Geometria Espacial - Exercícios

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
GEOMETRIA ESPACIAL - EXERCÍCIOS 
Prof. Wellington Nishio 
GEOMETRIA DE POSIÇÃO E POLIEDROS 
 
1. (EEAr – 2005) O número de vértices de um poliedro 
convexo que tem 3 faces quadrangulares, 2 faces 
triangulares e 4 faces pentagonais é 
a) 10. b) 14. c) 12. d) 16. 
 
2. (EEAr – 2008) O número de poliedros regulares que 
têm faces triangulares é 
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. 
 
3. (EEAr – 2009) “Existem somente _____ poliedros 
regulares”. A palavra que completa corretamente a 
asserção anterior é 
a) quatro b) cinco c) seis d) três 
 
4. (EEAr – 2012) O poliedro regular cujas faces são 
pentágonos é o 
a) octaedro b) tetraedro c) icosaedro d) dodecaedro 
 
5. (EEAr – 2018) Sabendo que o dodecaedro regular 
possui 20 vértices, o número de arestas desse poliedro 
é 
a) 16 b) 28 c) 30 d) 32 
 
6. (EEAr – 2021) Um poliedro convexo de 32 arestas 
tem apenas 8 faces triangulares e x faces 
quadrangulares. Dessa forma, o valor de x é 
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 
 
7. (EEAr – 2021) Um poliedro convexo possui 20 faces, 
das quais 7 são pentagonais e 13 triangulares. Dessa 
forma, é correto afirmar que 
a) o número de arestas é 39. 
b) o número de arestas é 74. 
c) o número de vértices é 19. 
d) o número de vértices é 23. 
 
8. (EEAr – 2023) Sejam M e N dois poliedros convexos 
tais que: M tem 18 arestas, 8 vértices e m faces; e N 
tem 20 arestas, 10 vértices e n faces. Então é correto 
afirmar que _________. 
a) m = n b) m = n + 2 c) n = m + 2 d) m + n = 22 
 
9. (EsSA – 2021) Observe o paralelepípedo reto-
retângulo da figura abaixo. 
 
Sobre este sólido, assinale a única alternativa correta. 
a) As retas 𝐴𝐶 ⃡ e 𝐻𝐹 ⃡ são paralelas entre si. 
b) As retas CD ⃡ e 𝐶𝐺 ⃡ são ortogonais entre si. 
c) As retas BF ⃡ e DH ⃡ são perpendiculares entre si. 
d) A reta CF ⃡ é paralela ao plano (ADH). 
e) A reta AB ⃡ é perpendicular ao plano (EFG). 
 
 
10. (EsPCEx – 1997) Considere as seguintes 
proposições: 
I – Toda reta paralela a um plano é paralela a qualquer 
reta desse plano. 
II – Uma reta e um ponto determinam sempre um único 
plano. 
III – Se uma reta é perpendicular a duas retas 
concorrentes de um plano, então ela é perpendicular a 
esse plano. 
Pode-se afirmar que: 
a) Só I é verdadeira. 
b) Só III é verdadeira. 
c) Só I e III são verdadeiras. 
d) Só III é falsa. 
e) Só I e III são falsas. 
 
11. (EsPCEx – 2003) Considere as afirmações abaixo: 
I – Se um plano encontra outros dois planos paralelos, 
então as intersecções são retas paralelas. 
II – Uma reta perpendicular a uma reta de um plano e 
ortogonal a outra reta desse plano é perpendicular ao 
plano. 
III – Se a intersecção de uma reta r com um plano é o 
ponto P, reta essa não perpendicular ao plano, então 
existe uma única reta s contida nesse plano que é 
perpendicular à reta r passando por P. 
Pode-se afirmar que 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas I e II são verdadeiras. 
c) apenas I e III são verdadeiras. 
d) apenas II e III são verdadeiras. 
e) todas são falsas. 
 
12. (EsPCEx – 2009) A ilustração a seguir representa 
um paralelepípedo retângulo ABCDEFGH e um prisma 
reto triangular de base EHJ seccionado por um plano, 
gerando o triângulo isósceles ADI, cuja medida AI é 
igual à medida DI. Diante das informações acima, 
podemos afirmar que 
 
a) a reta JH é ortogonal à reta DC. 
b) as retas EJ e FG são reversas. 
c) a reta IJ é ortogonal à reta EF. 
d) a reta AI é concorrente à reta BC. 
e) a reta AI é paralela à reta EJ. 
 
13. (EsPCEx – 2010) Considere duas retas r e s no 
espaço e quatro pontos distintos, A, B, C e D, de modo 
que os pontos A e B pertencem à reta r e os pontos C 
e D pertencem à reta s. 
I – Se as retas AC e BD são concorrentes, então r e s 
são necessariamente concorrentes. 
II – Os triângulos ABC e ABD serão sempre coplanares. 
III – Se AC e BD forem concorrentes, então as retas r e 
s são coplanares. 
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Dentre as afirmações abaixo, pode-se concluir que 
a) somente a I é verdadeira. 
b) somente a II é verdadeira. 
c) somente a III é verdadeira. 
d) as afirmações II e III são verdadeiras. 
e) as afirmações I e III são verdadeiras. 
 
14. (EsPCEx – 2012) Considere as seguintes 
afirmações: 
I. Se dois planos α e β são paralelos distintos, então as 
retas r1  α e r2  β são sempre paralelas. 
II. Se α e β são planos não paralelos distintos, existem 
as retas r1  α e r2  β tal que r1 e r2 são paralelas. 
III. Se uma reta r é perpendicular a um plano α no ponto 
P, então qualquer reta de α que passa por P é 
perpendicular a r. 
Dentre as afirmações acima, é(são) verdadeira(s) 
a) Somente II 
b) I e II 
c) I e III 
d) II e III 
e) I, II e III 
 
15. (ESPCEX – 2012) Considere um plano α e os 
pontos A, B, C e D tais que: 
O segmento AB tem 6 cm de comprimento e está 
contido em α. 
O segmento BC tem 24 cm de comprimento, está 
contido em α e é perpendicular a AB. 
O segmento AD tem 8 cm de comprimento e é 
perpendicular a α. 
Nessas condições, a medida do segmento CD é 
a) 26 cm b) 28 cm c) 30 cm d) 32 cm e) 34 cm 
 
16. (ESPCEX – 2013) O sólido geométrico abaixo é 
formado pela justaposição de um bloco retangular e um 
prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão 
indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma. 
Considere os seguinte pares de retas definidas por 
pontos dessa figura: as retas LB e GE ; as retas AG e 
HI e as retas AD e GK . As posições relativas desses 
pares de retas são, respectivamente, 
 
a) concorrentes; reversas; reversas. 
b) reversas; reversas; paralelas. 
c) concorrentes; reversas; paralelas. 
d) reversas; concorrentes; reversas. 
e) concorrentes; concorrentes; reversas. 
 
17. (ESPCEX – 2013) Considere as seguintes 
afirmações: 
(I) Se uma reta r é perpendicular a um plano α, então 
todas as retas de são perpendiculares ou ortogonais a 
r; 
(II) Se a medida da projeção ortogonal de um segmento 
AB sobre um plano α é a metade da medida do 
segmento AB, então a reta AB faz com α um ângulo de 
60°; 
(III) Dados dois planos paralelos α e β, se um terceiro 
plano γ intercepta α e β, as interseções entre esses 
planos serão retas reversas; 
(IV) Se α e β são dois planos secantes, todas as retas 
de α também interceptam β. 
Estão corretas as afirmações 
a) Apenas I e II 
b) Apenas II e III 
c) I, II e III 
d) I, II e IV 
e) II, III e IV 
 
18. (EsPCEx – 2020) Um poliedro possui 20 vértices. 
Sabendo-se que de cada vértice partem 3 arestas, o 
número de faces que poliedro possui é igual a 
a) 12. b) 22. c) 32. d) 42. e) 52. 
 
19. (EsPCEx – 2021) Dado um dodecaedro regular, 
exatamente, quantas retas ligam dois de seus vértices 
mas não pertencem a uma mesma face desse 
dodecaedro? 
a) 60. b) 100. c) 130. d) 160. e) 190. 
 
20. (EsPCEx – 2021) Dado um cubo, o número de 
pares distintos de retas reversas que podemos traçar, 
de tal forma que cada reta contenha uma aresta desse 
cubo, é igual a 
a) 24. b) 30. c) 36. d) 42. e) 48. 
 
21. (EsPCEx – 2022) Sobre os conceitos de Geometria 
Espacial de Posição, analise as proposições a seguir. 
I – Se dois planos são secantes, então qualquer reta de 
um deles é concorrente ao outro. 
II – Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a 
infinitas retas desse plano. 
III – Se dois planos têm uma única reta em comum, eles 
são secantes. 
IV – Duas retas perpendiculares a uma terceira são 
perpendiculares entre si. 
V – Se dois planos são perpendiculares, então toda reta 
de um deles é perpendicular ao outro. 
Sobre essas proposições, é correto afirmar que 
a) apenas a II e a III são verdadeiras. 
b) apenas a II, a III e a IV são verdadeiras. 
c) apenas a I e a IV são falsas. 
d) apenas a IV e a V são falsas. 
e) todas são verdadeiras. 
 
22. (AFA - 2003) Um poliedro platônico, cujas faces são 
triangulares, tem 30 arestas. Determine o número de 
arestas que concorrem em cada vértice. 
a) 3 b) 5 c) 4 d)6 
 
 GABARITO 
 
A) 8, 15, 17, 18, 20, 21 
B) 3, 6, 10, 19, 22 
C) 1, 2, 5, 7, 11, 12, 13 
D) 4, 9, 14 
E) 16 
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PRISMAS 
 
1. (EEAr – 2001) A base de um prisma quadrangular 
regular está inscrita numa circunferência cujo círculo 
tem 100π cm2 de área. Se a altura do prisma mede 1,5 
cm, então o volume desse prisma, em cm3, é de: 
a) 200 b) 300 c) 400 d) 800 
 
2. (EEAr – 2002) A área lateral de um prisma hexagonal 
regular de 25 cm de altura e de apótema da base igual 
a 2 3 cm, em cm2, é 
a) 1200 b) 600 2 c) 600 3 d) 600 
 
3. (EEAr – 2002) A aresta de um cubo e a aresta da 
base de um prisma triangular regular medem .cm34 Se 
o cubo e o prisma são equivalentes, então a área total 
do prisma, em cm2, é 
a) 3210 b) 3212 c) 3214 d) 3216 
 
4. (EEAr – 2002) A base de um prisma regular é um 
hexágono regular inscrito num círculo de raio R. Se o 
prisma é equivalente ao cubo, cuja base está inscrita 
no mesmo círculo, então a altura do prisma hexagonal, 
em cm, é 
a) 2R b) 
3
6R2
 c) 
3
6R4
 d) 
9
6R4
 
 
5. (EEAr – 2003) O volume, em cm3, de um prisma 
hexagonal regular com altura igual a 5 cm e com área 
lateral 60 cm2, é 
a) 35 b) 345 c) 330 d) 3270 
 
6. (EEAr – 2003) Se um cubo está inscrito em uma 
esfera de m3 de raio, então o volume do cubo, em m3, 
é igual a 
a) 8 b) 27 c) 312 d) 324 
 
7. (EEAr – 2003) Uma caixa d'água tem a forma de um 
paralelepípedo reto-retângulo, cujas medidas internas 
são, em m, "x", 20 - x", e "2". O maior volume, em m3, 
que ela poderá conter é igual a 
a) 150 b) 200 c) 220 d) 250 
 
8. (EEAr – 2003) Um prisma reto tem base hexagonal 
regular e as faces laterais quadradas. Sabendo-se que 
a área do círculo inscrito em sua base é igual a 25π 
cm2, a área total, em cm2, desse prisma é 
a) 400 b) ( )36100 + c) ( )32100 + d) 600 
 
9. (EEAr – 2003) Seja V o volume de um cubo de aresta 
"a". Constrói-se um prisma quadrangular de volume V' 
e de vértices nos pontos médios das arestas das bases 
do cubo. O volume V' desse prisma é igual a 
a) 
2
V
 
b) V 
c) 
3
V
 
d) 
4
V
 
 
10. (EEAr – 2003) Se uma das dimensões de um 
paralelepípedo reto-retângulo é 6 cm, a soma das 
outras duas dimensões é 25 cm e a área total é 600 
cm2, então uma razão possível entre as duas 
dimensões desconhecidas é 
a) 
3
2
 b) 
5
3
 c) 
2
1
 d) 
5
2
 
 
11. (EEAr – 2004) Um prisma reto, cuja base é um 
triângulo equilátero de lado k, tem volume igual ao de 
um cubo de aresta k. A altura do prisma é igual a 
a) 
3
3k4
 b) 3k c) 
4
3k3
 d) 3k4 
 
12. (EEAr – 2004) Um prisma regular de base triangular 
tem altura igual ao lado da base e volume igual a 
.cm316
3 A área lateral desse prisma, em cm2, é 
a) 24 b) 8 c) 4 d) 48 
 
13. (EEAr – 2005) Considere: 
I- No prisma reto; 
II- No prisma oblíquo; 
III- No prisma regular 
A- as arestas laterais não são perpendiculares ao plano 
da base. 
B- as bases são polígonos regulares. 
C- as faces laterais são quadriláteros cujos ângulos são 
retos. 
D- as arestas laterais são perpendiculares ao plano da 
base. 
E- as faces laterais são losangos ou paralelogramos 
propriamente ditos. 
F- as bases são polígonos regulares ou não. 
O número de afirmações corretas que se pode fazer, 
iniciando-se com I, II ou III e completando-se com A, B, 
C, D, E, ou F, é 
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 
 
14. (EEAr – 2006) Se as dimensões de um 
paralelepípedo retângulo medem, em cm, "a", "a + 3" e 
"a + 5", então a soma das medidas de todas as arestas 
desse paralelepípedo é maior que 48cm, se "a" for 
maior que _____ cm. 
a) 
4
3
 b) 
5
4
 c) 
3
4
 d) 
4
5
 
 
15. (EEAr – 2006) Um cubo tem 216 cm2 de área total. 
A medida, em cm, de sua diagonal é 
a) 6 2 
b) 6 3 
c) 2 6 
d) 2 2 
 
16. (EEAr – 2006) Os números que expressam as 
medidas das arestas que concorrem em um mesmo 
vértice de um paralelepípedo retângulo estão em 
progressão geométrica. Se a maior dessas arestas 
mede 6 m, e o volume desse sólido é 27 m3, então sua 
área total, em m2, é 
a) 63 b) 57 c) 53 d) 47 
 
 
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17. (EEAr – 2007) A medida da altura de um prisma 
triangular regular é igual à medida da aresta de sua 
base. Se a área lateral desse prisma é 10 m2, então sua 
altura mede, em m, 
a) 15 b) 30 c) 
15
2
 d) 
30
3
 
 
18. (EEAr – 2007) Uma piscina, com a forma de 
paralelepípedo retângulo, tem 8 m de comprimento, 4 
m de largura e 2 m de profundidade. Não estando 
completamente cheia, um grupo de 8 pessoas “pula” 
em seu interior, sem haver perda de água, fazendo com 
que o nível da água varie em 0,5 m. O volume 
correspondente às 8 pessoas na piscina, em litros, é 
igual a 
a) 32000 b) 16000 c) 8000 d) 4000 
 
19. (EEAr – 2008) A diagonal de um paralelepípedo 
retângulo, de dimensões 4 cm, 6 cm e 8 cm, mede, em 
cm, 
a) 7 5 b) 3 3 c) 5 31 d) 2 29 
 
20. (EEAr – 2008) Um prisma reto é regular quando 
suas bases 
a) são paralelas 
b) têm a mesma área 
c) têm arestas congruentes 
d) são polígonos regulares 
 
21. (EEAr – 2008) Quatro cubos idênticos são 
dispostos como na figura a seguir, formando um único 
sólido. Considerando que a diagonal de cada cubo 
mede 10 3 cm, a diagonal desse sólido é, em cm, igual 
a 
 
a) 30 3 b) 40 3 c) 20. d) 30. 
 
22. (EEAr – 2009) A aresta da base de um prisma 
quadrangular regular mede 2 cm. Se a diagonal desse 
prisma mede 2 11 , sua altura, em cm, mede 
a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 
 
23. (EEAr – 2009) A base de um prisma reto é um 
triângulo retângulo, cujos catetos medem 3 cm e 4 cm. 
Se esse prisma tem altura igual a 3,5 cm, então seu 
volume, em cm3, é 
a) 21 b) 18 c) 15 d) 12 
 
24. (EEAr – 2010) A diagonal de um cubo mede 3 cm. 
O volume desse cubo, em cm3, é 
a) 9 b) 6 c) 3 3 d) 2 6 
 
25. (EEAr – 2010) A diagonal de um cubo de aresta a1 
mede 3 cm, e a diagonal da face de um cubo de aresta 
a2 mede 2 cm. Assim, a1 . a2, em cm2, é igual a 
a) 2 6 b) 2 3 c) 6 d) 3 
26. (EEAr – 2011) O perímetro da base de um prisma 
quadrangular regular é 8 cm. Se a altura desse prisma 
é 3 cm, então sua área total, em cm2, é 
a) 32 b) 34 c) 36 d) 38 
 
27. (EEAr – 2011) Um cubo tem 3 cm de altura, e um 
paralelepípedo retângulo tem dimensões 1 cm, 2 cm e 
3 cm. A razão entre os volumes do cubo e do 
paralelepípedo é 
a) 3/2 b) 4/3 c) 9/2 d) 8/3 
 
28. (EEAr – 2013) Uma piscina tem a forma de um 
paralelepípedo retângulo e tem, no seu centro, um cubo 
de concreto de 1 m de aresta, como mostra a figura. O 
volume de água necessário para encher a piscina, em 
m3, é 
 
a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 
 
29. (EEAr – 2013) Um prisma reto tem como base um 
triângulo equilátero de lado 3 cm, e como altura o dobro 
da medida de sua aresta da base. Então, a área lateral 
desse prisma, em cm2, é 
a) 36 b) 48 c) 54 d) 60 
 
30. (EEAr – 2014) Um prisma hexagonal regular tem 
aresta da base medindo ℓ e altura igual a 3ℓ. A área 
lateral desse prisma é ______ℓ2. 
a) 9 b) 12 c) 18 d) 24 
 
31. (EEAr – 2015) Um pódio é composto por três 
paralelepípedos retângulos justapostos, conforme 
mostra a figura. Ao considerar x = 5 dm, y = 2 dm, 
z = 6 dm e w = 4 dm, o volume desse pódio, em dm3, é 
 
a) 150 b) 200 c) 250 d) 300 
 
32. (EEAr – 2017) Considere um recipiente em forma 
de cubo, completamente cheio de água. Se três esferas 
metálicas de 1 cm de raio forem colocadas dentro do 
recipiente, o volume de água que será derramado será 
de ______ π cm3. 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 
 
33. (EEAr – 2019) Um pedaço de queijo, em forma de 
prisma triangular regular, tem 6 cm de altura e possui 
como base um triângulo de 10 cm de lado. O volume 
desse pedaço de queijo é ____ 3 cm3. 
a) 150 b) 165 c) 185 d) 200 
 
 
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34. (EEAr – 2021) Em um prisma hexagonal regular de 
4 3 cm de altura, a aresta da base mede 4 cm. As 
bases desse sólido foram pintadas de branco e 4 faces 
laterais pintadas de preto. Se SB e SP são as medidas 
das áreas pintadas de branco e preto, respectivamente, 
então SP – SB = ______cm2. 
a) 8 3 b) 16 3 c) 24 3 d) 32 3 
 
35. (EEAr – 2022) Seja um prisma reto de 15 cm de 
altura. Suas bases são trapézios com 6 cm e 4 cm de 
base e 5 cm de altura. O volume deste prisma equivale 
a _____ vezes o volume de um cubo de aresta 5 cm. 
a) seis b) três c) duas d) cinco 
 
36. (EEAr – 2023) Um prisma hexagonal regular tem 5 
cm de altura e 30 3 cm3 de volume. A área lateral 
desse prisma é ______ cm2. 
a) 40 b) 60 c) 40 3 d) 60 3 
 
37. (EsSA – 2009) A altura de um prisma hexagonal 
regular é de 5 m. Sabe-se também que sua área lateral 
é o dobro da área de sua base. O volume desse prisma, 
em m3, é: 
a) 220 3 
b) 270 3 
c) 250 3 
d) 200 3 
e) 285 3 
 
38. (EsSA – 2017) Uma caixa d’água, na forma de um 
paralelepípedo reto de base quadrada, cuja altura é 
metade do lado da base e tem medida k, está com 80% 
de sua capacidade máxima ocupada. Sabendo-se que 
há uma torneira de vazão 50L/min enchendo essa caixa 
d’água e que após 2h ela estará completamente cheia, 
qual o volume de uma caixa d’água cúbica de aresta k? 
a) 7.500 mL. 
b) 6.000 L. 
c) 6.000 cm3. 
d) 7.500 dm3. 
e) 5.000 mL. 
 
39. (EsPCEx – 99) Uma piscina em forma de 
paralelepípedo retângulo tem largura de 6 metros, 
diagonal do fundo com 10 metros e diagonal da face 
que contém o comprimento igual a 4 5 metros. Para 
enchê-la com água será utilizado um caminhão tanque 
com capacidade de 6000 litros. O número de cargas 
completas, desse mesmo caminhão, necessárias para 
que a piscina fique completamente cheia é: 
a) 24 b) 28 c) 32 d) 54 e) 80 
 
40. (EsPCEx – 2002) Um galpão com as dimensões do 
desenho abaixo deverá ser construído para armazenar 
produtos que necessitam de controle de temperatura. 
Cada um dos condicionadores de ar disponíveis, que 
atendem às suas especificações, é capaz de climatizar 
um volume de até 200m3. Nessas condições, pode-se 
afirmar que o maior comprimento () que o galpão pode 
ter, em metros, para ser equipado com 3 (três) 
aparelhos de ar condicionado é: 
 
(desprezar a espessura das paredes e considerar que 
o galpão é um prisma reto e não tem forro nem laje) 
a) 13 m b) 20 m c) 5 m d) 25 m e) 15 m 
 
41. (EsPCEx – 2003) Pedro construiu um aquário em 
forma cúbica. Enquanto o enchia, notou que, colocando 
64 litros de água, o nível subia 10 cm. O volume 
máximo, em litros, que comporta esse aquário é de 
a) 216 b) 343 c) 512 d) 729 e) 1024 
 
42. (EsPCEx – 2005) Um prisma reto com 5 cm de 
altura e base retangular com dimensões de 4 cm e 6 cm 
contém água até uma altura de 3 cm. Um cubo maciço 
de aresta igual a 2 cm é colocado dentro deste prisma, 
ficando totalmente submerso. A partir de então, a altura 
do nível da água, em cm, passa a ser de: 
a)
13
4
 
b)
10
3
 
c)
15
4
 
 d)
13
3
 
 e)
14
4
 
 
43. (EsPCEx – 2006) O hexágono regular ABCDEF é 
uma secção plana de um cubo de aresta 2𝑎√3. Cada 
vértice do polígono divide ao meio a aresta na qual está 
apoiado. 
 
A área do hexágono é 
a) 29a 3. 
b) 
23a 3
.
2
 
c) 
22a 3
.
3
 
d) 24a 3. 
e) 
25a 3
.
4
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
GEOMETRIA ESPACIAL - EXERCÍCIOS 
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44. (EsPCEx – 2007) Dispondo de um recipiente em 
forma de paralelepípedo retângulo, com as dimensões 
da figura, preenchido com água até o nível indicado, um 
aluno fez o seguinte experimento: 
• Mergulhou na água um cubo maciço, com 1 cm3 de 
volume; 
• Mergulhou, sucessivamente, novos cubos, cada vez 
maiores, cujos volumes formam, a partir do cubo de 
1 cm3 de volume, uma progressão aritmética de razão 
2 cm3. 
Após mergulhar certo número de cubos, que ficaram 
completamente submersos, verificou que a altura do 
nível da água passou para 39 cm. 
 
