Transformacoes Lineares - Diagonalizacao de Matrizes lista de exercicios

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Disciplina: Álgebra Linear e Geometria 
Curso: Licenciatura em Matemática 
 
 
Transformações Lineares 
Diagonalização de Matrizes 
 
Lista de Exercícios Resolvida 
 
 
 
Questão 1 
 
Qual é a definição de uma matriz diagonalizável? 
 
A) Uma matriz que pode ser transformada em uma matriz diagonal por meio de uma 
transformação linear. 
B) Uma matriz que não pode ser transformada em uma matriz diagonal por meio de uma 
transformação linear. 
C) Uma matriz que é igual à sua própria transposta. 
D) Uma matriz que é igual à sua própria inversa. 
E) Uma matriz que é uma matriz identidade. 
 
Resposta: A) Uma matriz que pode ser transformada em uma matriz diagonal por meio de 
uma transformação linear. 
 
Explicação: Uma matriz é diagonalizável se ela pode ser transformada em uma matriz 
diagonal por meio de uma transformação linear. Isso significa que existe uma matriz 
invertível P tal que P^-1AP é uma matriz diagonal. 
 
Questão 2 
 
Qual é o nome do teorema que afirma que uma matriz é diagonalizável se e somente se 
ela tem n autovetores linearmente independentes? 
 
A) Teorema da Diagonalização 
B) Teorema dos Autovetores 
C) Teorema da Transformação Linear 
D) Teorema da Matriz 
E) Teorema do Espaço Vetorial 
 
Resposta: A) Teorema da Diagonalização 
 
Explicação: O Teorema da Diagonalização afirma que uma matriz é diagonalizável se e 
somente se ela tem n autovetores linearmente independentes. Isso significa que se uma 
matriz tem n autovetores linearmente independentes, então ela pode ser diagonalizada. 
 
 
Questão 3 
 
Qual é a consequência de uma matriz ser diagonalizável? 
 
A) A matriz é invertível. 
B) A matriz não é invertível. 
C) A matriz é uma matriz identidade. 
D) A matriz é uma matriz zero. 
E) A matriz pode ser transformada em uma matriz diagonal. 
 
Resposta: E) A matriz pode ser transformada em uma matriz diagonal. 
 
Explicação: Se uma matriz é diagonalizável, isso significa que ela pode ser transformada 
em uma matriz diagonal por meio de uma transformação linear. Isso é útil para resolver 
sistemas de equações lineares e para encontrar as propriedades da matriz. 
 
Questão 4 
 
Qual é o nome do processo de encontrar a matriz diagonalizante de uma matriz? 
 
A) Processo de Diagonalização 
B) Processo de Transformação Linear 
C) Processo de Matriz 
D) Processo de Espaço Vetorial 
E) Processo de Resolução da Equação Característica 
 
Resposta: A) Processo de Diagonalização 
 
Explicação: O processo de encontrar a matriz diagonalizante de uma matriz é chamado 
de processo de diagonalização. Isso envolve encontrar os autovetores e os autovalores 
da matriz e, em seguida, construir a matriz diagonalizante. 
 
Questão 5 
 
Qual é a consequência de uma matriz não ser diagonalizável? 
 
A) A matriz é invertível. 
B) A matriz não é invertível. 
C) A matriz é uma matriz identidade. 
D) A matriz é uma matriz zero. 
E) A matriz não pode ser transformada em uma matriz diagonal. 
 
Resposta: E) A matriz não pode ser transformada em uma matriz diagonal. 
 
Explicação: Se uma matriz não é diagonalizável, isso significa que ela não pode ser 
transformada em uma matriz diagonal por meio de uma transformação linear. Isso pode 
ser um problema para resolver sistemas de equações lineares e para encontrar as 
propriedades da matriz. 
 
 
Questão 6 
 
Qual é o nome do teorema que afirma que uma matriz simétrica é sempre diagonalizável? 
 
