Aula 04 - Potencial Elétrico

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Potencial Elétrico
Introdução
Na aula passada vimos que o campo elétrico produzido por uma distribuição de cargas que
tenha alta simetria pode ser obtido de maneira simples usando-se a Lei de Gauss, que
relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga líquida
contida nessa distribuição.
Φ𝐸 = 𝐸 ∙ 𝑑 𝐴 =
𝑄𝑒𝑛𝑣
𝜀0S
Introdução
Na aula passada vimos que o campo elétrico produzido por uma distribuição de cargas que
tenha alta simetria pode ser obtido de maneira simples usando-se a Lei de Gauss, que
relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga líquida
contida nessa distribuição.
Φ𝐸 = 𝐸 ∙ 𝑑 𝐴 =
𝑄𝑒𝑛𝑣
𝜀0S
Além disso, vimos também que a força elétrica entre duas cargas estáticas é expressa pela
Lei de Coulomb. Uma característica importante que não foi abordada ainda é se a força
elétrica é conservativa. Em caso afirmativo, é possível, dentre uma série de propriedades
relevantes, definir uma energia potencial associada à força elétrica.
Introdução
Mas o que o fato de uma força ser conservativa tem a ver com o
potencial elétrico?
https://pixabay.com https://pikist.com
Forças Conservativas
Forças Conservativas
Uma força é dita conservativa se o trabalho realizado por ela sobre um corpo
que se desloca entre dois pontos do espaço é independente da trajetória
percorrida por este corpo. Em outras palavras, a força conservativa depende
apenas das posições inicial e final do corpo em questão
Forças Conservativas
Uma força é dita conservativa se o trabalho realizado por ela sobre um corpo
que se desloca entre dois pontos do espaço é independente da trajetória
percorrida por este corpo. Em outras palavras, a força conservativa depende
apenas das posições inicial e final do corpo em questão
Como exemplos de forças conservativas, podem ser citadas a força
gravitacional, a força elástica e quaisquer outras forças unidimensionais que sejam
dependentes apenas da posição. É necessário, portanto, verificar se a força elétrica
é conservativa ou não. Mas antes, relembremos alguns conceitos vistos em
Mecânica.
Forças Conservativas
Essa verificação é possível de duas formas: a primeira, com um viés
matemático, é calcular o rotacional da força elétrica. Se a força elétrica for, de fato,
conservativa, 𝛻 × 𝐹 = 0. Deixarei esta missão para você, estudante.
Forças Conservativas
Essa verificação é possível de duas formas: a primeira, com um viés
matemático, é calcular o rotacional da força elétrica. Se a força elétrica for, de fato,
conservativa, 𝛻 × 𝐹 = 0. Deixarei esta missão para você, estudante.
A segunda forma, mais interessante para o nosso curso, uma vez que aborda
o tema com um ponto de vista mais físico, é calcular o trabalho realizado pela força
elétrica para levar uma carga, em equilíbrio, de um ponto inicial para um ponto final
devido a interação com uma segunda carga.
a
b
q
Forças Conservativas
O trabalho realizado por uma força 𝐹 qualquer que atua sobre uma partícula para leva-
la do ponto a para o ponto b é dado por:
a
b
q
𝑊 = 
𝑎
𝑏
 𝐹 ∙ 𝑑 𝑟 (1)
 𝐹
Forças Conservativas
O trabalho realizado por uma força 𝐹 qualquer que atua sobre uma partícula para leva-
la do ponto a para o ponto b é dado por:
𝑊 = 
𝑎
𝑏
 𝐹 ∙ 𝑑 𝑟 = 
𝑎
𝑏
𝐹 𝑑𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜙 (2)
onde d 𝑙 é o infinitésimo de deslocamento, cujo vetor é tangente à trajetória e forma um ângulo
𝜙 com o vetor 𝐹.
a
b
q
 𝐹
d 𝑟
ϕ
Forças Conservativas
Se a força 𝐹 for constante, a equação (2) é reduzida a:
𝑊 = 𝐹 ∙ Δ 𝑟𝑎𝑏 = 𝐹 ∙ ( 𝑟𝑏 − 𝑟𝑎) (3)
onde 𝑟𝑎 e 𝑟𝑏 são os vetores de posição dos pontos a e b medidos a partir da origem do eixo de
coordenadas.
a
b
q
 𝐹
d 𝑟
ϕ
Forças Conservativas
- Teorema Trabalho-Energia
Seja um conjunto de forças 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, … que atuam sobre uma partícula produzindo
sobre ela uma força resultante 𝐹𝑅. Pela Segunda Lei de Newton temos:
 𝐹𝑅 = 𝑚 𝑎 (4)
Forças Conservativas
- Teorema Trabalho-Energia
Seja um conjunto de forças 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, … que atuam sobre uma partícula produzindo
sobre ela uma força resultante 𝐹𝑅. Pela Segunda Lei de Newton temos:
 𝐹𝑅 = 𝑚 𝑎 (4)
Substituindo (4) em (2):
𝑊 = 
𝑎
𝑏
𝑚 𝑎 ∙ 𝑑 𝑟 (5)
Forças Conservativas
- Teorema Trabalho-Energia
Seja um conjunto de forças 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, … que atuam sobre uma partícula produzindo
sobre ela uma força resultante 𝐹𝑅. Pela Segunda Lei de Newton temos:
 𝐹𝑅 = 𝑚 𝑎 (4)
Substituindo (4) em (2):
𝑊 = 
𝑎
𝑏
𝑚 𝑎 ∙ 𝑑 𝑟 (5)
Lembrando que 𝑎 =
𝑑v
𝑑𝑡
e substituindo em (5):
𝑊 = 
𝑎
𝑏
𝑚
𝑑v
𝑑𝑡
∙ 𝑑 𝑟 (6)
Forças Conservativas
- Teorema Trabalho-Energia
A equação (6) pode ser reescrita como:
(7)𝑊 = 
𝑎
𝑏
𝑚 𝑑v ∙
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
Forças Conservativas
- Teorema Trabalho-Energia
A equação (6) pode ser reescrita como:
(7)
𝑊 = 
𝑎
𝑏
𝑚 𝑑v ∙ v (8)
𝑊 = 
𝑎
𝑏
𝑚 𝑑v ∙
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
Forças Conservativas
- Teorema Trabalho-Energia
A equação (6) pode ser reescrita como:
(7)
𝑊 = 
𝑎
𝑏
𝑚 𝑑v ∙ v (8)
Obviamente, v e dv são paralelos e apontam no mesmo sentido. Logo, a equação (8) é
reescrita da seguinte maneira:
𝑊 = 
𝑎
𝑏
𝑚 𝑑v ∙
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
Forças Conservativas
- Teorema Trabalho-Energia
A equação (6) pode ser reescrita como:
(7)
𝑊 = 
𝑎
𝑏
𝑚 𝑑v ∙ v (8)
Obviamente, v e dv são paralelos e apontam no mesmo sentido. Logo, a equação (8) é
reescrita da seguinte maneira:
𝑊 = 
𝑎
𝑏
𝑚v 𝑑v (9)
𝑊 = 
𝑎
𝑏
𝑚 𝑑v ∙
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
Forças Conservativas
- Teorema Trabalho-Energia
Resolvendo a equação (9):
(10)𝑊 = m
v𝑏
2
2
−
v𝑎
2
2
Forças Conservativas
- Teorema Trabalho-Energia
Resolvendo a equação (9):
(10)𝑊 = m
v𝑏
2
2
−
v𝑎
2
2
𝐾𝑏 𝐾𝑎
Forças Conservativas
- Teorema Trabalho-Energia
Resolvendo a equação (9):
(10)𝑊 = m
v𝑏
2
2
−
v𝑎
2
2
𝐾𝑏 𝐾𝑎
𝑊 = Δ𝐾
onde 𝐾𝑏 e 𝐾𝑎 são as energias cinéticas da partícula nas posições a e b. Portanto, para forças
conservativas, o trabalho realizados por elas sobre uma partícula é igual à variação da energia
cinética que ela sofre.
(11)
Forças Conservativas
- Teorema Trabalho-Energia
Podemos fazer um estudo similar para mostrar a relação entre o trabalho realizado por
forças conservativas e a energia potencial. Por simplicidade, vamos estudar o caso da força
gravitacional (lembrando que o resultado obtido aqui servirá para qualquer tipo de força
conservativa).
Forças Conservativas
- Teorema Trabalho-Energia
Podemos fazer um estudo similar para mostrar a relação entre o trabalho realizado por
forças conservativas e a energia potencial. Por simplicidade, vamos estudar o caso da força
gravitacional (lembrando que o resultado obtido aqui servirá para qualquer tipo de força
conservativa).
Vamos supor o caso onde um corpo, de massa m, é lançado pra cima e depois recolhido
no mesmo ponto de partida. Para entendermos o que acontece neste caso, vamos dividir essa
situação em duas partes: quando o corpo sobe e quando o corpo desce.
A Energia Potencial Elétrica
A Energia Potencial Elétrica
- Teorema Trabalho-Energia
Podemos fazer um estudo similar para mostrar a relação entre o trabalho realizado por
forças conservativas e a energia potencial. Por simplicidade, vamos estudar o caso da força
gravitacional (lembrando que o resultado obtido aqui servirá para qualquer tipo de força
conservativa).
Vamos supor o caso onde um corpo, de massa m, é lançado pra cima e depois recolhido
no mesmo ponto de partida. Para entendermos o que acontece neste caso, vamos dividir essa
situação em duas partes: quando o corpo sobe e quando o corpo desce.
a
b
v
Quando o corpo inicia o movimento de subida, ele possui, no posição inicial
do movimento (ponto a) máxima velocidade, consequentemente, máxima energia
cinética. A energia mecânica de um corpo em um determinado ponto do espaço é
dada por:
𝐸𝑀 = 𝐾 + 𝑈 (12)
- Teorema Trabalho-Energia
Como no ponto inicial a energia cinética é máxima,a energia potencial neste ponto
é nula. Conforme a partícula ganha altura, sua velocidade diminui. Sendo assim, a variação
da energia cinética é negativa, o que, pela equação (11), nos diz que o trabalho realizado
pela força gravitacional sobre o corpo é negativo. Em compensação, o corpo ganha energia
potencial.
a
b
v
P
A Energia Potencial Elétrica
- Teorema Trabalho-Energia
Como no ponto inicial a energia cinética é máxima, a energia potencial neste ponto
é nula. Conforme a partícula ganha altura, sua velocidade diminui. Sendo assim, a variação
da energia cinética é negativa, o que, pela equação (11), nos diz que o trabalho realizado
pela força gravitacional sobre o corpo é negativo. Em compensação, o corpo ganha energia
potencial.
No momento em que atinge a altura máxima, a velocidade do corpo é nula e,
consequentemente, a energia cinética do corpo é nula. E, de acordo com a equação (12), a
energia potencial é máxima. Em outras palavras, enquanto a variação de energia cinética é
negativa, a variação da energia potencial é positiva. Quando o corpo inicia a descida, o balanço
de energia se inverte. Portanto, matematicamente temos:
𝑊 = +Δ𝐾 = −Δ𝑈 (13)
a
b
v
P
a
b
P
A Energia Potencial Elétrica
Voltemos ao caso da força elétrica. Primeiramente, vamos verificar se ela é ou não
conservativa. Da Lei de Coulomb temos:
 𝐹 =
1
4𝜋𝜀0
𝑄𝑞
𝑟2
 𝑟 (14)
A Energia Potencial Elétrica
Voltemos ao caso da força elétrica. Primeiramente, vamos verificar se ela é ou não
conservativa. Da Lei de Coulomb temos:
 𝐹 =
1
4𝜋𝜀0
𝑄𝑞
𝑟2
 𝑟
𝑊 = 
𝑎
𝑏
 𝐹 ∙ 𝑑 𝑟
(14)
Substituindo em (1) temos:
𝑊 = 
𝑎
𝑏
1
4𝜋𝜀0
𝑄𝑞
𝑟2
 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 𝑟
A Energia Potencial Elétrica
Voltemos ao caso da força elétrica. Primeiramente, vamos verificar se ela é ou não
conservativa. Da Lei de Coulomb temos:
 𝐹 =
1
4𝜋𝜀0
𝑄𝑞
𝑟2
 𝑟
𝑊 = 
𝑎
𝑏
 𝐹 ∙ 𝑑 𝑟
(14)
Substituindo em (1) temos:
𝑊 = 
𝑎
𝑏
1
4𝜋𝜀0
𝑄𝑞
𝑟2
 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 𝑟 𝑊 =
𝑄𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝑎
𝑏
1
𝑟2
𝑑𝑟
A Energia Potencial Elétrica
Voltemos ao caso da força elétrica. Primeiramente, vamos verificar se ela é ou não
conservativa. Da Lei de Coulomb temos:
A Energia Potencial Elétrica
 𝐹 =
1
4𝜋𝜀0
𝑄𝑞
𝑟2
 𝑟
𝑊 = 
𝑎
𝑏
 𝐹 ∙ 𝑑 𝑟
(14)
Substituindo em (1) temos:
𝑊 = 
𝑎
𝑏
1
4𝜋𝜀0
𝑄𝑞
𝑟2
 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 𝑟 𝑊 =
𝑄𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝑎
𝑏
1
𝑟2
𝑑𝑟
𝑊 =
𝑄𝑞
4𝜋𝜀0
−
1
𝑟𝑏
−
1
𝑟𝑎
Voltemos ao caso da força elétrica. Primeiramente, vamos verificar se ela é ou não
conservativa. Da Lei de Coulomb temos:
A Energia Potencial Elétrica
 𝐹 =
1
4𝜋𝜀0
𝑄𝑞
𝑟2
 𝑟
𝑊 = 
𝑎
𝑏
 𝐹 ∙ 𝑑 𝑟
(14)
Substituindo em (1) temos:
𝑊 = 
𝑎
𝑏
1
4𝜋𝜀0
𝑄𝑞
𝑟2
 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 𝑟 𝑊 =
𝑄𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝑎
𝑏
1
𝑟2
𝑑𝑟
𝑊 =
𝑄𝑞
4𝜋𝜀0
−
1
𝑟𝑏
−
1
𝑟𝑎
Como o trabalho realizado pela força elétrica só depende
das posições final e inicial da partícula, ela é conservativa!
(15)
Ótimo! Como a força elétrica é conservativa, podemos definir uma energia potencial elétrica.
Comparando as equações (13) e (15) temos:
A Energia Potencial Elétrica
−Δ𝑈 =
𝑄𝑞
4𝜋𝜀0
−
1
𝑟𝑏
−
1
𝑟𝑎
Ótimo! Como a força elétrica é conservativa, podemos definir uma energia potencial elétrica.
Comparando as equações (13) e (15) temos:
A Energia Potencial Elétrica
A equação (16) dá a variação da energia potencial elétrica quando a distância de separação
entre as cargas passa de 𝑟𝑎 para 𝑟𝑏.
−Δ𝑈 =
𝑄𝑞
4𝜋𝜀0
−
1
𝑟𝑏
−
1
𝑟𝑎
(16)Δ𝑈 =
𝑄𝑞
4𝜋𝜀0
1
𝑟𝑏
−
1
𝑟𝑎
Ótimo! Como a força elétrica é conservativa, podemos definir uma energia potencial elétrica.
Comparando as equações (13) e (15) temos:
A Energia Potencial Elétrica
A equação (16) dá a variação da energia potencial elétrica quando a distância de separação
entre as cargas passa de 𝑟𝑎 para 𝑟𝑏.
−Δ𝑈 =
𝑄𝑞
4𝜋𝜀0
−
1
𝑟𝑏
−
1
𝑟𝑎
Em geral, é conveniente definir um valor de referência para 𝑟𝑎, de modo a se estabelecer a
variação da energia potencial em relação a este ponto. Para o caso de um sistema de cargas
pontuais, adota-se que 𝑟𝑎 → ∞ e a energia potencial elétrica nesse ponto 𝑈(𝑟𝑎 → ∞) = 0. Com
isso, a energia potencial elétrica de um sistema de duas cargas pontuais (uma delas na origem do
sistema de coordenadas) separadas por uma distância 𝑟 é:
(16)Δ𝑈 =
𝑄𝑞
4𝜋𝜀0
1
𝑟𝑏
−
1
𝑟𝑎
(17)𝑈 =
𝑄𝑞
4𝜋𝜀0
1
𝑟
Se nenhuma das cargas estiver na origem do sistema de coordenadas:
A Energia Potencial Elétrica
(18)𝑈 =
𝑄𝑞
4𝜋𝜀0
1
| 𝑟 − 𝑟′|
onde 𝑟 e 𝑟′ são as posições das cargas Q e q em relação à origem do sistema de coordenadas:
Se nenhuma das cargas estiver na origem do sistema de coordenadas:
A Energia Potencial Elétrica
(18)𝑈 =
𝑄𝑞
4𝜋𝜀0
1
| 𝑟 − 𝑟′|
onde 𝑟 e 𝑟′ são as posições das cargas Q e q em relação à origem do sistema de coordenadas:
No caso em que o sistema seja composto por mais do que duas cargas:
(19)𝑈 =
𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝑖=1
𝑁
𝑄𝑖
| 𝑟 − 𝑟′|
Se nenhuma das cargas estiver na origem do sistema de coordenadas:
A Energia Potencial Elétrica
(18)𝑈 =
𝑄𝑞
4𝜋𝜀0
1
| 𝑟 − 𝑟′|
onde 𝑟 e 𝑟′ são as posições das cargas Q e q em relação à origem do sistema de coordenadas:
No caso em que o sistema seja composto por mais do que duas cargas:
(19)𝑈 =
𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝑖=1
𝑁
𝑄𝑖
| 𝑟 − 𝑟′|
Unidade de U no S.I.: 𝑈 = 𝐽 (joule).
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
a) Calcule o trabalho realizado por uma força externa para trazer
lentamente uma carga –q do infinito até o vértice do triângulo
mostrado na figura ao lado;
q q
a
a
a b) Qual é a energia potencial desse sistema de três cargas quando a
carga –q está sobre o vértice do triângulo?
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
a) Calcule o trabalho realizado por uma força externa para trazer
lentamente uma carga –q do infinito até o vértice do triângulo
mostrado na figura ao lado;
q q
a
a
a
Trazer a carga lentamente significa que não haverá nenhuma adição de energia
cinética à carga durante o deslocamento. Em outras palavras, a variação de
energia cinética da carga para sair do infinito e chegar no vértice do triângulo é
nula ∆𝐾 = 0 .
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
a) Calcule o trabalho realizado por uma força externa para trazer
lentamente uma carga –q do infinito até o vértice do triângulo
mostrado na figura ao lado;
q q
a
a
a
Trazer a carga lentamente significa que não haverá nenhuma adição de energia
cinética à carga durante o deslocamento. Em outras palavras, a variação de
energia cinética da carga para sair do infinito e chegar no vértice do triângulo é
nula ∆𝐾 = 0 .
A equação (11) nos disse que:
𝑊 = Δ𝐾 (11)
Forças Conservativas
Ex 1) Triângulo de cargas
a) Calcule o trabalho realizado por uma força externa para trazer
lentamente uma carga –q do infinito até o vértice do triângulo
mostrado na figura ao lado;
q q
a
a
a
Trazer a carga lentamente significa que não haverá nenhuma adição de energia
cinética à carga durante o deslocamento. Em outras palavras, a variação de
energia cinética da carga para sair do infinito e chegar no vértice do triângulo é
nula ∆𝐾 = 0 .
A equação (11) nos disse que:
𝑊 = Δ𝐾 (11)
Logo, para este caso:
𝑊𝑡𝑜𝑡 = Δ𝐾 = 0
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
a) Calcule o trabalho realizado por uma força externa para trazer
lentamente uma carga –q do infinito até o vértice do triângulo
mostrado na figura ao lado;
q q
a
a
a
Notemos que nesta situação duas são as forças que atuam sobre a carga –q: a
força elétrica, devido às duas cargas +q nos vértices do triângulo e a força
externa que atua no sentido oposto, anulando a aceleração que a partícula
ganharia. Sendo assim, o trabalho total pode ser reescrito como a soma dos
trabalhos que cada uma dessas forças realiza individualmente
𝑊𝑡𝑜𝑡 = 𝑊𝑒𝑙 +𝑊𝑒𝑥𝑡 = 0
 𝐹𝑒𝑙
 𝐹𝑒𝑥𝑡
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
a) Calcule o trabalho realizadopor uma força externa para trazer
lentamente uma carga –q do infinito até o vértice do triângulo
mostrado na figura ao lado;
q q
a
a
a
Notemos que nesta situação duas são as forças que atuam sobre a carga –q: a
força elétrica, devido às duas cargas +q nos vértices do triângulo e a força
externa que atua no sentido oposto, anulando a aceleração que a partícula
ganharia. Sendo assim, o trabalho total pode ser reescrito como a soma dos
trabalhos que cada uma dessas forças realiza individualmente
𝑊𝑡𝑜𝑡 = 𝑊𝑒𝑙 +𝑊𝑒𝑥𝑡 = 0
 𝐹𝑒𝑙
 𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑊𝑒𝑥𝑡 = −𝑊𝑒𝑙
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
a) Calcule o trabalho realizado por uma força externa para trazer
lentamente uma carga –q do infinito até o vértice do triângulo
mostrado na figura ao lado;
q q
a
a
a
Notemos que nesta situação duas são as forças que atuam sobre a carga –q: a
força elétrica, devido às duas cargas +q nos vértices do triângulo e a força
externa que atua no sentido oposto, anulando a aceleração que a partícula
ganharia. Sendo assim, o trabalho total pode ser reescrito como a soma dos
trabalhos que cada uma dessas forças realiza individualmente
𝑊𝑡𝑜𝑡 = 𝑊𝑒𝑙 +𝑊𝑒𝑥𝑡 = 0
 𝐹𝑒𝑙
 𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑊𝑒𝑥𝑡 = −𝑊𝑒𝑙
A equação (11) nos disse que: 𝑊 = −Δ𝑈 (13)
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
a) Calcule o trabalho realizado por uma força externa para trazer
lentamente uma carga –q do infinito até o vértice do triângulo
mostrado na figura ao lado;
q q
a
a
a
Notemos que nesta situação duas são as forças que atuam sobre a carga –q: a
força elétrica, devido às duas cargas +q nos vértices do triângulo e a força
externa que atua no sentido oposto, anulando a aceleração que a partícula
ganharia. Sendo assim, o trabalho total pode ser reescrito como a soma dos
trabalhos que cada uma dessas forças realiza individualmente
𝑊𝑡𝑜𝑡 = 𝑊𝑒𝑙 +𝑊𝑒𝑥𝑡 = 0
 𝐹𝑒𝑙
 𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑊𝑒𝑥𝑡 = −𝑊𝑒𝑙
A equação (13) nos disse que: 𝑊𝑒𝑙 = −Δ𝑈 (13)
Portanto: 𝑊𝑒𝑥𝑡 = −Δ𝑈
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
a) Calcule o trabalho realizado por uma força externa para trazer
lentamente uma carga –q do infinito até o vértice do triângulo
mostrado na figura ao lado;
q q
a
a
a
Notemos que nesta situação duas são as forças que atuam sobre a carga –q: a
força elétrica, devido às duas cargas +q nos vértices do triângulo e a força
externa que atua no sentido oposto, anulando a aceleração que a partícula
ganharia. Sendo assim, o trabalho total pode ser reescrito como a soma dos
trabalhos que cada uma dessas forças realiza individualmente
𝑊𝑡𝑜𝑡 = 𝑊𝑒𝑙 +𝑊𝑒𝑥𝑡 = 0
 𝐹𝑒𝑙
 𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑊𝑒𝑥𝑡 = −𝑊𝑒𝑙
A equação (13) nos disse que: 𝑊𝑒𝑙 = −Δ𝑈 (13)
Portanto: 𝑊𝑒𝑥𝑡 = Δ𝑈 𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝑈𝑃 − 𝑈∞
P
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
a) Calcule o trabalho realizado por uma força externa para trazer
lentamente uma carga –q do infinito até o vértice do triângulo
mostrado na figura ao lado;
q q
a
a
a
Como visto, 𝑈∞ = 0. Quando a carga –q chega ao ponto P, ela fica situada a
mesma distância a de cada uma das cargas q. Pela equação (19) temos:
 𝐹𝑒𝑙
 𝐹𝑒𝑥𝑡
P
𝑈 =
−𝑞
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑎
+
𝑞
𝑎
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
a) Calcule o trabalho realizado por uma força externa para trazer
lentamente uma carga –q do infinito até o vértice do triângulo
mostrado na figura ao lado;
q q
a
a
a
Como visto, 𝑈∞ = 0. Quando a carga –q chega ao ponto P, ela fica situada a
mesma distância a de cada uma das cargas q. Pela equação (19) temos:
𝑊𝑡𝑜𝑡 = 𝑊𝑒𝑙 +𝑊𝑒𝑥𝑡 = 0
 𝐹𝑒𝑙
 𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑊𝑒𝑥𝑡 = −𝑊𝑒𝑙
A equação (13) nos disse que: 𝑊𝑒𝑙 = −Δ𝑈 (13)
Portanto: 𝑊𝑒𝑥𝑡 = Δ𝑈 𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝑈𝑃 − 𝑈∞
P
𝑈 =
−𝑞
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑎
+
𝑞
𝑎 𝑈 =
−𝑞2
4𝜋𝜀0𝑎
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
a) Calcule o trabalho realizado por uma força externa para trazer
lentamente uma carga –q do infinito até o vértice do triângulo
mostrado na figura ao lado;
q q
a
a
a
Como visto, 𝑈∞ = 0. Quando a carga –q chega ao ponto P, ela fica situada a
mesma distância a de cada uma das cargas q. Pela equação (19) temos:
 𝐹𝑒𝑙
 𝐹𝑒𝑥𝑡
Portanto:
𝑊𝑒𝑥𝑡 = Δ𝑈 =
−𝑞2
4𝜋𝜀0𝑎
P
𝑈𝑃 =
−𝑞
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑎
+
𝑞
𝑎
𝑈𝑃 =
−𝑞2
4𝜋𝜀0𝑎
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
A energia potencial total do sistema é dada por:
𝑈𝑡𝑜𝑡 = 𝑈13 + 𝑈23 + 𝑈12
b) Qual é a energia potencial desse sistema de três cargas quando a
carga –q está sobre o vértice do triângulo?
