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2 
 
Sumário 
 
Capítulo 1 - Introdução................................................................................................................ 5 
Exercícios ............................................................................................................................. 15 
Capítulo 2 � Vibração Livre de Sistemas com um grau de Liberdade ............................... 16 
Exercícios .............................................................................................................................. 25 
Capítulo 3 � Vibração Livre com Amortecimento Viscoso .................................................. 28 
Exercícios............................................................................................................................... 38 
Capítulo 4 � Vibração Livre de com Amortecimento Coulomb .......................................... 41 
Exercícios............................................................................................................................... 46 
Capítulo 5 � Vibrações Forçadas ............................................................................................. 48 
Exercícios............................................................................................................................... 60 
 
 
 
 
Bibliografia 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações Mecânicas. 4ª Edição. São Paulo: Prentice Hall, 
2009. 
INMAN, Daniel J. Engineering Vibrations. 3ª Edição. São Paulo: Prentice Hall, 
2007. 
FRANÇA, Luiz Novaes Ferreira. Introdução às Vibrações Mecânicas. 1ª Edição. 
São Paulo: Edgard Blucher, 2006 
 
3 
 
Molas Equivalentes 
 
 
Barra sob carga axial (l = 
comprimento, A = área da seção 
transversal) 
 !" =
#$
%
 
 
Barra cônica sob carga axial (D, d = 
diâmetros das extremidades) 
 !" =
&#'(
4%
 
 
Mola helicoidal sob carga axial (d = 
diâmetro do arame, D = diâmetro 
médio do enrolamento, n = número 
de espiras ativas) 
 !" =
)(*
8+',
 
 
Viga bi-engastada com carga no 
meio 
 !" =
192#-
%,
 
 
Viga em balanço com carga na 
extremidade 
 !" =
3#-
%,
 
 
Viga simplesmente apoiada com 
carga no meio 
 !" =
48#-
%,
 
 Molas em série 
1
 !"
=
1
 .
/
1
 0
/5/
1
 6
 
 
Molas em paralelo !" = . / 0 /5/ 6 
 
Eixo oco sob torção (l = 
comprimento, D = diâmetro externo, 
d = diâmetro interno) 
 !" =
&)
 
7'* : (*; 
Fonte: Livro: Vibrações Mecânicas. Autor: Rao. Pag. 5 
 
Propriedades físicas de alguns materiais de engenharia 
 
Material 
Módulo de 
Elasticidade E 
Módulo de 
Rigidez G 
Densidade em 
massa r 
Ligas de 
Alumínio 
71,7 GPa 26,8 GPa 2,8 Mg/m³ 
Cobre 120,7 GPa 44,7 GPa 8,9 Mg/m³ 
Ferro Fundido 
Cinzento 
103,4 GPa 5,9 GPa 7,2 Mg/m³ 
Ferro Fundido 
Dúctil 
168,9 GPa 9,4 GPa 6,9 Mg/m³ 
Aço-carbono 206,8 GPa 11,7 GPa 7,8 Mg/m³ 
Aço Inoxidável 189,6 GPa 10,7 GPa 7,8 Mg/m³ 
Fonte: Livro: Projeto de Máquinas. Autor: Robert L. Norton. Pag. 846. 
 
 
4 
 
Momento de Inércia 
 
Seção Momento de Inércia 
 
- =
>?,
12
 
 
- =
@*
12
 
 
- =
&(*
A4
 
 
- =
&
A4
7'* : (*; 
 
 
Prefixos em Unidades SI 
Fator de Multiplicação Prefixo Símbolo 
1012 tera T 
109 giga G 
106 mega M 
103 quilo k 
102 hecto h 
10 deca da 
10-1 deci d 
10-2 centi c 
10-3 mili m 
10-6 micro m 
10-9 nano n 
10-12 pico p 
 
5 
 
Capítulo 1 
Introdução 
 
maioria das atividades humanas envolve alguma forma de 
vibração. Nós ouvimos porque o tímpano vibra, nós vemos 
porque ondas luminosas se propagam. A respiração está 
associada à vibração dos pulmões, os batimentos cardíacos são movimentos 
vibratórios do coração, a fala se fundamenta na vibração das cordas vocais e 
os nossos movimentos envolvem oscilações de braços e pernas. Em muitos 
outros campos da atividade humana, fenômenos apresentam variáveis cujo 
comportamento é oscilatório (economia, biologia, química, física, etc.). 
Em engenharia, as aplicações das vibrações mecânicas são de grande 
importância nos tempos atuais. Projetos de máquinas, fundações, estruturas, 
motores, turbinas, sistemas de controle e outros, exigem que questões 
relacionadas com vibrações sejam levadas em conta. Os primeiros estudos de 
vibrações em engenharia foram motivados pelo problema de 
desbalanceamento em motores. O desbalanceamento pode ser tanto devido 
a problemas de projeto como de fabricação e manutenção. As rodas de 
locomotivas podem sair até um centímetro dos trilhos devido a 
desbalanceamentos. Em turbinas, os engenheiros ainda não foram capazes de 
resolver uma grande parte dos problemas originados em pás e rotores. As 
estruturas projetadas para suportar máquinas centrífugas pesadas (motores, 
turbinas, bombas, compressores, etc.) também estão sujeitas a vibração, sendo 
possível que partes dessas estruturas sofram fadiga devido à variação cíclica 
de tensões. A vibração também causa desgaste mais rápido em mancais e 
engrenagens, provocando ruído excessivo. Em máquinas, a vibração pode 
provocar o afrouxamento de parafusos. Em processos de usinagem, a vibração 
pode causar trepidação, conduzindo a um pobre acabamento superficial. 
Sempre que a frequência natural de vibração de uma máquina ou 
estrutura coincide com a frequência da força externa atuante, ocorre um 
fenômeno conhecido como ressonância, que leva a grandes deformações e 
falhas mecânicas. A literatura é rica em exemplos de falhas causadas por 
vibrações excessivas em virtude da ressonância. Um exemplo clássico é o da 
ponte de Tacoma Narrows, conforme fig. 1.1, nos Estados Unidos. Inaugurada 
em julho de 1940, colapsou em 7 de novembro do mesmo ano quando entrou 
A 
6 
 
em ressonância induzida pelo vento. Em virtude dos efeitos devastadores que 
podem surgir em máquinas e estruturas, os testes vibratórios se tornaram um 
procedimento padrão no projeto e desenvolvimento da maioria dos sistemas 
em engenharia. 
 
Figura 1.1 � Ponte Tacoma Narrows durante vibração induzida pelo vento 
 
Em muitos sistemas de engenharia o ser humano atua como parte 
integrante do mesmo. A transmissão de vibração para o ser humano resulta em 
desconforto e perda de eficiência. Vibrações de painéis de instrumentos 
podem produzir mau funcionamento ou dificuldade de leitura de medidores. 
Portanto, um dos propósitos importantes do estudo de vibração é a redução 
dos níveis vibratórios através do projeto e montagem adequados de máquinas. 
Nesta interface, o engenheiro mecânico tenta projetar a máquina para que a 
mesma apresente níveis vibratórios baixos, enquanto o engenheiro estrutural 
tenta projetar a base da máquina de forma a assegurar que o efeito da 
vibração não se transmita. 
Por outro lado, a vibração também pode ser utilizada com proveito em 
várias aplicações industriais. Esteiras transportadoras, peneiras vibratórias, 
compactadores, misturadores, máquinas de lavar e outras, utilizam a vibração 
em seu princípio de funcionamento. A vibração também pode ser útil em testes 
de materiais, processos de usinagem e soldagem. 
Os ultra-sons são largamente utilizados também em medicina 
(obstetrícia, destruição de cálculos renais, etc.). A vibração também pode ser 
empregada para simular terremotos em pesquisas geológicas e para conduzir 
estudos no projeto de reatores nucleares. 
Nas indústrias automobilísticas são feitos teste de vibração nos 
laboratórios de segurança veicular, por exemplo, o Sled Test, uma espécie de 
trenó que faz simulações de impacto veicular; um novo Laboratório Elétrico-
eletrônico foi construído, com câmaras climáticas, bancadas para testes em 
componentes e capacidade para teste de descarga eletrostática; o 
7 
 
Laboratório de Ruídos e Vibrações possui um dinamômetro para validar a 
qualidade sonora dos veículos; e o Laboratório Estrutural recebeu um simulador 
de pistas para avaliação estrutural mais completa dos modelos. (fonte: GM 
Notícias). 
 
Figura 1.2 � Teste de vibração em Automóveis 
 
1.1 CONCEITOS BÁSICOS 
 
Qualquer movimento que se repete depois de certo intervalo de tempoé denominado vibração ou oscilação. A vibração, portanto, é o estudo do 
movimento de oscilação de um corpo em torno de uma posição de equilíbrio, 
bem como das forças e/ou momentos a ele associadas. 
 
1.1.1 Graus de Liberdade (GDL) 
 
É o número mínimo de coordenadas independentes (denominadas 
coordenadas generalizadas) que descrevem completamente o movimento de 
todos os elementos do sistema. 
 
