Cálculo Diferencial e Integral II av2

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Universidade Veiga de Almeida 
Curso: ciências econômicas 
Nome: Matheus Linto Soares 
Matrícula: 1220201660 
 
 
 
Curso 
• Ciências Econômicas - 
ECONOMIA INTERNACIONAL E 
COMERCIO EXTERIOR _ AVA2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nas questões abaixo, vamos exercitar os conceitos aprendidos nesta unidade. 
1ª questão 
Calcular a integral tripla 
∭(y+x2)zdV 
sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo 
1≤x≤2,0≤y≤1,−3≤z≤5. 
∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦∫ 𝑑𝑧(𝑦 + 𝑥2)𝑧𝑑𝑣
5
−3
1
0
2
1
 𝑣 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 
∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦∫ (𝑦 + 𝑥2)𝑧𝑑𝑧
5
−3
1
0
2
1
 𝑣 = (5 + (−3)) ⋅ 1 ⋅ 1 = (5 − 3) ⋅ 1 = 2 
∫ 𝑑𝑥∫ (𝑦 + 𝑥2)𝑑𝑦∫ 𝑧𝑑𝑧
5
−3
1
0
2
1
 
52
2
−
(−3)2
2
=
25
2
−
(9)
2
= 8 
∫ 𝑑𝑥∫ (𝑦 + 𝑥2)
1
0
2
1
⋅ (8)𝑑𝑦 
∫ (8)
2
1
⋅ (𝑦 + 𝑥2) = 
∫ 8𝑦
2
1
+ 8𝑥2 = 
∫ 8𝑥2
2
1
𝑑𝑥∫ 8𝑦
1
0
 𝑑𝑦 = 
 
12
2
−
(0)2
2
=
1
2
 
∫ 8𝑥2
2
1
𝑑𝑥
1
2
 
8 ⋅
(1)
2
∫ 𝑥2
2
1
𝑑𝑥 =
8
2
=
[4𝑥3]2
3
= 4 [
23
3
−
13
3
] = 
4 [
8
3
−
1
3
] = 4 [
7
3
] = 4 ⋅
7
3
=
28
3
= 9,33 
 
2ª questão 
Calcular a integral 
∭(x2+y2)dV, 
 
 
 
 
em que T é a região de integração interior ao cilindro x2+y2=1 e à esfera x2+y2+z2=4 (fazer a 
transformação para o sistema de coordenadas que mais simplifica a resolução). 
 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑧2 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 
0 ≤ 𝑟 ≤ 1 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2¶ 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 
0 ≤ 𝑧 ≤ −2𝑟 
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝐷𝑣 = 𝑟𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 
∫ ∫ ∫
−2𝑟
0
2¶
0
1
0
⋅ (𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃)2 ⋅ 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝑟 
∫ 2𝑟3
1
0
𝑑𝑟∫ ∫ 𝑟2 cos2
−2𝑟
0
2¶
0
𝜃 + 𝑟 sin2 𝜃 ⋅ 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝑟 
∫ 2𝑟3
1
0
𝑑𝑟∫ cos2
2¶
0
𝜃 + 𝑟 sin2 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑑𝑧
−2𝑟
0
 
∫ 𝑑𝑧
−2𝑟
0
= [𝑧]−2𝑟         [−2𝑟 − 0] 
∫ 2𝑟3
1
0
𝑑𝑟∫ cos2
2¶
0
𝜃 + sin2 𝜃 𝑑𝜃 
−2∫ 𝑟4 
1
0
𝑑𝑟∫ cos2
2¶
0
𝜃 + sin2 𝜃 𝑑𝜃 
cos2 𝜃 =
1 + cos 2 𝜃
2
     sin2 𝜃 =
1 − cos 2 𝜃
2
 
∫
1 + cos 2𝜃
2
2¶
0
+ sin2 𝜃 =
1 − cos 2 𝜃
2
𝑑𝜃 
∫
1
2
2¶
0
+
1
2
= 1 
∫ 1𝑑𝜃∫
cos 2 𝜃
2
2¶
0
2¶
0
−
cos 2 𝜃
2
𝑑𝜃 
1
2
+
1
2
= 1∫ 𝑑𝜃
2¶
0
+ 1∫ cos(2𝜃)
2¶
0
− cos(2𝜃) 𝑑𝜃 
[𝑑𝜃 + 1]2¶ = 1(2¶) − 1(0) = 2¶ 
 
 
 
 
−2 ⋅ 2¶∫ 𝑟4
1
0
𝑑𝑟 =
−2 ⋅ 2¶𝑟4+1
4 + 1
=
−2 ⋅ 2¶𝑟5
5
=
−4¶𝑟5
5
 
 
[
15
5
−
(0)5
5
] = [
1
5
−
0
5
] =
1
5
 
3ª questão 
Calcular o volume do tetraedro mostrado na figura abaixo.