q q
a
a
a
 𝐹𝑒𝑙
 𝐹𝑒𝑥𝑡
1
3
2
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
A energia potencial total do sistema é dada pela equação (19):
b) Qual é a energia potencial desse sistema de três cargas quando a
carga –q está sobre o vértice do triângulo?
q q
a
a
a
 𝐹𝑒𝑙
 𝐹𝑒𝑥𝑡
1
3
2
𝑈𝑡𝑜𝑡 =
𝑞(−𝑞)
4𝜋𝜀0𝑎
+
𝑞(−𝑞)
4𝜋𝜀0𝑎
𝑞𝑞
4𝜋𝜀0𝑎
𝑈𝑡𝑜𝑡 = 𝑈13 + 𝑈23 + 𝑈12
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
A energia potencial total do sistema é dada pela equação (19):
b) Qual é a energia potencial desse sistema de três cargas quando a
carga –q está sobre o vértice do triângulo?
q q
a
a
a
 𝐹𝑒𝑙
 𝐹𝑒𝑥𝑡
1
3
2
𝑈𝑡𝑜𝑡 =
𝑞(−𝑞)
4𝜋𝜀0𝑎
+
𝑞(−𝑞)
4𝜋𝜀0𝑎
𝑞𝑞
4𝜋𝜀0𝑎
𝑈𝑡𝑜𝑡 = 𝑈13 + 𝑈23 + 𝑈12
𝑈𝑡𝑜𝑡 =
−𝑞2
4𝜋𝜀0𝑎
A Energia Potencial Elétrica
Ex 1) Triângulo de cargas
A energia potencial total do sistema é dada pela equação (19):
b) Qual é a energia potencial desse sistema de três cargas quando a
carga –q está sobre o vértice do triângulo?
q q
a
a
a
 𝐹𝑒𝑙
 𝐹𝑒𝑥𝑡
1
3
2
𝑈𝑡𝑜𝑡 =
𝑞(−𝑞)
4𝜋𝜀0𝑎
+
𝑞(−𝑞)
4𝜋𝜀0𝑎
𝑞𝑞
4𝜋𝜀0𝑎
𝑈𝑡𝑜𝑡 = 𝑈13 + 𝑈23 + 𝑈12
𝑈𝑡𝑜𝑡 =
−𝑞2
4𝜋𝜀0𝑎
Obs: O termo 𝑈12 não entrou nos cálculos do item anterior pois, uma vez que as posições das cargas 1
e 2 não variaram durante o deslocamento da carga 3 do infinito até o vértice do triângulo, a VARIAÇÃO
da energia potencial ∆𝑈12 = 0.
O Potencial Elétrico
Podemos definir o potencial elétrico 𝑉 de maneira análoga à de campo elétrico. Vamos
considerar, então, uma distrubuição de cargas aleatória e uma carga de teste 𝑞0, conforme
mostrado na figura abaixo.
O Potencial Elétrico
distribuição 
de cargas
𝑞0
Podemos definir o potencial elétrico 𝑉 de maneira análoga à de campo elétrico. Vamos
considerar, então, uma distrubuição de cargas aleatória e uma carga de teste 𝑞0, conforme
mostrado na figura abaixo.
O Potencial Elétrico
distribuição 
de cargas
𝑞0
Como vimos há pouco, a energia potencial U associada à
interação entre a distribuição de cargas e a carga de testes
deve ser proporcional a 𝑞0. Podemos reescrever a equação
(17) como:
𝑈 = 𝑞𝑉 (20)
Podemos definir o potencial elétrico 𝑉 de maneira análoga à de campo elétrico. Vamos
considerar, então, uma distrubuição de cargas aleatória e uma carga de teste 𝑞0, conforme
mostrado na figura abaixo.
O Potencial Elétrico
distribuição 
de cargas
𝑞0
Como vimos há pouco, a energia potencial U associada à
interação entre a distribuição de cargas e a carga de testes
deve ser proporcional a 𝑞0. Podemos reescrever a equação
(17) como:
𝑈 = 𝑞0𝑉 (20)
Definimos, então, o potencial elétrico V como sendo a
energia potencial elétrica por unidade de carga.
𝑉 =
𝑈
𝑞0
(21)
onde, no S.I.:
𝑉 =
𝐽
𝐶
= 𝑉
joule por 
coulomb = volts
Podemos definir o potencial elétrico 𝑉 de maneira análoga à de campo elétrico. Vamos
considerar, então, uma distrubuição de cargas aleatória e uma carga de teste 𝑞0, conforme
mostrado na figura abaixo.
O Potencial Elétrico
distribuição 
de cargas
𝑞0
Note que o potencial elétrico V é uma propriedade da
distribuição de cargas e é independente do valor da carga de
teste. A partir da equação (21), podemos escrever o
trabalho realizado pela força elétrica para mover uma carga
de prova de um ponto a para um ponto b em função do
potencial elétrico:
𝑊𝑎𝑏 = −∆𝑈𝑎𝑏 = − 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = 𝑈𝑎 −𝑈𝑏 (22)
Podemos definir o potencial elétrico 𝑉 de maneira análoga à de campo elétrico. Vamos
considerar, então, uma distrubuição de cargas aleatória e uma carga de teste 𝑞0, conforme
mostrado na figura abaixo.
O Potencial Elétrico
distribuição 
de cargas
𝑞0
Note que o potencial elétrico V é uma propriedade da
distribuição de cargas e é independente do valor da carga de
teste. A partir da equação (21), podemos escrever o
trabalho realizado pela força elétrica para mover uma carga
de prova de um ponto a para um ponto b em função do
potencial elétrico:
𝑊𝑎𝑏 = −∆𝑈𝑎𝑏 = − 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏 (22)
𝑊𝑎𝑏 = 𝑞0𝑉𝑎 − 𝑞0𝑉𝑏 = 𝑞0 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 (23)
Podemos definir o potencial elétrico 𝑉 de maneira análoga à de campo elétrico. Vamos
considerar, então, uma distrubuição de cargas aleatória e uma carga de teste 𝑞0, conforme
mostrado na figura abaixo.
O Potencial Elétrico
distribuição 
de cargas
𝑞0
Note que o potencial elétrico V é uma propriedade da
distribuição de cargas e é independente do valor da carga de
teste. A partir da equação (21), podemos escrever o
trabalho realizado pela força elétrica para mover uma carga
de prova de um ponto a para um ponto b em função do
potencial elétrico:
𝑊𝑎𝑏 = −∆𝑈𝑎𝑏 = − 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏 (22)
𝑊𝑎𝑏 = 𝑞0𝑉𝑎 − 𝑞0𝑉𝑏 = 𝑞0 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 (23)
𝑊𝑎𝑏 = 𝑞0𝑉𝑎𝑏 (24)
Podemos definir o potencial elétrico 𝑉 de maneira análoga à de campo elétrico. Vamos
considerar, então, uma distribuição de cargas aleatória e uma carga de teste 𝑞0, conforme
mostrado na figura abaixo.
O Potencial Elétrico
distribuição 
de cargas
𝑞0
Note que o potencial elétrico V é uma propriedade da
distribuição de cargas e é independente do valor da carga de
teste. A partir da equação (21), podemos escrever o
trabalho realizado pela força elétrica para mover uma carga
de prova de um ponto a para um ponto b em função do
potencial elétrico:
𝑊𝑎𝑏 = −∆𝑈𝑎𝑏 = − 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏 (22)
𝑊𝑎𝑏 = 𝑞0𝑉𝑎 − 𝑞0𝑉𝑏 = 𝑞0 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 (23)
𝑊𝑎𝑏 = 𝑞0𝑉𝑎𝑏 (24)
Logo, o potencial elétrico entre os pontos a e b, 𝑉𝑎𝑏 pode ser entendido como o trabalho
realizado pela força elétrica para mover uma carga de prova de um ponto a para um ponto b
por unidade de carga. 𝑉𝑎𝑏 =
𝑊𝑎𝑏
𝑞0
(25)
Distribuições Contínuas de cargas
Distribuições Contínuas de cargas
Se a distribuição das cargas for contínua (barra carregada, anel carregado, disco carregado, esfera
carregada, etc), tal qual foi feito para o cálculo do campo elétrico, deve-se dividir a distribuição de
cargas em elementos infinitesimais de carga 𝑑𝑞 (conforme figura abaixo) e integrar sobre todos os
elementos.
Distribuições Contínuas de cargas
Se a distribuição das cargas for contínua (barra carregada, anel carregado, disco carregado, esfera
carregada, etc), tal qual foi feito para o cálculo do campo elétrico, deve-se dividir a distribuição de
cargas em elementos infinitesimais de carga 𝑑𝑞 (conforme figura abaixo) e integrar sobre todos os
elementos.
distribuição 
de cargas
𝑃
𝑑𝑞
𝑟
Distribuições Contínuas de cargas
Se a distribuição das cargas for contínua (barra carregada, anel carregado, disco carregado, esfera
carregada, etc), tal qual foi feito para o cálculo do campo elétrico, deve-se dividir a distribuição de
cargas em elementos infinitesimais de carga 𝑑𝑞 (conforme figura abaixo) e integrar sobre todos os
elementos.
distribuição 
de cargas
𝑃
𝑑𝑞
𝑟
O infinitésimo de potencial 𝑑𝑉 é calculado como:
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
(26)
Distribuições Contínuas de cargas
Se a distribuição das cargas for contínua (barra carregada, anel carregado, disco carregado, esfera
carregada, etc), tal qual foi feito para o cálculo do campo elétrico, deve-se dividir a distribuição de
cargas em elementos infinitesimais de carga 𝑑𝑞 (conforme figura abaixo) e integrar sobre todos os
elementos.
distribuição 
de cargas
𝑃
𝑑𝑞
𝑟
O infinitésimo de potencial 𝑑𝑉 é calculado como:
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
(26)
Como mencionado, o potencial total gerado pela distribuição
de cargas no ponto P é dado pela integral sobre todos os
elementos 𝑑𝑉:
𝑉 = 𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
 
𝑑𝑞
𝑟
(27)
Distribuições Contínuas de cargas
Assim como no caso do cálculo do campo elétrico, deve-se expressar o elemento de carga em função
de um elemento de linha (𝑑𝑟), de área (𝑑𝐴) ou de volume (𝑑V), dependendo de como é a geometria
da distribuição de cargas.
distribuição 
de cargas
𝑃
𝑑𝑞
𝑟
𝑑𝑞 = 𝜆 𝑑𝑟 (28)
onde 𝜆, 𝜎 e 𝜌 são, respectivamente, as densidades linear, superficial
e volumar de carga.
(30)
𝑑𝑞 = 𝜎 𝑑𝐴
𝑑𝑞 = 𝜌 𝑑V
(29)
Distribuições Contínuas de cargas
Assim como no caso do cálculo do campo elétrico, deve-se expressar o elemento de carga em função
de um elemento de linha (𝑑𝑟), de área (𝑑𝐴) ou de volume (𝑑V), dependendo de como é a geometria
da distribuição de cargas.
distribuição 
de cargas
𝑃
𝑑𝑞
𝑟
Duas observações importantes:
a) ao contrário de força elétrica e campo elétrico, o potencial
V é uma grandeza escalar. Obviamente isto facilita muito a
resolução das integrais.
𝑑𝑞 = 𝜆 𝑑𝑟 (28)
onde 𝜆, 𝜎 e 𝜌 são, respectivamente, as densidades linear, superficial
e volumar de carga.
(30)
𝑑𝑞 = 𝜎 𝑑𝐴
𝑑𝑞 = 𝜌 𝑑V
(29)
Distribuições Contínuas de cargas
Assim como no caso do cálculo do campo elétrico, deve-se expressar o elemento de carga em função
de um elemento de linha (𝑑𝑟), de área (𝑑𝐴) ou de volume (𝑑V), dependendo de como é a geometria
da distribuição de cargas.
distribuição 
de cargas
𝑃
𝑑𝑞
𝑟
b) A adoção de 𝑈 ∞ = 0 e, consequentemente, V ∞ = 0,
é recomendável apenas para distribuições finitas de cargas.
Para distribuições infinitas de cargas, usualmente se calcula o
potencial a partir do campo elétrico gerado por ela, como
veremos a seguir.
𝑑𝑞 = 𝜆 𝑑𝑟 (28)
onde 𝜆, 𝜎 e 𝜌 são, respectivamente, as densidades linear, superficial
e volumar de carga.
(30)
𝑑𝑞 = 𝜎 𝑑𝐴
𝑑𝑞 = 𝜌 𝑑V
(29)
Calculando o Potencial a 
partir do Campo Elétrico
Calculando o Potencial a partir do Campo Elétrico
Considere uma distribuição de cargas arbitrária que produza um campo elétrico 𝐸. Este campo
elétrico é responsável por fazer uma carga de prova 𝑞0 se mover do ponto a para o ponto b,
conforme mostra a figura abaixo.
distribuição 
de cargas
𝑑𝑞
a
b
𝑞0
Calculando o Potencial a partir do Campo Elétrico
Considere uma distribuição de cargas positivas arbitrária que produza um campo elétrico 𝐸. Este
campo elétrico é responsável por fazer uma carga de prova positiva 𝑞0 se mover do ponto a para o
ponto b, conforme mostra a figura abaixo.
distribuição 
de cargas
𝑑𝑞
a
b
𝑞0
Como a distribuição de cargas e a carga de prova
têm mesmo sinal, surge uma força de repulsão
entre elas.
 𝐹
Calculando o Potencial a partir do Campo Elétrico
Considere uma distribuição de cargas positivas arbitrária que produza um campo elétrico 𝐸. Este
campo elétrico é responsável por fazer uma carga de prova positiva 𝑞0 se mover do ponto a para o
ponto b, conforme mostra a figura abaixo.
distribuição 
de cargas
𝑑𝑞
a
b
𝑞0
Como a distribuição de cargas e a carga de prova
têm mesmo sinal, surge uma força de repulsão
entre elas.
 𝐹
Nessas condições, o trabalho realizado por 𝐹 sobre
𝑞0 no deslocamento de a para b é dado pela
equação (1):
𝑊𝑎𝑏 = 
𝑎
𝑏
 𝐹 ∙ 𝑑 𝑟 (1)
𝑑 𝑟
Calculando o Potencial a partir do Campo Elétrico
Considere uma distribuição de cargas positivas arbitrária que produza um campo elétrico 𝐸. Este
campo elétrico é responsável por fazer uma carga de prova positiva 𝑞0 se mover do ponto a para o
ponto b, conforme mostra a figura abaixo.
distribuição 
de cargas
𝑑𝑞
a
b
𝑞0
 𝐹
Dividindo a equação (31) por 𝑞0:
𝑊𝑎𝑏 = 
𝑎
𝑏
 𝐹 ∙ 𝑑 𝑟 = 
𝑎
𝑏
𝑞0𝐸 ∙ 𝑑 𝑟 (31)
𝑑 𝑟
𝑊𝑎𝑏
𝑞0
= 
𝑎
𝑏
𝐸 ∙ 𝑑 𝑟
Calculando o Potencial a partir do Campo Elétrico
Considere uma distribuição de cargas positivas arbitrária que produza um campo elétrico 𝐸.Este
campo elétrico é responsável por fazer uma carga de prova positiva 𝑞0 se mover do ponto a para o
ponto b, conforme mostra a figura abaixo.
distribuição 
de cargas
𝑑𝑞
a
b
𝑞0
Substituindo as equações (23) e (25) na equação
(32):
 𝐹
Dividindo a equação (31) por 𝑞0:
𝑊𝑎𝑏 = 
𝑎
𝑏
 𝐹 ∙ 𝑑 𝑟 = 
𝑎
𝑏
𝑞0𝐸 ∙ 𝑑 𝑟 (31)
𝑑 𝑟
𝑊𝑎𝑏
𝑞0
= 
𝑎
𝑏
𝐸 ∙ 𝑑 𝑟 (32)
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 
𝑎
𝑏
𝐸 ∙ 𝑑 𝑟 = − 
𝑏
𝑎
𝐸 ∙ 𝑑 𝑟 (33)
Calculando o Potencial a partir do Campo Elétrico
Considere uma distribuição de cargas positivas arbitrária que produza um campo elétrico 𝐸. Este
campo elétrico é responsável por fazer uma carga de prova positiva 𝑞0 se mover do ponto a para o
ponto b, conforme mostra a figura abaixo.
distribuição 
de cargas
𝑑𝑞
a
b
𝑞0
A equação (33) é útil quando o campo
elétrico é simples de ser calculado (tipicamente pela
Lei de Gauss).
Além disso, para distribuições finitas, em
geral adota-se 𝑉𝑏 = 0 em 𝑏 → ∞.
Por fim, em um caminho fechado, ou seja,
a=b, 𝑉𝑎 = 𝑉𝑏 e 𝐸 ∙ 𝑑 𝑟 = 0.