Com base nessas informações, a área total do último 
cubo colocado é de 
a) 54 cm2 
b) 42 cm2 
c) 24 cm2 
d) 150 cm2 
e) 216 cm2 
 
45. (EsPCEx – 2008) Em um cubo de aresta medindo 
4 cm, forma-se um triângulo VEF, conforme figura 
abaixo, em que V é o centro do quadrado ABCD. A 
área, em cm2, do triângulo VEF é igual a 
 
a) 4 5 b) 4 6 c) 5 5 d) 5 6 e) 6 6 
 
46. (EsPCEx – 2012) A figura espacial representada 
abaixo, construída com hastes de plástico, é formada 
por dois cubos em que, cada vértice do cubo maior é 
unido a um vértice correspondente do cubo menor por 
uma aresta e todas as arestas desse tipo têm a mesma 
medida. 
Se as arestas dos cubos maior e menor medem, 
respectivamente, 8 cm e 4 cm, a medida de cada uma 
das arestas que ligam os dois cubos é 
 
a) 6 2 cm 
b) 3 2 cm 
c) 2 3 cm 
d) 4 3 cm 
e) 6 3 cm 
 
47. (EsPCEx – 2014) Considere um prisma regular reto 
de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da 
base e a aresta lateral é 
3
3
. Aumentando-se a aresta 
da base em 2 cm e mantendo-se a aresta lateral, o 
volume do prisma ficará aumentado de 108 cm3. O 
volume do prisma original é 
a) 18 cm3 
b) 36 cm3 
c) 18 3 cm3 
d) 36 3 cm3 
e) 40 cm3 
 
48. (EsPCEx – 2016) As medidas as arestas de um 
paralelepípedo retângulo são diretamente 
proporcionais a 3, 4 e 5 e a soma dessas medidas é 
igual a 48 cm. Então a medida da sua área total, em 
cm2, é 
a) 752 b) 820 c) 1024 d) 1302 e) 1504 
 
49. (AFA - 99) Qual deve ser a medida da altura de um 
prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado 
a, para que seu volume tenha valor a3? 
a) 
4
3a
 b) 
4
3a3
 c) 
3
3a
 d) 
3
3a4
 
 
50. (AFA - 2005) A diagonal de um paralelepípedo reto 
retângulo mede 353 cm e suas dimensões são 
proporcionais a 1, 3 e 5. A fração irredutível 


que 
representa a razão entre a área total do paralelepípedo 
e seu volume é tal que 
a)  - α = -1 
b) α e  são dois números primos. 
c) α +  = 100 
d) α -  = 11 
 
51. (AFA - 2006) O produto da maior diagonal pela 
menor diagonal de um prisma hexagonal regular de 
área lateral igual a 144 cm2 e volume igual a 3144 cm3 
é 
a) 710 b) 720 c) 2110 d) 2120 
 
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52. (AFA - 2015) Na figura abaixo, tem-se um cubo cuja 
aresta mede k centímetros; as superfícies S1 e S2, 
contidas nas faces desse cubo, são limitadas por arcos 
de circunferências de raio k centímetros e centros em, 
respectivamente, D e B, H e F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O volume do sólido formado por todos os segmentos de 
reta com extremidades em S1 e S2, paralelos a CG e de 
bases S1 e S2, é, em cm3, igual a 
a) 
( )
2
1k3 −
 b) 
( )
2
2k3 −
 c) 
( )
4
1k3 −
 d) 
( )
2
2k3 −
 
 
53. (AFA – 2023) Uma brincadeira consiste em jogar 
um dado entre dois cubos fixos. Em uma das jogadas, 
o dado parou na posição observada na figura abaixo. 
 
A área total do dado, em cm2, é igual a 
a) 600 b) 1014 c) 1350 d) 1734 
 
 
GABARITO 
 
A) 6, 9, 10, 11, 13, 14, 16, 23, 26, 33, 43, 44, 45, 50 
B) 1, 7, 15, 18, 22, 28, 32, 34, 35, 36, 42, 47, 52 
C) 5, 8, 24, 25, 27, 29, 30, 37, 39, 41, 46, 53 
D) 2, 3, 4, 12, 17, 19, 20, 21, 31, 38, 49, 51 
E) 40, 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CILINDROS 
 
1. (EEAr – 2001) A secção meridiana de um cilindro 
equilátero tem cm24 de diagonal. O volume do 
cilindro, em cm3, é de: 
a) 16π b) 24π c) 32π d) 54π 
 
2. (EEAr – 2001) Um cilindro reto tem o volume igual 
ao de um cubo de aresta "a" e a área lateral igualà área 
total do cubo. O raio e a altura desse cilindro medem, 
respectivamente: 
a) a3e
2
a
 b) 

a9
e
3
a
 c) 2a e 3πa d) 

a9
ea3 
 
3. (EEAr – 2002) A geratriz de um cilindro de revolução 
mede 10 cm. Qual o seu raio da base, sabendo-se que, 
aumentando-se esse raio em 10 cm e mantendo-se a 
altura, a área lateral do novo cilindro é igual à área total 
do primeiro? 
a) 2,5 cm b) 5 2 cm c) 10 cm d) 20 cm 
4. (EEAr – 2002) Um tanque tem a forma de um cilindro 
circular reto de altura 6 m e raio da base 3 m. O nível 
da água nele contida está a uma distância do fundo do 
tanque igual aos 2/3 da sua altura. Adotando-se 
π = 3,14, a quantidade de litros de água que o cilindro 
contém é 
a) 113.010 b) 113.040 c) 113.050 d) 113.080 
 
5. (EEAr – 2002) Se um cilindro reto está circunscrito a 
uma esfera de raio "R", então a razão entre a área da 
superfície esférica e a área total do cilindro é 
a) 1 b) 
2
1
 c) 
3
2
 d) 
5
4
 
 
6. (EEAr – 2002) A área da secção paralela ao eixo de 
um cilindro circular reto, de 8 m de altura e 1 m de raio, 
feita a 0,6 m do eixo, em m2, é 
a) 16,00 b) 12,80 c) 6,40 d) 8,60 
 
7. (EEAr – 2004) Um vaso tem formato de um cilindro 
reto, de 16 cm de altura interna e 6 cm de diâmetro 
interno. Ele contém água até 
3
1
de sua altura. 
Acrescentando-se uma quantidade de água 
equivalente ao volume de uma esfera de 6 cm de 
diâmetro, o nível de água subirá 
a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 6 cm 
 
8. (EEAr – 2005) Num cilindro reto, o diâmetro da base 
mede 8 cm e a geratriz, 10 cm. A área lateral desse 
cilindro, em cm2, é 
a) 160π b) 80π c) 80 d) 40 
 
9. (EEAr – 2005) Um prisma quadrangular regular está 
circunscrito a um cilindro equilátero. Se a aresta da 
base do prisma mede 4 cm, então o volume do cilindro, 
em cm3, é 
a) 16π. 
b) 12π. 
c) 8π. 
d) 4π. 
 
10. (EEAr – 2006) Um plano determina dois 
semicilindros quando secciona um cilindro reto de 2,5 
cm de altura e 4 cm de diâmetro da base, passando 
pelos centros de suas bases. A área total de cada um 
desses semicilindros, em cm2, é aproximadamente 
igual a 
a) 28. b) 30. c) 38. d) 40. 
 
11. (EEAr – 2007) O raio da base de um cilindro 
equilátero e a aresta de um cubo são congruentes. A 
razão entre as áreas totais do cilindro e do cubo é 
a) 2 b) 4 c) π d) 2π 
 
12. (EEAr – 2007) Um cilindro equilátero é equivalente 
a um cone, também equilátero. Se o raio da base do 
cone mede 3 cm, o raio da base do cilindro mede, em 
cm, 
a) 3 
b) 
3 12
2
 
c) 
3 6
2
 
d) 6 
 
13. (EEAr – 2008) A diagonal da secção meridiana de 
um cilindro equilátero mede 10 2 cm. A área lateral 
desse cilindro, em cm2, é 
a) 250π. b) 200π. c) 100π. d) 50π. 
 
14. (EEAr – 2008) Um cilindro de cobre tem volume V, 
raio da base R = 50 cm e altura H = 40 cm. Este cilindro 
será derretido para fazer cilindros de volume v, raio 
r = R/5 e altura h = H/4. Dessa forma, V/v = 
a) 50 b) 100 c) 150 d) 200 
 
15. (EEAr – 2008) Um retângulo, de lados 2 m e 5 m, 
gira 360º em torno de seu maior lado. A área lateral do 
sólido obtido, em m2, é 
a) 10 b) 20 c) 10π d) 20π 
 
16. (EEAr – 2012) Um cilindro de altura H = 5 cm e raio 
da base R = 4 cm, tem volume V = _____π cm3. 
a) 50 
b) 60 
c) 70 
d) 80 
 
17. (EEAr – 2013) Um cilindro equilátero cuja geratriz 
mede 8 cm, tem área lateral igual a _____π cm2. 
a) 128 
b) 64 
c) 32 
d) 16 
 
18. (EEAr – 2015) Os especialistas alertam que é 
preciso beber, em média, 2 litros de água por dia. Isso 
equivale a 10 copos com capacidade de 200 cm3. Um 
copo cilíndrico com esta capacidade e 2 cm de raio da 
base tem, aproximadamente, _____ cm de altura. 
(Considere π = 3) 
a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 
 
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19. (EEAr – 2016) Um cilindro de 18 cm de altura e raio 
da base igual a 5 cm contém água até a metade de sua 
altura. Por algum motivo, houve necessidade de 
despejar essa água em um outro cilindro com 40 cm de 
altura, cujo raio da base mede 4 cm. Considerando 
π = 3, o valor que mais se aproxima da altura atingida 
pela água no segundo cilindro é 
 
a) 14 cm b) 16 cm c) 20 cm d) 24 cm 
 
20. (EEAr – 2018) Um cilindro equilátero tem 196π cm2 
de área lateral. O raio da base desse cilindro mede 
_______ cm. 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
 
21. (EEAr – 2019) Um cilindro circular reto, de altura 
igual a 2/3 do raio da base e de 12π cm2 de área lateral, 
possui raio da base igual a _____ cm. 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 
 
22. (EEAr – 2021) Deseja-se guardar 1,5 litro de suco 
numa jarra cilíndrica de 15 cm de altura e 5 cm de raio 
da base. Desta forma (considerando π = 3), é correto 
afirmar que: 
a) a quantidade total do suco é menor que a capacidade 
da jarra. 
b) o volume total da jarra representa 2/3 da quantidade 
total do suco. 
c) a quantidade total do suco representa metade da 
capacidade total da jarra. 
d) a capacidade total da jarra representa 75% da 
quantidade total do suco. 
 
23. (EEAr – 2022) Um cilindro circular reto de 5 cm de 
raio da base e de 10 cm de altura terá toda a sua 
superfície lateral revestida por uma fita de 0,5 cm de 
largura, como mostra a figura. Considerando π = 3,14 
e que não haverá sobreposição de fita, será necessário 
uma quantidade mínima de ______ m de fita para 
realizar a tarefa. 
 
a) 4,62 b) 6,28 c) 8,44 d) 9,32 
 
24. (EEAr – 2022) Uma caixa cúbica, de aresta 10 cm, 
está totalmente cheia de água. Ao despejar toda a água 
num tubo cilíndrico de 5 cm de raio, essa água atingirá 
a altura de ____/π cm no tubo. (Considere as 
dimensões como sendo internas aos recipientes e que 
o tubo tem a altura necessária para o evento.) 
a) 50 b) 40 c) 35 d) 25 
 
25. (EEAr – 2023) Um cilindro de volume 21π cm3 e 
raio da base 2 cm é seccionado por um plano paralelo 
à sua base no ponto equivalente a dois terços de sua 
altura, gerando dois outros cilindros, um maior e outro 
menor. Dessa forma, a área total do cilindro menor é 
______ π cm2. 
a) 10 b) 14 c) 15 d) 20 
 
26. (EsSA – 2012) Dobrando-se a altura de um cilindro 
circular reto e triplicando o raio de sua base, pode-se 
afirmar que seu volume fica multiplicado por 
a) 6. b) 9. c) 12. d) 18. e) 36. 
 
27. (EsSA – 2019) Um cilindro equilátero é aquele 
cilindro reto que possui altura igual ao dobro do raio da 
base. Sabendo que o volume é calculado pela fórmula 
π.r2.h, quanto mede o volume de um cilindro equilátero 
que possui raio igual a π? 
a) π6. 
b) 2π4. 
c) π. 
d) 6π. 
e) 4π2. 
 