Nº de GDL do sistema = Nº de massas do sistema x Nº de GDL de 
cada massa 
 
Exemplos de Sistemas com 1 GDL (fig. 1.3): 
 
Fig. 1.3 Exemplos de sistemas com 1 GDL 
 
8 
 
(1.1) 
(1.2) 
 
Exemplos de Sistemas com 2 GDL (fig. 1.4): 
 
Fig. 1.4 Exemplos de sistemas com 2 GDL 
 
Exemplos de Sistemas com 3 GDL (fig. 1.5): 
 
Fig. 1.5 Exemplos de sistemas com 3 GDL 
 
1.1.2 Componentes de um sistema mecânico 
 
Um sistema mecânico contém componentes de inércia, de rigidez e 
amortecimento. Os componentes de inércia têm energia cinética quando o 
sistema está em movimento. A energia cinética de um corpo rígido em 
movimento é: 
 
 =
1
2
 !"
#
+
1
2
$%
# 
 
Sendo &' a velocidade do centro de massa do corpo, ( a velocidade 
angular do eixo perpendicular ao plano de movimento, m é a massa do corpo 
e I é o momento de inércia de massa paralelo ao eixo de rotação que 
atravessa o centro de massa. 
Já uma mola linear é um tipo de elo mecânico cuja massa e 
amortecimento são, de modo geral, considerados desprezíveis. Uma força é 
desenvolvida na mola sempre que houver um movimento relativo entre suas 
duas extremidades. A força da mola é proporcional à quantidade de 
deformação e é dada por: 
 
) = *, 
9 
 
(1.5) 
(1.4) 
(1.3) 
Onde F é a força aplicada e x é a deformação (deslocamento de uma 
extremidade em relação à outra) e k é a rigidez da mola ou constante 
elástica, no SI a unidade de rigidez é N/m. 
O trabalho realizado (U) na deformação de uma mola é armazenado 
como deformação ou energia potencial na mola, e é dado por: 
 
- =
1
2
*,
# 
 
Elementos elásticos como vigas também se comportam como molas. 
Por exemplo, considere uma viga em balanço com uma massa m na 
extremidade como mostra a figura abaixo. 
 
Fig. 1.6 Viga em balanço com massa na extremidade 
 
Admitimos que a massa da viga é desprezível em comparação com a 
massa m. Pela resistência dos materiais, sabemos que a deflexão estática da 
viga na extremidade livre é dada por: 
./03 =
45
6
78$
 
 
Onde W = mg é o peso da massa m, E ó modulo de Young, e I é o 
momento de inércia da seção transversal da viga. Como consequência, a 
constante elástica é: 
 
* =
4
./03
=
785
56
 
Medir experimentalmente massa e rigidez não é tão difícil, agora medir 
amortecimento pode ser um enorme desafio, pois os sistemas mecânicos 
podem dissipar energia de formas diferentes. O mais comum é considerar um 
modelo de amortecedor com amortecimento viscoso. Um componente linear 
de amortecimento viscoso tem uma relação força-velocidade da forma. 
A tabela a seguir resume algumas constantes de molas obtidas a partir 
de elementos estruturais: 
10 
 
(1.6) 
 
Tabela 1.1 � Constante de mola de alguns elementos estruturais 
Lembrando que um corpo rígido é definido como um corpo onde as 
suas dimensões devem ser consideradas na análise dinâmica e, assim, o 
momento de inércia deve ser levado em conta. 
 
) = 9:,; 
Sendo c o coeficiente de amortecimento. A unidade no SI é N.s/m. 
Existem outros tipos comuns de amortecimento como: amortecimento de 
Coulomb, amortecimento estrutural, etc. 
 
Exemplos 
 
E1.1: Rigidez equivalente de uma viga em balanço com carga transversal na 
extremidade 
Uma viga em balanço, feita de uma liga com um módulo de elasticidade (módulo de 
Young) E = 72 x 109 N/m², é carregada transversalmente em sua extremidade livre. Se o 
comprimento da viga for 750 mm, e a viga tiver uma seção transversal anular com os 
diâmetros interno e externo 110 mm e 120 mm, respectivamente, determine a rigidez 
equivalente da viga. 
 
 
 
 
11 
 
E1.2: Rigidez equivalente de uma viga com extremidade fixa e em translação na outra 
extremidade. 
Na figura é mostrada, uma viga fixa em uma extremidade e a outra extremidade em 
translação, sendo seu comprimento igual 640 mm, módulo de elasticidade igual a 106 
Gpa (módulo de Young). A viga é formada por uma seção transversal circular de 20 
mm de raio. Determine a rigidez equivalente da viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E1.3: Rigidez equivalente de um sistema microeletromecânico (MEMS) em flexão fixa-
fixa 
Um sistema de sensor microeletromecânico (MEMS) consistindo em quatro flexões é 
mostrado na figura. Cada um dos elementos em flexão está preso em uma 
extremidade e ligado a uma massa na outra extremidade. Cada elemento tem um 
comprimento L, uma espessura h e uma largura b. Um carregamento transversal atua 
sobre a massa na direção Z, que é normal ao plano X-Y. Cada elemento é fabricado 
com um material polisilício, que tem um módulo de elasticidade (módulo de Young) E 
= 150 GPa. Se o comprimento de cada elemento for 100mm, e a largura e a espessura 
forem de 2 mm, determine a rigidez equivalente do sistema. 
 
 
 
12 
 
(1.7) 
(1.8) 
(1.9) 
1.2 CLASSIFICAÇÃO DAS VIBRAÇÕES 
 
1.2.1 Quanto à existência ou não de forçamento: 
 
� Vibrações livres (ou naturais): causadas por condições iniciais 
(deslocamento inicial e/ou velocidade inicial). 
� Vibrações forçadas: causadas por forças e/ou torques externos; as 
oscilações persistem durante a aplicação dos mesmos e uma vez cessadas 
essas solicitações o sistema entra em vibração livre. A seguir os tipos de 
excitação mais comuns: 
Força harmônica: forma mais simples de excitação em sistemas 
mecânicos, descrita pela equação 
 
 (!) = "#$(%!) 
 
Sendo F a amplitude da excitação e &a freqüência de excitação em 
rad/s. Também é usual descrever as frequências em Hertz Hz. A frequência em 
Hz é nomeada de f e descrita por: 
 
' = 1* 
Sendo T o período de oscilações (tempo que o movimento harmônico 
leva para repetir seu padrão), medidos em s. A relação entre as freqüência 
sem Hz e rad/s é dada por: 
 
' = 12+% 
Um movimento harmônico é definido completamente a partir do 
conhecimento das variáveis acima. Um exemplo prático de excitação 
harmônica aparece em rotores com massa desbalanceada. 
Força periódica: Tipo de excitação que se repete após um período, mas 
não de forma exatamente igual. Motores de combustão interna são exemplos 
deste tipo de excitação; 
Força transitória: Excitação caracterizada por uma liberação de energia 
grande em um intervalo curto de tempo. Inúmeros exemplos descrevem este 
tipo de força: explosão, impacto, etc; 
Força aleatória: São forças de excitação que não descrevem um 
padrão determinístico que possa ser definido por uma equação. Para tratar 
sistemas excitados por forças aleatórias é necessário utilizar métodos 
estatísticos. Fenômenos aeroelásticos são exemplos de sistemas excitados por 
forças aleatórias, como forças em asas de aviões, ventos em colunas de 
pontes, etc. 
13 
 
(1.10) 
(1.11) 
1.2.2 Quanto à existência ou não de amortecimento: 
 
� Vibrações sem amortecimento: não há perda de energia por atrito. 
Se a vibração for livre, não haverá diminuição da amplitude da vibração e o 
sistema vibrará indefinidamente. Se a vibração for forçada, a excitação reporá 
energia no sistema, podendo ocorrer até aumento da amplitude da vibração; 
� Vibrações com amortecimento: há perda de energia por atrito. Se 
a vibração for livre, haverá sempre diminuição da amplitude da vibração e o 
sistema tenderá a parar na posição de equilíbrio estático. Se a vibração for 
forçada, poderá haver ou não diminuição da amplitude da vibração, porque 
a excitação repõe energia no sistema. 
 
1.2.3 Associação de molas 
 
Em muitas aplicações práticas, várias molas lineares são usadas em 
associação. Estas molas podem ser associadas em uma única mola 
equivalente como indicado a seguir: 
 
Molas em paralelo: O sistema da figura (1.7) tem molas emparalelo que 
são fixadas a um bloco com massa m. Quando é aplicada uma carga W, o 
sistema sofre uma deflexão estática ,-., como mostra a figura 1.7 (b); 
 
Fig. 1.7: Sistema mecânico com molas em paralelo. 
 
Então o diagrama de corpo livre representado na figura 1.7 (c) fornece 
a equação de equilíbrio: 
/ = 03456 7 08456 
 
Se 9:;é a constante elástica equivalente para a associação das duas 
molas, então, para a mesma deflexão estática ,-., temos: 
 
/ = 0>?456 
As equações 1.10 e 1.11 resultam em: 
14 
 
(1.13) 
(1.14) 
(1.15) 
(1.16) 
(1.12) 
0>? =@0A
B
AC3
 
 
Molas em série: Já o sistema da figura (1.8) tem molas em série que são 
fixadas a um bloco com massa m. Novamente a meta é definir qual a rigidez 
equivalente desta combinação de molas. 
Definindo o deslocamento do bloco como sendo xi na i-ésima mola e 
assumindo que cada mola não tem massa, a força desenvolvida na 
extremidade de cada mola tem a mesma magnitude, mas direções opostas. 
 
