Prévia do material em texto

Lista de Exercícios 2
Cálculo 2
2º Semestre de 2024
Superfícies parametrizadas, coordenadas cilíndricas e esféricas
Exercício 1. Determine se os pontos P e Q estão na superfície cuja parametrização é dada.
a. (x, y, z) = (2u+ 3v, 1 + 5u− v, 2 + u+ v), P = (7, 10, 4) e Q = (5, 22, 5);
b. (x, y, z) = (u+ v, u2 − v, u+ v2), P = (3,−1, 5) e Q = (−1, 3, 4).
Exercício 2. Identifique as superfícies a partir das equações dadas.
a. y2 + 4z2 = 4;
b. x− y2 = 0;
c. z2 = 4x2 + 9y2 + 36;
d. x2 = 2y2 + 3z2;
e. x = 2y2 + 3z2;
f. 4x− y2 + 4z2 = 0;
g. 4x2 + y2 + 4z2 − 4y − 24z + 36 = 0;
h. 4y2 + z2 − x− 16y − 4z + 20 = 0;
i. x2 − y2 + z2 − 4x− 2y − 2z + 4 = 0;
j. x2 − y2 + z2 − 2x+ 2y + 4z + 2 = 0.
Exercício 3. Case a equação com o seu gráfico (identificado por I–VIII abaixo). Justifique
sua resposta.
a. x2 + 4y2 + 9z2 = 1;
b. x2 − y2 + z2 = 1;
c. y = 2x2 + z2;
d. x2 + 2z2 = 1;
e. 9x2 + 4y2 + z2 = 1;
f. −x2 + y2 − z2 = 1;
g. y2 = x2 + 2z2;
h. y = x2 − z2.
1
Lista de Exercícios 2
Cálculo 2
2º Semestre de 2024
Superfícies parametrizadas, coordenadas cilíndricas e esféricas
Exercício 4. Encontre as coordenadas cartesianas do ponto dado em coordenadas cilíndri-
cas.
a. (4, π/3,−2);
2
Lista de Exercícios 2
Cálculo 2
2º Semestre de 2024
Superfícies parametrizadas, coordenadas cilíndricas e esféricas
b. (2,−π/2, 1);
c. (
√
2, 3π/4, 2);
d. (1, π, 1).
Exercício 5. Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto dado em coordenadas cartesia-
nas.
a. (−1, 1, 1);
b. (−2, 2
√
3, 3);
c. (2
√
3, 2,−1);
d. (4,−3, 2).
Exercício 6. Identifique a superfície cuja equação é dada.
a. z = r2;
b. r = 3;
c. ϕ = 0;
d. ϕ = π/3;
e. r = 4 sin θ;
f. ρ sinϕ = 2;
g. r2 + z2 = 25;
h. r2 − 2z2 = 4.
Exercício 7. Encontre as coordenadas cartesianas do ponto dado em coordenadas esféricas.
a. (6, π/3, π/6);
b. (3, π/2, 3π/4);
c. (2, π/2, π/2);
d. (4,−π/4, π/3).
Exercício 8. Encontre as coordenadas esféricas do ponto dado em coordenadas cartesianas.
a. (0,−2, 0);
b. (−1, 1,−
√
2);
c. (1, 0,
√
3);
3
Lista de Exercícios 2
Cálculo 2
2º Semestre de 2024
Superfícies parametrizadas, coordenadas cilíndricas e esféricas
d. (
√
3− 1, 2
√
3).
Exercício 9. Escreva a equação em coordenadas cilíndricas e esféricas.
a. z2 = x2 + y2;
b. x2 + z2 = 9;
c. x2 − x+ y2 + z2 = 1;
d. z = x2 − y2;
e. z = x2 + y2;
f. x = 3;
g. x2 − y2 − 2z2 = 4.
4