28. (EsSA – 2021) A “Operação Carro – Pipa” destina-
se combater a seca no Nordeste. Essa logística é feita 
através de caminhões tanque. Admitindo que esses 
tanques sejam cilíndricos(raio = 0,8m e altura 6,25m). 
Quantas viagens desses carros cheios (carradas) serão 
necessárias para abastecer totalmente uma cisterna 
comunitária, em forma de paralelepípedo retângulo, 
cujas dimensões são: 7m x 6m x 2m? 
(Considere π = 3). 
a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 
 
29. (EsPCEx – 98) O volume de uma lata cilíndrica é 
4π cm3. O custo de fabricação das bases é R$ 0,04 por 
cm2 e o custo de fabricação da superfície lateral é de 
R$ 0,02 por cm2. O custo de fabricação da lata(em R$) 
em função do raio R(em cm) das bases é: 
a) 
2 1
0,04 R
R
 
 + 
 
 
b) 
2 1
0,06 R
R
 
 + 
 
 
c) 
2 2
0,06 R
R
 
 + 
 
 
d) 
2 2
0,08 R
R
 
 + 
 
 
e) 
2 1
0,08 R
R
 
 + 
 
 
 
30. (EsPCEx – 99) O volume de um cilindro equilátero 
de 1 metro de raio é, aproximadamente, igual a: 
a) 3,1 m3 b) 6,3 m3 c) 9,4 m3 d) 12,6 m3 e) 15,7 m3 
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31. (EsPCEx – 2000) Deseja-se estimar a quantidade 
de combustível existente em um tanque cilíndrico 
disposto horizontalmente, medindo-se a parte molhada 
de uma régua, conforme a figura abaixo. Sabendo que 
o tanquetem 2m de raio e 12m de comprimento, e que 
a parte molhada da régua tem 3m de comprimento, 
pode-se concluir que o volume de combustível, em 
litros, existente no tanque está compreendido entre 
Dados: utilizar π = 3,1 e √𝟑 = 𝟏, 𝟕 
 
a) 145000 e 155000 
b) 135000 e 145000 
c) 125000 e 135000 
d) 115000 e 125000 
e) 105000 e 115000 
 
32. (EsPCEx – 2001) Num recipiente em forma de 
cilindro circular reto, com raio da base 2 cm e altura 
6 3 cm (dimensões internas), há um volume de água 
de 16 3  cm3. O maior ângulo α que o plano da base 
do cilindro pode fazer com a horizontal para que a água 
não derrame ao se inclinar o cilindro é de, 
aproximadamente, 
 
 
a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 70º 
 
33. (EsPCEx – 2003) Dois recipientes, um em forma de 
cilindro e o outro, de paralelepípedo, cujas bases estão 
num mesmo plano, são unidos por uma tubulação com 
uma válvula no meio. Inicialmente, a válvula está 
fechada, o paralelepípedo está vazio e o cilindro é 
ocupado, em parte, por um líquido cujo volume é de 
2000π litros, atingindo uma altura de 2 metros. A 
válvula é aberta e, após certo tempo, verifica-se que os 
dois recipientes têm o mesmo nível do líquido. 
Considerando desprezível o volume da tubulação que 
une os dois reservatórios e sabendo que a área da base 
do paralelepípedo é de 1,5π m2, o volume final, em 
litros, de líquido no paralelepípedo é 
a) 600π b) 800π c) 1000π d) 1200π e) 1500π 
34. (EsPCEx – 2004) Uma lata cilíndrica está 
completamente cheia de um líquido que deve ser 
distribuído totalmente em potes iguais entre si, também 
cilíndricos. A altura de cada pote é igual a 
2
5
da altura 
da lata e o diâmetro de sua base é 
1
3
 do diâmetro da 
base da lata. Para tal distribuição, a quantidade mínima 
de potes a serem utilizados é 
a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26 
 
35. (EsPCEx – 2005) Uma caixa d’água cilíndrica tem 
capacidade para 500 litros. Quando ela está com 100 
litros, um dispositivo eletrônico aciona a abertura de 
uma torneira que despeja em seu interior 25 litros de 
água por minuto, desligando-se automaticamente após 
a caixa estar totalmente cheia. Com base nesses dados 
e supondo que não há consumo de água durante o 
enchimento, pode-se concluir que: 
a) A quantidade Q de água existente na caixa, em litros, 
está relacionada ao tempo t, em minutos, contado a 
partir da abertura da torneira, através da função 
matemática Q(t) = 500 – 100t. 
b) A caixa estará com 
3
5
 de sua capacidade após 
transcorridos 8 minutos desde a abertura da torneira. 
c) A quantidade de água existente na caixa e o tempo 
não podem ser relacionados, pois um não depende do 
outro. 
d) A caixa estará totalmente cheia após transcorridos 
20 minutos desde a abertura da torneira. 
e) Se a torneira despejasse 20 litros de água por 
minuto, a caixa estaria totalmente cheia após 
transcorridos 18 minutos desde a abertura da caixa. 
 
36. (EsPCEx – 2005) Se a área lateral e área total de 
um cilindro reto são 2πA e 2πS respectivamente, então, 
o volume deste sólido é igual a: 
a) A S A − 
b) S S A − 
c) A S A + 
d) S S A + 
e) S A + 
 
37. (EsPCEx – 2007) Um tonel, em forma de cilindro 
circular reto, tem 60 cm de altura. Uma miniatura desse 
tonel tem 20 cm de altura e raio diretamente 
proporcional à altura. Se a miniatura tem 100 mL de 
volume, então o volume do tonel original é de 
a) 30L 
b) 27L 
c) 2,7L 
d) 3L 
e) 300mL 
 
 
 
 
 
 
 
 
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38. (EsPCEx – 2008) Uma barraca de campanha militar 
possui o formato apresentado no desenho abaixo. 
 
A curva ABC é um arco de 90º de uma circunferência 
com 10 metros de raio. O segmento CD mede 20 
metros. Admitindo π = 3,14, podemos concluir que o 
volume do interior da barraca é de aproximadamente: 
a) 480 m3 b) 570 m3 c) 618 m3 d) 1140 m3 e) 2880 m3 
 
39. (EsPCEx – 2012) A figura abaixo representa dois 
tanques cilíndricos, T1 e T2, ambos com altura h, e cujos 
raios das bases medem R e R 2 , respectivamente. 
Esses tanques são usados para armazenar 
combustível e a quantidade de combustível existente 
em cada um deles é tal que seu nível corresponde a 
2
3
 
da altura. 
O tanque T1 contém gasolina pura e o tanque T2 contém 
uma mistura etanol-gasolina, com 25% de etanol. 
Deseja-se transferir gasolina pura do tanque T1 para T2 
até que o teor de etanol na mistura em T2 caia para 
20%. Nessas condições, ao final da operação, a 
diferença entre a altura dos níveis de T1 e T2 será 
 
a) 
1
h
2
 b) 
1
h
3
 c) 
1
h
4
 d) 
1
h
5
 e) 
1
h
6
 
 
 
40. (AFA - 2006) Um reservatório de forma cilíndrica 
(cilindro circular reto) de altura 30 cm e raio da base 10 
cm está cheio de água. São feitos, simultaneamente, 
dois furos no reservatório: um no fundo e outro a 10 cm 
de altura do fundo. Cada um desses furos permite uma 
vazão de 1 litro por minuto. A quantidade de água 
restante no reservatório após 
3
4
minutos é, em litros, 
a)  b) 
4
3
 c) 
3
2
 d) 
4

 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
A) 1, 9, 18, 19, 28, 36, 39 
B) 2, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 17, 23, 27, 30, 34, 35, 38 
C) 3, 5, 10, 11, 13, 20, 21, 25, 37, 40 
D) 16, 15, 22, 26, 29, 31, 32, 33 
E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GEOMETRIA ESPACIAL - EXERCÍCIOS 
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PIRÂMIDES 
 
1. (EEAr – 2000) Seja P1 uma pirâmide quadrangular 
regular. Cortamos P1 por um plano paralelo à base e 
que dista da base a metade da altura de P1. Sejam P2 
a pirâmide menor resultante desse corte, V1 o volume 
de P1 e V2 o volume de P2. Então: 
a) não dá para comparar V1 e V2 
b) 
9
V1 < 2V <
8
V1 
c) 
8
V1 < 2V <
7
V1 
d) 21 V8V = 
 
2. (EEAr – 2001) A altura de uma pirâmide 
quadrangular é igual à aresta de sua base. Sendo B a 
área da base da pirâmide, então sua área lateral, em 
cm2, é: 
a) 5B b) 
3
5B
 c) 3B d) B5 
 
3. (EEAr – 2001) As bases de uma pirâmide hexagonal 
regular e de um prisma quadrangular regular acham-se 
inscritas num mesmo círculo. Sendo H a altura da 
pirâmide e sabendo-se que os dois poliedros são 
equivalentes, então a altura do prisma é 
a) 
H 3
4
 b) 
3H 3
4
 c) 
H 3
2
 d) 
H 3
3
 
 
4. (EEAr – 2002) O volume, em cm3, de uma pirâmide 
quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos 
equiláteros de lado 4 cm, vale 
a) 16 2 b) 32 2 c) 
16 2
3
 d) 
32 2
3
 
 
5. (EEAr - 2002) A figura abaixo é a planificação de um 
poliedro convexo (A ≡ B ≡ C ≡ D; E ≡ F). O volume 
desse poliedro, em unidades de volume, é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
2
425
 b) 
3
425
 c) 
3
850
 d) 
2
850
 
 
6. (EEAr – 2003) Se em uma pirâmide quadrangular 
regular a diagonal da base mede 4 m e a aresta lateral 
mede 2,5 m, então o volume da pirâmide, em m3, é 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
7. (EEAr – 2003) Se o apótema de um tetraedro regular 
mede ,cm35 então, a altura desse tetraedro, em cm, é 
a) 35 b) 210 c) 
3
610
 d) 
3
310
 
8. (EEAr – 2004) Numa pirâmide hexagonal regular, a 
aresta da base mede 3 cm. Se a área lateral dessa 
pirâmide é 36 cm2, então o volume da pirâmide, em 
cm3, é igual a 
a) 
2
327
 b) 
4
1119
 c) 
2
1119
 d) 29 
 
9. (EEAr – 2005) O perímetro da base de um tetraedro 
regular mede 9 cm. A área total desse tetraedro, em 
cm2, é 
a) 39 b) 318 c) 18 d) 9 
 
10. (EEAr – 2005) Considere as denominações a 
seguir: 
I. tetraedro regular 
II. hexaedro regular 
III. prisma quadrangular regular 
IV. prisma quadrangular reto 
Das quatro denominações acima, completam 
corretamente a assertiva "O cubo é um _______." 
a) apenas uma 
b) apenas duas 
c) apenas três 
d) todas 
 
11. (EEAr – 2006) Se uma pirâmide tem 9 faces, então 
essa pirâmide é 
a) eneagonal. 
b) octogonal. 
c) heptagonal. 
d) hexagonal. 
12. (EEAr – 2006) Se a aresta da base de um tetraedro 
regular mede3 cm, então sua altura, em cm, é 
a) 3 b) 2 3 c) 2 6 d) 6 
 
13. (EEAr – 2007) Uma pirâmide regular de base 
hexagonal tem 20cm de altura e 10 cm de aresta da 
base. O apótema dessa pirâmide mede, em cm, 
a) 5 3 b) 5 17 c) 5 19 d) 5 23 
 
14. (EEAr – 2008) O perímetro da base de uma 
pirâmide quadrangular regular é 80 cm. Se a altura 
dessa pirâmide é 15 cm, seu volume, em cm3, é 
a) 2300 b) 2000 c) 1200 d) 1000 
 
15. (EEAr – 2010) Uma pirâmide quadrangular regular 
tem 6 cm de altura e base 8 cm de perímetro. O volume 
dessa pirâmide, em cm3, é 
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 
 
16. (EEAr – 2010) A aresta lateral de uma pirâmide 
triangular mede 3 m, e a aresta da base, 2 m. A medida 
do apótema dessa pirâmide, em m, é 
 
a) 3 b) 2 c) 2 3 d) 2 2 
 
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GEOMETRIA ESPACIAL - EXERCÍCIOS 
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17. (EEAr – 2010) A aresta lateral de uma pirâmide 
triangular mede 5 m, e a aresta da base, 6 m. A área 
lateral dessa pirâmide, em m2, é 
 
