Seminário Amortecimento

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Amortecimento em sistemas mecânicos
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
Disciplina: Monitoramento e Simulação em Processos de Usinagem
Autor: Aluno de Mestrado Everton Ruggeri Silva Araújo
Orientador:Prof. Dr.-Ing Joel Martins Crichigno Filho
INTRODUÇAO
O Amortecimento é o fenômeno pelo qual a energia mecânica de um sistema dinâmico é dissipada. (DE SILVA, 2007)
Figura 1. Curva de histerese do amortecimento
( De Silva, 2007)
INTRODUÇÃO
DE SILVA, 2007. Afirma que basicamente existem três mecanismos primários de amortecimento: amortecimento interno(em materiais), amortecimento estrutural e amortecimento fluídico(pela iteração entre a estrutura e o fluido).
TIPOS DE AMORTECIMENTO
Os sistemas em vibração reais dissipam energia por vários mecanismos diferentes. Assim, o processo de dissipação de energia de um sistema real é o resultado da ação de todos aqueles mecanismos, sendo difícil a identificação e modelagem de todos os componentes do processo.(SOEIRO,2001)
-AMORTECIMENTO VISCOSO (é utilizado Devido a caracteristica linear)
-AMORTECIMENTO Histerético
-ETC.
“As vibrações no processo de corte influenciam negativamente a produtividade e a vida da ferramenta e o amortecimento é um dos principais fatores que afetam a amplitude de vibração e a estabilidade do processo”. (Haring, 2010)
O amortecimento tem a função de diminuir a amplitude de vibração nas ressonâncias do sistema, ao atenuar as ondas que se propagam na estrutura. Entretanto para o caso de processos de usinagens em baixas velocidades nota-se um comportamento adverso ao geralmente apresentado com o aumento dessa amplitude de vibração
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Figura 3. Movimento vibratório amortecido
MODELO DINÂMICO CONSIDERANDO AMORTECIMENTO
[6]
Figura 4. Modelo dinâmico com dois graus de liberdade (Ismail e Ahmadi, 2012)
PRINCIPAIS MECANISMOS DE ORIGEM DO AMORTECIMENTO:
Área de Indentação da ferramenta na peça.
 Geometria da ferramenta.
 Amplitude de vibração 
7
PRINCIPAIS MECANISMOS DE ORIGEM DO AMORTECIMENTO:
[0]
Figura 4. Área de indentação num sistema com um grau de liberdade (Ismail e Ahmadi, 2011)
Área de indentação
MODELO DE INDENTAÇÃO DA FERRAMENTA-PEÇA
O modelo de indentação da ferramenta-peça é uma das principais causas do amortecimento.
Esse modelo considera um coeficiente de atrito que pode ser estimada através das força normal e força tangencial. 
Figura 5. Cinemática de passagem da ferramenta na superficie e área de indentação(Ismail e Ahmadi, 2011)
MODELO DE INDENTAÇÃO DA FERRAMENTA-PEÇA
O seno de ondulação da superficie que compreende L pode ser substituido por dois polinômios cúbicos um para trás indo de –L/4 a L/4 e outro para frente indo de L/4 a 3L/4 com isso encontra-se a interseção da face do flanco da ferramenta com a superficie discretizando desse modo.
Figura 6. Comprimento L da superficie (Ismail e Ahmadi, 2011)
ESTIMATIVAS PARA IDENTIFICAÇÃO DO COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO
- Através da substituição da característica não linear do amortecimento por um amortecimento linear viscoso.
 Através de análise modal e função respostas à frequência. 
 Através de modelos empíricos
AMORTECIMENTO VISCOSO
Onde:
Ksp = Coeficiente especifico de indentação(Medida experimentalmente ou analiticamente)
b= comprimento da usinagem(corte).
Cd= fator de amortecimento.
v= velocidade tangencial
Ceq = Equivale linearmente a força radial em função da ploughing force
A substituição de um amortecimento não linear por um equivalente linear de pode ser escrita através de:
Amortecimento Viscoso
Gráficos dos efeitos de a: Ângulo ferramenta-peça, b:Comprimento da onda, c: Amplitude de vibração e d:zona de desgaste
 (Retirado de referência [0])
Nota: Cd depende da ferramenta e da geometria da onda de vibração
ESTIMATIVAS PARA IDENTIFICAÇÃO DO COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO ESTRUTURAL
-Método da banda de meia potência.
-Método de pico de ressonância.
-Método de Nyquist.
-Outros.
Determinação do amortecimento pela parte real da FRF
Figura 7. Parte Real do sinal no domínio da frequência. 
 Método de pico de ressonância
Quando associamos o fator de amplificação(R) podemos relacionar com a magnitude da receptância e com isso o fator de perda pode ser facilmente determinado através da distância entre o pico de amplitude e uma linha de rigidez, com isso temos:
Figura 8. Método de pico de ressonância (Soeiro, 2001)
Método da banda de meia potência
P/ Baixo amortecimento:
Figura 9. Método da banda de meia-potência(Soeiro, 2001)
Método de Nyquist
Partes reais e imaginárias da receptância, mobilidade e acelerância.
Método de Nyquist
O Circulo Nyquist com frequências igualmente espaçadas.
Figura 10. Método de Nyquist (Soeiro, 2001)
Método de Nyquist
Aplicando a propriedade da ortogonalidade, temos:
Obtem-se:
Equação de uma circunferência de raio igual a 1/ 2d projetada ortogonalmente pelas partes reais e imaginárias da receptância cujo centro está posicionado no par ordenado (0 , -1/ 2d) do plano de Argand.
