Aula 02 - Potencial Elétrico - Física III - ITA 2024

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<p>ITA</p><p>2024</p><p>AULA 02</p><p>Potencial elétrico</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>2</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Sumário</p><p>Introdução 3</p><p>1. Potencial elétrico 4</p><p>1.1. O Trabalho no campo elétrico uniforme 4</p><p>1.2. A energia potencial no campo eletrostático 6</p><p>1.3. O Potencial elétrico 7</p><p>1.4. Determinação do trabalho em função da diferença de potencial (DDP) 8</p><p>1.5. Determinação do potencial elétrico caso geral 9</p><p>1.6. Cálculo do campo elétrico a partir do potencial 10</p><p>1.7. O Potencial elétrico de carga elétrica puntiforme 12</p><p>1.8. Potencial elétrico gerado por várias cargas puntiformes 13</p><p>1.9. As propriedades do potencial elétrico 18</p><p>1.10. Superfícies equipotenciais 19</p><p>1.11. Espontaneidade e trabalho 27</p><p>2. Energia potencial eletrostática 28</p><p>3. Potencial elétrico de condutor carregado e em equilíbrio eletrostático 33</p><p>3.1. Potencial de um condutor esférico 34</p><p>3.2. O potencial da Terra 36</p><p>3.3. Aplicação do uso de Potenciais para Condutores em Equilíbrio Eletrostático 37</p><p>3.4. Aplicação do potencial elétrico na indução total 42</p><p>3.5. Método das imagens 49</p><p>4. Lista de exercícios nível 1 51</p><p>5. Gabarito sem comentários nível 1 55</p><p>6. Lista de exercíciso nível 1 comentada 55</p><p>7. Lista de exercícios nível 2 64</p><p>3</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>8. Gabarito sem comentários nível 2 77</p><p>9. Lista de exercíciso nível 2 comentada 78</p><p>10. Lista de exercícios nível 3 111</p><p>11. Gabarito sem comentários nível 3 121</p><p>12. Lista de exercíciso nível 3 comentada 122</p><p>13. Referências bibliográficas 156</p><p>14. Considerações finais 157</p><p>Introdução</p><p>Nessa aula iniciaremos o estudo do Potencial elétrico. Agora, nossa preocupação será com</p><p>trabalhar com energia e grandezas escalares.</p><p>Vamos ver que a força elétrica é uma força conservativa e sair daquele tratamento vetorial de</p><p>força e campo para trabalhar com energia, trabalho da força elétrica em sistemas conservativos.</p><p>Caso tenha alguma dúvida entre em contato conosco através do fórum de dúvidas do Estratégia</p><p>ou se preferir:</p><p>@proftoniburgatto</p><p>4</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>1. Potencial elétrico</p><p>Já vimos os conceitos de força elétrica e campo elétrico, definições de grandezas vetoriais. Neste</p><p>momento, vamos introduzir o conceito de potencial elétrico, semelhante ao que foi feito na nossa revisão</p><p>da mecânica. Tudo para que fique o mais claro possível o conceito de potencial elétrico.</p><p>Para isso, vamos estudar o trabalho da força elétrica no campo elétrico uniforme.</p><p>1.1. O Trabalho no campo elétrico uniforme</p><p>Seja 𝐸 a intensidade de um campo elétrico uniforme. Inicialmente, vamos tomar dois pontos</p><p>quaisquer 𝐴 e 𝐵, numa mesma linha de força, separados pela distância 𝑑.</p><p>Devido ao fato de a força ser constante, já que p campo elétrico é uniforme (𝐸 = 𝑐𝑡𝑒), o trabalho</p><p>da força elétrica �⃗�𝑒𝑙𝑒 nesse deslocamento é dado por:</p><p>Figura 1: Carga se locomovendo ao longo de um campo elétrico uniforme.</p><p>(𝜏�⃗�𝑒𝑙𝑒)𝐴→𝐵</p><p>= 𝐹. 𝑑</p><p>Mas, como 𝐹 = 𝑞. 𝐸, temos:</p><p>(𝜏�⃗�𝑒𝑙𝑒)𝐴→𝐵</p><p>= 𝑞. 𝐸. 𝑑</p><p>Agora, vamos tomar um terceiro ponto 𝐶, que pertence a outra linha de força, como mostra a</p><p>figura abaixo:</p><p>5</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Quando a carga 𝑞 desloca-se de 𝐴 para 𝐶 e, depois, de 𝐶 para 𝐵, temos os seguintes trabalhos em</p><p>cada trecho:</p><p>(𝜏�⃗�𝑒𝑙𝑒)𝐴→𝐶</p><p>= 𝐹. 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . cos(𝛼)</p><p>(𝜏�⃗�𝑒𝑙𝑒)𝐶→𝐵</p><p>= 𝐹. 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ . cos(𝛽)</p><p>O trabalho total no deslocamento 𝐴𝐶𝐵 é a soma dos trabalhos:</p><p>(𝜏�⃗�𝑒𝑙𝑒)𝐴→𝐶→𝐵</p><p>= (𝜏�⃗�𝑒𝑙𝑒)𝐴→𝐶</p><p>+ (𝜏�⃗�𝑒𝑙𝑒)𝐶→𝐵</p><p>(𝜏�⃗�𝑒𝑙𝑒)𝐴→𝐶→𝐵</p><p>= 𝐹. 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . cos(𝛼) + 𝐹. 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ . cos(𝛽) = 𝐹(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . cos(𝛼) + 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ . cos(𝛽))</p><p>Pela geometria do problema, vemos que:</p><p>𝐴𝐶̅̅ ̅̅ cos(𝛼) = 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ cos(𝛽) = 𝐷𝐵̅̅ ̅̅</p><p>𝐴𝐷̅̅ ̅̅ + 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅</p><p>Portanto:</p><p>𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . cos(𝛼) + 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ . cos(𝛽) = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑑</p><p>(𝜏�⃗�𝑒𝑙𝑒)𝐴→𝐶→𝐵</p><p>= 𝐹. 𝑑</p><p>Dessa forma, o trabalho da força elétrica tomando o deslocamento 𝐴𝐶𝐵 é o mesmo que o trabalho</p><p>no deslocamento 𝐴𝐵.</p><p>(𝜏�⃗�𝑒𝑙𝑒)𝐴→𝐶→𝐵</p><p>= 𝐹. 𝑑 = (𝜏�⃗�𝑒𝑙𝑒)𝐴→𝐵</p><p>Este resultado pode ser generalizado, pois para qualquer trajetória que tomássemos entre 𝐴 e 𝐵,</p><p>o trabalho da força elétrica seria dado por:</p><p>6</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>(𝜏�⃗�𝑒𝑙𝑒)𝐴→𝐵</p><p>= 𝐹. 𝑑 = 𝑞. 𝐸. 𝑑</p><p>Figura 2: Carga elétrica se movendo em uma região onde o campo elétrico é uniforme.</p><p>Desse resultado, concluímos que o trabalho da força elétrica independe da trajetória, apenas da</p><p>carga elétrica e da posição dos pontos 𝐴 e 𝐵 na região do campo elétrico. Ainda que mostremos esse fato</p><p>para uma situação particular (trabalho realizado no campo elétrico uniforme), podemos generalizar esse</p><p>resultado da seguinte forma:</p><p>O trabalho realizado por uma força elétrica para ir de 𝐴 até 𝐵 não depende da trajetória.</p><p>Como vimos, forças conservativas possuem como propriedade o fato do trabalho por ela realizado</p><p>não depender da trajetória. Por isso, dizemos que a força elétrica é uma força conservativa.</p><p>Se o campo não for eletrostático, ele não será conservativo, mas isso é um assunto que foge do</p><p>nosso escopo de curso. Sempre consideraremos campos eletrostáticos, gerados por cargas elétricas em</p><p>repouso.</p><p>1.2. A energia potencial no campo eletrostático</p><p>Sempre que trabalhamos com campo de força conservativo, associamos os conceitos de energia</p><p>potencial e de potencial. Aplicamos essa ideia na mecânica, quando estudamos a formulação da energia</p><p>potencial associada ao campo gravitacional, já que se trata de um campo de forças conservativo.</p><p>Analogamente, faremos um tratamento semelhante, pois o campo eletrostático também é</p><p>conservativo. Para isso, considere uma carga elétrica positiva puntiforme solta com velocidade nula num</p><p>ponto 𝐴 em uma região que existe um campo eletrostático qualquer.</p><p>Figura 3: Carga elétrica positiva com velocidade nula em uma região do campo elétrico �⃗⃗⃗�.</p><p>7</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Nessas condições, a força elétrica tende a deslocar a carga na própria orientação do campo,</p><p>promovendo um trabalho positivo. Dessa forma, a partícula ganha energia cinética. Diante disso,</p><p>podemos dizer que a partícula possuía uma certa energia que se transformou em energia cinética. Essa</p><p>outra forma de energia chamamos de energia potencial elétrica.</p><p>Assim como na mecânica, quando fomos definir a energia potencial, foi necessário atribuir um</p><p>referencial para que pudéssemos determinar a energia potencial. Na elétrica não é diferente.</p><p>Define-se energia potencial de uma carga elétrica puntiforme 𝑞, em um dado ponto 𝐴, como o</p><p>trabalho que a força elétrica realiza quando é levada do ponto 𝐴 até o ponto de referência 𝑅. Em outras</p><p>palavras:</p><p>(𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐴 = 𝜏𝐴→𝑅</p><p>1.3. O Potencial elétrico</p><p>Definimos potencial elétrico associado ao ponto 𝐴, denotado por 𝑉𝐴, a razão entre a energia</p><p>potencial elétrica da carga em 𝐴 ((𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐴) e o valor da carga (𝑞), ou seja:</p><p>𝑉𝐴 =</p><p>(𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐴</p><p>𝑞</p><p>Observações:</p><p>1. Essa razão já é bem determinada em cada ponto do campo elétrico e independe do valor</p><p>de 𝑞, isto é, independe da carga que abandonamos no campo eletrostático apenas para</p><p>estudarmos o problema. Nesse momento, parece um pouco contraditório, já que estamos</p><p>vendo a carga 𝑞 no denominador de 𝑉𝐴. Este fato ficará mais claro logo a frente.</p><p>2. Definimos o potencial elétrico em 𝐴 como o quociente de duas grandezas escalares,</p><p>notoriamente, o potencial também será um escalar.</p><p>3. Sua unidade no SI é o volt, indicado pela letra 𝑉. Assim, temos que:</p><p>1 𝐽</p><p>1 𝐶</p><p>= 1 𝐽/𝐶 = 1 𝑉</p><p>A unidade volt é dada em homenagem ao físico italiano Alessandro Volta (1745-1827).</p><p>8</p><p>Prof.</p><p>cargas puntiformes situadas nas bissetrizes dos quadrantes ímpares.</p><p>Comentários:</p><p>Primeiramente, devemos notar que a diagonal BD está em um mesmo potencial (𝑉𝐷 = 𝑉𝐵 = 5 𝑉)</p><p>e que 𝐴 tem potencial nulo e potencial em 𝐶 é de 10 𝑉. Note ainda que a distância entre 𝐴 e a reta 𝐵𝐷 é</p><p>metade da distância de 𝐴 até 𝐶, mantendo a proporção entre as ddps 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 e 𝑉𝐶 − 𝑉𝐴.</p><p>Portanto, podemos afirmar que o campo elétrico é uniforme e orientado na direção 𝑥. Além disso,</p><p>como o potencial diminui da direita para a esquerda, podemos afirmar que o campo está orientado da</p><p>direita para a esquerda.</p><p>Gabarito: A</p><p>(EN – 2014)</p><p>Observe a figura a seguir.</p><p>A figura acima mostra uma região de vácuo onde uma partícula puntiforme, de carga elétrica</p><p>positiva 𝑞1 e massa 𝑚, está sendo lançada com velocidade 𝑣0 em sentido ao centro de um núcleo</p><p>atômico fixo de carga 𝑞2. Sendo 𝐾0 a constante eletrostática no vácuo e sabendo que a partícula 𝑞1</p><p>está muito longe do núcleo, qual será a distância mínima de aproximação, 𝑥, entre as cargas?</p><p>a)</p><p>𝐾0𝑞1𝑞2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2 b)</p><p>2𝐾0𝑞1𝑞2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2 c)</p><p>𝐾0𝑞1𝑞2</p><p>2𝑚𝑣0</p><p>2 d) √</p><p>𝐾0𝑞1𝑞2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2 e) √</p><p>𝐾0𝑞1𝑞2</p><p>2𝑚𝑣0</p><p>2</p><p>Comentários:</p><p>Como a carga 𝑞1 está muito longe da carga 𝑞2, a energia inicial do sistema formado pelas duas</p><p>partículas é apenas a energia cinética de 𝑞1. Para que exista uma distância mínima, sabendo que a carga</p><p>𝑞1 é positiva, devemos ter que a carga 𝑞2 também deve ser positiva. Na condição de distância mínima,</p><p>lembrando que 𝑞2 está fixada, a velocidade de 𝑞1 deve ser nula e nesse momento temos apenas a energia</p><p>potencial eletrostática entre elas. Portanto:</p><p>𝐸𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = 𝐸𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2 =</p><p>𝐾𝑞1𝑞2</p><p>𝑑𝑚í𝑛</p><p>𝑑𝑚í𝑛 =</p><p>2𝐾𝑞1𝑞2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2</p><p>Gabarito: B</p><p>(Simulado EFOMM)</p><p>63</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Uma partícula de massa igual a 0,01 g e carga 2,5 ⋅ 10−9 𝐶 está em equilíbrio no interior das placas</p><p>de um capacitor, cuja distância entre as placas é de 5 cm. A diferença de potencial entre as placas,</p><p>em kV, é de:</p><p>Considere 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2.