Lista de Exercícios 2

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DMAT/CCE/UFES
MAT06013 - Matemática I - 2024/1
Lista de Exercícios - [LE-t2]
1. Calcule a distância entre a reta y = x e o ponto P (3, 10).
� [Dica1:]A distância entre um ponto P e uma reta ℓ é o comprimento do segmento de reta PQ, sendo Q o
ponto da reta ℓ tal que a reta PQ é perpendicular à reta ℓ (Q é chamado o pé da perpendicular baixada de P
à reta ℓ).
� [Dica2:] Duas retas no plano−xy com inclinações m1 e m2 são perpendiculares quando m1 ·m2 = −1.
2. Considere no plano−xy duas retas r e s, cujas equações são, respectivamente, dadas por y = x − 5 e y = 2x + 12.
Encontre a equação da reta que passa ponto P (1, 3) e intersecta r e s nos pontos A e B, respectivamente, de modo
que o ponto P seja o ponto médio do segmento AB.
[Dica:] O ponto médio M do segmento de reta que liga os pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) tem coordenadas
M(x1+x2
2 , y1+y2
2 ).
3. Determine uma equação para a reta que passa pelo ponto P (1, 1) se:
[1] a reta tem inclinação igual a −5 ;
[2] a reta tem inclinação igual a zero.
4. Determine uma equação para a reta que passa pelos pontos P e Q dados. Determine, se possível, a inclinação de
cada uma dessas retas.
[1] P (2, 4) e Q(3, 7) [2] P (2, 1) e Q(2, 5)
[3] P (1, 2) e Q(−3,−2) [4] P (−1,−2) e Q(3,−4)
5. A relação entre temperaturas em graus Fahrenheit (oF ) e em graus Celsius (oC) é dada pela equação
F = 9
5C + 32
[1] trace no plano−CF a reta com essa equação.
[2] qual é a inclinação dessa reta? O que ela representa?
[3] qual é o intervalo sobre a escala Celsius correspondente à temperatura no intervalo 50 ≤ F ≤ 95 na escala
Fahrenheit?
6. Duas empresas A e B comercializam o mesmo produto. A relação entre o patrimônio (y) e o tempo de atividade em
anos (x) de cada empresa é representada, respectivamente, por:
A : x− 2y + 6 = 0 e B : x− 3y + 15 = 0
Considerando essas relações, o patrimônio da empresa A será superior ao patrimônio da empresa B a partir de
quantos anos?
[1] 3 [2] 5 [3] 9 [4] 12 [5] 15
7. Determine a inclinação da reta de�nida pela equação e suas interseções com os eixos de coordenadas. Em seguida,
faça um esboço da reta no plano−xy.
[1] x− 2y = 0 [2] 2x− 3y − 9 = 0 [3] 4x− 4y + 8 = 0
8. Encontre a equação da reta que
[1] passa pelo ponto A(3, 4) e é perpendicular à reta 3x+ 4y = 22.
[2] passa pelo ponto B(−2, 4) e é paralela à reta 3x+ 4y = 22.
[3] passa pela origem e é paralela à reta que passa pelos pontos C(2, 4) e D(4, 7).
[4] passa pelo ponto E(−1, 3) e é perpendicular à reta que passa pelos pontos P (−3, 4) e Q(2, 1).
9. Determine a equação da reta que é paralela à reta 3x+ 2y + 6 = 0 e que passa pelos pontos (0, k) e (−2, 4k), sendo
k ∈ R.
10. Considere no plano−xy as retas de equações r : 5x− 12y = 42, s : 5x+ 16y = 56 e t : 5x+ 20y = k. Determine o
valor de k de modo que as três retas sejam concorrentes num mesmo ponto.
1
11. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 1) e é paralela à reta 2x− y + 1 = 0.
[Dica:] Duas retas no plano−xy com inclinações m1 e m2 são paralelas quando m1 = m2.
12. Em um plano−xy temos duas retas: r e s. A reta r tem inclinação 1 e passa pelo ponto (2, 3); enquanto a reta s
passa pelos pontos (1, 1) e (3, 5). Determine se as retas r e s são: coincidentes, paralelas ou concorrentes. Se r e s
forem concorrentes, determine o ponto de interseção.
