Probabilidade

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Fundamentos de Probabilidade
Prof. Msc Caio Oliveira Azevedo
DCE0095 - INT. À ESTATÍSTICA ECONÔMICA
26 de junho de 2023
Introdução Teoria dos Conjuntos Modelo Probabilístico Análise Combinatória Atribuição
“Vemos que a teoria da probabilidade é no fundo somente o senso comum
reduzido ao cálculo; ela nos faz apreciar com exatidão o que mentes pen-
santes percebem como que por instinto, muitas vezes sem se dar conta
disso. (...) É extraordinário que esta ciência, que surgiu da análise de jo-
gos de azar, tenha se tornado o mais importante objeto do conhecimento
humano. (...) As mais importantes questões da vida são na verdade, em
sua grande maior, apenas problemas de probabilidade.”
Pierre-Simon (Marquês de Laplace)
Introdução Teoria dos Conjuntos Modelo Probabilístico Análise Combinatória Atribuição
O que é Probabilidade
CONCEITO
INTUIÇÃO
DIFUNDIDO
Introdução Teoria dos Conjuntos Modelo Probabilístico Análise Combinatória Atribuição
O que é Probabilidade?
Encontramos, na natureza, muitas situações que envolvem incertezas;
Elas são denominadas de fenômenos ou experimentos aleatórios;
A busca por avaliar as diversas probabilidades de ocorrência é um dos
objetivos no estudo desses fenômenos.
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Conclusão
A Teoria da Probabilidade é a base sobre a qual a Estatística é desen-
volvida, fornecendo um meio para modelar populações, experimentos ou,
praticamente, qualquer outra coisa que possa ser considerada como um
fenômeno aleatório.
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Resumo
Teoria das Probabilidades: Modelagem de fenômenos aleatórios;
Probabilidade: Medida de incerteza da ocorrência de um evento.
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Resumo
Introdução Teoria dos Conjuntos Modelo Probabilístico Análise Combinatória Atribuição
Modelo Probabilístico: definições
Experimento aleatório: aquele que produz resultados diferentes
quando realizado sob as mesmas circunstâncias;
Ex: lançamento de um dado e a observação da face de cima.
Espaço amostral (S): conjunto de todos os resultados possíveis de
um experimento aleatório
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento: Subconjunto do espaço amostral;
A: o resultado ser par;
A = { 2, 4, 6}
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Exemplo 1
Considere o experimento aleatório de lançar dois dados idênticos e
observar a soma dos resultados obtidos;
O espaço amostral é:
S = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 }
O que é mais provável de ocorrer: soma 7 ou soma 12?
Soma 12
(6, 6)
Soma 7
(1, 6) , (2, 5) , (3, 4) , (4, 3) , (5, 2) , (6, 1)
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Exemplo 1
Introdução Teoria dos Conjuntos Modelo Probabilístico Análise Combinatória Atribuição
Exemplo Ilustrativo
Evento A : a soma é maior que 9
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Definição Axiomática de Probabilidade
A ideia de definir probabilidade por meio de axiomas vem do desejo
de tratar o assunto de maneira mais rigorosa;
Estabelecer axiomas significa estabelecer um conjunto de regras, que
devem ser no menor número possível;
O conjunto de axiomas, entretanto, deve ser completo, na medida em
que qualquer afirmação envolvendo probabilidades possa ser demons-
trada utilizando apenas esses axiomas.
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Axiomas da Probabilidade
Def.
Probabilidade é uma função:
p : S ⇒ [0, 1],
∑
x∈S
p(x) = 1
i. 0 ≤ p(x) ≤ 1
ii. p(S) = 1
iii. Sejam A e B eventos disjuntos, então:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
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Introdução aos Conjuntos
A fim de expor os conceitos básicos do modelo probabilístico que desejamos
desenvolver, será conveniente conhecer algumas ideias e conceitos e teoria
matemática dos conjuntos.