</p><p>(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5</p><p>Comentários:</p><p>Para a condição de equilíbrio da carga no interior do capacitor, temos:</p><p>Portanto:</p><p>𝑚𝑔 = 𝑞𝐸</p><p>𝑚𝑔 = 𝑞 ⋅</p><p>𝑉</p><p>𝑑</p><p>𝑉 =</p><p>𝑚𝑔𝑑</p><p>𝑞</p><p>Substituindo valores, vem:</p><p>𝑉 =</p><p>0,01 ⋅ 10−3 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 10−2</p><p>2,5 ⋅ 10−9</p><p>∴ 𝑉 = 2 𝑘𝑉</p><p>Gabarito: B</p><p>(ITA-1993)</p><p>Entre as armaduras de um capacitor plano com placas horizontais, existe uma diferença de potencial</p><p>𝑉. A separação entre as armaduras é 𝑑. Coloca-se uma pequena carga 𝑄 > 0, de massa m entre as</p><p>armaduras e esta fica em equilíbrio. A aceleração da gravidade é 𝑔. Qual é o valor da carga 𝑄?</p><p>a) 𝑄 = 𝑚𝑔𝑑−1/𝑉. b) 𝑄 = 𝑉𝑑/𝑚. c) 𝑄 = 𝑚𝑔𝑑/𝑉.</p><p>d) 𝑄 = 𝑉𝑔𝑑/𝑚. e) 𝑄 = 𝑔𝑑/𝑉𝑚.</p><p>Comentários:</p><p>Nessa configuração temos um campo uniforme e perpendicular às placas do capacitor.</p><p>Equilibrando as forças agindo na carga:</p><p>64</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝐹𝑒𝑙𝑒 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 ⇒ 𝐸𝑞 = 𝑚𝑔 ⇒ 𝑄 =</p><p>𝑚𝑔𝑑</p><p>𝑉</p><p>Gabarito: C</p><p>7. Lista de exercícios nível 2</p><p>(EFOMM – 2016)</p><p>Considere que o Gerador de Van de Graaff da figura está em funcionamento, mantendo constante</p><p>o potencial elétrico de sua cúpula esférica de raio 𝑅0 metros. Quando, então, é fechada a chave</p><p>𝐶𝐻1, uma esfera condutora de raio 𝑅1 = 𝑅0/4 metros, inicialmente descarregada, conecta-se à</p><p>cúpula por meio de fios de capacidade desprezível (também é desprezível a indução eletrostática).</p><p>Atingido o equilíbrio eletrostático, a razão 𝜎1/𝜎2, entre as densidades superficiais de carga elétrica</p><p>da esfera e da cúpula, vale</p><p>a) 4 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) 1/4</p><p>(EFOMM – 2011)</p><p>65</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Duas cargas elétricas puntiformes, de valores +3𝑞 (positiva) e −5𝑞 (negativa) estão separadas por</p><p>uma distância linear de 120 cm. Considere o potencial elétrico nulo no infinito (potencial de</p><p>referência), e as cargas isoladas. Nessas condições, um ponto A, pertencente ao segmento de reta</p><p>que une as cargas, terá potencial elétrico nulo se sua distância, em cm, à carga positiva +3𝑞 for de:</p><p>a) 75,0 b) 60,0 c) 50,0 d) 48,0 e) 45,0</p><p>(EFOMM – 2010)</p><p>Observe a figura a seguir.</p><p>Uma pequena esfera está presa à extremidade de um fio flexível e isolante, cuja outra extremidade</p><p>está fixa no ponto 𝑂, conforme indica a figura acima. Essa esfera de massa 𝑚 = 3,0 ⋅ 10−6 𝑘𝑔 e</p><p>carga elétrica 𝑞 = 1,2 ⋅ 10−6 𝐶, está em equilíbrio estático no interior de um campo elétrico</p><p>uniforme �⃗⃗�. A ddp, em volts, entre os pontos 𝐴 e 𝐵, que distam 0,2 𝑚, é</p><p>Dado: 𝑡𝑔 60° = 1,7; 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2.</p><p>a) 7,5 b) 8,5 c) 9,5 d) 10,5 e) 11,5</p><p>(EFOMM – 2009)</p><p>Sejam duas cargas 𝑞, iguais, de −5 ⋅ 10−6 𝐶, fixas no espaço, separadas por uma distância 𝑑 = 4 𝑐𝑚,</p><p>conforme indica a figura abaixo:</p><p>Suponha que no ponto 𝐶 seja colocada uma terceira carga de 3 ⋅ 10−5 𝐶, trazida lentamente desde</p><p>o infinito. O trabalho ou a variação da energia potencial elétrica da configuração (em joules), após</p><p>posicionamento da terceira carga é de, aproximadamente,</p><p>Dado: 𝐾 = 9 ⋅ 109 𝑁𝑚2/𝐶2.</p><p>a) −55,47 b) −77,47 c) −95,47 d) −107,47 e) −128,47</p><p>66</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>(Simulado AFA)</p><p>Analise a figura abaixo:</p><p>A figura representa as linhas de um campo elétrico uniforme de intensidade 400 V/m, inclinadas de</p><p>45° com o eixo 𝑥. Dessa maneira, a ddp 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵, em V, é de:</p><p>(A) 0 (B) 2√2 (C) 4 (D) 4√2</p><p>(AFA – 2010)</p><p>Dois anéis idênticos de centros 𝑂 e 𝑂′, uniformemente eletrizados com cargas de naturezas opostas</p><p>e mesmo módulo, são mantidos em planos paralelos conforme indica a figura.</p><p>Os pontos 𝑂, 𝑂′ e 𝐵 são colineares e 𝐴 pertence à mediatriz do segmento 𝑂𝑂′. O trabalho realizado</p><p>pela força aplicada por um agente externo para deslocar uma carga de prova negativa do ponto 𝐴</p><p>até o ponto 𝐵, com velocidade constante,</p><p>a) dependerá da posição do ponto 𝐴. b) será nulo.</p><p>c) será positivo. d) será negativo.</p><p>(AFA – 2010)</p><p>Uma esfera de massa 𝑚, eletrizada positivamente com carga 𝑞, está fixada na extremidade de um</p><p>fio ideal e isolante de comprimento 𝑙. O pêndulo, assim constituído, está imerso em uma região</p><p>onde além do campo gravitacional �⃗� atua um campo elétrico horizontal e uniforme �⃗⃗�. Este pêndulo</p><p>é abandonado do ponto 𝐴 e faz um ângulo 𝜃 com a vertical conforme mostra a figura.</p><p>67</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Desprezando-se quaisquer resistências, ao passar pelo ponto 𝐵, simétrico de 𝐴 em relação à vertical,</p><p>sua energia cinética vale</p><p>a) 2 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑙 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 b) 𝑙(𝑚 ⋅ 𝑔 + 𝑞 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃)</p><p>c) 2𝑙(𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ cos 𝜃 + 𝑞 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃) d) 𝑞 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑙 ⋅ cos 𝜃</p><p>(AFA – 2018)</p><p>Três cargas elétricas pontuais, 𝑞1, 𝑞2 e 𝑞3, estão fixas de tal forma que os segmentos de reta que</p><p>unem cada par de carga formam um triângulo equilátero com o plano na vertical, conforme ilustra</p><p>a figura a seguir.</p><p>𝑀 é o ponto médio do segmento que une 𝑞2 e 𝑞3. A carga elétrica 𝑞2 é positiva e igual a 𝑄, enquanto</p><p>𝑞1 e 𝑞3 são desconhecidas. Verifica-se que o vetor campo elétrico �⃗⃗� no ponto 𝑀, gerado por estas</p><p>três cargas, forma com o lado que une 𝑞2 e 𝑞3 um ângulo 𝜃 de 19° e está apontado para baixo.</p><p>Sabendo-se, ainda, que a força elétrica de interação entre as cargas 𝑞1 e 𝑞2 é menor que a força</p><p>elétrica entre 𝑞2 e 𝑞3, é correto afirmar que</p><p>a) o potencial elétrico gerado por estas três cargas no ponto 𝑀 pode ser nulo.</p><p>b) o potencial elétrico gerado por estas três cargas no ponto 𝑀 é positivo.</p><p>c) o trabalho realizado pela força aplicada por um agente externo para leva uma carga de prova</p><p>positiva do ponto 𝑀 até o infinito, com velocidade constante, é motor.</p><p>d) a soma algébrica entre as cargas 𝑞1 e 𝑞2 é menor do que 𝑄.</p><p>(AFA – 2017)</p><p>Um sistema é composto por quatro cargas elétricas puntiformes fixadas nos vértices de um</p><p>quadrado, conforme ilustrado na figura abaixo.</p><p>As cargas 𝑞1 e 𝑞2 são desconhecidas. No centro 𝑂 do quadrado o vetor campo elétrico �⃗⃗�, devido às</p><p>quatro cargas, tem a direção e o sentido indicados na figura. A partir da análise deste campo elétrico,</p><p>pode-se afirmar que o potencial elétrico em 𝑂</p><p>a) é positivo. b) é negativo. c) é nulo. d) pode ser positivo.</p><p>(EN – 2018)</p><p>68</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Analise a figura abaixo.</p><p>Na figura acima, a linha pontilhada mostra a trajetória plana de uma partícula de carga −𝑞 = −3,0 𝐶</p><p>que percorre 6,0 metros, ao se deslocar do ponto 𝐴, onde estava em repouso, até o ponto 𝐵, onde</p><p>foi conduzida novamente ao repouso. Nessa região do espaço, há um campo elétrico conservativo,</p><p>cujas superfícies equipotenciais estão representadas na figura. Sabe-se que, ao longo desse</p><p>deslocamento da partícula, atuam somente duas forças sobre ela, onde uma delas é a força externa,</p><p>𝐹𝑒𝑥𝑡. Sendo assim, qual o trabalho, em quilojoules, realizado pela força 𝐹𝑒𝑥𝑡 no deslocamento da</p><p>partícula do ponto 𝐴 até o ponto 𝐵?</p><p>a) -0,28 b) +0,28 c) -0,56 d) +0,56 e) -0,85</p><p>(EN – 2015)</p><p>Analise a figura abaixo.</p><p>Uma casca esférica metálica fina, isolada, de raio 𝑅 = 4,00𝑐𝑚 e carga 𝑄, produz um potencial</p><p>elétrico igual a 10,0 𝑉 no ponto 𝑃, distante 156 𝑐𝑚 da superfície da casca (ver figura). Suponha</p><p>agora que o raio da casca esférica foi alterado para um valor quatro vezes menor. Nessa nova</p><p>configuração, a ddp entre o centro da casca e o ponto 𝑃, em quilovolts, será</p><p>a) 0,01 b) 0,39 c) 0,51 d) 1,59 e) 2,00</p><p>(EN – 2012)</p><p>As quatro cargas 𝑄 idênticas, positivas e puntiformes, estão fixas nos vértices de um quadrado de</p><p>lado 𝐿 = √2 𝑚, isoladas e no vácuo (ver figura). Uma carga de prova positiva 𝑞 = 0,10 𝜇𝐶 é, então,</p><p>cuidadosamente colocada no centro 𝑂 da configuração. Como o equilíbrio é instável, a carga 𝑞 é</p><p>repelida até atingir uma energia cinética constante de 7,2 ⋅ 10−3 𝐽. Desprezando a força</p><p>gravitacional, o valor de cada carga 𝑄, em microcoulombs, vale</p><p>Dado: constante eletrostática no vácuo. 𝐾0 = 9,0 ⋅ 10</p><p>9 𝑁𝑚2/𝐶2.</p><p>69</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>a) 1,0</p><p>b) 2,0</p><p>c) 4,0</p><p>d) 6,0</p><p>e) 8,0</p><p>(EN – 2010)</p><p>Duas pequenas esferas, de raios desprezíveis, estão carregadas com cargas elétricas de mesmo valor</p><p>absoluto e sinais contrários, sendo mantidas afastadas, uma da outra, por meio de uma mola ideal</p><p>não condutora de constante elástica igual a 25,0 𝑁/𝑚. Sabe-se que a distância 𝐿 = 36,0 𝑐𝑚. As</p><p>duas cargas elétricas formam um sistema, no vácuo, que possui energia potencial eletrostática de</p><p>valor absoluto igual a 0,90 𝐽. O comprimento 𝐿0, em centímetros, da mola não deformada é</p><p>Dado: 𝐾𝑣á𝑐𝑢𝑜 = 9,0 ⋅ 10</p><p>9 𝑁𝑚2/𝐶2.</p><p>a) 41,0</p><p>b) 46,0</p><p>c) 51,0</p><p>d) 56,0</p><p>e) 61,0</p><p>(EN – 2009)</p><p>Suponha um sistema isolado de três partículas de mesma massa, 𝑚 = 3,0 ⋅ 10−17 𝑘𝑔, carregadas</p><p>positivamente e fixadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado 𝑎 = 2,0 𝑚, conforme indica</p><p>a figura. As partículas possuem as seguintes caras, 𝑞1 = 𝑞2 = 8,0 ⋅ 10</p><p>−8 𝐶 e 𝑞3 = 5,0 ⋅ 10</p><p>−8 𝐶.</p><p>Considere o sistema no vácuo e as interações gravitacionais desprezíveis. Suponha, agora, que a</p><p>partícula 𝑞3 seja liberada, enquanto 𝑞1 e 𝑞2 permanecem fixas nas mesmas posições. Qual a</p><p>velocidade da partícula 𝑞3, em 𝑚/𝑠, quando esta estiver a 5,0 𝑚 de distância da partícula 𝑞1?