13. Determine se o par de retas r e s cujas equações são dadas, são: concorrentes, paralelas, ou coincidentes. No caso
em que elas são concorrentes, determine as coordenadas de seu ponto comum.
[1] r: x− 2y = 1 , s: 2x+ y = 17 [2] r: 2x+ 3y = −1 , s: 4x+ 6y = −3 [3] r: x+ 2y = −1 , s: 2x+ 2y = −2
14. Resolva os seguintes sistemas lineares 2× 2:
[1]
{
x+ 2y = 5
3x− y = 2
[2]
{
4x− 7y = 11
2x+ 8y = 0
[3]
{
2x+ 3y = −1
4x+ 6y = −3
[4]
{
x+ y = 27
4x+ 2y = 74
[5]
{
2x+ y = 11
7x− 4y = −11
[6]
{
2x+ y = 11
6x+ 3y = 33
15. Resolva os seguintes sistemas de equações com duas incógnitas:
[1] x+ y = 15 e x− y = 7 [2] 16x+ 17y = 500 e 17x− 3y = 110
[3]
x
5
+
y
6
= 18 e
x
2
− y
4
= 21 [4]
x+ y
2
− x− y
3
= 8 e
x+ y
3
+
x− y
4
= 11
16. Esboce o grá�co de cada função dada.
[1] f(x) = −3x+ 6 [2] f(x) = x− 2 [3] f(x) = −2x− 1 [4] f(x) = 2− x
17. Para cada função linear dada, determine: um esboço do seu grá�co; os seus zeros (ou seja, os números x tais que
f(x) = 0; os seus sinais (ou seja, determine os intervalos nos quais a função é positiva e aqueles nos quais a função é
negativa).
[1] f(x) = 2x− 4 (−2 0 é arbitrário. O que acontece no caso a = 0?
30. Considere a função quadráticaf(x) = −x2 − 2x+ 8 e determine:
[1] os seus zeros e o estudo dos seus sinais. Faça um esboço do grá�co de f ;
[2] as inclinações das retas tangentes ao grá�co de f nos pontos (a, f(a)), sendo a um número real arbitrário;
[3] os pontos (a, f(a)) do grá�co de f nos quais a reta tangente é horizontal;
[4] se J ⊂ R é o maior intervalo no qual se tem f ′(a) > 0 para todo a ∈ J ; determine J .
31. O grá�co de uma função quadrática f tem o eixo−y como eixo de simetria, a distância entre os zeros é 4 e tem −5
como valor mínimo. Determine a expressão de f e encontre a sua derivada f ′(a) em cada número real a.
32. Determine a equação da reta tangente no ponto (2, 3) do grá�co da função quadrática f(x) = −x2 +6x+5, (x ∈ R).
Esboce o grá�co de f e a reta tangente encontrada no mesmo plano−xy.
33. Determine uma equação para a parábola que passa pelos pontos (0, 0), (4, 1) e (−4, 1) do plano−xy.
34. Considere a parábola de equação y = ax2 + bx+ c, que passa pelos pontos (2, 5), (−1, 2) e tal que a, b, c forma, nesta
ordem, uma progressão aritmética. Determine a distância do vértice da parábola à reta tangente à parábola no ponto
(2, 5).
35. A distância entre o vértice e o foco da parábola de equação 2x2 − 4x− 4y + 3 = 0 é igual a:
[1] 2 [2]
3
2
[3] 1 [4]
3
4
[5]
1
2
36. Os grá�cos das funções
f(x) = x2 + 2x− 5 , (x ∈ R) e g(x) =
6
x
, (x ∈ R∗)
se intersectam nos pontos A,B e C cujas abscissas são os números reais a, b e c, respectivamente. Então o valor de
a+ b+ c é:
[1] − 2
3
[2] − 1 [3] − 3
2
[4] − 2 [5] − 3
3
37. Encontre as equações das retas que passam pelo ponto (0,−1) e que sejam tangentes à parábola de equação y = x2.
38. No plano−xy considere a parábola de equação y = −4x2 + 8x+ 12 e a reta de equação y = 3x+ 6. Determine:
[1] os pontos A e B de interseção da parábola como o eixo−x, bem como o vértice V da parábola;
[2] o ponto C de abscissa positiva que pertence à interseção da parábola com a reta;
[3] a área do quadrilátero de vértices A,B,C e V .
