apostila geometria espacial

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<p>Poliedros Definição Denomina-se poliedro o sólido limitado por polígonos planos, de modo que: dois desses polígonos não estão num mesmo plano; cada lado de um polígono é comum a dois e somente dois polígonos. vértices vértice face face aresta aresta Os polígonos são denominados faces do poliedro. Os lados e os vértices dos polígonos denominam-se, respectivamente, arestas e do goliedro. Veja alguns poliedros: 6 vértices 8 vértíces 5 9 arestas 12 arestas 8 arestas 5 faces 6 faces 5 faces Um poliedro se diz convexo se, em relação a qualquer de suas faces, está todo situado num mesmo semi-espaço determinado pelo plano que contém esta face. Caso contrário, poliedro é dito São poliedros convexos:</p><p>Observe o poliedro não-convexo abaixo: G M J A F D H B C E Note que o plano que contém a face IJLM não deixa as demais faces num mesmo De acordo com o número de faces, os DE FACES NOME DO POLIEDRO poliedros convexos possuem nomes especiais (veja alguns na tabela ao 4 tetraedro 5 pentaedro 6 hexaedro 7 heptaedro 8 octaedro 12 dodecaedro 20 icosaedro Poliedros regulares Um poliedro convexo se diz regular quando suas faces são polígonos regulares congrue entre si, e seus ângulos poliédricos também são congruentes. Os poliedros regulares são chamados de "sólidos platônicos", em homenagem ao filósofo Platão (427-347 a.C.) que os utilizava para explicar cientificamente os fenômenos naturais. É demonstrar que existem somente cinco poliedros regulares. Não faremos isso aqui, mas sugerimos você pesquise a respeito do assunto! Veja os cinco poliedros regulares e suas respectivas planificações: Tetraedro regular Hexaedro regular ou cubo 4 faces triangulares 6.faces quadrangulares 8 vértices 4 vértices 12 arestas 6 arestas</p><p>Octaedro regular Dodecaedro regular 8 faces triangulares 12 faces pentagonais 6 vértices 20 vértices 12 arestas 30 arestas Icosaedro regular 20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas de Euler Considere os poliedros convexos abaixo: número de vértices A: número de arestas F: número de faces V = 6 V = 8 V=6 V = 7 A = 9 A=12 A = 12 A = 12 F = 5 F F = 8 F =7 Em todos esses poliedros, podemos notar que: A+2=V+F ou V Esta relação é denominada Relação de Euler em homenagem a Leonardo Euler (1707-1783), ático suíço. Ela é válida para todo poliedro convexo, por isso dizemos que todo poliedro con- é euleriano.</p><p>Exemplos 1 Um poliedro convexo possui seis faces quadrangulares e duas hexagonais. Calcular o núme vértices desse poliedro. Vamos determinar inicialmente o número de 6 faces quadrangulares: 6 4 24 arestas 2 faces hexagonais: 12 arestas Como cada aresta foi contada duas vezes, temos: 2A = 24 + 12 : A = 18 Aplicando a relação de Euler, temos: V A F número de vértices é 12. 2 Numa publicação científica de 1985, foi divulgada a descoberta de uma molécula tridimensional de carbono, na qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo cujas faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares, como numa bola de fute- bol. Em homenagem ao arquiteto norte-americano Buckminster Fuller, a molécula foi denominada fulereno. Determine o número de átomos de carbono nessa molécula e o número de ligações entre eles. Sendo V número de átomos e A número de ligações entre eles: face pentagonal: 12 5 = 60 ligações face hexagonal: ligações Como cada aresta (ligação) foi contada duas vezes: 2A = 60 + 120 : A = 90 número de átomos (vértices) pode ser obtido pela relação de V A F 2 2 V 60 A molécula possui 60 átomos e 90 EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS 1 Num poliedro convexo, o número de arestas é 16 e o 7 (PUC-SP) Um poliedro possui 5 faces número de faces é 9. Determine o número de vértices. 9 gulares e 10 faces triangulares. Calcular a ângulos internos das faces. 2 Um poliedro convexo tem cinco faces quadran- gulares e duas faces pentagonais. Determine o nú- 8 Para calcular a soma das medidas dos mero de arestas e o número de vértices. A = - V = 10 ternos de todas as faces de um poliedro 3 Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, podemos usar a seguinte fórmula: um cristal de rocha no formato de um poliedro, que que: satisfaz a relação de Euler, com 60 faces triangula- res. Calcular o número de vértices desse cristal. 32 S: soma das medidas dos ângulos de todas V: número de vértices do poliedro 4 (MACK-SP) Determine o número de vértices de um poliedro que tem três faces triangulares, uma face Nessas condições: quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais. 10 a) Qual a soma das medidas dos ângulos de um poliedro que possui 12 faces e 30 5 (Fatec-SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com b) Sabendo que em um poliedro de 8 arestas 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. a determine o número de Calcule o número de vértices desse poliedro. 12 c) Num poliedro, o número de vértices é 6 (UnB-DF) Qual o número de lados das faces de número de faces. Determine S sabendo um poliedro regular com 20 vértices e 30 arestas? 5 lados poliedro possui 20 arestas.</p><p>Prismas Definição Na figura ao lado, temos: dois planos paralelos a e um polígono P contido em a uma reta T que intercepta a e mas não inter- P cepta P a A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta r, com uma extremidade num ponto do polígono P e no plano B, denomina-se prisma. a Elementos Num prisma, convém destacar os seguintes elementos: bases: são os polígonos convexos congruen- F' E' tes ABCDEF e situados nos pla- A' D' nos paralelos a e (planos das bases) base B' faces laterais: são os paralelogramos ABB'A', BCC'B', ..., AFF'A' lateral altura arestas das bases: são os lados dos polígonos E das bases A base arestas laterais: são os segmentos AA', BB', D , FF' B C altura: é a distância entre os planos parale- da base face lateral los a e polígono das bases de um prisma é usado para nomeá-lo: bases são triângulos prismas triangulares bases são quadriláteros prismas quadrangulares bases são pentágonos prismas pentagonais por diante.</p><p>Prisma regular Conforme a inclinação das arestas laterais em relação aos planos das bases, os prismas ser retos ou oblíquos. Prisma oblíquo: as arestas laterais são Prisma reto: as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. perpendiculares aos planos das bases. Nos prismas retos, as faces laterais são retângulos. Nos prismas oblíquos, as faces laterais são paralelogramos. Se o prisma for reto e as bases forem polígonos regulares, o prisma é dito regular. Considerando que a figura ao lado representa um prisma hexagonal re- gular, temos: as bases são hexágonos regulares as faces laterais são retângulos congruentes Áreas da superfície de um prisma A figura abaixo, à direita, representa a planificação de um prisma triangular regular. base faces laterais Vamos definir a área de algumas partes da superfície desse prisma. Área da base é a área de um dos polígonos das bases. Área lateral é a soma das áreas de todas as faces laterais. Área total é a soma da área lateral e das áreas das bases.</p><p>Exemplo fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em forma de prisma hexagonal regular. Sabendo que a altura da caixa é de 20 cm e que o lado do da base mede 16 cm, calcule a área de papelão necessária para se construir essa embalagem. Admita que se utilize 25% a mais de material do que o estritamente calculado, devido às sobras de papelão e para que seja possível fazer colagens necessárias à confecção da caixa. Use = 1,73.) a caixa: a = 16 cm h a a a a a a da área da base A base é um hexágono regular que pode ser decomposto em seis triângulos cujos lados medem 162 . 