</p><p>Dado: 𝐾0 = 9 ⋅ 10</p><p>9 𝑁𝑚2/𝐶2.</p><p>a) 2,4 ⋅ 107</p><p>b) 1,2 ⋅ 107</p><p>c) 2,4 ⋅ 106</p><p>d) 1,2 ⋅ 106</p><p>e) 2,4 ⋅ 105</p><p>(Simulado AFA)</p><p>Duas cascas esféricas metálicas são carregadas com carga +𝑄 e −𝑄, conforme figura abaixo.</p><p>70</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>A diferença de potencial 𝑉𝐴𝐵 é igual a:</p><p>a) −</p><p>5𝐾𝑄</p><p>6𝑟</p><p>b) −</p><p>5𝐾𝑄</p><p>12𝑟</p><p>c) −</p><p>11𝐾𝑄</p><p>12𝑟</p><p>d) −</p><p>𝐾𝑄</p><p>6𝑟</p><p>(Simulado AFA)</p><p>Uma partícula de 4 gramas se move horizontalmente em uma região onde existe um campo elétrico</p><p>uniforme, conforme a figura logo abaixo.</p><p>Sabendo que a distância AB é de 50 cm e que a carga da partícula é de 5 𝜇𝐶, podemos afirmar que</p><p>a diferença de potencial entre A e B, em volts, é de:</p><p>Considere 𝑠𝑒𝑛(37°) = 0,6.</p><p>a) 1 kV b) 2 kV c) 3 kV d) 4 kV</p><p>(Simulado EFOMM)</p><p>Uma partícula de 0,4 gramas e carga igual a 2 𝑚𝐶 é abandonada no ponto A, em uma região onde</p><p>existe um campo elétrico, conforme mostrado na figura abaixo.</p><p>Despreze os efeitos gravitacionais comparados aos efeitos elétricos.</p><p>Dessa forma, a velocidade da partícula quando ela passar por B é de:</p><p>(A) 10 m/s (B) 20 m/s (C) 30 m/s (D) 40 m/s (E) 50 m/s</p><p>(Simulado EN)</p><p>71</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Uma pequena partícula eletrizada se move em uma trajetória retilínea em uma região onde existe</p><p>um campo elétrico orientado na vertical e um campo magnético homogêneo, conforme a figura</p><p>abaixo. Se 𝑣0 = 400 𝑚/𝑠 e 𝐵 = 5 𝑇, então a diferença de potencial entre os pontos A e B é igual a:</p><p>Despreze os efeitos gravitacionais.</p><p>(A) 40 V (B) 50 V (C) 60 V (D) 80 V (E) 100 V</p><p>(ITA 1983)</p><p>Entre duas placas planas e paralelas, existe um campo elétrico uniforme. Devido a uma diferença</p><p>de potencial 𝑉 aplicada entre elas. Um feixe de elétrons é lançado entre as placas com velocidade</p><p>inicial 𝑣0. A massa do elétron é 𝑚 e 𝑞 é o módulo de sua carga elétrica. 𝐿 é a distância horizontal</p><p>que o elétron percorre para atingir uma das placas e 𝑑 é a distância entre as placas.</p><p>Dados: 𝑣0, 𝐿, 𝑑 e 𝑉, a razão entre o módulo da carga e a massa do elétron</p><p>𝑞</p><p>𝑚</p><p>é dada por:</p><p>a)</p><p>𝑉𝑑</p><p>𝐿𝑣0</p><p>b)</p><p>2𝐿2𝑣0</p><p>𝑉𝑑</p><p>c)</p><p>𝑉2𝐿</p><p>𝑑2𝑣0</p><p>d)</p><p>𝑑2𝑣0</p><p>2</p><p>𝑉𝐿2</p><p>e)</p><p>𝑉𝐿</p><p>𝑑2𝑣0</p><p>2</p><p>(ITA-1971)</p><p>Um elétron de massa 𝑚 e carga −𝑞 penetra com velocidade 𝑣𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 entre as placas de um</p><p>capacitor plano. Neste há uma diferença de potencial 𝑉 orientada de modo a fazer o elétron subir.</p><p>72</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Deduza a expressão da componente 𝑣𝑦 da velocidade que o elétron possui ao deixar o capacitor e</p><p>assinale-a entre as opções abaixo. Despreze a atração gravitacional sobre o elétron.</p><p>a) 𝑣𝑦 =</p><p>𝑞𝑉𝐿</p><p>𝑚𝑑𝑣𝑥</p><p>b) 𝑣𝑦 =</p><p>𝑞𝑚𝐿</p><p>𝑉𝑑𝑣𝑥</p><p>c) 𝑣𝑦 = 𝑣𝑥</p><p>d) 𝑣𝑦 =</p><p>𝐿</p><p>𝑑</p><p>∙ 𝑣𝑥 e) nenhuma das opções é correta.</p><p>(ITA-1969)</p><p>Três superfícies planas circulares isoladas possuem cargas distribuídas conforme indica a figura:</p><p>Pode-se afirmar que:</p><p>a) O campo elétrico na região compreendida entre a e b é nulo.</p><p>b) O campo elétrico apresenta valores mínimos na região entre b e c.</p><p>c) No centro geométrico de b, o campo elétrico é equivalente àquele determinado pelas cargas de</p><p>a e c.</p><p>d) Entre c e b o sentido do campo elétrico é de c para b.</p><p>e) Nenhuma das afirmações anteriores é correta.</p><p>(ITA-1985)</p><p>Uma esfera condutora de raio 0,50 𝑐𝑚 é elevada a um potencial de 10,0𝑉. Uma segunda esfera,</p><p>bem afastada da primeira, tem raio 1,00 𝑐𝑚 e está ao potencial 15,0𝑉. Elas são ligadas por um fio</p><p>de capacitância desprezível. Sabendo-se que o meio no qual a experiência é realizada é homogêneo</p><p>e isotrópico, podemos afirmar que os potenciais finais das esferas serão:</p><p>a) 12,5𝑉 e 12,5𝑉.</p><p>b) 8,33𝑉 para a primeira e 16,7𝑉 para a segunda.</p><p>c) 16,7𝑉 para a primeira e 8,33𝑉 para a segunda.</p><p>d) 13,3𝑉 e 13,3𝑉.</p><p>e) Zero para a primeira e 25,0𝑉 para a segunda.</p><p>(ITA-1986)</p><p>Duas esferas metálicas, 𝐴 e 𝐵, de raios 𝑅 e 3𝑅, respectivamente, são postas em contato.</p><p>Inicialmente 𝐴 possui carga elétrica positiva +2𝑄 e 𝐵, carga −𝑄. Após atingir o equilíbrio</p><p>eletrostático, as novas cargas de 𝐴 e 𝐵 passam a ser, respectivamente:</p><p>a) 𝑄/2, 𝑄/2.</p><p>b) 3𝑄/4, 𝑄/4. c) 3𝑄/2, 𝑄/2.</p><p>d) 𝑄/4, 3𝑄/4. e) 4𝑄/3 𝑒 − 𝑄/3.</p><p>(ITA-1987)</p><p>A figura representa um condutor oco e um condutor de forma esférica dentro da cavidade do</p><p>primeiro, ambos em equilíbrio eletrostático. Sabe-se que o condutor interno tem carga +𝑄.</p><p>73</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Pode-se afirmar que:</p><p>a) Não há campo elétrico dentro da cavidade.</p><p>b) As linhas de força dentro da cavidade são retas radiais em relação à esfera, como na figura.</p><p>c) A carga da superfície interna do condutor oco é −𝑄 e as linhas de força são perpendiculares a</p><p>essa superfície.</p><p>d) A carga da superfície interna do condutor oco é −𝑄 e as linhas de força são tangenciais a essa</p><p>superfície.</p><p>e) Não haverá diferença de potencial entre os dois condutores se a carga do condutor oco também</p><p>for igual a 𝑄.</p><p>(ITA-1987)</p><p>Numa experiência de laboratório, elétrons são emitidos por um filamento metálico 𝐹, com</p><p>velocidade inicial praticamente nula. Eles são acelerados através da região 𝐼 por uma diferença de</p><p>potencial de 25 × 103 𝑉, aplicada entre 𝐹 e a placa perfurada 𝑃. Eles emergem do furo da placa</p><p>com velocidade horizontal e penetram na região 𝐼𝐼, onde são obrigados a atravessar o campo</p><p>elétrico uniforme de um capacitor cujas placas têm comprimento 𝑙 = 5,0 𝑐𝑚 e estão separadas por</p><p>uma distância 𝑑 = 0,50 𝑐𝑚, conforme a figura. Qual é o máximo valor da tensão 𝑉2 entre as placas</p><p>do capacitor que ainda permite que algum elétron atinja a região 𝐼𝐼𝐼 onde não há campo elétrico?</p><p>(ITA-1988)</p><p>A, B e C são superfícies que se acham, respectivamente, a potenciais +20V, 0V e + 4,0V. Um elétron</p><p>é projetado a partir da superfície C no sentido ascendente com uma energia cinética inicial de 9,0</p><p>eV. (Um elétron-volt é a energia adquirida por um elétron quando submetido a uma diferença de</p><p>potencial de um volt). A superfície B é porosa e permite a passagem de elétrons. Podemos afirmar</p><p>que:</p><p>74</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>a) Na região entre C e B o elétron será acelerado pelo campo elétrico até atingir a superfície B com</p><p>energia cinética de 33,0 eV. Uma vez na região entre B e A, será desacelerado, atingindo a superfície</p><p>A com energia cinética de 13,0 eV.</p><p>b) Entre as placas C e B o elétron será acelerado atingindo a placa B com energia cinética igual a 13,0</p><p>eV, mas não atinge a placa A.</p><p>c) Entre C e B o elétron será desacelerado pelo campo elétrico aí existente e não atingirá a superfície</p><p>B.</p><p>d) Na região entre C e B o elétron será desacelerado, mas atingirá a superfície B com energia cinética</p><p>de 5,0 eV. Ao atravessar B, uma vez na região entre B e A será acelerado, até atingir a superfície A</p><p>com uma energia cinética de 25,0 eV.</p><p>e) Entre as placas C e B o elétron será desacelerado, atingindo a superfície B com energia cinética</p><p>de 5,0 eV. Uma vez na região entre B e A, será desacelerado, até atingir a superfície A com energia</p><p>cinética de 15,0 eV.</p><p>(ITA)</p><p>Um fio condutor homogêneo de 25 𝑐𝑚 de comprimento foi conectado entre os terminais de uma</p><p>bateria de 6𝑉. A 5 𝑐𝑚 do pólo positivo, faz-se uma marca 𝑃 sobre este fio e a 15 𝑐𝑚, outra marca</p><p>𝑄.</p><p>Então, a intensidade 𝐸 do campo elétrico dentro deste fio (em volt/metro) e a diferença de potencial</p><p>Δ𝑉 = 𝑉𝑃 − 𝑉𝑄 (em volts) existente entre os pontos 𝑃 e 𝑄 dentro do fio serão dados,</p><p>respectivamente, por:</p><p>a) 6,0 e 0,6. b) 24 e 2,4. c) 24 e 2,4. d) 6,0 e 6,0. e) 24 e 6,0.</p><p>(ITA-1990)</p><p>Num tubo de raios catódicos tem-se um filamento F que libera elétrons quando aquecido, e uma</p><p>placa aceleradora P que é mantida a um potencial mais alto que o filamento. O filamento fica a uma</p><p>distância d da placa. A placa tem, ainda, um orifício que permite a passagem dos elétrons que vão</p><p>se chocar com uma tela que fica fluorescente quando os mesmos a atingem.</p><p>Nestas condições:</p><p>a) Se aumentarmos a distância d entre o filamento e a placa, a energia cinética com que os elétrons</p><p>chegam à placa aumenta.</p><p>b) O aumento da distância d faz com que a energia cinética dos elétrons diminua.</p><p>75</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>c) A energia cinética dos elétrons não depende da distância entre o filamento e a placa, mas só da</p><p>diferença de potencial U entre o filamento e a placa aceleradora.</p><p>d) A energia cinética dos elétrons só depende da temperatura do filamento.</p><p>e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.</p><p>(ITA-2001)</p><p>Uma esfera de massa 𝑚 e carga 𝑞 está suspensa por um fio frágil e inextensível, feito de um material</p><p>eletricamente isolante. A esfera se encontra entre as placas paralelas de um capacitor plano, como</p><p>mostra a figura. A distância entre as placas é 𝑑, a diferença de potencial entre as mesmas é 𝑉 e o</p><p>esforço máximo que o fio pode suportar é igual ao quádruplo do peso da esfera. Para que a esfera</p><p>permaneça imóvel, em equilíbrio estável, é necessário que:</p><p>a) (</p><p>𝑞𝑉</p><p>𝑑</p><p>)</p><p>2</p><p>≤ 15 𝑚𝑔</p><p>b) (</p><p>𝑞𝑉</p><p>𝑑</p><p>)</p><p>2</p><p>≤ 4 (𝑚𝑔)2</p><p>c) (</p><p>𝑞𝑉</p><p>𝑑</p><p>)</p><p>2</p><p>≤ 15 (𝑚𝑔)2</p><p>d) (</p><p>𝑞𝑉</p><p>𝑑</p><p>)</p><p>2</p><p>≥ 15 𝑚𝑔</p><p>e) (</p><p>𝑞𝑉</p><p>𝑑</p><p>)</p><p>2</p><p>≤ 16 (𝑚𝑔)2</p><p>(ITA-2002)</p><p>Uma esfera metálica isolada, de raio 𝑅1 = 10,0 𝑐𝑚 é carregada no vácuo até atingir o potencial 𝑈 =</p><p>9,0𝑉. Em seguida, ela é posta em contato com outra esfera metálica isolada, de raio 𝑅2 = 5,0 𝑐𝑚,</p><p>inicialmente neutra. Após atingir o equilíbrio eletrostático, qual das alternativas melhor descreve a</p><p>situação física? É dado que</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>= 9,0 × 109 𝑁𝑚2/𝐶2.</p><p>a) A esfera maior terá uma carga de 0,66. 10-10 C.</p><p>b) A esfera maior terá um potencial de 4,5V.</p><p>c) A esfera menor terá uma carga de 0,66. 10-10 C.</p><p>d) A esfera menor terá um potencial de 4,5V.</p><p>e) A carga total é igualmente dividida entre as duas esferas.