39. Para cada uma das funções f abaixo determine: os seus zeros e sinais; um esboço do grá�co; a inclinação da reta
tangente ao grá�co de f no ponto (a, f(a)), sendo a um número real arbitrário; determine os pontos do grá�co de f
nos quais a reta tangente é horizontal.
[1] f(x) = −3x2 + 6 [2] f(x) = x2 − 2x
[3] f(x) = −x2 + 2x− 1 [4] f(x) = x2 − 5x+ 6
40. Determine os pontos de interseção entre os grá�cos das funções quadrática
f(x) = x2 + x e g(x) = x2 + 3x+ 4
e, em seguida, esboce os grá�cos dessas funções.
41. Considere a função cúbica f(x) = x3 − 3x e determine:
[1] os seus zeros e o estudo dos seus sinais;
[2] as inclinações das retas tangentes ao grá�co de f nos pontos (a, f(a)), sendo a ∈ R um número real arbitrário;
[3] os pontos (a, f(a)) do grá�co de f nos quais a reta tangente é horizontal;
[4] determine todos os intervalos dos tipos I e J caracterizados, respectivamente, por:
[a ∈ I ⇐⇒ f ′(a) 0]
42. Trace o grá�co de cada uma das seguintes funções do tipo modular e, em seguida, determine todos os pontos números
a para os quais a reta tangente ao grá�co de f no ponto (a, f(a)) não está de�nida.
[1] f(x) = |x| − 1 [2] f(x) = |x− 2| [3] f(x) = 2− |x|
[4] f(x) = x− |x| [5] f(x) = |x|+ x [6] f(x) =
|x|
x
[7] f(x) = −|x| [8] f(x) = x− 2|x| [9] f(x) = |x|+ |x− 2|
[10] f(x) = 1 + |3− 2x| [11] f(x) = x|x| [12] f(x) =
x
|x|
[13] f(x) = x2 − |x| − 2 [14] f(x) = |x2 − x− 2| [15] f(x) = |x2 − 2x|
[16] f(x) = |x2 + 3x+ 2| [17] f(x) = |x2 + 1| [18] f(x) = |x2 − 1|
43. O Imposto de Renda Devido (IRD) a ser pago pelo contribuinte, relativo ao ano 2000, dependia de sua Renda Líquida
(RL). O manual para preenchimento da declaração de rendimentos apresentava a tabela abaixo, que permitia calcular
o IRD a partir da RL:
RL (em reais) Alíquota de imposto Parcela a deduzir
até 10.800,00 0% 0
de 10.800,01 a 21.600,00 15% 1.620,00
acima de 21.600,00 27,5% 4.320,00
De acordo com a tabela, responda:
[1] qual o IRD de um contribuinte com RL=8.000,00?;
[2] qual o IRD de um contribuinte com RL=12.000,00?;
[3] qual o IRD de um contribuinte com RL=100.000,00?;
[4] determine IRD como função da Renda Liquida x e esboce o seu grá�co.
4
44. Esboce o grá�co de cada uma das seguintes funções de�nidas por partes:
[1] f(x) =
{
4− x , se x 0
45. Esboce o grá�co da função f de�nida por partes e, em seguida, determine em quais pontos (a, f(a)) do seu grá�co a
reta tangente existe e aqueles nos quais ela não existe.
f(x) =
{
−x2 + 2 , se x ≤ 1
x , se x > 1
Determine, também, os pontos do grá�co de f nos quais a reta tangente é horizontal.
46. Determine a reta tangente ao grá�co da função f dada no ponto P (a, f(a)) dado (utilizando a noção informal de
limite como vimos acima):
[1] f(x) = x → P (−1,−1) [2] f(x) = x4 → P (0, 0)
[3] f(x) =
2x− 1
x+ 3
, (x ̸= −3) → P (0,− 1
3 ) [4] f(x) =
2√
x
, (x > 0) → P (4, 1)
47. Considere a função racional f de�nida por f(x) =
x
x− 4
, (x ̸= 4) .