 𝐹
𝑑 𝑟
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 
𝑎
𝑏
𝐸 ∙ 𝑑 𝑟 = − 
𝑏
𝑎
𝐸 ∙ 𝑑 𝑟 (33)
Calculando o Potencial a partir do Campo Elétrico
Considere uma distribuição de cargas positivas arbitrária que produza um campo elétrico 𝐸. Este
campo elétrico é responsável por fazer uma carga de prova positiva 𝑞0 se mover do ponto a para o
ponto b, conforme mostra a figura abaixo.
distribuição 
de cargas
𝑑𝑞
a
b
𝑞0
 𝐹
𝑑 𝑟
Da mesma forma que o potencial pode ser calculado a partir do
campo elétrico, o campo elétrico pode ser obtido através do
potencial da seguinte maneira:
𝐸 = −𝛻𝑉 (34)
onde 𝛻𝑉 é o gradiente do potencial em todas as direções do
espaço.
Superfícies Equipotenciais
Superfícies Equipotenciais
Como o nome sugere, superfícies equipotenciais são aquelas onde o potencial V tem valor constante.
𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 (35)
Superfícies Equipotenciais
Como o nome sugere, superfícies equipotenciais são aquelas onde o potencial V tem valor constante.
𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 (35)
Como os potenciais de dois pontos sobre a mesma superfície equipotencial são iguais, a diferença de
potencial entre eles é nula. Como vimos, em uma situação como essa o campo elétrico não realiza
trabalho sobre a carga que se move entre esses dois pontos. A figura abaixo resume o que ocorre em
uma superfície equipotencial.
OBS: As linhas de campo elétrico são
perpendiculares às superfícies equipotenciais.
Superfícies Equipotenciais
A figura mostra quatro diferentes superfícies equipotenciais, com potenciais 𝑉1, 𝑉2, 𝑉3 e 𝑉4. Nessa
região, foram desenhadas quatro diferentes trajetórias (I, II, III e IV) que uma partícula pode percorrer.
Vejamos o que acontece com o trabalho realizado sobre a partícula em cada um dos deslocamentos
apontados.
No caminho I, vemos que a partícula se
movimentou entre dois pontos de mesmo
potencial 𝑉1 . Como vimos, nesta situação o
trabalho realizado sobre a partícula para se
mover entre os pontos destacados é NULO.
Superfícies Equipotenciais
A figura mostra quatro diferentes superfícies equipotenciais, com potenciais 𝑉1, 𝑉2, 𝑉3 e 𝑉4. Nessa
região, foram desenhadas quatro diferentes trajetórias (I, II, III e IV) que uma partícula pode percorrer.
Vejamos o que acontece com o trabalho realizado sobre a partícula em cada um dos deslocamentos
apontados.
No caminho II, vemos que a partícula se movimentou
partindo de um ponto de potencial 𝑉3, passou pela região
de potencial 𝑉4 e finalizou seu deslocamento em um outro
ponto de potencial 𝑉3. Novamente, o trabalho realizado
sobre a partícula para se mover entre os pontos
destacados é NULO. Devemos lembrar aqui que o trabalho
realizado por forças conservativas INDEPENDE do caminho
escolhido para mover uma partícula de um ponto a outro.
O que vale é o ponto inicial e o ponto final do
deslocamento.
Superfícies Equipotenciais
A figura mostra quatro diferentes superfícies equipotenciais, com potenciais 𝑉1, 𝑉2, 𝑉3 e 𝑉4. Nessa
região, foram desenhadas quatro diferentes trajetórias (I, II, III e IV) que uma partícula pode percorrer.
Vejamos o que acontece com o trabalho realizado sobre a partícula em cada um dos deslocamentos
apontados.
No caminho III, vemos que a partícula se movimentou
partindo de um ponto de potencial 𝑉1, e finalizou seu
deslocamento em um outro ponto de potencial 𝑉2. O
trabalho realizado sobre a partícula para se mover entre os
pontos destacados é 𝑉12 = 𝑉1 − 𝑉2.
Superfícies Equipotenciais
A figura mostra quatro diferentes superfícies equipotenciais, com potenciais 𝑉1, 𝑉2, 𝑉3 e 𝑉4. Nessa
região, foram desenhadas quatro diferentes trajetórias (I, II, III e IV) que uma partícula pode percorrer.
Vejamos o que acontece com o trabalho realizado sobre a partícula em cada um dos deslocamentos
apontados.
No caminho IV, vemos que a partícula se movimentou
partindo de um ponto de potencial 𝑉1, foi até a região de
potencial 𝑉3 e finalizou seu deslocamento em um ponto na
região de potencial 𝑉2. Como o trabalho realizado sobre a
partícula não depende da trajetória que ela percorre entre
os pontos inicial e final do movimento, o trabalho
realizado sobre a partícula para se mover entre os pontos
destacados é também 𝑉12 = 𝑉1 − 𝑉2. Portanto, 𝑉𝐼𝐼𝐼 = 𝑉𝐼𝑉.
Superfícies Equipotenciais
A figura mostra quatro diferentes superfícies equipotenciais, com potenciais 𝑉1, 𝑉2, 𝑉3 e 𝑉4. Nessa
região, foram desenhadas quatro diferentes trajetórias (I, II, III e IV) que uma partícula pode percorrer.
Vejamos o que acontece com o trabalho realizado sobre a partícula em cada um dos deslocamentos
apontados.
No caminho IV, vemos que a partícula se movimentou
partindo de um ponto de potencial 𝑉1, foi até a região de
potencial 𝑉3 e finalizou seu deslocamento em um ponto na
região de potencial 𝑉2. Como o trabalho realizado sobre a
partícula não depende da trajetória que ela percorre entre
os pontos inicial e final do movimento, o trabalho
realizado sobre a partícula para se mover entre os pontos
destacados é também 𝑉12 = 𝑉1 − 𝑉2. Portanto, 𝑉𝐼𝐼𝐼 = 𝑉𝐼𝑉.
Superfícies Equipotenciais
A partir das equipotenciais, é possível determinar a intensidade do campo elétrico. Tipicamente,
desenha-se equipotenciais separadas por uma diferença de potencial ∆𝑉 constante.
𝑉1
𝑉2
d
Superfícies Equipotenciais
A partir das equipotenciais, é possível determinar a intensidade do campo elétrico. Tipicamente,
desenha-se equipotenciais separadas por uma diferença de potencial ∆𝑉 constante.
A figura ao lado mostra duas equipotenciais de valores 𝑉1 e 𝑉2 separadas
por uma pequena distância d. Levando em conta todos os pontos
abordados até aqui, podemos dizer que o campo elétrico é:𝑉1
𝑉2
d
|𝐸| = | − 𝛻𝑉| ≈
∆𝑉
𝑑
(36)
Superfícies Equipotenciais
A partir das equipotenciais, é possível determinar a intensidade do campo elétrico. Tipicamente,
desenha-se equipotenciais separadas por uma diferença de potencial ∆𝑉 constante.
A figura ao lado mostra duas equipotenciais de valores 𝑉1 e 𝑉2 separadas
por uma pequena distância d. Levando em conta todos os pontos
abordados até aqui, podemos dizer que o campo elétrico é:𝑉1
𝑉2
d
|𝐸| = | − 𝛻𝑉| ≈
∆𝑉
𝑑
(36)
Como ∆𝑉 é constante, podemos concluir que quanto menor a separação entre duas
equipotenciais sucessivas, mais intenso será o campo elétrico 𝐸.
Superfícies Equipotenciais
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Superf%C3%ADcies_equipotenciai
s_e_linhas_de_campo_de_um_dip%C3%B3lo_el%C3%A9trico..png
Dipolo elétrico
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Archivo:Equipotenciales.PNG
Carga Pontual positiva
Placas paralelas
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Field_lines_equ
ipotentials_parallel_plates.svg
Carga pontual 
negativa
https://commons.wikimedia.org/wiki/File
:Electric_field_point_lines_equipotentials
.svg
Exemplos
O interesse aqui é encontrar uma expressão para o potencial produzido
pelo dipolo em um ponto P do espaço.
Ex. 1) Potencial gerado por um dipolo elétricoExemplos
O interesse aqui é encontrar uma expressão para o potencial produzido
pelo dipolo em um ponto P do espaço.
Ex. 1) Potencial gerado por um dipolo elétrico
Exemplos
Como são duas cargas pontuais, basta somarmos os potenciais gerados
por cada uma delas no ponto P.
O interesse aqui é encontrar uma expressão para o potencial produzido
pelo dipolo em um ponto P do espaço.
Ex. 1) Potencial gerado por um dipolo elétrico
Exemplos
Como são duas cargas pontuais, basta somarmos os potenciais gerados
por cada uma delas no ponto P.
𝑉 = 
𝑖=1
2
𝑉𝑖 = 𝑉(+) + 𝑉(−) =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑟(+)
+
(−𝑞)
𝑟(−)
O interesse aqui é encontrar uma expressão para o potencial produzido
pelo dipolo em um ponto P do espaço.
Ex. 1) Potencial gerado por um dipolo elétrico
Exemplos
Como são duas cargas pontuais, basta somarmos os potenciais gerados
por cada uma delas no ponto P.
𝑉 = 
𝑖=1
2
𝑉𝑖 = 𝑉(+) + 𝑉(−) =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑟(+)
+
(−𝑞)
𝑟(−)
𝑉 =
𝑞
4𝜋𝜀0
𝑟 − − 𝑟(+)
𝑟(+)𝑟(−)
O interesse aqui é encontrar uma expressão para o potencial produzido
pelo dipolo em um ponto P do espaço.
Ex. 1) Potencial gerado por um dipolo elétrico
Exemplos
Como são duas cargas pontuais, basta somarmos os potenciais gerados
por cada uma delas no ponto P.
𝑉 = 
𝑖=1
2
𝑉𝑖 = 𝑉(+) + 𝑉(−) =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑟(+)
+
(−𝑞)
𝑟(−)
𝑉 =
𝑞
4𝜋𝜀0
𝑟 − − 𝑟(+)
𝑟(+)𝑟(−)
Para pontos distantes do dipolo, 𝑟 >> 𝑑
𝑟(+) − 𝑟(−) ≅ 𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 e 𝑟(+)𝑟(−) ≅ 𝑟
2
O interesse aqui é encontrar uma expressão para o potencial produzido
pelo dipolo em um ponto P do espaço.
Ex. 1) Potencial gerado por um dipolo elétrico
Exemplos
Como são duas cargas pontuais, basta somarmos os potenciais gerados
por cada uma delas no ponto P.
𝑉 = 
𝑖=1
2
𝑉𝑖 = 𝑉(+) + 𝑉(−) =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑟(+)
+
(−𝑞)
𝑟(−)
=
𝑞
4𝜋𝜀0
𝑟 − − 𝑟(+)
𝑟(+)𝑟(−)
Para pontos distantes do dipolo, 𝑟 >> 𝑑
𝑟(+) − 𝑟(−) ≅ 𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 e 𝑟(+)𝑟(−) ≅ 𝑟
2
𝑉 =
𝑞
4𝜋𝜀0
𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟2 𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑝𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑟2
Exemplo
Ex2) Uma barra de comprimento L tem carga positiva uniforme por unidade de
comprimento λ e carga total q. Calcule o potencial em um ponto P.
x
L
P
𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝜆 =
𝑞
𝐿
=
𝑑𝑞
𝑑𝑥
𝑑𝑞 = 𝜆 ∙ 𝑑𝑥r
Exemplo
Ex2) Uma barra de comprimento L tem carga positiva uniforme por unidade de
comprimento λ e carga total q. Calcule o potencial em um ponto P.
x
L
P
𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝜆 =
𝑞
𝐿
=
𝑑𝑞
𝑑𝑥
𝑑𝑞 = 𝜆 ∙ 𝑑𝑥r
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
Pela equação (26) temos:
Exemplo
Ex2) Uma barra de comprimento L tem carga positiva uniforme por unidade de
comprimento λ e carga total q. Calcule o potencial em um ponto P.
x
L
P
𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝜆 =
𝑞
𝐿
=
𝑑𝑞
𝑑𝑥
𝑑𝑞 = 𝜆 ∙ 𝑑𝑥r
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜆 𝑑𝑥
𝑟
Pela equação (26) temos:
Exemplo
Ex2) Uma barra de comprimento L tem carga positiva uniforme por unidade de
comprimento λ e carga total q. Calcule o potencial em um ponto P.
x
L
P
𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝜆 =
𝑞
𝐿
=
𝑑𝑞
𝑑𝑥
𝑑𝑞 = 𝜆 ∙ 𝑑𝑥r
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜆 𝑑𝑥
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜆 𝑑𝑥
𝑑2 + 𝑥2
Pela equação (26) temos:
Exemplo
Ex 2) Uma barra de comprimento L tem carga positiva uniforme por unidade de
comprimento λ e carga total q. Calcule o potencial em um ponto P.
x
L
P
𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝜆 =
𝑞
𝐿
=
𝑑𝑞
𝑑𝑥
𝑑𝑞 = 𝜆 ∙ 𝑑𝑥r
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜆 𝑑𝑥
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜆 𝑑𝑥
𝑑2 + 𝑥2
Pela equação (26) temos:
𝑉 =
𝜆
4𝜋𝜀0
 
0
𝐿 𝑑𝑥
𝑑2 + 𝑥2
Exemplo
Ex2) Uma barra de comprimento L tem carga positiva uniforme por unidade de
comprimento λ e carga total q. Calcule o potencial em um ponto P.
x
L
P
𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝜆 =
𝑞
𝐿
=
𝑑𝑞
𝑑𝑥
𝑑𝑞 = 𝜆 ∙ 𝑑𝑥r
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜆 𝑑𝑥
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜆 𝑑𝑥
𝑑2 + 𝑥2
Pela equação (26) temos:
𝑉 =
𝜆
4𝜋𝜀0
 
0
𝐿 𝑑𝑥
𝑑2 + 𝑥2
𝑉 =
𝜆
4𝜋𝜀0
𝑙𝑛
𝐿 + 𝐿2 + 𝑑2
𝑑
Ex. 3) Casca Esférica
Exemplos
Vamos começar a calcular os potenciais gerados por algumas distribuições de carga de interesse,
além das cargas pontuais, já tratadas nesta aula. Para começar a casca esférica carregada.
𝑞
+
+
+
+
R
Ex. 3) Casca Esférica
Exemplos
Vamos começar a calcular os potenciais gerados por algumas distribuições de carga de interesse,
além das cargas pontuais, já tratadas nesta aula. Para começar a casca esférica carregada.
𝑞
+
+
+
+
R
Na aula passada foi mostrado que para esse tipo de distribuição 
de cargas os campos elétricos dentro e fora da casca são:
𝐸 r+
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
z
P
𝜃
R
𝑑𝑞
r 𝑧
Ex. 5) Anel carregado
Exemplos
Calcular o potencial elétrico em um ponto P distante z do eixo
central de um anel carregado.
+
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
z
P
𝜃
R
𝑑𝑞
r 𝑧
Calcular o potencial elétrico em um ponto P distante z do eixo
central de um anel carregado.
Na segunda aula, vimos que o campo elétrico gerado por este tipo
de distribuição e medido no ponto P é:
𝐸 =
𝑞𝑧
4𝜋𝜀0 𝑧
2 + 𝑅2 
3
2
 𝑧
Ex. 5) Anel carregado
Exemplos
+
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
z
P
𝜃
R
𝑑𝑞
r 𝑧
Calcular o potencial elétrico em um ponto P distante z do eixo
central de um anel carregado.
Na segunda aula, vimos que o campo elétrico gerado por este tipo
de distribuição e medido no ponto P é:
𝐸 =
𝑞𝑧
4𝜋𝜀0 𝑧
2 + 𝑅2 
3
2
 𝑧
Aplicando este campo na equação (33) temos:
𝑉𝑃 − 𝑉∞ = 
𝑃
∞
𝐸 ∙ 𝑑 𝑟 = 
𝑃
∞
𝑞𝑧
4𝜋𝜀0 𝑧
2 + 𝑅2 
3
2
 𝑧 ∙ 𝑑𝑧 𝑧
Ex. 5) Anel carregado
Exemplos
+
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
z
P
𝜃
R
𝑑𝑞
r 𝑧
Calcular o potencial elétrico em um ponto P distante z do eixo
central de um anel carregado.
Na segunda aula, vimos que o campo elétrico gerado por este tipo
de distribuição e medido no ponto P é:
𝐸 =
𝑞𝑧
4𝜋𝜀0 𝑧
2 + 𝑅2 
3
2
 𝑧
Aplicando este campo na equação (33) temos:
𝑉𝑃 − 𝑉∞ = 
𝑃
∞
𝐸 ∙ 𝑑 𝑟 = 
𝑃
∞
𝑞𝑧
4𝜋𝜀0 𝑧
2 + 𝑅2 
3
2
 𝑧 ∙ 𝑑𝑧 𝑧
Ex. 5) Anel carregado
Exemplos
+
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
z
P
𝜃
R
𝑑𝑞
r 𝑧
Calcular o potencial elétrico em um ponto P distante z do eixo
central de um anel carregado.
𝑉𝑃 − 𝑉∞ = 
𝑃
∞
𝐸 ∙ 𝑑 𝑟 = 
𝑃
∞
𝑞𝑧
4𝜋𝜀0 𝑧
2 + 𝑅2 
3
2
 𝑧 ∙ 𝑑𝑧 𝑧
𝑉𝑃 − 𝑉∞ =
𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝑟
∞
𝑧 𝑑𝑧
𝑧2 + 𝑅2 
3
2
Ex. 5) Anel carregado
Exemplos
+
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
z
P
𝜃
R
𝑑𝑞
r 𝑧
Calcular o potencial elétrico em um ponto P distante z do eixo
central de um anel carregado.