</p><p>(ITA-2005)</p><p>Em uma impressora a jato de tinta, gotas de certo tamanho ejetadas de um pulverizador em</p><p>movimento, passam por uma unidade eletrostática onde perdem alguns elétrons, adquirindo uma</p><p>carga 𝑞, e, a seguir, deslocam-se no espaço entre placas planas paralelas eletricamente carregadas,</p><p>pouco antes da impressão. Considere gotas de raio 10 𝜇𝑚 lançadas com velocidade de módulo 𝑣 =</p><p>20 𝑚/𝑠 entre as placas de comprimento igual a 2,0 𝑐𝑚, no interior das quais existe um campo</p><p>elétrico uniforme de módulo 𝐸 = 8,0 × 104 𝑁/𝐶, como mostra a figura.</p><p>76</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Considerando que a densidade da gota seja 1000 𝑘𝑔/𝑚3 e sabendo-se que a mesma sofre um</p><p>desvio de 0,30 𝑚𝑚 ao atingir o final do percurso, o módulo de sua carga elétrica é de:</p><p>a) 2,0. 10-14 C. b) 3,1. 10-14 C. c) 6,3. 10-14 C.</p><p>d) 3,1. 10-11 C. e) 1,1. 10-10 C.</p><p>(ITA-2009)</p><p>Uma carga 𝑞 distribui-se uniformemente na superfície de uma esfera condutora, isolada, de raio 𝑅.</p><p>Assinale a opção que apresenta a magnitude do campo elétrico e o potencial elétrico num ponto</p><p>situado a uma distância 𝑟 = 𝑅/3 do centro da esfera.</p><p>a) 𝐸 = 0 𝑉/𝑚 𝑒 𝑈 = 0 𝑉 b) 𝐸 = 0 𝑉/𝑚 𝑒 𝑈 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>∙</p><p>𝑞</p><p>𝑅</p><p>c) 𝐸 = 0 𝑉/𝑚 𝑒 𝑈 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>∙</p><p>3𝑞</p><p>𝑅</p><p>d) 𝐸 = 0 𝑉/𝑚 𝑒 𝑈 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>∙</p><p>𝑞𝑟</p><p>𝑅2</p><p>e) 𝐸 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>∙</p><p>𝑞𝑟</p><p>𝑅3</p><p>𝑒 𝑈 = 0 𝑉</p><p>(Simulado AFA)</p><p>Em um experimento de hipotético, existem 𝑁 gotas esféricas idênticas de um líquido que possuem</p><p>o mesmo potencial 𝑉. Acoplando as gotas é possível formar uma única gota bem grande. Dessa</p><p>forma, o potencial elétrico da nova gota é dado por:</p><p>(A) 𝑉 (B) 𝑁1/3𝑉 (C) 𝑁2/3𝑉 (D) 𝑁𝑉</p><p>(Simulado AFA)</p><p>Um pêndulo simples é formado por uma partícula de carga igual</p><p>a 1 mC, presa a um bloco de madeira, formando uma massa</p><p>pendular de 2 kg. Inicialmente, a massa pendular está</p><p>posicionada em A e é abandonada dessa posição. Sabe-se que na</p><p>região existe um campo elétrico uniforme, que apresenta linhas</p><p>de campo conforme destacado na figura. Quando o corpo passa</p><p>por B, o módulo da tração no fio é de 40 N. Dessa forma, a</p><p>diferença</p><p>de potencial entre A e B, em kV, é igual a:</p><p>(A) – 1 (B) – 2 (C) – 3 (D) – 4</p><p>77</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>8. Gabarito sem comentários nível 2</p><p>1) A</p><p>2) E</p><p>3) B</p><p>4) C</p><p>5) B</p><p>6) D</p><p>7) A</p><p>8) D</p><p>9) B</p><p>10) A</p><p>11) D</p><p>12) B</p><p>13) B</p><p>14) D</p><p>15) D</p><p>16) C</p><p>17) D</p><p>18) D</p><p>19) D</p><p>20) A</p><p>21) C</p><p>22) D</p><p>23) D</p><p>24) C</p><p>25) 1000 V</p><p>26) D</p><p>27) C</p><p>28) C</p><p>29) C</p><p>30) A</p><p>31) B</p><p>32) B</p><p>33) C</p><p>34) D</p><p>78</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>9. Lista de exercíciso nível 2 comentada</p><p>(EFOMM – 2016)</p><p>Considere que o Gerador de Van de Graaff da figura está em funcionamento, mantendo constante</p><p>o potencial elétrico de sua cúpula esférica de raio 𝑅0 metros. Quando, então, é fechada a chave</p><p>𝐶𝐻1, uma esfera condutora de raio 𝑅1 = 𝑅0/4 metros, inicialmente descarregada, conecta-se à</p><p>cúpula por meio de fios de capacidade desprezível (também é desprezível a indução eletrostática).</p><p>Atingido o equilíbrio eletrostático, a razão 𝜎1/𝜎2, entre as densidades superficiais de carga elétrica</p><p>da esfera e da cúpula, vale</p><p>a) 4 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) 1/4</p><p>Comentários:</p><p>Quando atingido o equilíbrio eletrostático, temos que:</p><p>𝑉1 = 𝑉0</p><p>𝐾𝑄1</p><p>𝑅1</p><p>=</p><p>𝐾𝑄0</p><p>𝑅0</p><p>𝐾 ⋅ 𝜎1 ⋅ 4𝜋𝑅1</p><p>2</p><p>𝑅1</p><p>=</p><p>𝐾 ⋅ 𝜎0 ⋅ 4𝜋𝑅0</p><p>2</p><p>𝑅0</p><p>𝜎1</p><p>𝜎0</p><p>=</p><p>𝑅0</p><p>𝑅1</p><p>Como 𝑅1 = 𝑅0/4 ou 𝑅0 = 4𝑅1, temos:</p><p>𝜎1</p><p>𝜎0</p><p>=</p><p>4𝑅1</p><p>𝑅1</p><p>𝜎1</p><p>𝜎0</p><p>= 4</p><p>Gabarito: A</p><p>(EFOMM – 2011)</p><p>79</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Duas cargas elétricas puntiformes, de valores +3𝑞 (positiva) e −5𝑞 (negativa) estão separadas por</p><p>uma distância linear de 120 cm. Considere o potencial elétrico nulo no infinito (potencial de</p><p>referência), e as cargas isoladas. Nessas condições, um ponto A, pertencente ao segmento de reta</p><p>que une as cargas, terá potencial elétrico nulo se sua distância, em cm, à carga positiva +3𝑞 for de:</p><p>a) 75,0 b) 60,0 c) 50,0 d) 48,0 e) 45,0</p><p>Comentários:</p><p>Podemos dispôs as cargas no espaço da seguinte forma:</p><p>Para a condição do problema, potencial em A nulo, temos:</p><p>𝑉𝐴 = 0</p><p>𝐾𝑞1</p><p>𝑥</p><p>+</p><p>𝐾𝑞2</p><p>1,2 − 𝑥</p><p>= 0</p><p>𝐾3𝑞</p><p>𝑥</p><p>+</p><p>𝐾(−5𝑞)</p><p>1,2 − 𝑥</p><p>= 0</p><p>3</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>5</p><p>1,2 − 𝑥</p><p>3(1,2 − 𝑥) = 5 ⋅ 𝑥</p><p>3 ⋅ 1,2 − 3 ⋅ 𝑥 = 5 ⋅ 𝑥</p><p>3,6 = 8𝑥</p><p>𝑥 = 0,45 𝑚</p><p>𝑥 = 45 𝑐𝑚</p><p>Gabarito: E</p><p>(EFOMM – 2010)</p><p>Observe a figura a seguir.</p><p>80</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Uma pequena esfera está presa à extremidade de um fio flexível e isolante, cuja outra extremidade</p><p>está fixa no ponto 𝑂, conforme indica a figura acima. Essa esfera de massa 𝑚 = 3,0 ⋅ 10−6 𝑘𝑔 e</p><p>carga elétrica 𝑞 = 1,2 ⋅ 10−6 𝐶, está em equilíbrio estático no interior de um campo elétrico</p><p>uniforme �⃗⃗�. A ddp, em volts, entre os pontos 𝐴 e 𝐵, que distam 0,2 𝑚, é</p><p>Dado: 𝑡𝑔 60° = 1,7; 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2.</p><p>a) 7,5 b) 8,5 c) 9,5 d) 10,5 e) 11,5</p><p>Comentários:</p><p>Do equilíbrio carga na região onde existe o campo elétrico uniforme podemos determinar a</p><p>intensidade do campo elétrico:</p><p>Pelo equilíbrio das forças, temos:</p><p>𝑡𝑔(60°) =</p><p>𝑞 ⋅ 𝐸</p><p>𝑚 ⋅ 𝑔</p><p>1,7 =</p><p>1,2 ⋅ 10−6 ⋅ 𝐸</p><p>3,0 ⋅ 10−6 ⋅ 10</p><p>𝐸 = 42,5 𝑉/𝑚</p><p>Como o campo elétrico é uniforme, a diferença de potencial ao longo da linha de força que contém</p><p>𝐴𝐵 é dada por:</p><p>𝑈 = 𝐸 ⋅ 𝑑𝐴𝐵</p><p>81</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑈 = 42,5 ⋅ 0,2</p><p>𝑈 = 8,5 𝑉</p><p>Gabarito: B</p><p>(EFOMM – 2009)</p><p>Sejam duas cargas 𝑞, iguais, de −5 ⋅ 10−6 𝐶, fixas no espaço, separadas por uma distância 𝑑 = 4 𝑐𝑚,</p><p>conforme indica a figura abaixo:</p><p>Suponha que no ponto 𝐶 seja colocada uma terceira carga de 3 ⋅ 10−5 𝐶, trazida lentamente desde</p><p>o infinito. O trabalho ou a variação da energia potencial elétrica da configuração (em joules), após</p><p>posicionamento da terceira carga é de, aproximadamente,</p><p>Dado: 𝐾 = 9 ⋅ 109 𝑁𝑚2/𝐶2.</p><p>a) −55,47 b) −77,47 c) −95,47 d) −107,47 e) −128,47</p><p>Comentários:</p><p>O trabalho ou a variação da energia potencial elétrica do sistema é dado por:</p><p>𝜏 = Δ𝐸𝑃 = 𝐸𝑃</p><p>𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>− 𝐸𝑃</p><p>𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>Δ𝐸𝑃 =</p><p>𝐾 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝑞</p><p>𝑑</p><p>+</p><p>𝐾 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝑞′</p><p>𝑑′</p><p>+</p><p>𝐾 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝑞′</p><p>𝑑′</p><p>−</p><p>𝐾 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝑞</p><p>𝑑</p><p>Δ𝐸𝑃 = 2 ⋅</p><p>𝐾 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝑞′</p><p>𝑑′</p><p>Em que 𝑑′ é a distância do vértice ao centro do quadrado, que é 𝑑√2/2. Portanto:</p><p>Δ𝐸𝑃 = 2 ⋅</p><p>(9 ⋅ 109 ⋅ (−5 ⋅ 10−6) ⋅ 3 ⋅ 10−5)</p><p>4 ⋅ 10−2 ⋅</p><p>√2</p><p>2</p><p>Δ𝐸𝑃 ≅ −95,47 𝐽</p><p>Gabarito: C</p><p>(Simulado AFA)</p><p>82</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Analise a figura abaixo:</p><p>A figura representa as linhas de um campo elétrico uniforme de intensidade 400 V/m, inclinadas de</p><p>45° com o eixo 𝑥. Dessa maneira, a ddp 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵, em V, é de:</p><p>(A) 0 (B) 2√2 (C) 4 (D) 4√2</p><p>Comentários:</p><p>Lembrando as linhas de campo são ortogonais as superfícies equipotenciais, basta tomar</p><p>ortogonais passando por A e por B. Assim, a distância entre as equipotenciais é de:</p><p>Pela geometria, vemos que:</p><p>𝑥 =</p><p>3√2</p><p>2</p><p>− √2 =</p><p>√2</p><p>2</p><p>𝑐𝑚</p><p>𝑥 =</p><p>√2</p><p>2</p><p>⋅ 10−2 𝑚</p><p>Logo:</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝐸 ⋅ 𝑥</p><p>83</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 400 ⋅</p><p>√2</p><p>2</p><p>⋅ 10−2</p><p>∴ 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 2√2 𝑉</p><p>Gabarito: B</p><p>(AFA – 2010)</p><p>Dois anéis idênticos de centros 𝑂 e 𝑂′, uniformemente eletrizados com cargas de naturezas opostas</p><p>e mesmo módulo, são mantidos em planos paralelos conforme indica a figura.</p><p>Os pontos 𝑂, 𝑂′ e 𝐵 são colineares e 𝐴 pertence à mediatriz do segmento 𝑂𝑂′. O trabalho realizado</p><p>pela força aplicada por um agente externo para deslocar uma carga de prova negativa do ponto 𝐴</p><p>até o ponto 𝐵, com velocidade constante,</p><p>a) dependerá da posição do ponto 𝐴. b) será nulo.</p><p>c) será positivo. d) será negativo.</p><p>Comentários:</p><p>Devido a simetria em relação aos anéis, qualquer ponto da reta tracejada que contém o ponto 𝐴</p><p>deve ter potencial nulo.</p><p>Como o ponto 𝐵 está mais próximo do anel carregado positivamente, ele deve ter potencial</p><p>positivo. Logo, o trabalho para a carga ir de 𝐴 para 𝐵 é dado por:</p><p>𝜏𝐴𝐵 = 𝑞 ⋅ (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵)</p><p>𝜏𝐴𝐵 = −𝑞 ⋅ 𝑉𝐵</p><p>Como a carga é negativa, o trabalho 𝜏𝐴𝐵 é positivo. Portanto, como o trabalho resultante é nulo,</p><p>então o trabalho do operador para que a carga se mova com velocidade constante é negativo.</p><p>Gabarito: D</p><p>(AFA – 2010)</p><p>Uma esfera de massa 𝑚, eletrizada positivamente com carga 𝑞, está fixada na extremidade de um</p><p>fio ideal e isolante de comprimento 𝑙. O pêndulo, assim constituído, está imerso em uma região</p><p>onde além do campo gravitacional �⃗� atua um campo elétrico horizontal e uniforme �⃗⃗�. Este pêndulo</p><p>é abandonado do ponto 𝐴 e faz um ângulo 𝜃 com a vertical conforme mostra a figura.</p><p>84</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Desprezando-se quaisquer resistências, ao passar pelo ponto 𝐵, simétrico de 𝐴 em relação à vertical,</p><p>sua energia cinética vale</p><p>a) 2 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑙 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 b) 𝑙(𝑚 ⋅ 𝑔 + 𝑞 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃)</p><p>c) 2𝑙(𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ cos 𝜃 + 𝑞 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃) d) 𝑞 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑙 ⋅ cos 𝜃</p><p>Comentários:</p><p>Se o ponto 𝐵 é o simétrico de 𝐴, podemos dizer que 𝐴 e 𝐵 estão ao longo de uma mesma linha de</p><p>força. Pelo teorema do trabalho e energia, podemos dizer que o trabalho da força elétrico é igual a</p><p>variação da energia cinética. Note que se tomarmos como nível de referência a reta 𝐴𝐵, não há variação</p><p>da energia potencial gravitacional (A e B estão no mesmo nível).