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Catalog
12024EUF0000 Jonh Doe
Instructions for the exam:
� This test contains 40 questions on the subjects classical mechanics, electromagnetism, ther-
modynamics, modern physics, quantum mechanics, and statistical physics. All questions
have the same weight.
� The duration of this test is 4 hours.
Candidates must remain in the exam room for a minimum of 90 minutes.
� The use of calculators or other electronic devices is not permitted during the exam.
� Fill in the correct alternatives in the answer sheet at the end of the exam, by �lling completely
the corresponding square in black or blue ink. Alternatives �lled in anywhere outside
the answer sheet will be disregarded. Do not detach the answer sheet. Any eventual
errors in �lling the squares can be corrected with white liquid paper.
� At the end of the test, return both this question booklet and the formula sheet.
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12024EUF0000 Jonh Doe
Q. 1 [mcEN1a]
Similar cones (but of di�erent dimensions) made
of the same material are released from rest, as
illustrated on the right, and fall vertically un-
der the action of gravity and air resistance. It
is noticed that the terminal velocities of these
cones are the same. Among the statements be-
low, which of them are necessary for the ter-
minal velocities to be equal?
I. The drag force is proportional to the square of the speed.
II. The drag force is proportional to the area of the cone.
III. The drag force is proportional to the radius of the cone.
A Only II B I and III C I and II D Only I E Only III
Q. 2 [mcEN1b]
Similar spherical caps (but of di�erent dimen-
sions) made of the same material are released
from rest, as illustrated on the right, and fall
vertically under the action of gravity and air
resistance. It is noticed that the terminal ve-
locities of these caps are the same. Among the
statements below, which of them are necessary
for the terminal velocities to be equal?
I. The drag force is proportional to the square of the speed.
II. The drag force is proportional to the area of the cap.
III. The drag force is proportional to the radius of the shell.
A Only II B I and III C I and II D Only I E Only III
Q. 3 [mcEN2a]
The �gure on the right illustrates a block of den-
sity ρ on an inclined plane of angle α which is
slightly smaller than the maximum angle of in-
cline so that the block does not slide. The entire
system is inside a container with liquid of den-
sity ρ′ = ρ/2 and whose level rises slowly.
Disregarding the drag e�ects of the liquid and assuming that the friction coe�cient between the
block and the inclined plane is unchanged by the presence of the liquid, which of the following
statements are true?
I. As soon as the layer of liquid reaches the block, the normal force between the block and the
inclined plane begins to decrease.
II. The block slides shortly after the layer of liquid reaches it.
III. The block slides only after the layer of liquid submerges 1/2 of its volume.
A Only I B Only II C Only II D I and II E I and III
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Q. 4 [mcEN2b]
The �gure on the right illustrates a block of den-
sity ρ on an inclined plane of angle α which is
slightly smaller than the maximum angle of in-
cline so that the block does not slide. The entire
system is inside a container with liquid of den-
sity ρ′ = ρ/3 and whose level rises slowly.
Disregarding the drag e�ects of the liquid and assuming that the coe�cient of friction between the
block and the inclined plane is unchanged by the presence of the liquid, which of the following
statements are true?
I. The normal force between the block and the inclined plane is smaller the greater the sub-
merged fraction of the block.
II. The block slides shortly after the layer of liquid reaches it.
III. The block slides only after the layer of liquid submerges 2/3 of its volume.
A Only I B Only II C Only II D I and II E I and III
Q. 5 [mcEN3a] A bowling ball of mass M and radius R is thrown on a perfectly horizontal lane
with initial speed v0 and without rotating. If µ > 0 is the kinetic friction coe�cient between the
ball and the track and considering the ball as a homogeneous spherical shell, what is its �nal speed
after the sliding stops? (Consider the ball and track to be ideally rigid. The moment of inertia of
a homogeneous spherical shell about an axis through its center of mass is 2MR2/3.)
A
3
5
v0 B 0 C
√
3
5
v0 D
1
1 + µ
v0 E
1
1 +
2
3
µ
v0
Q. 6 [mcEN3b] A bowling ball of mass M and radius R is thrown on a perfectly horizontal lane
with initial speed v0 and without rotating. If µ > 0 is the kinetic friction coe�cient between the
ball and the track and considering the ball as a homogeneous sphere, what is its �nal speed after
the sliding stops? (Consider the ball and track to be ideally rigid. The moment of inertia of a
homogeneous sphere shell about an axis containing its center of mass is 2MR2/5.)
A
5
7
v0 B 0 C
√
5
7
v0 D
1
1 + µ
v0 E
1
1 +
2
5
µ
v0
Q. 7 [mcEN4a] The velocity as a function of time for a particle in harmonic oscillation is dis-
played in the �gure below. Assuming x(t) = A cos(ωt+ δ), indicate the option that best describes
the angular frequency ω and the amplitude of the movement A.
A ω =
π
4
rad/s; A =
16
π
cm
B ω =
π
2
rad/s; A =
8
π
cm
C ω =
π
8
rad/s; A =
32
π
cm
D ω = 4π rad/s; A =
1
π
cm
E ω = 2π rad/s; A =
2
π
cm
Catalog
Q. 8 [mcEN4b] The velocity as a function of time for a particle in harmonic oscillation is
presented in the �gure below. Assuming v(t) = A cos(ωt+ δ), determine the option that best
describes the angular frequency ω and the maximum of the module of the acceleration amax.
A ω =
π
4
rad/s; amax = π cm/s2
B ω =
π
2
rad/s; amax = 2π cm/s2
C ω =
π
8
rad/s; amax =
π
2
cm/s2
D ω =
π
8
rad/s; amax =
π
2
cm/s2
E ω = 2π rad/s; amax = 8π cm/s2
Q. 9 [mcEN5a] In a collision experiment, carried out in an Experimental Physics lab, students
place two blocks A and B, with the same mass m, on an air track.
The block B has a spring with elastic constant k and negligible mass attached to it. Before the
collision, block B is at rest, while block A approaches with a velocity v0, as shown in the �gure
above. Assuming that the energy loss due to friction is negligible, determine the modulus of the
maximum compression ∆xmax of the spring during the collision. Express your result as a function
of the parameters m, k and v0.
A ∆xmax =
√
mv20
2k
B ∆xmax =
√
mv20
k
C ∆xmax =
√
mv20
4k
D ∆xmax =
√
2mv20
k
E ∆xmax =
√
3mv20
2k
Q. 10 [mcEN5b] In a collision experiment, carried out in an Experimental Physics lab, students
place two blocks A and B, with the same mass m, on an air track.
The block B has a spring with elastic constant k and negligible mass attached to it. Before the
collision, block B is at rest, while block A approaches with velocity v0, as shown in the �gure
above. From the experiment, the students are able to estimate the maximum compression ∆xmax
su�ered by the spring during the collision. Assuming that energy loss due to friction is negligible,
determine the magnitude of the initial velocity v0 of block A. Express your result as a function of
the parameters m, k and ∆xmax.
A v0 =
√
2k∆x2max
m
B v0 =
√
k∆x2max
m
C v0 =
√
4k∆x2max
m
D v0 =
√
k∆x2max
2m
E v0 =
√
2k∆x2max
3m
Catalog
Q. 11 [mcEN6a] A particle of mass m and charge q is coupled to an in�nite thin plane by an
ideal insulator spring of negligible mass, length L and elastic constant k. The plane is dielectric
and has a homogeneous surface charge σ with the same sign as q. The particle can oscillate freely
in the coordinate normal to the plane, as illustrated in the �gure below. Disregarding the e�ects
of gravity and the energy loss due to radiation, determine (i) the deformation ∆L of the spring at
equilibrium, and (ii) the angular frequency ω of the oscillation. Use the International System of
units, so that the electric �eld of an in�nite plane is E⃗ = 1
2 (σ/ϵ0)n̂, with n̂ being the plane normal
vector. Assume a positivepara o primeiro estado excitado rotacional é:
A
2ℏ2
md2
. B
ℏ2
md2
. C
ℏ2
2md2
. D
4π2ℏ2
md2
. E
2π2ℏ2
md2
.
Q. 44 [fmPT2b] Uma molécula diatômica é composta por dois átomos iguais, cada um de massa
m. A energia necessária para levar a molécula do estado fundamental para o primeiro estado
excitado rotacional é E . Qual é a distância média entre os núcleos dos átomos dessa molécula?
A
√
2ℏ2
mE
B
√
ℏ2
mE
C
√
ℏ2
2mE
D
√
2π2ℏ2
mE
E
√
4π2ℏ2
mE
Q. 45 [fmPT3a]
-4 -2 0 2 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 Uma partícula de massa m está sujeita ao po-
tencial unidimensional V (x) = V0 tanh
2 (x/d)
(ilustrado ao lado), onde V0 e d são constantes
positivas. Para V0 su�cientemente grande, a
diferença de energia entre os dois estados liga-
dos de mais baixa energia é aproximadamente
igual a:
A
ℏ
d
√
2V0
m
. B
ℏ
d
√
V0
m
. C
ℏ
d
√
V0
2m
. D
2ℏ
d
√
V0
m
. E
ℏ
2d
√
V0
m
.
Q. 46 [fmPT3b]
-4 -2 0 2 4
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0 Uma partícula de massa m está sujeita ao po-
tencial unidimensional V (x) = −V0 exp
(
− x2
2d2
)
(ilustrado ao lado), onde V0 e d são constantes
positivas. Para V0 su�cientemente grande, a
diferença de energia entre os dois estados liga-
dos de mais baixa energia é aproximadamente
igual a:
A
ℏ
d
√
V0
m
. B
2ℏ
d
√
V0
m
. C
ℏ
2d
√
V0
m
. D
4ℏ
d
√
V0
m
. E
ℏ
4d
√
V0
m
.
Catalog
Q. 47 [fmPT4a]
Um planeta descreve uma órbita circular de raio R em torno de uma estrela cuja potência irradiada
é P . Suponha que o planeta possa ser tratado aproximadamente como um corpo negro de formato
esférico em equilíbrio térmico. Sendo kB a constante de Boltzmann e σ a constante de Stefan�
Boltzmann, a temperatura desse planeta é:
A
(
P
16πσR2
) 1
4
.
B
4P
πkBR2
.
C
P
4πkBR2
.
D
P
πkBR2
.
E
(
P
πσR2
) 1
4
.
Q. 48 [fmPT4b]
Um planeta cuja temperatura média é T descreve uma órbita circular de raio R em torno de
uma estrela. Suponha que o planeta possa ser tratado aproximadamente como um corpo negro de
formato esférico em equilíbrio térmico. Sendo kB a constante de Boltzmann e σ a constante de
Stefan�Boltzmann, a potência irradiada pela estrela é:
A 16πσR2T 4.
B
π
4
R2kBT .
C 4πR2kBT .
D πR2kBT .
E πσR2T 4.
Q. 49 [fmPT5a] Em um experimento de efeito fotoelétrico, uma superfície metálica é iluminada
com luz verde (λ1 = 500 nm). Os elétrons ejetados são freados totalmente quando um potencial
de 0,48V é aplicado. Ao fazermos incidir luz violeta (λ2 = 400 nm), o potencial necessário para
frear totamente os elétrons é:
A 1,1 V. B 2,0 V. C 3,1 V. D 0,48 V. E 0,62 V.
Q. 50 [fmPT5b] Em um experimento de efeito fotoelétrico, uma superfície metálica é iluminada
com luz verde (λ1 = 500 nm). Os elétrons ejetados são freados totalmente quando um potencial
de 0,48V é aplicado. Ao fazermos incidir luz laranja (λ2 = 600nm), o potencial necessário para
frear totamente os elétrons é, com um algarismo signi�cativo:
A 0,07 V. B 2 V. C 3 V. D 0,4 V. E 0,2 V.
Q. 51 [fmPT6a] Considere que o objetivo de um certo microscópio seja atingir uma resolução
su�ciente para �enxergar� um átomo. Comparando microscópios eletrônicos e óticos que utilizam
o mesmo comprimento de onda λ, a razão entre as energias dos elétrons e dos fótons para obter a
resolução desejada, em termos das constantes universais h (a constante de Planck), me (a massa
do elétron) e c (a velocidade da luz no vácuo), é:
A
(
h
2mec
)
1
λ
.
B
(
h
mec
)
1
λ
.
C
(me
hc
)
λ.
D
(
hc
me
)
1
λ
.
E
(
2meh
c
)
λ.
Q. 52 [fmPT6b] Considere que o objetivo de um certo microscópio seja atingir uma resolução
su�ciente para �enxergar� um átomo. Comparando microscópios eletrônicos e óticos que utilizam
o mesmo comprimento de onda λ, a razão entre as energias dos fótons e dos elétrons para obter a
resolução desejada, em termos das constantes universais h (a constante de Planck), me (a massa
do elétron) e c (a velocidade da luz no vácuo), é:
A
(
2mec
h
)
λ.
B
(mec
h
)
λ.
C
(
hc
me
)
1
λ
.
D
(me
hc
)
λ.
E
(
c
2meh
)
1
λ
.
Catalog
Q. 53 [fmPT7a] Em um acelerador de partículas, estuda-se a colisão frontal de duas partículas
idênticas. No referencial do laboratório, as partículas movem-se em sentidos opostos com veloci-
dades de módulo 0,50c. No referencial de uma das partículas, o módulo da velocidade com que a
outra partícula se aproxima é:
A 0,80c. B 0,69. C 0,55c. D 0,38c. E 0,88c.
Q. 54 [fmPT7b] Em um acelerador de partículas, estuda-se a colisão frontal de duas partículas
idênticas. No referencial do laboratório, as partículas movem-se em sentidos opostos com veloci-
dades de módulo 0,30c. No referencial de uma das partículas, o módulo da velocidade com que a
outra partícula se aproxima é:
A 0,55c. B 0,69. C 0,80c. D 0,38c. E 0,88c.
Q. 55 [fmPT8a] O olho humano é um sensor ótico extremamente sensível a fótons da região do
espectro visível. Tipicamente, a retina pode absorver uma potência luminosa de aproximadamente
4 · 10−17W em um comprimento de onda de 500 nm. Isto quer dizer que a retina absorve em torno
de:
A 100 fótons por segundo.
B 1013 fótons por segundo.
C 6 · 1020 fótons por se-
gundo.
D 6000 fótons por segundo.
E 200 fótons por segundo.
Q. 56 [fmPT8b] O olho humano é um sensor ótico extremamente sensível a fótons da região
do espectro visível. Considere que a retina possa absorver em torno de 50 fótons de comprimento
de onda 450 nm por segundo. Isso quer dizer que a retina absorve uma potência luminosa de
aproximadamente:
A 2,2 · 10−17W .
B 2,2 · 10−6W .
C 225W .
D 4,0 · 10−15W .
E 7,8 · 10−17W .
Q. 57 [mqPT1a] O Hamiltoniano de um elétron em um campo magnético uniforme pode ter a
seguinte representação matricial:
H = b
[
1 0
0 −1
]
, (3)
onde b = −ℏγB/2, γ é a razão giromagnética do elétron e B é a intensidade do campo magnético.
Das alternativas abaixo, indique a verdadeira:
A Os autovalores de energia são ±b, correspondentes a autoestados de H nos quais o spin do
elétron está alinhado ou oposto ao campo magnético.
B Os autovalores de energia são ±b/2, correspondentes a autoestados de H nos quais o spin do
elétron está alinhado ou oposto ao campo magnético.
C Os autovalores de energia são ±b, com −b correspondente ao autoestado de H no qual o spin
do elétron está perpendicular ao campo magnético e +b àquele no qual o spin do elétron está
paralelo ao campo magnético.
D Os autovalores de energia são ±b/2, com −b/2 correspondente ao autoestado de H no qual
o spin do elétron está perpendicular ao campo magnético e +b/2 àquele no qual o spin do
elétron está paralelo ao campo magnético.
E Os dois autoestados de H, um no qual o spin do elétron está oposto ao campo magnético e o
outro no qual o spin do elétron está alinhado com o campo magnético, possuem autovalores
de energia degenerados, iguais a b.
Catalog
Q. 58 [mqPT1b] O Hamiltoniano de um elétron em um campo magnético uniforme pode ter a
seguinte representação matricial:
H = ℏc
[
1 0
0 −1
]
, (4)
onde c = −γB/2, γ é a razão giromagnética do elétron e B é a intensidade do campo magnético.
Das alternativas abaixo, indique a verdadeira:
A Os autovalores de energia são ±ℏc, correspondentes a autoestados de H nos quais o spin do
elétron está alinhado ou oposto ao campo magnético.
B Os autovalores de energia são ±ℏc/2, correspondentes a autoestados de H nos quais o spin
do elétron está alinhado ou oposto ao campo magnético.
C Os autovalores de energia são ±ℏc, com −ℏc correspondente ao autoestado de H no qual
o spin do elétron está perpendicular ao campo magnético e +ℏc àquele no qual o spin do
elétron está paralelo ao campo magnético.
D Os autovalores de energia são ±ℏc/2, com −ℏc/2 correspondente ao autoestado de H no qual
o spin do elétron está perpendicular ao campo magnético e +ℏc/2 àquele no qual o spin do
elétron está paralelo ao campo magnético.
E Os dois autoestados de H, um no qual o spin do elétron está oposto ao campo magnético e o
outro no qual o spin do elétron está alinhado com o campo magnético, possuem autovalores
de energia degenerados, iguais a ℏc.
Q. 59[mqPT2a] Sendo V para a�rmativa verdadeira e F para a�rmativa falsa, indique a sequência
correspondente às a�rmativas abaixo acerca de partículas quânticas idênticas:
� Em um sistema de partículas quânticas idênticas, a indistinguibilidade das partículas leva à
simetrização ou antissimetrização da função de onda do sistema com relação à permutação
das coordenadas (incluindo possíveis índices de spin) das partículas.
� Partículas quânticas idênticas são distinguíveis sendo possível identi�car as coordenadas (in-
cluindo possíveis índices de spin) de cada partícula na função de onda do sistema de partículas
quânticas idênticas.
� O princípio de exclusão de Pauli decorre da antissimetria da função de onda de um sistema
de férmions idênticos com relação à permutação das coordenadas (incluindo possíveis índices
de spin) dos férmions na dita função de onda.
� A condensação de Bose-Einstein decorre da antissimetria da função de onda de um sistema
de férmions idênticos com relação à permutação das coordenadas (incluindo possíveis índices
de spin) dos férmions na dita função de onda.
A V, F, V, F.
B V, F, V, V.
C F, F, V, F.
D V, F, F, F.
E V, F, F, V.
Catalog
Q. 60 [mqPT2b] Sendo V para a�rmativa verdadeira e F para a�rmativa falsa, indique a sequência
correspondente às a�rmativas abaixo acerca de partículas quânticas idênticas:
� Uma vez que partículas quânticas idênticas são distinguíveis não é necessário simetrizar ou
antissimetrizar a função de onda de um sistema de partículas quânticas idênticas com relação
à permutação das coordenadas (incluindo possíveis índices de spin) das partículas.
� Partículas quânticas idênticas são indistinguíveis não sendo possível identi�car as coordenadas
(incluindo possíveis índices de spin) de cada partícula na função de onda de um sistema de
partículas quânticas idênticas.
� O princípio de exclusão de Pauli decorre da simetria da função de onda de um sistema de
bósons idênticos com relação à permutação das coordenadas (incluindo possíveis índices de
spin) dos bósons na dita função de onda.
� A condensação de Bose-Einstein decorre da simetria da função de onda de um sistema bósons
idênticos com relação à permutação das coordenadas (incluindo possíveis índices de spin) dos
bósons na dita função de onda.
A F, V, F, V.
B F, V, F, F.
C F, F, F, V.
D V, V, F, F.
E F, V, V, F.
Q. 61 [mqPT3a] As matrizes Sx, Sy e Sz que representam as componentes do spin de um elétron
ao longo dos eixos x, y e z na representação em que Sz é diagonal são, respectivamente,
Sx =
ℏ
2
[
0 1
1 0
]
, Sy =
ℏ
2
[
0 −i
i 0
]
, Sz =
ℏ
2
[
1 0
0 −1
]
.
Considere um estado de spin de um elétron dado por |χ⟩ = a| ↑⟩ + b| ↓⟩, onde a e b são números
complexos, e os vetores ortonormais que constituem a base de estados empregada,
| ↑⟩ =
[
1
0
]
e | ↓⟩ =
[
0
1
]
,
são os autoestados de Sz com autovalores ±ℏ/2, respectivamente. Sendo Re(z) a parte real do
número complexo z, os valores esperados do spin do elétron no estado |χ⟩ ao longo dos eixos z e x
são, respectivamente:
A ℏ
2 (|a|
2 − |b|2) e +ℏRe(ab∗)
B ℏ
2 (|a|
2 + |b|2) e +ℏRe(ab∗)
C ℏ
2 (|a|
2 − |b|2) e −ℏRe(ab∗)
D ℏ
2 (|b|
2 − |a|2) e +ℏRe(ab∗)
E ℏ
2 (|b|
2 − |a|2) e −ℏRe(ab∗)
Catalog
Q. 62 [mqPT3b] As matrizes Sx, Sy e Sz que representam as componentes do spin de um elétron
ao longo dos eixos x, y e z na representação em que Sz é diagonal são, respectivamente,
Sx =
ℏ
2
[
0 1
1 0
]
, Sy =
ℏ
2
[
0 −i
i 0
]
, Sz =
ℏ
2
[
1 0
0 −1
]
.
Considere um estado de spin de um elétron dado por |χ⟩ = a| ↑⟩ + b| ↓⟩, onde a e b são números
complexos, e os vetores ortonormais que constituem a base de estados empregada,
| ↑⟩ =
[
1
0
]
e | ↓⟩ =
[
0
1
]
,
são os autoestados de Sz com autovalores ±ℏ/2, respectivamente. Sendo Im(z) a parte imaginária
do número complexo z, os valores esperados do spin do elétron no estado |χ⟩ ao longo dos eixos z
e y são, respectivamente:
A ℏ
2 (|a|
2 − |b|2) e −ℏ Im(ab∗)
B ℏ
2 (|a|
2 + |b|2) e +ℏ Im(ab∗)
C ℏ
2 (|a|
2 − |b|2) e +ℏ Im(ab∗)
D ℏ
2 (|b|
2 − |a|2) e +ℏ Im(ab∗)
E ℏ
2 (|b|
2 − |a|2) e −ℏ Im(ab∗)
Q. 63 [mqPT4a] O operador Hamiltoniano de um oscilador harmônico quântico é dado por
H = ℏω(a†a + 1/2), com a†a |n⟩ = n |n⟩ e |n⟩ o autoestado de H referente ao n-ésimo nível de
energia do oscilador. Seja |ψ⟩ =
√
0,4 |2⟩ +
√
0,6 |3⟩ o estado de sobreposição normalizado de um
dado oscilador em um dado instante de tempo. O valor esperado da energia desse oscilador é
A 3,1 ℏω. B 3,1 ℏω2. C 2,0 ℏω. D 2,0 ℏω2. E ℏω.
Q. 64 [mqPT4b] O operador Hamiltoniano de um oscilador harmônico quântico é dado por
H = ℏω(a†a + 1/2), com a†a |n⟩ = n |n⟩ e |n⟩ o autoestado de H referente ao n-ésimo nível de
energia do oscilador. Seja |ψ⟩ =
√
0,3 |2⟩ +
√
0,7 |3⟩ o estado de sobreposição normalizado de um
dado oscilador em um dado instante de tempo. O valor esperado da energia desse oscilador é
A 3,2 ℏω. B 3,2 ℏω2. C 0,5 ℏω. D 0,5 ℏω2. E ℏω.
Q. 65 [mqPT5a] A determinação do estado de spin dos elétrons de um feixe pode ser feita através
de aparatos do tipo Stern�Gerlach, que separam o feixe de acordo com a componente de spin ao
longo da direção de�nida pelo campo magnético no interior do aparato. Suponha uma montagem
sequencial de três desses aparatos. O primeiro mede a componente z do spin e o o valor ℏ/2 é
obtido. O segundo mede a componente y do spin e retorna −ℏ/2. Se terceiro aparato medir a
componente x do spin, qual é a probabilidade de obtermos o valor ℏ/2?
A 1/2 B 0 C 1/4 D 3/4 E 1
Q. 66 [mqPT5b] A determinação do estado de spin dos elétrons de um feixe pode ser feita através
de aparatos do tipo Stern�Gerlach, que separam o feixe de acordo com a componente de spin ao
longo da direção de�nida pelo campo magnético no interior do aparato. Suponha uma montagem
sequencial de três desses aparatos. O primeiro mede a componente z do spin e o o valor −ℏ/2
é obtido. O segundo mede a componente x do spin e retorna ℏ/2. Se terceiro aparato medir a
componente y do spin, qual é a probabilidade de obtermos o valor −ℏ/2?
A 1/2 B 0 C 1/4 D 3/4 E 1
Catalog
Q. 67 [mqPT6a] Considere uma partícula de massa m movendo-se em uma dimensão sob a ação
de um potencial do tipo poço in�nito,
V (x) =
{
0, |x|O grá�co abaixo representa a autofunção de energia ψ (x), como função da
posição x, de um do estados excitados de um oscilador harmônico simples unidimensional de
frequência ω. Qual é a energia desse estado?
A 5ℏω/2
B ℏω/2
C 3ℏω/2
D 7ℏω/2
E 9ℏω/2
Q. 71 [mqPT8a] Considere uma partícula de spin 1/2 sob a ação de um campo magnético
estático e uniforme, cuja orientação de�ne a direção x. Os demais graus de liberdade podem ser
considerados �congelados� em um estado quântico de�nido, de forma que o hamiltoniano relevante
envolve apenas a interação do spin com o campo magnético, podendo ser escrito como
H = ωŜx,
em que Ŝx é componente x do operador de spin e ω = Bgq/2m, sendo q a carga da partícula, m
a sua massa, g o seu fator giromagnético e B a intensidade do campo magnético aplicado. Se no
tempo t = 0 o sistema está em um estado |ψ (0)⟩ com spin para cima, ou seja Ŝz|ψ (0)⟩ = ℏ/2|ψ (0)⟩,
qual é o tempo mínimo para o sistema inverter o seu spin?
A π/ω B 2π/ω C ∞ D π/2ω E π/4ω
Q. 72 [mqPT8b] Considere uma partícula de spin 1/2 sob a ação de um campo magnético
estático e uniforme, cuja orientação de�ne a direção x. Os demais graus de liberdade podem ser
considerados �congelados� em um estado quântico de�nido, de forma que o hamiltoniano relevante
envolve apenas a interação do spin com o campo magnético, podendo ser escrito como
H = ωŜx,
em que Ŝx é componente x do operador de spin e ω = Bgq/2m, sendo q a carga da partícula,m a sua
massa, g o seu fator giromagnético e B a intensidade do campo magnético aplicado. Se no tempo
t = 0 o sistema está em um estado |ψ (0)⟩ com spin para baixo, ou seja Ŝz|ψ (0)⟩ = −ℏ/2|ψ (0)⟩,
qual é o tempo mínimo posterior para que o sistema volte a esse estado inicial?
A 2π/ω B π/ω C ∞ D π/2ω E π/4ω
Q. 73 [fePT1a] Considere um gás ideal de N partículas clássicas e indistinguíveis em contato
com um reservatório térmico à temperatura T e ocupando um volume V . A probabilidade de
encontrar N/3 moléculas em um volume V/3 e as demais moléculas no volume restante é dada por:
A
N !(
N
3
)
!