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 
 
18. (EEAr – 2011) Uma pirâmide triangular regular tem 
2 3 cm de aresta da base e 3 3 cm de apótema. A área 
lateral dessa pirâmide, em cm2, é 
a) 18 b) 21 c) 24 d) 27 
 
19. (EEAr – 2013) Seja uma pirâmide quadrangular 
regular com todas as arestas medindo 2 cm. A altura 
dessa pirâmide, em cm, é 
 
a) 2 3 b) 3 2 c) 3 d) 2 
 
 
20. (EEAr – 2013) A figura mostra duas pirâmides 
regulares iguais, unidas pela base ABCD, formando um 
octaedro. Se ABCD tem 4 cm de lado e EF = 6 cm, o 
volume do sólido da figura, em cm3, é 
 
a) 26 b) 28 c) 32 d) 34 
 
21. (EEAr – 2019) A embalagem de um determinado 
produto é em forma de uma pirâmide hexagonal 
regular, cujas medidas internas são 13 cm de altura e 
24 cm de perímetro da base. Assim, o volume interno 
dessa embalagem é ___ 3 cm3. 
a) 104 b) 98 c) 86 d) 72 
 
22. (EEAr – 2020) Uma pirâmide regular, de base 
quadrada, tem altura igual a 10 cm e 30 cm3 de volume. 
Constrói-se um cubo de aresta igual à aresta da base 
dessa pirâmide. Então, o volume do cubo é _____cm3. 
a) 25 b) 27 c) 36 d) 64 
 
23. (EEAr – 2020) Se um tetraedro regular tem arestas 
de medida x, então é correto afirmar sobre a área total 
(AT) e a área da base (AB) desse tetraedro que 
a) AT = 3AB 
b) T BA A 3= + 
c) T
B
A
A
4
= 
d) B TA A 3= 
24. (EEAr – 2022) A base de uma pirâmide é uma das 
faces de um cubo de aresta a. Se o volume do cubo 
somado com o volume da pirâmide é 2a3, a altura da 
pirâmide é ________ da aresta a. 
a) o dobro 
b) o triplo 
c) a metade 
d) a terça parte 
 
25. (EEAr – 2022) Considere uma pirâmide 
quadrangular regular de 75 cm3 de volume. Se 5 cm é 
a medida da aresta da base dessa pirâmide, então sua 
altura mede ____ cm. 
a) 9 b) 6 c) 5 d) 3 
 
26. (EsSA – 2008) A pirâmide de Quéops, em Gizé, no 
Egito, tem aproximadamente 90 2 metros de altura, 
possui uma base quadrada e suas faces laterais são 
triângulos equiláteros. Nessas condições, pode-se 
afirmar que, em metros, cada uma de suas arestas 
mede: 
a) 90 b) 120 c) 160 d) 180 e) 200 
 
27. (EsSA – 2013) O volume de um tronco de pirâmide 
de 4 dm de altura e cujas áreas das bases são iguais a 
36 dm2 e 144 dm2 vale: 
a) 330 cm3 
b) 720 dm3 
c) 330 m3 
d) 360 dm3 
e) 336 dm3 
28. (EsPCEx – 97) A área da base de uma pirâmide 
quadrangular regular é 36 m2. Se a altura da pirâmide 
mede 4 m, sua área total, em m2, é igual a: 
a) 48 b) 54 c) 96 d) 120 e) 144 
 
29. (EsPCEx – 98) Uma pirâmide quadrangular regular 
tem a por aresta da base e 2a por aresta lateral. A altura 
e o volume dessa pirâmide medem, respectivamente: 
a) 
3a 15 a 15
e
2 3
 
b) 
3a 3 a 3
e
2 6
 
c) 
3a 14 a 14
e
2 6
 
d) 
3a 12 a 10
e
2 3
 
e) 
3a 10 a 15
e
2 3
 
 
30. (EsPCEx – 99) Um pirâmide hexagonal regular tem 
área da base igual a 18 3 m2. Sabendo-se que sua 
altura é igual ao triplo do apótema da base, então seu 
volume é: 
a) 36 m3 
b) 27 3 m3 
c) 36 3 m3 
d) 54 3 m3 
e) 81 3 m3 
 
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31. (EsPCEx – 2000) Aumentando-se em 10% as 
arestas da base e a altura de uma pirâmide regular, seu 
volume será aumentado de: 
a) 10% 
b) 20% 
c) 21% 
d) 30% 
e) 33,1% 
 
32. (EsPCEx – 2001) Uma fábrica produz monitores 
para computador que têm a forma de um bloco 
retangular associado a um tronco de pirâmide, 
conforme o desenho e dimensões abaixo. Os monitores 
são acondicionados para venda em caixas cúbicas, 
com aresta 40 cm, medidos internamente. Os espaços 
vazios da caixa são preenchidos com isopor, para 
proteger o aparelho. Sabendo que a produção diária da 
fábrica é de 300 aparelhos, podemos dizer que o 
consumo diário do isopor em metros cúbicos é de 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
33. (EsPCEx – 2002) Um reservatório com forma de 
tronco de pirâmide regular, representado pela figura 
abaixo, com bases quadradas e paralelas, está repleto 
de água. Deseja-se esvaziá-lo com o auxílio de uma 
bomba de sucção que retira água com uma vazão 
constante. 
 
A vazão, em litros/segundo, que esta bomba deve ter 
para que o reservatório seja esvaziado exatamente em 
1 hora e 40 minutos é: 
a) 12 ℓ/s 
b) 18 ℓ/s 
c) 16 ℓ/s 
d) 14 ℓ/s 
e) 20 ℓ/s 
 
 
 
 
 
34. (EsPCEx – 2009) Para obter o sólido geométrico 
representado abaixo, partiu-se de um cubo de aresta L 
e retirou-se de cada um dos vértices desse cubo uma 
pirâmide de base triangular com as arestas laterais 
medindo L/4, conforme a figura. Denominando-se V o 
volume do cubo a partir do qual foi obtido o sólido, 
pode-se concluir que o volume desse sólido é 
 
a) 
23
V
24
 
b) 
47
V
48
 
c) 
71
V
72
 
d) 
95
V
96
 
e) 
143
V
144
 
 
35. (EsPCEx – 2010) Um reservatório em forma de 
tronco de pirâmide regular de base quadrada e 
dimensões indicadas na figura deverá ter suas paredes 
laterais externas cobertas por uma tinta impermeável, 
cujo rendimento é de 11m² por galão. 
 
O número mínimo de galões que devem ser adquiridos 
para tal operação é: 
a) 6 
b) 7 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
 
 
 
 
 
 
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36. (EsPCEx – 2011) Na figura abaixo, está 
representado um sólido geométrico de 9 faces, obtido a 
partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas 
as arestas desse sólido têm medida , então as 
medidas da altura (distância do ponto V à face ABCD) 
e da superfície total desse sólido são, respectivamente, 
 
a) 
2 2
2
 +
  
 
 e ( )2 3 4+ 
b) 
2 2
2
 +
  
 
 e ( )2
3 5+ 
c) 
3 2
2
 +
  
 
 e 2 3
5
4
 
+  
 
 
d) 
2
2
 
  
 
 e ( )2
3 5+ 
e) 
3
2
 
  
 
 e 2 3
4
4
 
+  
 
 
 
37. (EsPCEx – 2012) Na figura abaixo está 
representado um cubo em que os pontos T e R são 
pontos médios de duas de suas arestas. Sabe-se que 
a aresta desse cubo mede 2 cm. Assim, o volume do 
sólido geométrico definido pelos pontos PQRST, em 
cm3, é 
 
a) 
2
3
 b) 
4
3
 c) 
5
3
 d) 
16
3
 e) 
32
3
 
 
38. (ESPCEX – 2017) Determine o volume (em cm3) de 
uma pirâmide retangular de altura “a” e lados da base 
“b” e “c” (a, b e c em centímetros), sabendo que a + b + 
c = 36 e “a”, “b” e “c” são, respectivamente, números 
diretamente proporcionais a 6, 4 e 2. 
a) 16 
b) 36 
c) 108 
d) 432 
e) 648 
 
 
 
 
39. (AFA - 99) O apótema de uma pirâmide regular, 
com base hexagonal, é 9 3 cm. Se a sua área lateral 
é o triplo da área de sua base, então, o seu volume, em 
cm3, é 
a) 
4
3233
. b) 
4
3581
. c) 381 d) 2324 
40. (AFA - 2000) A distância entre as arestas reversas 
em um tetraedro regular de aresta a e apótema g é 
a) 
2
ag4
22
−
 
b) 
4
ag4
22
−
 
c) 
2
a4g
22
−
 
d) 
4
a4g
22
−
 
 
41. (AFA - 2002) A figura seguinte representa uma 
pirâmide regular de base quadrada, onde M é o ponto 
médiode DE e CM pertence ao plano da base. Se 
m100DE = , m10AB = , m12AC = e m28AM = , então, o 
volume (em m3) de uma esfera cujo raio é 
5
1
da altura 
dessa pirâmide é igual a 
 
a) 4500π b) 3375π c) 2200π d) 1125π 
 
42. (AFA - 2003) Seja P uma pirâmide cujo vértice é o 
centro de uma das faces de um cubo de aresta a e cuja 
base é a face oposta. Então, a área lateral dessa 
pirâmide é igual a 
a) 5a2 b) 3a2
2 c) 3a2 d) 
4
5a2
 
 
43. (AFA - 2004) Uma pirâmide regular de 6 faces 
laterais tem sua base inscrita num círculo de raio R. 
Sabendo-se que suas arestas laterais têm comprimento 
L, então o volume dessa pirâmide é 
a) ( )222 RL3R − 
b) ( )22
2
RL
2
R
− 
c) ( )22
2
RL2
3
R
− 
d) ( )22
2
RL3
2
R
− 
 
 
 
 
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44. (AFA - 2007) Um cubo tem quatro vértices nos 
pontos médios das arestas laterais de uma pirâmide 
quadrangular regular, e os outros quatro na base da 
pirâmide, como mostra a figura abaixo. 
 
A razão entre os volumes do cubo e da pirâmide é 
a) 
4
3
 b) 
2
1
 c) 
8
3
 d) 
8
1
 
 
45. (AFA - 2008) Considere um hexaedro regular S 
onde A, B e C são pontos médios de três de suas 
arestas concorrentes no mesmo vértice. Seja α um 
plano que secciona S nos pontos A, B e C separando-
o em dois sólidos S1 e S2 de volumes V1 e V2, 
respectivamente, onde V1 < V2 
Marque (V) verdadeiro ou (F) falso em cada afirmativa. 
( ) S2 ainda poderia ser dividido em 47 sólidos de 
volume igual a V1 
( ) A área total de S1 é ( )336 + da área total de S 
( ) Se em cada três arestas concorrentes de S forem 
retirados os sólidos com volumes iguais ao do sólido S1, 
então, o volume do sólido restante seria 
aproximadamente igual a 83,33% do volume de S 
 
Tem-se a sequência correta em 
a) V – F – V 
b) F – V – F 
c) F – F – V 
d) V – V – F 
 
46. (AFA - 2009) Ultimamente, vários adereços têm 
sido utilizados em bailes e em festas noturnas. Em 
alguns casos, “lá pelas tantas horas”, são distribuídos 
óculos coloridos, colares, chapéus e plumas. É um dos 
momentos de maior descontração na festa. 
Em geral, acima da pista de dança, é colocado um 
objeto luminoso, chamado “sputinik”. 
Considere um “sputinik” construído do seguinte modo: 
1°) toma-se um cubo de aresta 3p cm 
2°) em cada encontro de três arestas, retira-se um 
tetraedro cuja base é um triângulo equilátero de lado 
2p cm e 
3°) no sólido restante, são acopladas pirâmides 
triangulares de altura 3p3 cm e pirâmides octogonais 
de altura 3p cm; 
ambos os tipos de pirâmides são retas e possuem 
bases 
coincidentes com as faces desse sólido. 
Se o volume desse “sputinik” é xp3 cm3 , então x é um 
número do 
intervalo 
a) [73, 78[ 
b) [78, 83[ 
c) [83, 88[ 
d) [88, 103] 
47. (AFA - 2012) Um sólido maciço foi obtido quando a 
base de uma pirâmide hexagonal regular de altura 6 cm 
foi colada à base de uma pirâmide reta de base 
retangular e altura 3 cm, de forma que 4 dos 6 vértices 
da base da primeira coincidam com os vértices da base 
da segunda, conforme a figura. Desprezando-se o 
volume da cola, se a aresta da base da pirâmide 
hexagonal mede 5 cm, então, o volume do sólido 
obtido, em cm3, é igual a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 315 b) 320 c) 325 d) 330 
 
