MMCMIV linguagem 2

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- \( \log(1,05) \approx 0,0212 \) 
 
Substituindo esses valores: 
 
\[ n \approx \frac{0,1761}{0,0212} \approx 8,30 \] 
 
O número de anos não é uma resposta inteira, mas o montante atinge R$ 15.000,00 entre 7 
e 8 anos. Portanto, considerando que o montante é alcançado no final do sétimo ano, a 
resposta correta é **b) 7 anos**. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \). Qual das alternativas 
abaixo representa a quantidade de raízes reais que a função possui no intervalo \( [-2, 4] \)? 
 
**Alternativas:** 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
**Resposta:** d) 3 
 
**Explicação:** Para determinar o número de raízes reais da função \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 
4x - 8 \) no intervalo \( [-2, 4] \), podemos usar o teorema de Bolzano, que afirma que se 
uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz 
nesse intervalo. 
 
Primeiro, calculamos os valores da função nos limites do intervalo: 
 
1. \( f(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2)^2 + 4(-2) - 8 \) 
 \( = 2(-8) - 6(4) - 8 - 8 \) 
 \( = -16 - 24 - 8 - 8 \) 
 \( = -56 \) 
 
2. \( f(4) = 2(4)^3 - 6(4)^2 + 4(4) - 8 \) 
 \( = 2(64) - 6(16) + 16 - 8 \) 
 \( = 128 - 96 + 16 - 8 \) 
 \( = 40 \) 
 
Como \( f(-2) 0 \), sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo \( 
[-2, 4] \). 
 
Para identificar quantas raízes existem realmente, vamos calcular a derivada de \( f \): 
 
\[ f'(x) = 6x^2 - 12x + 4 \] 
 
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
 
\[ 6x^2 - 12x + 4 = 0 \] 
Dividindo tudo por 2: 
 
\[ 3x^2 - 6x + 2 = 0 \] 
 
Utilizando a fórmula de Bhaskara: 
 
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] 
 
onde \( a = 3, b = -6, c = 2 \): 
 
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \] 
\[ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} \] 
\[ = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} \] 
\[ = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} \] 
\[ = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \] 
 
Os pontos críticos são \( x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \) e \( x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \). 
Ambas as raízes estão no intervalo \( [-2, 4] \). 
 
Agora, analisamos o comportamento da função: 
 
- Em \( x = -2 \), \( f(-2) 0 \) 
 
Portanto, com a variação de sinal observada, verifica-se que existem 3 raízes reais no 
intervalo \( [-2, 4] \). Assim, a resposta correta é: 
 
**d) 3**. 
 
**Questão:** Considere uma função contínua \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ dada por \( 
f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3 \). Qual dos seguintes intervalos contém uma raiz da função \( 
f(x) \)? 
 
Alternativas: