Praticando Matemática: Álvaro Andrini

Prévia do material em texto

Álvaro Andrini PRATICANDO MATEMÁTICA MESTRE série FAE PN VENDA LD PROIBIDA CÓDIGO: TIPO: 0412-0 M EDITORA DO BRASIL S/AISBN 85-10-01259-8 ISBN 85-10-01260-1 (Livro do professor) Registre aqui a história deste livro: Nome da Escola Nome do aluno Ano Nome do aluno Ano Nome do aluno AnoÁLVARO ANDRINI Praticando Matemática Série As respostas constam apenas no livro do professor. planejamento de curso encontra-se num suplemento especial, no final do livro. EDITORA DO BRASIL S/A Rua Conselheiro Nébias, 887 São PauloDados de Catalogação na Publicação (CIP) Internacional (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Álvaro. Praticando : série / - Paulo : Editora do Brasil, 1989. Suplementado por do 1. Matematica (1° grau) 89-0744 para 1. : Ensino de 1° grau Nossa capa das linhas, os e a regularidade das faces, representativas do tesouro que a natureza nos oferece, simbolizam a grandiosidade dos da Reprodução: Gemas do Brasil Gentileza: HB Consultores Associados S/C Ltda.APRESENTAÇÃO Os quatro volumes desta coleção, destinada às quatro últimas séries do 1° grau, foram enriquecidos a partir da experiência em sala de aula e de algu- mas sugestões de colegas. As características básicas da obra são as seguintes: Cada capítulo está assim esquematizado: desenvolvimento da teoria; exercícios resolvidos; exercícios propostos; exercícios complementares; testes. A teoria é exposta numa linguagem clara e sucinta, de acordo com nível a que se destina, sem, no entanto, abandonar rigor necessário ao tra- tamento da matéria. Os exercícios resolvidos servem de apoio aos conceitos teóricos. Os exercícios resolvidos e os exercícios propostos apresentam uma se- qüência crescente de dificuldade. Os exercícios complementares podem ser utilizados como reforço e/ou revisão da matéria. Constituem inovações da obra: - capítulos curtos: os capítulos longos da edição anterior foram elimina- dos pela divisão do assunto, para proporcionar inter-relação e revisão mais constantes; séries de exercícios totalmente refeitas, apresentando os mais diferen- tes tipos de questões; - exercícios resolvidos intercalados nos exercícios propostos, para que aluno tenha neles um suporte ao refletir sobre dificuldades encontra- das; inclusão de testes de vestibulares adequados ao tratamento dado à matéria nesta coleção. Agradecemos, antecipadamente, todas as críticas e sugestões que nos fo- rem enviadas. AutorNDICE 1. Potenciação 7 2. Radicais 14 3. Operações com radicais 27 4. Racionalização de denominadores 39 5. Equações do 2° grau 48 6. Equação do 2° grau - Discussão e propriedades das raízes 72 7. Equações biquadradas 81 8. Equações irracionais 86 9. Problemas do 2° grau 95 10. Produto cartesiano 102 11. Relações e 113 12. Função do 1° grau 126 13. Função quadrática ou função do 2° grau 136 14. Grandezas proporcionais 150 15. Semelhança 166 16. Relações métricas no triângulo retângulo 178 17. Razões trigonométricas 195 Relações métricas num triângulo qualquer 207 Relações métricas na circunferência 215 20. Polígonos regulares 225 Área de polígonos 234 2. Medida da circunferência e área do círculo 2441 POTENCIAÇÃO DEFINIÇÃO Potência é um produto de fatores iguais. (n fatores) o número real a é chamado base da potência e o número natural n é chamado expoente da potência. Exemplos: = 49 1 2 1 4 1 CASOS PARTICULARES 1 Toda potência de expoente 1 é igual à base. = a 2 Toda potência de expoente zero é igual a 1. 