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<p>2ª SÉRIE</p><p>Agosto/Setembro - 2024</p><p>MATEMÁTICA</p><p>1ª SÉRIE</p><p>1. Observe as retas dispostas na malha quadriculada, a seguir.</p><p>Sobre as posições relativas entre essas retas e os ângulos formados entre elas, é possível afirmar que</p><p>(A) As retas e são paralelas e a reta é perpendicular a ambas.</p><p>(B) A reta é perpendicular a reta e por consequência também é perpendicular a reta .</p><p>(C) As retas e são concorrentes no ponto D, e formam o ângulo .</p><p>(D) A reta é paralela à reta , sendo a reta perpendicular a ambas.</p><p>(E) Os ângulos e possuem mesma medida, sendo esta de 90°.</p><p>2. (ENEM 2021 – PPL) Muitos brinquedos que frequentemente são encontrados em praças e parques públicos apresentam formatos de figuras geométricas bidimensionais e tridimensionais. Uma empresa foi contratada para desenvolver uma nova forma de brinquedo. A proposta apresentada pela empresa foi de uma estrutura formada apenas por hastes metálicas, conectadas umas às outras, como apresentado na figura. As hastes de mesma tonalidade e espessura são congruentes.</p><p>Com base na proposta apresentada, quantas figuras geométricas planas de cada tipo são formadas pela união das hastes?</p><p>(A) 12 trapézios isósceles e 12 quadrados.</p><p>(B) 24 trapézios isósceles e 12 quadrados.</p><p>(C) 12 paralelogramos e 12 quadrados.</p><p>(D) 8 trapézios isósceles e 12 quadrados.</p><p>(E) 12 trapézios escalenos e 12 retângulos.</p><p>3. Dona Fernanda comprou copos descartáveis de 400 mililitros e refrigerantes em garrafas de 2 litros para o aniversário de sua filha.</p><p>Cada garrafa de refrigerante enche, totalmente, qual quantidade de copos?</p><p>(A) 5</p><p>(B) 6</p><p>(C) 8</p><p>(D) 10</p><p>(E) 12</p><p>Fonte: br.freepik.com / Acesso em 09 de Mar. De 2023</p><p>4. (ENEM 2023) Na planta baixa de um clube, a piscina é representada por um quadrado cuja área real mede 400 m². Ao redor dessa piscina, será construída uma calçada, de largura constante igual a 5 m.</p><p>Qual é a medida da área, em metro quadrado, ocupada pela calçada?</p><p>(A) 1000</p><p>(B) 900</p><p>(C) 600</p><p>(D) 500</p><p>(E) 400</p><p>5. Analise o sólido geométrico da figura:</p><p>(A)</p><p>(B)</p><p>(C) 	(D)</p><p>(E)</p><p>Qual é a fórmula que permite calcular o volume deste sólido?</p><p>6. (Vunesp 2019 – Adaptada) Seja um cilindro de 40 cm de altura e com o diâmetro da base medindo 34 cm.</p><p>Considerando , qual é o volume deste cilindro?</p><p>(A) 0,082 m³ (D) 0,044 m³</p><p>(B) 0,068 m³ (E) 0,246 m³</p><p>(C) 0,123 m³</p><p>7. (Enem 2020) Uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno é o Templo de Kukulkán, localizado na cidade de Chichén Itzá, no México. Geometricamente, esse templo pode ser representado por um tronco reto de pirâmide de base quadrada. As quantidades de cada tipo de figura plana que formam esse tronco de pirâmide são:</p><p>(A) 2 quadrados e 4 retângulos.</p><p>(B) 1 retângulo e 4 triângulos isósceles.</p><p>(C) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.</p><p>(D) 1 quadrado, 3 retângulos e 2 trapézios retângulos.</p><p>(E) 2 retângulos, 2 quadrados e 2 trapézios retângulos.</p><p>8. (Enem 2021 – PPL) Um suporte será instalado no box de um banheiro para serem colocados recipientes de xampu, condicionador e sabonete líquido, sendo que o recipiente de cada produto tem a forma de um cilindro circular reto de medida do raio igual a 3 cm. Para maior conforto no interior do box, a proprietária do apartamento decidiu comprar o suporte que tiver a base de menor área, desde que a base de cada recipiente ficasse inteiramente sobre o suporte. Nas figuras, vemos as bases desses suportes, nas quais todas as medidas indicadas estão em centímetro.</p><p>Utilize 3,14 como aproximação para .</p><p>Para atender à sua decisão, qual tipo de suporte a proprietária comprou?</p><p>(A) I</p><p>(B) II</p><p>(C) III</p><p>(D) IV</p><p>(E) V</p><p>9. Pedro comprou um aquário que possui formato de um cubo cuja soma das arestas é igual a 360 cm.</p><p>Desprezando a espessura do vidro, qual é o volume, em litros, do aquário?</p><p>(A) 2,7 (D) 2700</p><p>(B) 27 (E) 27 000</p><p>(C) 270</p><p>10. Observe o sólido geométrico, a seguir.</p><p>Sobre esse sólido é correto afirmar que</p><p>(A) É uma pirâmide com área da base igual a 24 cm².</p><p>(B) É um prisma triangular com área da base igual a 80 cm².</p><p>(C) É um cone com volume de 240 cm³.</p><p>(D) É um prisma triangular com volume de 432 cm³.</p><p>(E) É uma pirâmide com volume de 1440 cm³.</p><p>11. (ENEM 2010 – PPL)</p><p>Os quadrinhos mostram, por meio da projeção da sombra da árvore e do menino, a sequência de períodos do dia: matutino, meio-dia e vespertino, que é determinada</p><p>(A) pela posição vertical da árvore e do menino.</p><p>(B) pela posição do menino em relação à árvore.</p><p>(C) pelo movimento aparente do Sol em torno da Terra.</p><p>(D) pelo fuso horário específico de cada ponto da superfície da Terra.</p><p>(E) pela estação do ano, sendo que no inverno os dias são mais curtos que no verão.</p><p>12. (ENEM 2021 – PPL) Um inseto percorreu sobre a superfície de um objeto, em formato de um prisma reto ABCDEFGH, com base retangular, uma trajetória poligonal, com vértices nos pontos: A - X - Y - G - F - E - X - G - E, na ordem em que foram apresentados.</p><p>É necessário representar a projeção ortogonal do trajeto percorrido pelo inseto sobre o plano determinado pela base do prisma.</p><p>A representação da projeção ortogonal do trajeto percorrido pelo inseto é</p><p>DIMENSÕES DO ESPAÇO</p><p>A dimensão está relacionada à possibilidade de obter medidas em objetos definidos dentro de um espaço. As dimensões do espaço e os próprios espaços, que conhecemos, são os seguintes:</p><p>Espaço unidimensional (1 dimensão).</p><p>Quando um espaço ou objeto, possui apenas uma dimensão, é possível realizar somente um tipo de medida nesse espaço ou objeto. Podemos definir o espaço unidimensional como a reta pois, a reta é um conjunto de infinitos pontos alinhados (colineares), que não fazem curva e que são contínuos.</p><p>Desta forma, não existe modo de medir a largura de uma reta,</p><p>somente o comprimento de partes dela (chamados de segmentos de reta).</p><p>Assim, podem ser construídos no espaço:</p><p>Ponto;</p><p>Segmentos de reta;</p><p>Semirretas e</p><p>Outras retas.</p><p>Exemplo: Construir um retângulo.</p><p>Essa figura geométrica possui largura e comprimento, que são duas medidas perpendiculares entre si. Observe que, se colocarmos um dos lados do retângulo sobre o espaço unidimensional, todo o seu restante estará fora do espaço.</p><p>Para construir essa figura geométrica, será necessário que exista outro espaço que contemple também a sua largura.