48. (AFA – 2019) Um objeto de decoração foi elaborado 
a partir de sólidos utilizados na rotina de estudos de um 
estudante de matemática. Inicialmente, partiu-se de um 
cubo sólido de volume igual a 19683 cm3. 
Do interior desse cubo, retirou-se, sem perda de 
material, um sólido formado por dois troncos de 
pirâmide idênticos e um prisma reto, como mostra o 
esquema da figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se que: 
• as bases maiores dos troncos estão contidas em faces 
opostas do cubo; 
• as bases dos troncos são quadradas; 
• a diagonal da base maior de cada tronco está contida 
na diagonal da face do cubo que a contém e mede a 
sua terça parte; 
• a diagonal da base menor de cada tronco mede a 
terça parte da diagonal da base maior do tronco; e 
• os troncos e o prisma têm alturas iguais. 
Assim, o volume do objeto de decoração obtido da 
diferença entre o volume do cubo e o volume do sólido 
esquematizado na figura acima, em cm3 é um número 
do intervalo 
a) [17200,17800] 
b) ]17800,18400] 
c) ]18400,19000] 
d) ]19000,19600] 
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49. (AFA – 2023) Considere um tronco de pirâmide 
obtido de uma pirâmide quadrangular regular. 
Por esse tronco, passa-se um plano α paralelo às bases 
gerando um quadrilátero de área x cm2, tal que: 
• a razão entre a distância da base menor do tronco ao 
plano α e a distância do plano α à base maior do tronco 
é igual a 
3
;
2
 
• a área da base maior do tronco mede 441 cm2; e 
• a área da base menor do tronco mede 64 cm2. 
A área x do quadrilátero, em cm2, é igual a 
a) 
8441
64
 
b) 
12661
81
 
c) 
6241
25
 
d) 
4772
16
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
A) 2, 3, 9, 21, 25, 40, 41, 42, 45 
B) 8, 11, 14, 22, 32, 34, 35, 36, 37, 46, 47 
C) 5, 7, 10, 13, 15, 20, 23, 28, 29, 44, 48, 49 
D) 1, 4, 6, 12, 16, 17, 18, 19, 24, 26, 30, 33, 38, 39, 43 
E) 27, 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONES 
 
1. (EEAr – 2001) Num cone circular reto, cujo raio da 
base mede r, a base é equivalente à secção meridiana. 
A altura desse cone mede 
a) πrg b) 
r
g

 c) πr d) πg 
 
2. (EEAr – 2002) A geratriz de um cone de revolução 
forma com o eixo do cone um ângulo de 45º. A área 
lateral, em dm2, desse cone, sabendo-se que a área de 
sua secção meridiana é 18 dm2, é 
a) 218 b) 29 c) 18π d) ( )1218 + 
 
3. (EEAr – 2003) A área lateral do sólido geométrico 
formado pela rotação de um triângulo equilátero, de 
perímetro 30 cm, em torno de um de seus lados é, em 
cm2, igual a 
a) 100π b) 200π c) 350 d) 3100 
 
4. (EEAr – 2003) A geratriz de um cone de revolução 
mede 6 cm e o ângulo da geratriz com a altura do cone 
é de 30º. O volume desse cone, em cm3, é 
a) 9π b) 33 c) 39 d) 327 
5. (EEAr – 2003) Num triangulo ABC, o maior lado AC
mede 10 cm; o lado menor BC mede 3 cm; e o ângulo 
que eles formam mede 45º. O volume do sólido gerado 
pela rotação de 360º desse triângulo em torno do lado 
maior, em cm3, é 
a) 
2
23 
 b) 23 c) 
2
5
 d) 15π 
 
6. (EEAr – 2004) Sejam dois cones, A e B, de volumes 
V e V’, respectivamente. Se as razões entre os raios 
das bases e entre as alturas de A e B são, 
respectivamente, 2 e 
2
1
, então podemos afirmar que 
a) V’ = V. b) V = 2V’. c) V’ = 2V. d) V = 3V’. 
 
7. (EEAr – 2004) Num cone reto, o raio da base mede 
.cm3 Para que os números que expressam as 
medidas do raio da base, da altura e do volume desse 
cone formem, nessa ordem, uma P.G., a altura, em cm, 
deve ser 
a) 33 b) 3 c) π d) 
3
3
 
 
8. (EEAr – 2004) No tronco de cone reto, as bases são 
paralelas. Se o raio da base maior mede 5 cm e a 
distância entre as duas bases, ,cm34 então o volume 
desse tronco de cone, em cm3, é 
 
a) 
3
3124
 b) 3125 c) 
3
396
 d) 3124 
9. (EEAr – 2005) A área lateral de um cone circular reto 
é 24π cm2.Se o raio da base desse cone mede 4 cm, 
então sua altura, em cm, mede 
a) 25 b) 35 c) 52 d) 53 
 
10. (EEAr – 2006) A base de um cone circular reto está 
inscrita num triângulo equilátero de área 9 3 cm2. Se as 
alturas do cone e do triângulo são congruentes, então 
o volume do cone, em cm3, é 
a) 3π 6 b) 3π 3 c) 6π 3 d) 6π 6 
 
11. (EEAr – 2007) Um chapéu de festa, feito de 
cartolina, tem a forma de um cone de 1 dm de raio e 5 
dm de geratriz. Para fazer 20 chapéus, sãonecessários, no mínimo, ______ dm2 de cartolina. 
Considere π = 3,14. 
a) 157 b) 225 c) 314 d) 426 
 
12. (EEAr – 2007) O raio da base de um cone equilátero 
mede 2 cm. A área lateral desse cone, em cm2, é 
a) 4π b) 5π c) 8π d) 10π 
 
 
13. (EEAr – 2007) Um cilindro equilátero é equivalente 
a um cone, também equilátero. Se o raio da base do 
cone mede 3 cm, o raio da base do cilindro mede, em 
cm, 
a) 3 b) 
3 12
2
 c) 
3 6
2
 d) 6 
 
14. (EEAr – 2009) Em um cone, a medida da altura é o 
triplo da medida do raio da base. Se o volume do cone 
é 8π dm3, a medida do raio da base, em dm, é 
a) 0,5 b) 1,5 c) 2 d) 3 
 
15. (EEAr – 2009) Um triângulo equilátero, de 6 dm de 
lado, gira em torno de um de seus lados. O volume do 
sólido gerado, em dm3, é 
a) 24π b) 36π c) 48π d) 54π 
 
16. (EEAr – 2010) Um cone e um cilindro, ambos 
equiláteros, têm bases de raios congruentes. A razão 
entre as áreas das secções meridianas do cone e do 
cilindro é 
a) 
4 3
2
 b) 
3
4
 c) 
1
3
 d) 
1
2
 
 
17. (EEAr – 2011) O raio da base de um cone equilátero 
mede 2 3 cm. O volume desse cone, em cm3, é 
a) 42 3π 
b) 38 3π 
c) 24π 
d) 18π 
 
18. (EEAr – 2014) Um filtro com a forma de cone 
circular reto, tem volume de 200 cm3 e raio da base de 
5 cm. Usando π = 3, pode-se determinar que sua altura, 
em cm, é igual a 
a) 10 b) 9 c) 8 d) 6 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
GEOMETRIA ESPACIAL - EXERCÍCIOS 
Prof. Wellington Nishio 
19. (EEAr – 2017) O setor circular da figura representa 
a superfície lateral de um cone circular reto. 
Considerando π= 3, a geratriz e o raio da base do cone 
medem, em cm, respectivamente, 
 
a) 5 e 2 b) 5 e 3 c) 3 e 5 d) 4 e 5 
 
20. (EEAr – 2018) A superfície lateral de um cone, ao 
ser planificada, gera um setor circular cujo raio mede 
10 cm e cujo comprimento do arco mede 10π cm. O 
raio da base do cone, em cm, mede 
a) 5 b) 10 c) 5π d) 10π 
 
21. (EEAr – 2019) Uma “casquinha de sorvete” tem a 
forma de um cone circular reto cujas medidas internas 
são 12 cm de altura e 5 cm de diâmetro da base. O 
volume de sorvete que enche completamente essa 
casquinha é _________ π cm3. 
a) 30 b) 25 c) 20 d) 15 
 
22. (EEAr – 2022) A revolução de um triângulo 
equilátero, de 6 cm de lado, em torno de um de seus 
lados, gera um sólido de volume igual a _______π cm3. 
a) 54 b) 48 c) 36 d) 24 
23. (EEAr – 2022) A figura é composta de um cone e 
um cilindro, ambos retos e de mesma base, que estão 
justapostos. Considerando as dimensões dadas, a área 
total da superfície da figura é ________ π cm2. 
 
a) 144 b) 96 c) 84 d) 68 
 
24. (EEAr – 2023) Um copo cônico tem 12 cm de 
profundidade. Se sua capacidade é de 100π cm3, então 
o diâmetro interno da sua borda é _____ cm. 
a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 
 
25. (EsSA – 2010) Um cone reto, de altura H e área da 
base B, é seccionado por um plano paralelo à base. 
Consequentemente, um novo cone com altura 
H
3
é 
formado. Qual a razão entre os volumes do maior e o 
do menor cone, o de altura H e o de altura 
H
3
? 
a) 3 b) 6 c) 9 d) 18 e) 27 
 
26. (EsSA – 2011) Um tanque subterrâneo tem a forma 
de um cone invertido. Esse tanque está completamente 
cheio com 8dm³ de água e 56dm³ de petróleo. Petróleo 
e água não se misturam, ficando o petróleo na parte 
superior do tanque e a água na parte inferior. Sabendo 
que o tanque tem 12m de profundidade, a altura da 
camada de petróleo é 
a) 10m. 
b) 9m. 
c) 8m. 
d) 7m. 
e) 6m. 
 
27. (EsSA – 2014) Dobrando o raio da base de um cone 
e reduzindo sua altura à metade, seu volume 
a) dobra. 
b) quadruplica. 
c) não se altera. 
d) reduz-se à metade do volume original. 
e) reduz-se a um quarto do volume original. 
 
28. (EsSA – 2017) A geratriz de um cone circular reto 
de altura 8 cm é 10 cm; então a área da base desse 
cone é: 
a) 36π cm2. 
b) 9π cm2. 
c) 64π cm2. 
d) 16π cm2. 
e) 25π cm2. 
 