Fig. 1.8: Sistema mecânico com molas em série. 
 
Sob a ação de uma carga W, as molas 1 e 2 sofrem alongamentos ,D e 
,E, respectivamente, como mostra a figura 1.8 (b). O alongamento total (ou 
deflexão estática) do sistema, ,-., é dado por: 
 
456 = 43 7 48 
 
Visto que ambas as molas estão sujeitas à mesma força W, temos o 
equilíbrio mostra na figura 1.8 (c): 
/ = 0343 
/ = 0848 
 
Se 9:;denotar a constante elástica equivalente, então, para a mesma 
deflexão estática, 
/ = 0>?456 
 
As equações 14 e 15 dão: 
0343 = 0848 = 0>?456 
 
Ou 
15 
 
(1.17) 
(1.18) 
43 =
0>?456
03 #48 =
0>?456
08 
 
Substituindo os valores temos: 
1
0>? =
1
03 7
1
08 
Esta equação pode ser generalizada para o caso de n molas em série: 
 
1
0>? =
1
03 7
1
08 7F7
1
0B 
 
 
Exercícios 
 
 
1.1. Calcule a rigidez equivalente ( !") para cada um dos sistemas massa-mola 
não-amortecidos mostrados abaixo. 
 
1.2. Determine a rigidez equivalente do sistema mostrado na figura a seguir, 
usando o deslocamento do bloco como uma coordenada generalizada. 
 
 
 
1.3. Represente o sistema vibratório dado na figura abaixo como um sistema 
vibratório equivalente com massa m, rigidez equivalente ke e coeficiente de 
amortecimento equivalente ce. 
 
16 
 
(2.1) 
Capítulo 2 
Vibração Livre de Sistemas com um grau de 
liberdade 
 
onsidera-se que um sistema sofre vibração livre quando oscila 
somente sob uma perturbação inicial, sem a ação de nenhuma 
força após essa perturbação inicial. As oscilações do pêndulo 
de um relógio de armário e o movimento de uma criança em um balanço 
após o empurrão inicial representam alguns exemplos de vibração livre. 
 
Figura 2.1: Sistema massa-mola 
 
Como já visto no capítulo 1, muitos sistemas mecânicos lineares 
complexos podem ser modelados como um sistema equivalente massa-mola-
amortecedor com 1 grau de liberdade (GDL). Sendo assim, é necessário saber 
como obter a equação do movimento de um sistema deste tipo e como 
resolver esta equação. Inúmeros métodos podem ser usados para obter a 
equação do movimento do sistema. Um método popular é construir um 
diagrama de corpo livre (DCL) em um instante arbitrário e descrever as forças 
atuantes externas e de inércia em termos de coordenadas generalizadas. As 
leis básicas de mecânica são então aplicadas no DCL conduzindo as 
equações diferenciais ordinárias que descrevem o movimento. 
Para um corpo rígido o movimento oscilatório é descrito pelas equações 
de Newton: 
 ! = " × # 
 
Nesta nova configuração outro DCL (Diagrama de Corpo Livre) 
mostrando forças externas em um instante arbitrário, um segundo DCL é 
C 
 
17 
 
(2.4) 
(2.2) 
(2.3) 
desenhado em um mesmo instante mostrando as forças efetivas do sistema. As 
forças efetivas para um corpo rígido são definidas como forças iguais a massa, 
agindo no centro de massa. 
 
Figura 2.2: Sistema massa-mola-amortecedor 
 
Considerando que esta massa sofra a ação de uma força F(t), a 
equação do movimento para este sistema é dada por: 
 
 ! = "# 
 !($) % &'($) % *'+($) = "', 
 "',($) - *'+($) - &'($) = !($) 
 
Mas, como dito anteriormente um sistema de vibração livre oscila sem a 
ação de nenhuma força após essa perturbação, então: 
 !($) = 0 
 
Com isso a equação do movimento para sistemas livres resulta em: 
 "',($) - *'+($) - &'($) = 0 
 
 
2.1 VIBRAÇÕES LIVRES NÃO-AMORTECIDAS 
 
Considerando a figura 2.3, e assumindo c = 0, tem-se a equação do 
movimento para um sistema livre não-amortecido 
 "',($) - &'($) = 0 
 
18 
 
(2.5) 
(2.6) 
(2.7) 
(2.11) 
(2.10) 
(2.8) 
(2.9) 
(2.12) 
 
Figura 2.3: Sistema massa-mola 
 
Dividindo a equação anterior por m tem-se: ',($) - ./ '($) = 0 
Definindo a frequência angular natural não-amortecida12 em rad/s. 
34 = 5&" 
Substituindo a equação 2.6 na equação 2.5 tem-se: 
 ',($) - 346'($) = 0 
 
Para encontrar as equações da posição, velocidade e aceleração, 
temos duas soluções e são elas: 789:çã8;>? ' = ;>@ cos34$ 789:çã8;A? ' = ;>6 sen34$ 
 
Com uma solução geral, temos: 
 '($) = >@ cos34$ - >6 sen34$ 
 
Onde BC e BD são constantes e podem ser determinadas pelas 
condições iniciais do sistema. Duas condições devem ser especificadas para 
avaliar essas constantes inequivocamente. Observe que o número de 
condições a especificar é igual à ordem da equação diferencial governante. 
No presente caso, se os valores do deslocamentoE(F) e da velocidade '! +($) = (G'($)HG$);forem especificados como 'Ie '+I em t=0, temos, pela 
equação 2.9, 
 '($ = 0) = >@ = 'I '+($ = 0) = 34>6 = '+I 
 
Por consequência, >@ = 'I e >6 = '+IH34. Assim, a solução da equação 
movimento sujeita às condições iniciais da equação 2.10 é dada por: 
 
;JK:#çã8;G#;L8MNçã8?;'($) = 'I cos34$ - '+I34 sen34$ 
 
19 
 
(2.14) 
(2.15) 
(2.16) 
(2.17) 
(2.18) 
(2.13) 
JK:#çã8;G#;OP98*NG#GP?;'+ ($) = %'I34 sen34$ - '+I cos34$ 
 JK:#çã8;G#;>*P9PQ#çã8?;', ($) = %'I346 cos34$ % '+I34sen34$ 
 
Os valores máximos dos módulos da velocidade e aceleração são: R/ = '/ × 34 #/ = '/346 
 
 
 
2.1.1 Movimento Harmônico 
 
As equações 2.9 e 2.11 são funções harmônicas do tempo. O 
movimento é simétrico em relação à posição de equilíbrio da massa m. A 
velocidade é um máximo, e a aceleração é zero toda vez que a massa passa 
por essa posição. Nos deslocamentos extremos, a velocidade é zero e a 
aceleração é um máximo. Visto que isso representa movimento harmônico 
simples, o próprio sistema massa-mola é denominado um oscilador harmônico. 
A quantidade 34 dada pela equação 2.6 representa a freqüência natural de 
vibração do sistema. 
A equação 2.9 pode ser expressa de uma forma diferente com a 
introdução da notação: >@ = >*8MS >6 = >MPTS 
 
onde A e S são novas constantes, que podem ser expressas em termos de >@ e >6 como: 
> = (>@6 - >66)@H6 = U'I6 - VW+XYZ[6\
@H6 = >"]9N$:GP 
 
S = $^_@ `>6>@a = $^_@ ` '+I'I34a = ÂT^:98GPb#MP 
 
Introduzindo a equação 2.14 na equação 2.9, a solução pode ser 
escrita como: 
 '($) = > cos(34$ % S) 
Usando as relações >@ = >IMPTSI 
 >6 = >I*8MSI 
A equação 2.9 também pode ser expressa como: 
20 
 
(2.20) 
(2.19) 
(2.21) 
(2.22) 
 '($) = >IMPT(34$ - ;S) 
Onde: 
>I = > = U'I6 - VW+XYZ[6\
df
 
E SI = $^_@ VWXYZW+X [ 
 
A seguir temos uma representação gráfica do movimento de oscilação 
harmônica: 
 
Figura 2.4: Representação gráfica do movimento de um oscilador harmônico 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
1 – Se o sistema massa-mola estiver em uma posição vertical, como a figura 
seguir, a frequência natural circular pode ser expressa como: 
34 = 5&" 
A constante elástica da mola, k, pode ser expressa em termos da massa m 
pela seguinte equação: g = "^ = &h ! 
 
" = #$ ! = %&$ ! 
A substituição da equação anterior na equação 2.6 dá 
'( = ) &$ ! 
21 
 
(2.23) 
(2.24) 
(2.25) 
Por consequência, a frequência natural em ciclos por segundo e o período 
natural são dados por: 
*( = 12+) &$ ! 
 
,( = 1*( = 2+) &$ ! 
Assim, quando a massa vibra em sentido vertical, podemos calcular a 
frequência natural e o período de vibraçãopela simples medição da deflexão 
estática $ !. Não é necessário saber qual é a rigidez da mola, k, e a massa da 
mola, m. 
 
