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Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Camp ccoud@gmail.com INTENSIVO PRAÇAS CBMERJ BLOCO DA COMBINATÓRIA PERMUTAÇÕES Um problema é dito de permutação quando os elemen- tos escolhidos forem sempre os mesmos e somente a or- dem das escolhas puder ser alterada. 1. Permutação simples Caso um problema de permutação tenha todos os seus elementos distintos, dizemos que se trata de uma permu- tação simples. Um dos problemas de permutação mais "famosos" são os problemas de anagramas. Um anagrama é uma palavra obtida ao embaralhar as letras de uma outra palavra. Por exemplo, vamos supor a palavra PORTA. A partir das letras da palavra PORTA podemos criar várias outras palavras com significado. A seguir temos alguns exemplos: PARTO TROPA OPTAR PRATO TRAPO TOPAR RAPTO Também é possível criar "palavras" sem significado con- forme os exemplos a seguir: PATOR APTOR ARTOP RATOP AORTP TOAPR TRPOA OPART ORPTA De um modo geral, é possível criar 5.4.3.2.1 = 120 anagramas (com ou sem significado) com as letras da palavra PORTA. Assim, se uma palavra possui n letras (todas distintas), é possível formar n! anagramas e, de um modo ainda mais geral, existem n! maneiras de modificar a ordem de n elementos (todos distintos). Assim, a permutação simples de n elementos (Pn) é dada por: n! nLicensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico Exercícios 1. Nas noites de segunda a sexta, um estudante deseja revisar os conteúdos de cinco disciplinas para o simulado que fará no sábado pela manhã. Ele irá revisar apenas uma disciplina a cada noite. De quantas maneiras distintas esse estudante pode escolher qual disciplina irá revisar em cada dia da semana? A) 720. B) 120. C) 60. D) 24. E) 6. 2. Oito amigos foram ao cinema e irão se sentar em oito cadeiras vazias situadas lado a lado em uma mesma fileira da sala. Entre os oito amigos há um casal de namorados que deseja se sentar lado a lado. Quantas maneiras distintas existem desses amigos ocuparem essas oito cadeiras? A) 8! B) 7! 6 D) 7! e) 6! X 4 3. Uma pessoa pretende fazer uma viagem de carro de Aracaju para Maceió. Ele escolheu 20 músicas distintas e fez o download pelo seu aplicativo de streaming, já que o sinal de internet na estrada é ruim ou inexistente. Entre as músicas escolhidas, 4 são do gênero sertanejo, 5 são de pagode, 3 são de funk, 4 são de rock e 4 são de MPB. Essa pessoa deseja ainda escolher a sequência que essas músicas irão tocar e decidiu que as músicas de um mesmo gênero toquem uma após a outra. número de maneiras distintas que essa pessoa possui para escolher essa sequência é igual a A) 20!. B) C) D) 5! 4! E) 4. (UPE 2013) Oito amigos entraram em um restaurante para jantar e sentaram-se numa mesa retangular, com oito lugares, como mostra a figura a seguir:Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico Dentre todas as configurações possíveis, quantas são as possibilidades de dois desses amigos, Amaro e Danilo, ficarem sentados em frente um do outro? a) 1 440 b) 1 920 c) 2 016 d) 4032 e) 5 760 5. Uma hamburgueria decidiu inovar na distribuição das senhas para os seus clientes saberem que seu pedido estava pronto. Ao invés das tradicionais senhas numéricas cada cliente recebia uma senha com as cinco letras da palavra BACON. As senhas seriam distribuídas tomando como sequência todas as permutações possíveis dessas cinco letras e seguindo a ordem alfabética. Assim, a primeira senha distribuída seria ABCNO e a última, ONCBA. A alteração da forma das senhas, apesar de inovadora, desagradou a maioria dos clientes pois estes não sabiam quantos pedidos restavam até que o seu estivesse pronto. Um cliente recebeu a senha CBNOA. Caso a senha fosse a tradicional numérica começando com 001, ele teria recebido a senha A) 006. B) 058. C) 064. D) 072. E) 090 6. (UPF 2016) Na figura a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas e os quadrados representam A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A a B é: B A A) 40320 B) 6720 C) 256 D) 120 E) 56 7. (UNICAMP 2020) Cinco pessoas devem ficar em pé, uma ao lado da outra, para tirar uma fotografia, sendo que duas delas se recusam a ficar lado a lado. número de posições distintas para as cinco pessoas serem fotografadas juntas é igual a a) 48. b) 60. c) 72. d) 96. e) 120.Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico 8. (UFRGS 2020) Um aplicativo de transporte disponibiliza em sua plataforma a visualização de um mapa com ruas horizontais e verticais que permitem realizar deslocamentos partindo do ponto A e chegando ao ponto B, conforme representado na figura abaixo. B A número de menores caminhos possíveis que partem de A e chegam a B, passando por C, é a) 28. b) 35. c) 100. d) 300. e) 792. 9. (UEMG 2019) Em uma apresentação na escola, oito amigos, entre eles Carlos, Timóteo e Joana, formam uma fila. Calcule o número de diferentes formas que esta fila de amigos pode ser formada de modo que Carlos, Timóteo e Joana fiquem sempre juntos. a) 6! b) 8! c) 5! 3! d) 6! 3! e) 8! 3! 10. (UFMS 2019) O Sr. Asdrúbal se preocupa muito com a segurança na internet, por isso troca mensalmente a senha de seu correio eletrônico. Para não esquecer a senha, ele utiliza o ano de nascimento de seu gato e a palavra pet para formar sua senha, totalizando 7 caracteres. No momento de alterar a senha, ele apenas inverte a ordem da palavra e dos números. Sabendo que o gato nasceu no ano de 2009 e que as letras da palavra pet são mantidas juntas e nessa mesma ordem, quantas senhas distintas o Sr. Asdrúbal consegue formar? P E T 2 0 0 9 a) 5.040. b) 720. c) 120. d) 72. e) 60.Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico 11. (UEMG 2010) Observe a tirinha de quadrinhos, a seguir: Quer parar de pra Copyright 1999 Mauricio de Produções Todos os reservados 5445 A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de "cabo de guerra". Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por qualquer um de seus amigos, e que ela pode ocupar o outro lado, junto com os demais, mantendo-se em qualquer posição, o número de maneiras distintas que podem ocorrer nessa brincadeira será igual a a) 60 b) 150 c) 600 d) 120 e) 720 12. (UFJF 2011) Para uma viagem, seis amigos alugaram três motocicletas distintas, com capacidade para duas pessoas cada. Sabe-se que apenas quatro desses amigos são habilitados para pilotar motocicletas e que não haverá troca de posições ao longo do percurso. De quantas maneiras distintas esses amigos podem se dispor nas motocicletas para realizar a viagem? a) 24 b) 72 c) 120 d) 144 e) 720 13. (Unigranrio - Medicina 2017) Quantos são os anagramas da palavra VESTIBULAR, em que as consoantes aparecem juntas, mas em qualquer ordem? a) 120 b) 720 c) 17.280 d) 34.560 e) 86.400 14. (UEFS 2017) Uma estudante ainda tem dúvidas quanto aos quatro últimos dígitos do número do celular de seu novo colega, pois não anotou quando ele lhe informou, apesar de saber quais são não se lembra da ordem em que eles aparecem.Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico Nessas condições, pode-se afirmar que o número de possibilidades para a ordem desses quatro dígitos é a) 240 b) 160 c) 96 d) 24 e) 16 15. (UERJ 2011) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo. Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. B A Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a: a) 20 b) 15 c) 12 d) 10 e) 40 Respostas 1. B 2. C 3. B 4. E 5. B 6. E 7. C 8. D 9. D 10.E 11.D 12.D 13.E 14.D 15. BLicensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico PFC E ARRANJOS 1. Princípio fundamental da contagem Princípio Fundamental da Contagem (PFC) é dividi- do em dois outros princípios: o Princípio Multiplicativo (regra do E) e o Princípio Aditivo (regra do OU). Princípio Multiplicativo: Se um experimento ocorre em mais de uma etapa, o total de possibilidades do experi- mento é o produto das possibilidades em cada etapa. EXERCÍCIO