(
2N
3
)
!
(
1
3
)N/3 (
2
3
)2N/3
.
B
2
9
.
C
(
1
3
)N/3 (
2
3
)2N/3
.
D
N !(
N
3
)
!
(
1
3
)N/3
.
E
(
1
3
)N/3
.
Catalog
Q. 74 [fePT1b] Considere um gás ideal de N partículas clássicas e indistinguíveis em contato
com um reservatório térmico à temperatura T e ocupando um volume V . A probabilidade de
encontrar N/4 moléculas em um volume V/4 e as demais moléculas no volume restante é dada por:
A
N !(
N
4
)
!
(
3N
4
)
!
(
1
4
)N/4 (
3
4
)3N/4
.
B
3
16
.
C
(
1
4
)N/4 (
3
4
)3N/4
.
D
N !(
N
4
)
!
(
1
4
)N/4
.
E
(
1
4
)N/4
.
Q. 75 [fePT2a] Considere um sistema formado por 5 partículas não interagentes e localizadas,
todas em contato com um mesmo reservatório térmico de temperatura T [β = (kBT )
−1]. Cada
partícula é caracterizada pela variável ni que assume os valores 0 ou 1. A energia do sistema vale
ϵ(n1+n2+n3+n4+n5), sendo ϵ > 0 constante. A probabilidade de que a energia total do sistema
seja maior ou igual a 4ϵ é dada por:
A
5e−4βϵ + e−5βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
B
10e−3βϵ + 5e−4βϵ + e−5βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
C
e−4βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
D
4
5
.
E
1 + 5e−βϵ + 10e−2βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
Q. 76 [fePT2b] Considere um sistema formado por 5 partículas não interagentes e localizadas,
todas em contato com um mesmo reservatório térmico de temperatura T [β = (kBT )
−1]. Cada
partícula é caracterizada pela variável ni que assume os valores 0 ou 1. A energia do sistema vale
ϵ(n1+n2+n3+n4+n5), sendo ϵ > 0 constante. A probabilidade de que a energia total do sistema
seja menor ou igual a ϵ é dada por:
A
1 + 5e−βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
B
1 + 5e−βϵ + 10e−2βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
C
e−βϵ + e−2βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
D
2
5
.
E
10e−3βϵ + 5e−4βϵ + e−5βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
Catalog
Q. 77 [fePT3a] Considere um sistema formado por 2 bósons idênticos de spin zero e não
interagentes, cada um dos quais pode ocupar dois níveis de energia: o estado fundamental, de
energia 0, e o estado excitado, de energia ϵ. O sistema está em contato com um reservatório
térmico de temperatura T [β = (kBT )
−1]. A energia média U desse sistema é então dada por:
A U =
ϵ(e−βϵ + 2e−2βϵ)
1 + e−βϵ + e−2βϵ
.
B U =
2ϵe−βϵ
1 + e−βϵ
.
C U =
ϵ(e−βϵ + e−2βϵ)
1 + e−βϵ + e−2βϵ
.
D U = kBT .
E U =
ϵ(e−βϵ + e−2βϵ)
(1 + e−βϵ)2
.
Q. 78 [fePT3b] Considere um sistema formado por 2 férmions idênticos sem spin e não
interagentes. Cada férmion pode ocupar três níveis de energia: o estado fundamental, de energia
0, um primeiro estado excitado, de energia ϵ, e um segundo estado excitado, de energia 2ϵ. O
sistema está em contato com um reservatório térmico de temperatura T [β = (kBT )
−1]. A energia
média U desse sistema é então dada por:
A U =
ϵ(1 + 2e−βϵ + 3e−2βϵ)
1 + e−βϵ + e−2βϵ
.
B U =
3ϵe−βϵ
1 + e−βϵ
.
C U =
ϵ(e−βϵ + e−2βϵ)
1 + e−βϵ + e−2βϵ
.
D U = kBT .
E U =
ϵ(1 + e−βϵ + e−2βϵ)
(1 + e−βϵ)3
.
Q. 79 [fePT4a] Um sistema é formado por N íons magnéticos localizados e não interagentes
entre si, em contato com um banho térmico de temperatura T [β = (kBT )
−1]. Cada íon tem
energia dada por ϵ = −µ0hSi, onde µ0, h e Si denotam, respectivamente, o magneton de Bohr,
a intensidade do campo magnético e a variável de spin, esta última podendo assumir os valores
Si = ±1. O valor de βµ0h em que a magnetização por íon m =
∑N
i=1⟨Si⟩/N vale 0,8µ0 é dado
por:
A βµ0h = tanh−1(0,8).
B βµ0h = sinh−1(0,8).
C βµ0h = cosh−1(0,8).
D βµ0h = − tanh−1(0,8).
E βµ0h = − sinh−1(0,8).
Catalog
Q. 80 [fePT4b] Um sistema é formado por N íons magnéticos localizados e não interagentes
entre si, em contato com um banho térmico de temperatura T [β = (kBT )
−1]. Cada íon tem
energia dada por ϵ = −µ0hSi, onde µ0, h e Si denotam, respectivamente, o magneton de Bohr,
a intensidade do campo magnético e a variável de spin, esta última podendo asumir os valores
Si = ±1. O valor de βµ0h em que a magnetização por íon m =
∑N
i=1⟨Si⟩/N vale −0,2µ0 é dado
por:
A βµ0h = − tanh−1(0,2).
B βµ0h = − sinh−1(0,2).
C βµ0h = cosh−1(0,2).
D βµ0h = tanh−1(0,2).
E βµ0h = sinh−1(0,2).
Catalog
Folha de Respostas
12024EUF0001 João Ninguém
Q. 1 : A B C D E
Q. 2 : A B C D E
Q. 3 : A B C D E
Q. 4 : A B C D E
Q. 5 : A B C D E
Q. 6 : A B C D E
Q. 7 : A B C D E
Q. 8 : A B C D E
Q. 9 : A B C D E
Q. 10 : A B C D E
Q. 11 : A B C D E
Q. 12 : A B C D E
Q. 13 : A B C D E
Q. 14 : A B C D E
Q. 15 : A B C D E
Q. 16 : A B C D E
Q. 17 : A B C D E
Q. 18 : A B C D E
Q. 19 : A B C D E
Q. 20 : A B C D E
Q. 21 : A B C D E
Q. 22 : A B C D E
Q. 23 : A B C D E
Q. 24 : A B C D E
Q. 25 : A B C D E
Q. 26 : A B C D E
Q. 27 : A B C D E
Q. 28 : A B C D E
Q. 29 : A B C D E
Q. 30 : A B C D E
Q. 31 : A B C D E
Q. 32 : A B C D E
Q. 33 : A B C D E
Q. 34 : A B C D E
Q. 35 : A B C D E
Q. 36 : A B C D E
Q. 37 : A B C D E
Q. 38 : A B C D E
Q. 39 : A B C D E
Q. 40 : A B C D E
Q. 41 : A B C D E
Q. 42 : A B C D E
Q. 43 : A B C D E
Q. 44 : A B C D E
Q. 45 : A B C D E
Q. 46 : A B C D E
Q. 47 : A B C D E
Q. 48 : A B C D E
Catalog
Q. 49 : A B C D E
Q. 50 : A B C D E
Q. 51 : A B C D E
Q. 52 : A B C D E
Q. 53 : A B C D E
Q. 54 : A B C D E
Q. 55 : A B C D E
Q. 56 : A B C D E
Q. 57 : A B C D E
Q. 58 : A B C D E
Q. 59 : A B C D E
Q. 60 : A B C D E
Q. 61 : A B C D E
Q. 62 : A B C D E
Q. 63 : A B C D E
Q. 64 : A B C D E
Q. 65 : A B C D E
Q. 66 : A B C D E
Q. 67 : A B C D E
Q. 68 : A B C D E
Q. 69 : A B C D E
Q. 70 : A B C D E
Q. 71 : A B C D E
Q. 72 : A B C D E
Q. 73 : A B C D E
Q. 74 : A B C D E
Q. 75 : A B C D E
Q. 76 : A B C D E
Q. 77 : A B C D E
Q. 78 : A B C D E
Q. 79 : A B C D E
Q. 80 : A B C D E
Catalog(negative) deformation when the spring is stretched (compressed).
A (i) ∆L =
|qσ|
2kϵ0
and (ii) ω =
√
k
m
B (i) ∆L = − |qσ|
2kϵ0
and (ii) ω =
√
k
m
C (i) ∆L =
|qσ|
2kϵ0
and (ii) ω =
√
k
m
+
|qσ|
2kϵ0
D (i) ∆L = − |qσ|
2kϵ0
and (ii) ω =
√
k
m
+
|qσ|
2kϵ0
E (i) ∆L =
|qσ|
kϵ0
and (ii) ω =
√
k
m
− |qσ|
kϵ0
Q. 12 [mcEN6b] A particle of mass m and charge q is coupled to an in�nite thin plane by an
ideal insulator spring of negligible mass, length L and elastic constant k. The plane is dielectric
and has a homogeneous surface charge σ, with the opposite sign as q. The particle can oscillate
freely in the Oz coordinate, normal to the plane, as displayed in the �gure below. Disregarding
the energy loss due to radiation, determine (i) the angular frequency ω of the oscillation, and (ii)
the deformation ∆L of the spring at equilibrium. Use the International System of units, so that
the electric �eld of an in�nite plane is E⃗ = 1
2 (σ/ϵ0)n̂, with n̂ being the vector normal to the plane.
Assume a positive (negative) deformation when the spring is stretched (compressed).
k
mq
σ
A (i) ω =
√
k
m
and (ii) ∆L = − |qσ|
2kϵ0
B (i) ω =
√
k
m
and (ii) ∆L =
|qσ|
2kϵ0
C (i) ω =
√
k
m
− |qσ|
2kϵ0
and (ii) ∆L =
|qσ|
2kϵ0
D (i) ω =
√
k
m
+
|qσ|
2kϵ0
and (ii) ∆L = − |qσ|
2kϵ0
E (i) ω =
√
k
m
− |qσ|
kϵ0
and` (ii) ∆L =
|qσ|
kϵ0
Catalog
Q. 13 [mcEN7a] A block of massM is at rest on a frictionless inclined plane, of slope θ, supported
by a rope of mass m and length L, as shown in the �gure below. The rope is attached at both
ends, so it cannot move at these points. Given this, and knowing that m ≪ M , determine the
lowest frequency f1 of a mechanical wave on the rope. Express your result as a function of m, M ,
g, θ, and L. Assume the rope to be one-dimensional.
A f1 =
1
2
√
Mg sin θ
mL
B f1 =
√
Mg sin θ
mL
C f1 = 2
√
Mg sin θ
mL
D f1 =
1
2
√
Mg cos θ
mL
E f1 =
√
Mg cos θ
mL
Q. 14 [mcEN7b] A block of massM is at rest on a frictionless inclined plane, of slope θ, supported
by a rope of mass m and length L. One end of the rope is attached to the block (i.e., it is not
allowed to move), while its other end is free to move along the axis a given support, as shown in
the �gure below. Given this, and knowing that m ≪ M , determine the lowest frequency f1 of a
mechanical wave on the rope. Express your result as a function of m, M , g, θ, and L. Assume the
rope to be one-dimensional.
A f1 =
1
4
√
Mg sin θ
mL
B f1 =
1
2
√
Mg sin θ
mL
C f1 =
3
2
√
Mg sin θ
mL
D f1 =
3
4
√
Mg cos θ
mL
E f1 =
√
Mg cos θ
mL
Q. 15 [mcEN8a] A homogeneous disk of massM and radius R is attached to the ceiling through
a rope (of negligible mass) wrapped around its edges. The disk is dropped from rest under the
action of gravity, as shown in the �gure below. Neglecting any energy losses, and assuming that
the string does not slide over the edge of the disk, determine the angular velocity ω of the disk
when it falls a height H with respect to its initial position. The moment of inertia of the disk
about a perpendicular axis through its center of mass is MR2/2.
MR
H
+ ω
A ω =
√
4gH
3R2
B ω =
√
gH
R2
C ω =
√
gH
2R2
D ω =
√
2gH
R2
E ω =
√
3gH
4R2
Catalog
Q. 16 [mcEN8b] A homogeneous disk of massM and radius R is attached to the ceiling through
a rope (of negligible mass) wrapped around its edges. The disk is dropped from rest under the
action of gravity, as illustrated in the �gure below. Neglecting any energy losses, and assuming
that the string does not slide over the edge of the disk, determine the magnitude of the linear
velocity V of the disk when it falls a height H with respect to its initial position. The moment of
inertia of the disk about a perpendicular axis through its center of mass is MR2/2.
MR
H
+ ω
A V =
√
4gH
3
B V =
√
gH
C V =
√
gH
2
D V =
√
2gH
E V =
√
3gH
4
Q. 17 [emEN1a]
Consider a plane wave propagating in a vacuum
with an electric �eld described by
E(r,t) = E0(x̂+ ẑ)e−i(ωt−ky),
in which k = kŷ is the wave vector. Determine
the expression for the magnetic �eld B(r,t).
A B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt−ky)(x̂− ẑ)
B B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt−ky)(ŷ + ẑ)
C B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt−ky)(x̂+ ẑ)
D B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt+ky)ŷ
E B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt+ky)x̂
Q. 18 [emEN1b]
Consider a plane wave propagating in a vacuum
with an electric �eld described by
E(r,t) = E0(ŷ + ẑ)e−i(ωt−kx),
in which k = kx̂ is the wave vector. Determine
the expression for the magnetic �eld B(r,t).