Figura 2.5: Um sistema massa-mola em posição vertical 
 
2 – Pela equação 2.18, a velocidade -. /03 e a aceleração -4 /03 da massa m no 
tempo t pode ser obtida como: 
5./63 = 75/6376 = 8'(9:;>?/'(6 8 @3 
 
= '(9 cos A'(6 8 @ B +2C 
 
54/63 = 7D5/6376D = 8'(D9 cos/'(6 8 @3 
 = '(D9 cos/'(6 8 @ B +3 
 
A equação 2.25 mostra que a velocidade está adiantada (defasada) em 
relação ao deslocamento por + 2E e a aceleração esta adiantada (defasada) 
em relação ao deslocamento por +. 
22 
 
(2.26) 
(2.27) 
 
3 – Se o deslocamento inicial /5F3 for zero, a equação 2.19 torna-se: 
 
5/63 = 5.F'( cos A'(6 8 +2C = 5.F'( :;>'(6 
 
Contudo, se a velocidade inicial /5.F3 for zero, a solução torna-se: 
 5/63 = 5FGH:'(6 
 
Exemplos 
 
E.2.1 Constata-se que uma viga simples bi engastada com seção transversal 
quadrada de 5mm x 5mm e comprimento de 1 m, que suporta uma massa de 
2,3 kg em seu ponto médio tem uma frequência natural de vibração transversal 
de 30 rad/s. Determine o módulo de Young (E) da viga. 
 
Solução: 
 
 
23 
 
E.2.2 Um corpo de massa desconhecida é colocada sobre uma mola sem 
peso, que se comprime 2,54 cm. Determine (a) a frequência natural de 
vibrações do sistema massa mola; (b)a frequência natural em ciclos por 
segundo e (c) o período natural. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E2.3 Quando um colar de 3 kg é colocado sobre o prato que é preso à mola 
de rigidez desconhecida, observa-se que a deflexão estática adicional do 
prato é de 42 mm. Determine a constante elástica da mola. 
Solução: 
 
 
 
 
 
E2.4 Um corpo de massa desconhecida é colocado sobre uma mola sem peso, 
que se comprime 2,54 cm. Determine a frequência natural de vibração do 
sistema massa-mola. 
Solução: 
 
24 
 
E2.5 Um corpo de 10kg é suspenso por uma mola de rigidez k=2,5 kN/m. No 
tempo de t=0 ele possui uma 5.= 0,5 m/s para baixo quando para pela posição 
de equilíbrio estático. Determine: 
a) Deslocamento estático da mola; 
b) Frequência natural do sistema em rad/s e em Hz; 
c) Período do sistema; 
d) Deslocamento x em função do tempo, onde x é medido a partir da 
posição de equilíbrio estático; 
e) A velocidade máxima alcançada pela massa; 
f) Aceleração máxima alcançada pela massa. 
Solução: 
 
25 
 
E2.6 Determine a frequência natural do sistema abaixo: 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios�
 
2.1 Uma mulher de 55 kg fica de pé no centro de uma tábua apoiada em suas 
extremidades e causa um deslocamento de 22 mm nessa posição. Se ela flexiona seus 
joelhos levemente, de modo a provocar uma vibração na direção vertical, qual é a 
frequência *( de seu movimento? Admita um comportamento elástico da tábua e 
despreze sua massa relativamente pequena. 
 
2.2 Uma prensa industrial está montada sobre almofadas de borracha, a fim de evitar 
a transmissão de vibrações para a vizinhança. Quando da montagem, verificou-se 
que os isoladores deformaram 5 mm devido ao peso da prensa. Achar a frequência 
natural do sistema. 
 
 
2.3 Uma torre de resfriamento de uma unidade de condicionamento de ar pesa 8900 
N e deve ser montada sobre 4 molas de ar. Calcular a rigidez que deve ter cada mola 
de tal modo que a frequência natural da unidade seja 7,5 rad/s. 
 
 
26 
 
 
2.4 O cilindro de um servomecanismo da figura possui um pistão com m = 0,3 kg 
associado a uma mola helicoidal de d =1 mm, D = 10 mm, 10 espiras ativas e G = 1,05 x 
1011Pa. Determinar a frequência natural da vibração do pistão se não há óleo no 
cilindro. 
 
 
2.5 Determine a frequência natural do sistema massa-mola mostrado na figura em 
rad/s e em ciclos /s (Hz). 
 
 
2.6 Resolva a equação %54 B "5 = I para k=4N/m, m= 1kg, x0= 1mm e v0= 0. Sabemos 
que a solução da equação diferencial acima é 5/63 = J cos/'(63 B K?:;>/'(63. 
 
 
2.7 Um sistema massa-mola tem um período natural de 0,21 s. Qual será o novo 
período se a constante elástica for: 
a) aumentada em 50 %. 
b) reduzida em 50 %. 
 
2.8 Denotando por !" a deflexão estática de uma viga sob uma dada carga, mostre 
que a frequência de vibração da carga é 
#$ = 12%& ' !" 
 
Despreze a massa da viga e suponha que a carga permanece em contanto com a 
viga. 
 
 
27 
 
2.9 Considere um bloco de 6 kg suspenso por uma mola de rigidez k = 200 N/m. 
Comunica-se ao bloco uma velocidade de 0,4 m/s para cima quando este está 75 
mm acima da sua posição de equilíbrio. Determine a equação que descreve o 
movimento do bloco. 
 
2.10 Durante o projeto de um sistema de apoio com molas uma plataforma de 
pesagem de 4000 kg, foi decidido que a frequência de vibração livre vertical na 
condição descarregada não deve exceder 3 ciclos por segundo. (a) Determine a 
constante de mola máxima aceitável k para cada uma das três molas idênticas. (b) 
para essa constante de mola, qual seria a frequência natural #$ da vibração vertical 
da plataforma carregada por um caminhão de 40 t? 
 
 
2.11 Quando se prende um bloco de 3kg com uma mola esta se alonga 60 mm. 
Determine a frequência natural e o período de vibração para um bloco de 0,2 kg 
ligado à mola. 
 
2.12 Quando se suspende um peso de 20 lb por uma mola esta se alonga 4 pol. 
Determine a frequência natural e o período de vibração correspondente para um 
peso de 10 lb ligado à mola. 
 
2.13 As molas de suspensão de um automóvel cuja massa é 2.000 kg sofrem uma 
deflexão de 0,02 m sob condições estáticas. Determine a frequência natural do 
automóvel no sentido vertical, considerando o amortecimento desprezível. 
 
2.14 Determine a frequência natural do sistema massa mola tanto em rad/s quanto por 
ciclos por segundo. Dados: k = 54 lb/in e m = 64,4 lb. 
 
2.15 Para o sistema massa mola do problema anterior, determine a posição x da 
massa em função do tempo se a massa for solta do repouso no tempo t = 0 de uma 
posição 2 in à esquerda da posição de equilíbrio. Determine a velocidade e a 
aceleração máximas da massa em um ciclo de movimento. 
 
28 
 
(3.1) 
(3.2) 
(3.3) 
Capítulo 3 
Vibrações Livres com Amortecimento 
Viscoso 
 
Na natureza não existe uma vibração sem nenhum amortecimento. Por 
menor que seja ele sempre está presente. Este amortecimento será responsável 
pela atenuação do movimento, tendendo a diminuir a sua amplitude com o 
tempo. 
A força de amortecimento viscoso, F, é proporcional à velocidade () e 
pode ser expressa como: * = +,() 
 
Onde c é a constante de amortecimento ou coeficiente de amortecimento 
viscoso, e o sinal negativo indica que a força de amortecimento é oposta ao 
sentido da velocidade. Um sistema com um grau de liberdade com um 
amortecedor viscoso é mostrado na próxima figura. Se x for medida em 
relação à posição de equilíbrio da massa m, a aplicação da lei de Newton dá 
a equação de movimento: 
 !"(#) = $%!&(#) $ '!(#) 
Ou 
 !"(#) + %!&(#) + '!(#) = 0 
 
 
Figura 3.1: Sistema com um grau de liberdade com amortecimento viscoso 
 
Dividindo a equação 3.2 pela massa (m), temos: 
 
29 
 
(3.4) 
(3.5) 
(3.6) 
(3.7) 
(3.8) 
(3.9) 
(3.10) 
(3.11) 
 
!"(#) +
%!& (#)
 
+
'!(#)
 
= 0 
 
Assim temos, *,
- = '/ e definindo o parâmetro .1(zeta) = %/2 *,, que 
passará a se chamar como fator de amortecimento, sendo uma constante real, 
positiva. A equação 3.3 pode ser escrito como: !"(#) + 2.*,!&(#) + *,-!(#) = 0 
 
Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento .1(zeta) é 
definido como a razão entre a constante de amortecimento e a constante de 
amortecimento crítico: 
 
. = %%3 
Onde: 
%3 = 2 4' = 25' = 2 *, 
 
Para solucionar a equação 3.4, admitimos uma solução na forma: 
 ! = 6789 !& = 6:789 !" = 6:-789 
Onde A e : são constantes indeterminadas. A inserção das equações 
anteriores na equação 3.4 resulta na equação característica: 
 :- + 2.*,: + *,- = 0 
Cujas raízes são: :; = [*, >$. + ?.- $ @A] 
 :- = [*, >$. $ ?.- $ @A] 
 
Com isso, chega-se a uma solução geral: 
 ! = 6;78B9 + 6-78C9Ou da forma: 
 
! = 6;7[DE>FGH?GCF;A]9 + 6-7[DE>FGF?GCF;A]9 
 
30 
 
(3.12) 
(3.13) 
Como 0 I . I J, o radicando (.- $ @) pode ser positivo, negativo ou 
nulo, dando origem às seguintes três categorias de movimento amortecido: 
· Sistema Superamortecido: . K @; 
· Sistema Criticamente Amortecido: . = @; 
· Sistema Sub-amortecido: . L @. 
 