3 Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de ex- poente positivo. 1 e n inteiro) 8 1 7EXERCÍCIOS 1) Calcule: a) 72 49 f) b) 64 g) m) c) 25 32 h) -1 (- -15 o) 0,01 e) 1 2) Calcule: Resolvido. - 81 a) 25 32 24 16 g) b) -32 e) h) 125 c) - 25 -32 -16 -64 3) Calcule: b) g) c) 4) Calcule: Resolvido. - 125 85) Calcule: Resolvido. a) d) b) c) 6) Calcule: a) 13 b) -7 c) 23 d) e) f) g) h) 12 7) Calcule o valor das expressões: a) 9POTÊNCIAS COM MESMA BASE Para facilitar as operações entre potências, empregam-se as seguintes proprieda- des: Exemplos: 1 2 3 4 EXERCÍCIOS 1) Classifique como verdadeiro ou falso: g) d) 2) Simplifique, aplicando as propriedades de potências: a) b) c) d) 103) Simplifique, aplicando as propriedades de potências: 4) Expressar como potência uma de 2. (25) EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Calcule: a) c) d) e) 103 65 m) 2) Calcule: a) b) 36 c) 3) como uma potência de 5. (55) 11TESTES 1) Se a = então é igual a: a) 10 c) 32 b) - 10 2) (PUC-SP) número de elementos distintos da é: a) 1 c) 3 16, 1 d) 4 16 16 3) (FEI-SP) valor da a) 1 2 4) (F. OBJETIVO-SP) valor da expressão numérica - é: b) 8 d) 15 5) Se m = 1000, então: a) c) b) d) 6) (FEI-SP) o valor da expressão a) 206 d) 127) (PUC-SP) o valor da expressão a) 10 b) 1000 c) 10-2 10-3 d) 8) (PUC-SP) produto am.am é igual a: a) a 9) valor da expressão 4 10) (SANTA CASA-SP) valor de é: 4 3 5 1 16 d) 2 15 11) (GV-SP) A expressão igual a: a) (1) 32 b) 40 d) - 40 =8+32=40 132 RADICAIS RADICIAÇÃO Sabemos que: a) = 5 porque = 25 3 b) 8 = 2 porque = 8 c) 16 = 2 porque 24 = 16 Sendo a e b números reais positivos e n um número inteiro maior que 1, temos por definição que: Lembremos que os elementos de Va=b são assim denominados: sinal do radical n índice do radical a radicando b raiz Nota: Quando índice é 2, usualmente não se escreve. Exemplos: b) 2 15 = 15 RAIZ DE UM NÚMERO REAL Consideremos o radical Va e verifiquemos os casos seguintes: 14a) ÍNDICE PAR Se n é par, todo número real positivo tem duas raízes. Veja: (-7)2 = 49 Como o resultado de uma operação deve ser único, vamos convencionar que: - Exemplos: a) - - Nota: Não existe raiz real de um número negativo se o índice do radical for par. Veja: a) V-9 = nenhum real porque - b) = nenhum real porque (nenhum - b) Se n é impar, cada número real tem apenas uma única raiz. Exemplos: = porque b) c) 1 = 1 porque 5 d) = - 1 Resumo: Radicando positivo => raiz positiva Radicando negativo e índice raiz negativa 15EXERCÍCIOS 1) Copie e complete quadro: 3 4 5 3 radical V7 V5 V1 V5 índice 2 3 4 5 2 3 radicando 7 2 5 1 5 9 2) Determine as raízes: a) V 49 b) 100 g) c) h) m) n) o) e) j) -10 p) 3) Calcule, caso exista em R: a) f) j) c) d) - 25 h) 