Prove que n(n + 1)(2n + 1)/6 é um inteiro qualquer que seja o inteiro positivo n.

Para provar que \(\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\) é um inteiro para qualquer inteiro positivo \(n\), podemos analisar cada parte da expressão. 1. Fatores de \(n\) e \(n + 1\): Um dos dois números \(n\) ou \(n + 1\) é sempre par, o que significa que o produto \(n(n + 1)\) é sempre par. Portanto, \(n(n + 1)\) é divisível por 2. 2. Fator \(2n + 1\): Este fator é sempre ímpar, pois é a soma de um número par (se \(n\) for par) ou um número ímpar (se \(n\) for ímpar) com 1. 3. Produto \(n(n + 1)(2n + 1)\): O produto \(n(n + 1)\) é par, e ao multiplicar por \(2n + 1\) (que é ímpar), o resultado \(n(n + 1)(2n + 1)\) é par. 4. Divisão por 6: Como \(n(n + 1)\) é par, podemos dividir por 2. Agora precisamos mostrar que o resultado ainda é divisível por 3. - Divisibilidade por 3: Entre \(n\), \(n + 1\) e \(2n + 1\), pelo menos um deles deve ser divisível por 3, pois a cada três números inteiros consecutivos, um deles é divisível por 3. Portanto, \(n(n + 1)(2n + 1)\) é divisível por 6, o que implica que \(\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\) é um inteiro. Assim, provamos que \(\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\) é um inteiro para qualquer inteiro positivo \(n\).