 2a + b = - 4 
a(3)^2 + b(3) + 5 = - 4 ⇒ 3a + b = - 3 
Resolvendo o sistema: a = 1 e b = -6 
Logo: y=x2−6x+5y=x2−6x+5 
V(−b2a−b2a,−Δ4a−∆4a) 
−b2a−b2a = −(−6)2−(−6)2 = 3 
−Δ4a−∆4a = 4∗(1)∗(5)−(−6)244∗(1)∗(5)−(−6)24 = - 4 
Logo: somatório das coordenadas do vértice será -1 
 
 
1. 
 
Determine o raio da circunferência com centro no ponto A(1,-2) e que passa 
pelo ponto P(2,3). 
 
 
r=√ 26 r=26 
 
 
r=√ 29 r=29 
 
 
r=√ 28 r=28 
 
 
r=√ 25 r=25 
 
 
r=√ 30 r=30 
 
 
 
Explicação: 
r = d(P,A) = √ (x−a)2+(y+b)2 (x−a)2+(y+b)2 / r2 = (x-a)2 + (y+b)2 
r = √ (x−1)2+(y+2)2 (x−1)2+(y+2)2 
r = √ (2−1)2+(3+2)2 =√ 12+52 (2−1)2+(3+2)2=12+52 
r = √ 1+25 1+25 
r = √ 26 26 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
Uma elipse intercepta os eixos x e y, respectivamente, em: (±4,0±4,0) e (0,±20,±2). O 
centro encontra-se na origem. A equação reduzida será: 
 
 x24x24+y216y216=1 
 x216x216+y24y24=1 
 
 x24x24+y24y24=1 
 
 x216x216-y24y24=1 
 
 x216x216+y216y216=1 
 
 
 
Explicação: 
O eixo maior encontra-se no eixo dos x. Logo: 
x216x216+y24y24=1 
 
 
 
 
 
3. 
 
A equação geral 3x2−y2−30x+2y+71=03x2−y2−30x+2y+71=0 representa uma 
hipérbole de centro em: 
 
 
C(-5,1) 
 
 
C(0,0) 
 
C(5,1) 
 
 
C(5,-1) 
 
 
C(-5,-1) 
 
 
 
Explicação: 
3x2−y2−30x+2y+71=03x2−y2−30x+2y+71=0 ⇒ 3(x−5)2−75+(−1)∗(y−1)2+1+71=03(x−5)2−75+(−1)∗(y−1)2+1+71=0 
3(x−5)2−(y−1)2−3=03(x−5)2−(y−1)2−3=0 ⇒ (x−5)21(x−5)21 - (y−1)23(y−1)23 = 1 
Assim: C(5,1) 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um goleiro chuta a bola cuja trajetória descreve a parábola y=−4x2+24xy=−4x2+24x, 
onde x e y são medidas em metros. Nestas condições, a altura máxima, em metros, 
atingida pela bola é: 
 
 
30 
 
 
34 
 
 
24 
 
36 
 
 
28 
 
 
 
Explicação: 
O vértice de uma parábola y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c, onde a é diferente de zero, é dado por: 
V = (−b2a−b2a,−Δ4a−∆4a) 
Logo, a ordenada y será: y = −5764∗(−4)−5764∗(−4)=36 
Δ=b2−4ac∆=b2−4ac 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
Determine a equação da circunferência com o centro em D(0,0) e raio 5. 
 
 
x2=25x2=25 
 
x2+y2=25x2+y2=25 
 
 
y2=26y2=26 
 
 
x2+y2=26x2+y2=26 
 
 
x2−y2=25x2−y2=25 
 
 
 
Explicação: 
Usando a fórmula da equação reduzida temos: 
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2 
(x−0)2+(y−0)2=52(x−0)2+(y−0)2=52 
x2+y2=25x2+y2=25 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine a equação da circunferência com o centro em M(−1,−4)M(−1,−4) e 
raio √ 2 2. 
 
 
(x+4)2+(y+1)2=2(x+4)2+(y+1)2=2 
 
(x+1)2+(y+4)2=2(x+1)2+(y+4)2=2 
 
 
(x+1)2+(y+4)2=1(x+1)2+(y+4)2=1 
 
 
(x+4)2+(y+1)2=1(x+4)2+(y+1)2=1 
 
 
(x+1)2+(y+4)2=4(x+1)2+(y+4)2=4 
 
 
 
Explicação: 
Usando a fórmula da equação reduzida temos: 
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2 
(x+1)2+(y+4)2=(√ 2 )2(x+1)2+(y+4)2=(2)2 
(x+1)2+(y+4)2=2(x+1)2+(y+4)2=2 
 
 
 
 
 
7. 
 