Um conjunto é uma coleção de objetos. Usualmente, conjuntos são repre-
sentados por letra maiúsculas A, B etc. Existem três maneiras de descrever
que objetos estão contidos no conjunto A:
a) Poderemos fazer uma lista dos elementos de A. Tal como:
A = {1, 2, 3, 4}
b) Poderemos descrever o conjunto A por meio de palavras.
"A é formado de todos os números reais entre 0 e 1, inclusive."
c) Ou também, poderemos descrever o mesmo conjunto acima de tal
forma:
A = {x | 0 ≤ x ≤ 1}
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Introdução aos Conjuntos
Os objetos que individualmente formam a coleção ou conjunto A são
denominados membros ou elementos de A.
Quando "a" for um elemento de A escreveremos:
a ∈ A
Quando "a" não for um elemento de A escreveremos:
a /∈ A
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Introdução aos Conjuntos
Existem dois conjuntos especiais que, frequentemente, nos interessarão.
Em muitos problemas nos dedicaremos a estudar um conjunto definido de
objetos, e não outros. Assim, focaremos nos denominados:
Conjuntos fundamental: é o conjunto de todos os objetos que es-
tejam sendo estudados.
Conjunto vazio: ou conjunto nulo, é o conjunto que não contém
qualquer elemento.
Exemplo: Suponha que o conjunto seja descrito como o conjunto de todos
os números reais x , que satisfaçam à equação x2 + 1 = 0. Logo:
A = ∅
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Introdução aos Conjuntos
Pode acontecer que, quando dois conjuntos A e B seja considerados,
ser elemento de A implique ser elemento de B.
Nesse caso, diremos que A é um subconjunto de B, e escreveremos
A ⊂ B
Diremos que dois conjuntos constituem o mesmo conjunto, quando:
A = B ⇐⇒ A ⊂ B e B ⊂ A
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Introdução aos Conjuntos
As duas seguintes propriedades do conjunto vazio e do conjunto funda-
mental são imediatas:
Para todo conjunto A, temos que ∅ ⊂ A.
Desde que se tenha definido o conjunto fundamental (U), então, para
todo conjunto A, considerado na composição de U, teremos que
A ⊂ U.
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Combinação entre conjuntos
Há duas operações fundamentais, e essas operações se assemelham, em
certos aspectos, às operações de adição e multiplicação de números.
Sejam dois conjuntos A e B:
Definiremos C como a união de A e B (algumas vezes denominada a
soma de A e B) da seguinte maneira:
C = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Definiremos D como a interseção de A e B (algumas vezes denomi-
nada o produto de A e B) da seguinte maneira:
D = {x | x ∈ A e x ∈ B}
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O complemento de um conjunto
O conjunto denotado por Ā ou Ac , constituído por todos os elementos
que não estejam em A (mas que estejam no conjunto fundamental
U) é denominado complemento de A. Isto é:
Ā = {x | x /∈ A}
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Algumas leis fundamentais
Leis comutativas:
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
Leis associativas:
A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
Leis de Morgan:
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
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Algumas relações básicas de probabilidade
Regra da adição de probabilidade
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
A B
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Eventos mutuamente exclusivos
Def.
Dois eventos são considerados mutuamente exclusivos (ou disjuntos) se
não tiverem nenhum ponto amostral em comum. Ou seja, os eventos A e
B são mutuamente exclusivos se, quando um evento ocorre, o outro não
pode ocorrer.Assim a regra da adição de probabilidade fica conforme o terceiro
axioma de probabilidade:
A ∩ B = ⊘ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
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Exemplo Ilustrativo
Evento A : a soma é maior que 9
Evento B : a soma é um número primo
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Algumas relações básicas de probabilidade
Probabilidade do complementar de um evento
P(Ac) = 1 − P(A)
A B
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Probabilidade Condicional
Sejam A,B ⊂ S .
Qual a probabilidade de ocorrer B, dado que ocorreu A?