256 1,73 S = 4 4 4 6 110,72 S a = Cálculo da área lateral Num prisma regular, sabemos que as faces laterais são S Como são 6 retângulos: 320 = : S = 16 cm Cálculo da área total 2 664,32 = 3 248,64 Devemos usar 25% a mais de papelão do que area = área área = 1,25 = 4060,80 A área de papelão para fabricar uma caixa é igual a</p><p>EXERCICIOS EXERCÍCIOS 9 Calcule a área total dos prismas retos das figuras. 13 o sólido da figura é Faça a planificação de cada um deles. composto de dois prismas triangulares regulares, um a) 470 b) sobreposto ao outro. o prisma de baixo tem ares- ta da base 40 cm e altura 16 cm; o de cima tem ares- ta da base 20 cm e altura 48 cm. Determine a área da 7 m superfície total do sólido. (Use 6 160 cm 8 cm 6m 5 cm 14 Deseja-se colar papel em toda a um objeto de madeira que tem a forma e as 10 Um prisma pentagonal regular tem 20 cm de al- indicadas na figura. tura. A aresta da base do prisma mede 4 cm. Deter- : 2 cm mine a sua área lateral. 400 cm 11 Num prisma quadrangular regular, a aresta da 2 cm base mede a = 6 m. Sabendo que a área lateral do prisma é 216 calcule a altura h do prisma. 12 Um prisma triangular regular tem cm de ares- 6 cm ta da base. Sabendo que a medida da aresta lateral é o dobro da medida da aresta da base, calcule a área Quantos centímetros quadrados de papel serão lateral do prisma. 18 zados? Paralelepípedo Dentre os objetos reais que podemos representar por prismas, é bastante comum aparece aqueles que possuem todas as faces sendo paralelogramos. Esses prismas recebem o nome especial de paralelepípedos. Um paralelepípedo então é um prisma de 6 faces, todas elas sendo paralelogramos. paralelepípedo oblíquo paralelepípedo reto</p><p>o mais comum é termos um paralelepípedo retângulo, também chamado de bloco retangular. Num paralelepípedo retângulo as 6 faces são retangulares; suas três dimensões recebem nomes speciais: comprimento, largura (ou profundidade) e altura, indicadas na figura por a, b e C. Quando as três dimensões têm a mesma medida, temos o paralelepípedo chamado cubo. a a a a cubo paralelepípedo retangular e área total de um paralelepípedo retângulo Consideremos um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e C. U T D R S C P d b M a N Sejam d e D as medidas das diagonais da base (face MNPQ) e do paralelepípedo, respectiva- Da figura, temos: QMN é retângulo: = + NQU é retângulo: = + A planificação desse paralelepípedo retângulo é: a dois retângulos de dimensões a e b = C dois retângulos de dimensões a e -> = ao dois retângulos de dimensões b e -> S3 = bc b = + 2S, = 2ab + 2ac + 2bc + ac + bc) C a a</p><p>No caso do cubo, as arestas têm a mesma medida: a a a a a a a D a a a a d a a a a D = Exemplos 1 Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões 5 cm, 4 cm e 3 cm, calcular: a) a medida de sua diagonal b) a área total do paralelepípedo a) Desenhando o paralelepípedo: = C = 3 cm D b 4 cm a=5cm ac + bc) 2 Num paralelepípedo retângulo, o comprimento é o dobro da largura, e a altura é 15 cm. S do que a área total é 424 calcular as dimensões desconhecidas desse 424 C 15 424 = 2(2x2 + 30x + 15x) 2x2 + b = 4 53 x" = (não serve) 2 As dimensões desconhecidas são 8 cm e 4 cm.</p><p>EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS 15 Calcule a medida da diagonal e a área da super- tidos de azulejos cujo preço é R$ 10,00 o metro qua- total dos paralelepípedos retângulos: 1 R$ 4 e a) qual a despesa com azulejos em cada projeto? b) se a área do retângulo for de 400 e uma de 6 cm suas dimensões, expresse o custo dos azulejos em D função de X. = 20x 4 cm 10 cm 20 (UFPE) Uma formiga (ignore seu tamanho) en- contra-se no vértice A do paralelepípedo reto ilus- trado abaixo. B 12 cm D S 416 4 cm 10 cm 8 4 16 Com uma lata de tinta é possível pintar 50 de A 9 parede. Para pintar as paredes de uma sala de 8 m de comprimento, 4 m de largura e 3 m de altura Qual a menor distância que ela precisa percorrer para uma lata e mais uma parte da segunda lata. chegar ao vértice B (caminhando sobre a superfície Qual é a porcentagem de tinta que resta na segunda do paralelepípedo)? 15 Tata? 56% 21 Determine quantos centímetros quadrados de 17 Calcule a área total do sólido indicado na figura. madeira são necessários para fabricar uma caixa de 244 forma cúbica com as dimensões indicadas na figura. 4 5 2 3 22 cm 7 22 cm 22 cm 22 A área total de um cubo é 48 Ache a medi- 13 da da diagonal desse cubo. 18 (UFRN) Um paralelepípedo retângulo de 22 23 (Fuvest-SP) A aresta do cubo mede 2 e BP = 3. área total, e com a soma de todas as arestas igual Calcule PC e PD. PC de 24 m, tem suas dimensões em progressão aritméti- D Encontre os valores dessas dimensões. 1 19 (FGV-SP) Um arquiteto tem dois projetos para C construção de uma piscina retangular com 1 m de Phojeto 1: dimensões do retângulo: 16 m X 25 m Phojeto 2: dimensões do retângulo: 10 m X 40 m Sabendo que as paredes laterais e o fundo são reves- A B P</p><p>Volume de um prisma Observe o paralelepípedo retângulo da figura, formado por cubos de 1 de volume altura (3 cm) 1 cm 1 cm largura (2 cm) 1 cm comprimento (4 cm) Podemos determinar a quantidade de cubos que formam o paralelepípedo: 3 cubos 24 cubos Como são 24 cubos de 1 cada, temos volume do paralelepípedo é 24 2 cubos 4 cubos Esse resultado pode ser obtido multiplicando-se as três dimensões do paralelepípedo: V = 4 cm . 2 cm . 3 cm = 24 Logo, o volume V do paralelepípedo é dado por: V = abc b a Como (a . b) expressa a área da base do paralelepípedo e C corresponde à altura do podemos também escrever: altura do paralelepípedo área da base do paralelepípedo</p><p>É possível mostrar que esse raciocínio é extensivo aos outros prismas. Escrevemos então: o volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área de sua base pela altura. Exemplos Qual o volume de argila necessário para produzir 5 000 tijolos, tendo cada tijolo a forma de um paralelepípedo com dimensões 18 cm, 9 cm e 6 cm? tijolo tem a forma de um paralelepípedo: volume de argila necessário para produzir um tijolo é igual a: 6 cm 18 9 6 = 972 cm3 Para produzir 5 000 tijolos: volume = 972 ou 4,86 Serão necessários de argila. Um sólido maciço de madeira tem aresta igual a 8 cm. Sabendo que a densidade da madeira é 0,8 calcule a massa desse sólido. Inicialmente, vamos calcular volume desse cubo. 8 cm V=8.8.8 V 8 cm 8 cm Sabendo que a densidade de um corpo é dada pela relação d = m , vamos calcular a massa desse cubo. d m 0,8 = m m = 409,6 g V 512 A massa do sólido é igual a 409,6 g. 3 Calcular o volume de um prisma triangular regular, no qual a aresta da base mede 4 cm e a altura tem cm. Cálculo da área da base A base é um triângulo de lado a = 4 cm. 4 h Cálculo do volume V = h V = V = 120 volume do prisma é de 120</p><p>4 Uma piscina tem a forma e as medi- A das indicadas na figura. As 3 arestas que convergem em cada um dos pon- E D 10m tos A, B, E, A', B' e E' são mutua- B' mente perpendiculares, e as arestas A' AE, BC, B'C' e A'E' são verticais. C' 4,5 m Qual a capacidade da piscina, em li- E' 9 m D' tros? (Dado: 1 = Trocando a posição do prisma que representa a A base do prisma é o seguinte polígono: piscina, temos a figura: A B' D' E' A 25 m 10 m F 3,5 m A B E 9 D 4.5m E 9 m D A área desse polígono é dada pela soma das áreas do retângulo ABCF e do trapézio = 25 1 Strapezio = Strapezio = 2 Então, a área da base é igual a: = 25 + 59,5 = 84,5 A capacidade da piscina (do prisma) é igual a: V = h = 84,5 10 : Como 1 = obtemos: V = 845 : V = A capacidade da piscina é de EXERCICIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS 24 Calcule o volume dos sólidos: 26 Um caminhão basculante tem a carroceria as dimensões indicadas na figura. a) paralelepípedo b) prisma hexagonal retângulo regular 2,50 m m 12 cm 8 cm 5 cm cm 5 cm V 300 cm 3 cm 25 Uma barra de chocolate tem o formato da figura ao lado. Calcule o volume de chocolate contido nessa barra. 