</p><p>Espaço bidimensional (2 dimensões).</p><p>Quando o espaço é bidimensional, os objetos que podem ser definidos nele possuem até duas dimensões. Nesse tipo de espaço, é possível construir figuras que possuem comprimento e largura. O espaço bidimensional é o plano.</p><p>Podem ser definidos no plano:</p><p>Ponto;</p><p>Retas, segmentos de reta e semirretas;</p><p>Polígonos em geral;</p><p>Círculos e circunferências.</p><p>Exemplo: Construir um prisma triangular.</p><p>Essa figura geométrica possui largura, comprimento e profundidade. Observe que a base do prisma pode ser definida no plano, mas, o restante do sólido geométrico, não.</p><p>Para que o prisma seja completamente construído, é necessário um espaço no qual exista a possibilidade de construção de objetos com profundidade.</p><p>Espaço tridimensional (3 dimensões).</p><p>O espaço tridimensional é composto pelo que conhecemos apenas como espaço. Esse espaço é infinito para todas as direções, e nele podem ser definidas todas as figuras e sólidos geométricos.</p><p>Dessa maneira, é possível definir no espaço tridimensional todas as figuras geométricas que possuem comprimento, largura e profundidade. Podem ser definidos no espaço:</p><p>Ponto;</p><p>Retas, segmentos de reta e semirretas;</p><p>Polígonos em geral;</p><p>Círculos e circunferências;</p><p>Sólidos geométricos.</p><p>1. Sobre as posições relativas entre retas responda o que se pede.</p><p>Quando duas retas, pertencentes ao mesmo plano, são classificadas como</p><p>a) concorrentes? b) perpendiculares? c) coincidentes? d) paralelas?</p><p>2. Complete as lacunas de cada sentença a seguir utilizando as palavras da caixa.</p><p>a) Uma reta está contida em um plano quando possui no mínimo</p><p>pontos em comum com ele.</p><p>b) Existem ____________ pontos fora de um plano que pertencem a uma reta concorrente a ele e apenas _____ ponto de intersecção entre a reta e o plano.</p><p>c) Uma reta que é secante a um plano , é paralela a uma reta . Pode-se afirmar que a reta intercepta o plano em _______________ ponto.</p><p>d) Uma reta é ______________ a um plano quando _______________ pontos em comum com ele.</p><p>e) Retas coincidentes ao plano são aquelas que possuem, pelo menos, dois pontos em comum com ele. Nesse caso, é obrigatório que essas retas possuam ____________________ em comum com esse plano.</p><p>f) O _________ não pode ser definido, pois é um conceito primitivo na Geometria Euclidiana.</p><p>g) As ___________ são noções primitivas, da Geometria Euclidiana, que não possuem definição mas que apresentam uma única dimensão.</p><p>3. Considerando que as retas e pontos estão no mesmo plano, trace uma reta de acordo com as indicações em cada item a seguir.</p><p>a) Uma reta paralela à reta passando pelo ponto .</p><p>b) Uma reta paralela à reta passando pelo ponto e uma reta perpendicular a passando pelo ponto .</p><p>4. Sabendo que e são concorrentes em B, construa as retas a seguir, em um mesmo plano, de acordo com a notação.</p><p>a) , sendo .</p><p>b) , sendo .</p><p>c) , sendo .</p><p>Conhecemos como figura plana qualquer figura que possui duas dimensões, ou seja, podem ser inscritas em um plano. Existem diversas figuras planas e essas figuras são diferenciadas em polígonos e não polígonos.</p><p>Desta maneira, considerando suas particularidades, são nomeados de maneiras específicas. Observe:</p><p>5. Observe os polígonos apresentados e responda às questões escrevendo apenas uma opção para cada item.</p><p>a) A figura __________ é um octógono irregular.</p><p>b) A figura __________ é um pentágono regular.</p><p>c) A figura __________ é um octógono regular.</p><p>d) A figura __________ é um triângulo irregular.</p><p>e) A figura __________ é um triângulo regular ou triângulo equilátero.</p><p>f) A figura __________ é um pentágono irregular.</p><p>6. Complete as lacunas:</p><p>a) Polígono regular é aquele que possui todos os ______________ e ______________ congruentes.</p><p>b) Um polígono de nove lados chama-se ______________.</p><p>c) Polígono __________ possui todas as suas diagonais na região interna.</p><p>d) A soma das medidas dos lados chama-se __________ do polígono.</p><p>e) Polígono __________ possui lados e/ou ângulos internos com medidas diferentes.</p><p>7. Construir o polígono .</p><p>GRANDEZAS</p><p>Chamamos de grandezas as quantidades que podem ser medidas ou comparadas numericamente. Elas são essenciais para descrever e compreender o mundo ao nosso redor, desde o movimento de objetos físicos até abstrações como tempo e temperatura.</p><p>Chamamos de grandezas escalares aquelas que são completamente definidas por um número e uma unidade de medida. Exemplos incluem massa, temperatura, volume e tempo. Para representar uma grandeza escalar, geralmente usamos números reais ou inteiros acompanhados de uma unidade apropriada.</p><p>Grandezas fundamentais são aquelas que não podem ser definidas em termos de outras grandezas, enquanto as derivadas são definidas em relação às fundamentais. Por exemplo, no Sistema Internacional de Unidades (SI), as grandezas fundamentais incluem comprimento, massa, tempo, corrente elétrica, temperatura termodinâmica, quantidade de substância e intensidade luminosa.</p><p>Existem muitas unidades de medida utilizadas para quantificar diferentes características e fenômenos. Algumas das mais comuns incluem:</p><p>Exemplo: Transformar 500 mm em cm.</p><p>Como 1 centímetro equivale a 10 milímetros, temos:</p><p>Portanto, 500 mm equivalem a 50 cm.</p><p>Exemplo: Um muro com as seguintes medidas: 20 m de comprimento e 2 m de altura foi construído com tijolos de dimensões 20 cm de comprimento e 20 cm de altura. Quantos tijolos foram gastos na construção desse muro, descartando a hipótese de desperdício?</p><p>Área do muro</p><p>Assim, a área do muro é de 40 m²</p><p>Área do tijolo</p><p>Assim, a área do tijolo é de 400 cm²</p><p>Transformando em</p><p>Para descobrir quantos tijolos foram gastos, basta dividirmos a área do muro em cm² pela área de um tijolo:</p><p>Assim, foram gastos 1000 tijolos na construção do muro.</p><p>Exemplo: Transformar em .</p><p>Como equivale a , temos:</p><p>Portanto, 4,5 m³ equivalem a 4500 dm³</p><p>É importante ter em mente que:</p><p>• mililitro;</p><p>• litro;</p><p>• litros;</p><p>• mililitros;</p><p>Exemplo 1:</p><p>Converter 600 mililitros (mL) para litro.</p><p>Logo, mililitros (mL) equivalem a litro.</p><p>Exemplo 2:</p><p>Converter 2,5 litros para mililitros (mL).</p><p>Logo, litros equivalem a mililitros (mL).</p><p>Essas são apenas algumas das unidades de medida mais comuns e, existem muitas outras que são utilizadas em diversos campos da ciência, engenharia, comércio e vida cotidiana.