A B
(a) P(A)
A B
(b) P(A ∩ B)
P(B|A) = P(A ∩ B)
P(A)
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Exemplo Ilustrativo
Calcule P(B|A)
P(B|A) = P(A ∩ B)
P(A)
=
P(11)
P(10) + P(11) + P(12)
=
2
36
6
36
=
2
6
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Definições básicas
Regra do produto de probabilidade
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)
Retornando ao exemplo do lançamentos de dois dados idênticos, o
que é mais provável soma 7 ou soma 12?
Usando a regra do produto de probabilidade temos:
P(x1 ∩ x2) = P(x1) · P(x2|x1)
Soma P(x1) P(x2|x1) P(x1 ∩ x2)
7 6/6 1/6 6/36
12 1/6 1/6 1/36
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Exemplo
P(x1 ∩ x2) = P(x1) · P(x2|x1)
Soma P(x1) P(x2|x1) P(x1 ∩ x2)
2 1/6 1/6 1/36
3 2/6 1/6 2/36
4 3/6 1/6 3/36
5 4/6 1/6 4/36
6 5/6 1/6 5/36
7 6/6 1/6 6/36
8 5/6 1/6 5/36
9 4/6 1/6 4/36
10 3/6 1/6 3/36
11 2/6 1/6 2/36
12 1/6 1/6 1/36
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Exercícios propostos
1. Em um lote de 12 peças, quatro são defeituosas. Sendo retirada uma
peça, calcule:
a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa.
b) a probabilidade de essa peça não ser defeituosa.
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Exercícios propostos
2. No lançamento de dois dados honestos, calcule a probabilidade de se
obter soma maior ou igual a 10.
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Exercícios propostos
3. Um lote é formado por dez peças boas, três com defeitos e uma
com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a
probabilidade de que:
a) ela não tenha defeitos graves;
b) ela não tenha defeitos;
c) ela seja boa ou tenha defeitos graves.
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Exercícios propostos
4. Um restaurante popular apresenta dois tipos de refeições: salada com-
pleta ou um prato à base de carne. Considere que 30% dos fregueses
do sexo masculino preferem a salada, 25% das mulheres escolhem
carne, 60% dos fregueses são homens e os seguintes eventos:
H: freguês é homem;
M: freguês é mulher;
A: freguês prefere salada;
B: freguês prefere carne.
Calcule:
a) P(H)
b) P(A|H)
c) P(B|M)
d) P(A ∩ H)
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Exercícios propostos
5. Uma determinada cidade está fazendo um levantamento sobre o nú-
mero de empregados e desempregados. A tabela abaixo mostra o
número de homens e mulheres com emprego e sem emprego:
Mulheres Homens
Com emprego 96 72
Sem emprego 24 8
Com base nessas informações, responda:
a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente nessa
cidade ser mulher, dado que está sem emprego?
b) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente nessa
cidade estar empregada, dado que é homem?
c) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente nessa
cidade ser uma mulher com emprego?
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Análise Combinatória
Muitos problemas na Teoria da Probabilidade podem ser resolvidos
simplesmente contando-se o número de diferentes maneiras pelas quais
certo evento pode ocorrer.
A teoria matemática da contagem é formalmente conhecida como
análise combinatória.
Adotaremos três regras úteis de contagem, são elas:
Princípio básico da contagem;
Combinações;
Permutações;
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Princípio Básico da Contagem
Def.
Se um experimento pode ser descrito como uma sequência de k etapas
com n1 resultados possíveis na primeira etapa, n2 resultados possíveis na
segunda etapa, e assim por diante, o número total de resultados experi-
mentais será dado por (n1) · (n2) · · · (nk)
Ex:
Considere o experimento aleatório de lançar dois dados idênticos e observar
os resultados obtidos nas faces voltadas para cima dos dois dados. Quantos
resultados experimentais são possíveis para este experimento?
1ª etapa 2ª etapa 6 · 6 = 36 resultados possíveis6 resultados 6 resultados
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Diagrama de árvore
É uma representação gráfica que ajuda a visualizar um experimento em
múltiplas etapas. Com a sequência de etapas se deslocando da esquerda
para a direita ao longo do diagrama.