RESOLVIDO Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um uma bebida e uma sobremesa. São oferecidas três opções de sanduí- ches: especial, vegetariano e cachor- ro-quente completo. Como opção de bebida pode-se esco- 2 tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de cho- colate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. Consi- derando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um cliente pode escolher o seu lanche? Resolução: Primeiramente observamos que existem três etapas: a esco- do (3 possibilidades), a escolha da bebida (2 possibilidades) e a escolha da sobremesa (4 possibilidades). Assim, pelo princípio multiplicativo, teremos: formas diferentes de escolher o lanche. 1. (UEG 2016) Uma montadora de carros oferece a seus clientes as seguintes opções na montagem de um carro: 2 tipos de motores (1.8 ou 2.0), 2 tipos de câmbios (manual ou automático), 6 cores (branco, preto, vermelho, azul, cinza ou prata) e 3 tipos de acabamento (simples, intermediário ou sofisticado). De quantas maneiras distintas pode-se montar esse carro? a) 4 b) 13 c) 24 d) 36 e) 72Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico 2. (IFPE 2014) Para ir da cidade A para a cidade D, Álvaro obrigatoriamente passa pelas cidades B e C, nessa ordem. Sabendo que existem cinco estradas diferentes de A para B, quatro estradas diferentes de B para C e três estradas diferentes de C para D, quantos trajetos diferentes existem de A para D? a) 12 b) 15 c) 30 d) 60 e) 120 3. Uma pessoa dispõe de 8 canetinhas hidrográficas nas cores azul, amarelo, vermelho, verde, rosa, roxo, laranja e marrom. Ela deseja pintar os estados da região Sudeste do Brasil (um de cada cor) sem que haja repetição das cores escolhidas. Além disso, deseja pintar o Estado de São Paulo com as cores azul ou verde e o Estado do Rio de Janeiro com as cores vermelho, roxo ou marrom. Minas Gerais Espírito Santo São Paulo Rio de Janeiro De quantas formas diferentes essa pessoa pode realizar essa tarefa? a) 1680. b) 384. c) 336. d) 180. e) 36. 4. Para uma cerimônia em comemoração ao dia 12 de outubro, serão escolhidas duas crianças do 6° ano do ensino fundamental de certa escola. Deseja-se que seja escolhida uma criança do 6° ano A e outra do 6° ano B, e que as crianças não sejam do mesmo sexo. A tabela a seguir mostra a quantidade de crianças em cada uma das turmas. Turmas Crianças 6° ano A 6° ano B Feminino 25 12 Masculino 15 18Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico A quantidade de formas diferentes que pode ser feita a escolhas dessas crianças é a) 1200. b) 630. c) 570. d) 450. e) 180. Princípio das gavetas Se n objetos devem ser colocados em p gavetas, com n > então obrigatoriamente haverá alguma gaveta com mais de um objeto. 5. (ESPM 2017) Em uma classe há 25 alunos. Podemos afirmar, com certeza, que: a) Algum aluno faz aniversário em janeiro. b) Em algum mês haverá 4 aniversários. c) Pelo menos 3 alunos fazem aniversário no mesmo mês. d) Pelo menos 2 alunos aniversariam em dezembro. e) No máximo 4 alunos fazem aniversário em um mesmo mês. Arranjos simples Um problema é dito de arranjo simples quando forem satisfeitas as três condições a seguir: Todas as escolhas são feitas de um mesmo grupo; Não há escolhas repetidas; A ordem em que as escolhas são feitas é importante para o resultado. A fórmula a seguir pode ser utilizada para o cálculo das possibilidades distintas para um problema que possua essas três condições, entretanto, pode-se também utilizar o princípio fundamental da contagem sem haver a neces- sidade do conhecimento dessa fórmula. n! =Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico 6. (FGV) Usando as letras do conjunto {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}, quantas senhas de 4 letras podem ser formadas de modo que duas letras adjacentes, isto é, vizinhas, sejam necessariamente diferentes? a) 7290 b) 5040 c) 10000 d) 6840 e) 11220 7. (UEG 2016) Um aluno terá que escrever a palavra PAZ utilizando sua