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c) 	d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>8. Transforme:</p><p>9. Faça as seguintes conversões entre as unidades de área:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c) 	d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>10. Faça as seguintes conversões entre as unidades de volume:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c) 	d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>11. As seguintes unidades de medida são volume. Converta-as para medidas de capacidade em litros.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c) 	d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>ÁREAS DE FIGURAS PLANAS.</p><p>A área de uma figura é a medida equivalente à sua superfície. Na figura a seguir cada quadradinho possui a medida de lado igual a 1 centímetro.</p><p>O quadrado ABCD ocupa uma área de 100 cm² e o triângulo A’B’C’ formado por sua diagonal, ocupa a metade dessa área, ou seja, 50 cm². Porém, nem sempre se consegue inscrever uma figura na malha quadriculada para descobrir a área ocupada por ela, dessa forma, utilizam-se as fórmulas para calcular suas áreas. Observe:</p><p>Para calcular a área de um círculo, deve-se lembrar de algumas de suas principais características, pois a área do círculo corresponde ao valor da superfície dessa figura, levando em conta a medida de seu raio (r).</p><p>12. Calcule a área dos trapézios contidos na malha quadriculada a seguir.</p><p>13. Analise as áreas circulares presentes na malha quadriculada e complete as lacunas do texto a seguir.</p><p>Quando se analisa as figuras na malha quadriculada, percebe-se que o círculo com maior ____________ também possui a maior área, pois, para se calcular a área de um círculo, deve-se multiplicar o valor aproximado de pelo valor do raio ao _________________. Ainda sobre esse círculo, pode-se afirmar que seu raio mede _________ metros e que sua área é equivalente a ____________ m².</p><p>Sobre os círculos com centro C, C’ e C’’, pode-se dizer que possuem a mesma ________________, equivalente a ____________m², pois seus respectivos raios possuem medidas iguais a _____metro.</p><p>Pode-se perceber também que os círculos de raio e são concêntricos, ou seja, o ponto que delimita o _______________ de ambos é o mesmo. Além disso, ao analisar seus raios, percebe-se que o raio possui 3 metros e o raio __________ metros e que suas áreas são, respectivamente, ________m² e ________m².</p><p>Sobre os dois círculos de raios e pode-se afirmar que, se considerar , eles possuem áreas equivalentes a _________ m², pois seus raios possuem medidas iguais a 3 metros</p><p>14. Um engenheiro aeroespacial está montando o projeto de um míssil e deseja descobrir a quantidade necessária de alumínio para revestir uma parte, em cinza, da estrutura externa deste míssil. Para isso, ele planificou o projétil.</p><p>Observe a planificação.</p><p>Ele delimitou o triângulo AEF como a asa de direção, e a parte em destaque do retângulo ABCD como sendo o corpo do projétil. Sabendo que a unidade de medida é o cm, responda:</p><p>a) Qual é a quantidade mínima, de alumínio, necessária para revestir a asa de direção desse projétil?</p><p>b) Qual é a quantidade mínima, de alumínio, necessária para revestir o corpo do projétil?</p><p>c) Qual é a quantidade mínima, de alumínio, necessária para revestir totalmente essa planificação?</p><p>15. A hamsá trata-se de um símbolo da fé judaica e islâmica, sendo um objeto com aparência da palma da mão com cinco dedos estendidos, usado popularmente não só como um amuleto contra o mau olhado, mas também para afastar as energias negativas e trazer felicidade, sorte</p><p>e fortuna.</p><p>Túlio buscou desenhar esse símbolo em uma malha quadriculada 1 cm x 1 cm e coloriu uma parte. Observe o desenho feito por ele.</p><p>Utilizando qual foi a área colorida por Túlio?</p><p>Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais definidos no espaço. São também chamados de figuras espaciais e podem ser distinguidos entre os Poliedros e os Corpos Redondos.</p><p>Os poliedros são sólidos geométricos formados apenas por faces planas. As faces são delimitadas por polígonos. Os elementos principais de um poliedro são: faces, arestas e vértices.</p><p>Os poliedros são divididos em duas categorias principais: os prismas e as pirâmides.</p><p>O prisma é caracterizado por possuir duas bases congruentes e paralelas e as faces laterais são formadas por paralelogramos. Observe, a seguir, alguns elementos de um prisma.</p><p>Esse tipo de sólido é nomeado de acordo com o polígono presente em suas bases. Observe alguns exemplos:</p><p>Existem duas classificações possíveis para um prisma:</p><p>Volume de um prisma</p><p>O volume de um prisma depende do polígono que forma sua base, pois, o volume de qualquer prisma é encontrado pelo produto entre a área da base e sua altura.</p><p>Exemplo: Calcular o volume, em centímetros, de uma viga de madeira de seção quadrada, conforme a figura.</p><p>Resolução: A seção da viga de madeira é um prisma triangular, logo</p><p>Como a medida da altura é 10 centímetros, temos que:</p><p>Assim, o volume deste prisma é de .</p><p>Planificação de prismas</p><p>Como a quantidade de faces laterais, de um prisma, é igual ao número de lados do polígono que forma suas bases, a sua planificação é sempre apresentada por:</p><p>Dois polígonos congruentes que são as bases do prisma;</p><p>Alguns paralelogramos que serão congruentes, somente se a base deste prisma for regular.</p><p>17. Qual é o volume do cubo representado a seguir?</p><p>18. A figura a seguir representa um bloco retangular (paralelepípedo) com as dimensões em decímetros. Determine o volume desse sólido geométrico em metros cúbicos.</p><p>19. As bases do prisma, a seguir, têm a forma de um triângulo retângulo cujos catetos medem 4 e 3 centímetros. Calcule a medida do volume, em centímetros cúbicos.</p><p>20. A figura, a seguir, apresenta um prisma de base hexagonal regular. Calcule o volume deste prisma em centímetros cúbicos.</p><p>21. Um prisma tem base formada por um triângulo retângulo, com catetos medindo 24 e 18 cm e altura de 20 cm.</p><p>O volume desse prisma, em centímetros cúbicos, é igual a</p><p>(A) 4320.</p><p>(B) 3440.</p><p>(C) 2880.</p><p>(D) 2560.</p><p>(E) 1230.</p><p>22. (Enem 2010) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado, a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.</p><p>O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de:</p><p>(A) 12 cm³.</p><p>(B) 64 cm³.</p><p>(C) 96 cm³.</p><p>(D) 1216 cm³.</p><p>(E) 1728 cm³.