</p><p>Portanto:</p><p>𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒 = Δ𝐸𝑐</p><p>𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒 = 𝐸𝐶 − 0</p><p>𝑞 ⋅ (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵) = 𝐸𝐶</p><p>Como o campo elétrico é uniforme na região, então:</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝐸 ⋅ 𝑑𝐴𝐵</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝐸 ⋅ (𝑙 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑙 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃)</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 2 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑙 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃</p><p>Logo:</p><p>𝐸𝐶 = 𝑞 ⋅ 2 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑙 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃</p><p>Gabarito: A</p><p>(AFA – 2018)</p><p>Três cargas elétricas pontuais, 𝑞1, 𝑞2 e 𝑞3, estão fixas de tal forma que os segmentos de reta que</p><p>unem cada par de carga formam um triângulo</p><p>equilátero com o plano na vertical, conforme ilustra</p><p>a figura a seguir.</p><p>85</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑀 é o ponto médio do segmento que une 𝑞2 e 𝑞3. A carga elétrica 𝑞2 é positiva e igual a 𝑄, enquanto</p><p>𝑞1 e 𝑞3 são desconhecidas. Verifica-se que o vetor campo elétrico �⃗⃗� no ponto 𝑀, gerado por estas</p><p>três cargas, forma com o lado que une 𝑞2 e 𝑞3 um ângulo 𝜃 de 19° e está apontado para baixo.</p><p>Sabendo-se, ainda, que a força elétrica de interação entre as cargas 𝑞1 e 𝑞2 é menor que a força</p><p>elétrica entre 𝑞2 e 𝑞3, é correto afirmar que</p><p>a) o potencial elétrico gerado por estas três cargas no ponto 𝑀 pode ser nulo.</p><p>b) o potencial elétrico gerado por estas três cargas no ponto 𝑀 é positivo.</p><p>c) o trabalho realizado pela força aplicada por um agente externo para leva uma carga de prova</p><p>positiva do ponto 𝑀 até o infinito, com velocidade constante, é motor.</p><p>d) a soma algébrica entre as cargas 𝑞1 e 𝑞2 é menor do que 𝑄.</p><p>Comentários:</p><p>Para que a situação descrita seja satisfeita, como 𝑞2 > 0, temos que 𝑞2 > |𝑞3|, pois o campo</p><p>resultante de 𝑞2 e 𝑞3 deve ser orientado para 𝑞3 (lembrando que 𝑀 é ponto médio). Além disso, 𝑞1 deve</p><p>ser negativa, gerando um campo que aponta para ela e, quando somado com o campo de 2 e 3, o campo</p><p>resultante em 𝑀 tenha a direção desejada.</p><p>Como 𝑞1 < 0, então ao somar 𝑞2 = 𝑄 com 𝑞1 é esperado que o valor seja menor que 𝑄, como</p><p>indica a alternativa D.</p><p>Pela frase: “sabendo-se, ainda, que a força elétrica de interação entre as cargas 𝑞1 e 𝑞2 é menor</p><p>que a força elétrica entre 𝑞2 e 𝑞3”, podemos extrair uma relação entre os módulos das carga 1 e 3:</p><p>𝐹12 < 𝐹23</p><p>𝐾|𝑞1||𝑞2|</p><p>𝑙2</p><p><</p><p>𝐾|𝑞2||𝑞3|</p><p>𝑙2</p><p>|𝑞1| < |𝑞3|</p><p>O potencial de 𝑀 é calculado por:</p><p>𝑉𝑀 =</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑙</p><p>2</p><p>+</p><p>𝐾𝑄1</p><p>𝑙√3</p><p>2</p><p>+</p><p>𝐾𝑄3</p><p>𝑙</p><p>2</p><p>𝑉𝑀 =</p><p>2𝐾𝑄</p><p>𝑙</p><p>+</p><p>2𝐾𝑄1</p><p>𝑙√3</p><p>+</p><p>2𝐾𝑄3</p><p>𝑙</p><p>86</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑉𝑀 =</p><p>2𝐾</p><p>𝑙</p><p>(𝑄 +</p><p>𝑄1</p><p>√3</p><p>+ 𝑄3)</p><p>Como não há uma relação forte bem explicita dos valores das cargas, não podemos tirar nenhuma</p><p>conclusão certa sobre o potencial no ponto M e não podemos julgas as alternativas a, b e c.</p><p>A única alternativa que temos certeza é a letra D e ela está correta.</p><p>Gabarito: D</p><p>(AFA – 2017)</p><p>Um sistema é composto por quatro cargas elétricas puntiformes fixadas nos vértices de um</p><p>quadrado, conforme ilustrado na figura abaixo.</p><p>As cargas 𝑞1 e 𝑞2 são desconhecidas. No centro 𝑂 do quadrado o vetor campo elétrico �⃗⃗�, devido às</p><p>quatro cargas, tem a direção e o sentido indicados na figura. A partir da análise deste campo elétrico,</p><p>pode-se afirmar que o potencial elétrico em 𝑂</p><p>a) é positivo. b) é negativo. c) é nulo. d) pode ser positivo.</p><p>Comentários:</p><p>Como o campo resultante em 𝑂 tem direção que liga 𝑄2 e +𝑄, e as distâncias das cargas ao centro</p><p>são iguais, então 𝑞1 deve ser igual a −𝑄. Por outro lado, se �⃗⃗� tem direção de 𝑞2, podemos ter:</p><p>Caso 1: 𝑞2 < 0.</p><p>Se 𝑞2 é negativa, então o potencial elétrico em 𝑂 deve ser negativo, pois:</p><p>𝑉𝑂 =</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑑</p><p>+</p><p>𝐾𝑞1</p><p>𝑑</p><p>−</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑑</p><p>+</p><p>𝐾𝑞2</p><p>𝑑</p><p>𝑉𝑂 = −</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑑</p><p>+</p><p>𝐾𝑞2</p><p>𝑑</p><p>𝑉𝑂 =</p><p>𝐾</p><p>𝑑</p><p>(−𝑄 + 𝑞2)</p><p>Como 𝑞2 < 0, então −𝑄 + 𝑞2 é negativo também, resultando em um potencial negativo em 𝑂.</p><p>Caso 2: 𝑞2 > 0.</p><p>87</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Se 𝑞2 é positiva, então 𝑞2 < 𝑄 para que o campo tenha a direção indicada no ponto O. Assim:</p><p>𝑉𝑂 =</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑑</p><p>+</p><p>𝐾𝑞1</p><p>𝑑</p><p>−</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑑</p><p>+</p><p>𝐾𝑞2</p><p>𝑑</p><p>𝑉𝑂 = −</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑑</p><p>+</p><p>𝐾𝑞2</p><p>𝑑</p><p>𝑉𝑂 =</p><p>𝐾</p><p>𝑑</p><p>(−𝑄 + 𝑞2)</p><p>Como 𝑞2 < 𝑄, então 𝑞2 − 𝑄 < 0. Logo, o potencial também é negativo em 𝑂.</p><p>Gabarito: B</p><p>(EN – 2018)</p><p>Analise a figura abaixo.</p><p>Na figura acima, a linha pontilhada mostra a trajetória plana de uma partícula de carga −𝑞 = −3,0 𝐶</p><p>que percorre 6,0 metros, ao se deslocar do ponto 𝐴, onde estava em repouso, até o ponto 𝐵, onde</p><p>foi conduzida novamente ao repouso. Nessa região do espaço, há um campo elétrico conservativo,</p><p>cujas superfícies equipotenciais estão representadas na figura. Sabe-se que, ao longo desse</p><p>deslocamento da partícula, atuam somente duas forças sobre ela, onde uma delas é a força externa,</p><p>𝐹𝑒𝑥𝑡. Sendo assim, qual o trabalho, em quilojoules, realizado pela força 𝐹𝑒𝑥𝑡 no deslocamento da</p><p>partícula do ponto 𝐴 até o ponto 𝐵?</p><p>a) -0,28 b) +0,28 c) -0,56 d) +0,56 e) -0,85</p><p>Comentários:</p><p>O trabalho para a carga negativa ir de uma equipotencial para a outra é dado por:</p><p>𝜏𝐴𝐵 = 𝑞 ⋅ (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵)</p><p>𝜏𝐴𝐵 = (−3,0) ⋅ (6 − 100)</p><p>𝜏𝐴𝐵 = 282 𝐽 = +0,28 𝑘𝐽</p><p>88</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Note que ele forneceu os dados com 2 algarismos significativos e diante de nossas contas,</p><p>devemos deixar a resposta com 2 algarismos significativos.</p><p>Pelo teorema do trabalho e energia, considerando que foram desprezados os efeitos</p><p>gravitacionais, temos:</p><p>𝜏 = Δ𝐸𝑚𝑒𝑐</p><p>𝜏𝐴𝐵 + 𝜏𝐹𝑒𝑥𝑡 = 0</p><p>𝜏𝐹𝑒𝑥𝑡 = −𝜏𝐴𝐵</p><p>𝜏𝐹𝑒𝑥𝑡 = −0,28 𝑘𝐽</p><p>Gabarito: A</p><p>(EN – 2015)</p><p>Analise a figura abaixo.</p><p>Uma casca esférica metálica fina, isolada, de raio 𝑅 = 4,00𝑐𝑚 e carga 𝑄, produz um potencial</p><p>elétrico igual a 10,0 𝑉 no ponto 𝑃, distante 156 𝑐𝑚 da superfície da casca (ver figura). Suponha</p><p>agora que o raio da casca esférica foi alterado para um valor quatro vezes menor. Nessa nova</p><p>configuração, a ddp entre o centro da casca e o ponto 𝑃, em quilovolts, será</p><p>a) 0,01 b) 0,39 c) 0,51 d) 1,59 e) 2,00</p><p>Comentários:</p><p>Conhecendo o potencial elétrico gerado pela casca no ponto P, podemos determinar o valor da</p><p>carga da esfera:</p><p>𝑉𝑃 =</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑑</p><p>10,0 = 𝐾 ⋅</p><p>𝑄</p><p>1,56 + 0,04⏟</p><p>=𝑅</p><p>𝑄 =</p><p>16,0</p><p>𝐾</p><p>𝐶</p><p>Com isso, podemos calcular o potencial na superfície da casca esférica agora que ela possui o novo</p><p>raio:</p><p>𝑉𝑆 =</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑅′</p><p>89</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑉𝑆 = 𝐾 ⋅</p><p>16,0</p><p>𝐾</p><p>⋅</p><p>1</p><p>0,01</p><p>𝑉𝑆 = 1600</p><p>𝑉𝑆 = 1,60 𝑘𝑉</p><p>Como o potencial fora da casca se passa como a casca esférica fosse uma carga puntiforme, ao</p><p>alterar o raio, sem alterar a carga da esfera, a distância do centro da esfera até ao ponto 𝑃 não mudou,</p><p>logo, o potencial no ponto 𝑃 também não mudou. Logo, a ddp entre a casca (centro da casca, não da</p><p>esfera) e o potencial do ponto P é dado por:</p><p>𝑉𝑆 − 𝑉𝑃 = 1,60 − 0,0100</p><p>𝑉𝑆 − 𝑉𝑃 = 1,59 𝑘𝑉</p><p>Gabarito: D</p><p>(EN – 2012)</p><p>As quatro cargas 𝑄 idênticas, positivas e puntiformes, estão fixas nos vértices de um quadrado de</p><p>lado 𝐿 = √2 𝑚, isoladas e no vácuo (ver figura). Uma carga de prova positiva 𝑞 = 0,10 𝜇𝐶 é, então,</p><p>cuidadosamente colocada no centro 𝑂 da configuração. Como o equilíbrio é instável, a carga 𝑞 é</p><p>repelida até atingir uma energia cinética constante de 7,2 ⋅ 10−3 𝐽. Desprezando a força</p><p>gravitacional, o valor de cada carga 𝑄, em microcoulombs, vale</p><p>Dado: constante eletrostática no vácuo. 𝐾0 = 9,0 ⋅ 10</p><p>9 𝑁𝑚2/𝐶2.</p><p>a) 1,0</p><p>b) 2,0</p><p>c) 4,0</p><p>d) 6,0</p><p>e) 8,0</p><p>Comentários:</p><p>Quando a carga está no centro do quadrado, a energia do sistema é dada por:</p><p>𝐸 = 4 ⋅</p><p>𝐾𝑞𝑄</p><p>𝑑</p><p>+ 𝐸𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜</p><p>Em que a distância entre a carga 𝑞 e as demais é metade da diagonal, isto é:</p><p>𝑑 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐿√2</p><p>𝑑 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ √2 ⋅ √2</p><p>𝑑 = 1 𝑚</p><p>90</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Como o sistema é conservativo, a carga 𝑞 terá energia cinética quando ela estiver muito longe do</p><p>quadrado de cargas +𝑄 (dizemos que ela está no “infinito”). Pela conservação de energia, temos:</p><p>𝐸𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = 𝐸𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠</p><p>4 ⋅</p><p>𝐾𝑞𝑄</p><p>𝑑</p><p>+ 𝐸𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜</p><p>𝐸𝐶 = 4 ⋅</p><p>𝐾𝑞𝑄</p><p>𝑑</p><p>Substituindo valores, vem:</p><p>7,2 ⋅ 10−3 = 4 ⋅ 9 ⋅ 109 ⋅ 0,1 ⋅ 10−6</p><p>𝑄</p><p>1</p><p>𝑄 = 2,0 𝜇𝐶</p><p>Gabarito: B</p><p>(EN – 2010)</p><p>Duas pequenas esferas, de raios desprezíveis, estão carregadas com cargas elétricas de mesmo valor</p><p>absoluto e sinais contrários, sendo mantidas afastadas, uma</p><p>da outra, por meio de uma mola ideal</p><p>não condutora de constante elástica igual a 25,0 𝑁/𝑚. Sabe-se que a distância 𝐿 = 36,0 𝑐𝑚. As</p><p>duas cargas elétricas formam um sistema, no vácuo, que possui energia potencial eletrostática de</p><p>valor absoluto igual a 0,90 𝐽. O comprimento 𝐿0, em centímetros, da mola não deformada é</p><p>Dado: 𝐾𝑣á𝑐𝑢𝑜 = 9,0 ⋅ 10</p><p>9 𝑁𝑚2/𝐶2.