A B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt−kx)(ẑ − ŷ)
B B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt−kx)(ŷ + ẑ)
C B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt−kx)(x̂− ẑ)
D B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt+kx)ŷ
E B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt+kx)x̂
Q. 19 [emEN2a] The electric potential V on the surface of a spherical shell with radius R is given
by V = (V0R/a) cos θ, where θ is the polar angle with respect to a chosen axis through the center
of the sphere, while V0 and a are constants. Determine the electric potential inside the sphere at
a distance r = R/2 from the center.
A V =
V0
2a
R cos θ
B V =
V0
2a
R
C V =
V0
3a
R cos θ
D V =
V0
3a
R
E V =
2V0
a
R sin θ
Catalog
Q. 20 [emEN2b] The electric potential V on the surface of a spherical shell with radius R is
given by V = (V0R/a) cos θ, where θ is the polar angle with respect to a chosen axis through the
center of the sphere, while V0 and a are constants. Determine the electric potential outside the
sphere at a distance r = 2R from the center.
A V =
V0R
4a
cos θ
B V =
V0R
4a
C V =
V0R
2
4a2
cos θ
D V =
V0R
2
4a2
E V =
V0R
2
2a2
sin θ
Q. 21 [emEN3a] Inside a cylinder of radius R and height h, an electric and a magnetic �eld are
given by E = αρ̂+ βẑ and B = γφ̂+ δẑ, respectively, where α, β, γ and δ are constants. The axis
of symmetry of the cylinder aligns with the ẑ direction. What is the absolute value of the energy
passing through the top cover of the cylinder per unit time?
A
πR2αγ
µ0
B
2πR2βδ
µ0
C
4πR2αδ
γβµ0
D
R2
4παγµ0
E
R2
2πβδµ0
Q. 22 [emEN3b] Inside a cylinder of radius R and height h, an electric and a magnetic �eld are
given by E = γρ̂+ δφ̂ and B = αρ̂+ βẑ, respectively, where α, β, γ and δ are constants. The axis
of symmetry of the cylinder aligns with the ẑ direction. What is the absolute value of the energy
passing through the top cover of the cylinder per unit time?
A
πR2αδ
µ0
B
2πR2αγ
µ0
C
2πR2βγ
µ0
D
4πR2αγ
µ0
E
4πR2βδ
µ0
Q. 23 [emEN4a] A wire of length L0 and resistance R0 is stretched in such a way that its new
length is L = 2L0. Considering that the resistivity and volume of the wire do not change when we
vary its length, what is the value of the new resistance R in terms of R0?
A R = 4R0
B R = R0
C R = 2R0
D R =
R0
2
E R =
R0
4
Q. 24 [emEN4b] A wire of length L0 and resistance R0 is stretched in such a way that its new
length is L = 3L0. Considering that the resistivity and volume of the wire do not change when we
vary its length, what is the value of the new resistance R in terms of R0?
A R = 9R0
B R = R0
C R = 3R0
D R =
R0
3
E R =
R0
9
Q. 25 [emEN5a] A electron of mass me is released with an initial velocity of magnitude v0
towards a proton held �xed in place. If the electron is initially at a great distance from the proton,
at what distance r from the proton is the electron's instantaneous velocity �ve times greater than
its initial velocity?
A r =
1
48πϵ0me
(
e
v0
)2
B r =
1
8πϵ0me
(
e
v0
)2
C r =
1
4πϵ0
(
eme
v0
)2
D r =
1
48πϵ0
(
eme
v0
)2
E r =
1
4πϵ0me
(
e
v0
)2
Catalog
Q. 26 [emEN5b] A electron of mass me is released with an initial velocity of magnitude v0
towards a proton held �xed in place. If the electron is initially at a great distance from the proton,
at what distance r from the proton is the electron's kinetic energy three times greater than its
initial kinetic energy?
A r =
1
4πϵ0me
(
e
v0
)2
B r =
1
8πϵ0me
(
e
v0
)2
C r =
1
4πϵ0
(
eme
v0
)2
D r =
1
48πϵ0
(
eme
v0
)2
E r =
1
48πϵ0me
(
e
v0
)2
Q. 27 [emEN6a] Two concentricspherical shells, the �rst with surface charge density σ1 and the
second with σ2, have radii r1 and r2 = 3r1, respectively. Determine the magnitude of the electric
�eld E generated by these two shells at a distance r = 2r1 from the center of the shells.
A E =
σ1
4ϵ0
B E =
σ1 + 9σ2
4ϵ0
C E = 0
D E =
5
2
σ1 + σ2
ϵ0
E E =
2
5
σ1 + σ2
ϵ0
Q. 28 [emEN6b] Two concentric spherical shells, the �rst with surface charge density σ1 and the
second with σ2, have radii r1 and r2 = 2r1, respectively. Determine the magnitude of the electric
�eld E generated by these two shells at a distance r = 3r1 from the center of the shells.
A E =
σ1 + 4σ2
9ϵ0
B E =
σ1
81ϵ0
C E = 0
D E =
5
9
σ1 + σ2
ϵ0
E E =
9
5
σ1 + σ2
ϵ0
Q. 29 [emEN7a] Consider a set of two capacitors in series, with capacitances C1 = C and
C2 = 2C. Neither capacitor can withstand a potential di�erence greater than V0 without its
dielectric breaking down. Given this constraint, what is the maximum electrical energy U that can
be stored in the set of two capacitors?
A U =
3
4
CV 2
0
B U =
4
3
CV 2
0
C U =
5
6
CV 2
0
D U =
1
2
CV 2
0
E U =
6
5
CV 2
0
Q. 30 [emEN7b] Consider a set of two capacitors in series, with capacitances C1 = C and
C2 = 2C. Neither of the capacitors can withstand a potential di�erence greater than V0 without
their dielectrics breaking down. Given this constraint, what is the maximum potential di�erence
V that can be established between the terminals of this set of two capacitors?
A V =
3
2
V0
B V =
2
3
V0
C V = 2V0
D V =
1
3
V0
E V =
3
4
V0
Q. 31 [emEN8a] In an RC circuit, we have a source with electromotive force E , a resistor with
resistance R, and a capacitor with capacitance C. At time t = 0, the circuit is closed, causing the
initially discharged capacitor to start charging according to the equation q(t) = CE(1 − e−
t
RC ).
At what moment in time is the potential di�erence between the terminals of the capacitor equal
to half the potential di�erence between the terminals of the resistor?
A t = ln
(
3
2
)
RC
B t = ln
(
1
2
)
RC
C t = ln
(
2
3
)
RC
D t = ln (2)RC
E t = ln
(
1
4
)
RC
Catalog
Q. 32 [emEN8b] In an RC circuit, we have a source with electromotive force E , a resistor with
resistance R, and a capacitor with capacitance C. At time t = 0, the circuit is closed, causing the
initially discharged capacitor to start charging according to the equation q(t) = CE(1 − e−
t
RC ).
At what moment in time is the potential di�erence between the terminals of the capacitor equal
to the potential di�erence between the terminals of the resistor?
A t = ln (2)RC
B t = ln
(
1
2
)
RC
C t = ln
(
2
3
)
RC
D t = RC
E t = ln
(
1
4
)
RC
Q. 33 [teEN1a] It is known that the transfer of energy between adjacent parts of a body, driven
by temperature di�erences, occurs from the hotter to the colder part. Consider then a cylindrical
and homogeneous bar placed between two heat sources, each containing one mole of an ideal gas.
The �rst source maintains a pressure p1 = p0 and has volume V1 = V0, while the other maintains
a pressure p2 = 2p0 and has volume V2 = 3V0, as illustrated in the �gure below:
In the steady state, it is also known that, in this
case, the rate of heat transfer, dQ/dt, must not
depend on x, the position variable indicated in
the �gure. Thus, the temperature must vary lin-
early with x according to:
A
p0V0
R
(
− 5
L
x+ 6
)
. B
p0V0
R
(
− 7
L
x+ 8
)
.
C
p0V0
R
(x+ 1).
D
p0V0
R
x.
E
p0V0
R
(
− 5
L
x+ 3
)
.
Q. 34 [teEN1b] It is known that the transfer of energy between adjacent parts of a body, driven
by temperature di�erences, occurs from the hotter to the colder part. Consider then a cylindrical
and homogeneous bar placed between two heat sources, each containing one mole of an ideal gas.
The �rst source maintains a pressure p1 = p0 and has volume V1 = V0, while the other maintains
a pressure p2 = 4p0 and has volume V2 = 2V0, as shown in the �gure below:
In the steady state, it is also known that, in this
case, the rate of heat transfer, dQ/dt, must not
depend on x, the position variable indicated in
the �gure. Thus, the temperature must vary lin-
early with x according to:
A
p0V0
R
(
− 7
L
x+ 8
)
. B
p0V0
R
(
− 5
L
x+ 6
)
.
C
p0V0
R
(x+ 1).
D
p0V0
R
x.
E
p0V0
R
(
− 7
L
x+ 7
)
.
Catalog
Q. 35 [teEN2a] An iron ball is dropped from a height h onto a concrete surface. After the �rst
impact, the ball rebounds to a height h/2. Assume that all the mechanical energy lost after the
�rst impact with the ground is converted into internal energy of the ball. Given the speci�c heat
of iron, cFe, and the local gravitational acceleration, g, determine the increase in the temperature
of the ball after the �rst collision.
A ∆T =
gh
2cFe
B ∆T =
gh
3cFe
C ∆T =
2gh
3cFe
D ∆T =
cFe
2gh
E ∆T =
gh
cFe
Q. 36 [teEN2b] An iron ball is dropped from a height h onto a concrete surface. After the �rst
impact, the ball rebounds to a height h/3. Assume that all the mechanical energy lost after the
�rst impact with the ground is converted into internal energy of the ball. Given the speci�c heat
of iron, cFe, and the local gravitational acceleration, g, determine the increase in the temperature
of the ball after the �rst collision.
A ∆T =
2gh
3cFe
B ∆T =
gh
2cFe
C ∆T =
gh
2cFe
D ∆T =
3cFe
2gh
E ∆T =
gh
cFe
Q. 37 [teEN3a] A refrigerator's motor provides a power of 100 watts. Remember that the
coe�cient of performance of a refrigerator is always measured as the ratio of the heat extracted
from the cold source to the work provided by the motor. Considering that the freezer of the
refrigerator is at a temperature of 270 K and the ambient air is at a temperature of 300 K, and
assuming an ideal coe�cient of performance, what is the maximum amount of heat that can be
extracted from the freezer in a time interval of ∆t = 10min?
A 5,4× 105 J
B 2,6× 107 J
C 1,6× 105 J
D 2,7× 105 J
E 5,2× 106 J
Q. 38 [teEN3b]
A refrigerator's motor provides a power of 50 watts. Remember that the coe�cient of performance
of a refrigerator is always measured as the ratio of the heat extracted from the cold source to the
work provided by the motor. Considering that the freezer of the refrigerator is at a temperature
of 270 K and the ambient air is at a temperature of 300 K, and assuming an ideal coe�cient of
performance, what is the maximum amount of heat that can be extracted from the freezer in a
time interval of ∆t = 10min?
A 2,7× 105 J
B 1,3× 107 J
C 8,0× 106 J
D 5,4× 105 J
E 2,4× 106 J
Q. 39 [teEN4a]
Consider two portions of the same liquid with the same mass m, but at di�erent temperatures T
and 2T . The two portions are mixed, and the mixture is thermally isolated. The speci�c heat of
the liquid is constant and given by c. The system reaches equilibrium. The entropy change in this
process is given by:
A ∆S = mc ln
(
9
8
)
.
B ∆S = 0.
C ∆S = mc ln
(
4
3
)
. D ∆S = mc ln
(
5
4
)
.
E ∆S = mc ln 2.
Catalog
Q. 40 [teEN4b] Consider two portions of the same liquid with the same mass m, but at di�erent
temperatures T and 3T . The two portions are mixed, and the mixture is thermally isolated. The
speci�c heat of the liquid is constant and given by c. The system reaches equilibrium. The entropy
change in this process is given by:
A ∆S = mc ln
(
4
3
)
.
B ∆S = 0.
C ∆S = mc ln
(
9
8
)
. D ∆S = mc ln
(
5
4
)
.
E ∆S = mc ln 2.
Q. 41 [fmEN1a]
In an inertial reference frame, the net force on a particle of rest mass m is F = Atx̂, where A is
a constant and t is time. If the initial momentum of the particle in this reference frame is zero,
what is its velocity measured at time t in the same reference frame?
A
At2c√
4m2c2 +A2t4
x̂
B
At2c√
2m2c2 +A2t4
x̂
C
At2c√
m2c2 +A2t4
x̂
D
2At2c√
m2c2 + 4A2t4
x̂
E
At2c√
4m2c2 + 2A2t4
x̂
Q. 42 [fmEN1b] In an inertial reference frame, the net force on a particle of rest mass m is equal
to F = At2x̂, where A is a constant and t is time. If the initial momentum of the particle in thisreference frame is zero, what is its velocity measured at time t in the same reference frame?
A
At3c√
9m2c2 +A2t6
x̂
B
At3c√
9m2c2 + 3A2t6
x̂
C
3At3c√
m2c2 + 9A2t6
x̂
D
At3c√
m2c2 + 3A2t6
x̂
E
At3c√
m2c2 +A2t6
x̂
Q. 43 [fmEN2a] A diatomic molecule is formed by two identical atoms whose nuclei of mass m
are separated by a distance d. The energy required to take the molecule from the ground state to
the �rst rotational excited state is:
A
2ℏ2
md2
. B
ℏ2
md2
. C
ℏ2
2md2
. D
4π2ℏ2
md2
. E
2π2ℏ2
md2
.
Q. 44 [fmEN2b] A diatomic molecule is composed of two equal atoms, each with mass m. The
energy required to take the molecule from the ground state to the �rst rotational excited state is
E . What is the average distance between the atoms in this molecule?