</p><p>A pirâmide é caracterizada por possuir uma base poligonal e faces laterais, formadas por regiões triangulares, com um vértice comum (ápice). Observe:</p><p>Assim como os prismas, as pirâmides são nomeadas de acordo com o polígono da base, por exemplo, se uma pirâmide possui na base um triângulo, ela é chamada de pirâmide de base triangular, agora, se uma pirâmide possui como base um quadrilátero, é chamada de pirâmide de base quadrangular e, assim, sucessivamente.</p><p>As pirâmides também se dividem em dois grupos: retas e oblíquas. As pirâmides retas (regulares) são assim chamadas quando a projeção do ápice coincide com o centro da base, caso contrário elas são ditas oblíquas.</p><p>Uma pirâmide é regular quando sua base for um polígono regular. A distância do vértice até o centro da base é a altura da pirâmide. Caso esse sólido seja oblíquo, a altura (h) é a distância entre o ápice e a projeção ortogonal no plano da base.</p><p>Observe alguns elementos da pirâmide:</p><p>O segmento que une o vértice da pirâmide com o ponto médio de uma aresta da base é chamado de apótema da pirâmide, nesse caso .</p><p>Já o segmento que une o centro da base ao ponto médio de uma aresta da base é chamado de apótema da base, nesse caso .</p><p>Repare, na imagem, que o triângulo é retângulo. Usando o Teorema de Pitágoras, temos:</p><p>Volume de uma pirâmide</p><p>O volume da pirâmide é a terça parte do produto entre a área da base e altura :</p><p>Exemplo: Qual é o volume de uma pirâmide que possui como base um triângulo retângulo de catetos medindo 6 e 8 centímetros e altura igual a 10 centímetros?</p><p>Resolução: Como a área da base da pirâmide é um triângulo retângulo, temos:</p><p>Agora, o volume da pirâmide é dado por:</p><p>Logo, o volume da pirâmide é 80 cm³.</p><p>Planificação de pirâmides</p><p>As pirâmides são sólidos formados por uma base poligonal e por faces laterais que são, obrigatoriamente, triângulos. A planificação da pirâmide sempre possui:</p><p>um polígono que será a base da pirâmide;</p><p>triângulos, que são as faces laterais.</p><p>Obs: A região poligonal que forma a base da pirâmide não é sempre regular, desta forma, as regiões triangulares que formam suas faces laterais não serão sempre regulares.</p><p>23. Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal de altura igual a 18 cm e base medindo 80 cm².</p><p>24. Considere pirâmide de base quadrada, a seguir.</p><p>Qual é o volume desta pirâmide?</p><p>Os corpos redondos são sólidos geométricos formados por faces planas e/ou arredondadas. Eles são representados principalmente por:</p><p>Cilindro reto ou cilindro de revolução: Este sólido geométrico é obtido pela revolução de um paralelogramo. Um cilindro pode ser reto, quando é obtido pela revolução de um paralelogramo retângulo, pois assim, sua altura fica no centro da circunferência que forma a base; ou oblíquo, quando sua revolução é dada por um paralelogramo qualquer, pois assim sua altura não coincide com o centro da base.</p><p>Planificação de cilindros</p><p>Como ele é um sólido de revolução de um retângulo, sua planificação é composta pelos dois círculos que formam suas bases e pelo retângulo revolucionado que compõe sua superfície lateral.</p><p>Volume do cilindro</p><p>Para calcularmos o volume de um cilindro, assim como os prismas, realizamos o produto entre a área de sua base e a medida de sua altura.</p><p>A base é circular, assim, a área é encontrada por:</p><p>Dessa forma temos:</p><p>ou</p><p>Cones: São sólidos geométricos formados pela revolução de um triângulo.</p><p>Um cone pode ser reto quando é obtido pela revolução de triângulo retângulo, pois, sua altura fica no centro da circunferência que forma a base; ou oblíquo, quando sua revolução é dada por um triângulo qualquer, assim, sua altura não coincide com o centro da base.</p><p>Planificação de cones</p><p>Como ele é um sólido de revolução de um triângulo, sua planificação é composta por um círculo (base) e pelo setor circular originado do triângulo revolucionado.</p><p>Volume do cone</p><p>Para encontrarmos o volume de um cone, assim como nas pirâmides, é necessário calcular a terça parte do produto entre a área da base e a altura . Como sua base é um círculo, temos:</p><p>ou</p><p>Esfera: Diferente dos outros corpos redondos, a esfera não apresenta base circular, pois ela é construída a partir da revolução de uma semicircunferência.</p><p>Elementos da esfera</p><p>Polos: são os pontos em que a superfície da esfera se encontra com o eixo central, representados na imagem pelos pontos P1 e P2.</p><p>Equador: é a maior circunferência obtida na esfera quando a interceptamos por um plano na horizontal.</p><p>Paralelo: é qualquer circunferência obtida na esfera ao ser interceptada por um plano na horizontal.</p><p>Meridiano: é qualquer circunferência, passando pelos polos, obtida na esfera ao ser interceptada por um plano na vertical.</p><p>1. (Enem – PPL/2010) Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura.</p><p>Sabendo que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26 m², considerando π ≅ 3,14, a altura h será igual a</p><p>(A) 3 m.</p><p>(B) 4 m.</p><p>(C) 5 m.</p><p>(D) 9 m.</p><p>(E) 16 m.</p><p>3. Qual é o volume de um cone cujo diâmetro da base mede 14 cm e sua altura 21 cm?</p><p>(Adote )</p><p>2. Qual</p><p>é o volume de um cilindro cuja altura mede 18 centímetros e o diâmetro da base mede 16 centímetros?</p><p>Considere .</p><p>VOLUME DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS</p><p>Até agora, estudamos volume de sólidos geométricos regulares, mas como encontrar o volume de sólidos oblíquos?</p><p>Imagine que um baralho de 26 cartas, alinhado de modo a formar um bloco retangular, foi modificado de modo a formar um novo bloco retangular oblíquo e um novo sólido geométrico, não nomeado, como mostra a imagem, a seguir.</p><p>É possível perceber que os três sólidos, formados pelo baralho, possuem volumes de mesma medida, pois, os três foram formados pelas mesmas 26 cartas.</p><p>PRINCÍPIO DE CAVALIERI</p><p>Bonaventura Cavaliere nasceu em Milão, Itália, em 1598 e foi batizado como Francesco Cavalieri. Ele foi um matemático que viveu no século XVII que teve a seguinte ideia para o cálculo de áreas de figuras planas:</p><p>"Seja duas figuras planas A e B, de mesma altura. Se seccionarmos essas figuras com uma linha paralela à base na mesma altura e nessas secções as linhas tiverem o mesmo comprimento, podemos afirmar que essas regiões planas possuem a mesma superfície, ou seja, a mesma área."</p><p>Seguindo esse mesmo raciocínio, Bonaventura Cavalieri empregou esse resultado para demonstrar os resultados dos volumes dos sólidos geométricos. Observe um dos possíveis enunciados dessa aplicação:</p><p>Se dois sólidos, com mesma medida de altura, forem seccionados por planos paralelos às bases de modo que as distâncias dessas secções estão sempre a uma mesma distância da base, então, os volumes dos sólidos são equivalentes.