Método de Nyquist
Logo:
Figura 11. Círculo de Nyquist (Soeiro, 2001)
Método de Nyquist
Para o mecanismo de amortecimento viscoso, é a mobilidade que permite o traçado de um círculo perfeito enquanto que a Receptância e a Acelerância traçam círculos distorcidos.
Figura 12. Receptância, Mobilidade e Acelerância no método de Nyquist (Soeiro, 2001)
Método de Nyquist
Quando o amortecimento do sistema é muito baixo, este método não é muito aconselhável. 
Figura 13. Precauções no Método Nyquist (Soeiro, 2001)
Cálculos e determinação dos lóbulos de estabilidade na usinagem com processo de amortecimento.
Multi-frequency solution(MFS)
Método de semi-discretização (SDM)
Outros
MULTY-FREQUENCY SOLUTION(MFS)
Para calcular os lóbulos de estabilidade na usinagem, partindo do pressuposto que o componente do cavaco é associado com o avanço e a rotação da ferramenta não é envolvida no processo de estabilidade podemos utilizar a solução de Multi-frequência com a componente de força do sistema dinâmico representada por:
Expandindo numa série de Fourier
No qual: Ai ; Bi são os coeficientes da série.
Onde:
MULTY-FREQUENCY SOLUTION(MFS)
A borda de estabilidade é assumida como uma solução harmônica do tipo.
O termo de delay Δp:
Com isso as forças podem ser expressas como uma expansão da série de Fourier, resultando em:
MULTY-FREQUENCY SOLUTION(MFS)
A resposta linear do sistema da parte modal excitada a uma força harmônica mostrada na equação anterior pode ser expressada numa função de resposta a frequencia G(ω) e substituindo as equações com
Temos:
MULTY-FREQUENCY SOLUTION(MFS)
E é obtido após operações de ortogonalidade a equação em forma de matriz:
MULTY-FREQUENCY SOLUTION(MFS)
Passos no método de MFS:
1- Escolher uma frequência wc na vizinhança na frequência natural
2- Começar com um comprimento de corte b=0
3- Calcular A’, B’ e C’ das matrizes e calcular todos os autovalores associados aos autovetores correspondentes a C’. Para cada autovalor com parte negativa e imaginária calcula-se as profundidades de corte
4- Atualizar a profundidade de corte inicial com o mínimo valor obtido da frequência de entrada chatter.
5- Repetir as etapas 3 e 4 na mudança obtida da profundidade de corte menor que uma tolerância.
29
MÉTODO DE SEMI DISCRETIZAÇÃO (SDM)
[8]
Figura 14. Método de Semi-Discretização (Altintas et al, 2008)
MÉTODO DE SEMI DISCRETIZAÇÃO (SDM)
Transformando a equação de dinâmica modal de segunda ordem por uma equação diferencial com delay de primeira ordem, temos:
Onde:
MÉTODO DE SEMI DISCRETIZAÇÃO (SDM)
Espaço de estado:
Para discretizar o sistema acima o periodo de passagens dos dentes é dividido em elementos finitos do tempo (m).
Onde Δt é:
MÉTODO DE SEMI DISCRETIZAÇÃO (SDM)
Após o processo de discretização obtemos uma matriz de transição do sistema de espaços de estado, do tipo:
MÉTODODE SEMI DISCRETIZAÇÃO (SDM)
Com isso podemos construir os lóbulos de estabilidade como na figura abaixo em função da profundidade de corte e rotação da máquina:
Figura 15. Regiões dos lóbulos de estabilidade (Haring, 2010)
FENOMENO DA ESTABILIDADE DE AMPLITUDE FINITA NO DIAGRAMA DOS LOBULOS.
O processo se diz estável quando a amplitude de vibração vem decaindo para zero; Instável quando a amplitude de vibração está em um Acr ou num nível acima deste Acr ou no estado de amplitude finita entre esses dois pontos.
Comparação dos métodos MSF e SDM(Lóbulos de estabilidade)
Figura 16. Lóbulos de estabilidade e seus métodos(Ismail e Ahmadi, 2011)
Efeitos do amortecimento nos lóbulos de estabilidade
Figura 17. Diferenças nos gráficos de lóbulos de estabildade(Park et al. 2009)
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
-De Silva, C. W. Vibration damping, control and design. CRC Press. 2007
-Ismail, F. and Ahmadi, K. Stability lobes in milling including process damping and utilizing Multi-Frequency and Semi-Discretization Methods. International Journal of Machine Tools & Manufacture 54–55, 2012.
-Ismail, F. and Ahmadi, K. Analytical stability lobes including nonlinear process damping effect on machining chatter. International Journal of Machine Tools & Manufacture 51, 2011.
-Budak, E. and Tunc, L. T. Identification and modeling of process damping in turning and milling using a new approach. CIRP Annals - Manufacturing Technology, 2010.
-Budak, E. and Tunc, L. T. Effect of cutting conditions and tool geometry on process damping in machining . International Journal of Machine Tools & Manufacture 57, 2012.
-Altintas, Y. ; Stepan, G. ; Merdol, D. ; Dombovari, Z. Chatter stability of milling in frequency and discrete time domain. CIRP Journal of Manufacturing Science and Technology, 2008.
-Soeiro, N. S. Análise Modal experimental. Belém. Brasil, 2001. 
-Park, S. S. ; Saijadi, M. ; Rahnama, R. Chatter suppression in micro end milling with process damping. Journal of Materials Processing Technology, 2009. 
-Haring, M. A. M. Stability of orthogonal turning processes. 2010
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