Ex: lançamento de duas moedas;
Cara
Cara - (K,K)
1
2
Coroa - (K,R)
1
2
1
2
Coroa
Cara - (R,K)
1
2
Coroa - (R,R)
1
2
1
2
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Combinações
Uma segunda regra útil de contagem nos permite contar o número
de resultados experimentais quando o experimento envolve escolher
k objetos de um conjunto de N objetos. Ela é denominada regra de
contagem de combinações.
Regra de Contagem para combinações
O número de combinações de N objetos considerados k de cada vez é:
CN,k =
(
N
k
)
=
N!
k!(N − k)!
onde:
N! = N(N − 1)(N − 2) · · · (2)(1)
k! = k(k − 1)(k − 2) · · · (2)(1)
e por definição:
0! = 1
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Combinações - Exemplo:
Considere um procedimento de controle da qualidade em que um
inspetor seleciona aleatoriamente duas de cinco peças para testar se
há defeitos. Em um grupo de cinco peças, quantas combinações de
duas peças podem ser selecionadas?
Assim, N = 5 e k = 2 e portanto:
C5,2 =
(
5
2
)
=
5!
2!(3)!
=
5 × 4 × 3!
2 × 1 · 3!
= 10
Se rotularmos as cinco peças como A, B, C, D e E, as dez combina-
ções, ou resultados experimentais, podem ser identificados como AB,
AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE e DE.
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Permutações
Uma terceira regra de contagem que às vezes é útil é a de conta-
gem de permutações. Ela permite a uma pessoa calcular o número
de resultados experimentais quando k objetos são escolhidos de um
conjunto de N objetos em que a ordem de escolha é importante. Os
mesmos k objetos escolhidos em uma ordem diferente são considera-
dos um resultado experimental diferente.
Regra de Contagem para permutações
O número de permutações de N objetos,tomados k a cada vez, é dado
por:
PN,k = k!
(
N
k
)
=
N!
(N − k)!
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Exercícios propostos
1. Um experimento tem três etapas com três resultados possíveis para
a primeira etapa, dois resultados possíveis para a segunda etapa e
quatro resultados possíveis para a terceira etapa. Quantos resultados
experimentais existem para o experimento como um todo?
2. De quantas maneiras três itens podem ser selecionados a partir de um
grupo de seis itens? Use as letras A, B, C, D, E e F para identificar os
itens e relacione cada uma das diferentes combinações dos três itens.
3. Quantas permutações de três itens podem ser selecionadas de um
grupo de seis? Use as letras A, B, C, D, E e F para identificar os itens
e relacione cada uma das permutações dos itens B, D e F.
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Atribuiçãode probabilidades
As três abordagens usadas com maior frequência para atribuição de
probabilidades são:
i. MÉTODO CLÁSSICO;
ii. MÉTODO DE FREQUÊNCIA RELATIVA;
iii. MÉTODO SUBJETIVO.
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Método Clássico (Modelo Equiprovável)
Def.
O método clássico de atribuição de probabilidades é apropriado quando
todos os resultados experimentais são igualmente prováveis. Se n resulta-
dos experimentais são possíveis, a probabilidade de 1/n é atribuída a cada
resultado experimental
Ex: Lançamento, uma única vez, de um dado, em forma de cubo,
honesto, com faces numeradas de 1 a 6.
Possíveis Resultados do Experimento?
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Probabilidade associada a cada possível resultado?
Pi =
1
6
, i = 1, · · · , 6
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Método de frequência relativa
Def.
O método da frequência relativa para a atribuição de probabilidades é apro-
priado quando se tem dados disponíveis para estimar a proporção de vezes
em que o resultado experimental ocorrerá se o experimento for repetido
inúmeras vezes.