A
√
2ℏ2
mE
B
√
ℏ2
mE
C
√
ℏ2
2mE
D
√
2π2ℏ2
mE
E
√
4π2ℏ2
mE
Q. 45 [fmEN3a]
-4 -2 0 2 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 A particle of mass m is subject to the one-
dimensional potential V (x) = V0 tanh
2 (x/d)
(illustrated on the left), where V0 and d are pos-
itive constants. For su�ciently large V0, the en-
ergy di�erence between the two lowest-energy
bound states is approximately equal to:
A
ℏ
d
√
2V0
m
. B
ℏ
d
√
V0
m
. C
ℏ
d
√
V0
2m
. D
2ℏ
d
√
V0
m
. E
ℏ
2d
√
V0
m
.
Catalog
Q. 46 [fmEN3b]
-4 -2 0 2 4
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0 A particle of mass m is subject to the one-
dimensional potential V (x) = −V0 exp
(
− x2
2d2
)
(illustrated on the left), where V0 and d are pos-
itive constants. For su�ciently large V0, the en-
ergy di�erence between the two lowest-energy
bound states is approximately equal to:
A
ℏ
d
√
V0
m
. B
2ℏ
d
√
V0
m
. C
ℏ
2d
√
V0
m
. D
4ℏ
d
√
V0
m
. E
ℏ
4d
√
V0
m
.
Q. 47 [fmEN4a] A planet describes a circular orbit of radius R around a star whose radiated
power is P . Suppose that the planet can be treated approximately as a spherical-shaped black
body in thermal equilibrium. Let kB be the Boltzmann constant and σ be the Stefan�Boltzmann
constant. The temperature of this planet is:
A
(
P
16πσR2
) 1
4
.
B
4P
πkBR2
.
C
P
4πkBR2
.
D
P
πkBR2
.
E
(
P
πσR2
) 1
4
.
Q. 48 [fmEN4b] A planet whose average temperature is T describes a circular orbit of radius R
around a star. Suppose that the planet can be treated approximately as a spherical-shaped black
body in thermal equilibrium. Let kB be the Boltzmann constant and σ be the Stefan�Boltzmann
constant. The power radiated by the star is:
A 16πσR2T 4.
B
π
4
R2kBT .
C 4πR2kBT .
D πR2kBT .
E πσR2T 4.
Q. 49 [fmEN5a] In a photoelectric-e�ect experiment, a metallic surface is illuminated with
green light (λ1 = 500nm). The ejected electrons are braked to a stop when a potential of 0.48V
is applied. When we shine violet light (λ2 = 400nm), the potential necessary to completely stop
the electrons is:
A 1.1 V. B 2.0 V. C 3.1 V. D 0.48 V. E 0.62 V.
Q. 50 [fmEN5b] In a photoelectric-e�ect experiment, a metallic surface is illuminated with
green light (λ1 = 500nm). The ejected electrons are braked to a stop when a potential of 0.48V
is applied. When we shine orange light (λ2 = 600 nm), the potential necessary to completely stop
the electrons is, to one signi�cant �gure:
A 0.07 V. B 2 V. C 3 V. D 0.4 V. E 0.2 V.
Q. 51 [fmEN6a] Consider that the objective of a certain microscope is to achieve su�cient reso-
lution to �see� an atom. Comparing electron and optical microscopes that use the same wavelength
λ, the ratio between the energies of electrons and photons to obtain the desired resolution, in terms
of the universal constants h (Planck's constant), me (the electron mass) and c (the speed of light),
is:
A
(
h
2mec
)
1
λ
.
B
(
h
mec
)
1
λ
.
C
(me
hc
)
λ.
D
(
hc
me
)
1
λ
.
E
(
2meh
c
)
λ.
Catalog
Q. 52 [fmEN6b] Consider that the objective of a certain microscope is to achieve su�cient reso-
lution to �see� an atom. Comparing electron and optical microscopes that use the same wavelength
λ, the ratio between the energies of photons and electrons to obtain the desired resolution, in terms
of the universal constants h (Planck's constant), me (the electron mass) and c (the speed of light),
is:
A
(
2mec
h
)
λ.
B
(mec
h
)
λ.
C
(
hc
me
)
1
λ
.
D
(me
hc
)
λ.
E
(
c
2meh
)
1
λ
.
Q. 53 [fmEN7a] The frontal collision of two identical particles is investigated in a particle
accelerator. In the laboratory reference frame, the particles move in opposite directions with
speeds of magnitude 0.50c. In the reference frame of a particle, the magnitude of the speed with
which the other particle approaches is:
A 0.80c. B 0.69. C 0.55c. D 0.38c. E 0.88c.
Q. 54 [fmEN7b] The frontal collision of two identical particles is investigated in a particle
accelerator. In the laboratory reference frame, the particles move in opposite directions with
speeds of magnitude 0.30c. In the reference frame of a particle, the magnitude of the speed with
which the other particle approaches is:
A 0.55c. B 0.69. C 0.80c. D 0.38c. E 0.88c.
Q. 55 [fmEN8a] The human eye is an extremely sensitive optical sensor for photons in the visible
spectrum region. Typically, the retina can absorb a light power of approximately 4 · 10−17W at a
wavelength of 500 nm. This means that the retina absorbs around:
A 100 photons per second.
B 1013 photons per second.
C 6 · 1020 photons per sec-
ond.
D 6000 photons per second.
E 200 photons per second.
Q. 56 [fmEN8b] The human eye is an extremely sensitive optical sensor for photons in the visible
spectrum region. Consider that the retina can absorb around 50 photons of wavelength 450 nm
per second. This means that the retina absorbs a light power of approximately:
A 2.2 · 10−17W .
B 2.2 · 10−6W .
C 225W .
D 4.0 · 10−15W .
E 7.8 · 10−17W .
Q. 57 [mqEN1a] The Hamiltonian of an electron in a uniform magnetic �eld can have the
following matrix representation:
H = b
[
1 0
0 −1
]
, (1)
where b = −ℏγB/2, γ is the electronic gyromagnetic ratio and B is the intensity of the magnetic
�eld. Select the true statement below:
A The energy eigenvalues are ±b, corresponding to eigenstates of H in which the electron spin
is aligned with or opposite to the magnetic �eld.
B The energy eigenvalues are ±b/2, corresponding to eigenstates of H in which the electron
spin is aligned with or opposite to the magnetic �eld.
C The energy eigenvalues are ±b, with −b corresponding to the eigenstate of H in which the
electron spin is perpendicular to the magnetic �eld, and +b to the eigenstate in which the
electron spin is parallel to the magnetic �eld.
D The energy eigenvalues are ±b/2, with −b/2 corresponding to the eigenstate of H in which
the electron spin is perpendicular to the magnetic �eld, and +b/2 to the eigenstate in which
the electron spin is parallel to the magnetic �eld.
E Both eigenstates of H, one in which the electron spin is opposite to the magnetic �eld and the
other in which the electron spin is aligned with the magnetic �eld, have degenerate energy
eigenvalues, equal to b.
Catalog
Q. 58 [mqEN1b] The Hamiltonian of an electron in a uniform magnetic �eld can have the
following matrix representation:
H = ℏc
[
1 0
0 −1
]
, (2)
where c = −γB/2, γ is the electronic gyromagnetic ratio and B is the intensity of the magnetic
�eld. Select the true statement below:
A The energy eigenvalues are ±ℏc, corresponding to eigenstates of H in which the electron spin
is aligned with or opposite to the magnetic �eld.
B The energy eigenvalues are ±ℏc/2, corresponding to eigenstates of H in which the electron
spin is aligned with or opposite to the magnetic �eld.
C The energy eigenvalues are ±ℏc, with −ℏc corresponding to the eigenstate of H in which the
electron spin is perpendicular to the magnetic �eld, and +ℏc to the eigenstate in which the
electron spin is parallel to the magnetic �eld.
D The energy eigenvalues are ±ℏc/2, with −ℏc/2 corresponding to the eigenstate of H in which
the electron spin is perpendicular to the magnetic �eld, and +ℏc/2 to the eigenstate in which
theelectron spin is parallel to the magnetic �eld.
E Both eigenstates of H, one in which the electron spin is opposite to the magnetic �eld and the
other in which the electron spin is aligned with the magnetic �eld, have degenerate energy
eigenvalues, equal to ℏc.
Q. 59 [mqEN2a] For T indicating a true statement and F a false one, select the sequence that
corresponds to the statements below:
� In a system of identical quantum particles, their indistinguishability leads to the symmetriza-
tion or antisymmetrization of the system's wave function with respect to exchange of particle
coordinates (including possible spin indices).
� Identical quantum particles are distinguishable, making it possible to identity the coordinates
(including possible spin indices) of each particle in the wave function of a system of such
particles.
� The Pauli Exclusion Principle is a consequence of the antisymmetry of the wave function of
a system of identical fermions with respect to exchange of the coordinates (including possible
spin indices) of two fermions.
� The Bose-Eisntein condensation is a consequence of the antisymmetry of the wave function of
a system of identical fermions with respect to exchange of the coordinates (including possible
spin indices) of two fermions.
A T, F, T, F.
B T, F, T, T.
C F, F, T, F.
D T, F, F, F.
E T, F, F, T.
Catalog
Q. 60 [mqEN2b] For T indicating a true statement and F a false one, select the sequence that
corresponds to the statements below:
� Since identical quantum particles are distinguishable, it is not necessary to symmetrize or
antisymmetrize the system's wave function of a system of such particles with respect to
exchange of their coordinates (including possible spin indices).
� Identical quantum particles are indistinguishable, making it impossible to identify the coor-
dinates (including possible spin indices) of each particle in the wave function of a system of
such particles.
� The Pauli Exclusion Principle is a consequence of the symmetry of the wave function of a
system of identical bosons with respect to exchange of the coordinates (including possible
spin indices) of two bosons.
� The Bose-Einstein condensation is a consequence of the symmetry of the wave function of
a system of identical bosons with respect to exchange of the coordinates (including possible
spin indices) of two bosons.
A F, T, F, T.
B F, T, F, F.
C F, F, F, T.
D T, T, F, F.
E F, T, T, F.
Q. 61 [mqEN3a] The matrices Sx, Sy and Sz which represent the components of the electronic
spin along the x, y e z axes are, respectively,
Sx =
ℏ
2
[
0 1
1 0
]
, Sy =
ℏ
2
[
0 −i
i 0
]
, Sz =
ℏ
2
[
1 0
0 −1
]
,
in the representation in which Sz is diagonal.
Consider a spin state given by |χ⟩ = a| ↑⟩+ b| ↓⟩, where a and b are complex numbers, the vectors
| ↑⟩ =
[
1
0
]
and | ↓⟩ =
[
0
1
]
form an orthonormal basis for the spin states, and are eigenstates of Sz with eigenvalues ±ℏ/2,
respectively. With Re(z) denoting the real part of the complex number z, the expectation values
of the z and x spin components of an electron in state |χ⟩ are, respectively:
A ℏ
2 (|a|
2 − |b|2) and +ℏRe(ab∗)
B ℏ
2 (|a|
2 + |b|2) and +ℏRe(ab∗)
C ℏ
2 (|a|
2 − |b|2) and −ℏRe(ab∗)
D ℏ
2 (|b|
2 − |a|2) and +ℏRe(ab∗)
E ℏ
2 (|b|
2 − |a|2) and −ℏRe(ab∗)
Catalog
Q. 62 [mqEN3b] The matrices Sx, Sy and Sz which represent the components of the electronic
spin along the x, y e z axes are, respectively,
Sx =
ℏ
2
[
0 1
1 0
]
, Sy =
ℏ
2
[
0 −i
i 0
]
, Sz =
ℏ
2
[
1 0
0 −1
]
,
in the representation in which Sz is diagonal.
Consider a spin state given by |χ⟩ = a| ↑⟩+ b| ↓⟩, where a and b are complex numbers, the vectors
| ↑⟩ =
[
1
0
]
and | ↓⟩ =
[
0
1
]
form an orthonormal basis for the spin states, and are eigenstates of Sz with eigenvalues ±ℏ/2,
respectively. With Im(z) denoting the imaginary part of the complex number z, the expectation
values of the z and y spin components of an electron in state |χ⟩ are, respectively:
A ℏ
2 (|a|
2 − |b|2) and −ℏ Im(ab∗)
B ℏ
2 (|a|
2 + |b|2) and +ℏ Im(ab∗)
C ℏ
2 (|a|
2 − |b|2) and +ℏ Im(ab∗)
D ℏ
2 (|b|
2 − |a|2) and +ℏ Im(ab∗)
E ℏ
2 (|b|
2 − |a|2) and −ℏ Im(ab∗)
Q. 63 [mqEN4a] The Hamiltonian operator of a quantum harmonic oscillator is given by H =
ℏω(a†a + 1/2), with a†a |n⟩ = n |n⟩, and |n⟩ being the eigenstate of H corresponding to the n-th
energy level of the oscillator. Let |ψ⟩ =
√
0.4 |2⟩+
√
0.6 |3⟩ be the normalized state of an oscillator
in a given instate of time. The expectation value of the energy of this oscillator is
A 3.1 ℏω. B 3.1 ℏω2. C 2.0 ℏω. D 2.0 ℏω2. E ℏω.
Q. 64 [mqEN4b] The Hamiltonian operator of a quantum harmonic oscillator is given by H =
ℏω(a†a + 1/2), with a†a |n⟩ = n |n⟩, and |n⟩ being the eigenstate of H corresponding to the n-th
energy level of the oscillator. Let |ψ⟩ =
√
0.3 |2⟩+
√
0.7 |3⟩ be the normalized state of an oscillator
in a given instate of time. The expectation value of the energy of this oscillator is
A 3.2 ℏω. B 3.2 ℏω2. C 0.5 ℏω. D 0.5 ℏω2. E ℏω.