𝑉𝑃 − 𝑉∞ = 
𝑃
∞
𝐸 ∙ 𝑑 𝑟 = 
𝑃
∞
𝑞𝑧
4𝜋𝜀0 𝑧
2 + 𝑅2 
3
2
 𝑧 ∙ 𝑑𝑧 𝑧
𝑉𝑃 − 𝑉∞ =
𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝑃
∞
𝑧 𝑑𝑧
𝑧2 + 𝑅2 
3
2
Resolvendo esta integral, adotando que o potencial no infinito é nulo:
𝑉𝑃 =
𝑞
4𝜋𝜀0 𝑧
2 + 𝑎2
Ex. 5) Anel carregado
Exemplos
Agora, vamos tentar descobrir o potencial elétrico gerado por um disco 
maciço, de raio R, com densidade superficial de carga constante 𝜎, no 
mesmo ponto P do exemplo anterior.
𝑑𝐴 − 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑒𝑙
𝜎 =
𝑑𝑞
𝑑𝐴
⇒ 𝑑𝑞 = 𝜎 𝑑𝐴 = 𝜎(𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃)
z
P
R
dR’
R’
Ex. 6) Anel carregado
Exemplos
𝜃
r 𝑧
Agora, vamos tentar descobrir o potencial elétrico gerado por um disco 
maciço, de raio R, com densidade superficial de carga constante 𝜎, no 
mesmo ponto P do exemplo anterior.
𝑑𝐴 − 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑒𝑙
z
P
R
dR’
R’
Ex. 6) Anel carregado
Exemplos
𝜃
r 𝑧
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
Pela equação (26) temos:
𝜎 =
𝑑𝑞
𝑑𝐴
⇒ 𝑑𝑞 = 𝜎 𝑑𝐴 = 𝜎(𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃)
Agora, vamos tentar descobrir o potencial elétrico gerado por um disco 
maciço, de raio R, com densidade superficial de carga constante 𝜎, no 
mesmo ponto P do exemplo anterior.
𝑑𝐴 − 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑒𝑙
z
P
R
dR’
R’
Ex. 6) Anel carregado
Exemplos
𝜃
r 𝑧
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜎(𝑅′𝑑𝑅′𝑑𝜃)
𝑟
Pela equação (26) temos:
𝜎 =
𝑑𝑞
𝑑𝐴
⇒ 𝑑𝑞 = 𝜎 𝑑𝐴 = 𝜎(𝑅′𝑑𝑅′𝑑𝜃)
Agora, vamos tentar descobrir o potencial elétrico gerado por um disco 
maciço, de raio R, com densidade superficial de carga constante 𝜎, no 
mesmo ponto P do exemplo anterior.
𝑑𝐴 − 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑒𝑙
z
P
R
dR’
R’
Ex. 6) Anel carregado
Exemplos
𝜃
r 𝑧
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜎(𝑅′𝑑𝑅′𝑑𝜃)
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜎(𝑅′𝑑𝑅′𝑑𝜃)
𝑅′2 + 𝑧2
Pela equação (26) temos:
𝜎 =
𝑑𝑞
𝑑𝐴
⇒ 𝑑𝑞 = 𝜎 𝑑𝐴 = 𝜎(𝑅′𝑑𝑅′𝑑𝜃)
Agora, vamos tentar descobrir o potencial elétrico gerado por um disco 
maciço, de raio R, com densidade superficial de carga constante 𝜎, no 
mesmo ponto P do exemplo anterior.
𝑑𝐴 − 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑒𝑙
z
P
R
dR’
R’
Ex. 6) Anel carregado
Exemplos
𝜃
r 𝑧
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜎(𝑅′𝑑𝑅′𝑑𝜃)
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜎(𝑅′𝑑𝑅′𝑑𝜃)
𝑅′2 + 𝑧2
Pela equação (26) temos:
𝜎 =
𝑑𝑞
𝑑𝐴
⇒ 𝑑𝑞 = 𝜎 𝑑𝐴 = 𝜎(𝑅′𝑑𝑅′𝑑𝜃)
𝑉 =
𝜎
4𝜋𝜀0
 
0
2𝜋
𝑑𝜃 
0
𝑅 (𝑅′𝑑𝑅′)
𝑅′2 + 𝑧2
Agora, vamos tentar descobrir o potencial elétrico gerado por um disco 
maciço, de raio R, com densidade superficial de carga constante 𝜎, no 
mesmo ponto P do exemplo anterior.
𝑑𝐴 − 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑒𝑙
z
P
R
dR’
R’
Ex. 6) Anel carregado
Exemplos
𝜃
r 𝑧
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜎(𝑅′𝑑𝑅′𝑑𝜃)
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜎(𝑅′𝑑𝑅′𝑑𝜃)
𝑅′2 + 𝑧2
Pela equação (26) temos:
𝜎 =
𝑑𝑞
𝑑𝐴
⇒ 𝑑𝑞 = 𝜎 𝑑𝐴 = 𝜎(𝑅′𝑑𝑅′𝑑𝜃)
𝑉 =
𝜎
4𝜋𝜀0
 
0
2𝜋
𝑑𝜃 
0
𝑅 (𝑅′𝑑𝑅′)
𝑅′2 + 𝑧2
2𝜋
Agora, vamos tentar descobrir o potencial elétrico gerado por um disco 
maciço, de raio R, com densidade superficial de carga constante 𝜎, no 
mesmo ponto P do exemplo anterior.
𝑑𝐴 − 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑒𝑙
z
P
R
dR’
R’
Ex. 7) Anel carregado
Exemplos
𝜃
r 𝑧
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜎(𝑅′𝑑𝑅′𝑑𝜃)
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
𝜎(𝑅′𝑑𝑅′𝑑𝜃)
𝑅′2 + 𝑧2
Pela equação (26) temos:
𝜎 =
𝑑𝑞
𝑑𝐴
⇒ 𝑑𝑞 = 𝜎 𝑑𝐴 = 𝜎(𝑅′𝑑𝑅′𝑑𝜃)
𝑉 =
𝜎
4𝜋𝜀0
 
0
2𝜋
𝑑𝜃 
0
𝑅 (𝑅′𝑑𝑅′)
𝑅′2 + 𝑧2
2𝜋
𝑉 =
𝜎
2𝜀0
𝑅2 + 𝑧2 − 𝑧
Centelhamento de um condutor carregado
• Em vértices e arestas a densidade 
de cargas superficiais (e o campo 
elétrico) pode atingir valores 
elevados.
• O ar pode se tornar ionizado, 
produzindo centelhas elétricas
• Procure abrigo em uma casca 
condutora, onde o campo elétrico 
é nulo.
Condutor em campo elétrico externo – blindagem eletrostática
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Prof._Giovane_Irribarem_de_Me
llo_dentro_da_Gaiola_de_Faraday.JPG
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Faraday_cage.jpg
Condutor em campo elétrico externo –
blindagem eletrostática
• Os elétrons livres do 
condutor se distribuem na 
sua superfície de forma que o 
campo elétrico no interior do 
objeto é nulo e o campo 
elétrico é perpendicular à 
superfície.
• O potencial é constante no 
interior do condutor
Gerador de Van de Graaf
• Consegue acumular uma grande 
quantidade de cargas e gerar 
potenciais elevados
Base isolante: evita que a carga 
escape para a Terra
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Van_de_graaf_generator.svg
A carga é transmitida para 
a superfície externa
do condutor
A correia é carregada por
meio de descargas entre uma 
placa e uma ponteira metálica
Diferença de potencial ~ 104 V
1. Condutor esférico oco positivamente carregado.
2. Eletrodo conectado à esfera, uma escova muito próxima ao
eletrodo e à correia (sem encostar).
3. Rolamento superior
4. Lado positivamente carregado da correia
5. Lado negativamente carregado da correia
6. Rolamento inferior (metal)
7. Eletrodo inferior (terra)
8. Dispositivo esférico com carga negativa, utilizado para 
descarregar a esfera principal
9. Faísca prodzida pela diferença de potencial
Gerador de Van de Graaf
Gerador carregado
O cabelo adquire carga elétrica e os
fios se repelem
A pessoa deve estar isolada da Terra
Se uma grande quantidade de carga 
atravessar o corpo, a corrente elétrica 
pode ser fatal
Ao tocar a esfera condutora, 
o corpo humano adquire um alto 
potencial elétrico
Acelerador de Van de Graaf: dispositivo que usa um campo elétrico intenso para acelerar íons e partículas carregadas
https://www.flickr.com/photos/departmentofenergy/23897761873
Próxima aula: Capacitores e Dielétricos