sld_4 Tópicos de Matemática

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Prof. Me. Adilson Simões
UNIDADE IV
Tópicos de Matemática
 Figuras planas são definidas em apenas duas dimensões e podem ser classificadas 
como regulares, no caso de existir uma lógica na sua forma, ou irregulares, no caso 
dessa lógica não existir.
 O cálculo de áreas de figuras planas é frequente no dia a dia de diversos profissionais, seja 
para dimensionar o formato de uma embalagem, seja para dimensionar as áreas específicas 
de um novo parque fabril ou na definição das quantidades de matérias na construção civil.
Áreas de figuras planas
Triângulos
 Figura plana que possui três lados em três ângulos.
Áreas de figuras planas
A
BC
b
h
 Três pontos não colineares podem definir os vértices de um triângulo e a forma mais clássica 
de definir sua área é a partir das medidas de sua base e altura.
Caso a informação da altura do triângulo não esteja disponível, 
a área pode ser calculada a partir da fórmula de Heron:
Áreas de figuras planas
b c
𝜶
h
a
A
BC
Outra forma para se determinar a área de um triângulo é:
 Observação: uma relação muito utilizada quando os triângulos são retângulos é o Teorema 
de Pitágoras.
Áreas de figuras planas
Quadrado
 Figura plana que possui quatro lados iguais e quatro ângulos retos. Assim, temos: 
Áreas de figuras planas
BA
D C
Retângulo
 Figura plana que tem quatro lados, sendo os lados opostos paralelos, com medidas iguais 
dois a dois e quatro ângulos retos, ou seja,
Áreas de figuras planas
A B
CD
Paralelogramo
Figura plana com quatro lados que possui lados opostos paralelos dois a dois e lados de 
medidas iguais dois a dois, ou seja,
Áreas de figuras planas
A B
D Cb
h
Losango
Figura plana que tem lados opostos paralelos dois a dois e lados de mesma medida, ou seja,
Áreas de figuras planas
D
d
A
B
C
D
Trapézio
 Figura plana de quatro lados e quatro ângulos e que possui dois lados paralelos.
 Um trapézio isósceles tem lados não paralelos 
de mesma medida. 
 Um trapézio retângulo tem dois ângulos retos.
Áreas de figuras planas
B
b
C
A
h
D
B
Círculo
 Figura plana delimitada por uma circunferência. Antifonte (480 a.C. – 411 a.C.) definiu o 
círculo como um polígono regular com infinitos lados.
Áreas de figuras planas
r
Coroa circular
Figura plana delimitada entre dois círculos de raios diferentes.
r
R
Áreas de figuras planas
Setor circular
Região de um círculo delimitada por um ângulo central 𝛼.
Áreas de figuras planas
r
r
c
A
B
𝛼
Exemplo de aplicação: Determine a área da região indicada na figura, sabendo-se que as 
medidas estão em centímetros e que os raios dos dois semicírculos são iguais.
(Adotar 𝜋 = 3,14)
Áreas de figuras planas
Áreas de figuras planas
A área do trapézio isósceles da figura, cujas medidas estão em metros, é:
a) 160 m2
b) 120 m2
c) 100 m2
d) 80 m2
e) 60 m2
Interatividade
14
10
26
A área do trapézio isósceles da figura, cujas medidas estão em metros, é:
a) 160 m2
b) 120 m2
c) 100 m2
d) 80 m2
e) 60 m2
Resposta
14
10
266
8
Exemplos de cálculos de áreas.
1) Calcule a área da região indicada na figura, sabendo-se que o lado do quadrado maior 
mede 8 cm:
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2
Áreas de figuras planas
𝐴1
𝐴2
Áreas de figuras planas
2) Uma sala na forma de trapézio retângulo de acordo com a figura deve receber um novo 
piso. Sabendo-se que o piso em questão custa R$ 54,00/m2, determine o valor gasto para 
compra do piso.