4 cm 4 cm (Use Calcule quantas viagens deverá fazer para 83.04 4 cm tar 136 de areia. 20</p><p>Um recipiente, de forma cúbica e aresta 20 cm, 34 (UnB-DF) A figura abaixo ilustra alguns degraus cheio de óleo de densidade 0,9 Determi- de uma escada de concreto. Cada degrau é um pris- massa de óleo contida nesse recipiente. 7,2 ma triangular reto de dimensões 15 cm, 30 cm e 60 cm. Se a escada tem 20 degraus, qual o volume Uma laje é um bloco retangular de concreto de (em decímetros cúbicos) do concreto usado para de comprimento por 4 m de largura. Sabendo construir a escada? a espessura da laje é de 12 cm, calcule o volume 270 dm concreto usado nessa laje. 30 cm Santa Casa-SP) Dispondo de uma folha de car- medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de pode-se construir uma caixa aberta cortan- um quadrado de 8 cm de lado em cada canto (ver figura abaixo). será o volume dessa caixa, em centímetros cú- 35 (UFCE) Um prisma reto de altura igual a 9 cm tem como base um triângulo. Sabendo que dois dos lados desse triângulo medem 3 cm e 4 cm e que o ângulo formado por esses lados mede determi- 30 cm ne o volume do prisma. cm 36 Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base um retângulo, na posição horizontal, de 50 cm lados 0,8 m e 1,2 m. Um objeto, ao ser imerso completamente no tanque, faz o nível da água subir Determine o volume do 0,075 m. Qual o volume desse objeto? oblíquo da figura. 37 (UENF) Na construção de um hangar, com a for- 10 cm ma de um paralelepípedo retângulo, que possa abri- gar um Airbus, foram consideradas as medidas apre- 60° sentadas abaixo. 6 cm Airbus A3XX-100 ENVERGADURA 5 cm (Vunesp-SP) Calcule o 79,8 metros de ar contido em com a forma e COMPRIMENTO E ALTURA TOTAL dimensões dadas figura. metros 73 metros (Adaptado de Veja, 14/06/2000) arquiteto fez o projeto para construir uma de concreto que vai sustentar uma ponte. A Calcule o volume mínimo desse hangar. tem a forma de um prisma hexagonal regular de base 2 m e altura 8 m. 38 o volume de um paralelepípedo retângulo é 648 Calcule a área total desse paralelepípedo, lateral que se deve utilizar em madeira para sabendo que suas dimensões são proporcionais aos construção da coluna números 4, 3 e 2. 468 volume de concreto necessário para encher a 39 As medidas das arestas de um paralelepípedo da coluna retângulo formam uma progressão geométrica. Se a 1 congelar-se, a água aumenta de o seu 15 menor das arestas mede 1/2 cm e o volume de tal Que volume de água deverá congelar-se para paralelepípedo é 64 calcule as medidas das ou- um bloco de gelo de 8 dm X 4 dm X 3 dm? tras arestas. 4 cm e 32</p><p>3 Pirâmides V Definição Na figura ao lado, temos: um plano a um polígono P contido em a P um ponto V que não pertence a a a V A figura geométrica formada pela reunião de to- dos os segmentos de reta que têm uma extremidade no ponto V e a outra num ponto do polígono P denomina- se pirâmide. A B C a As pirâmides são um tipo especial de poliedros, e são constituídas por um polígono chamado de base, e por faces triangulares, as faces laterais, obtidas ligando-se os vértices do da base a um ponto fora do plano dessa base, chamado de vértice da pirâmide. Elementos Numa pirâmide, convém destacar os seguintes elementos: base: é o polígono convexo ABCDE vértice V tuado no plano a vértice: é o ponto V faces laterais: são os triângulos altura face lateral VBC, ..., VEA arestas das bases: são os lados do aresta lateral lígono da base arestas laterais: são os segmentos E B VB, VE base A a altura: é a distância entre o ponto aresta da base o plano a</p><p>De acordo com o polígono da base, as pirâmides podem ser: triangulares (a um triângulo) quadrangulares (a base é um quadrilátero) pentagonais (a base é um pentágono) assim por diante. V V V A C C A D B A B B C pirâmide triangular pirâmide quadrangular pirâmide pentagonal Pirâmide regular Uma pirâmide é regular quando sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do sobre o plano da base é o centro da base. Numa pirâmide regular, destacamos: polígono da base é regular e, portanto, inscritível numa circunferência de raio OA = chamado da base. apótema do polígono regular da base é chamado apótema da base e sua medida será indicada por m. As arestas laterais são congruentes e sua medida será indicada por a. As faces laterais são triângulos isósceles congruentes. A altura de uma face lateral (é a altura relativa à base de um triângulo isósceles) é chamada da pirâmide e sua medida será indicada por g. V apótema da pirâmide (g) aresta lateral (a) E B M F A apótema da base (m)</p><p>Podemos estabelecer algumas relações entre os elementos de uma pirâmide regular. a pirâmide regular da figura e observe os triângulos retângulos. VOM V Aplicando o teorema de temos: h g V a m M g VMB V B Sendo l a medida do lado do m M a a lígono regular que é a base l A pirâmide, temos: A M B l 2 Áreas da superfície de uma pirâmide A figura à direita representa a planificação de uma pirâmide quadrangular regular. faces laterais base Vamos definir a área de algumas partes da superfície dessa pirâmide. Área da base é a área do polígono da base. Área lateral é a soma das áreas de todas as faces laterais. Área total é a soma da área lateral e da área da</p><p>Exemplos Numa pirâmide triangular regular a aresta da base mede 12 cm e a aresta lateral, 10 cm. Calcular: a) a medida do apótema da pirâmide (g) c) a altura da pirâmide (h) b) a medida do apótema da base (m) d) a área total da pirâmide (Stotal) Seja a pirâmide da figura: V 10 g h B C m 6 M 6 A a) V Aplicando Pitágoras no 10 g . M 6 B b) C o centro do ABC é o ponto de encontro da altura e das medianas e OM = l 12 12 OM = m OM = 3 2 : OM cm = A 6 M 6 B V Aplicando Pitágoras no AVOM: h = 52 M = = = 4 2 + =</p><p>2 Numa feira de artesanato foi construída uma tenda com o formato de uma pirâmide regular de altura 8 m e aresta da base m. Considerando que o construtor deixou uma faces laterais como porta (sem fechamento do tecido), calcular a quantidade de tecido ria para a cobertura da tenda. Desenhando a tenda: Desenhando a base V h=8m m g A M B 2 m B M No temos que m 2 A m 6 metros 2 Aplicando Pitágoras no AVOM: Cálculo da área de uma face: Como uma das faces laterais não usará tecido: EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIO 40 Considere a pirâmide hexagonal regular indicada 42 (Unicamp-SP) Uma pirâmide regular, de na figura. quadrada, tem altura igual a 20 cm. Sobre a V se dessa pirâmide constrói-se um cubo de modo a face oposta à base do cubo corte a pirâmide um quadrado de lado igual a 5 cm. Faça uma representativa dessa situação e calcule o vol 6 cm cubo. F E 43 Uma folha de papel colorido, com a forma D um retângulo de 12 cm de largura e 15 cm de A primento, será usada para cobrir todas as faces 8 cm base de uma pirâmide quadrangular regular cuja B C ta da base mede 8 cm e cuja altura mede 3 Calcule: vando em conta que não deve haver a) a medida do apótema da base cm papel, quanto sobrará de papel colorido? 