4) Calcule: h) 49 11 5) Calcule: a) V 64 + 10 b) 100 - 36 8 d) 6 166) Calcule: 7 + 25 + 100 a) 3 2 4 25 1 b) -8 4 2 2 7) Calcule: 36+2V9 25 - 16 - a) 4 b) 3 3 POTÊNCIA COM EXPOENTE FRACIONÁRIO Se é número real positivo e m n é um número racional, com men inteiros a um definimos: Exemplos: 3 expoente do radicando Ilustrando: da raiz EXERCÍCIOS 1) Escreva em forma de potência com expoente fracionário: 5 a) 7 3 c) 10 10 2 X 2 1 3 a f) 3 3 m m 2) Escreva em forma de radical: 3 4 53 c) a5 1 V 5 3 a V 6 17PROPRIEDADES DOS RADICAIS Para os radicais de radicandos positivos valem as seguintes propriedades: Propriedade: Observe: 1 2 Então: Exemplos: d) = 5x Propriedade: Observe: 1 2 Comparando 1 , temos Então: n = radical de produto de um produto radicais Exemplos: d) 18EXERCÍCIOS 1) Aplique a propriedade: d) 5x 7x 2) Aplique a propriedade: d) 10xy e) 5x2m 3) Calcule, aplicando a propriedades: b) 2xy Propriedade: Observe: V4 1 2 Comparando 1 e 2 , temos: 25 Então: n b radical de quociente de um quociente radicais Exemplos: a) 19SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS Simplificar um radical significa escrevê-lo sob a forma mais simples e equivalente ao radical dado. Destacamos os seguintes casos de simplificação: 1° Caso: índice e expoente do radicando são divisíveis por um mesmo núme- ro (diferente de zero). Observe: 1 5 2 Comparando 1 e 2 , temos: Conclusão: Um radical não se altera quando o expoente do radicando e o índice do radical são divididos pelo mesmo número. Exemplos: = EXERCÍCIOS Simplifique os radicais: 4 a) 56 f) 8 b) 76 g) 6 c) i) Vx e) j) 202° Caso: expoente do radicando é um múltiplo do índice. radicando pode ser colocado fora do radical com um expoente igual ao quo- ciente do expoente anterior pelo Exemplos: a) (Dividimos 10 por 2) 3 b) (Dividimos 12 por 3) c) (Dividimos 20 por 4) d) (Dividimos 6 por 2) e) (Dividimos 10 por 2) EXERCÍCIOS Simplifique os radicais: a5 h) 93 i) x2 35 p) a4x2 3° Caso: expoente do radicando é maior do que índice. Decompomos o radicando em fatores de modo que um dos fatores tenha expoen- te múltiplo do índice. Exemplos: a) = 21EXERCÍCIOS 1) Simplifique os radicais: 2) Simplifique os radicais: Resolvido. a) b) 3) Fatore radicando e simplifique os radicais: Resolvido. e) 80 4V5 4) Simplifique os radicais: Resolvido. = a) h) 25a4x 22EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Qual valor de x? a) c) 169 b) f) g) d) 400 h) 1 2) Calcule: a) - 1 b) e) 8 4 h) 11 3) Determine as raízes: 49 3 27 3 a) d) 25 1000 10 5 121 11 4 16 2 b) - e) 100 10 81 3 5 2 2 243 3 1 4) (CESCEM-SP) Qual valor da expressão Resp.: 2 235) (ITE-Bauru) Qual é valor da expressão V 643 = =V218 = 512 Resp.: 512 6) Simplifique os radicais: Resolvido. a) 12 d) g) 98 7 b) 18 3V2 e) 72 h) 99 c) 50 5V2 f) 75 i) 200 10 7) Simplifique os radicais (as variáveis são positivas): a) 9x2y b) c) g) 2m m d) 3xy h) 49a4x 7a2 X TESTES 1) o valor da expressão a) 0 b) 1 d) -2 - 2) o valor da expressão é: b) 1 c) - 1 d) -7 243) (F. OBJETIVO-SP) valor da expressão numérica a) 0,6 c) 0,75 4) (UF-RN) 13 + igual a: . a) 4 = b) 5 c) 6 d) 7 5) (UMC-SP) Seja 132 valor de n é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 10 6) Simplificando o radical V 1024, vamos obter. 