3.1 CASO 1. SISTEMA SUPERAMORTECIDO (M K @) 
 
As raízes :; e :- são números reais negativos e distintos. O movimento da 
equação 3.11 decaí de modo que x se aproxima de zero para grandes valores 
de tempo. Não há oscilação, e, portanto não existe período associado ao 
movimento. :; = [*, >$. + ?.- $ @A] 
:- = [*, >$. $ ?.- $ @A] 
Nesse caso, a solução é própria equação 3.11. 
Este sistema também possui como característica: % K %3 
%2 K 4' 
 
3.2 CASO 2. SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO ( M = N) 
 
Neste caso, as raízes :; e :- são números reais negativos iguais, (:; =:- = $*,), e a solução da equação 3.2 é dada por: 
 !(#) = (6; + 6-#)7FDE9 
 
Novamente, o movimento decai com x aproximando se de zero para 
tempos grandes e o movimento é não periódico. 
Um sistema criticamente amortecido, quando excitando com uma 
velocidade ou deslocamento inicial, se aproximará do equilíbrio mais 
rapidamente do que um sistema superamortecido. 
Este sistema também possui como característica: % = %3 
%2 = 4' 
 
 
 
31 
 
(3.14) 
(3.18) 
(3.17) 
(3.16) 
(3.15) 
(3.20) 
(3.19) 
3.3 CASO 3. SISTEMA SUBAMORTECIDO (M L @) 
 
Para essa condição, o radicando (.- $ @) é negativo e recordando que 7(OHP) = 7O1Q 7P, podemos reescrever a equação 3.11, como: 
 ! = (6;7R?;FGCDE9 + 6-7FR?;FGCDE9)7FGDE9 
 
Onde S = 5$@. É conveniente adotar uma nova variável *T para 
representar a combinação *,?@ $ .-. Assim: 
 ! = (6;7RDU9 + 6-7FRDU9)7FGDE9 
 
O uso da formula de Euler 7±RV = %WX!1 ± S1X7Y!, que nos permite escrever 
a equação anterior como: ! = [6;(cos*T# + S1X7Y1*T#) + 6-(cos*T# $ S1X7Y1*T#)]7FGDE9 
 ! = [(6; + 6-) cos*T# + S(6; $ 6-)X7Y*T#]7FGDE9 
 ! = [(6Z) cos*T# + S(6\)X7Y*T#]7FGDE9 
 ! = [^1X7Y(*T# + _)]7FGDE9 
 ! = [^`1%WX(*T# $ _`)]7FGDE9 
Onde: 6Z = 6; + 6- 6\ = 6; $ 6- 
 ^ = ^` = ?(6Z)- + (6\)- 
 
_ = ab%1#d1 e6Z6\f 
 
_` = ab%1#d1 e$6\6Zf 
 
A frequência *T é denominada a frequência de vibração amortecida. E 
é definida como: *T = *,?@ $ .- 
 
32 
 
(3.21) 
Pode-se ver que a frequência de vibração amortecida é sempre menor 
do que a frequência natural não amortecida. O caso subamortecido é muito 
importante no estudo de vibrações mecânicas porque é único que resulta em 
um movimento oscilatório. 
Este sistema possui como característica: % L %3 
%2 L 4' 
 
Figura 3.2: Comparação entre movimentos com tipos diferentes de amortecimento 
 
Na figura 3.2 podemos observar o período de amortecimento, que é 
dado por: 
g = 2!" = 2!"#$1 % &' 
 
3.4 DECREMENTO LOGARÍTMICO 
 
O decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude 
de uma vibração livremente amortecida. É definido como o logaritmo natural 
da razão entre duas amplitudes sucessivas. Vamos representar por () e (' os 
tempos correspondentes a duas amplitudes (deslocamentos) consecutivas 
medidas, a figura 3.3 esta representando este movimento. 
33 
 
(3.23) 
(3.22) 
(3.24) 
(3.25) 
 
Figura 3.3: Movimento oscilatório 
 
Pela equação 3.16, podemos expressar a razão: 
 
 
*)
*'
=
+,-./0345cos67" () % 8,9
+,-./034:cos67" (' % 8,9
 
 
Porém, (' = () ; > onde > = 2!?" é o período de vibração 
amortecida. Por conseqüência, cos7" (' % 8,9 = cos72! ; " () % 8,9 = @AB7" () %
8,9 e a equação 3.22 pode ser escrita como: 
 
*)
*'
=
-./0345
-./03745CDE9
= -/03DE 
 
O decremento logarítmico F pode ser obtido pela equação 3.23: 
 
F = GH
*)
*'
= &"#> = &"#
2!
"#$1 % &'
=
2!&
$1 % &'
 
 
O decremento logarítmico é adimensional e, na realidade, é outra 
forma do fator de amortecimento adimensional &. Uma vez conhecido F, 
&6pode ser determinado resolvendo-se a equação 3.24. 
 
& =
F
$72!9' ; F'
 
 
 
34 
 
 
Exemplos 
 
E3.1 Para um sistema massa-mola-amortecedor temos m=1kg, c=2kg/s e 
k=10kN/m. Calcule os valores de & e "#. O sistema é superamortecido, sub-
amortecido ou criticamente amortecido? 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
E3.2 Um bloco possui massa de 20 kg e a mola tem rigidez k=600 N/m. Após o 
bloco ser deslocado e solto, efetuaram-se duas medidas da amplitude x1=150 
mm e x2=87 mm. Determine o coeficiente de amortecimento viscoso c. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
E3.3 Um bloco de 0,8kg está suspenso por uma mola de rigidez igual a 120 N/m. 
Se um amortecedor apresenta força de amortecimento de 2,5 N quando a 
velocidade é de 0,2 m/s, determine o período amortecido. 
Solução: 
 
35 
 
E3.4 A massa de 2 kg é solta a partir do repouso a uma distância x0 à direita da 
posição de equilíbrio. Determine o deslocamento x em função do tempo. 
Dados c = 42 Ns/m e k = 98 N/m. 
Solução: 
 
 
 
36 
 
E3.5 A massa do sistema mostrado na figura é liberada a partir do repouso em 
x0 = 150 mm, quando t=0. Determine o deslocamento x em t=0,5s se c=200 
Ns/m. 
 
Solução: 
 
37 
 
E3.6 A massa de 2kg é solta a partir do repouso a uma distância x0 para a 
direita em relação à posição de equilíbrio. Determine o deslocamento x em 
função do tempo t, onde t=0 é o tempo em que a massa foi solta. 
 
Solução: 
 
 
 
38 
 
 
Exercícios�
 
3.1 Para um sistema massa-mola-amortecedor, temos m=1kg, c= 2kg/s e 
k=10N/m. Calcule os valores do fator de amortecimento e da frequência 
natural do sistema. E depois diga se o sistema é superamortecido, 
subamortecido ou criticamente amortecido? 
 
3.2 Um aprimoramento do projeto original da plataforma de pesagem é 
mostrado aqui com dois amortecedores viscosos que foram introduzidos 
limitando para 4 a razão entre amplitudes positivas sucessivas da vibração 
vertical na condição descarregada. Determine o coeficiente de 
amortecimento viscoso c para cada um dos amortecedores. Admita m=4000kg 
e k=474 k N/m. 
 
3.3 Determine o valor do fator de amortecimento para o sistema massa-mola 
amortecedor simples mostrado, onde m= 40 lb, k = 3 lb/in e c = 2,5 lb.s/ft. 
 
3.4 Determine o valor do coeficiente de amortecimento c para o qual o 
sistema é criticamente amortecido se k = 70 kN/m e m= 100kg. 
 
 
3.5 Um oscilador harmônico possui massa m=30kg e constante de rigidez 
k=100kN/m. Determinar: 
a) A constante de amortecimento para um fator de amortecimento & = IJ1. 
b) O decremento logarítmico e a frequência natural amortecida. 
 
3.6 Determine o valor do coeficiente de amortecimento viscoso c para o qual o 
sistema mostrado na figura apresenta uma taxa de amortecimento de (a) 0,5 e 
(b) 1,5. 
 
39 
 
3.7 Determine o valor do coeficiente de amortecimento viscoso c para o qual o 
sistema mostrado na figura é criticamente amortecido. 
 
3.8 O sistema mostrado na figura é liberado a partir do repouso a uma posição 
inicial x0. Determine o deslocamento negativo de x1. Admita que o movimento 
de translação ocorra na direção x. 
 
 
3.9 A massa do sistema mostrado na figura é liberada a partir do repouso em x0 
= 125 mm, quando t=0. Determine o deslocamento x em t=0,65s se c=300 Ns/m. 
 
 
3.10 O proprietário de uma picape testa a ação dos amortecedores traseiros 
aplicando uma força permanente de 450 N ao para-choque traseiro e 
medindo um deslocamento estático de 75 mm. Ao se retirar repentinamente a 
força, o para-choque se levanta e, em seguida, desce até um deslocamento 
máximo de 12 mm abaixo da posição de equilíbrio sem carga. Trate a 
oscilação como um problema unidimensional com uma massa equivalente 
igual à metade da massa do carro. Determine o fator de amortecimento 
viscoso para a extremidade traseira e o coeficiente de amortecimento viscoso 
40 
 
c para cada amortecedor supondo que sua ação seja vertical. Admita a 
massa do veículo igual a 1.600 kg. 
 