36 b) a medida do apótema da pirâmide cm c) a medida da aresta lateral 10 cm 44 (UFPel-RS) Um campista confeccionou d) a área total da pirâmide circular de lona para inscrever a base de sua ca, que tem a forma de uma pirâmide quadra 41 (ITA-SP) Calcular a área lateral de uma pirâmide regular. o apótema dessa pirâmide é 2 m e a regular quadrangular de altura 4 cm e área da base teral, Calcule a área do piso circular 64 cionado.</p><p>45 (UFOP-MG) A figura abaixo mostra duas 46 A figura nos mostra um cubo de aresta igual a mides regulares cujas bases coincidem com duas fa- 2 cm. Tomando-se como base o quadrado ABCD e de um cubo de aresta a. Sabe-se que as alturas como vértice o ponto V (centro da face A'B'C'D' do tas pirâmides são iguais à diagonal do cubo. Deter- cubo), obtém-se uma pirâmide. Qual é a área total a área total do sólido formado pelas pirâmides dessa pirâmide? cubo. D' C' V B' C A B Tetraedro regular Se uma pirâmide possui todas as suas quatro faces sendo a ela é chamada tetraedro regular. a a Em um tetraedro regular, podemos determinar a altura h e área total em função da medida a da aresta: a D a a h (altura do tetraedro = a 3 em função da aresta) g a B C H a (área total em M função da aresta) a A Exemplo tetraedro regular, a soma das medidas de todas as arestas vale 36 cm. Calcular a altura e a área desse tetraedro. regular tem 6 arestas Logo, 6a = 36 e, portanto, a = 6 cm. V Então: a a h = h = cm 3 3 4 4</p><p>EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIO 47 A aresta de um tetraedro regular mede 2 cm. 50 Calcule a aresta de um tetraedro regular ra cm. cm Calcule: a) a altura do tetraedro cm 3 51 (Unisinos-RS) Na figura V b) a área total do tetraedro VABC é um tetraedro regular e 48 Num tetraedro regular, a altura tem cm. M é o ponto médio da aresta BC. Calcular o cosseno do Calcule a área total desse tetraedro. ângulo 49 A base de uma pirâmide regular é um quadrado C ABCD de lado 6 e diagonais AC e BD. A distância de M seu vértice E ao plano que contém a base é 4. o B tetraedro ABDE é regular? Justifique sua resposta. resposta no final do livro Volume de uma pirâmide Para calcular o volume de uma pirâmide vamos considerar um prisma reto de base triang Vamos decompor esse prisma em três pirâmides triangulares: 1, 2 e 3, seccionando-o os planos DBC e DEC: D F E E F E D D D B C C B B C A pirâmide 2 pirâmide 3 pirâmide 1 A A pirâmide 1 tem o mesmo volume que a pirâmide 2: 1 e 2 têm bases congruentes (AACC pois cada triângulo é uma base do prisma). 1 e 2 têm a mesma altura (a do prisma). A pirâmide 2 tem o mesmo volume que a pirâmide 3: 2 e 3 têm bases congruentes BCE, pois cada um desses triângulos é a metade retângulo BCFE). 2 e 3 têm a mesma altura (em relação às bases consideradas, a altura é a distância do ponto retângulo BCFE).</p><p>Então podemos concluir que as três pirâmides têm o mesmo volume, ou seja, que o volume de rada pirâmide é a terça parte do volume do prisma. = 3 . Vprisma Como o volume do prisma é dado pelo produto da área da base pela altura, podemos dizer que: o volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura, ou seja: = 3 Exemplos A base de uma pirâmide é um quadrado de lado 3 cm. Sabendo-se que a pirâmide tem altura de 10 cm, calcular o volume dessa pirâmide. V V = 3 h, portanto: A base é um quadrado. Logo, a área da base é: h=10cm o volume é: => = 3 2 Calcular o volume de um tetraedro regular de aresta a. Seja o tetraedro regular da figura: V Já sabemos que a altura do tetraedro regular é dada por a 3 e a área da base = 4 a h g Como o volume da pirâmide é dado por V = B temos: a 2 1 6 V = . . V = = M 3 4 3 36 36 a 2 12 A</p><p>3 Numa pirâmide hexagonal regular, a aresta da base mede cm. Sabendo-se que a lateral da pirâmide é 30 calcular o volume da pirâmide. Seja a pirâmide da figura: Área de uma face Como a base é hexagonal, a pirâmide tem seis faces laterais Apótema da pirâmide (g) g = 2 5 2g 2 Apótema da base (m) A base é um hexágono regular: m 2 2 Altura da pirâmide (h): Área da base Como a base é um hexágono regular, a sua área é igual a seis vezes a área do triângulo aresta 6 Volume da pirâmide 3 EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIO 52 o volume de um tetraedro regular é 56 Numa pirâmide de base quadrada, a altura Calcule a aresta do tetraedro. 12 cm 8 cm e o volume é 200 Calcule a medida aresta da base. cm 53 Calcule o volume de um tetraedro regular de ares- ta 6 cm. 57 (Esal-MG) Em um cubo de aresta a, uma pirâmide, como na figura abaixo. o vértice 54 (FUCMT-MT) Determine o volume de uma da pirâmide é o ponto mide cuja planificação é: de intersecção das V 16 diagonais da face 3 superior do cubo. a) Calcule a razão a entre o volume do cubo e o da pirâmide. 3 b) Calcule a área lateral da pirâmide. 2 55 (PUCC-SP) Uma pirâmide regular de base hexa- 58 Qual é o volume de uma pirâmide gonal é tal que a altura mede 8 cm e a aresta da base quadrangular, cuja base está inscrita numa mede cm. Calcular o volume dessa pirâmide, ferência de raio 4 e cuja altura mede 6 cm? em centímetros cúbicos. bre-se: num quadrado inscrito, l = 64</p><p>(MACK-SP) Uma pirâmide, cuja base é um qua- Calcule o volume deste octaedro em função da ares- de lado 2a, tem o mesmo-volume que um pris- ta a do tetraedro. cuja base é um quadrado de lado a. Determine a 24 entre as alturas da pirâmide e do prisma. (Unic-MT) Um marceneiro dispõe de um pedaço nadeira maciço em forma de paralelepípedo retân- cujas dimensões são: 8 cm, 12 cm e 20 cm e construir uma pirâmide quadrangular regular com 8 cm de aresta da base e 20 cm de altu- Calcular a razão entre o volume dessa pirâmide e de madeira descartado do pedaço inicial. 2 figura 1 figura 2 (UFG) Um tetraedro regular é um poliedro cujas são quatro triângulos como mos- figura 1. octaedro regular é um poliedro cujas faces são (figura 2 2). um octaedro regular cujos vértices si- se nos pontos médios das arestas de um regular, como mostra a figura 3. figura 3 Tronco de pirâmide Quando se interceptam todas as arestas laterais de uma pirâmide VABCDEF por um plano à base, obtém-se uma secção poligonal A'B'C'D'E'F' denominada secção transversal da V d D' A' h B' F A D a B C plano separa a pirâmide em dois sólidos, uma pirâmide e outro denominado tronco de pirâmide. base menor (b) Num tronco de pirâmide: bases são, respectivamente, a base da pirâmide a secção transversal, cujas áreas denotaremos, altura ectivamente, por B e b. faces laterais são trapézios. face lateral entre as bases chama-se altura do tron- aresta lateral (a) é expressa por k. base maior (B)</p><p>Quando a pirâmide é regular, o tronco de pirâmide se diz regular. Nesse caso: As bases são polígonos regulares semelhantes. As faces laterais são trapézios isósceles congruentes. A altura de um desses trapézios é chamada apótema do tronco e a sua medida é expressa Propriedades As arestas laterais e também as arestas das bases das pirâmides e VABCDEF proporcionais às suas alturas. A razão d é chamada razão de semelhança. = VC = VD = = d VA VB AB BC = CD = DE = E'F' EF = F'A' FA = d h A razão entre a área da secção e a área da base ABCDEF é igual ao quadrado da de semelhança, ou seja: A razão entre os volumes V' e V, respectivamente, das pirâmides e igual ao cubo da razão