Matrizes - Matrizes Simetricas lista

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Disciplina: Álgebra Linear e Geometria 
Curso: Licenciatura em Matemática 
 
 
Matrizes 
Matrizes Simétricas 
 
Lista de Exercícios Resolvida 
 
 
 
Questão 1 
 
Qual é a definição de uma matriz simétrica? 
 
A) Uma matriz que tem uma transposta igual à sua própria matriz 
B) Uma matriz que tem uma transposta igual à sua inversa 
C) Uma matriz que tem uma inversa igual à sua própria matriz 
D) Uma matriz que tem uma inversa igual à sua transposta 
E) Uma matriz que tem uma diagonal principal igual à sua própria matriz 
 
Resposta: A) Uma matriz que tem uma transposta igual à sua própria matriz 
 
Explicação: Uma matriz simétrica é uma matriz que tem uma transposta igual à sua 
própria matriz. Isso significa que se A é uma matriz simétrica, então A^T = A. 
 
Questão 2 
 
Qual é a propriedade das matrizes simétricas que afirma que os autovalores são reais? 
 
A) Propriedade de simetria 
B) Propriedade de ortogonalidade 
C) Propriedade de diagonalização 
D) Propriedade de triangularização 
E) Propriedade de singularização 
 
Resposta: A) Propriedade de simetria 
 
Explicação: A propriedade de simetria das matrizes simétricas afirma que os autovalores 
são reais. Isso significa que se A é uma matriz simétrica, então os autovalores de A são 
números reais. 
 
 
Questão 3 
 
Qual é o exemplo de uma matriz simétrica? 
 
A) Matriz identidade 
B) Matriz zero 
C) Matriz diagonal 
D) Matriz triangular 
E) Matriz de rotação 
 
Resposta: C) Matriz diagonal 
 
Explicação: Uma matriz diagonal é um exemplo de uma matriz simétrica. Isso porque a 
transposta de uma matriz diagonal é igual à sua própria matriz. 
 
Questão 4 
 
Qual é a aplicação das matrizes simétricas na álgebra linear? 
 
A) Encontrar a inversa de uma matriz 
B) Encontrar a transposta de uma matriz 
C) Encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz 
D) Encontrar a diagonalização de uma matriz 
E) Encontrar a triangularização de uma matriz 
 
Resposta: C) Encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz 
 
Explicação: As matrizes simétricas são usadas na álgebra linear para encontrar os 
autovalores e autovetores de uma matriz. Isso porque as matrizes simétricas têm 
autovalores reais e autovetores ortogonais. 
 
Questão 5 
 
Qual é a condição necessária para que uma matriz seja simétrica e ortogonal ao mesmo 
tempo? 
 
A) A matriz deve ser quadrada e ter um determinante igual a 1 
B) A matriz deve ser quadrada e ter um determinante igual a -1 
C) A matriz deve ser quadrada e ter uma transposta igual à sua própria matriz 
D) A matriz deve ser quadrada e ter uma transposta igual à sua inversa 
E) A matriz deve ser quadrada e ter um determinante igual a 0 
 
Resposta: C) A matriz deve ser quadrada e ter uma transposta igual à sua própria matriz 
 
Explicação: A condição necessária para que uma matriz seja simétrica e ortogonal ao 
mesmo tempo é que ela seja quadrada e tenha uma transposta igual à sua própria matriz. 
Isso significa que se A é uma matriz simétrica e ortogonal, então A^T = A. 
 
Questão 6 
 
Qual é a propriedade das matrizes simétricas que afirma que a soma de duas matrizes 
simétricas é também uma matriz simétrica? 
 
A) Propriedade de simetria 
B) Propriedade de ortogonalidade 
C) Propriedade de diagonalização 
D) Propriedade de triangularização 
E) Propriedade de aditividade 
 
Resposta: E) Propriedade de aditividade 
 
Explicação: A propriedade de aditividade das matrizes simétricas afirma que a soma de 
duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica. Isso significa que se A e B são 
matrizes simétricas, então A + B é também uma matriz simétrica. 
 
Questão 7 
 
Qual é o exemplo de uma matriz simétrica que não é uma matriz diagonal? 
 
A) Matriz de rotação 
B) Matriz de reflexão 
C) Matriz de translação 
D) Matriz de escala 
E) Matriz de projeção 
 
Resposta: A) Matriz de rotação 
 
Explicação: Uma matriz de rotação é um exemplo de uma matriz simétrica que não é uma 
matriz diagonal. Isso porque a matriz de rotação tem elementos fora da diagonal principal. 
 
Questão 8 
 
Qual é a aplicação das matrizes simétricas na física? 
 
A) Encontrar a energia potencial de um sistema 
B) Encontrar a energia cinética de um sistema 
C) Encontrar a força de um sistema 
D) Encontrar a posição de um sistema 
E) Encontrar a matriz de inércia de um sistema 
 
Resposta: E) Encontrar a matriz de inércia de um sistema 
 
Explicação: As matrizes simétricas são usadas na física para encontrar a matriz de inércia 
de um sistema. Isso porque a matriz de inércia é uma matriz simétrica que descreve a 
distribuição de massa de um sistema. 
 
 
Questão 9 
 
Qual é a condição necessária para que uma matriz simétrica seja diagonalizável? 
 
A) A matriz deve ser quadrada e ter um determinante diferente de zero 
B) A matriz deve ser quadrada e ter um determinante igual a zero 
C) A matriz deve ser quadrada e ter uma transposta igual à sua própria matriz 
D) A matriz deve ser quadrada e ter uma transposta igual à sua inversa 
E) A matriz deve ser quadrada e ter autovalores distintos 
 
Resposta: E) A matriz deve ser quadrada e ter autovalores distintos 
 
Explicação: A condição necessária para que uma matriz simétrica seja diagonalizável é 
que ela seja quadrada e tenha autovalores distintos. Isso significa que se A é uma matriz 
simétrica diagonalizável, então A tem autovalores distintos e pode ser diagonalizada. 
 
Questão 10 
 
Qual é a propriedade das matrizes simétricas que afirma que a matriz simétrica é igual à 
sua própria transposta conjugada? 
 
A) Propriedade de simetria 
B) Propriedade de ortogonalidade 
C) Propriedade de diagonalização 
D) Propriedade de triangularização 
E) Propriedade de hermiticidade 
 
Resposta: E) Propriedade de hermiticidade 
 
Explicação: A propriedade de hermiticidade das matrizes simétricas afirma que a matriz 
simétrica é igual à sua própria transposta conjugada. Isso significa que se A é uma matriz 
simétrica, então A = A^†, onde A^† é a transposta conjugada de A.