Áreas de figuras planas
10 m
13 m
5 m
Áreas de figuras planas
10 m
13 m
5 m
3) Determine a área da região sombreada, sabendo-se que o triângulo é equilátero e 
tem 12 m de lado.
Áreas de figuras planas
Áreas de figuras planas
6
𝑟
4) A região de uma curva de uma calçada deve ser cimentada. A largura da calçada deve ser 
de 4 m e seu raio interno igual a 10 m como mostra a figura. Qual deve ser a área do 
calçamento nessa região? 
Áreas de figuras planas
Áreas de figuras planas
A parte interna de uma pista de atletismo é formada por dois trechos retos ligados por duas 
semicircunferências congruentes, como mostra a figura abaixo. A área dessa região, que deve 
receber uma grama, é igual a:
a) 250 𝜋 𝑚2
b) 200 (8 − 𝜋) 𝑚2
c) 400 (8 + 𝜋) 𝑚2
d) 500 (𝜋 − 2) 𝑚2
e) 500 (2 + 𝜋) 𝑚2
Interatividade
A parte interna de uma pista de atletismo é formada por dois trechos retos ligados por duas 
semicircunferências congruentes, como mostra a figura abaixo. A área dessa região, que deve 
receber uma grama, é igual a:
a) 250 𝜋 𝑚2
b) 200 (8 − 𝜋) 𝑚2
c) 400 (8 + 𝜋) 𝑚2
d) 500 (𝜋 − 2) 𝑚2
e) 500 (2 + 𝜋) 𝑚2
Resposta
Prismas
 Trata-se de um sólido geométrico formado por segmentos de reta paralelos cujas 
extremidades são polígonos também paralelos. Os prismas se classificam em 
oblíquos e retos.
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
Os elementos do prisma
 Bases: todo prisma tem duas bases. Elas são paralelas e formadas por polígonos 
congruentes.
 Faces laterais: são os paralelogramos que fazem parte das laterais e ligam as bases.
 Altura: distância entre os planos.
 Nos prismas retos, as faces laterais são perpendiculares às bases e têm a mesma 
medida da altura do prisma. Nos prismas oblíquos, as arestas laterais são inclinadas em 
relação à altura do prisma.
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
 Área da superfície total de um prisma
A área total de um prisma reto (𝐴𝑇) é calculada pela soma das áreas da base (𝐴b) com a sua 
área lateral (𝐴𝑙), ou seja:
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
 A figura da área da superfície de um prisma reto de base hexagonal ilustra esse dado.
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
Base
Base
Superfície Lateral 
Volume de um prisma
O volume de qualquer prisma pode ser calculado pelo produto da área da sua base (𝐴𝑏) pela 
altura (ℎ), ou seja:
Observação: nos prismas retos, a medida da altura coincide 
com as medidas das arestas laterais.
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
Paralelepípedo
Um paralelepípedo é um tipo especial de prisma reto, de base retangular, como pode ser 
observado a seguir:
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
a
c
b
Cubo
 Um cubo é um tipo especial de prisma reto, em que todas as suas arestas têm a mesma 
medida, e como consequência todas as suas faces são quadradas, como pode ser 
visualizado a seguir.
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
Exemplos de aplicação
1) Considere o prisma hexagonal regular representado na figura. Sabendo que suas arestas 
da base medem 8 cm e sua altura mede 20 cm, determine:
a) A área total (𝐴𝑇) do prisma.
b) O volume.
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
2) O telhado de uma residência tem a forma das faces superiores da figura:
Sendo o custo de cada telha R$ 2,50 e sabendo que são 
necessárias 12 telhas para cobrir 1 m2, determine o custo total 
das peças necessárias para cobrir esse telhado.