de semelhança, ou seja: V' V = 3 1 = . h d 3 Exemplos 1 As bases de um tronco de pirâmide regular são quadrados de lados 2 cm e 8 cm, respectiva te. A aresta lateral do tronco mede 5 cm. Calcule a altura, a área lateral e a área total do Seja tronco de pirâmide regular: a 5 2 Cálculo da área lateral do tronco 5 Inicialmente, devemos calcular a altura de uma face lateral: 3 2 3</p><p>Vamos calcular, a seguir, a área da face lateral do 2 Como as bases são quadrados, temos 4 faces laterais congruentes e a área lateral será: Cálculo da área total do tronco Vamos indicar: B: área da base maior ou da base da pirâmide b: área da base menor ou da secção transversal b = : b Cálculo da altura do tronco (k) M 1 M O' M f 4 k . M M P 4 { Considerando triângulo retângulo M'PM: 4 Aplicando o teorema de Pitágoras: 7 : k = cm A altura do tronco é cm, sua área lateral sua área total é 2 A base de uma pirâmide regular é um triângulo de 8 cm de lado. A altura da pirâmide é de 10 cm. Calcular a medida da aresta da base menor quando seccionamos a pirâmide por um plano paralelo à base e distando 5 cm de seu vértice. Desenhando a pirâmide: cm Aplicando a propriedade: d l' 5 = = 4 cm = h 8 10 / 8 cm</p><p>3 Uma indústria de sucos usa uma embalagem em forma de pirâmide regular de base quadra com capacidade para 1,5 l; sua altura mede 20 cm. Se esta embalagem fosse interceptada um plano paralelo à base, a parte superior formaria outra embalagem, semelhante à Calcular a que distância do vértice o plano deveria ser passado para que a parte superior pirâmide tivesse uma capacidade de 0,75 l. V Aplicando a propriedade: V = 0.75 d F 1,5 20 1 H E 2 D C 1 = 2 000 = d = d = cm A B EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS 62 (UEL-PR) Considere o tronco de uma pirâmide 66 Um tronco de pirâmide regular tem como regular de bases quadradas representado na figura triângulos de lados 4 cm e 12 pectivamente. A aresta lateral do tronco mede 6 abaixo. Se as diagonais das bases medem cm e Calcule a área lateral e a área total do tronco. cm, calcular a área total desse tronco. 284 S C' S. A' B' C B 60° A 67 (UFPE) Na pirâmide quadrangular abaixo nos que passam por A, B, C e D e por E, F, G e H paralelos. Se VF = 3, VB = 5 e a área de EFGH é 63 A área da base de um tetraedro é 24 e a qual a área de ABCD? 50 altura do tetraedro é 4 cm. A que distância do vérti- ce deve passar um plano paralelo à base para que a V área da secção seja 15 cm 64 Uma pirâmide regular tem altura de 4 cm. A que distância do vértice devemos traçar um plano para- G lelo à base, de modo que ele divida a pirâmide em E F dois sólidos de volumes iguais? cm D C 65 (PUC-RS) Em uma pirâmide quadrangular regu- lar, a secção feita a 3 dm do vértice tem área igual a 45 Calcular o volume da pirâmide, sabendo que A B a sua altura é de 6 dm. 360</p><p>68 (UFCE) Uma pirâmide regular de base quadrada 70 Uma pequena lâmpada está a 2 metros de um e altura igual 24 cm é seccionada, paralelamente à quadro retangular, como mostra a figura. A que dis- por um plano distante 8 cm do vértice oposto tância da lâmpada deve ser colocado um anteparo base da pirâmide. Se a área desta secção plana plano, para que a área do quadro projetado aumente mede 4 calcule o volume da pirâmide. 288 50%? 2,45 m A' 69 (ITA-SP) Dentro de um tronco de pirâmide qua- regular, considera-se uma pirâmide regu- A cuja base é a base maior do tronco e cujo vértice centro da base menor do tronco. As arestas das bases medem a cm e 2a cm. As áreas laterais do 2m h e da pirâmide são iguais. Calcular a altura do da pirâmide. 35 lâmpada 10 Volume do tronco de pirâmide Consideremos o tronco de pirâmide representado pela figura seguinte: V área da base maior: B d área da base menor: b C' h altura da pirâmide VABCD: h A' B' altura da pirâmide d D k C altura do tronco: k B volume do tronco: V A B Pela figura, podemos observar: volume do tronco = (volume da pirâmide VABCD) - (volume da pirâmide Na igualdade acima, substituindo o volume da pirâmide VABCD por . B . h e o volume da 3 por . b(h - k) e, ainda, utilizando as propriedades do tronco de pirâmide, 3 V = fórmula do volume do tronco de uma pirâmide</p><p>Exemplo l' A' o tronco de pirâmide regular hexagonal indicado a 5 na figura tem aresta lateral 5 cm e áreas das ba- ses e Calcule o seu volume. o l Vamos inicialmente calcular as arestas das bases. As bases são hexágonos regulares: B = = 6 cm b = = 2 cm 4 Desenhando trapézio Aplicando Pitágoras: a 5 Substituindo na fórmula de volume do 4 A V = 3 + b + b) => V = 3 + + + + V = EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIO 71 Calcule o volume do tronco de pirâmide regular 73 Um tronco de pirâmide de bases quadradas indicado na figura. de volume. A altura do tronco 6 cm 30 cm e o lado do quadrado da base maior, 40 Determine o lado do quadrado da base menor. 74 As bases de um tronco de pirâmide são tri los de lados 4 cm e 8 cm. A altura tronco é cm. Calcule o volume do tronco. 75 Uma fôrma de gelo, como a da figura 16 cm tem a forma de tronco de pirâmide, de bases gulares, com as medidas indicadas. 72 Um engenheiro está projetando uma sapata (par- a) Qual a quantidade de água, em mililitros, necessa te de um alicerce) de concreto em forma de tronco ria para encher completamente essa fôrma de de pirâmide regular, com as dimensões indicadas na b) Sabendo-se que, ao congelar, o volume de figura. aumenta em 8%, qual o volume de gelo que mos após o congelamento? 30,91 me 1 m 4,5 cm cm 3 cm Sabendo-se que em 1 de concreto gastam-se, apro- ximadamente, 9 sacos de cimento, determine quantos 1,8 cm 3 cm sacos serão gastos para fazer essa sapata. 84 sacos</p><p>Cilindros S Definição Na figura ao lado, temos: dois planos paralelos a e um círculo C contido em a C uma reta S que intercepta a e a mas não intercepta C S A figura geométrica formada pela reunião de os segmentos de reta paralelos à reta S, com extremidade num ponto do círculo C e a outra plano denomina-se cilindro circular. a Num cilindro, convém destacar os seguintes bases: são os círculos de raio T e centros e base O' situados nos planos paralelos a e res- pectivamente B altura: é a distância h entre os planos parale- h (altura) los a e base eixo: é a reta que contém os centros das bases geratrizes: são os segmentos paralelos ao eixo e cujas extremidades são pontos das circunfe- rências das bases eixo Glindro circular reto Um cilindro se diz reto (ou de revolução) quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Ele ser obtido pela rotação completa de um retângulo de lados T e g em torno do eixo Nesse a altura do cilindro coincide com a medida g da geratriz. g g = h r</p><p>Área da superfície de um cilindro Planificando a superfície do cilindro da figura: h h Área da base É a área do círculo de raio T: Área lateral É a área do retângulo de dimensões e h: Área total É a soma da área lateral com as áreas das duas bases do cilindro. = S, + = + S, = + r) Exemplos 1 Um tanque, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a 3 m e área total (área superfície lateral mais áreas da base e da tampa) igual a Calcule, em metros, o raio base deste tanque. Dados: h = = Resolvendo a equação, convém). raio da base do tanque é de 2 m. 2 Calcule a área total do sólido obtido pela rotação completa de um retângulo de dimensões 4 e 12 cm em torno do lado: a) menor b) maior a) sólido obtido nesse caso é um cilindro reto de raio da base 12 cm e altura 4 cm. 4 S, = + r) 12 S, = b) sólido obtido nesse caso é um cilindro reto de raio da base 4 cm e altura 12 cm. 12 = + r) S, = 128 4</p><p>ERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS 76 Um cilindro reto tem altura igual a 5 cm e raio 81 Considere os cilindros C1 e obtidos pela rota- base medindo 6 cm. Calcule a área: ção do retângulo OMNP em torno de OM e OP, res- da base b) lateral c) total 132 pectivamente. Na referida ordem, determine as ra- zões entre as áreas: 77 A área lateral de um cilindro é Se o a) das bases b) laterais c) totais da base mede 5 cm, calcule a medida h da altu- desse cilindro. 