A) Teorema da Diagonalização 
B) Teorema dos Autovetores 
C) Teorema da Transformação Linear 
D) Teorema da Matriz Simétrica 
E) Teorema do Espaço Vetorial 
 
Resposta: D) Teorema da Matriz Simétrica 
 
Explicação: O Teorema da Matriz Simétrica afirma que uma matriz simétrica é sempre 
diagonalizável. Isso significa que uma matriz simétrica pode ser transformada em uma 
matriz diagonal por meio de uma transformação linear. 
 
Questão 7 
 
Qual é a consequência de uma matriz ter uma matriz diagonalizante não única? 
 
A) A matriz é não diagonalizável. 
B) A matriz é diagonalizável, mas a matriz diagonalizante é única. 
C) A matriz é diagonalizável, mas a matriz diagonalizante não é única. 
D) A matriz é uma matriz identidade. 
E) A matriz é uma matriz zero. 
 
Resposta: C) A matriz é diagonalizável, mas a matriz diagonalizante não é única. 
 
Explicação: Se uma matriz tem uma matriz diagonalizante não única, isso significa que a 
matriz é diagonalizável, mas a matriz diagonalizante pode ser escolhida de diferentes 
maneiras. 
 
Questão 8 
 
Qual é o nome do processo de encontrar a matriz diagonalizante de uma matriz usando 
os autovetores? 
 
A) Processo de Diagonalização 
B) Processo de Transformação Linear 
C) Processo de Matriz 
D) Processo de Espaço Vetorial 
E) Processo de Construção da Matriz Diagonalizante 
 
Resposta: E) Processo de Construção da Matriz Diagonalizante 
 
Explicação: O processo de encontrar a matriz diagonalizante de uma matriz usando os 
autovetores é chamado de processo de construção da matriz diagonalizante. Isso envolve 
encontrar os autovetores da matriz e, em seguida, construir a matriz diagonalizante 
usando esses autovetores. 
 
 
Questão 9 
 
Qual é a consequência de uma matriz ser diagonalizável por uma matriz ortogonal? 
 
A) A matriz é uma matriz identidade. 
B) A matriz é uma matriz zero. 
C) A matriz é uma matriz simétrica. 
D) A matriz é uma matriz diagonal. 
E) A matriz é uma matriz ortogonal. 
 
Resposta: E) A matriz é uma matriz ortogonal. 
 
Explicação: Se uma matriz é diagonalizável por uma matriz ortogonal, isso significa que a 
matriz é uma matriz ortogonal. Isso ocorre porque a matriz ortogonal é uma matriz que 
preserva a norma dos vetores. 
 
Questão 10 
 
Qual é o nome do teorema que afirma que uma matriz é diagonalizável se e somente se 
ela é semelhante a uma matriz diagonal? 
 
A) Teorema da Diagonalização 
B) Teorema da Semelhança 
C) Teorema da Matriz Diagonal 
D) Teorema da Transformação Linear 
E) Teorema do Espaço Vetorial 
 
Resposta: A) Teorema da Diagonalização 
 
Explicação: O Teorema da Diagonalização afirma que uma matriz é diagonalizável se e 
somente se ela é semelhante a uma matriz diagonal. Isso significa que uma matriz é 
diagonalizável se e somente se ela pode ser transformada em uma matriz diagonal por 
meio de uma transformação linear. 
 
Questão 11 
 
Qual é a consequência de uma matriz ser diagonalizável por uma matriz não invertível? 
 
A) A matriz é não diagonalizável. 
B) A matriz é diagonalizável, mas a matriz diagonalizante é não invertível. 
C) A matriz é diagonalizável, mas a matriz diagonalizante é invertível. 
D) A matriz é uma matriz identidade. 
E) A matriz é uma matriz zero. 
 
Resposta: A) A matriz é não diagonalizável. 
 
Explicação: Se uma matriz é diagonalizável por uma matriz não invertível, isso significa 
que a matriz é não diagonalizável. Isso ocorre porque a matriz não invertível não pode ser 
usada para transformar a matriz em uma matriz diagonal.