</p><p>Em outras palavras, o que Cavalieri disse é que, dado dois sólidos quaisquer, se seccioná-los por um plano horizontal obtendo áreas iguais, então, seus volumes também serão iguais.</p><p>Esse é o pensamento que fundamenta o princípio que nos permite encontrar o volume de sólidos geométricos oblíquos, em outras palavras esse princípio nos diz que “embora o formato de um sólido geométrico seja modificado, exceto por casos em que ele perde ou ganha massa, seu volume permanece inalterado.”</p><p>Observe, a seguir, a aplicação do princípio de Cavalieri em um mesmo prisma de base triangular reto, obliquo e deformado.</p><p>Perceba que os planos seccionados possuem mesma área independente do formado em que o prisma está, o que nos mostra que o volume deste sólido não foi alterado.</p><p>4. (UEFS) O italiano Bonaventura Francesco Cavalieri (1589 – 1647), que foi discípulo de Gallileu, publicou, em 1635, sua Teoria do Indivisível, contendo o que hoje é conhecido como “princípio de Cavalieri”. Entretanto, sua teoria, que permitia que se encontrassem rapidamente com exatidão a área e o volume de muitas figuras geométricas, foi duramente criticada na época. Segundo seus críticos, a teoria não se mostrava suficientemente embasada. Em 1647, Cavalieri publicou a obra Exercitationes geometricae sex, na qual apresentou sua teoria de maneira mais clara. Esse livro transformou-se em fonte importante para os matemáticos do século XVII. (E CALCULO..., 2011).</p><p>De acordo com o princípio de Cavalieri, pode-se afirmar que, dados dois sólidos geométricos P1 e P2,</p><p>(A) se esses sólidos possuem secções meridianas de mesma área, então P1 e P2 têm volumes iguais.</p><p>(B) se esses sólidos possuem bases de mesma área e alturas de mesma medida, então P1 e P2 têm volumes iguais.</p><p>(C) se esses sólidos possuem áreas laterais iguais e alturas de mesma medida, então os sólidos P1 e P2 têm volumes iguais.</p><p>(D) se esses sólidos possuem áreas totais iguais e alturas de mesma medida, então P1 e P2 têm volumes iguais.</p><p>(E) se um plano , se qualquer plano , paralelo a , que intercepta um dos sólidos, também intercepta o outro e determina, nesses sólidos, secções de mesma área, então P1 e P2 têm volumes iguais.</p><p>5. Observe a seguinte situação em que .</p><p>Sobre essa situação, valide as afirmações, a seguir, em V ou F.</p><p>a) (	) A medida da área da base pentagonal (A) não é igual a medida da região circular (A).</p><p>b) (	) Segundo Cavalieri, como a medida da área da base (A) de ambos os sólidos é igual, pode afirmar que a medida do apótema do pentágono é igual a medida do raio da região circular (A).</p><p>c) (	) O plano secciona ambos os sólidos de maneira que a área do pentágono</p><p>d) (	) Na pirâmide pentagonal e no cone a altura é H, e A = A, ambos possuem volume congruentes.</p><p>e) (	) Nesta situação, temos as seguintes proporções:</p><p>f) (	) Apesar da altura da pirâmide pentagonal e do cone serem as áreas das bases são diferentes, assim seus volumes não são congruentes.</p><p>Aplicação do Princípio de Cavalieri nos cilindros</p><p>Considerando que o cilindro é um sólido gerado a partir da revolução de um paralelogramo em torno de um de seus lados, se o paralelogramo for um retângulo tem-se um cilindro reto.</p><p>Porém, se o paralelogramo não tiver os quatro ângulos internos retos, temos um cilindro obliquo.</p><p>Pelo Princípio de Cavalieri pode-se observar que existem infinitos círculos paralelos à base, todos de mesma área e que somados resultam no volume deste sólido.</p><p>Todos esses infinitos círculos somados resultam em um sólido de altura , portanto tem-se que um sólido de círculos com de área cada um, no qual é o raio de cada círculo. Logo, pode-se concluir que o volume de um cilindro é obtido pelo produto entre a área da base pela altura, ou seja,</p><p>6. (Enem 2015) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna, a antiga será desativada.</p><p>Utilize 3,0 como aproximação para .</p><p>Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?</p><p>A) 0,5</p><p>B) 1,0</p><p>C) 2,0</p><p>D) 3,5</p><p>E) 8,0</p><p>Aplicação do Princípio de Cavalieri nos prismas</p><p>Os prismas são sólidos geométricos formados a partir de dois polígonos congruentes distintos e paralelos ligados por segmentos de retas paralelas, pode-se calcular seu volume utilizando o mesmo procedimento usado em cilindros.</p><p>Portanto, nota-se que em um prisma qualquer se tem áreas de mesmo tamanho, resultando que o volume formado por esse sólido será igual ao produto entre a sua base e altura (formada por áreas), , como no cilindro.</p><p>O volume dos prismas, pelo princípio de Cavalieri:</p><p>7. Observe os sólidos, a seguir.</p><p>Sabendo que ambos possuem área da base congruentes, altura de 10 centímetros e que o volume do prisma pentagonal é 270 cm³. Qual é o raio da circunferência da base desse cilindro? Adote</p><p>Aplicação do Princípio de Cavalieri nas pirâmides</p><p>Pirâmide é um poliedro de base poligonal e, faces laterais triangulares com um vértice comum. Este ponto é o vértice da pirâmide.</p><p>Quando se secciona uma pirâmide paralelamente a sua base, as arestas laterais e suas bases ficam divididas na mesma razão.</p><p>Aplicação do Princípio de Cavalieri nos cones</p><p>O cone é um sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta, com uma extremidade em um círculo e a outra em um ponto em comum (V).</p><p>Observe a representação, a seguir, onde as áreas das bases são iguais.</p><p>Assim, a aresta da base da pirâmide é igual a .</p><p>Pelo princípio de Cavalieri .</p><p>Sendo assim, ao traçar um plano paralelo às bases desses sólidos, a uma altura de seus vértices, formam-se dois novos sólidos, cujas bases são semelhantes às bases dos sólidos maiores.</p><p>8. Considere os seguintes sólidos.</p><p>As bases estão em um mesmo plano, suas alturas iguais a 25 cm e a base do prisma é um pentágono regular de lado 6 cm.</p><p>Considere e . Qual é o valor, aproximado, do raio da base do cone e do apótema do pentágono?</p><p>SITUAÇÕES PROBLEMA ENVOLVENDO VOLUME DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS</p><p>Resolver situações-problema diversas é uma habilidade necessária em nosso cotidiano.</p><p>Leia a seguinte situação problema:</p><p>Tenho um copo cilíndrico com altura de 10 centímetros e diâmetro da base com 8 centímetros.</p><p>Quero colocar cubinhos de gelo de modo que o copo não transborde após o derretimento. Medi os cubinhos e verifiquei que eles possuem arestas medindo 4 centímetros. Quantos cubinhos posso colocar em meu copo?</p><p>Para resolver essa situação, seguiremos alguns passos:</p><p>Conclusão: É possível colocar, no máximo, 7 cubinhos de gelo neste copo para que a água não transborde quando o gelo derreter.