 
 
 
41 
 
(4.1) 
Capítulo 4 
Vibrações Livres com Amortecimento de 
Coulomb 
 
O amortecimento de Coulomb aparece quando corposdeslizam em 
superfícies secas. Em muitos sistemas mecânicos, são utilizados elementos que 
provocam amortecimento por atrito seco. Também em estruturas, 
componentes frequentemente deslizam um em relação ao outro e o atrito 
seco aparece internamente. A Lei de Coulomb para o atrito seco estabelece 
que quando dois corpos estão em contato, a força requerida para produzir 
deslizamento é proporcional à força normal atuante no plano do contato. A 
força de atrito F:!
!
 = !."!
!
onde N!é a força normal e ! é o coeficiente de atrito. A força de atrito atua em 
sentido oposto ao da velocidade. O amortecimento de Coulomb é, algumas 
vezes, chamado de amortecimento constante, uma vez que a força de 
amortecimento é independente do deslocamento e da velocidade, 
dependendo somente da força normal atuante entre as superfícies em 
deslizamento. 
A figura 4.1a, mostra um sistema de um grau de liberdade com 
amortecimento de Coulomb. A figura 4.1b apresenta os diagramas de corpo 
livre para as duas possíveis orientações do movimento. Em cada uma destas 
orientações a equação do movimento tomará uma forma diferente. O 
movimento se dá oscilatoriamente, portanto o sistema está ora em uma 
situação, ora em outra. 
 
42 
 
(4.2) 
(4.3) 
 
Figura 4.1 - Sistema com amortecimento de Coulomb. 
 
Primeira! fase! do! movimento:! Quando a velocidade tiver sentido positivo 
(segundo o referencial adotado), a força de atrito será negativa e a Segunda 
Lei de Newton aplicada resultará: 
 
que é uma equação diferencial ordinária, linear, de segunda ordem, 
coeficientes constantes, não homogênea. A solução geral desta equação 
compõe-se de duas partes, uma chamada homogênea, que é a solução da 
equação (2.15), dada em (2.19a), e a outra chamada particular, que inclui o 
termo do lado direito da equação, resultando: 
#($) = %&'*+,-/$ 0 &1,23-/$ 4
!"
5
 
 
A equação (4.2) e, consequentemente, sua solução (4.3), valem 
somente enquanto a velocidade permanecer com o sinal positivo. 
!
Segunda!fase!do!movimento:!Quando a velocidade troca de sinal, a força de 
atrito também muda de sinal resultando na equação: 
6#7 = 45# 4 !" 
6#7 0 5# = 4!" 
Ou então, 
43 
 
(4.4) 
(4.5) 
(2.58) 
 
#($) = %&'*+,-/$ 0 &1,23-/$ 0
89
:
 
 
Em (4.3) e (4.5), o termo �N/k representa o deslocamento da mola 
devido à força de atrito estabelecendo uma nova posição de equilíbrio. Como 
a força de atrito muda de sentido a cada meio ciclo (período em que a 
velocidade permanece com sinal inalterado), esta posição de equilíbrio 
também muda a cada meio ciclo como pode ilustrar a figura 2.10. 
Para complementar a solução das equações (4.2) e (4.4), deve-se 
analisar o movimento a partir de condições iniciais. O sistema inicia o seu 
movimento a partir de um deslocamento inicial, com velocidade inicial nula, 
para caracterizar a inversão do sentido do movimento em cada meio ciclo. 
São, então, as condições iniciais: 
 
Solução: 
Deslocamento Inicial: (! = 0) = " 
Velocidade Inicial: #(! = 0) = 0 
 
 
Figura 4.2 � Movimento do sistema com amortecimento de Coulomb. 
$ % + & = '* 
que tem solução análoga a 2.54, apenas com 
o sinal da solução particular invertido, 
resultando: 
44 
 
(4.7) 
(4.8) 
 
Se o movimento começa com um deslocamento inicial positivo e 
velocidade nula, o primeiro meio ciclo ocorrerá com velocidade negativa. A 
equação que descreve esta fase do movimento é (4.4), cuja solução é dada 
em (4.5). Introduzindo as condições iniciais (4.6) em (4.5), as constantes podem 
ser determinadas por: 
 (! = 0) = " = ,- + '*& 
 #(! = 0) = 0 = ./,1 
Resultando em: 
,- = " 2 '*& 343,1 = 0 
A equação 4.5 se torna, portanto: 
 (!) = 5 " 2 '*& 6 789./! + '*& 
Está solução é válida apenas para metade do ciclo, isto é, para 0 ≤ t ≤ : ./; . Quando t = : ./; , a massa estará em sua posição extrema esquerda e seu 
deslocamento em relação à posição de equilíbrio pode ser determinado pela 
equação acima. 
 2 > = ?! = : ./; @ = 5 " 2 '*& 6 cos : + '*& 
 2 > = 2 " + A'*& 
Uma vez que o movimento começou com um deslocamento de x = x0 
e, em um meio-ciclo, o valor de x tornou-se � [ " 2 (A'*B&)], a redução em 
magnitude de x no tempo de :B./ é CDEF . 
No segundo meio-ciclo, a massa movimenta-se da esquerda para a 
direita, portanto a equação 4.3 deve ser usada. As condições iniciais para esse 
meio-ciclo são: 
 (! = 0) = GHI8J3K43 34$3! = 3: ./; = 32 5 " 2 A'*& 6 
 #(! = 0) = GHI8J3K43 # 34$3! = : ./; = 32./ 5 " 2 '*& 6 394L3: = 0 
Substituindo as condições iniciais (4.8) na equação (4.3), temos: 
,> = 5 " 2 M'*& 633333333333333333,C = 0 
45 
 
(4.9) 
(4.10) 
(4.11) 
O deslocamento, neste segundo meio ciclo do movimento, é regido 
então por: 
 (!) = 3 5 " 2 M'*& 6 cos./! 2 '*& 
Esta equação é válida somente para o segundo meio-ciclo, isto é, para : ./; N ! N A: ./; . No final desse meio-ciclo, o valor de x(t) é: 
 C = ?!C = A: ./; @ = " 2 O'*& 
 #C = ?!C = A: ./; @# = 0 
Os valores da equação (4.10) serão as condições iniciais do terceiro 
meio ciclo, quando, novamente, passa a valer a equação (4.4) e sua solução 
(4.5). 
O movimento prosseguirá desta forma, mudando de equação a cada 
meio ciclo até que no final de um determinado meio ciclo, o deslocamento 
seja tão pequeno que a força de mola seja incapaz de vencer a força de 
atrito estático. Isso acontecerá no final do meio ciclo de ordem r que pode ser 
determinado por: 
 " 2 J A'*& N '*& 
Ou 
J P Q " 2 DEFCDEF R 
A característica principal do amortecimento causado por atrito seco, 
como já foi dito anteriormente, é que a amplitude diminui sempre uma 
quantidade constante a cada ciclo (ou meio ciclo). Observando 4.7 e 4.9, 
ambas representam movimentos harmônicos na frequência ./, com a 
amplitude caindo 
CDEF a cada meio ciclo e com a posição de equilíbrio 
variando ± DEF também a cada meio ciclo. 
 
 
46 
 
 
Exercícios 
 
4.1 Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfície seca sob a ação 
de uma de rigidez 10 N/mm. Após quatro ciclos completos a amplitude é 100 
mm. Qual é o coeficiente de atrito médio entre as duas superfícies se a 
amplitude original era 150 mm? Em quanto tempo a massa executar quatro 
ciclos? 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Uma massa de 20 kg está suspensa por uma mola de rigidez 1000N/m. O 
movimento vertical da massa está sujeito a uma força de atrito de Coulomb de 
magnitude 50N. Se a mola é inicialmente deslocada de 5 cm para baixo de 
sua posição de equilíbrio estático determinar: 
a) O número de meio ciclos transcorridos até que atinja o repouso; 
b) Tempo transcorrido até atingir o repouso; 
c) Posição em que ocorrerá a parada. 
Solução: 
 
 
 
47 
 
4.3 A massa de um sistema massa-mola com k = 10.000 N/m e m = 5kg é posta 
para vibrar sobre uma superfície irregular. Se a força de atrito for F=20N e 
observarmos que a amplitude da massa diminui 50 mm em 10 ciclos, determine 
o tempo transcorrido para completar os 10 ciclos. 
 
 
4.4 Uma massa de 10 kg esta ligada a uma mola de rigidez 3000 N/m e é solta 
após sofrer um deslocamento inicial de 100 mm. Admitindo que a massa 
movimenta-se sobre uma superfície horizontal, como mostrado na figura 
abaixo, determine a posição na qual a massa atinge o repouso. Suponha que 
o coeficiente de atrito entre a massa e a superfície seja 0,12. 
 
 
 
4.5 Uma massa de 20 kg desliza para frente e para trás sobre uma superfície 
seca devido à ação de uma mola com rigidez de 10 N/mm. Após 4 ciclos 
completos, verificou-se que a amplitude é de 100 mm. Qual é o coeficiente 
médio de atrito entre as duas superfícies se a amplitude original era de 150 
mm? Quanto tempo transcorreu durante os 4 ciclos? 
 