2 b) 3 c) 4 d) 6 7) (UE-MT) 2352 corresponde a: a) 2352 = 7 V3 c) V3 d) 56 V3 253 32 8) Simplificando , obtemos: 4 16 a) 2 32 b) 2 4 c) 2 V 2 d) V2 4 16 9) Simplificando a expressão obtemos: 81 , a) 9 1 2 2 4 9 3 c) 0 2 d) 3 75 10) (PUC-SP) Simplificando obtemos: , 12 5 5 75 25 5 a) c) 2 3 12 4 5 5 b) d) 3 2 11) (PUC-DF) o valor numérico da expressão 2 xy x2 - 21y, para e y = 3, é igual a: a) 0 c) 9 2 36 144-63= b) -3 d) 3 = 9 263 OPERAÇÕES COM RADICAIS RADICAIS SEMELHANTES Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e mesmo Exemplos de radicais semelhantes: a) b) 3 Exemplos de radicais a) 5V8e2V3 (Os radicandos são diferentes.) b) 4 (Os índices são diferentes.) EXERCÍCIOS Responda em quais itens os radicais são semelhantes: a) 5V2e3V2 e) 7V2e7V3 b) d) h) OPERAÇÕES COM RADICAIS A) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 1° Caso. Os radicais não são Devemos proceder do seguinte modo: Extrair as raízes (exatas ou aproximadas). 2°) Somar ou subtrair os resultados. 27Exemplos: 1 2 3 2 + 3 1,41 + 1,73 3,14 Neste último exemplo, resultado obtido é aproximado, pois são números irracionais (representação decimal infinita e não-periódica). EXERCÍCIOS 1) Calcule: a) 5 3 b) 1 5 c) 11 3 d) - 4 i) 7 e) 1 8 2) Copie e coloque = ou # de modo a obter sentenças verdadeiras: b) 3) A sentença matemática 16+V9 é verdadeira ou falsa? Por quê? Resp.: Falsa, porque 4) A sentença matemática ou falsa? Por quê? Resp.: Falsa, porque 2° Caso: Os radicais são semelhantes, Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, procedemos como na redução de termos semelhantes de uma soma algébrica. Exemplos: c) 28EXERCÍCIOS 1) Efetue as adições e subtrações: a) 5VT 2V7 b) 3V11 c) 8V3-10V3 -2V3 h) 9V5+V5 10V5 d) e) 2) Efetue as adições e subtrações: a) 2V7 b) c) 10V5 3° Caso: Os radicais tornam-se semelhantes depois de simplificados. Exemplos: =7V3 =7V2 EXERCÍCIOS 1) Simplifique os radicais e efetue as operações: a) b) c) d) 2V2+V8 4V2 i) e) 292) Simplifique os radicais e efetue as operações: a) e) 22V2 b) f) 11V2 c) g) d) 16V2 h) -7V2 3) Simplifique os radicais e efetue as operações: 4V3 b) c) - d) 5 180 + REDUÇÃO DE RADICAIS AO MENOR ÍNDICE COMUM Dois ou mais radicais com índices diferentes podem ser expressos como radicais de mesmo índice. Exemplo: Reduzir ao mesmo comum. Solução: a) Calcula-se o m.m.c. dos índices. m.m.c. ( 3, 2, 4) = 12 b) Divide-se o m.m.c. pelos índices de cada radical e multiplica-se quociente obtido pelo expoente do radicando. 12 V36 e EXERCÍCIOS 1) Reduza ao menor índice comum os radicais: a) d) b) c) 302) Qual é o 5 ou Solução: Vamos reduzir os radicais ao mesmo índice. m.m.c. Logo: 3) Qual é o V5 4 4) Qual é V4 B) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 1° Caso: Os radicais têm mesmo índice. Efetuamos a operação entre os radicandos. Exemplos: b) c) d) 2° Caso: Os radicais não têm mesmo índice. Inicialmente devemos reduzi-los ao mesmo índice. Exemplos: a) 3 = = b) = = 10 49 = 243 31EXERCÍCIOS 1) Efetue