Calcular a integral tripla ∭(y+x2)zdV sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo 1≤x≤2,0≤y≤1,−3≤z≤5.?

Para calcular a integral tripla \(\iiint (y + x^2)z \, dV\) sobre a região definida pelo paralelepípedo \(1 \leq x \leq 2\), \(0 \leq y \leq 1\), e \(-3 \leq z \leq 5\), seguimos os seguintes passos: 1. Definir a integral tripla: \[ \int_{-3}^{5} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} (y + x^2)z \, dx \, dy \, dz \] 2. Calcular a integral em relação a \(x\): \[ \int_{1}^{2} (y + x^2)z \, dx = z \int_{1}^{2} (y + x^2) \, dx \] A integral de \(y\) em relação a \(x\) é \(yx\) e a integral de \(x^2\) é \(\frac{x^3}{3}\): \[ = z \left[ yx + \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = z \left[ (2y + \frac{8}{3}) - (y + \frac{1}{3}) \right] \] \[ = z \left[ y + \frac{7}{3} \right] \] 3. Substituir na integral em relação a \(y\): \[ \int_{0}^{1} z \left( y + \frac{7}{3} \right) \, dy = z \left[ \frac{y^2}{2} + \frac{7y}{3} \right]_{0}^{1} = z \left( \frac{1}{2} + \frac{7}{3} \right) = z \left( \frac{3}{6} + \frac{14}{6} \right) = z \left( \frac{17}{6} \right) \] 4. Substituir na integral em relação a \(z\): \[ \int_{-3}^{5} z \left( \frac{17}{6} \right) \, dz = \frac{17}{6} \int_{-3}^{5} z \, dz = \frac{17}{6} \left[ \frac{z^2}{2} \right]_{-3}^{5} \] \[ = \frac{17}{6} \left( \frac{25}{2} - \frac{9}{2} \right) = \frac{17}{6} \left( \frac{16}{2} \right) = \frac{17}{6} \cdot 8 = \frac{136}{6} = \frac{68}{3} \] Portanto, o valor da integral tripla é \(\frac{68}{3}\).