[1] Utilize a de�nição de derivada e determine todos os números reais a nos quais a derivada f ′(a) existe e aqueles
nos quais ela não existe.
[2] Encontre todos os valores de a para os quais a reta tangente no ponto (a, f(a)) do grá�co de f seja perpendicular
à reta 8x− 2y = −1.
48. Seja r > 0 um número real dado e considere a função real
f(x) =
√
r2 − x2 (−r ≤ x ≤ r).
Use a de�nição intuitiva de limite como feito em sala de aula e obtenha a equação da reta tangente ao grá�co de f
no ponto (a, f(a)) para cada número real a tal que −r[17] lim
x→2
x+ 2
x− 2
[18] lim
x→2
x3 − 8
x− 2
[19] lim
x→1
2x− 2
x3 + x2 − 2x
[20] lim
x→−2
4− x2
2x2 + x3
[21] lim
t→1
√
t− 1
t− 1
54. Considere a função
f(x) =
x2 + x− 6
|x− 2|
(x ̸= 2)
[1] Determine: (i) limx→2+ f(x) e (ii) limx→2− f(x);
[2] O limite limx→2 f(x) existe?
[3] Esboce o grá�co de f .
Respostas: (a) (i) 5 (ii) −5 (b) [ne] (c) No intervalo (−∞, 2) o grá�co de f coincide a reta y = −x − 3 e, no
intervalo (2,∞), com a reta y = x+ 3.
55. Considere a função
g(x) =
{
x2 + 1 se x 0)
Calcule o limite lateral limx→0+ f(x).
6
57. Suponha que uma função f tenha a propriedade de que
4x− 9 ≤ f(x) ≤ x2 − 4x+ 7
para todo x ≥ 0. Determine limx→4 f(x).
Propriedades da noção de limite
� A de�nição de limite: Seja y = f(x) uma função real de�nida em uma vizinhança de um número real a, exceto,
possivelmente, em a. Seja L um número real dado.
Dizemos que o limite dos números f(x) quando x tende para a existe e é igual ao número real L, quando é
possível tornar os valores f(x) tão próximos de L quanto se queira, desde que se tome os valores de x su�cientemente
próximos de a (mas diferentes de a).
Em símbolos:
lim
x→a
f(x) = L signi�ca que: para cada número real ε > 0 dado, existe um número real d > 0 tal que
se x ̸= a é tal que a− d 0)
7
→ Exemplo: usando a Regra da substituição direta (ver abaixo) obtemos: limx→−1[2 − x2] = 2 − (−1)2 = 1 e, daí
usando a propriedade (5) concluímos que:
lim
x→−1
√
2− x2 =
√
2− (−1)2 =
√
2− 1 =
√
1 = 1
e isso foi usado no cálculo da inclinação da reta tangente no ponto (−1, 1) da função real
f(x) =
√
2− x2 (−
√
2 ≤ x ≤
√
2).
� Consequência das propriedades: Sejam k ≥ 1 e n ≥ 1 números inteiros e c e d números reais dados:
[1] lim
x→a
xn = an [2] lim
x→a
{cxn + dxk} = can + dak
[3] lim
x→a
n
√
x = n
√
a (se n é par devemos supor que a > 0)
� Regra da substituição direta:
� Se P é uma função polinomial, então limx→a P (x) = P (a).
� Se R = P
Q é uma função racional e o número real a está no domínio de R, então limx→a R(x) = R(a) = P (a)
Q(a) .
→ Exemplos:
[1] lim
x→2
[x3 − 2x+ 1] = 23 − 2 · 2 + 1 = 8− 4 + 1 = 4
[2] lim
x→−1
x4 + 5
x2 + 1
=
(−1)4 + 5
(−1)2 + 1
=
6
2
= 3 → (Note que a função racional r(x) =
x4 + 5
x2 + 1
tem domínio R.)
� Limites laterais: Na de�nição de limites laterais de uma função real f em um número real a consideramos que x
tende para a apenas lateralmente, ou seja, no limite lateral à direita limx→a+ f(x) signi�ca que apenas x > a serão
usados; já no limite lateral à esquerda limx→a− f(x) signi�ca que apenas x 2
−x− 3 se x