as multiplicações e divisões: 50 h) 30 2) Multiplique os radicais e simplifique produto obtido: a) g) 15 d) h) 6 3) Efetue as multiplicações e divisões: a) e) f) g) d) 5 V3.VT h) 3 4) Efetue as multiplicações e divisões: a) d) b) e) V53 c) f) 432 32C) POTENCIAÇÃO Observe o exemplo: Vamos aplicar a definição de potenciação. Conclusão: Conservamos o índice e elevamos o radicando à potência indicada. De modo geral: Exemplos: = EXERCÍCIOS 1) Efetue as potenciações: a) 2) Calcule as seguintes potências: Resolvido. = 9 d) 27 b) 27 e) 125 = 333) Efetue as potenciações: a) d) 45 = c) f) = 75 D) RADICIAÇÃO Observe: 1 3 2 Comparando , 3 = Conclusão: Conservamos o radicando e multiplicamos os De modo geral: Exemplos: a) EXERCÍCIOS 1) Escreva, usando um único radical: 3 a) 8 8 f) 4 7 3 2 a d) V3 8 12 8 342) Calcule e simplifique: Resolvido. a) V 80 b) 162 3V2 d) 1024 2 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Simplifique os radicais e efetue as operações: a) c) d) e) f) 2) Simplifique as expressões: 3 3V3 353) Multiplique os radicais e simplifique o produto obtido: a) 10 d) e) 4) Divida os radicais e simplifique o quociente obtido: a) 20:15 2 c) d) 2 5) Simplifique os radicais: a) 3 64 2 c) 3 3 3 V 512 2 b) 16 2 d) 256 2 TESTES 1) Nas sentenças abaixo, assinale com V as verdadeiras e, com F, as falsas: III) Nesta ordem, a alternativa correta é: a) V, F, V c) V,F,F b) V, V, F d) F,V,V 362) Considere as afirmações: Quantas são verdadeiras? a) 0 b) 1 d) 3 3) (PUC-SP) Os números são colocados: a) em ordem decrescente. b) em ordem crescente. c) em ordem não decrescente. d) nada disso. 4) valor da expressão 6 a) 13 V 13 b) 42 13 c) 13 42 d) 42 42 5) = 7 10, b =-21 10, o valor a) 10 b) 30 c) - 10 d) - 30 6) (UF-GO) número é igual a: a) 18 c) 0 b) 18 - V6 d) 4 377) (PUC-SP) A expressão com radicais a: b) 12 d)-3V2 8) (UF-CE) Simplificando a a) b) c) d) 15 V2 9) (F. OBJETIVO-SP) a) y=3x b) y=5x y=V2 c) y=x d) 10) (FCC-SP) A expressão 5000 + V 500 é igual a: a) 60 V2 5000 +V 500 b) 60 V5 = c) 5(10V2+V5) d) 10(V5+5V2) 11) (UF-MG) quociente é igual a: a) 2 = b) 1 c) 3V3 d) 2V3 384 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES FATOR RACIONALIZANTE Uma expressão com radical é chamada fator racionalizante de outra quando o produto delas é uma expressão sem radical. Exemplos: 1 Qual é o fator racionalizante de Resposta: o fator racionalizante de Explicando: = 7 produto sem radical 2 Qual é o fator racionalizante de 5 3 ? Resposta: fator racionalizante de Explicando: 5 produto sem radical 3 Qual é o fator racionalizante de Resposta: fator racionalizante de Explicando: = . produto sem radical 394 Qual é o fator racionalizante de V5+V2? Resposta: fator racionalizante de Explicando: =5-2 =3 produto sem radical Observe que, no produto da soma pela diferença, aplicamos a "regra" já conhecida: 5 Qual é o fator racionalizante de 3V5-2? Resposta: fator racionalizante Explicando: (3 = 41 produto sem radical EXERCÍCIOS 1) Escreva o fator racionalizante de cada expressão: a) V5 d) 3VT b) V10 (V10) e) c) V12 (V12) (V11) 2) Escreva o fator racionalizante de cada expressão: d) (V2) 403) Escreva o fator racionalizante de cada expressão: a) (V8-V5) c) - V5 (2V3+V5) 4) Efetue as multiplicações: Resolvido. a) 10 c) 24 b) 3V7.VT 21 d) 20 5) Efetue as multiplicações: Resolvido. 