2 cm P 78 Determine a área lateral de um cilindro cuja base perímetro 62,8 cm e cuja altura é a metade do da base. Adote 12 cm 79 Quantos centímetros quadrados de folha de Sandres são necessários para construir uma lata de M N com tampa, na forma de um cilindro reto, ten- cm de diâmetro de base e 18 cm de altura? 82 Uma bobina de papel para a fabricação de jor- Consideremos um cubo de aresta a e um cilin- nal tem a forma cilíndrica. Sabendo que essa bobina cujo raio das bases mede a. Calcule a tem 102 cm de diâmetro por 137 cm de comprimen- entre a área total do cubo e a área total do to, qual a quantidade mínima (área) de papel utili- (Cilindro a medida do diâmetro zado para embalar cada um desses rolos cilíndricos? base é igual à altura.) Use = Volume do cilindro A figura ao lado nos mostra um cilindro prisma com mesma altura h e bases equi- h contidas no plano a as bases são equivalentes (mesma área) Nessa situação, é possível mostrar que os dois sólidos possuem o mesmo volume. volume do cilindro = volume do prisma (área da base) (altura) volume do cilindro = (área da base) (altura) Num cilindro circular reto de raio T e altura h, a área da base é dada por Sb = h</p><p>Exemplos 1 Uma comunidade consome litros de água por dia. Para isso, conta com um reserva de forma cilíndrica cujo raio é 10 m e a altura 10 m. Por quanto tempo, aproximadamer reservatório poderá abastecer essa comunidade? O volume de água que reservatório cheio pode conter é dado por: V = It V = Fazendo = V = 3,14 V = Como = V = litros A comunidade consome litros de água por dia. Para consumir litros levará dias. t = 3140 000 : t = 105 dias 30 000 2 Um líquido que ocupa uma altura de 10 cm num determinado recipiente cilíndrico será tra rido para outro recipiente, também cilíndrico, com diâmetro duas vezes maior que o prim Qual será a altura ocupada pelo líquido nesse segundo recipiente? Desenhando as secções meridianas dos Vamos indicar o volume de líquido no pri cilindros: recipiente por e, no segundo, por Do enunciado: R = 2r = 10 cm Como o volume de líquido é o mesmo: h = 4 H 10 R H = 2,5 cm 4 recipiente recipiente 3 Um prisma quadrangular regular de aresta l está inscrito num cilindro (h = con- forme nos mostra a figura. Determinar o volume V do cilindro em função da aresta l da base do h prisma. A base do prisma é um quadrado. = 2 Como cilindro é 2 ( V = 2 2 4</p><p>KERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS Certa bebida é vendida em dois recipientes ci- 88 Considere os dois cilindros circulares retos abai- XO representados. Se é o volume do cilindro de lata de raio da base igual a 3,1 cm e altura 11,6 cm; maior altura e é o volume do outro cilindro, lata de raio da base igual a 3,1 cm e altura 16,6 cm. encontre a razão 2 preços dessa bebida são R$ 0,70 e R$ 1,10, res- para as latas (1) e (2). Calcule os volumes em cada recipiente. Qual das duas embalagens apresenta melhor pre- 2a para consumidor? a) V. 350 V = b) (1) a (UFLA-MG) Um re- a 2a de lados a e b, b do em torno de b, 89 Um cilindro circular reto, de ouro tem o um cilindro de vo- raio da base igual a 2 cm e altura igual a 10 cm. 324 e, giran- a a Sabendo que a densidade do ouro é de 19 torno de a, gera calcule a massa total do cilindro. cilindro de volume Calcule os C ( Densidade = massa g de a e b. b volume Duzentos litros de um líquido serão armazenados 90 Uma fábrica de sopa em lata decidiu aumentar latas cilíndricas de raio 5 cm e altura 13 cm. em 20% a altura de suas latas cilíndricas, mas man- lata deverá ser preenchida em até 80% do seu tendo o mesmo volume. Qual deve ser a diminui- Quantas latas, no mínimo, serão necessárias? ção, em porcentagem, do raio da lata para que volume permaneça constante? (UFSC) Um cilindro reto tem 63 de volu- Sabendo que o raio da base mede 3 cm, deter- 91 Quando uma quantidade de água congela, seu em centímetros, a sua altura. 7 cm volume aumenta em aproximadamente 8% Seja uma jarra de forma cilíndrica, com raio medindo 5 cm e Atira-se uma pedra em um vaso cilíndrico de altura 25 cm. Qual a quantidade de água, em litros, de diâmetro da base, parcialmente cheio que deve ser colocada nessa jarra para que, após Determine o volume da pedra se, em con- congelamento, ela ocupe todo volume da jarra? da imersão, a água elevou-se de 0,54 m. 0,61 (Use = 3,14.) Cones V Definição e elementos Na figura ao lado, temos: plano a círculo C contido em a ponto V que não pertence a a C a</p><p>V A figura geométrica formada pela reunião de to- dos os segmentos de reta que têm uma extremidade no ponto V e a outra num ponto do círculo C denomina-se cone circular ou, simplesmente, cone. C a Num cone destacamos os seguintes elementos: vértice V base: é o círculo C, de centro tuado no plano a vértice: é o ponto V altura raio da base: é o raio r do altura: é a distância h do base ao plano da base eixo: é a reta que contém V e centro do círculo da base P geratriz: é qualquer segmento geratriz sendo P um ponto qualquer da a cunferência da base raio da base eixo Cone reto Um cone se diz reto (ou de revolução) quando o eixo é perpendicular ao plano da base. Ele pode ser obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno da reta de um dos catetos. Nesse caso a altura do cone coincide com a medida do segmento VO. V V V g h P P r</p><p>No triângulo retângulo VOP: medida do raio da base altura do cone medida da geratriz Areas da superfície de um cone circular reto Planificando a superfície do cone da figura: V g g superfície lateral g base r Area da base A base é um círculo de raio T, portanto: Area lateral A área da superfície lateral corresponde à área de um setor circular de raio g. Sabemos que: = 2 = 2 = l 2 g (em que setor circular g a expressa a medida do ângulo central em radiano). a (contorno da circunferência da base): g = l 2 g = S, = total soma da área lateral com a área da base. =></p><p>Exemplos 1 Um fabricante de balas resolveu fazer a embalagem para um de seus produtos na forma de cone reto, com 6 cm de diâmetro e 10 cm de altura. Qual será a quantidade mínima de utilizada para cobrir toda a superfície dessa embalagem? Modelo da embalagem: Cálculo da mediatriz da geratriz do cone: 3 3 10 10 g = Cálculo da área da base Cálculo da área lateral = Cálculo da área total Fazendo = 10,44 temos: S, = 3 Foram utilizados aproximadamente 126,60 de papel. 2 Planificando a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de 5 cm e um ângulo central de Calcular a área lateral e a área total do cone. g Sabendo-se que 5 rad, cm Cálculo da área lateral (S) Cálculo da área da base Cálculo da área total ou A área lateral é e a área total é</p><p>ERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS 92 ângulo central de um setor circular mede 60° 95 A medida T do raio, a altura e a medida g de raio desse setor é 4 cm. Calcule a área do setor. 