29. (EsPCEx – 97) O volume, em cm3, da esfera inscrita 
em um cone de revolução, cujo raio da base é 5 cm e 
cuja altura é 12 cm, é: 
a) 
100
162

 
b) 
2000
27

 
c) 
3000
108

 
d) 
4000
81

 
e) 
5000
9

 
 
30. (EsPCEx – 97) Um trapézio isósceles, cujas bases 
medem 2 cm e 4 cm e cuja altura é 1 cm, sofre uma 
rotação de 180º em torno do eixo que passa pelos 
pontos médios das bases. O volume, em cm3, do sólido 
gerado por essa rotação é: 
a) 
4
3

 
b) 
5
3

 
c) 2π 
d) 
7
3

 
e) 
8
3

 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
GEOMETRIA ESPACIAL - EXERCÍCIOS 
Prof. Wellington Nishio 
31. (EsPCEx – 99) O sólido geométrico abaixo é 
formado por dois cones circulares retos de mesma 
base. Sabendo-se que a seção que contém os pontos 
A e B é paralela à base comum dos cones e divide todo 
o sólido em duas partes de igual volume, então o valor 
de x3 + y3 é: 
 
a) 96 b) 128 c) 144 d) 162 e) 248 
 
32. (EsPCEx – 2009) Uma esfera de 2 cm de raio é 
colocada no interior de um vaso cônico, conforme a 
figura a seguir. O vaso tem 12 cm de altura e sua 
abertura é uma circunferência com 5 cm de raio. 
Nessas condições, a menor distância (d) entre a esfera 
e o vértice do cone é 
 
a) 3,0 cm b) 3,2 cm c) 3,4 cm d) 3,6 cm e) 3,8 cm 
33. (EsPCEx – 2011) A figura abaixo representa a 
planificação de um tronco de cone reto com a indicação 
das medidas dos raios das circunferências das bases e 
da geratriz. 
A medida da altura desse tronco de cone é 
 
a) 13 cm 
b) 12 cm 
c) 11 cm 
d) 10 cm 
e) 9 cm 
 
34. (EsPCEx – 2013) Um recipiente em forma de cone 
circular reto, com raio de base R e altura h, está 
completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a 
superfície de contato entre os líquidos está inicialmente 
na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de 
uma torneira que permite escoar os líquidos de seu 
interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira 
for aberta, exatamente até o instante em que toda água 
e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida 
a partir do vértice será: 
 
a) 
3 7
h
2
 
b) 
3 7
h
3
 
c) 
3 12
h
2
 
d) 
3 23
h
2
 
e) 
3 23
h
3
 
 
35. (EsPCEx – 2015) Um cone de revolução tem altura 
4 cm e está circunscrito a uma esfera de raio 1 cm. O 
volume desse cone (em cm3) é igual a 
a) 
1
π
3
 b) 
2
π
3
 c) 
4
π
3
 d) 
8
π
3
 e) 3π 
 
36. (EsPCEx – 2017) Corta-se de uma circunferência 
de raio 4 cm, um setor circular de ângulo 
π
rad
2
(ver 
desenho ilustrativo), onde o ponto C é o centro da 
circunferência. Um cone circular reto é construído a 
partir desse setor circular ao se juntar os raios CA e CB. 
O volume desse cone, em cm3, é igual a 
 
a) 
3
π
3
 b) 
3
π
5
 c) 
15
π
3
 d) 
15
π
5
 e) 
5
π
5
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
GEOMETRIA ESPACIAL - EXERCÍCIOS 
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37. (EsPCEx – 2018) O valor da altura de um cilindro 
reto de raio R, cujo volume é aso a dos volumes dos 
sólidos 1 e 2 é 
 
a) 
13
a
12
 b) 
7
a
6
 c) 
5
a
4
 d) 
4
a
3
 e) 
17
a
12
 
 
38. (EsPCEx – 2020) Dado o triângulo equilátero MNP 
de lado x e a reta r que passa pelo vértice M e é paralela 
ao lado NP, o volume do sólido gerado pela rotação 
desse triângulo em torno da reta r é igual a 
a) 
3x
3

 
b) πx3 
c) 
3x
2

 
d) 
33 x
4

 
e) 2πx3 
 
39. (AFA - 98) A razão entre os volumes de dois cones 
equiláteros de alturas h e 2h é 
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/6 d) 1/8 
 
40. (AFA - 2000) Seja um tronco de cone reto com 
altura h e bases de raio R e r (R > r). Retira-se desse 
sólido um cone reto invertido com base coincidente com 
a base menor do tronco e altura h. Se o volume do 
sólido resultante é igual ao volume do sólido retirado, 
então 
a) R2
 
+ Rr – r2= 0 
b) R2
 
+ Rr – 2r2
 
= 0 
c) 2R2
 
– Rr – r2
 
= 0 
d) 2R2
 
+ Rr – 2r2
 
= 0 
 
41. (AFA - 2002) A área total do sólido gerado pela 
rotação do polígono ABCDE em torno do eixo y, que 
contém o lado AE, é, em m2, igual a 
 
a) 144π b) 150π c) 168π d)170π 
 
42. (AFA - 2004) Assinale a alternativa que preenche 
corretamente a lacuna abaixo. O volume do sólido 
gerado pela rotação de 360º da região hachurada da 
figura em torno do eixo é de __________ cm3. 
 
a) 230 b) 
3
224
 c) 374 d) 
3
608
 
 
43. (AFA - 2005) Um recipiente no formato de uma 
superfície de um cone circular reto, conforme figura, 
tem a sua superfície lateral desenvolvida em um 
semicírculo de área igual a 18 cm2. Se tal recipiente, 
em seu interior, armazena um líquido até os 
3
2
 de sua 
altura, pode-se dizer que o volume do líquido 
armazenado, em cm3, é igual a 
 
a) 
3
32
 b) 32 c) 
3
32
 d) 38 
 
44. (AFA - 2007) Num cone reto, a medida do raio da 
base, da altura, e da geratriz estão, nessa ordem, em 
progressão aritmética de razão igual a 1. Sabendo-se 
que a soma destas medidas é 12 dm e que a área total 
da superfície deste cone é igual à área da superfície de 
uma esfera, a medida do raio da esfera, em dm, é 
a) 2 b) 
2
15
 c) 5 d) 6 
 
45. (AFA - 2008) Seja S a região do plano dada por 





−
−
+
02x
2yx
16yx2
 
O volume do sólido gerado pela rotação de 360° de S 
em torno da reta x + 1 = 0 é, em unidade de volume, 
igual a 
a) 208π 
b) 235π 
c) 252π 
d) 316π 
 
 
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46. (AFA - 2010) Considere uma chapa de aço circular 
de espessura desprezível e raio 15 cm. Recortando-se, 
dessa chapa, dois setores circulares de ângulo rad
3
2
cada, e juntando-se em cada um desses setores os 
lados de mesma medida, sem perda de material, 
obtém-se dois objetos em forma de cone. 
Unindo-se as bases desses cones, obtém-se um objeto 
A. 
Dentro desse objeto A foram inseridas esferas de ferro 
cuja área da superfície, de cada uma, é 9 cm2. 
Sabendo-se que foram inseridas a maior quantidade 
possível dessas esferas dentro do objeto A, o espaço 
vago dentro desse objeto, é tal que, seu volume é, em 
cm3, igual a 
(Dado: 41,12 = ) 
a) 2 b)  c) 
2

 d) 
4

 
 
47. (AFA - 2016) Considere a região E do plano 
cartesiano dada por 










+
+
=
0y
0x
1xy
1
3
x
3
y
E . O volume do sólido 
gerado, se E efetuar uma rotação de 270° em torno do 
eixo Ox em unidades de volume, é igual a 
a) 
3
26
 b) 26 c) 
2
13
 d) 
3
13
 
 
48. (AFA – 2018) Considere o sólido geométrico obtido 
pela rotação de 360 º do triângulo ABC em torno da reta 
que passa por C e é paralela ao lado AB . Sabe-se que 
este triângulo é isósceles, com 
AC BC R 2, AB 2R m = = (sendo R uma constante real 
não nula), e que o volume do sólido obtido é 
3
V 4 3 m .π= A medida R, em metros, é igual a 
a) 6 3 b) 3 3 c) 3 9 d) 3 
 
49. (AFA – 2022) Um cone equilátero tem, em seu 
interior, duas esferas tangentes entre si e tangentes ao 
cone, conforme figura a seguir. 
 
A distância do vértice do cone ao ponto de tangência 
entre o cone e a esfera de menor raio é igual a π√3 cm. 
O volume desse cone, em cm3, é igual a 
a) 81π4 
b) 81π3 
c) 243π4 
d) 243π3 
50. (AFA – 2024) Um cone de revolução possui volume 
igual a 128𝜋 cm3. Em sua base inscreve-se um 
hexágono regular de lado 8 cm. 
Considere um cilindro que tenha o mesmo volume e a 
mesma área da base do cone descrito anteriormente. 
A razão entre a altura do cone e a altura do cilindro, 
nessa ordem, ambas na mesma unidade de medida, é 
igual a 
a) 
1
3
 b) 
2
3
 c) 1 d) 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
A) 2, 8, 19, 20, 22, 27, 28, 34, 40, 45, 49 
B) 6, 7, 10, 13, 16, 21, 32, 33, 41, 42, 46 
C) 1, 4, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 23, 24, 36, 38, 47 
D) 3, 5, 15, 29, 30, 31, 35, 39, 43, 44, 48 
E) 25, 26, 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
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ESFERAS 
 
1. (EEAr – 2001) Um plano secciona uma esfera, 
determinando um círculo de raio igual à distância do 
plano ao centro da esfera. Sendo 36π cm2 a área do 
círculo, o volume da esfera, em cm3, é: 
a) 2288 b) 2576 c) 288π d) 576π 
 
2. (EEAr – 2001) Um plano secciona uma esfera, 
determinando um círculo de raio igual à distância do 
plano ao centro da esfera. Sendo 36π cm2 a área do 
círculo, o volume da esfera, em cm3, é: 
a) 2288 b) 2576 c) 288π d) 576π 
 
3. (EEAr – 2002) Se um cilindro reto está circunscrito a 
uma esfera de raio "R", então a razão entre a área da 
superfície esférica e a área total do cilindro é 
a) 1 b) 
2
1
 c) 
3
2
 d) 
5
4
 
 
4. (EEAr – 2002) Um tanque cilíndrico com água tem 
raio da base R. Mergulha-se nesse tanque uma esfera 
de aço e o nível da água sobe .R
16
9
O raio da esfera é 
a) R
4
3
 b) R
16
9
 c) R
5
3
 d) 
2
R
 
 
5. (EEAr – 2003) Se um cubo está inscrito em uma 
esfera de m3 de raio, então o volume do cubo, em m3, 
é igual a 
a) 8 b) 27 c) 312 d) 324 
 
6. (EEAr – 2004) Um vaso tem formato de um cilindro 
reto, de 16 cm de altura interna e 6 cm de diâmetro 
interno. Ele contém água até 
3
1
de sua altura. 
Acrescentando-se uma quantidade de água 
equivalente ao volume de uma esfera de 6 cm de 
diâmetro, o nível de água subirá 
a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 6 cm 
 
7. (EEAr – 2005) Considere as afirmações: 
I- A esfera é um sólido gerado pela rotação de uma 
semicircunferência em torno de seu diâmetro. 
II- A esfera é um sólido gerado pela rotação de um 
semicírculo em torno de seu diâmetro. 
III- Nem toda secção plana de uma esfera é um círculo. 
IV- Toda secção plana de uma esfera é um círculo. 
São FALSAS as afirmações 
a) I e IV. 
b) I e III. 
c) II e III. 
 d) II e IV. 
 
8. (EEAr – 2006) Uma esfera tem 36π m3 de volume. A 
medida de sua superfície, em m2, é 
a) 72π 
b) 56π 
c) 48π 
d) 36π 
 
 
9. (EEAr – 2007) Um reservatório, com volume igual a 
144π m3, tem a forma de uma semi-esfera. Para 
aumentar seu volume em 342π m3, é preciso aumentar 
o raio do reservatório em 
a) 12 m 
b) 9 m 
c) 6 m 
d) 3 m 
 
10. (EEAr – 2008) Uma esfera tem 100π cm2 de área. 
Se diminuirmos o raio dessa esfera em t cm, sua área 
passa a ser 64π cm2. Logo, o valor de t é 
a) 4. 
b) 3 
c) 2. 
d) 1. 
 