Q. 65 [mqEN5a] The spin state of the electrons in a beam can be determined using Stern�
Gerlach-type devices, which split the beam according to the spin component along the direction
de�ned by the magnetic �eld inside the device. Suppose a sequential assembly of three of these
devices. The �rst measures the z component of the spin, and the value ℏ/2 is obtained. The
second measures the y component of the spin and returns −ℏ/2. If the third device measures the
x component of the spin, what is the probability of obtaining the value ℏ/2?
A 1/2 B 0 C 1/4 D 3/4 E 1
Q. 66 [mqEN5b] The spin state of the electrons in a beam can be determined using Stern�
Gerlach-type devices, which split the beam according to the spin component along the direction
de�ned by the magnetic �eld inside the device. Suppose a sequential assembly of three of these
devices. The �rst measures the z component of the spin, and the value −ℏ/2 is obtained. The
second measures the x component of the spin and returns ℏ/2. If the third device measures the y
component of the spin, what is the probability of obtaining the value −ℏ/2
A 1/2 B 0 C 1/4 D 3/4 E 1
Catalog
Q. 67 [mqEN6a] Consider a particle of mass m moving in one dimension under the action of an
in�nite-well potential,
V (x) =
{
0, |x|The function ψ (x) in the plot below is an energy eigenfunction of a one-
dimensional simple harmonic oscillator of angular frequency ω. What is the corresponding eigen-
value?
A 5ℏω/2
B ℏω/2
C 3ℏω/2
D 7ℏω/2
E 9ℏω/2
Q. 71 [mqEN8a] Consider a particle with spin 1/2 under the action of a static and uniform
magnetic �eld, whose orientation de�nes the x direction. The remaining degrees of freedom can
be considered �frozen� in a de�nite quantum state, so that the relevant Hamiltonian involves only
the interaction of the spin with the magnetic �eld and can be written as
H = ωŜx.
Ŝx is the x component of the spin operator and ω = Bgq/2m, where q is the charge of the particle,
m is its mass, g is its gyromagnetic factor and B is the intensity of the applied magnetic �eld. If
at time t = 0 the system is in a state |ψ (0)⟩ with spin up, that is, Ŝz|ψ (0)⟩ = ℏ/2|ψ (0)⟩, what is
the minimum time for the system to �ip its spin?
A π/ω B 2π/ω C ∞ D π/2ω E π/4ω
Q. 72 [mqEN8b] Consider a particle with spin 1/2 under the action of a static and uniform
magnetic �eld, whose orientation de�nes the x direction. The remaining degrees of freedom can
be considered �frozen� in a de�nite quantum state, so that the relevant Hamiltonian involves only
the interaction of the spin with the magnetic �eld and can be written as
H = ωŜx.
Ŝx is the x component of the spin operator and ω = Bgq/2m, where q is the charge of the particle,
m is its mass, g is its gyromagnetic factor and B is the intensity of the applied magnetic �eld. If
at time t = 0 the system is in a state |ψ (0)⟩ with spin down, i.e. Ŝz|ψ (0)⟩ = −ℏ/2|ψ (0)⟩, what is
the minimum later time for the system to return to this initial state?
A 2π/ω B π/ω C ∞ D π/2ω E π/4ω
Catalog
Q. 73 [feEN1a] Consider an ideal gas composed of N classical and identical particles placed in
contact with a thermal reservoir of temperature T and occupying a total volume V . The probability
of �nding N/3 molecules in a volume V/3, while the other 2N/3 particles occupy the remaining
volume, is given by:
A
N !(
N
3
)
!
(
2N
3
)
!
(
1
3
)N/3 (
2
3
)2N/3
.
B
2
9
.
C
(
1
3
)N/3 (
2
3
)2N/3
.
D
N !(
N
3
)
!
(
1
3
)N/3
.
E
(
1
3
)N/3
.
Q. 74 [feEN1b] Consider an ideal gas composed of N classical and identical particles placed in
contact with a thermal reservoir of temperature T and occupying a total volume V . The probability
of �nding N/4 molecules in a volume V/4, while the other 3N/4 particles occupy the remaining
volume, is given by:
A
N !(
N
4
)
!
(
3N
4
)
!
(
1
4
)N/4 (
3
4
)3N/4
.
B
3
16
.
C
(
1
4
)N/4 (
3
4
)3N/4
.
D
N !(
N
4
)
!
(
1
4
)N/4
.
E
(
1
4
)N/4
.
Q. 75 [feEN2a] Consider a system composed of 5 non-interacting and localized particles, all of
them placed in contact with a thermal reservoir of temperature T [β = (kBT )
−1]. Each particle
is characterized by the variable ni taking the values 0 or 1 and the total energy is given by
ϵ(n1 + n2 + n3 + n4 + n5), where ϵ > 0 is a constant. The probability for the system to be found
in a state with total energy greater than or equal to 4ϵ is given by:
A
5e−4βϵ + e−5βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
B
10e−3βϵ + 5e−4βϵ + e−5βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
C
e−4βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
D
4
5
.
E
1 + 5e−βϵ + 10e−2βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
Catalog
Q. 76 [feEN2b] Consider a system composed of 5 non-interacting and localized particles, all of
them placed in contact with a thermal reservoir of temperature T [β = (kBT )
−1]. Each particle
is characterized by the variable ni taking the values 0 or 1 and the total energy is given by
ϵ(n1 + n2 + n3 + n4 + n5), where ϵ > 0 is a constant. The probability for the system to be found
in a state with total energy smaller than or equal to ϵ is given by:
A
1 + 5e−βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
B
1 + 5e−βϵ + 10e−2βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
C
e−βϵ + e−2βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
D
2
5
.
E
10e−3βϵ + 5e−4βϵ + e−5βϵ
(1 + e−βϵ)5
.
Q. 77 [feEN3a] Consider a system composed of 2 identical spinless and free bosons, each one
allowed to occupy two energy levels: the ground state with energy 0 and an excited state with
energy ϵ. The system is placed in contact with a thermal reservoir of temperature T [β = (kBT )
−1].
The mean energy U of this system is given by:
A U =
ϵ(e−βϵ + 2e−2βϵ)
1 + e−βϵ + e−2βϵ
.
B U =
2ϵe−βϵ
1 + e−βϵ
.
C U =
ϵ(e−βϵ + e−2βϵ)
1 + e−βϵ + e−2βϵ
.
D U = kBT .
E U =
ϵ(e−βϵ + e−2βϵ)
(1 + e−βϵ)2
.
Q. 78 [feEN3b] Consider a system composed of 2 identical spinless and free fermions, each
one allowed to occupy three energy levels: the ground state with energy 0, a �rst excited state
with energy ϵ and a second excited state with energy 2ϵ. The system is placed in contact with a
thermal reservoir of temperature T [β = (kBT )
−1]. The mean energy U of this system is given by:
A U =
ϵ(1 + 2e−βϵ + 3e−2βϵ)
1 + e−βϵ + e−2βϵ
.
B U =
3ϵe−βϵ
1 + e−βϵ
.
C U =
ϵ(e−βϵ + e−2βϵ)
1 + e−βϵ + e−2βϵ
.
D U = kBT .
E U =
ϵ(1 + e−βϵ + e−2βϵ)
(1 + e−βϵ)3
.
Catalog
Q. 79 [feEN4a] Consider a system formed by N magnetic ions, all of them localized and placed
in contact with a thermal bath of temperature T [β = (kBT )
−1]. The energy of each ion is given
by ϵ = −µ0hSi, where µ0, h and Si respectively denote the Bohr magneton, the strength of the
magnetic �eld and the spin variable, taking the values Si = ±1. The value of βµ0h in which the
magnetization per ion m =
∑N
i=1⟨Si⟩/N equals 0.8µ0 is given by:
A βµ0h = tanh−1(0.8).
B βµ0h = sinh−1(0.8).
C βµ0h = cosh−1(0.8).
D βµ0h = − tanh−1(0.8).
E βµ0h = − sinh−1(0.8).
Q. 80 [feEN4b] Consider a system formed by N magnetic ions, all of them localized and placed
in contact with a thermal bath of temperature T [β = (kBT )
−1]. The energy of each ion is given
by ϵ = −µ0hSi, where µ0, h and Si respectively denote the Bohr magneton, the strength of the
magnetic �eld and the spin variable, taking the values Si = ±1. The value of βµ0h in which the
magnetization per ion m =
∑N
i=1⟨Si⟩/N equals 0.2µ0 is given by:
A βµ0h = − tanh−1(0.2).
B βµ0h = − sinh−1(0.2).
C βµ0h = cosh−1(0.2).
D βµ0h = tanh−1(0.2).
E βµ0h = sinh−1(0.2).
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Answer Sheet
12024EUF0000 Jonh Doe
Q. 1 : A B C D E
Q. 2 : A B C D E
Q. 3 : A B C D E
Q. 4 : A B C D E
Q. 5 : A B C D E
Q. 6 : A B C D E
Q. 7 : A B C D E
Q. 8 : A B C D E
Q. 9 : A B C D E
Q. 10 : A B C D E
Q. 11 : A B C D E
Q. 12 : A B C D E
Q. 13 : A B C D E
Q. 14 : A B C D E
Q. 15 : A B C D E
Q. 16 : A B C D E
Q. 17 : A B C D E
Q. 18 : A B C D E
Q. 19 : A B C D E
Q. 20 : A B C D E
Q. 21 : A B C D E
Q. 22 : A B C D E
Q. 23 : A B C D E
Q. 24 : A B C D E
Q. 25 : A B C D E
Q. 26 : A B C D E
Q. 27 : A B C D E
Q. 28 : A B C D E
Q. 29 : A B C D E
Q. 30 : A B C D E
Q. 31 : A B C D E
Q. 32 : A B C D E
Q. 33 : A B C D E
Q. 34 : A B C D E
Q. 35 : A B C D E
Q. 36 : A B C D E
Q. 37 : A B C D E
Q. 38 : A B C D E
Q. 39 : A B C D E
Q. 40 : A B C D E
Q. 41 : A B C D E
Q. 42 : A B C D E
Q. 43 : A B C D E
Q. 44 : A B C D E
Q. 45 : A B C D E
Q. 46 : A B C D E
Q. 47 : A B C D E
Q. 48 : A B C D E
Catalog
Q. 49 : A B C D E
Q. 50 : A B C D E
Q. 51 : A B C D E
Q. 52 : A B C D E
Q. 53 : A B C D E
Q. 54 : A B C D E
Q. 55 : A B C D E
Q. 56 : A B C D E
Q. 57 : A B C D E
Q. 58 : A B C D E
Q. 59 : A B C D E
Q. 60 : A B C D E
Q. 61 : A B C D E
Q. 62 : A B C D E
Q. 63 : A B C D E
Q. 64 : A B C D E
Q. 65 : A B C D E
Q. 66 : A B C D E
Q. 67 : A B C D E
Q. 68 : A B C D E
Q. 69 : A B C D E
Q. 70 : A B C D E
Q. 71 : A B C D E
Q. 72 : A B C D E
Q. 73 : A B C D E
Q. 74 : A B C D E
Q. 75 : A B C D E
Q. 76 : A B C D E
Q. 77 : A B C D E
Q. 78 : A B C D E
Q. 79 : A B C D E
Q. 80 : A B C D E
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Catalog
12024EUF0001 João Ninguém
Instruções para a prova:
� Esta prova contém 40 problemas sobre mecânica clássica, eletromagnetismo, termodinâmica,
física moderna, mecânica quântica e física estatística. Todas as questões têm o mesmo peso.
� O tempo de duração desta prova é de 4 horas.
O tempo mínimo de permanência na sala é de 90 minutos.
� Nãoé permitido o uso de calculadoras ou outros instrumentos eletrônicos.
� Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que se encontra no �nal do caderno de
questões, preenchendo inteiramente o quadradinho correspondente a caneta azul ou preta.
Alternativas assinaladas fora da folha de respostas não serão consideradas Não
destaque a folha de respostas. Erros na marcação da resposta podem ser corrigidos com
corretivo branco.
� Ao �nal da prova, devolva tanto o caderno de questões quanto o formulário.
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12024EUF0001 João Ninguém
Q. 1 [mcPT1a]
Cones semelhantes (mas de dimensões distintas)
feitos do mesmo material são soltos do repouso,
como ilustrado ao lado, e caem verticalmente sob
ação da gravidade e da resistência do ar. Nota-
se que as velocidades terminais desses cones são
iguais. Dentre as a�rmações a seguir, quais delas
são necessárias para que as velocidades termi-
nais sejam iguais?
I. A força de arraste é proporcional ao quadrado da velocidade.
II. A força de arraste é proporcional à área do cone.
III. A força de arraste é proporcional ao raio do cone.
A Apenas II B I e III C I e II D Apenas I E Apenas III
Q. 2 [mcPT1b]
Calotas esféricas semelhantes (mas de dimensões
distintas) feitas do mesmo material são soltas do
repouso, como ilustrado ao lado, e caem vertical-
mente sob ação da gravidade e da resistência do
ar. Nota-se que as velocidades terminais dessas
calotas são iguais. Dentre as a�rmações a seguir,
quais delas são necessárias para que as veloci-
dades terminais sejam iguais?
I. A força de arraste é proporcional ao quadrado da velocidade.
II. A força de arraste é proporcional à área da calota.
III. A força de arraste é proporcional ao raio da calota.
A Apenas II B I e III C I e II D Apenas I E Apenas III
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Q. 3 [mcPT2a]
A �gura ao lado ilustra um bloco de densidade
ρ sobre um plano inclinado de ângulo α que é
ligeiramente menor que o ângulo máximo de in-
clinação para que o bloco não deslize. O sistema
todo está dentro de um recipiente com líquido de
densidade ρ′ = ρ/2 e cujo nível se eleva lenta-
mente.