Determine a equação da circunferência com o centro em C(2,5) e raio 3. 
 
 
(x−2)2+(y−5)2=4(x−2)2+(y−5)2=4 
 
(x−2)2+(y−5)2=9(x−2)2+(y−5)2=9 
 
 
(x−2)2+(y−5)2=6(x−2)2+(y−5)2=6 
 
 
(x−5)2+(y−2)2=9(x−5)2+(y−2)2=9 
 
 
(x−5)2+(y−2)2=6(x−5)2+(y−2)2=6 
 
 
 
Explicação: 
Usando a fórmula da equação reduzida temos: 
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2 
(x−2)2+(y−5)2=32(x−2)2+(y−5)2=32 
(x−2)2+(y−5)2=9(x−2)2+(y−5)2=9 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine a equação da circunferência com o centro em Q(0,−2)Q(0,−2) e raio 44. 
 
 
x2+(y+2)2=16x2+(y+2)2=16 
 
 
(x+2)2+y2=16(x+2)2+y2=16 
 
 
x2+(y+2)2=14x2+(y+2)2=14 
 
 
(x+1)2+(y+2)2=15(x+1)2+(y+2)2=15 
 
 
x2+y2=16x2+y2=16 
 
 
 
Explicação: 
Usando a fórmula da equação reduzida temos: 
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2 
(x−0)2+(y+2)2=42(x−0)2+(y+2)2=42 
x2+(y+2)2=16x2+(y+2)2=16 
 
 
 
1. 
 
A respeito das definições básicas de circunferência e de elipse, qual das 
alternativas a seguir está correta? 
 
 
Uma elipse é uma circunferência achatada. 
 
 
Uma circunferência é o conjunto de pontos cuja soma das distâncias até os focos é igual a uma constante 2a. 
 
 Uma circunferência é um conjunto de pontos cuja distância até o ponto central C é igual à constante r, chamada de raio. 
 
 
Uma circunferência é o conjunto de pontos cuja distância até o ponto central C é constante e igual ao diâmetro. 
 
 
Uma elipse é o conjunto de pontos cuja distância até o ponto central C é igual à constante r, chamada de raio. 
 
 
 
Explicação: 
A definição de circunferência é um conjunto de pontos cuja distância até o ponto central C é igual a uma constante r, chamada de raio. A 
definição de elipse é: conjunto de pontos cuja soma das distâncias até os focos é igual à constante 2a. Portanto, a alternativa correta é 
a letra E. 
 
 
 
 
 
2. 
 
Qual deve ser o valor de m para que os vetores u = (2,m,0), v = (1,-1,2) e w = (-1,3,-
1) sejam coplanares? 
 
 
- 11 
 
 
- 13 
 
- 10 
 
 
- 14 
 
 
- 9 
 
 
 
Explicação: 
Para que os vetores sejam coplanares, deve-se ter (u,v,w) = 0, ou seja. 
2 m 0 
1 -1 2 = 0 
-1 3 -1 
Logo 
2 - 2m - 12 + m = 0 
e, portanto, 
m = -10 
 
 
 
 
 
3. 
 
A hipérbole x2−y2=1x2−y2=1 apresenta os focos F1 e F2, respectivamente, iguais a: 
 
 
F1(−√ 2 ,√ 2 −2,2) e F2(1,1) 
 
 
F1(-1,0) e F2(1,0) 
 
F1(−√ 2 ,0−2,0) e F2(√ 2 ,02,0) 
 
 
F1(0,0) e F2(√ 2 2,0) 
 
 
F1(−√ 2 −2,0) e F2(0,0) 
 
 
 
Explicação: 
Pela equação da hipérbole, o centro é C(0,0) e o eixo real está sobre o eixo dos x: 
a2=1a2=1 e b2=1b2=1 
c 2=a2+b2c 2=a2+b2 ⇒ c = ±√2 ±2 
Logo, os focos serão: F1(−√ 2 ,0−2,0) e F2(√ 2 ,02,0) 
 
 
 
 
 
4. 
 
O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x2 e y = 2x2 ¿ 1 é: 
 
 
1 
 
2 
 
 
5 
 
 
12 
 
 
6 
 
 
 
Explicação: 
Para encontrar os pontos de intersecção entre duas figuras, é necessário igualar suas equações. Como as equações das duas parábolas já 
estão em função de x, podemos fazer: 
 
Substituindo esses valores nas funções, teremos: 
 
Assim, os pontos tanto na primeira função quanto na segunda são: 
 
Logo, são apenas dois pontos. 
Letra C. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz à 
desigualdade x2−32x+252x2−32x+252