</p><p>Como visto, é necessário seguir passos para resolver situações problema.</p><p>Um matemático desenvolveu um procedimento que facilita verificar e compreender situações-problema. George Pólya foi um matemático húngaro que viveu de 1887 a 1985. Ele desenvolveu 4 passos para a resolução de problemas:</p><p>1º: Compreender o problema;</p><p>Quais são os dados do problema? Quais são as incógnitas? Quais são as condições ou restrições?</p><p>2º: Construir um plano de ação;</p><p>O objetivo é encontrar conexões entre os dados do problema e sua incógnita.</p><p>Você se lembra de algum problema semelhante? Você consegue adaptar métodos usados em problemas semelhantes para este problema? Você conhece resultados ou fórmulas que possam ajudar na resolução? Você pode enunciar o problema de forma diferente? Você consegue resolver parte do problema?</p><p>3º: Executar o plano;</p><p>Se um bom plano foi encontrado na Etapa 2, sua execução é, frequentemente, uma tarefa bem mais simples.</p><p>4º: Rever a resolução.</p><p>Este passo é, frequentemente, deixado de lado mas, ao revisar a solução, você poderá consolidar seu conhecimento e desenvolver sua habilidade de resolução de problemas.</p><p>Você pode checar o resultado? Ele parece razoável? Você pode checar os argumentos usados? Eles são convincentes? Você pode encontrar uma maneira alternativa de resolver o problema? Você pode usar o mesmo método em outro problema?</p><p>9. Fayed resolveu fazer café para seus 10 colegas de trabalho. Para isso, ele dispõe de uma chaleira cilíndrica, cujo raio da base mede 4 centímetros e altura de 20 centímetros. Já as xícaras, também cilíndricas, possuem raio da base igual a 2 centímetros e altura igual a 4 centímetros.</p><p>Com o objetivo de não desperdiçar café, Fayed deseja colocar a quantidade mínima de água na chaleira para encher as dez xícaras.</p><p>Para que isso ocorra, ele deverá encher</p><p>(A) a chaleira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume da xícara.</p><p>(B) a chaleira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume da xícara.</p><p>(C) a chaleira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume da xícara.</p><p>(D) duas chaleiras de água, pois cada uma tem um volume 10 vezes maior que o volume da xícara.</p><p>(E) cinco chaleiras de água, pois cada uma tem um volume 10 vezes maior que o volume da xícara.</p><p>10. (Enem 2016) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.</p><p>Utilize 3 como aproximação para .</p><p>O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é</p><p>(A) 6.</p><p>(B) 16.</p><p>(C) 17.</p><p>(D) 18.</p><p>(E) 21.</p><p>11. (Enem 2023) Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.</p><p>Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base.</p><p>O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para .</p><p>Qual é a massa, em grama, dessa escultura?</p><p>(A) 1 198,8</p><p>(B) 1 296,0</p><p>(C) 1 360,8</p><p>(D) 4 665,6</p><p>(E) 4 860,0</p><p>Curiosidades</p><p>Apesar do nosso planeta não ter uma forma exatamente esférica, pois ele é levemente achatado nos polos, a esfera pode ser usada para representar sua superfície.</p><p>Esse modelo é chamado globo terrestre e a localização de qualquer ponto sobre esse globo pode ser encontrada usando dois ângulos, chamados latitude e longitude. Isso pode parecer estranho, mas vamos explicar como encontrar esses ângulos.</p><p>Em uma esfera, fixe dois pontos antípodas e chame-os de polo Norte, N, e polo Sul S. Dado um ponto P sobre a superfície dessa esfera, vamos encontrar duas coordenadas que localizam esse ponto de modo único.</p><p>O círculo sobre obtido interceptando a esfera por um plano perpendicular a reta é chamado um paralelo de esfera. O paralelo máximo, obtido quando passa pelo centro da esfera, é chamado de equador da esfera (o círculo tracejado na figura anterior). O equador divide a esfera em duas metades, ditas seus hemisférios. O hemisfério que contém o polo N é chamado hemisfério norte, ao passo que o hemisfério que contém o polo S é chamado hemisfério sul.</p><p>Se é um plano vertical que contém a reta, assim a esfera é dividida em dois semicírculos pelos pontos N e S. Esses semicírculos são chamados meridianos. Na figura anterior, o semicírculo verde, que passa pelos pontos N, P e S, é um meridiano. Ao contrário da situação dos paralelos, onde o equador se distingue dos outros por ser o único círculo máximo, todos os meridianos são semicírculos máximos. Por isso, precisamos distinguir um deles “artificialmente”.</p><p>No caso do nosso sistema de coordenadas geográficas, o meridiano de referência é aquele que passa pelo lugar localizado a sudeste de Londres chamado Greenwich, representado, na figura, pelo ponto . Por isso, esse meridiano é chamado de meridiano de Greenwich. Assim, o meridiano de Greenwich é, nas notações da figura , o semicírculo que contém G, N e S.</p><p>Por convenção, posicionamos o globo terrestre com o polo norte voltado para cima. Fixada essa posição, dizemos que os meridianos que estão à direita do meridiano de Greenwich estão a leste, enquanto aqueles situados à esquerda do meridiano de Greenwich estão a oeste.</p><p>Observe agora, o P um ponto sobre a superfície do globo terrestre. Pelo ponto P passa um único paralelo e um único meridiano. O ângulo, medido desde o equador até o ponto P ao longo do meridiano que o contém, é chamado de latitude do ponto P. Convenciona-se que a latitude varia de 0° a 90° em cada hemisfério, indicando-se o hemisfério por uma das letras N ou S. Por exemplo, a cidade de Brasília, capital do Brasil, tem latitude 15°47’38’’S (lê-se: quinze graus, quarenta e sete minutos e trinta e oito segundos sul). Já Paris, a capital da França, que está no hemisfério norte, tem latitude 48°52’N.</p><p>Devemos lembrar que as subunidades “minuto” e “segundo” são definidas como 60’ = 1° e 60’’ = 10’.</p><p>O ângulo , medido desde o meridiano de Greenwich até o meridiano que passa por P, ao longo do equador, é chamado de longitude do ponto P. Convenciona-se que a longitude varia de 0° a 180°, a leste ou a oeste do meridiano de Greenwich. Por exemplo, a longitude de Brasília é 47°52’58’’O, onde a letra O indica que Brasília está a oeste do meridiano de Greenwich. Note que as coordenadas 15°47’38’’S e 47°47’38’’O localizam a cidade de Brasília no globo terrestre.</p><p>Interessante saber que:</p><p>A cada meridiano com longitude corresponde um meridiano de longitude que o suplementa, sendo que os dois juntos formam um círculo máximo sobre a esfera. Em particular, o semicírculo suplementar ao meridiano de Greenwich é chamado antimeridiano de Greenwich e corresponde as longitudes 180°L e 180°O. Esse meridiano está quase que totalmente sobre o Oceano Pacífico, encontrando terra firme apenas no Alasca. Ele está próximo à linha internacional da data, que é uma linha imaginaria sobre o globo terrestre que,</p><p>quando atravessada, implica uma mudança obrigatória de data: ao se cruzar a linha de leste para oeste, é necessário atrasar um dia no calendário. Ao se atravessar no sentido contrário, é necessário adiantar um dia no calendário.