Desconsiderando os efeitos de arraste do líquido e assumindo que o coe�ciente de atrito entre o
bloco e o plano inclinado é inalterado pela presença do líquido, quais das a�rmações a seguir são
verdadeiras?
I. Assim que a camada de líquido atingir o bloco, a força normal entre o bloco e o plano
inclinado começa a diminuir.
II. O bloco desliza assim que a camada de líquido o atingir.
III. O bloco desliza apenas após a camada de líquido submergir 1/2 de seu volume.
A Apenas I B Apenas II C Apenas II D I e II E I e III
Q. 4 [mcPT2b]
A �gura ao lado ilustra um bloco de densidade
ρ sobre um plano inclinado de ângulo α que é
ligeiramente menor que o ângulo máximo de in-
clinação para que o bloco não deslize. O sistema
todo está dentro de um recipiente com líquido de
densidade ρ′ = ρ/3 e cujo nível se eleva lenta-
mente.
Desconsiderando os efeitos de arraste do líquido e assumindo que o coe�ciente de atrito entre o
bloco e o plano inclinado é inalterado pela presença do líquido, quais das a�rmações a seguir são
verdadeiras?
I. A força normal entre o bloco e o plano inclinado é tanto menor quanto maior for a fração de
bloco submersa.
II. O bloco desliza pouco após a camada de líquido o atingir.
III. O bloco desliza apenas após a camada de líquido submergir 2/3 de seu volume.
A Apenas I B Apenas II C Apenas II D I e II E I e III
Q. 5 [mcPT3a] Uma bola de boliche de massa M e raio R é jogada em uma pista perfeitamente
horizontal com velocidade inicial v0 e sem girar. Sendo µ > 0 o coe�ciente de atrito cinético entre
a bola e a pista e considerando a bola como uma casca esférica, qual a velocidade �nal da mesma
após o deslizamento cessar? (Considere a bola e a pista como idealmente rígidos. O momento
de inércia de uma casca esférica em torno de um eixo contendo seu centro de massa é 2MR2/3.)
A
3
5
v0 B 0 C
√
3
5
v0 D
1
1 + µ
v0 E
1
1 +
2
3
µ
v0
Catalog
Q. 6 [mcPT3b] Uma bola de boliche de massa M e raio R é jogada em uma pista perfeitamente
horizontal com velocidade inicial v0 e sem girar. Sendo µ > 0 o coe�ciente de atrito cinético
entre a bola e a pista e considerando a bola como uma esfera homogênea, qual a velocidade �nal
da mesma após o deslizamento cessar? (Considere a bola e a pista como idealmente rígidos. O
momento de inércia de uma esfera homogênea em torno de um eixo que passa pelo seu centro de
massa é 2MR2/5.)
A
5
7
v0 B 0 C
√
5
7
v0 D
1
1 + µ
v0 E
1
1 +
2
5
µ
v0
Q. 7 [mcPT4a] A velocidade como função do tempo para uma partícula em oscilação harmônica
é apresentada na �gura abaixo. Assumindo x(t) = A cos(ωt+ δ), determine a opção que melhor
descreve a frequência angular ω e a amplitude do movimento A.
A ω =
π
4
rad/s; A =
16
π
cm
B ω =
π
2
rad/s; A =
8
π
cm
C ω =
π
8
rad/s; A =
32
π
cm
D ω = 4π rad/s; A =
1
π
cm
E ω = 2π rad/s; A =
2
π
cm
Q. 8 [mcPT4b] A velocidade como função do tempo para uma partícula em oscilação harmônica
é apresentada na �gura abaixo. Assumindo v(t) = A cos(ωt+ δ), determine a opção que melhor
descreve a frequência angular ω e o módulo da máxima aceleração amax.
A ω =
π
4
rad/s; amax = π cm/s2
B ω =
π
2
rad/s; amax = 2π cm/s2
C ω =
π
8
rad/s; amax =
π
2
cm/s2
D ω =
π
8
rad/s; amax =
π
2
cm/s2
E ω = 2π rad/s; amax = 8π cm/s2
Catalog
Q. 9 [mcPT5a] Em um experimento de colisões realizado na disciplina de Física Experimental,
os alunos colocam dois blocos A e B, de mesma massa m, sobre um trilho de ar.
O bloco B tem preso a si uma mola de constante elástica k e massa desprezível. Antes da colisão,
o bloco B está em repouso, enquanto o bloco A se aproxima com velocidade linear de módulo v0,
como mostrado na �gura acima. Assumindo que perdas de energia por atrito sejam desprezíveis,
determine o módulo da compressão máxima ∆xmax da mola durante a colisão. Expresse seu
resultado como função dos parâmetros m, k e v0.
A ∆xmax =
√
mv20
2k
B ∆xmax =
√
mv20
k
C ∆xmax =
√
mv20
4k
D ∆xmax =
√
2mv20
k
E ∆xmax =
√
3mv20
2k
Q. 10 [mcPT5b] Em um experimento de colisões realizado na disciplina de Física Experimental,
os alunos colocam dois blocos A e B, de mesma massa m, sobre um trilho de ar.
O bloco B tem preso a si uma mola de constante elástica k e massa desprezível. Antes da colisão,
o bloco B está em repouso, enquanto o bloco A se aproxima com velocidade linear de módulo
v0, como mostrado na �gura acima. Pelas �lmagens do experimento, os alunos foram capazes de
estimar a compressão máxima ∆xmax sofrida pela mola durante a colisão. Assumindo que perdas
de energia por atrito sejam desprezíveis, determine o módulo da velocidade inicial v0 do bloco A.
Expresse seu resultado como função dos parâmetros m, k e ∆xmax.
A v0 =
√
2k∆x2max
m
B v0 =
√
k∆x2max
m
C v0 =
√
4k∆x2max
m
D v0 =
√
k∆x2max
2m
E v0 =
√
2k∆x2max
3m
Q. 11 [mcPT6a] Uma partícula puntiforme de massa m e carga q está acoplada a um plano
delgado in�nito por uma mola ideal (isolante) de massa desprezível, comprimento L e constante
elástica k. O plano é dielétrico e tem carga super�cial σ homogênea, de mesmo sinal que q. A
partícula pode oscilar livremente na coordenada normal ao plano, como ilustrado na �gura abaixo.
Desconsiderando efeitos da gravidade e perdas de energia por radiação, determine (i) a deformação
∆L da mola no equilíbrio e (ii) a frequência angular ω de oscilação da partícula. Utilize o SI, em que
o campo elétrico de um plano in�nito é E⃗ = 1
2 (σ/ϵ0)n̂, sendo n̂ o vetor normal ao plano. Considere
a deformação da mola como positiva (negativa) quando a mola está estendida (comprimida).
A (i) ∆L =
|qσ|
2kϵ0
e (ii) ω =
√
k
m
B (i) ∆L = − |qσ|
2kϵ0
e (ii) ω =
√
k
m
C (i) ∆L =
|qσ|
2kϵ0
e (ii) ω =
√
k
m
+
|qσ|
2kϵ0
D (i) ∆L = − |qσ|
2kϵ0
e (ii) ω =
√
k
m
+
|qσ|
2kϵ0
E (i) ∆L =
|qσ|
kϵ0
e (ii) ω =
√
k
m
− |qσ|
kϵ0
Catalog
Q. 12 [mcPT6b] Uma partícula puntiforme de massa m e carga q está acoplada a um plano
delgado in�nito por uma molaideal (isolante) de massa desprezível, comprimento L e constante
elástica k. O plano é dielétrico e tem carga super�cial σ homogênea, de sinal oposto a q. A
partícula pode oscilar livremente na coordenada normal ao plano, como ilustrado na �gura abaixo.
Desconsiderando efeitos da gravidade e perdas de energia por radiação, determine (i) a frequência
angular ω de oscilação da partícula e (ii) a deformação ∆L da mola no equilíbrio. Utilize o
SI, em que o campo elétrico de um plano in�nito é E⃗ = 1
2 (σ/ϵ0)n̂, sendo n̂ o vetor normal ao
plano. Considere a deformação da mola como positiva (negativa) quando a mola está estendida
(comprimida).
A (i) ω =
√
k
m
e (ii) ∆L = − |qσ|
2kϵ0
B (i) ω =
√
k
m
e (ii) ∆L =
|qσ|
2kϵ0
C (i) ω =
√
k
m
− |qσ|
2kϵ0
e (ii) ∆L =
|qσ|
2kϵ0
D (i) ω =
√
k
m
+
|qσ|
2kϵ0
e (ii) ∆L = − |qσ|
2kϵ0
E (i) ω =
√
k
m
− |qσ|
kϵ0
e (ii) ∆L =
|qσ|
kϵ0
Q. 13 [mcPT7a] Um bloco de massaM está em repouso sobre um plano inclinado sem atrito, de
inclinação θ, sustentado por uma corda de massa m e comprimento L, como mostrado na Figura
fbaixo. A corda está presa nas duas extremidades. Dada essa con�guração do sistema e sabendo
que m ≪ M , determine a menor frequência de oscilação f1 de uma onda mecânica na corda.
Expresse seu resultado como função de m, M , g, θ e L. Trate a corda como unidimensional.
A f1 =
1
2
√
Mg sin θ
mL
B f1 =
√
Mg sin θ
mL
C f1 = 2
√
Mg sin θ
mL
D f1 =
1
2
√
Mg cos θ
mL
E f1 =
√
Mg cos θ
mL
Catalog
Q. 14 [mcPT7b] Um bloco de massa M está em repouso sobre um plano inclinado sem atrito,
de inclinação θ, sustentado por uma corda de massa m e comprimento L, como mostrado na �gura
abaixo. A corda está presa ao bloco, porém está livre para se movimentar ao longo do eixo do
suporte, na extremidade oposta. Dada essa con�guração do sistema e sabendo que m ≪ M ,
determine a menor frequência de oscilação f1 de uma onda mecânica na corda. Expresse seu
resultado como função de m, M , g, θ e L. Trate a corda como unidimensional.
A f1 =
1
4
√
Mg sin θ
mL
B f1 =
1
2
√
Mg sin θ
mL
C f1 =
3
2
√
Mg sin θ
mL
D f1 =
3
4
√
Mg cos θ
mL
E f1 =
√
Mg cos θ
mL
Q. 15 [mcPT8a] Um disco homogêneo de massa M e raio R está acoplado ao teto através de
uma corda (de massa desprezível) enrolada nas suas bordas. O disco é abandonado do repouso sob
ação da gravidade g, tal como ilustrado na �gura abaixo. Desprezando eventuais perdas de energia
e assumindo que a corda não desliza sobre a borda do disco, determine a velocidade angular ω do
disco como função da altura H em relação a sua posição inicial. O momento de inércia do disco
em torno de um eixo perpendicular contendo seu centro de massa é MR2/2.
MR
H
+ ω
A ω =
√
4gH
3R2
B ω =
√
gH
R2
C ω =
√
gH
2R2
D ω =
√
2gH
R2
E ω =
√
3gH
4R2
Q. 16 [mcPT8b] Um disco homogêneo de massa M e raio R está acoplado ao teto através de
uma corda (de massa desprezível) enrolada nas suas bordas. O disco é abandonado do repouso sob
ação da gravidade g, tal como ilustrado na �gura abaixo. Desprezando eventuais perdas de energia
e assumindo que a corda não desliza sobre a borda do disco, determine o módulo da velocidade
linear V do disco como função da altura H em relação a sua posição inicial. O momento de inércia
do disco em torno de um eixo perpendicular contendo seu centro de massa é MR2/2.
MR
H
+ ω
A V =
√
4gH
3
B V =
√
gH
C V =
√
gH
2
D V =
√
2gH
E V =
√
3gH
4
Catalog
Q. 17 [emPT1a]
O campo elétrico de uma onda plana que se
propaga no vácuo é dado por
E(r,t) = E0(x̂+ ẑ)e−i(ωt−ky),
sendo k = kŷ o vetor de onda. Determine o
campo magnético B(r,t).
A B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt−ky)(x̂− ẑ)
B B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt−ky)(ŷ + ẑ)
C B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt−ky)(x̂+ ẑ)
D B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt+ky)ŷ
E B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt+ky)x̂
Q. 18 [emPT1b]
O campo elétrico de uma onda plana que se
propaga no vácuo é dado por
E(r,t) = E0(ŷ + ẑ)e−i(ωt−kx),
sendo k = kx̂ o vetor de onda. Determine o
campo magnético B(r,t).
A B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt−kx)(ẑ − ŷ)
B B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt−kx)(ŷ + ẑ)
C B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt−kx)(x̂− ẑ)
D B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt+kx)ŷ
E B(r,t) =
E0
c
e−i(ωt+kx)x̂
Q. 19 [emPT2a] O potencial elétrico V na superfície de uma casca esférica de raio R é igual a
V = (V0R/a) cos θ, em que θ é o ângulo polar em relação a um certo eixo que passa pelo centro
da esfera, enquanto V0 e a são constantes. Qual é o potencial elétrico dentro da esfera, na região
a uma distância r = R/2 do centro?
A V =
V0
2a
R cos θ
B V =
V0
2a
R
C V =
V0
3a
R cos θ
D V =
V0
3a
R
E V =
2V0
a
R sen θ
Q. 20 [emPT2b] O potencial elétrico V na superfície de uma casca esférica de raio R é igual a
V = (V0R/a) cos θ, em que θ é o ângulo polar em relação a um certo eixo que passa pelo centro da
esfera, enquanto V0 e a são constantes. Qual é o potencial elétrico fora da esfera, na região a uma
distância r = 2R do centro?