</p><p>a) 41,0</p><p>b) 46,0</p><p>c) 51,0</p><p>d) 56,0</p><p>e) 61,0</p><p>Comentários:</p><p>Pela energia potencial eletrostática, podemos calcular o produto 𝐾𝑞2:</p><p>|𝐸| =</p><p>𝐾 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝑞</p><p>𝐿</p><p>0,9 =</p><p>𝐾𝑞2</p><p>0,36</p><p>𝐾𝑞2 = 0,9 ⋅ 0,36 (𝑒𝑞. 1)</p><p>Dada que a força elétrica é de atração, a mola está sendo comprimida e a força da mola na carga</p><p>tem sentido contrário a força elétrica. Para o equilíbrio, temos:</p><p>91</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝐹𝑒𝑙𝑒 = 𝐹𝑒𝑙𝑎𝑠</p><p>𝐾𝑞2</p><p>𝐿2</p><p>= 25 ⋅ Δ𝑥</p><p>0,9 ⋅ 0,36</p><p>0,362</p><p>= 25 ⋅ Δ𝑥</p><p>Δ𝑥 = 0,1 𝑚</p><p>Δ𝑥 = 10 𝑐𝑚</p><p>Logo:</p><p>𝐿0 − 𝐿 = Δ𝑥</p><p>Lembrando que a mola foi comprimida, então:</p><p>𝐿0 − 36 = 10</p><p>𝐿0 = 46 𝑐𝑚</p><p>Gabarito: B</p><p>(EN – 2009)</p><p>Suponha um sistema isolado de três partículas de mesma massa, 𝑚 = 3,0 ⋅ 10−17 𝑘𝑔, carregadas</p><p>positivamente e fixadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado 𝑎 = 2,0 𝑚, conforme indica</p><p>a figura. As partículas possuem as seguintes caras, 𝑞1 = 𝑞2 = 8,0 ⋅ 10</p><p>−8 𝐶 e 𝑞3 = 5,0 ⋅ 10</p><p>−8 𝐶.</p><p>Considere o sistema no vácuo e as interações gravitacionais desprezíveis. Suponha, agora, que a</p><p>partícula 𝑞3 seja liberada, enquanto 𝑞1 e 𝑞2 permanecem fixas nas mesmas posições. Qual a</p><p>velocidade da partícula 𝑞3, em 𝑚/𝑠, quando esta estiver a 5,0 𝑚 de distância da partícula 𝑞1?</p><p>Dado: 𝐾0 = 9 ⋅ 10</p><p>9 𝑁𝑚2/𝐶2.</p><p>a) 2,4 ⋅ 107</p><p>b) 1,2 ⋅ 107</p><p>c) 2,4 ⋅ 106</p><p>d) 1,2 ⋅ 106</p><p>e) 2,4 ⋅ 105</p><p>Comentários:</p><p>Se os efeitos gravitacionais foram desprezados, a energia inicial do sistema é apenas devido a</p><p>energia potencial eletrostática:</p><p>𝐸𝑖 =</p><p>𝐾𝑞1𝑞2</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝐾𝑞1𝑞3</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝐾𝑞2𝑞3</p><p>𝑎</p><p>92</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Após ser liberada, devido ao fato dos módulos das forças entre 1 e 3, e 2 e 3 serem iguais, além da</p><p>simetria do triângulo equilátero, a força elétrica resultante estará na mediatriz de 𝑞1 e 𝑞2. Logo, quando</p><p>a carga 𝑞3 estiver a 5 metros de 𝑞1, 𝑞3 também estará a 5 metros de 𝑞2. Portanto, na nova situação, a</p><p>energia é dada por:</p><p>𝐸𝑓 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2 +</p><p>𝐾𝑞1𝑞2</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝐾𝑞1𝑞3</p><p>𝑑</p><p>+</p><p>𝐾𝑞2𝑞3</p><p>𝑑</p><p>Dado que a força elétrica é do tipo conservativa, então sabemos que a conservação da energia.</p><p>Portanto:</p><p>𝐸𝑖 = 𝐸𝑓</p><p>𝐾𝑞1𝑞2</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝐾𝑞1𝑞3</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝐾𝑞2𝑞3</p><p>𝑎</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2 +</p><p>𝐾𝑞1𝑞2</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝐾𝑞1𝑞3</p><p>𝑑</p><p>+</p><p>𝐾𝑞2𝑞3</p><p>𝑑</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2 = 𝐾𝑞3 (</p><p>𝑞1</p><p>𝑎</p><p>−</p><p>𝑞1</p><p>𝑑</p><p>+</p><p>𝑞2</p><p>𝑎</p><p>−</p><p>𝑞2</p><p>𝑑</p><p>)</p><p>𝑣 = √</p><p>2𝐾𝑞3</p><p>𝑚</p><p>[𝑞1 (</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑑</p><p>) + 𝑞2 (</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑑</p><p>)]</p><p>𝑣 = √</p><p>2𝐾𝑞3</p><p>𝑚</p><p>(𝑞1 + 𝑞2) (</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑑</p><p>)</p><p>Substituindo valores, temos:</p><p>𝑣 = √</p><p>2 ⋅ 9 ⋅ 109 ⋅ 5 ⋅ 10−8</p><p>3 ⋅ 10−17</p><p>(8 ⋅ 10−8 +⋅ 10−8) (</p><p>1</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>5</p><p>)</p><p>𝑣 = √</p><p>2 ⋅ 9 ⋅ 109 ⋅ 5 ⋅ 10−8</p><p>3 ⋅ 10−17</p><p>2 ⋅ 8 ⋅ 10−8 ⋅</p><p>3</p><p>10</p><p>𝑣 = 1,2 ⋅ 106 𝑚/𝑠</p><p>Gabarito: D</p><p>(Simulado AFA)</p><p>Duas cascas esféricas metálicas são carregadas com carga +𝑄 e −𝑄, conforme figura abaixo.</p><p>93</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>A diferença de potencial 𝑉𝐴𝐵 é igual a:</p><p>a) −</p><p>5𝐾𝑄</p><p>6𝑟</p><p>b) −</p><p>5𝐾𝑄</p><p>12𝑟</p><p>c) −</p><p>11𝐾𝑄</p><p>12𝑟</p><p>d) −</p><p>𝐾𝑄</p><p>6𝑟</p><p>Comentários:</p><p>O ponto A é um ponto externo a primeira casca e interno a segunda, então, pelo princípio</p><p>superposição dos potenciais, temos:</p><p>𝑉𝐴 =</p><p>𝐾𝑄1</p><p>𝑑11</p><p>+</p><p>𝐾𝑄2</p><p>3𝑟</p><p>=</p><p>𝐾(−𝑄)</p><p>2𝑟</p><p>+</p><p>𝐾𝑄</p><p>3𝑟</p><p>= −</p><p>𝐾𝑄</p><p>6𝑟</p><p>O ponto B é externo as duas cascas esféricas, portanto:</p><p>𝑉𝐵 =</p><p>𝐾𝑄1</p><p>𝑑1</p><p>+</p><p>𝐾𝑄2</p><p>𝑑2</p><p>=</p><p>𝐾(−𝑄)</p><p>4𝑟</p><p>+</p><p>𝐾𝑄</p><p>4𝑟</p><p>= 0</p><p>Portanto:</p><p>𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵</p><p>𝑉𝐴𝐵 = −</p><p>𝐾𝑄</p><p>6𝑟</p><p>Gabarito: D</p><p>(Simulado AFA)</p><p>Uma partícula de 4 gramas se move horizontalmente em uma região onde existe um campo elétrico</p><p>uniforme, conforme a figura logo abaixo.</p><p>Sabendo que a distância AB é de 50 cm e que a carga da partícula é de 5 𝜇𝐶, podemos afirmar que</p><p>a diferença de potencial entre A e B, em volts, é de:</p><p>Considere 𝑠𝑒𝑛(37°) = 0,6.</p><p>94</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>a) 1 kV b) 2 kV c) 3 kV d) 4 kV</p><p>Comentários:</p><p>Sabendo que as equipotenciais são perpendiculares as linhas de campo, temos:</p><p>A diferença de potencial entre A e B é dada por:</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝐸 ⋅ 𝐴𝐵 ⋅ cos(53°)</p><p>Pela análise do movimento horizontal, nós podemos extrair o valor do campo elétrico:</p><p>𝐹𝑒𝑙𝑒 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(53°) = 𝑚𝑔</p><p>𝑞 ⋅ 𝐸 ⋅ 0,8 = 𝑚 ⋅ 𝑔</p><p>5 ⋅ 10−6 ⋅ 𝐸 ⋅ 0,8 = 4 ⋅ 10−3 ⋅ 10</p><p>𝐸 = 104 𝑉/𝑚</p><p>Portanto:</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 10</p><p>4 ⋅ 0,5 ⋅ 0,6</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 3 𝑘𝑉</p><p>Gabarito: C</p><p>(Simulado EFOMM)</p><p>Uma partícula de 0,4 gramas e carga igual a 2 𝑚𝐶 é abandonada no ponto A, em uma região onde</p><p>existe um campo elétrico, conforme mostrado na figura abaixo.</p><p>Despreze os efeitos gravitacionais comparados aos efeitos elétricos.</p><p>95</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Dessa forma, a velocidade da partícula quando ela passar por B é de:</p><p>(A) 10 m/s (B) 20 m/s (C) 30 m/s (D) 40 m/s (E) 50 m/s</p><p>Comentários:</p><p>Se a força elétrica é a única força na partícula, então ela é a resultante, portanto, pelo teorema da</p><p>energia cinética, temos:</p><p>𝜏𝐹𝑅 = Δ𝐸𝐶</p><p>𝑞(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵) =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2</p><p>Pela figura, temos superfícies equipotenciais, já que são perpendiculares às linhas de campo.</p><p>Portanto:</p><p>2 ⋅ 10−3(200 − 40) =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 4 ⋅ 10−4 ⋅ 𝑣2</p><p>1600 = 𝑣2</p><p>𝑣 = 40 𝑚/𝑠</p><p>Gabarito: D</p><p>(Simulado EN)</p><p>Uma pequena partícula eletrizada se move em uma trajetória retilínea em uma região onde existe</p><p>um campo elétrico orientado na vertical e um campo magnético homogêneo, conforme a figura</p><p>abaixo. Se 𝑣0 = 400 𝑚/𝑠 e 𝐵 = 5 𝑇, então a diferença de potencial entre os pontos A e B é igual a:</p><p>Despreze os efeitos gravitacionais.</p><p>96</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>(A) 40 V (B) 50 V (C) 60 V (D) 80 V (E) 100 V</p><p>Comentários:</p><p>Para que o corpo descreva a trajetória retilínea, então a força resultante na vertical tem que ser</p><p>igual a zero. Como o campo elétrico está orientado para baixo e carga é positiva, então a força elétrica na</p><p>partícula é para baixo. Então, a força magnética deve ser orientada para cima. Pela regra da mão direita</p><p>espalmada, a força magnética está orientada na vertical para cima. Então, para a condição de movimento</p><p>na direção horizontal da partícula (resultante na vertical ser nula), então:</p><p>𝐹𝑟𝑦 = 0</p><p>𝐹𝑒𝑙𝑒 = 𝐹𝑚𝑎𝑔</p><p>𝑞 ⋅ 𝐸 = 𝑞 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝐵</p><p>Como o campo elétrico é uniforme, então a diferença de potencial entre A e B é dada por:</p><p>𝑈 = 𝐸 ⋅ 𝑑</p><p>𝐸 =</p><p>𝑈</p><p>𝑑</p><p>Em que 𝑑 é a distância entre as placas. Portanto:</p><p>𝑞 ⋅</p><p>𝑈</p><p>𝑑</p><p>= 𝑞 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝐵</p><p>∴ 𝑈 = 𝑑 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝐵</p><p>Substituindo valores, vem:</p><p>𝑈 = 4 ⋅ 10−2 ⋅ 400 ⋅ 5</p><p>𝑈 = 4 ⋅ 4 ⋅ 5</p><p>𝑈 = 80 𝑉</p><p>Gabarito: D</p><p>97</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>(ITA 1983)</p><p>Entre duas placas planas e paralelas, existe um campo elétrico uniforme. Devido a uma diferença</p><p>de potencial 𝑉 aplicada entre elas. Um feixe de elétrons é lançado entre as placas com velocidade</p><p>inicial 𝑣0. A massa do elétron é 𝑚 e 𝑞 é o módulo de sua carga elétrica. 𝐿 é a distância horizontal</p><p>que o elétron percorre para atingir uma das placas e 𝑑 é a distância entre as placas.</p><p>Dados: 𝑣0, 𝐿, 𝑑 e 𝑉, a razão entre o módulo da carga e a massa do elétron</p><p>𝑞</p><p>𝑚</p><p>é dada por:</p><p>a)</p><p>𝑉𝑑</p><p>𝐿𝑣0</p><p>b)</p><p>2𝐿2𝑣0</p><p>𝑉𝑑</p><p>c)</p><p>𝑉2𝐿</p><p>𝑑2𝑣0</p><p>d)</p><p>𝑑2𝑣0</p><p>2</p><p>𝑉𝐿2</p><p>e)</p><p>𝑉𝐿</p><p>𝑑2𝑣0</p><p>2</p><p>Comentários:</p><p>O movimento do elétron é semelhante a um lançamento horizontal, de velocidade 𝑣0 e campo de</p><p>aceleração vertical dado por:</p><p>𝑔𝑎𝑝𝑎 =</p><p>𝐸𝑒𝑙𝑒𝑞</p><p>𝑚</p><p>=</p><p>𝑉𝑞</p><p>𝑚𝑑</p><p>Lembrando da equação da parábola de um lançamento horizontal:</p><p>𝑦(𝑥) = −</p><p>𝑔𝑥2</p><p>2𝑣0</p><p>2</p><p>𝑑</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑔𝑎𝑝𝑎𝑥</p><p>2</p><p>2𝑣0</p><p>2</p><p>𝑞</p><p>𝑚</p><p>=</p><p>𝑑2𝑣0</p><p>2</p><p>𝐿2𝑉</p><p>Gabarito: D</p><p>(ITA-1971)</p><p>Um elétron de massa 𝑚 e carga −𝑞 penetra com velocidade 𝑣𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 entre as placas de um</p><p>capacitor plano. Neste há uma diferença de potencial 𝑉 orientada de modo a fazer o elétron subir.</p><p>98</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Deduza a expressão da componente 𝑣𝑦 da velocidade que o elétron possui ao deixar o capacitor e</p><p>assinale-a entre as opções abaixo. Despreze a atração gravitacional sobre o elétron.</p><p>a) 𝑣𝑦 =</p><p>𝑞𝑉𝐿</p><p>𝑚𝑑𝑣𝑥</p><p>b) 𝑣𝑦 =</p><p>𝑞𝑚𝐿</p><p>𝑉𝑑𝑣𝑥</p><p>c) 𝑣𝑦 = 𝑣𝑥</p><p>d) 𝑣𝑦 =</p><p>𝐿</p><p>𝑑</p><p>∙ 𝑣𝑥 e) nenhuma das opções é correta.</p><p>Comentários:</p><p>Aplicando 𝐹 = 𝑚𝑎 ao elétron, na direção vertical, temos:</p><p>𝑎 =</p><p>𝐸𝑞</p><p>𝑚</p><p>=</p><p>𝑉𝑞</p><p>𝑚𝑑</p><p>Como se trata de um movimento com aceleração constante, podemos escrever:</p><p>𝑣𝑦 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 ⇒ 𝑣𝑦 =</p><p>𝑉𝑞𝑡𝑓</p><p>𝑚𝑑</p><p>(𝑒𝑞. 1)</p><p>O movimento horizontal tem velocidade constante, logo:</p><p>𝑣𝑥 =</p><p>𝐿</p><p>𝑡𝑓</p><p>⇒ 𝑡𝑓 =</p><p>𝐿</p><p>𝑣𝑥</p><p>Substituindo (2) em (1), obtemos:</p><p>𝑣𝑦 =</p><p>𝑉𝑞𝐿</p><p>𝑚𝑑𝑣𝑥</p><p>Gabarito: A</p><p>(ITA-1969)</p><p>Três superfícies planas circulares isoladas possuem cargas distribuídas conforme indica a figura:</p><p>Pode-se afirmar que:</p><p>99</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>a) O campo elétrico na região compreendida entre a e b é nulo.