3 uma geratriz formam, nessa ordem, uma PA de três termos e de razão 3. Determine a área total do cone 93 A cúpula de uma torre tem a forma de um cone com essas dimensões. circular reto, com altura medindo 10 m e geratriz medindo 15 m. Qual será a medida do diâmetro des- 96 Determine a altura de um chapéu de cartolina 10/5 m de forma cônica construído a partir de um setor cir- cular de raio 15 cm e ângulo central de 120°. cm Considere o triângulo retângulo ABC da figura. Determine a área total do sólido obtido pela rotação 97 (UFRJ) Um cone circular reto é feito de uma peça completa do triângulo em circular de papel de 20 cm de diâmetro cortando-se C do lado: fora um setor de radianos. Calcule a altura do cone obtido. cm AB 98 A partir de um cone circular reto de raio da base 3 cm e altura 4 cm, queremos construir outro cone de mesma base, cuja área lateral seja dobro da área lateral do primeiro. Qual a medida da nova B 6 cm A geratriz? 10 cm Volume do cone Considere um cone e uma com mesma altura h e bases equi- contidas no plano h a as bases são equivalentes (mesma área) Nessas condições, esses dois sólidos têm o mesmo volume, ou seja: volume do cone = volume da pirâmide 1 (área da base) (altura) 3 Então, num cone circular reto de raio e altura h, temos: = V =</p><p>Exemplos 1 Um filtro cônico de papel tem 12 cm de profundidade e 8 cm de diâmetro. Determine capacidade em mililitros. raio 2 do 3 12 cm V = 2 A figura mostra o sólido obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo ABC em da hipotenusa BC. A A B C B C Tal sólido é a reunião de dois cones retos de mesma base. Calcule o seu volume, sabendo que os catetos AB e AC medem 9 cm e 12 cm respectiva A Aplicando o teorema de Pitágoras no vamos encontrar a medida de sua hipotenusa, que corresponde à soma das alturas dos cones. B H raio da base comum aos cones é a medida da altura AH do AB AC = BC AH = 9 12 = 15 AH : AH = 7,2 cm: portanto, 7,2 cm. volume V do sólido é a soma em que e respectivamente, os volumes dos vértices Be C e raio r = BC 3 BC Substituindo numericamente: 3</p><p>EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS A altura de um cone circular reto é o triplo da 105 A medida dos lados medida do raio da base. Se o comprimento da cir- de um triângulo B unferência dessa base é cm, determine o volu- ABC é 5 dm. o triângulo desse cone. gira em torno de uma reta T do plano do triângulo, pa- A 100 Um cone circular reto tem 3 cm de raio e ralela ao lado BC e passan- de área lateral. Calcule o seu volume. do pelo vértice A. Calcule o volume do sólido gerado 101 (UFES) Com um setor circular, cujo ângulo por esse triângulo. 125 C 2 mede constrói-se um cone circular reto igual a 3 cm. Determine o volume do cone obtido. 106 (UFMS) Dispomos de uma lata, de forma ci- líndrica, de altura h e raio da base igual à metade de Considere um triângulo retângulo e isósceles sua altura; e de um funil, de forma cônica, de mes- hipotenusa mede 2 cm. Determine o volume do obtido pela rotação completa desse triângulo ma altura h e raio da boca igual a da altura. Cal- 6 torno da hipotenusa. 3 cule o número de vezes que devemos encher o funil até completar, totalmente, a lata. 27 103 (UFV-MG) o trapézio retângulo abaixo sofre rotação de 360° em torno da base maior. Saben- 107 Na figura, a base do cone reto está inscrita que AB = 3 cm, CE = 5 cm e que o volume do numa face do cubo e seu vértice está no centro da obtido é 84 determine AC. 8 cm face oposta. Se a área total do cubo é 54 deter- C mine o volume do cone. A 5 cm 3 cm B D E Uma ampulheta pode ser considerada como por 2 cones retos idênticos, unidos pelo inscritos em um cilindro reto. Encontre a entre o volume de um dos cones e o volume 6 Tronco de cone Quando interceptamos um cone por um plano a, que é paralelo à base e não passa pelo determinamos dois sólidos: um deles é outro cone de mesmo vértice e segundo é deno tronco de cone de bases paralelas. V V secção transversal outro cone d A' A' B' h A' B' a tronco de B A A B</p><p>Num tronco de cone, destacamos: base menor (secção) bases do tronco: são a base do cone e a secção cujas áreas denotaremos, respectivamente, por B e b altura do tronco (k altura: é a distância entre as bases do tronco e é expressa por k R volume do cone menor: denotamos por V' volume do cone maior: denotamos por V base maior (base do cone) Areas da superfície de um tronco de cone Planificando a superfície do tronco de cone circular reto indicado na figura, obtemos: V g base menor g G O' superfície lateral base maior Na figura, podemos identificar: do raio da base edida do raio da secção medida da geratriz do cone medida da geratriz do tronco das bases maior: menor: lateral A área lateral do tronco de cone é igual à área lateral do cone primitivo menos a área lateral cone destacado (cone pequeno), isto é: total É a soma das áreas das bases com a área lateral.</p><p>Volume do tronco de cone circular reto Consideremos o tronco de cone representado pela figura seguinte: r b B: área da base maior (S1) k b: área da base menor (S2) k: altura do tronco R B Com raciocínio análogo ao usado na determinação do volume do tronco de pirâmide, volume do tronco do cone = S, = e S2 = portanto: + + Rr + + Propriedades Podemos estabelecer para o tronco de cone as seguintes propriedades, como as que para o tronco de pirâmide. PROPRIEDADE R h PROPRIEDADE PROPRIEDADE É importante realçar: As áreas de duas figuras semelhantes estão entre si, como o quadrado da razão de propriedade). Os volumes de dois sólidos semelhantes estão entre si, como o da razão de semel propriedade).</p><p>Exemplos y (cm) 1 Um tronco de cone é obtido pela rotação do trapézio da figura em torno do eixo Calcule a área lateral, B(0; 3) a área total e o volume do tronco assim gerado. C(0;0) 0 D(2;0) (cm) Desenhando o sólido e destacando triângulo retângulo ADE: B A lateral: R = G D C R E V = (R2 + Rr + = 3 2 Um cone circular reto tem raio 4 m e altura 8 m. Qual é a área da secção transversal feita por um plano distante 2 m do seu vértice? Dados do cone: Dados da do da secção = = = m raio da área da secção =</p><p>EXERCÍCIOS 108 Num trapézio retângulo ABCD, as bases AB e das do tronco são: 16 cm de altura, 250 de CD medem, respectivamente, 3 cm da base maior e 40 de área da base A B e 6 cm e o lado oblíquo AD, 5600 cm 3 5 cm. Calcule a área total do sólido obtido pela rotação desse trapézio em torno de BC. D C 109 A área da superfície total de um tronco de cone é de 1 536 Sabendo que os raios das bases 114 (UFPE) Um cone circular reto, com altura medem 26 cm e 20 cm, respectivamente, determine a 60 cm, é interceptado por um plano a medida da altura do tronco. lar ao seu eixo, resultando numa circunferê raio igual a 40 cm. Se a distância deste plano 110 Um cone tem 10 cm de raio e 20 cm de altura. do cone é de 30 cm, quanto mede, em centi A uma distância de 4 cm do vértice, secciona-se esse o raio da base do cone? 80 cm cone com um plano paralelo à base. Calcule a área e o volume do tronco de cone assim obtido. 115 Sabe-se que um cone circular reto tem de altura e 8 cm de raio. Determine a que 111 (UFU-MG) Um cone circular reto está inscrito do vértice ele deve ser interceptado por em um cubo de aresta a, com sua base inscrita em paralelo ao plano da base, para que a área da uma das faces do cubo. Corta-se o cubo ao meio por obtida seja 25 15 cm um plano paralelo à face que contém a base do cone, obtendo-se um cone menor e um tronco de cone. Determine o volume do tronco de cone. 116 Na figura ao lado tem- se um recipiente com a for- 112 Um cesto de lixo tem a forma de um tronco de ma de um cone circular reto, cone com diâmetros das bases medindo 40 cm e com um líquido que atinge 30 cm, respectivamente. A altura desse cesto de lixo metade de sua altura. Se V é de 0,5 m. No supermercado, há quatro opções de a capacidade do cone, qual h sacos de lixo: para 100 L, 75 L, 50 L e 35 L. Qual o volume do líquido? 