</p><p>Esse fenômeno perturbou os marinheiros da expedição de Fernão de Magalhães, primeiro navegador a dar uma volta completa ao redor da Terra. Ele também foi explorado por Júlio Verne no seu famoso livro A Volta ao Mundo em 80 Dias, e pelo escritor italiano Umberto Eco, no seu livro A Ilha do Dia Anterior.</p><p>PROJEÇÕES</p><p>Imagine a sombra formada entre uma árvore e o sol durante as horas do dia.</p><p>Comparamos essa sombra a uma projeção da árvore com o chão (plano).</p><p>Tanto o desenho em perspectivas como o desenho através de vista se valem da projeção para fazer suas representações. A diferença é que no desenho em perspectiva o observador, de um único ponto de observação, consegue ver as três dimensões da peça. Já utilizando vistas, para cada vista o observador se posiciona em um ponto diferente e em cada vista vê apenas duas dimensões. A projeção surgiu após a geometria descritiva, quando o matemático Gaspard Monge no início do século VIII planejou um método gráfico para representação espacial revolucionando o estudo da geometria e dando origem ao desenho através de vistas.</p><p>As projeções possuem alguns elementos.</p><p>A posição do observado, denominada centro da projeção;</p><p>O objeto a ser observado;</p><p>Os raios projetantes;</p><p>O plano a ser representado;</p><p>A projeção do objeto.</p><p>Além disso, elas podem ser divididas em duas categorias:</p><p>Em nosso caso, nos interessa as projeções cilíndricas, pois é a mais usual nas representações cartográficas (representações bidimensionais da área terrestre).</p><p>Nas Projeções Cônicas o observador se encontra a uma distância finita do plano de projeção. Neste tipo de projeção ocorre a formação de superfície cônica pelos raios projetantes. Nunca terá verdadeira grandeza (V.G.).</p><p>Nas Projeções Cilíndricas o observador se encontra a uma distância finita do plano de projeção. Nesse tipo de projeção, ocorre a formação de superfície cilíndrica pelos raios projetantes. Pode ter verdadeira grandeza (V.G.), desde que as superfícies dos objetos estejam paralelas ao plano de projeção, então se projetam com a mesma forma em “verdadeira grandeza”.</p><p>Nas Projeções Cilíndricas Obliquas os raios projetantes não são perpendiculares ao plano de projeção.</p><p>Nas Projeções Cilíndricas Ortogonais os raios projetantes são perpendiculares ao plano de projeção</p><p>Projeções cartográficas</p><p>Segundo o IBGE, diferentes projeções cartográficas foram desenvolvidas para permitir a representação da esfericidade terrestre em um plano (mapas e cartas), cada uma priorizando determinado aspecto da representação (dimensão, forma etc.).</p><p>É importante ressaltar que não existe uma projeção cartográfica livre de deformações, devido à impossibilidade de se representar uma superfície esférica em uma superfície plana sem que ocorram extensões e/ou contrações.</p><p>As projeções cartográficas são classificadas, principalmente, quanto à superfície de projeção e às propriedades.</p><p>Projeções quanto à superfície de projeção</p><p>Podem ser projeções planas, cônicas ou cilíndricas, quando forem utilizadas as superfícies de um plano, cone ou cilindro como base para planificar a esfera terrestre. Observe os exemplos.</p><p>Projeção cilíndrica: refere-se à representação da superfície esférica da Terra em um plano utilizando como base um cilindro que envolve todo o globo. Nessa projeção as coordenadas geográficas (paralelos e meridianos) são representadas por linhas retas que se encontram em ângulos retos, existe a conservação da forma, direções e ângulos, mas a proporção da superfície é distorcida.</p><p>Projeção Cônica: refere-se à representação da superfície esférica da Terra projetada sobre um cone. As coordenadas geográficas originam-se de um único ponto. Os meridianos convergem para as regiões polares, e os paralelos formam arcos concêntricos. As áreas que se encontram mais afastadas do paralelo em contato com o cone apresentam maiores deformações. Normalmente esse tipo de projeção é utilizado para representar regiões de latitudes intermediárias.</p><p>Projeção Azimutal: também chamada de projeção plana, refere-se à representação da superfície esférica da Terra sobre uma superfície plana tangente ao globo. As coordenadas geográficas nesse tipo de projeção formam círculos concêntricos. Ela é utilizada para representar qualquer ponto da Terra, sendo mais comum a representação das regiões polares, ou seja, áreas menores do globo;</p><p>Exemplos de projeções cartográficas</p><p>Projeção de Mercator</p><p>A projeção de Mercator, elaborada em 1569 pelo cartógrafo Gerhard Mercator, é do tipo cilíndrica e uma das mais conhecidas no mundo todo. As coordenadas geográficas são traçadas em linhas retas que se cruzam formando ângulos retos. Nesse tipo de projeção, há conservação dos ângulos e deformação das áreas. As regiões nas altas latitudes apresentam-se de forma exagerada.</p><p>Projeção de Peters</p><p>A projeção de Peters, elaborada em 1973 pelo historiador alemão Arno Peters, é do tipo cilíndrica equivalente. Os paralelos são apresentados em intervalos que decrescem a partir da Linha do Equador. Ao contrário da projeção de Mercator, a projeção de Peters apresenta com maior exagero a região dos países subdesenvolvidos/emergentes. Na direção Leste-Oeste, há achatamento, enquanto na direção norte-sul, há alongamento. A principal característica desse modelo é a conservação das áreas e a deformação dos ângulos e das formas.</p><p>Projeção de Robinson</p><p>A projeção de Robinson, elaborada em 1961 pelo geógrafo Arthur H. Robinson, é do tipo afilática e pseudocilíndrica. Nesse tipo de projeção, os paralelos são representados em linha reta e os meridianos em forma de arcos concêntricos. O mapa elaborado apresenta deformação mínima das áreas e das formas, conservando os ângulos. É considerada a melhor projeção cartográfica para representar as massas continentais.</p><p>1. (Enem 2016) A projeção cartográfica do mapa configura-se como hegemônica desde a sua elaboração, no século XVI</p><p>A sua principal contribuição inovadora foi a:</p><p>(A) redução comparativa das terras setentrionais.</p><p>(B) manutenção da proporção real das áreas representadas.</p><p>(C) consolidação das técnicas utilizadas nas cartas medievais.</p><p>(D) valorização dos continentes recém-descobertos pelas grandes navegações.