</p><p>b) O campo elétrico apresenta valores mínimos na região entre b e c.</p><p>c) No centro geométrico de b, o campo elétrico é equivalente àquele determinado pelas cargas de</p><p>a e c.</p><p>d) Entre c e b o sentido do campo elétrico é de c para b.</p><p>e) Nenhuma das afirmações anteriores é correta.</p><p>Comentários:</p><p>a) Incorreto. Como as placas são finitas temos o chamado efeito de bordas, de modo que as linhas de</p><p>campo saindo das placas não são perpendiculares e, portanto, não se cancelam. Além disso, temos o</p><p>campo gerado pela placa C, que contribui para que o campo elétrico resultante na região não seja nulo.</p><p>b) Incorreto. O campo tem intensidade crescente de c para b, logo não pode ter um mínimo naquele</p><p>intervalo.</p><p>c) Correto. Considere uma porção arbitrária de b. Essa porção possuirá uma outra, simétrica em relação</p><p>ao centro da superfície, de modo que o campo resultante desse par de cargas, no centro, é nulo. A</p><p>superfície é composta por pares como o descrito acima, logo gera campo resultante nulo no centro.</p><p>d) Incorreto. Cargas negativas geram campos que apontam em sua direção e positivas, o oposto.</p><p>Gabarito: C</p><p>(ITA-1985)</p><p>Uma esfera condutora de raio 0,50 𝑐𝑚 é elevada a um potencial de 10,0𝑉. Uma segunda esfera,</p><p>bem afastada da primeira, tem raio 1,00 𝑐𝑚 e está ao potencial 15,0𝑉. Elas são ligadas por um fio</p><p>de capacitância desprezível. Sabendo-se que o meio no qual a experiência é realizada é homogêneo</p><p>e isotrópico, podemos afirmar que os potenciais finais das esferas serão:</p><p>a) 12,5𝑉 e 12,5𝑉.</p><p>b) 8,33𝑉 para a primeira e 16,7𝑉 para a segunda.</p><p>c) 16,7𝑉 para a primeira e 8,33𝑉 para a segunda.</p><p>d) 13,3𝑉 e 13,3𝑉.</p><p>e) Zero para a primeira e 25,0𝑉 para a segunda.</p><p>Comentários:</p><p>Calculando a carga na primeira esfera:</p><p>𝑉1 =</p><p>𝑘𝑄1</p><p>𝑟1</p><p>⇒ 𝑄1 =</p><p>𝑟1𝑉1</p><p>𝑘</p><p>(𝑒𝑞. 1)(𝑟1 = 0,5 𝑐𝑚)</p><p>Do mesmo modo:</p><p>𝑄2 =</p><p>𝑟2𝑉2</p><p>𝑘</p><p>(𝑒𝑞. 2)(𝑟1 = 1 𝑐𝑚)</p><p>100</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Quando as duas são ligadas a carga se distribui de modo que as duas esferas possuam o mesmo</p><p>potencial:</p><p>𝑉𝑓 =</p><p>𝑘𝑄1</p><p>′</p><p>𝑟1</p><p>=</p><p>𝑘𝑄2</p><p>′</p><p>𝑟2</p><p>⇒ 𝑄1</p><p>′ =</p><p>𝑟1𝑉𝑓</p><p>𝑘</p><p>(𝑒𝑞. 3) e 𝑄2</p><p>′ =</p><p>𝑟2𝑉𝑓</p><p>𝑘</p><p>(𝑒𝑞. 4)</p><p>A carga total do sistema se mantém constante:</p><p>𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 = 𝑄1</p><p>′ + 𝑄2</p><p>′ (𝑒𝑞. 5)</p><p>Substituindo (1), (2), (3) e (4) em (5), obtemos:</p><p>𝑟1𝑉1</p><p>𝑘</p><p>+</p><p>𝑟2𝑉2</p><p>𝑘</p><p>=</p><p>𝑟1𝑉𝑓</p><p>𝑘</p><p>+</p><p>𝑟2𝑉𝑓</p><p>𝑘</p><p>⇒ 𝑉𝑓 =</p><p>𝑟1𝑉1 + 𝑟2𝑉2</p><p>𝑟1 + 𝑟2</p><p>𝑉𝑓 =</p><p>0,5 ⋅ 10 + 1 ⋅ 1,5</p><p>1,5</p><p>=</p><p>20</p><p>1,5</p><p>= 13,3 𝑉</p><p>Gabarito: D</p><p>(ITA-1986)</p><p>Duas esferas metálicas, 𝐴 e 𝐵, de raios 𝑅 e 3𝑅, respectivamente, são postas em contato.</p><p>Inicialmente 𝐴 possui carga elétrica positiva +2𝑄 e 𝐵, carga −𝑄. Após atingir o equilíbrio</p><p>eletrostático, as novas cargas de 𝐴 e 𝐵 passam a ser, respectivamente:</p><p>a) 𝑄/2, 𝑄/2. b) 3𝑄/4, 𝑄/4. c) 3𝑄/2, 𝑄/2.</p><p>d) 𝑄/4, 3𝑄/4. e) 4𝑄/3 𝑒 − 𝑄/3.</p><p>Comentários:</p><p>Quando as duas são postas em contato a carga se distribui de modo que as duas esferas possuam</p><p>o mesmo potencial:</p><p>𝑉𝑓 =</p><p>𝑘𝑄𝐴</p><p>′</p><p>𝑟𝐴</p><p>=</p><p>𝑘𝑄𝐵</p><p>′</p><p>𝑟𝐵</p><p>⇒ 𝑄𝐵</p><p>′ =</p><p>𝑟𝐵</p><p>𝑟𝐴</p><p>𝑄𝐴</p><p>′ = 3𝑄𝐴</p><p>′ (𝑒𝑞. 1)</p><p>A carga total do sistema se mantém constante:</p><p>𝑄𝑡𝑜𝑡 = 2𝑄 + (−𝑄) = 𝑄𝐴</p><p>′ + 𝑄𝐵</p><p>′ (𝑒𝑞. 2)</p><p>Substituindo (1) em (2), obtemos:</p><p>𝑄 = 𝑄𝐴</p><p>′ + 3𝑄𝐴</p><p>′ ⇒ 𝑄𝐴</p><p>′ =</p><p>𝑄</p><p>4</p><p>∴ 𝑄𝐵</p><p>′ = 3𝑄𝐴</p><p>′ =</p><p>3𝑄</p><p>4</p><p>Gabarito: D</p><p>(ITA-1987)</p><p>101</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>A figura representa um condutor oco e um condutor de forma esférica dentro da cavidade do</p><p>primeiro, ambos em equilíbrio eletrostático. Sabe-se que o condutor interno tem carga +𝑄.</p><p>Pode-se afirmar que:</p><p>a) Não há campo elétrico dentro da cavidade.</p><p>b) As linhas de força dentro da cavidade são retas radiais em relação à esfera, como na figura.</p><p>c) A carga da superfície interna do condutor oco é −𝑄 e as linhas de força são perpendiculares a</p><p>essa superfície.</p><p>d) A carga da superfície interna do condutor oco é −𝑄 e as linhas de força são tangenciais a essa</p><p>superfície.</p><p>e) Não haverá diferença de potencial entre os dois condutores se a carga do condutor oco também</p><p>for igual a 𝑄.</p><p>Comentários:</p><p>a) Incorreto. Usando a Lei de Gauss:</p><p>∑ �⃗⃗� ⋅ Δ𝑠</p><p>Ω</p><p>=</p><p>𝑞𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎</p><p>𝜀0</p><p>Usando qualquer gaussiana Ω cobrindo 𝑄 e contida na cavidade do condutor oco, chegamos em:</p><p>∑ �⃗⃗� ⋅ Δ𝑠</p><p>Ω(Q)</p><p>=</p><p>𝑄</p><p>𝜀0</p><p>> 0</p><p>�⃗⃗� ≠ 0</p><p>b) Incorreto. As linhas de força devem chegar perpendiculares à superfície interna do condutor.</p><p>c) Correto. O campo dentro do condutor em equilíbrio é nulo, assim, usando a Lei de Gauss com qualquer</p><p>gaussiana Ω que esteja inteiramente no seu interior resulta em:</p><p>∑ �⃗⃗� ⋅ Δ𝑠</p><p>Ω</p><p>=</p><p>𝑞𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎</p><p>𝜀0</p><p>0 = +𝑄 + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟,𝑖𝑛𝑡</p><p>𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟,𝑖𝑛𝑡 = −𝑄</p><p>d) Incorreto. As linhas são perpendiculares.</p><p>102</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>e) Incorreto. Note que o argumento usado em a) independe da carga total do condutor, logo haverá</p><p>campo entre a carga no centro e a superfície interna do condutor, o que garante uma diferença de</p><p>potencial não nula.</p><p>Gabarito: C</p><p>(ITA-1987)</p><p>Numa experiência de laboratório, elétrons são emitidos por um filamento metálico 𝐹, com</p><p>velocidade inicial praticamente nula. Eles são acelerados através da região 𝐼 por uma diferença de</p><p>potencial de 25 × 103 𝑉, aplicada entre 𝐹 e a placa perfurada 𝑃. Eles emergem do furo da placa</p><p>com velocidade horizontal e penetram na região 𝐼𝐼, onde são obrigados a atravessar o campo</p><p>elétrico uniforme de um capacitor cujas placas têm comprimento 𝑙 = 5,0 𝑐𝑚 e estão separadas por</p><p>uma distância 𝑑 = 0,50 𝑐𝑚, conforme a figura. Qual é o máximo valor da tensão 𝑉2 entre as placas</p><p>do capacitor que ainda permite que algum elétron atinja a região 𝐼𝐼𝐼 onde não há campo elétrico?</p><p>Comentários:</p><p>Note que estamos tratando de um movimento análogo a um lançamento horizontal, com campo</p><p>gravitacional 𝑎𝑦 e eixo 𝑦 invertido. A equação da parábola para tal movimento é dada por:</p><p>𝑦(𝑥) =</p><p>𝑔𝑎𝑝𝑥</p><p>2</p><p>2𝑣𝑥</p><p>2</p><p>⇒ 𝑑 =</p><p>(</p><p>𝑉𝐼𝐼𝑞</p><p>𝑚𝑑</p><p>) 𝑙2</p><p>2 (</p><p>2𝑉𝐼𝑞</p><p>𝑚 )</p><p>𝑉𝐼𝐼 = 4𝑉𝐼 (</p><p>𝑑</p><p>𝑙</p><p>)</p><p>2</p><p>= 4 ⋅ 25 ⋅ 103 (</p><p>1</p><p>10</p><p>)</p><p>2</p><p>= 1000 𝑉</p><p>Gabarito: 𝑽𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑽</p><p>(ITA-1988)</p><p>A, B e C são superfícies que se acham, respectivamente, a potenciais +20V, 0V e + 4,0V. Um elétron</p><p>é projetado a partir da superfície C no sentido ascendente com uma energia cinética inicial de 9,0</p><p>eV. (Um elétron-volt é a energia adquirida por um elétron quando submetido a uma diferença de</p><p>potencial de um volt). A superfície B é porosa e permite a passagem de elétrons. Podemos afirmar</p><p>que:</p><p>103</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>a) Na região entre C e B o elétron será acelerado pelo campo elétrico até atingir a superfície B com</p><p>energia cinética de 33,0 eV. Uma vez na região entre B e A, será desacelerado, atingindo a superfície</p><p>A com energia cinética de 13,0 eV.</p><p>b) Entre as placas C e B o elétron será acelerado atingindo a placa B com energia cinética igual a 13,0</p><p>eV, mas não atinge a placa A.</p><p>c) Entre C e B o elétron será desacelerado pelo campo elétrico aí existente e não atingirá a superfície</p><p>B.</p><p>d) Na região entre C e B o elétron será desacelerado, mas atingirá a superfície B com energia cinética</p><p>de 5,0 eV. Ao atravessar B, uma vez na região entre B e A será acelerado, até atingir a superfície A</p><p>com uma energia cinética de 25,0 eV.</p><p>e) Entre as placas C e B o elétron será desacelerado, atingindo a superfície B com energia cinética</p><p>de 5,0 eV. Uma vez na região entre B e A, será desacelerado, até atingir a superfície A com energia</p><p>cinética de 15,0 eV.</p><p>Comentários:</p><p>Utilizando o teorema da energia cinética, podemos determinar a energia cinética na superfície B:</p><p>(𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒)𝐶→𝐵</p><p>= (−𝑒). (𝑉𝐶 − 𝑉𝐵) = Δ𝐸𝑐 = (𝐸𝑐)𝐵 − (𝐸𝑐)𝐶</p><p>(−𝑒)(4 − 0) = (𝐸𝑐)𝐵 − 9𝑒𝑉</p><p>(𝐸𝑐)𝐵 = 5 𝑒𝑉</p><p>Novamente, pelo teorema da energia cinética, temos que a energia cinética com que o elétron</p><p>chegará na placa é de:</p><p>(𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒)𝐵→𝐴</p><p>= (−𝑒). (𝑉𝐵 − 𝑉𝐴) = Δ𝐸𝑐 = (𝐸𝑐)𝐴 − (𝐸𝑐)𝐵</p><p>(−𝑒). (0 − 20) = (𝐸𝑐)𝐴 − 5𝑒𝑉</p><p>(𝐸𝑐)𝐴 = 25 𝑒𝑉</p><p>Gabarito: D</p><p>(ITA)</p><p>Um fio condutor homogêneo de 25 𝑐𝑚 de comprimento foi conectado entre os terminais de uma</p><p>bateria de 6𝑉. A 5 𝑐𝑚 do pólo positivo, faz-se uma marca 𝑃 sobre este fio e a 15 𝑐𝑚, outra marca</p><p>𝑄.</p><p>104</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Então, a intensidade 𝐸 do campo elétrico dentro deste fio (em volt/metro) e a diferença de potencial</p><p>Δ𝑉 = 𝑉𝑃 − 𝑉𝑄 (em volts) existente entre os pontos 𝑃 e 𝑄 dentro do fio serão dados,</p><p>respectivamente, por:</p><p>a) 6,0 e 0,6. b) 24 e 2,4. c) 24 e 2,4. d) 6,0 e 6,0. e) 24 e 6,0.</p><p>Comentários:</p><p>O campo elétrico dentro do fio será perpendicular à sua secção transversal, já que a presença de</p><p>uma componente radial levaria ao acúmulo de cargas. Como não há campo na direção da secção</p><p>transversal, o potencial elétrico deve ser o mesmo em toda a sua extensão.</p><p>Desse modo, temos um campo uniforme dentro do fio, nos permitindo escrever:</p><p>Δ𝑉 = 𝐸𝑑</p><p>Δ𝑉𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎 = 𝐸𝑙𝑓𝑖𝑜 (𝑒𝑞. 1)</p><p>Δ𝑉𝑃𝑄 = 𝐸𝑙𝑃𝑄 (𝑒𝑞. 2)</p><p>Dividindo (2) por (1), obtemos:</p><p>Δ𝑉𝑃𝑄 = Δ𝑉𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎</p><p>𝑙𝑃𝑄</p><p>𝑙𝑓𝑖𝑜</p><p>⇒ Δ𝑉𝑃𝑄 = 6 ⋅</p><p>10</p><p>25</p><p>= 2,4 𝑉</p><p>De (1), temos:</p><p>𝐸 =</p><p>6</p><p>0,25</p><p>= 24 𝑉/𝑚</p><p>Gabarito: C</p><p>(ITA-1990)</p><p>Num tubo de raios catódicos tem-se um filamento F que libera elétrons quando aquecido, e uma</p><p>placa aceleradora P que é mantida a um potencial mais alto que o filamento. O filamento fica a uma</p><p>distância d da placa. A placa tem, ainda, um orifício que permite a passagem dos elétrons que vão</p><p>se chocar com uma tela que fica fluorescente quando os mesmos a atingem.