 
4.6 Um peso de 25 N esta suspenso por uma mola que tem uma rigidez de 1000 
N/m. O peso vibra no sentido vertical sob uma força de amortecimento 
constante. Quando o peso é inicialmente puxado para baixo até uma 
distância de 10 cm em relação à sua posição de equilíbrio estático e então é 
solto, atinge o repousoapós exatamente dois ciclos completos. Determine a 
magnitude de força de amortecimento. 
 
4.7 Um bloco de metal colocado sobre uma superfície irregular esta ligado a 
uma mola e sofre um deslocamento inicial de 10 cm em relação á sua posição 
de equilíbrio. Constata-se que o período natural de movimento é 1,0 s e que a 
amplitude decresce 0,5 cm em cada ciclo. Determine: 
 
a) O coeficiente de atrito cinético entre o bloco de metal e a superfície; 
b) O número de ciclos de movimento executados pelo bloco antes de parar. 
 
4.8 A massa m = 2 kg de um oscilador harmônico linear com k = 500 N/m desliza 
em uma superfície horizontal com coeficiente de atrito estático !s = 0,2 e 
cinético ! = 0,08. 
(a) Determinar o máximo valor do deslocamento inicial que não resultará em 
qualquer movimento devido à força de atrito. 
(b) Determinar o número de ciclos para a vibração iniciada por um 
deslocamento inicial de 25 mm até pararem completamente. 
48 
 
Capítulo 5 
Vibrações Forçadas 
 
iz-se que um sistema mecânico ou estrutural sofre vibração 
forçada sempre que energia externa é fornecida ao sistema 
durante a vibração, sendo esta energia fornecida por meio de 
uma força aplicada ou por uma excitação de deslocamento imposta. 
Se a frequência de excitação coincidir com a frequência natural do 
sistema, a resposta do sistema será muito grande. Essa condição, conhecida 
como ressonância, deve ser evitada, para impedir falha do sistema. A vibração 
produzida por uma máquina rotativa desbalanceada, as oscilações de uma 
chaminé alta, provocadas por emissões de vórtices (redemoinhos) sob vento 
constante e o movimento vertical de um automóvel sobre a superfície senoidal 
de uma estrada são exemplos de vibração excitada harmonicamente. 
 
5.1 FORÇAS DE EXCITAÇÃO 
 
· Força Harmônica: Forma mais simples de excitação em sistemas mecânicos, 
descrita pela equação: 
 
 (!) = "#$%(&!) 
 
Sendo F a amplitude da excitação e & a frequência de excitação em 
rad/s. Também é usual descrever as frequências em Hertz Hz. A frequência em 
Hz é nomeada de 'e descrita por: 
 
' = 1* 
 
Sendo T o período de oscilações (tempo que o movimento harmônico 
leva para repetir seu padrão), medidos em s. A relação entre as frequências 
em Hz e rad/s é dada por: 
 
' = 12+& 
 
Um movimento harmônico é definido completamente a partir do 
conhecimento das variáveis acima. Um exemplo prático de excitação 
harmônica aparece em rotores com massa desbalanceada. 
D 
5.1 
5.2 
5.3 
 
49 
 
 
Figura 5.1: Exemplo de força harmônica 
 
· Força Periódica: Tipo de excitação que se repete após um período, mas não 
de forma exatamente igual, conforme o exemplo da figura 3.2. Motores de 
combustão interna são exemplos deste tipo de excitação. 
 
 
Figura 5.2: Exemplo de força periódica 
 
· Força Aleatória: Não descrevem um padrão determinístico que possa ser 
definido por uma equação. Para tratar de sistemas excitados por forças 
aleatórias é necessário utilizar métodos estatísticos. Fenômenos aeroelásticos 
são exemplos de sistemas excitados por forças aleatórias, como forças em asas 
de aviões, ventos em colunas de pontes, etc. 
50 
 
 
Figura 5.3: Exemplo de força periódica 
 
· Força Transitória: caracterizada por uma liberação de energia grande em 
um intervalo curto de tempo. Inúmeros exemplos descrevem este tipo de força: 
explosão, impacto, etc. 
 
 
Figura 5.4: Exemplo de força periódica 
 
 
5.2 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO 
 
Considera-se, inicialmente, o sistema mostrado abaixo, onde o corpo 
está sujeito à força harmônica externa F(t), com o diagrama de corpo pode-se 
aplicar a segunda lei de Newton e obter: 
 
,-. , /.0 3 4%"#$%&! = 5.6 
 
5.4 
51 
 
 
Figura 5.5: Um sistema massa-mola-amortecedor 
 
Em excitações harmônicas a força (!) = 4"#$%&!, onde 78é a 
amplitude da força e 9 é a frequência de excitação (em radianos por 
segundo). 
 
OBSERVAÇÕES: Certifique-se de fazer a distinção entre 9: = ;>?, que é uma 
propriedade do sistema, e 9, que é uma propriedade da força aplicada ao 
sistema. 
 
Considerando &@A = BC, D = EACFG , e substituindo na equação 5.4, temos: 
 
 
.6 3 2D5&@5 .0 3 &@A. =
 4"#$%&!
5 
 
 
5.3 VIBRAÇÃO FORÇADA NÃO-AMORTECIDA 
 
Inicialmente, trata-se do caso em que o amortecimento é considerado 
desprezível (c=0). Assim, a equação de movimento básico, fica: 
 
 
 
 
Uma solução particular é investigada admitindo que a forma da 
resposta à força é semelhante à forma da força. Assim, admite-se que: 
 
 
 
 
Onde X é o módulo (em unidades de comprimento) da solução 
particular. Substituindo essa expressão na equação 3.7 e resolvendo para X, 
tem-se: 
 
5.5 
.6 3 &@A. = 4"#$%&!5 
 
 
 
5.6 
 
 ! = "#$%&#'( 
 
 
 
5.7 
 
" =
)* +,
1 -#.' '/0 2
3 
 
 
5.8 
 
52 
 
Assim, a solução particular fica: 
 
 
 
De grande interesse na análise é a amplitude X do movimento. Sendo 
4567 a amplitude do deslocamento estático da massa sujeita a uma carga 
estática )*, então, 4567 = )* +, , e pode estabelecer a relação: 
 
 
 
 
A razão M é chamada de razão de amplitudes ou fator de 
amplificação e representa uma medida da severidade da vibração. 
Particularmente, observa-se que m tende a infinito quando ' aproxima-se '/. 
Consequentemente, se o sistema não possui amortecimento e é excitado por 
uma força harmônica cuja frequência ' aproxima-se da frequência natural 
'/do sistema, então M, e, portanto X, aumenta sem limite. 
Fisicamente, isso significa que a amplitude do movimento atinge os 
limites de resistência da mola presa à massa, que é uma condição que deve 
ser evitada. 
 
 
Exemplo 
 
E.5.1 Uma bomba alternativa com 200 N de peso está montada no meio de 
uma placa de aço de 13,2 mm de espessura, 508 mm de largura e 25400 mm 
de comprimento, presa por braçadeiras ao longo de duas bordas, como 
mostra a figura seguir. Durante a operação da bomba, a placa é sujeita a uma 
força harmônica, F(t) = [120 cos (62,5 t)] N. Determine a amplitude de vibração 
da placa. 
 
 
Solução: 
 
 ! =
)* +,
1 -#.' '/0 2
3 ##$%&#'( 
 
 
5.9 
 
8 =
"
4567
=
1
1 -#.' '/0 2
3 
 
 
5.10 
 
53 
 
5.4 VIBRAÇÃO FORÇADA AMORTECIDA 
 
Introduz-se agora o amortecimento nas expressões da vibração 
forçada. A equação diferencial de movimento é: 
 
 
 
 
Como uma solução particular temos a forma: 
 
 
 
 
Substituindo a última expressão na equação diferencial de movimento, 
igualando os coeficientes das funções $%&#'( e cos'(, e resolvendo as duas 
equações resultantes obtêm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
E.5.2O pistão de 45 kg mostrado na figura é suportado por uma mola de rigidez 
k = 35 kN/m. Um amortecedor com coeficiente de amortecimento c = 1250 
Ns/m atua em paralelo com a mola. Uma pressão flutuante p = 4000 sem 30t, 
expressa em Pa, atua sobre o pistão, cuja área de superfície superior é de 50 
(10-3) m². Determine o deslocamento no regime estacionário em função do 
tempo e a força máxima transmitida à base. 
Solução: 
 
 9 :
2 !"#! $% + "#&$ = '()*,-".! 
 
 
 
 
3.11 
 
 
3.12 
 
/ = '( 01{[3 4 5" "#1 6&]& + [2 " "#1 ]&}78& 
 
 
 
3.13 
 
9 = .:;7 > 2 " "#13 4 5" "#1 6&? 
 
 
 
3.14 
 
$@ = /7 cos". + /&)*,-".-AB-$@ = / sen5". 4 96 
 
 
 
54 
 
E.5.3 Determine a amplitude x do movimento em regime permanente da 
massa de 10 kg se (a) c=500 Ns/m e (b) c=0. 
 