caneta de quatro cores distintas, de tal forma que nenhuma letra dessa palavra tenha a mesma cor. O número de maneiras que esse aluno pode escrever essa palavra é: a) 64 b) 24 c) 12 d) 4 e) 2 8. Qual a quantidade mínima de cartas que devem ser retiradas ao acaso de um baralho com 52 cartas (13 de cada naipe), para garantir que ao menos duas delas são de um mesmo naipe? a) 14 b) 13 c) 5 d) 4 e) 2 9. (UNICAMP 2013 - Modificada) Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se mudar as placas, atualmente com três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro letras e três algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo. ABC 1234 ABCD 123 Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. novo número máximo possível de placas em relação à máxima quantidade antiga será a) inferior ao dobro. b) superior ao dobro e inferior ao triplo. c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo. d) superior ao quádruplo e inferior ao quíntuplo. e) superior ao quíntuploLicensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico 10. mapa a seguir representa cinco municípios vizinhos de um estado brasileiro. Uma pessoa deseja colorir esse mapa com apenas quatro cores (azul, amarelo, verde e violeta) com a condição de que os municípios vizinhos não tenham a mesma cor. Essa pessoa pode colorir esse mapa de a) 12 maneiras. b) 48 maneiras. c) 144 maneiras. d) 256 maneiras. e) 1024 maneiras. 11. (FUVEST 2010 - Modificada) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha comece com o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? a) 550 b) 575 c) 600 d) 625 e) 650Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico 12.(FAMEMA 2017) Uma pessoa dispõe de 5 blocos de papel colorido nas cores azul, amarelo, verde, branco e rosa, sendo cada um deles de uma única cor, e irá utilizar 3 folhas para anotações. O número total de maneiras possíveis de essa pessoa escolher essas 3 folhas, sendo pelo menos 2 delas de uma mesma cor, é a) 22. b) 12. c) 15. d) 18. e) 25. 13. (UERJ 2013) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor. A + . A 8 7 6 5 4 3 2 A 8 7 6 5 4 3 2 A K 9 8 7 6 5 4 3 2 Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. K Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra: número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a:Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico a) 624 b) 676 c) 715 d) 720 e) 750 14. (ENEM PPL 2014) Um procedimento padrão para aumentar a capacidade do número de senhas de banco é acrescentar mais caracteres a essa senha. Essa prática, além de aumentar as possibilidades de senha, gera um aumento na segurança. Deseja-se colocar dois novos caracteres na senha de um banco, um no início e outro no final. Decidiu-se que esses novos caracteres devem ser vogais e o sistema conseguirá diferenciar maiúsculas de minúsculas. Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará multiplicado por a) 100. b) 90. c) 80. d) 25. e) 20. 15. (ENEM 2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é 626 62! 62! a) b) c) 106 10! 10! 56! d) 62! e)Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico Respostas 1. E 2. D 3. D 4. B 5. C 6. A 7. B 8. C 9. B 10.C 11.C 12.E 13.A 14.A 15.ALicensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico 1. Combinação simples Um problema é dito de combinação simples quando fo- rem satisfeitas as três condições a seguir: Todas as escolhas são feitas de um mesmo grupo; Não há escolhas repetidas; A ordem em que as escolhas são feitas NÃO É importan- te para o resultado. EXERCÍCIO RESOLVIDO Uma pequena escola possui apenas doze professores em seu quadro funcional. Para uma gincana cultural, serão esco- Ihidos três desses professores, que atuarão na comissão organizadora. De quantas maneiras distintas podem ser escolhidos esses professores? Resolução: Utilizando o princípio multiplicativo, teremos 12 possibilida- des para a escolha do 1° professor, 11 possibilidades para a escolha do 2° professor e 