Ex: Considere um estudo sobre o tempo de espera no setor de raios
X de um hospital municipal. Um atendente registrou o número de
pacientes à espera de atendimento às 9 horas em 20 dias consecutivos
e obteve os seguintes resultados:
Nº de pessoas esperando Nº de dias que em que o resultado ocorreu
0 2
1 5
2 6
3 4
4 3
Total 20
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Método de frequência relativa
Logo, as probabilidades atribuídas a cada um dos resultados experi-
mentais são:
Nº de pessoas esperando Probabilidade atribuída por frequência relativa
0 0,10
1 0,25
2 0,30
3 0,20
4 0,15
Total 1
Observe que o uso do método de frequência relativa satisfaz automa-
ticamente os requisitos básicos para a atribuição de probabilidades,
que são:
A probabilidade atribuída a cada um dos resultados experimentais deve
ser entre 0 e 1;
A soma das probabilidades de todos os resultados experimentais deve
ser igual a 1.
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Método subjetivo
O método subjetivo de atribuição de probabilidades é o mais apropri-
ado quando não se pode presumir realisticamente que os resultados
experimentais são igualmente prováveis e quando poucos dados rele-
vantes estão disponíveis;
Quando o método subjetivo é usado para atribuir probabilidades aos
resultados experimentais podemos usar qualquer informação disponí-
vel, como nossa experiência ou intuição;
Depois de considerarmos todas as informações disponíveis, especifi-
camos um valor probabilístico que expresse nosso grau de confiança
(em uma escala de 0 a 1) de que o resultado experimental ocorrerá;
Quando se usa o método subjetivo, pode-se esperar que diferentes
pessoas atribuam diferentes probabilidade ao mesmo resultado expe-
rimental.
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Método subjetivo
Considere o exemplo de um casal que faz uma oferta para compra de
uma casa. Observe que são dois resultados possíveis:
E1 = sua oferta é aceita
E2 = sua oferta é rejeitada
Gisele acredita que a probabilidade de sua oferta ser aceita é de 80%.
Logo, ela estabelece que:
P(E1) = 0, 8 P(E2) = 0, 2
Já Tom acredita que a probabilidade de sua oferta ser aceita é de
60%. Logo, ele estabelece que:
P(E1) = 0, 6 P(E2) = 0, 4
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Método subjetivo
Observe que tanto Gisele como Tom atribuíram probabilidades que
satisfazem os dois requisitos básicos;
O fato de suas estimativas de probabilidade serem diferentes enfatiza
a natureza pessoal do método subjetivo;
Mesmo em situações de negócios em que a abordagem clássica ou a
de frequência relativa podem ser aplicada, os gestores podem produzir
estimativas de probabilidade subjetivas;
Nesses casos, as melhores estimativas de probabilidade frequente-
mente são obtidas combinado-se as estimativas obtidas da abordagem
clássica ou de frequência relativa com as estimativas de probabilidades
subjetivas (Teorema de Bayes)1.
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Exercícios propostos
1. Considere o experimento de lançar uma moeda três vezes.
a) Desenvolva um diagrama em árvore para o experimento.
b) Relacione os resultados experimentais.
c) Qual é a probabilidade de cada resultado experimental?
2. Suponha que um experimento tenha cinco resultados igualmente pro-
váveis: E1, E2, E3, E4 e E5. Atribua probabilidades a cada resultado e
demonstre que os requisitos básicos para atribuição de probabilidades
foram satisfeitos. Qual método você usou?
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Exercícios propostos
3. Um experimento com três resultados foi repetido 50 vezes e soube-
se que E1 ocorria 20 vezes; E2 13 vezes; e E3 17 vezes. Atribua
probabilidades aos resultados. Qual método você usou?
4. Um tomador de decisões atribuiu subjetivamente as seguintes proba-
bilidade aos quatro resultados de uma experimento: P(E1) = 0, 10,
P(E2) = 0, 15, P(E3) = 0, 40 e P(E4) = 0, 20. Estas atribuições de
probabilidades são válidas? Explique.
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