A V =
V0R
4a
cos θ
B V =
V0R
4a
C V =
V0R
2
4a2
cos θ
D V =
V0R
2
4a2
E V =
V0R
2
2a2
sen θ
Q. 21 [emPT3a] Em uma região no interior de um cilindro de raio R e altura h há um campo
elétrico dado por E = αρ̂+βẑ e um campo magnético dado por B = γφ̂+ δẑ, onde α, β, γ e δ são
constantes. O eixo de simetria do cilindro está na direção ẑ. Qual é o valor absoluto da energia
que atravessa a tampa superior do cilindro por unidade de tempo?
A
πR2αγ
µ0
B
2πR2βδ
µ0
C
4πR2αδ
γβµ0
D
R2
4παγµ0
E
R2
2πβδµ0
Catalog
Q. 22 [emPT3b] Em uma região no interior de um cilindro de raio R e altura h há um campo
magnético dado por B = αρ̂+βẑ e um campo elétrico dado por E = γρ̂+ δφ̂, onde α, β, γ e δ são
constantes. O eixo de simetria do cilindro está na direção ẑ. Qual é o valor absoluto da energia
que atravessa a tampa superior do cilindro por unidade de tempo?
A
πR2αδ
µ0
B
2πR2αγ
µ0
C
2πR2βγ
µ0
D
4πR2αγ
µ0
E
4πR2βδ
µ0
Q. 23 [emPT4a] Um �o de comprimento L0 e resistência R0 é esticado de tal forma que seu
novo comprimento é L = 2L0. Considerando que a resistividade e o volume do �o não se alteram
quando variamos o seu comprimento, qual é o valor da nova resistência R em termos de R0?
A R = 4R0
B R = R0
C R = 2R0
D R =
R0
2
E R =
R0
4
Q. 24 [emPT4b] Um �o de comprimento L0 e resistência R0 é esticado de tal forma que seu
novo comprimento é L = 3L0. Considerando que a resistividade e o volume do �o não se alteram
quando variamos o seu comprimento, qual é o valor da nova resistência R em termos de R0?
A R = 9R0
B R = R0
C R = 3R0
D R =
R0
3
E R =
R0
9
Q. 25 [emPT5a] Um elétron de massa me é lançado com uma velocidade inicial de módulo v0
em direção a um próton mantido �xo no lugar. Se o elétron se encontra inicialmente a uma grande
distância do próton, a que distância r do próton a velocidade instantânea do elétron é cinco vezes
maior que sua velocidade inicial?
A r =
1
48πϵ0me
(
e
v0
)2
B r =
1
8πϵ0me
(
e
v0
)2
C r =
1
4πϵ0
(
eme
v0
)2
D r =
1
48πϵ0
(
eme
v0
)2
E r =
1
4πϵ0me
(
e
v0
)2
Q. 26 [emPT5b] Um elétron de massa me é lançado com uma velocidade inicial de módulo v0
em direção a um próton mantido �xo no lugar. Se o elétron se encontra inicialmente a uma grande
distância do próton, a que distância r do próton a energia cinética do elétron é três vezes maior
que sua energia cinética inicial?
A r =
1
4πϵ0me
(
e
v0
)2
B r =
1
8πϵ0me
(
e
v0
)2
C r =
1
4πϵ0
(
eme
v0
)2
D r =
1
48πϵ0
(
eme
v0
)2
E r =
1
48πϵ0me
(
e
v0
)2
Q. 27 [emPT6a] Duas cascas esféricas concêntricas, a primeira com densidade super�cial de
cargas σ1 e a segunda com σ2, tem raios r1 e r2 = 3r1, respectivamente. Determine o módulo do
campo elétrico E gerado por estas duas cascas a uma distância r = 2r1 do centro das cascas.
A E =
σ1
4ϵ0
B E =
σ1 + 9σ2
4ϵ0
C E = 0
D E =
5
2
σ1 + σ2
ϵ0
E E =
2
5
σ1 + σ2
ϵ0
Catalog
Q. 28 [emPT6b] Duas cascas esféricas concêntricas, a primeira com densidade super�cial de
cargas σ1 e a segunda com σ2, tem raios r1 e r2 = 2r1, respectivamente. Determine o módulo do
campo elétricoE gerado por estas duas cascas a uma distância r = 3r1 do centro das cascas.
A E =
σ1 + 4σ2
9ϵ0
B E =
σ1
81ϵ0
C E = 0
D E =
5
9
σ1 + σ2
ϵ0
E E =
9
5
σ1 + σ2
ϵ0
Q. 29 [emPT7a] Considere um conjunto de dois capacitores em série, com capacitâncias C1 = C
e C2 = 2C. Nenhum dos capacitores suporta uma diferença de potencial maior que V0 sem que
seus dielétricos se rompam. Dado esse vínculo, qual é a maior energia elétrica U que pode ser
armazenada no conjunto de dois capacitores?
A U =
3
4
CV 2
0
B U =
4
3
CV 2
0
C U =
5
6
CV 2
0
D U =
1
2
CV 2
0
E U =
6
5
CV 2
0
Q. 30 [emPT7b]
Considere um conjunto de dois capacitores em série, com capacitâncias C1 = C e C2 = 2C.
Nenhum dos capacitores suporta uma diferença de potencial maior que V0 sem que seus dielétricos
se rompam. Dado esse vínculo, qual é a maior diferença de potencial V que pode ser estabelecida
entre os terminais do conjunto de dois capacitores?
A V =
3
2
V0
B V =
2
3
V0
C V = 2V0
D V =
1
3
V0
E V =
3
4
V0
Q. 31 [emPT8a] Em um circuito RC, temos uma fonte com força eletromotriz E , um resistor de
resistência R e um capacitor de capacitância C. No instante t = 0, o circuito é fechado, fazendo
com que o capacitor inicialmente descarregado comece a se carregar de acordo com a equação
q(t) = CE(1 − e−
t
RC ). Em que instante de tempo a diferença de potencial entre os terminais do
capacitor é igual à metade da diferença de potencial entre os terminais do resistor?
A t = ln
(
3
2
)
RC
B t = ln
(
1
2
)
RC
C t = ln
(
2
3
)
RC
D t = ln (2)RC
E t = ln
(
1
4
)
RC
Q. 32 [emPT8b] Em um circuito RC, temos uma fonte com força eletromotriz E , um resistor de
resistência R e um capacitor de capacitância C. No instante t = 0, o circuito é fechado, fazendo
com que o capacitor inicialmente descarregado comece a se carregar de acordo com a equação
q(t) = CE(1 − e−
t
RC ). Em que instante de tempo a diferença de potencial entre os terminais do
capacitor é igual à diferença de potencial entre os terminais do resistor?
A t = ln (2)RC
B t = ln
(
1
2
)
RC
C t = ln
(
2
3
)
RC
D t = RC
E t = ln
(
1
4
)
RC
Catalog
Q. 33 [tePT1a] Sabe-se que a transferência de energia entre as partes adjacentes de um corpo,
em consequência da diferença entre suas temperaturas, ocorre da parte mais quente para a mais
fria. Considere então uma barra cilíndrica e homogênea disposta entre dois reservatórios térmicos,
cada um deles contendo um mol de gás ideal. O primeiro sustenta uma pressão p1 = p0 e possui
volume V1 = V0, enquanto o outro sustenta uma pressão p2 = 2p0 e possui volume V2 = 3V0,
conforme a �gura abaixo:
No estado estacionário, sabe-se que, nesse caso,
a taxa de transferência de calor, dQ/dt, não deve
depender de x, a variável de posição indicada na
�gura. Portanto, a temperatura deve depender
linearmente de x, segunda uma expressão dada
por:
A
p0V0
R
(
− 5
L
x+ 6
)
. B
p0V0
R
(
− 7
L
x+ 8
)
.
C
p0V0
R
(x+ 1).
D
p0V0
R
x.
E
p0V0
R
(
− 5
L
x+ 3
)
.
Q. 34 [tePT1b] Sabe-se que a transferência de energia entre as partes adjacentes de um corpo,
em consequência da diferença entre suas temperaturas, ocorre da parte mais quente para a mais
fria. Considere então uma barra cilíndrica e homogênea disposta entre dois reservatórios térmicos,
cada um deles contendo um mol de gás ideal. O primeiro sustenta uma pressão p1 = p0 e possui
volume V1 = V0, enquanto o outro sustenta uma pressão p2 = 4p0 e possui volume V2 = 2V0,
conforme a �gura abaixo:
No estado estacionário, sabe-se que, nesse caso,
a taxa de transferência de calor, dQ/dt, não deve
depender de x, a variável de posição indicada na
�gura. Portanto, a temperatura deve depender
linearmente de x, segunda uma expressão dada
por:
A
p0V0
R
(
− 7
L
x+ 8
)
. B
p0V0
R
(
− 5
L
x+ 6
)
.
C
p0V0
R
(x+ 1).
D
p0V0
R
x.
E
p0V0
R
(
− 7
L
x+ 7
)
.
Q. 35 [tePT2a] Uma bola de ferro cai de uma altura h, a partir do repouso, sobre uma superfície
de concreto. Após o primeiro impacto, a bola é lançada de volta a uma altura de h
2 . Suponha
que toda a energia mecânica perdida após o primeiro impacto com o chão seja transformada em
energia interna da bola. Dado o calor especí�co do ferro cF e a aceleração gravitacional local g,
determine o aumento de temperatura da bola após a primeira colisão.
A ∆T =
gh
2cF
B ∆T =
gh
3cF
C ∆T =
2gh
3cF
D ∆T =
cF
2gh
E ∆T =
gh
cF
Catalog
Q. 36 [tePT2b] Uma bola de ferro cai de uma altura h, a partir do repouso, sobre uma superfície
de concreto. Após o primeiro impacto, a bola é lançada de volta a uma altura de h
3 . Suponha
que toda a energia mecânica perdida após o primeiro impacto com o chão seja transformada em
energia interna da bola. Dado o calor especí�co do ferro cF e a aceleração gravitacional local g,
determine o aumento de temperatura da bola após a primeira colisão.
A ∆T =
2gh
3cF
B ∆T =
gh
2cF
C ∆T =
gh
2cF
D ∆T =
3cF
2gh
E ∆T =
gh
cF
Q. 37 [tePT3a] O motor de um refrigerador fornece uma potência de 100 watts. Lembre-se de
que coe�ciente de desempenho de um refrigerador é sempre medido com a razão do calor extraído
da fonte fria pelo trabalho fornecido pelo motor desse refrigerador. Considerando que o congelador
do refrigerador está a uma temperatura de 270 K e o ar ambiente está a uma temperatura de
300 K, e supondo um coe�ciente de desempenho ideal, qual é a quantidade máxima de calor que
pode ser extraída do congelador em um intervalo de tempo de ∆t = 10min?
A 5,4× 105 J
B 2,6× 107 J
C 1,6× 105 J
D 2,7× 105 J
E 5,2× 106 J
Q. 38 [tePT3b] O motor de um refrigerador fornece uma potência de 50 watts. Lembre-se de
que coe�ciente de desempenho de um refrigerador é sempre medido com a razão do calor extraído
da fonte fria pelo trabalho fornecido pelo motor desse refrigerador. Considerando que o congelador
do refrigerador está a uma temperatura de 270 K e o ar ambiente está a uma temperatura de
300 K, e supondo um coe�ciente de desempenho ideal, qual é a quantidade máxima de calor que
pode ser extraída do congelador em um intervalo de tempo de ∆t = 10min?
A 2,7× 105 J
B 1,3× 107 J
C 8,0× 106 J
D 5,4× 105 J
E 2,4× 106 J
Q. 39 [tePT4a] Considere duas porções do mesmo líquido com a mesma massa m, mas com
temperaturas diferentes T e 2T . As duas porções são misturadas e a mistura é mantida termica-
mente isolada. O calor especí�co do líquido é constante e dado por c. O sistema atinge o equilíbrio.
A variação de entropia neste processo é dada por:
A ∆S = mc ln
(
9
8
)
.
B ∆S = 0.
C ∆S = mc ln
(
4
3
)
. D ∆S = mc ln
(
5
4
)
.
E ∆S = mc ln 2.
Q. 40 [tePT4b] Considere duas porções do mesmo líquido com a mesma massa m, mas com
temperaturas diferentes T e 3T . As duas porções são misturadas e a mistura é mantida termica-
mente isolada. O calor especí�co do líquido é constante e dado por c. O sistema atinge o equilíbrio.
A variação de entropia neste processo é dada por:
A ∆S = mc ln
(
4
3
)
.
B ∆S = 0.
C ∆S = mc ln
(
9
8
)
. D ∆S = mc ln
(
5
4
)
.
E ∆S = mc ln 2.
Q. 41 [fmPT1a]
Em um referencial inercial, a força resultante sobre uma partícula de massa de repouso m é
F = Atx̂, onde A é uma constante. Se o momento inicial da partícula nesse referencial é nulo, qual
é a sua velocidade medida no tempo t nesse mesmo referencial?
A
At2c√
4m2c2 +A2t4
x̂
B
At2c√
2m2c2 +A2t4
x̂
C
At2c√
m2c2 +A2t4
x̂
D
2At2c√
m2c2 + 4A2t4
x̂
E
At2c√
4m2c2 + 2A2t4
x̂
Catalog
Q. 42 [fmPT1b]
Em um referencial inercial, a força resultante sobre uma partícula de massa de repouso m é
F = At2x̂, onde A é uma constante. Se o momento inicial da partícula nesse referencial é nulo,
qual é a sua velocidade medida no tempo t nesse mesmo referencial?
A
At3c√
9m2c2 +A2t6
x̂
B
At3c√
9m2c2 + 3A2t6
x̂
C
3At3c√
m2c2 + 9A2t6
x̂
D
At3c√
m2c2 + 3A2t6
x̂
E
At3c√
m2c2 +A2t6
x̂
Q. 43 [fmPT2a] Uma molécula diatômica é formada por dois átomos idênticos cujos núcleos,
de massa m, estão separados por uma distância d. A energia necessária para levar a molécula do
estado fundamental