10 possibilidades para a escolha do 3° professor. Assim 12.11.10=1320 maneiras distintas para escolher esses três professores. Entretanto, note que escolher os professores A, B e C (nessa ordem) é a mesma maneira de escolher os professores A e B (nessa ordem) ou B, C e A (nessa ordem) pois a mudan- ça na ordem não se reflete em uma maneira diferente de escolha. Dessa forma, há 3! maneiras de se modificar a ordem dos elementos escolhidos e devemos dividir a quantidade encon- trada anteriormente (1320) por esse valor para que as esco- ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA não contadas como escolhas diferentes. 12.11.10 Por há = 220 maneiras distintas para esco- 3! esses três professores. De um modo geral, se são disponíveis n elementos dos quais devem ser escolhidos p deles, sem haver repetição e sendo que a ordem dos escolhidos não é importante te- remos Cn,p maneiras de efetuar tais escolhas, sendo que: n! =Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico 1. Um professor precisa selecionar 3 alunos de uma de suas turmas para ajudá-lo em um projeto de iniciação científica sobre a construção dos poliedros de Platão a partir de origamis. Como todos os 30 alunos dessa turma mostraram interesse em participar do projeto, o professor decidiu sortear quais serão os 3 alunos escolhidos. A quantidade de resultados diferentes que esse sorteio pode ter é igual a a) 24.360. b) 12.180. c) 8.120. d) 4.060. e) 2.030. 2. (UNICAMP 2012) grêmio estudantil do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu- se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a organização das olimpíadas do colégio. De quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão? a) 6720. b) 100800. c) 806400. d) 1120. e) 52870. 3. (FUVEST) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens distintos cada, para distribuir entre a população carente. Esses 4 itens devem ser escolhidos entre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de alimentos não perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos um item que seja alimento não perecível e pelo menos um item que seja produto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem ser feitos? a) 360 c) 420 e) 640 b) 540 d) 600Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico 2. Combinação com elementos repetidos A combinação com repetição possui as mesmas carac- terísticas das combinações simples, porém, é permitida (porém não obrigatória) a repetição dos elementos esco- A fórmula a seguir pode ser utilizada para o cálculo das possibilidades distintas para um problema que possua as características de uma combinação com repetição em que são disponíveis n elementos para se escolher p de- les (com repetição ou não). (n+p-1)! CR n.p - CR = n.p 4. Uma lanchonete vende pastéis apenas nos sabores carne, queijo e frango. De quantas formas distintas uma pessoa pode levar para casa 5 pastéis? a) 125 b) 54 c) 36 d) 28 e) 21 5. Uma empresa fabrica pequenos pacotes de jujubas coloridas nas cores roxo, amarelo, vermelho, laranja e verde. Cada pacote contém exatamente doze jujubas. Na montagem dos pacotes a ordem com que as jujubas são colocadas não é levada em consideração e cada pacote deve possuir ao menos uma jujuba de cada cor. Determine a quantidade de pacotes diferentes que podem ser formados.Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico 6. (EsPCEx 2011) Os alunos de uma escola realizam experiências no laboratório de Química utilizando 8 substâncias diferentes. O experimento consiste em misturar quantidades iguais de duas dessas substâncias e observar o produto obtido. professor recomenda, entretanto, que as substâncias S1, S2 e S3 não devem ser misturadas entre si, pois produzem como resultado o gás metano, de odor muito ruim. Assim, o número possível de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir o gás metano é a) 16 b) 24 c) 25 d) 28 e) 56 7. Um professor fará um jantar em sua residência para comemorar o término do semestre