testes afins DOK

Prévia do material em texto

16. Questão: Qual é a solução de \(z^2 + 4z + 8 = 0\)? 
 a) \(-2 + 2i\) e \(-2 - 2i\) 
 b) \(-2 + 2\sqrt{2}i\) e \(-2 - 2\sqrt{2}i\) 
 c) \(-4 + 0i\) e \(0\) 
 d) \(4i\) e \(-4i\) 
 Resposta: b) \(-2 + 2\sqrt{2}i\) e \(-2 - 2\sqrt{2}i\) 
 Explicação: Aplicando a fórmula quadrática, temos \(z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2} = -
2 \pm \sqrt{16 - 32} = -2 \pm 2i\sqrt{2}\). 
 
17. Questão: Se \(z = 2 + 2i\) e \(w = 2 - 2i\), qual é o produto \(zw\)? 
 a) \(8 + 0i\) 
 b) \(4 + 4i\) 
 c) \(0 + 8i\) 
 d) \(4 - 4i\) 
 Resposta: a) \(8 + 0i\) 
 Explicação: Multiplicando, temos \(zw = (2 + 2i)(2 - 2i) = 4 - 4i^2 = 4 + 4 = 8\). 
 
18. Questão: Determine a expressão de \(|z + w|\) se \(z = 1 + i\) e \(w = 1 + i\). 
 a) \(2\sqrt{2}\) 
 b) \(2\) 
 c) \(\sqrt{2}\) 
 d) \(4\) 
 Resposta: a) \(2\sqrt{2}\) 
 Explicação: A soma é \(z + w = (1 + 1) + (i + i) = 2 + 2i\). Assim, \(|z + w| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 
\sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). 
 
19. Questão: Se \(z = 3(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\), o que é \(z^3\)? 
 a) \(27(\cos(3\theta) + i\sin(3\theta))\) 
 b) \(9(\cos(3\theta) + i\sin(3\theta))\) 
 c) \(27(\cos(2\theta) + i\sin(2\theta))\) 
 d) \(3(\cos(3\theta) + i\sin(3\theta))\) 
 Resposta: a) \(27(\cos(3\theta) + i\sin(3\theta))\) 
 Explicação: Usando De Moivre: \((r e^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}\). Portanto, \(z^3 = 
3^3(\cos(3\theta) + i\sin(3\theta)) = 27(\cos(3\theta) + i\sin(3\theta))\). 
 
20. Questão: Resolva a equação \(z^2 + 1 + 2i = 0\). 
 a) \(i\) e \(-i\) 
 b) \(-1 + i\) e \(-1 - i\) 
 c) \(1 + i\) e \(1 - i\) 
 d) \(1 + 2i\) e \(1 - 2i\) 
 Resposta: b) \(-1 + i\) e \(-1 - i\) 
 Explicação: Reescrevendo a equação, temos \(z^2 = -1 - 2i\). Assim, devemos encontrar 
\(\sqrt{-1 - 2i}\), que resulta nas raízes \(-1 + i\) e \(-1 - i\). 
 
21. Questão: Qual é a soma dos módulos de \(z_1 = 1 + i\) e \(z_2 = 2 + 2i\)? 
 a) \(2\sqrt{2}\) 
 b) \(4\sqrt{2}\) 
 c) \(3\sqrt{2}\) 
 d) \(5\) 
 Resposta: b) \(4\sqrt{2}\) 
 Explicação: Calculando os módulos: \(|z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) e \(|z_2| = 
\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Assim, \(|z_1| + |z_2| = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 
3\sqrt{2}\). 
 
22. Questão: Se \(z^3 = -8\), quais são as raízes em termos de \(z\)? 
 a) \(2\text{cis}(\pi/3), 2\text{cis}(5\pi/3), 2\text{cis}(2\pi)\) 
 b) \(2\text{cis}(\pi), 2\text{cis}(\pi/2), 2\text{cis}(0)\) 
 c) \(2 \text{cis}(0), 2\text{cis}(2\pi), 2\text{cis}(4\pi/3)\) 
 d) \(2\text{cis}(3\pi/2), 2\text{cis}(5\pi/2), 2\text{cis}(2\pi)\) 
 Resposta: a) \(2\text{cis}(\pi/3), 2\text{cis}(5\pi/3), 2\text{cis}(2\pi)\) 
 Explicação: A raiz cúbica de \(-8\) é \(2\text{cis}(\pi)\). As três raízes são \(2\text{cis}(\pi/3 
+ 2k\pi/3)\) para \(k = 0, 1, 2\). 
 
23. Questão: Considerando a função \(f(z) = z^2 + 1\), qual é a saída para \(f(i)\)? 
 a) \(2i\) 
 b) \(0\) 
 c) \(-1 + 2i\) 
 d) \(-2\) 
 Resposta: d) \(-2\) 
 Explicação: Substituindo na função, temos \(f(i) = (i)^2 + 1 = -1 + 1 = 0\). 
 
24. Questão: Resolva \(z^2 - 4z + 8 = 0\) usando a fórmula quadrática. 
 a) \(2 + 3i\) e \(2 - 3i\) 
 b) \(4 + 0i\) e \(0\) 
 c) \(0\) e \(-4\) 
 d) \(2 - 2i\) e \(2 + 2i\) 
 Resposta: a) \(2 + 3i\) e \(2 - 3i\) 
 Explicação: Aplicando a fórmula quadrática, temos \(z = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 
4(1)(8)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2} = 2 \pm i3\). 
 
25. Questão: Qual é o valor de \(z^4\) se \(z = \sqrt{2} e^{i\pi/4}\)? 
 a) \(4\) 
 b) \(8 e^{i\pi}\) 
 c) \(8(-1)\) 
 d) \(0\) 
 Resposta: b) \(8 e^{i\pi}\) 
 Explicação: Como \(z^4 = (\sqrt{2})^4 e^{i4\cdot\pi/4} = 4e^{i\pi} = 4(-1) = -4\). 
 
26. Questão: O que representa \(i^{10}\)? 
 a) \(1\) 
 b) \(-1\) 
 c) \(i\) 
 d) \(-i\) 
 Resposta: a) \(1\) 
 Explicação: Como \(i^2 = -1\), precisamos reduzir \(10 \mod 4 = 2\). Portanto, \(i^{10} = 
(i^2)^5 = (-1)^5 = -1\).