2 8 desses sacos seria a melhor opção para essa cesta de lixo? Justifique sua resposta. 50 L 117 (UFG) Um refresco é obtido misturan 113 (UFPR) Um sólido tem o formato de um tron- partes de água com uma parte de suco conce CO de cone circular reto com uma cavidade na forma Um recipiente cônico de altura h deve ser CO de cone com a mesma altura do tronco e com base mente cheio de tal refresco. A que altura de igual à base menor do tronco, conforme a figura. car o nível do suco concentrado, caso este Calcule o volume do sólido, sabendo que as medi- pejado primeiramente no cone? Esferas Superfície esférica e esfera P Sejam dados um ponto e um número real T positivo. o conjunto de todos os pontos P do espaço, cujas dis- tâncias ao ponto são iguais a T, é denominado superfície esférica de centro e raio T.</p><p>o sólido limitado por uma superfície esférica chama-se es- A Desse modo, a esfera de centro e raio r é o conjunto dos do espaço cujas distâncias ao ponto o são menores ou De um modo bastante simples, podemos dizer que a su- raio esférica é a "casca", enquanto a esfera é a reunião da com o "miolo". circunferência As denominações centro e raio são aplicadas indiferente- máxima a uma superfície esférica ou à esfera por ela limitada. B Em uma esfera, podemos considerar circunferências sobre superfície. Essas circunferências podem ter raios de valores distintos. A maior circunferência pode ser traçada na superfície de uma esfera, a chamada circunferência máxima, é aquela cujo é igual ao raio da esfera. Na circunferência máxima, o seu centro coincide com o centro da esfera. Area da superfície esférica Experimentalmente podemos constatar que uma superfície esférica tem uma massa igual à conjunta de quatro círculos máximos, isto é, círculos que possuem o mesmo raio da superfície r Nesse modelo, estamos admitindo que a "espessura" da superfície esférica é a mesma dos círculos máximos. Daí, podemos dizer que a área da superfí- cie esférica (S) é quatro vezes a área de um r culo máximo Logo: Exemplos Uma esfera de raio 8 cm é seccionada por um plano distante 5 cm do seu centro. a) Calcule o raio da secção. b) Calcule a área da superfície esférica. a) A intersecção do plano a com a esfera determina a secção indicada na figura: secção B A Do triângulo retângulo OBA: 5 cm 8 cm 39 Como T é positivo, obtemos I = cm.</p><p>2 Um cubo de aresta m está inscrito em uma semi-esfera de raio R de tal modo que os uma das faces pertencem ao plano equatorial da semi-esfera e os demais vértices perter superfície da semi-esfera. Calcule m em função de R. Na figura, é o centro comum à base da semi-esfera e ao E quadrado ABCD situado nessa base, e um vértice do cubo e que pertence à superfície da semi-esfera. R m OA = (metade da diagonal do quadrado ABCD) 2 A No triângulo retângulo OAE pelo teorema de Pitágoras: B 2R2 2 + R2 = m = R 2 2 2 3 3 EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIO 118 É dada uma esfera de raio 10 cm. Um plano a 122 Sabendo que a área de uma superfície secciona essa esfera a uma distância de 6 cm do cen- é calcule o raio da esfera. cm tro da mesma. Calcule o raio da secção. 8 cm 119 Calcule a área de uma superfície esférica de 123 Uma esfera cuja superfície tem área raio R = 3 cm. 676 é cortada por um plano situado a tância de 12 cm do seu centro, 120 Uma secção feita numa esfera por um plano a círculo. Nessas condições, determine: é um círculo de perímetro cm. A distância do a) A área desse círculo. centro da esfera ao plano a é cm. Calcule a me- b) o comprimento da circunferência máxima dida T do raio da esfera. 3 cm esfera. cm 121 (Faap-SP) A área da superfície de uma esfera e c) o volume do cone reto cujo vértice é a área total de um cone reto são iguais. Determine esfera e a base é o círculo determinado o raio da esfera, sabendo que o volume do cone é intersecção do plano com a esfera. (Faça e o raio da base é 3 dm. dm senho representativo dessa situação.) Volume da esfera Uma esfera pode ser imaginada como a reunião de infinitas pirâmides em torno de um (centro da esfera). A altura de cada pirâmide é o raio da esfera. Desse modo, a superfície esférica pode ser aproximada por um número finito de n cujas áreas são S,</p><p>Assim, o volume da esfera é, aproximadamente, igual à soma dos volumes de todas as pirâmi- componentes: ... = V + ... + Fazendo n "tender ao infinito", podemos Então: V = ou Um silo tem a forma de um cilindro circular reto (com fundo) encimado por uma semi-esfera, como na figura. Determine o volume desse silo, sabendo que o raio do cilindro mede 2 m e que a altura do silo mede 8 m. A o volume do silo é igual à soma dos volumes de uma semi-esfera de raio 2 m e de um cilindro de raio 2 m e altura 6 m. esfera 3 4 3 : = 2 2 6m = = Logo: = 3 + 24 : = 88 3 volume de uma esfera é 500 Nessa esfera está inscrito um cone circular reto de gera- 3 30 cm. Calcule a medida h da altura do cone. A A g g h 2r B B C C da esfera V = 500 = : = 5 cm retângulo ABC (B é cm</p><p>EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS 124 (Unicamp-SP) o volume V de uma bola de e, ainda, nelas é superposta uma meia bola vete de mesmo diâmetro do cone. Os raio é dado pela fórmula V = é armazenado o sorvete têm forma cilín 18 cm de diâmetro e 5 cm de a) Calcule o volume de uma bola de raio mine o número de casquinhas que podem ser cm. Para facilitar os cálculos você deve das com o sorvete armazenado em um cheio. 60 casquinhas 22 substituir pelo número 99 7 3 b) Se uma bola de raio r = cm é feita com um 4 material cuja densidade volumétrica (quociente da massa pelo volume) é de 5,6 qual será a sua massa? 125 (UMC-SP) Um joalheiro fundiu uma esfera de ouro de raio 6 mm para transformá-la num bastão sorvete recipiente cilíndrico reto, cujo raio da base era igual ao da esfe- ra. Calcule o comprimento do bastão. 8 mm 129 (UFPE) A figura ilustra a esfera de contida no cone reto de raio da base igual a 6 126 (Unitau-SP) Uma esfera está inscrita em um igual a 8, tangente ao plano da base do cone cubo de aresta 4 cm. inteiro mais próximo da metade do volume da Calcule a área da superfície esférica e o volume da do cone exterior à esfera? 94 esfera. e 3 127 o recipiente da figura é feito de madeira com densidade 0,7 e tem a forma de uma semi- esfera com raio externo de 20 cm e raio interno de 130 (UFSC) Um recipiente de forma cilíndrica 17 cm. Calcule a massa, em quilogramas, desse reci- dindo 12 cm de raio interno é preenchido com kg até uma altura h. Uma bola (esfera) de raio 12 colocada no fundo desse recipiente e consta que a água recobre exatamente o nível da 17 cm to mede a altura h (em centímetros)? cm 20 cm 131 Uma esfera está inscrita num octaedro de aresta 12 cm. Calcule: a) o raio da esfera cm b) o volume da esfera 128 (UnB-DF) Um sorveteiro vende sorvetes em casquinhas de biscoito que têm a forma de cone de 132 Se uma esfera de cobre tem 3 cm de diâmetro e 6 cm de profundidade. As 968,76 g, determine o seu raio, sabendo que casquinhas são totalmente preenchidas de sorvete sidade do cobre é de 8,97 (Use = 3.)</p>