3 = 6 32 56 d) 10 6) Efetue as multiplicações: a) 4 b) c) 3 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Racionalizar o denominador de uma fração é obter uma fração equivalente com denominador racional. Recordemos a propriedade fundamental das frações: Uma fração não se altera quando o numerador e o denominador são multiplicados por um mesmo número, diferente de zero. 41Vamos estudar os casos mais comuns de racionalização. 1° Caso: denominador é um radical de índice 2. Exemplos: 3 1 = 3V7 = = = = EXERCÍCIOS Racionalize os denominadores das frações: 4V3 2V2 V3 3 3 7V2 5V6 2 2V6 12 1/5 V5 V2 V6 g) 5 3 21 V6 V 30 21 d) h) V5 5 3 6 2) Caso: denominador é um radical com índice diferente de 2. Exemplos: 1 7 = = 6 2 8 = = 42EXERCÍCIOS Racionalize os denominadores das frações: 3/72 8 8 V32 2 15 5 2 5V6 V6 6 30 2V52 15 3 1 a 3° Caso: denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um dos termos um Exemplos: = V5+V2 = = 5 5(3+V2) = = 43EXERCÍCIOS Racionalize os denominadores das frações: 8 a) 2 c) 41 22 e) 4 6 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Racionalize os denominadores das frações: a 3 33 c) 11 10 6 15 20 a 442) Racionalize os denominadores das frações: a) e) 10 c) 3 d) 10(V2+V3) V3-2V2 V3+2V2 TESTES 1) valor da expressão a) 24 b) 73 c) 23 d) 63 2) a) X é igual ay b) xéo inverso de y c) xéo dobro de d) a metade 453) Racionalizando denominador de , vamos b) 8 d) 4) (FUVEST-SP) V3 é igual a: c) 5) (CESGRANRIO-RJ) Racionalizando denominador, vemos que a razão V3-1 é igual a: c)V3+V2 6) (FIUBE-MG) Racionalizando-se denominador da obtém-se: a) b) = d) 467) (PUC-SP) valor da d) 8) (FUVEST-SP) valor da = 9) (F. OBJETIVO é a: - = b) c) 10) (FUVEST - SP) Qual é valor da expressão 3-1 475 EQUAÇÕES DO GRAU DEFINIÇÃO Uma equação do 2° grau com uma variável tem a forma: ax2 +bx+c=0 sendo: X a incógnita, a, b e c números reais, chamados coeficientes. Exemplos: 1 2 3 8x2 , 4 , 5 9x2 = 0 , Observe que: a representa o coeficiente de b representa coeficiente de X; c representa termo independente. 48EXERCÍCIOS 1) Quais são equações do 2° grau? e) b) 8x-5x-2=0 f) c) 0 g) 0 d) + 5x - 8 = 0 2) Determine os valores dos coeficientes a, b e nas equações seguintes: a) - b) c) 3x2 7x = 0a d) 3) Coloque na forma ax2 + bx + C = 0 as seguintes equações do 2° grau: Resolvido. - - = 0 5x - 18 = 0 a) 5x + 3x2 = 4x-7 b) x2 + 4x = 2 (x-1) c) X d) 4x 494) Coloque na forma ax2 + bx + C = 0 as seguintes equações do 2° grau: Resolvido. 1 a) - b) 0 0 e) EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS A equação ax2 + bx chamada: Equação completa: quando b 0. Exemplos: 0 b) 0 Equação incompleta: quando b = 0 ou ambos são nulos. Exemplos: a) 8x = 0 b) c) EXERCÍCIOS Classifique as equações do 2° grau em completa ou incompleta: a) - = 0 incompleta b) 0 incompleta g) incompleta c) incompleta h) completa d) 0 completa i) incompleta e) 0 completa j) 0 completa 50