Solução: 
 
a) c=500 Ns/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) c=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
5.4.1 Fator de Amplificação 
 
Nas proximidades da ressonância, a amplitude X da solução regime 
permanente é uma função fortemente dependente da taxa de 
amortecimento -e da relação adimensional entre frequência " "#1 . 
Novamente é conveniente definir uma relação adimensional: 
 
 
 
Que é chamada de razão de amplitudes ou fator de amplificação. 
 
 
 
 
Um gráfico do fator amplificador M em função da relação entre 
frequências " "#1 para diversos valores da taxa de amortecimento é 
mostrado abaixo: 
 
 
Figura 5.6: Um sistema massa-mola-amortecedorO valor máximo de M é chamado de pico de ressonância. 
O gráfico deixa claro que, se a amplitude de um determinado 
movimento for excessiva, duas soluções do problema seriam possíveis: (a) 
aumentar o amortecimento (de forma a se obter um valor de mais alto) ou 
(b) alterar a frequência de excitação, de modo que " esteja mais afastada da 
frequência de ressonância "#. 
Vários autores denominam r, como a razão entre as frequências natural 
não amortecida e a de excitação. 
C = ""# 
 
D = 3{[3 4 5" "#1 6&]& + [2 " "#1 ]&}78& 
 
 
 
3.16 
 
D = / 5'( 01 61 
 
 
 
3.15 
 
56 
 
5.4.2 Ângulo de Fase 
 
O ângulo de fase 9, expresso pela equação 3.14, pode variar de 0 a E e 
representa a parcela de um ciclo (e portanto o tempo) pela qual a resposta $@ 
está atrasada em relação à função forçamento F. 
 
Exemplo 
 
E.5.2Uma máquina com 45 kg é montada em cima de um isolador não-
amortecido composto por quatro molas em paralelo com rigidez de 2 ×3FG-H8! em cada mola. Quando opera a uma velocidade de 32 Hz, a 
amplitudes em regime permanente $@é medida a partir de um teste 
experimental e corresponde a 1.5mm. Qual a magnitude da força que excita 
esta máquina nesta velocidade? 
Solução: 
 
 
57 
 
5.5 VIBRAÇÃO CAUSADA POR FORÇAS DE DESBALANCEAMENTO EM MÁQUINAS 
ROTATIVAS 
 
Um caso especial de vibrações excitadas por forças harmônicas ocorre 
em máquinas rotativas com massa desbalanceada. 
Nesses casos o sistema é excitado por uma massa desbalanceada com 
velocidade angular I e com uma excentricidade e. Esta força de 
desbalanceamento é dada por: 
 'J5.6 = !J*"&)*,5".6 
 
A figura a seguir mostra uma máquina rotativa representada por um 
sistema massa-mola-amortecedor com um grau de liberdade. 
 
 
 
Figura 5.7: Exemplo de máquina rotativa com massa desbalanceada 
 
Neste caso a equação do movimento do sistema é descrita por: 
 !$K + L$% + 0$ = !J*"&)*,5".6 
 
Assim para este caso, a amplitude de vibrações em regime permanente 
de uma máquina rotativa com desbalanceamento pode ser obtida a partir da 
equação 3.15: 
 
/ = !J! × * × M
"
"#N
& × O- 
Onde: !J – massa excêntrica; 
e – excentricidade; 
m – massa do sistema; – frequência externa; ! – frequência natural; " - fator de amplificação dinâmica 
 
" = 1{[1 # ( $% )2]2 + [2& $% ]2}1/2 
58 
 
5.6 TRANSMISSIBILIDADE 
 
Podemos definir o conceito de transmissibilidade, como sendo a 
relação entre a força máxima transmitida e a força máxima de excitação. 
 
'* = , 1 + (2&-).(1 + -.). + (2&-).0
3/.
44 
Com: 
- = ! 
Razão entre frequências natural e a de excitação (ou frequência 
externa). 
 
Exemplo 
 
E.5.3 Um motor com 100 kg está apoiado em quatro molas, cada uma com 
constante de rigidez igual a 90 kN/m, e está ligado ao solo por um 
amortecedor com coeficiente de amortecimento c = 6500 Ns/m. O motor é 
obrigado a mover-se verticalmente, e a amplitude da vibração do motor é de 
2,1 mm a uma velocidade de 1200 rpm. Sabendo que a massa do rotor é de 15 
kg, determine a distância entre o centro de massa do rotor e o eixo de 
rotação. 
Solução: 
 
59 
 
E.5.4 Um motor de 9kg é suportado por quatro molas, cada uma de constante 
20 kN/m. O motor é forçado a mover-se verticalmente e a amplitude 
observada de seu movimento é de 1,2 mm a uma velocidade de 1200 rpm. 
Sabendo que a massa do rotor é 2,5 kg, determine a distância entre o centro 
de massa do rotor e o eixo da árvore (e). 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E.5.5 Um motor pesa 1500 N e está apoiado por quatro molas, cada uma com 
constante de rigidez igual a 120 kN/m. O desequilíbrio do motor é equivalente a 
uma massa de 50 g colocada a 200 mm do eixo de rotação. Sabendo que o 
motor é obrigado a mover-se verticalmente, determine a amplitude de 
vibração do motor à velocidade de 1200 rpm. 
Solução: 
 
60 
 
Exercícios 
 
5.1 O instrumento está centrado uniformemente sobre uma plataforma P, que 
por sua vez é suportada por quatro molas, cada uma com rigidez de 130 N/m. 
Se o piso está sujeito a uma vibração de 7 Hz, com amplitude de deslocamento 
vertical de 0,17 ft, determine a amplitude do deslocamento vertical da 
plataforma e instrumento. O peso total da plataforma e instrumento é de 18 lb. 
 
5.2 Um motor pesando 1.750 N está apoiado em quatro molas, cada uma 
tendo constante de 150 kN/m. O desbalanceamento do rotor é equivalente a 
um peso de 0,3 N localiza a 0,15 m do eixo de rotação. Sabendo-se que o 
motor é obrigado a mover-se verticalmente, determinar (a) a frequência em 
rpm em que ocorrerá ressonância, (b) a amplitude da vibração do motor na 
frequência de 1200 rpm. 
 
 
5.3 Um cilindro de 5 kg esta suspenso por uma mola de constante igual a 320 
N/m e esta submetido a uma força periódica vertical F=Fm sem wt, onde Fm= 
14N. Determine a amplitude do movimento do cilindro para (a) w = 6rad/s e (b) 
w = 12 rad/s. 
 
 
5.4 Um peso de 50 N esta suspenso por uma mola de rigidez 4000 N/m e sujeito 
a uma força harmônica de amplitude 60 N e frequência 6 Hz. Determine: 
 
a) A extensão da mola devido ao peso suspenso; 
b) O deslocamento estático da mola devido à máxima força aplicada; 
c) A amplitude de movimento forçado do peso. 
 
 
61 
 
5.5 Um sistema massa-mola com m = 10kg e k = 5000N/m esta sujeito a uma 
força harmônica de amplitude 250 N e frequência w. Se for constatado que a 
amplitude máxima da massa é 100 mm, determine o valor de w. 
 
5.6 Um sistema massa-mola com amortecimento viscoso é excitado por uma 
força harmônica de amplitude constante F0 mas frequência que varia 
lentamente w. Se observa que a amplitude do movimento em regime 
permanente decresce por um fator de 10 quando se faz variar a razão entre 
frequências w/wn! de 1 para 2, determine a taxa de amortecimento ζ do 
sistema. 
 
5.7 O bloco de peso W = 100lb é suspenso por duas molas, cada uma de rigidez 
k = 200lb/ft, e é acionado pela força F = [75cos(15t)] lb, onde t é o tempo em 
segundos. Determine a amplitude X do movimento em regime permanente se 
o coeficiente de amortecimento viscoso c é (a) 0 e (b) 60lb.s/ft. Compare estas 
amplitudes com a deflexão estática de mola δest. 
 
 
5.8 Um motor com 100 kg está apoiado em quatro molas, cada uma com 
constante de rigidez igual a 90 kN/m, e está ligado ao solo por um 
amortecedor com coeficiente de amortecimento c = 6500Ns/m. O motor é 
obrigado a mover-se verticalmente, e a amplitude da vibração do motor é de 
2,1mm a uma velocidade de 1.200 rpm (seis polos). 
Sabendo que a massa do rotor é de 15 kg, determine a distância entre o 
centro de massa do rotor e o eixo de rotação. 
 
 
 
62 
 
 
5.9 Um motor pesa 1.472N e está apoiado por quatro molas, cada uma com 
uma constante de rigidez k = 120 kN/m. O desequilíbrio do motor é equivalente 
a uma massa de 30g colocada a 150mm do eixo de rotação. Sabendo que o 
motor é obrigado a mover-se verticalmente, determine (a) a velocidade em 
rpm para a qual ocorre a ressonância, (b) a amplitude de vibração do motor à 
velocidade de 1.200rpm. 
 
 
5.10 Um motor com 15 kg está apoiado em 4 molas cada uma com k=45 kN/m 
e o desequilíbrio do motor é equivalente a uma massa de 20g situada a 125 
mm do eixo de rotação. Sabendo que o motor é forçado a mover-se 
verticalmente, determine a amplitude de vibração do motor em regime 
estacionário a uma velocidade 1500rpm, admitindo que: 
 
a) Não existe amortecimento, c=0; 
b) Se ζ =1,3.