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
4 m
6 m
25 m
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
𝑐
𝑙
6 m
4 m
𝑐
𝑙
Um prisma reto de base quadrada de lado igual a 6 m tem altura igual a 15 m. Com base 
nesses dados é correto afirmar que a área da superfície total desse prisma é:
a) 432 𝑚2
b) 396 𝑚2
c) 360 𝑚2
d) 332 𝑚2
e) 288 𝑚2
Interatividade
Um prisma reto de base quadrada de lado igual a 6 m tem altura igual a 15 m. Com base 
nesses dados é correto afirmar que a área da superfície total desse prisma é:
a) 432 𝑚2
b) 396 𝑚2
c) 360 𝑚2
d) 332 𝑚2
e) 288 𝑚2
Resposta
Pirâmides
 Uma pirâmide é um sólido geométrico formado por um conjunto de segmentos de 
reta cujas extremidades são os vértices de um polígono e um ponto fora do plano que 
contém esse polígono.
Volumes e área de superfícies de figurasespaciais
V
B
P
A
D
O
C
São elementos de uma pirâmide:
 Base
 Vértice
 Faces laterais
 As pirâmides retas possuem todas as arestas laterais com a 
mesma medida.
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
C
O
D
A
P
B
V
Área da superfície total de uma pirâmide
A área total de uma pirâmide reta (𝐴𝑇) é calculada pela soma das áreas da base (𝐴𝑏) com a sua 
área lateral (𝐴𝑙), ou seja:
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
Volume de uma pirâmide
O volume de qualquer pirâmide pode ser calculado por um terço do produto da área da sua 
base (𝐴𝑏) pela altura (ℎ), ou seja:
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
Cilindros
 O cilindro é uma forma geométrica tridimensional formada por duas bases circulares em 
planos distintos e paralelos e por todos os pontos entre essas bases.
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
São elementos de um cilindro:
 Base
 Altura
 Geratriz
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
g
Base
Base
Área da superfície total de um cilindro
A área total de um cilindro reto (𝐴𝑇) é calculada pela soma das áreas da base (𝐴𝑏) com a sua 
área lateral (𝐴𝑙), ou seja:
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
Volume de um cilindro
O volume de qualquer cilindro pode ser calculado pelo produto da área da sua base (𝐴𝑏) pela 
altura (ℎ), ou seja:
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
Cone
 Cone é um sólido geométrico, também conhecido como sólido de revolução, que possui a 
base circular e é construído a partir da rotação de um triângulo.
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
H
RO
São elementos de um cilindro:
 Base
 Vértice
 Altura
 Geratriz
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
g
Base
V
H
R
O
Área da superfície total de um cone
 A área total de um cone reto (𝐴𝑇) é calculada pela soma das áreas da base (𝐴𝑏) com a sua 
área lateral (𝐴𝑙), ou seja:
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
Volume de um cone
O volume de qualquer cone pode ser calculado por um terço do produto da área da sua base 
(𝐴𝑏) pela altura (ℎ), ou seja:
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
Exemplo de aplicação:
 Uma pirâmide de base quadrada com lado igual a 12 m e altura igual a 8 m deve receber 
pintura em todas as suas faces. Determine a área total a ser pintada dessa pirâmide.
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
C
O
V
D
A
P
B
Volumes e Área de Superfícies de Figuras Espaciais
Esfera
A esfera é uma forma geométrica tridimensional em que todos os pontos de sua superfície 
estão à mesma distância de um ponto central.
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
Área da superfície total de uma esfera
A área total de uma esfera é obtida a partir da expressão:
Volume da esfera
O volume da esfera é obtido a partir da expressão:
Volumes e área de superfícies de figuras espaciais
Uma esfera oca com raio externo igual a 6 cm e raio interno igual a 5 cm foi produzida a partir 
da fundição de chumbo. Com base nessas informações, é correto afirmar que o volume de 
chumbo utilizado na produção dessa peça é:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Interatividade
Uma esfera oca com raio externo igual a 6 cm e raio interno igual a 5 cm foi produzida a partir 
da fundição de chumbo. Com base nessas informações, é correto afirmar que o volume de 
chumbo utilizado na produção dessa peça é:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!