</p><p>(E) adoção de um plano em que os paralelos fazem ângulos constantes com os meridianos.</p><p>2. (FGV 2017) Considerando a cartografia enquanto um conjunto de técnicas, temos nas projeções cartográficas o desafio de representar em um plano o formato geoide do planeta Terra. Quanto ao tipo de superfície de projeção, aquela cujas distorções aumentam conforme nos afastamos da Linha do Equador denomina-se projeção:</p><p>(A) cônica.</p><p>(B) polissuperficial.</p><p>(C) cilíndrica.</p><p>(D) poliédrica.</p><p>(E) azimutal.</p><p>3. (PUC-RJ 2013) A bandeira da ONU (1947), nas cores azul e branco, simboliza a união dos povos do mundo por meio dos seus continentes (com a exceção da Antártida), emoldurada por ramos de oliveira, que representam a paz.</p><p>A projeção cartográfica selecionada para a representação do globo terrestre nessa bandeira é:</p><p>(A) cilíndrica.</p><p>(B) cônica.</p><p>(C) azimutal-plana.</p><p>(D) senoidal</p><p>(E) cilíndrica-conforme.</p><p>4. (UFAC 2009) “Não existe o mapa ideal, bom para qualquer propósito, toda projeção tem que sacrificar a exatidão e tolerar distorções de algum tipo” (Lloyd A. Brown). Existem vários tipos de projeção cartográfica, cada uma elaborada para uma finalidade ou preocupação. Para navegação, por exemplo, podemos apontar como projeção mais utilizada:</p><p>(A) Projeção cilíndrica de Mercator. Esse tipo de projeção é bastante fiel nas distâncias, especialmente as marítimas.</p><p>(B) Projeção descontínua. Nessa, os mapas, em geral, apresentam exatidão e riqueza de detalhes, mas é difícil calcular as distâncias, por causa dos “cortes” ou interrupções.</p><p>(C) Projeção cilíndrica de Gall-Peters. Essa corrige a distorção que existe</p><p>na projeção de Mercator, em relação ao tamanho relativo de cada área.</p><p>(D) Projeção de Robinson. Foi criada, em 1963, pelo geógrafo e cartógrafo estadunidense Arthur Robinson e usada na representação de planisférios, comum para uso didático.</p><p>(E) Projeção plana ou polar. Essa nos permite representar as diversas partes da superfície terrestre, a partir da centralização, num ponto qualquer do globo. As áreas próximas ao centro ficam melhores representadas.</p><p>5. (UESC) Os conhecimentos sobre projeções cartográficas e uso de mapas possibilitam afirmar:</p><p>(A) A projeção azimutal fornece uma visão eurocêntrica do mundo e, por isso, não é mais utilizada.</p><p>(B) As distorções da representação, nas projeções cilíndricas, são maiores no Equador e menores nos polos.</p><p>(C) A projeção de Peters é a única que não pretende privilegiar nenhum continente, porque ela reproduz rigorosamente a realidade.</p><p>(D) A projeção cônica só pode ser utilizada para representar grandes regiões, porque as distorções são pequenas entre os trópicos, não representando, portanto, a realidade das áreas mapeadas.</p><p>(E) As projeções cartográficas permitem que, na construção dos mapas temáticos, os meridianos e os paralelos terrestres sejam transformados de uma realidade tridimensional para uma realidade bidimensional.</p><p>image5.png</p><p>image6.png</p><p>image7.png</p><p>image8.png</p><p>image9.png</p><p>image10.png</p><p>image11.jpeg</p><p>image12.png</p><p>image13.png</p><p>image14.png</p><p>image15.png</p><p>image16.png</p><p>image17.png</p><p>image18.png</p><p>image19.png</p><p>image20.png</p><p>image21.png</p><p>image22.png</p><p>image23.png</p><p>image24.png</p><p>image25.png</p><p>image26.png</p><p>image27.png</p><p>image28.png</p><p>image29.png</p><p>image30.png</p><p>image31.png</p><p>image32.png</p><p>image33.png</p><p>image34.png</p><p>image35.png</p><p>image36.png</p><p>image37.png</p><p>image38.png</p><p>image39.png</p><p>image40.png</p><p>image41.png</p><p>image42.png</p><p>image43.png</p><p>image44.png</p><p>image45.png</p><p>image46.png</p><p>image47.png</p><p>image48.png</p><p>image49.png</p><p>image50.png</p><p>image51.png</p><p>image52.png</p><p>image53.png</p><p>image54.png</p><p>image55.png</p><p>image56.png</p><p>image57.png</p><p>image58.png</p><p>image59.png</p><p>image60.emf</p><p>image61.png</p><p>image62.png</p><p>image63.png</p><p>image64.png</p><p>image65.png</p><p>image66.png</p><p>image67.png</p><p>image68.png</p><p>image69.png</p><p>image70.png</p><p>image71.png</p><p>image72.png</p><p>image73.png</p><p>image74.png</p><p>image75.png</p><p>image76.png</p><p>image77.png</p><p>image78.png</p><p>image79.png</p><p>image80.png</p><p>image81.png</p><p>image82.png</p><p>image83.png</p><p>image84.png</p><p>image85.png</p><p>image86.png</p><p>image87.png</p><p>image88.png</p><p>image89.png</p><p>image90.png</p><p>image91.png</p><p>image92.png</p><p>image93.png</p><p>image94.png</p><p>image95.png</p><p>image96.png</p><p>image97.png</p><p>image98.png</p><p>image99.png</p><p>image100.png</p><p>image101.png</p><p>image102.png</p><p>image103.png</p><p>image104.png</p><p>image105.png</p><p>image106.png</p><p>image107.png</p><p>image108.png</p><p>image109.png</p><p>image110.png</p><p>image111.png</p><p>image112.png</p><p>image113.png</p><p>image114.png</p><p>image115.png</p><p>image116.png</p><p>image117.png</p><p>image118.png</p><p>image119.png</p><p>image120.png</p><p>image121.png</p><p>image122.png</p><p>image123.png</p><p>image124.png</p><p>image125.png</p><p>image126.png</p><p>image127.png</p><p>image128.png</p><p>image129.png</p><p>image130.png</p><p>image131.png</p><p>image132.png</p><p>image133.png</p><p>image134.png</p><p>image135.png</p><p>image136.png</p><p>image137.png</p><p>image138.png</p><p>image139.png</p><p>image140.png</p><p>image141.png</p><p>image142.png</p><p>image143.png</p><p>image144.png</p><p>image145.png</p><p>image146.png</p><p>image147.png</p><p>image148.png</p><p>image149.png</p><p>image150.png</p><p>image151.png</p><p>image152.png</p><p>image153.png</p><p>image154.png</p><p>image155.png</p><p>image156.emf</p><p>image157.png</p><p>image158.png</p><p>image159.png</p><p>image160.png</p><p>image161.png</p><p>image162.png</p><p>image163.png</p><p>image164.png</p><p>image164.emf</p><p>image165.png</p><p>image166.png</p><p>image167.emf</p><p>image169.png</p><p>image170.png</p><p>image168.emf</p><p>image171.png</p><p>image173.png</p><p>image172.png</p><p>image174.png</p><p>image175.png</p><p>image176.png</p><p>image178.png</p><p>image177.png</p><p>image180.png</p><p>image179.png</p><p>image182.png</p><p>image181.png</p><p>image184.png</p><p>image185.png</p><p>image186.png</p><p>image187.png</p><p>image183.png</p><p>image188.png</p><p>image189.png</p><p>image190.png</p><p>image191.png</p><p>image192.png</p><p>image193.png</p><p>image194.png</p><p>image195.jpeg</p><p>image196.jpeg</p><p>image197.jpeg</p><p>image198.jpeg</p><p>image199.jpeg</p><p>image200.jpeg</p><p>image201.jpeg</p><p>image202.jpeg</p><p>image1.png</p><p>image2.svg</p><p>image3.png</p><p>image4.svg</p>