escolar. Ele convidará seis de seus melhores alunos e, para auxiliá-lo na escolha, decide fazer uma lista inicial com vinte alunos e, dentre eles, escolher quais convidará. Entretanto, ao confeccionar a lista, o professor percebeu que dois dos alunos eram namorados e, caso convidasse um deles, obrigatoriamente iria convidar o outro. Assim, o número de formas distintas que esse professor tem de fazer a escolha dos convidados é a) b) 8. (UERN 2012 - Modificada) Uma família do interior, composta por 10 pessoas, necessita fazer uma viagem de retorno à cidade de origem após passar férias no litoral. A viagem será feita de ônibus, no domingo, e apenas dois horários estão disponíveis. Entretanto, apenas 5 vagas estão disponíveis em cada horário. De quantas maneiras poderão ser escolhidos os integrantes que retornarão para cidade de origem em cada ônibus no domingo? a) 315 b) 298Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico c) 252 d) 210 e) 186 9. (UECE 2014) Sejam res duas retas distintas e paralelas. Se fixarmos 10 pontos em r e 6 pontos em todos distintos, ao unirmos, com segmentos de reta, três quaisquer destes pontos não colineares, formam- se triângulos. Assinale a opção correspondente ao número de triângulos que podem ser formados. a) 360 b) 380 c) 400 d) 420 e) 480 10. (FGV 2011) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, abacaxi e melão. Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades? a) 30 b) 28 c) 26 d) 24 e) 22 11. (UERJ 2010) o MENINO MALUQUINHO Ziraldo Meninos, quando ficam Quando as meninas se mesmo são os juntos, é um juntam é um meninos e as meninas 2009 o 18/03/2009Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico Considere como um único conjunto as 8 crianças - 4 meninos e 4 meninas - personagens da tirinha. A partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de meninas. maior valor de n é equivalente a: a) 45 b) 56 c) 69 d) 81 e) 90 12) (PUC-RJ 2017) O técnico da seleção brasileira de futebol precisa convocar mais 4 jogadores, dentre os quais exatamente um deve ser goleiro. Sabendo que na sua lista de possibilidades para essa convocação existem 15 nomes, dos quais 3 são goleiros, qual é o número de maneiras possíveis de ele escolher os 4 jogadores? a) 220 b) 660 c) 1.980 d) 3.960 e) 7.920 13) (UELON 2011) O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de 6 números distintos entre 1 e 60. Um apostador escolhe 20 números distintos e faz todos os C20,6 jogos possíveis de serem realizados com os 20 números. Se ele acertar os seis números sorteados, entre os vinte escolhidos, além da aposta sorteada com a sena, quantas apostas premiadas com a quina (cinco números corretos) ele conseguirá? a) 75 apostas b) 84 apostas c) C(20,5) apostas d) C(6,5) apostas e) 70 apostasLicensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico 14) (UERJ 2016) Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas. Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel: O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a X minutos e y segundos, sendo Os valores respectivos de a) 4 e 12 b) 8 e 24 c) 25 e 12 d) 50 e 24 e) 25 e 24 15. (UDESC 2016) A Câmara de Vereadores de uma cidade é composta por 13 vereadores, sendo que 6 destes são de partidos políticos da situação (aliados ao governo municipal) e os 7 restantes são de partidos da oposição (contrários ao governo municipal). É necessário compor uma comissão especial a ser formada por exatamente 5 vereadores, de forma que haja pelo menos dois representantes de cada um destes blocos políticos. Além disso, foi definido que o líder da situação e o líder da oposição não poderão fazer parte da mesma comissão. Sob essas condições, a quantidade de comissões distintas que pode ser constituída é igual a: a) 945 b) 500 c) 620 d) 810 e) 310Licensed to Aline Nicolau Jaccoud Campelo - aliinejaccoud@gmail.com @papirolunatico Respostas 1. D 2. D 3. E 4. D 5. 1820 pacotes 6. C 7. E 8. C 9. D 10. C 11. C 12. B 13. B 14. B 15. D