11. (EEAr – 2008) Considere duas esferas: a primeira 
com 16π cm2 de área, e a segunda com raio igual a 5/2 
do raio da primeira. A área da segunda esfera, em cm2, 
é 
a) 100π 
b) 50π 
c) 40π 
d) 20π 
 
12. (EEAr – 2008) Uma esfera tem 9π cm2 de área. 
Para que a área passe a 100π cm2, o raio deve ter sua 
medida aumentada em 
a)
70
%
9
 
b) 
70
%
3
 
c) 
700
%
9
 
 d) 
700
%
3
 
 
13. (EEAr – 2011) A cuba de uma pia tem a forma de 
uma semiesfera de 3 dm de raio. A capacidade dessa 
cuba é ____π litros. 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 18 
 
14. (EEAr – 2012) Uma Escola de Samba carregou, em 
um de seus carros alegóricos, uma imensa esfera de 5 
m de raio. O pintor da Escola disse que gastou 10 litros 
de tinta para pintar cada 157 m2 da superfície da esfera. 
Considerando π = 3,14, o número de litros de tinta que 
foram gastos para pintar toda a superfície da esfera foi 
a) 16 
b) 18 
c) 20 
d) 22 
 
15. (EEAr – 2014) Considerando π = 3, utilizando 
108 cm3 de chumbo pode-se construir uma esfera de 
_____ cm de diâmetro. 
a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
GEOMETRIA ESPACIAL - EXERCÍCIOS 
Prof. Wellington Nishio 
16. (EEAr – 2015) Uma esfera de raio R = 3 cm foi 
cortada ao meio, gerando duas semiesferas. A área da 
superfície de cada semiesfera é _____ π cm2. 
 
a) 20 b) 22 c) 25 d) 27 
 
17. (EEAr – 2016) Na ilustração a seguir, são 
apresentadas duas situações. Na primeira, o cilindro 
contém um líquido que atinge uma altura h. Inserindo-
se uma esfera de 3 cm de raio nesse mesmo cilindro, o 
nível do líquido aumenta, conforme situação 2. O novo 
volume, determinado pelo líquido somado à esfera, 
totaliza 588cm3. Considerando π = 3 e o raio da base 
do cilindro igual a 4 cm, a medida da altura h 
corresponde a ______ cm. 
 
a) h = 8 b) h = 10 c) h = 16 d) h = 32 
 
18. (EEAr – 2016) Uma esfera inscrita em um cubo de 
diagonal 2 3 m tem o volume igual a 
a) 3π
m
3
 b) 32π
m
3
 c) 34π
m
3
 d) 332π
m
3
 
 
19. (EEAr – 2017) Um escultor irá pintar 
completamente a superfície de uma esfera de 6 m de 
diâmetro, utilizando uma tinta que, para essa superfície, 
rende 3 m2 por litro. Para essa tarefa, o escultor 
gastará, no mínimo, _____ litros de tinta. (Considere 
π = 3) 
a) 18 
b) 24 
c) 36 
d) 48 
 
20. (EEAr – 2017) Uma esfera está inscrita num cilindro 
equilátero cuja área lateral mede 16π cm². O volume da 
esfera inscrita é 
a) 8π 
b) 16π 
c) 
32
π
3
 
d) 
256
π
3
 
 
 
21. (EEAr – 2017) Considere um recipiente em forma 
de cubo, completamente cheio de água. Se três esferas 
metálicas de 1 cm de raio forem colocadas dentro do 
recipiente, o volume de água que será derramado será 
de ______ π cm3. 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
22. (EEAr – 2018) Uma esfera E foi dividida em 3 
partes: A, B e C, como mostra o desenho. Se os 
volumes dessas partes são tais que: V(A) = V(B) =
( )V C
2
e V(C) = 486π cm3, então o raio da esfera é 
_____ cm. 
 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 
 
23. (EEAr – 2020) Em um recipiente cúbico vazio, 
foram colocadas 1000 esferas idênticas, sem que elas 
ultrapassassem as bordas desse recipiente. Em 
seguida, verificou-se que o volume do cubo não 
ocupado pelas esferas era de 4 dm3. Se internamente 
as arestas do recipiente medem 20 cm, o volume de 
cada esfera é ______cm3. 
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 
 
24. (EEAr – 2023) Uma esfera foi seccionada em 3 
partes. Se o volume de cada parte é 96π cm3, o raio 
dessa esfera mede ______ cm. 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 
 
25. (EEAr – 2023) Sejam E1 e E2 duas esferas de raios 
R1 e R2, respectivamente. Se 3
2
R 10= cm e se o 
volume de E2 é igual a 64% do volume de E1, então o 
valor de R1, em cm, é ______. 
a) 3 b) 2,5 c) 3 15 d) 3 20 
 
26. (EsSA – 2006) Duas esferas de raios 3 cm e 
3 51cm fundem-se para formar uma esfera maior. Qual 
é o raio da nova esfera? 
a) 3 78 
b) 3 36 
c) 3 68 
d) 3 104 
e) 3 26 
 
27. (EsSA – 2020) A área da superfície de uma esfera 
é 144π cm2. O volume da esfera é igual a: 
a) 216π cm3. 
b) 288π cm3. 
c) 2304π cm3. 
d) 162π cm3. 
e) 72π cm3. 
 
 
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GEOMETRIA ESPACIAL - EXERCÍCIOS 
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28. (EsPCEx – 98) Considere as proposições abaixo: 
I) O volume V de um cilindro equilátero de raio r é 
V = 4πr3. 
II) O volume de um cubo de área total 600 cm2 é 
1000 cm3. 
III) Quando o raio de uma esfera aumenta 100%, o 
volume da esfera aumenta 700%. 
IV) Uma reta r e um plano α são perpendiculares a uma 
outra reta t, em pontos distintos, então r e α são 
paralelos. 
Dentre as proposições acima somente é/são falsa(s) 
a(s): 
a) I 
b) II 
c) I e III 
d) I e IV 
e) III e IV 
 
29. (EsPCEx – 2002) Denomina-se rolamento a um 
dispositivo mecânico constituído por dois anéis em 
forma de casca cilíndrica e um conjunto de esferas. 
Desejando obter o volume de uma das esferas de aço 
que compõe o rolamento dado na figura 1, sem 
desmontá-lo, e não dispondo de todos os instrumentos 
necessários para executar as medições, um estudante 
executou os seguintes procedimentos: 
a. Com os instrumentos de que dispunha, mediu o anel 
interno, em forma de casca cilíndrica, obtendo 3,46 cm 
para o diâmetro interno, 4 cm para o diâmetro externo 
e 1 cm para altura; 
b. Repetiu as operações para o anel externo, anotou as 
medidas e calculou o volume, obtendo 3,8 cm3; 
c. Lembrando o princípio de Arquimedes, que afirma 
que o volume de um objeto imerso num recipiente com 
líquido corresponde à variação do volume do líquido, 
colocou água numa proveta graduada em cm3, 
conforme a figura 2, mergulhou o rolamento na água e 
obteve a leitura indicada na figura 3. 
 
Nessas condições pode-se afirmar que o valor que 
mais se aproxima do volume de cada 
esfera, em cm3, é: 
Aproximações aceitas: 
1,732  3; 3,462  12; π  3,1 
a) 3,4 
b) 4,6 
c) 3,8 
d) 4,2 
e) 5,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
30. (EsPCEx – 2014) Considere uma laranja que tem a 
forma de uma esfera de raio 4 cm, composta de 12 
gomos exatamente iguais. A superfície de cada gomo 
mede: 
a) 
π
3
24
cm
3
 
b) 
π
3
24
cm
9
 
c) 
π
2
24
cm
3
 
d) 
π
2
24
cm
9
 
e) π
3 24 cm 
 
31. (EsPCEx – 2018) A angioplastia é um procedimento 
médico caracterizado pela inserção de um cateter em 
uma veia ou artéria com o enchimento de um pequeno 
balão esférico localizado na ponta desse cateter. 
Considerando que, num procedimento de angioplastia, 
o raio inicial do balão seja desprezível e aumente a uma 
taxa constante de 0,5 mm/s até que o volume seja igual 
a 500 mm3, então o tempo, em segundos, que o balão 
leva para atingir esse volume é 
a) 10 
b)
π
3
5
10 
c) 
π
3
2
10 
d) π310 
e) 
π
3
3
10 
 
32. (EsPCEx – 2019) O volume de uma esfera inscrita 
em um cubo com volume 216 cm3 é igual a 
a) 36π cm3 
b) 38π cm3 
c) 34π cm3 
d) 32π cm3 
e) 30π cm3 
 
33. (EsPCEx – 2021) Calculando-se o volume de uma 
esfera circunscrita a um cone equilátero cujo raio da 
base mede 3 cm, obtém-se 
a) 
π 38
cm
3
 
b) 
π 34
cm
3
 
c) 
π 316
cm
3
 
d) 
π 364
cm
3
 
e) 
π 332
cm
3
 
 
 
 
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GEOMETRIA ESPACIAL - EXERCÍCIOS 
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34. (EsPCEx – 2022) Um cubo com área total de 96 
cm2 está circunscrito a uma esfera. O volume dessa 
esfera é igual a 
a) π
256
3
cm3. 
b) 16π cm3. 
c) π
64
3
cm3. 
d] π
32
3
cm3. 
e) π
16
3
cm3. 
 
35. (AFA - 98) A relação entre o raio da esfera inscrita, 
e o da esfera circunscrita a um tetraedro regular é 
a) 1/3 
b) 3/4 
c) 1/4 
d) 2/3 
 
36. (AFA - 2000) A razão entre os volumes das esferas 
inscrita e circunscrita em um cone equilátero é 
a) 1/16 
b) 1/8 
c) 1/4 
d) 1/2 
 
37. (AFA - 2003) Na figura seguinte, tem-se uma esfera 
de maior raio contida num cone reto e tangente ao 
plano da base do mesmo. Sabe-se que o raio da base 
e a altura desse cone são, respectivamente, iguais a 6 
cm e 8 cm. A metade do volume da região do cone 
exterior à esfera é, em cm3, igual a 
 
 
a) 66π b) 48π c) 30π d) 18π 
 
38. (AFA - 2004) Uma esfera de 10 cm de raio e um 
cone reto de 10 cm de raio da base e altura 20 cm, 
estão situados sobre um plano α. A distância x, de um 
plano  paralelo ao plano α, tal que as áreas das 
secções obtidas pela intercessão do plano  com os 
sólidos, esfera e cone, sejam iguais, é, em cm, igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
 
 
 
39. (AFA - 2007) Considere um triângulo retângulo 
inscrito em uma circunferência de raio R, tal que a 
projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa mede, 
em cm, ( )1m
m
R
 . 
Considere a esfera gerada pela rotação desta 
circunferência em torno de um de seus diâmetros. O 
volume da parte desta esfera, que não pertence ao 
sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da 
hipotenusa, em cm3, é dado por 
a) π
2
32 m 1
R
3 m
− 
 
 
 
b) π
2
32 m 1
R 1
3 m
+ 
− 
 
 
c) π
2
32 m 1
R
3 m
+ 
 
 
 
d) π
2
32 m 1
R 1
3 m
 − 
+  
   
 
 
40. (AFA – 2020) Um sistema de irrigação para plantas 
é composto por uma caixa d’água, em formato de cone 
circular reto, interligada a 30 esferas, idênticas. 
O conteúdo da caixa d’água chega até as esferas por 
encanamentos cuja capacidade de armazenamento é 
desprezível. 
O desenho a seguir ilustra a ligação entre a caixa 
d’água e uma das 30 esferas, cujo raio interno mede 
π
1
3r dm
−
= 
 
Se a caixa d’água está cheia e as esferas, bem como 
os encanamentos, estão vazios, então, no momento em 
que todas as 30 esferas ficarem cheias, restará, no 
cone, apenas a metade de sua capacidade total. 
Assim, aárea lateral de um cone equilátero cujo raio da 
base é congruente ao da caixa d’água, em dm2, é igual 
a 
a) 80 
b) 40 
c) 20 
d) 10 
 
 
 
 
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GEOMETRIA ESPACIAL - EXERCÍCIOS 
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41. (AFA – 2021) Sejam as curvas λ: x2 + y2 = r2 e 
β: y2 – x2 = 4 tangentes em dois pontos distintos do 
plano cartesiano. 
Considere S o conjunto de pontos P(x, y) tais que 
x2 + y2 ≤ r2. 
Se for realizada uma rotação de 90º dos pontos de S 
em torno de uma das assíntotas de β, então o sólido 
formado tem uma superfície cuja área total, em unidade 
de área, mede 
a) 
π16
3
 
b) 8π 
c) 12π 
d) 16π 
 
42. (AFA – 2021) Considere a figura a seguir. 
 
Nela está representada a inscrição de uma esfera num 
cubo que, por sua vez, está inscrito num cone 
equilátero, de tal forma que uma de suas faces está 
apoiada na base do cone e os vértices da face oposta 
estão na lateral do cone. 
A projeção ortogonal do vértice do cone à sua base 
contém dois pontos de tangência da esfera com o cubo. 
Se R e r são, respectivamente, as medidas do raio da 
base do cone e do raio da esfera, em cm, então 
a) 
R 3 2 3
r 3
+
= 
b) 
r 3 2 2 3
R 2
−
= 
c) 
R 2 6 3 2
r 3
+
= 
d) 
r 2 6 3 2
R 2
−
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
A) 2, 4, 5, 11, 23, 26, 28, 35, 40 
B) 1, 6, 7, 15, 17, 21, 22, 25, 27, 30, 32, 36, 42 
C) 3, 14, 18, 19, 20, 24, 37, 38 
D) 8, 9, 10, 12, 13, 16, 29, 34, 39, 41 
E) 31, 33