</p><p>Nestas condições:</p><p>a) Se aumentarmos a distância d entre o filamento e a placa, a energia cinética com que os elétrons</p><p>chegam à placa aumenta.</p><p>b) O aumento da distância d faz com que a energia cinética dos elétrons diminua.</p><p>105</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>c) A energia cinética dos elétrons não depende da distância entre o filamento e a placa, mas só da</p><p>diferença de potencial U entre o filamento e a placa aceleradora.</p><p>d) A energia cinética dos elétrons só depende da temperatura do filamento.</p><p>e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.</p><p>Comentários:</p><p>Como a única força que atua nos elétrons é a força elétrica e ela é conservativa, podemos usar o</p><p>teorema da energia cinética nesse caso:</p><p>𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒 = Δ𝐸𝑐</p><p>Em que o trabalho da força elétrica pode ser dado por:</p><p>𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒 = 𝑞(𝑉𝐹 − 𝑉𝑃)</p><p>Portanto:</p><p>𝑞(𝑉𝐹 − 𝑉𝑃) =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>2 −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>2</p><p>O enunciado deixa claro que o potencial da placa P é maior que o potencial do filamento, como</p><p>esperado, os elétrons (cargas negativas) procuram, espontaneamente, potenciais maiores.</p><p>a) Incorreto. Como vimos, a velocidade final dos elétrons ao chegar na placa não depende da distância 𝑑.</p><p>b) Incorreto. Novamente, a distância 𝑑 não interfere na variação da energia cinética dos elétrons.</p><p>c) Correto. Como mostramos a variação da energia cinética dos elétrons é função exclusiva da diferença</p><p>de potencial das placas:</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>2 −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>2 = 𝑞(𝑉𝐹 − 𝑉𝑃)</p><p>d) Incorreto. Conforme vimos no item c.</p><p>e) Incorreto. O item c está correto.</p><p>Gabarito: C</p><p>(ITA-2001)</p><p>Uma esfera de massa 𝑚 e carga 𝑞 está suspensa por um fio frágil e inextensível, feito de um material</p><p>eletricamente isolante. A esfera se encontra entre as placas paralelas de um capacitor plano, como</p><p>mostra a figura. A distância entre as placas é 𝑑, a diferença de potencial entre as mesmas é 𝑉 e o</p><p>esforço máximo que o fio pode suportar é igual ao quádruplo do peso da esfera. Para que a esfera</p><p>permaneça imóvel, em equilíbrio estável, é necessário que:</p><p>106</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>a) (</p><p>𝑞𝑉</p><p>𝑑</p><p>)</p><p>2</p><p>≤ 15 𝑚𝑔</p><p>b) (</p><p>𝑞𝑉</p><p>𝑑</p><p>)</p><p>2</p><p>≤ 4 (𝑚𝑔)2</p><p>c) (</p><p>𝑞𝑉</p><p>𝑑</p><p>)</p><p>2</p><p>≤ 15 (𝑚𝑔)2</p><p>d) (</p><p>𝑞𝑉</p><p>𝑑</p><p>)</p><p>2</p><p>≥ 15 𝑚𝑔</p><p>e) (</p><p>𝑞𝑉</p><p>𝑑</p><p>)</p><p>2</p><p>≤ 16 (𝑚𝑔)2</p><p>Comentários:</p><p>Considere o esquema de forças agindo sobre a carga:</p><p>Pelo equilíbrio, temos:</p><p>𝑇2 = (𝑚𝑔)2 + (𝑞𝐸)2</p><p>Lembrando que esforço máximo é tal que 𝑇 ≤ 4𝑚𝑔, então:</p><p>(𝑞𝐸)2 ≤ 15(𝑚𝑔)2</p><p>(</p><p>𝑞𝑉</p><p>𝑑</p><p>)</p><p>2</p><p>≤ 15(𝑚𝑔)2</p><p>Gabarito: C</p><p>(ITA-2002)</p><p>Uma esfera metálica isolada, de raio 𝑅1 = 10,0 𝑐𝑚 é carregada no vácuo até atingir o potencial 𝑈 =</p><p>9,0𝑉. Em seguida, ela é posta em contato com outra esfera metálica isolada, de raio 𝑅2 = 5,0 𝑐𝑚,</p><p>inicialmente neutra. Após atingir o equilíbrio eletrostático, qual das alternativas melhor descreve a</p><p>situação física? É dado que</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>= 9,0 × 109 𝑁𝑚2/𝐶2.</p><p>a) A esfera maior terá uma carga de 0,66. 10-10 C.</p><p>b) A esfera maior terá um potencial de 4,5V.</p><p>c) A esfera menor terá uma carga de 0,66. 10-10 C.</p><p>d) A esfera menor terá um potencial de 4,5V.</p><p>e) A carga total é igualmente dividida entre as duas esferas.</p><p>Comentários:</p><p>107</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Calculando a carga na primeira esfera:</p><p>𝑉1 =</p><p>𝑘𝑄1</p><p>𝑅1</p><p>⇒ 𝑄1 =</p><p>𝑅1𝑉1</p><p>𝑘</p><p>(𝑒𝑞. 1)(𝑅1 = 10 𝑐𝑚)</p><p>Quando as duas são ligadas a carga se distribui de modo que as duas esferas possuam o mesmo</p><p>potencial:</p><p>𝑉𝑓 =</p><p>𝑘𝑄1</p><p>′</p><p>𝑅1</p><p>=</p><p>𝑘𝑄2</p><p>′</p><p>𝑅2</p><p>⇒ 𝑄1</p><p>′ =</p><p>𝑅1𝑉𝑓</p><p>𝑘</p><p>(𝑒𝑞. 2) e 𝑄2</p><p>′ =</p><p>𝑅2𝑉𝑓</p><p>𝑘</p><p>(𝑒𝑞. 3)</p><p>Pelo Princípio da Conservação das Cargas, temos:</p><p>𝑄 = 𝑄1 = 𝑄1</p><p>′ + 𝑄2</p><p>′ (𝑒𝑞. 4)</p><p>Substituindo (1), (2), (3) em (4), obtemos:</p><p>𝑅1𝑈</p><p>𝑘</p><p>=</p><p>𝑅1𝑉𝑓</p><p>𝑘</p><p>+</p><p>𝑅2𝑉𝑓</p><p>𝑘</p><p>⇒ 𝑉𝑓 =</p><p>𝑅1𝑈</p><p>𝑅1 + 𝑅2</p><p>⇒ 𝑉𝑓 =</p><p>2</p><p>3</p><p>9 = 6 𝑉 (𝑒𝑞. 5)</p><p>Substituindo (5) em (2) e (3), obtemos:</p><p>𝑄1 = 0,66 ⋅ 10</p><p>−10 𝐶 (𝑔𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜)</p><p>𝑄2 = 0,33 ⋅ 10</p><p>−10 𝐶</p><p>Gabarito: A</p><p>(ITA-2005)</p><p>Em uma impressora a jato de tinta, gotas de certo tamanho ejetadas de um pulverizador em</p><p>movimento, passam por uma unidade eletrostática onde perdem alguns elétrons, adquirindo uma</p><p>carga 𝑞, e, a seguir, deslocam-se no espaço entre placas planas paralelas eletricamente carregadas,</p><p>pouco antes da impressão. Considere gotas de raio 10 𝜇𝑚 lançadas com velocidade de módulo 𝑣 =</p><p>20 𝑚/𝑠 entre as placas de comprimento igual a 2,0 𝑐𝑚, no interior das quais existe um campo</p><p>elétrico uniforme de módulo 𝐸 = 8,0 × 104 𝑁/𝐶, como mostra a figura.</p><p>Considerando que a densidade da gota seja 1000 𝑘𝑔/𝑚3 e sabendo-se que a mesma sofre um</p><p>desvio de 0,30 𝑚𝑚 ao atingir o final do percurso, o módulo de sua carga elétrica é de:</p><p>a) 2,0. 10-14 C. b) 3,1. 10-14 C. c) 6,3. 10-14 C.</p><p>d)</p><p>3,1. 10-11 C. e) 1,1. 10-10 C.</p><p>108</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Comentário:</p><p>Aplicando 𝐹 = 𝑚𝑎 à gota, temos:</p><p>𝑎𝑦 =</p><p>𝐸𝑞</p><p>𝑚</p><p>(1)(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜)</p><p>O movimento é análogo a um lançamento horizontal com campo gravitacional igual a (1). A</p><p>equação da parábola para lançamentos horizontais é dada por:</p><p>𝑦(𝑥) = 𝑦0 −</p><p>𝑔𝑥2</p><p>2𝑣0</p><p>2 ⇒ Δ𝑦 = −</p><p>𝑔𝑎𝑝𝑎𝑥</p><p>2</p><p>2𝑣2</p><p>⇒ ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 =</p><p>(</p><p>𝐸𝑞</p><p>𝑚 ) 𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎</p><p>2</p><p>2𝑣2</p><p>𝑞 =</p><p>2ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑣</p><p>2𝑚</p><p>𝐸𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎</p><p>2 =</p><p>2ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑣</p><p>2(𝜌𝑔𝑜𝑡𝑎 ⋅</p><p>4</p><p>3 𝜋𝑟𝑔𝑜𝑡𝑎</p><p>3 )</p><p>𝐸𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎</p><p>2</p><p>𝑞 = 𝜋 ⋅ 10−14 𝐶</p><p>Gabarito: B</p><p>(ITA-2009)</p><p>Uma carga 𝑞 distribui-se uniformemente na superfície de uma esfera condutora, isolada, de raio 𝑅.</p><p>Assinale a opção que apresenta a magnitude do campo elétrico e o potencial elétrico num ponto</p><p>situado a uma distância 𝑟 = 𝑅/3 do centro da esfera.</p><p>a) 𝐸 = 0 𝑉/𝑚 𝑒 𝑈 = 0 𝑉 b) 𝐸 = 0 𝑉/𝑚 𝑒 𝑈 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>∙</p><p>𝑞</p><p>𝑅</p><p>c) 𝐸 = 0 𝑉/𝑚 𝑒 𝑈 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>∙</p><p>3𝑞</p><p>𝑅</p><p>d) 𝐸 = 0 𝑉/𝑚 𝑒 𝑈 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>∙</p><p>𝑞𝑟</p><p>𝑅2</p><p>e) 𝐸 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>∙</p><p>𝑞𝑟</p><p>𝑅3</p><p>𝑒 𝑈 = 0 𝑉</p><p>Comentários:</p><p>Usando a Lei de Gauss com qualquer gaussiana esférica de raio menor que R, temos:</p><p>∑ �⃗⃗� ⋅ Δ𝑠</p><p>Ω(r)</p><p>=</p><p>𝑞𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎</p><p>𝜀0</p><p>= 0</p><p>Pela simetria do problema teremos um campo radial, que é constante em variações angulares, ou</p><p>seja, 𝐸 = 𝐸(𝑟). Logo o produto escalar acima se torna:</p><p>∑ 𝐸(𝑟) ⋅ Δ𝑠</p><p>Ω(r)</p><p>= 𝐸(𝑟) ⋅ 𝑆(Ω(𝑟)) = 0</p><p>𝐸(𝑟) = 0, ∀𝑟 < 𝑅</p><p>109</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Como não há linhas de campo entre um ponto de raio 𝑟 e o centro do condutor, o potencial desses</p><p>é o mesmo. Calculando o potencial no centro do condutor esférico: (todas as cargas têm a mesma</p><p>distância ao centro)</p><p>𝑉𝑐𝑜𝑛𝑑 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>𝑄</p><p>𝑅</p><p>= 𝑉(𝑟)</p><p>Resultado já esperado, uma vez que o campo no interior de um condutor maciço é constante e o</p><p>campo elétrico é nulo.</p><p>Gabarito: B</p><p>(Simulado AFA)</p><p>Em um experimento de hipotético, existem 𝑁 gotas esféricas idênticas de um líquido que possuem</p><p>o mesmo potencial 𝑉. Acoplando as gotas é possível formar uma única gota bem grande. Dessa</p><p>forma, o potencial elétrico da nova gota é dado por:</p><p>(A) 𝑉 (B) 𝑁1/3𝑉 (C) 𝑁2/3𝑉 (D) 𝑁𝑉</p><p>Comentários:</p><p>Esquematicamente:</p><p>Para cada uma das pequenas gotas, temos:</p><p>𝑉 =</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑟</p><p>Para a gota maior, teremos:</p><p>𝑉𝑁 =</p><p>𝐾𝑄𝑁</p><p>𝑅</p><p>Como os volumes das N gotas devem formar o volume da única gota, então:</p><p>𝑁 ⋅</p><p>4</p><p>3</p><p>𝜋𝑟3 =</p><p>4</p><p>3</p><p>𝜋𝑅3</p><p>𝑅 = √𝑁</p><p>3</p><p>𝑟</p><p>Além disso, a carga total da gota será 𝑄𝑁 = 𝑁 ⋅ 𝑄. Portanto:</p><p>110</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑉𝑁 =</p><p>𝐾 ⋅ 𝑁 ⋅ 𝑄</p><p>√𝑁</p><p>3</p><p>𝑟</p><p>=</p><p>𝑁</p><p>𝑁</p><p>1</p><p>3</p><p>⋅</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑟⏟</p><p>=𝑉</p><p>∴ 𝑉𝑁 = 𝑁</p><p>2/3𝑉</p><p>Gabarito: C</p><p>(Simulado AFA)</p><p>Um pêndulo simples é formado por uma partícula de carga igual</p><p>a 1 mC, presa a um bloco de madeira, formando uma massa</p><p>pendular de 2 kg. Inicialmente, a massa pendular está</p><p>posicionada em A e é abandonada dessa posição. Sabe-se que na</p><p>região existe um campo elétrico uniforme, que apresenta linhas</p><p>de campo conforme destacado na figura. Quando o corpo passa</p><p>por B, o módulo da tração no fio é de 40 N. Dessa forma, a</p><p>diferença de potencial entre A e B, em kV, é igual a:</p><p>(A) – 1 (B) – 2 (C) – 3 (D) – 4</p><p>Comentários:</p><p>Fazendo um diagrama das forças durante o deslocamento da partícula, temos:</p><p>Pelo teorema da energia cinética, temos:</p><p>𝜏𝑝𝑒𝑠𝑜 + 𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒 = Δ𝐸𝑐</p><p>𝑚𝑔ℎ + 𝑞(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵) =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣𝐵</p><p>2</p><p>Pela análise da resultante centrípeta em B, temos:</p><p>𝑇 −𝑚𝑔 =</p><p>𝑚𝑣𝐵</p><p>2</p><p>𝑟</p><p>111</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>(𝑇 − 𝑚𝑔)𝑟</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑚𝑣𝐵</p><p>2</p><p>2</p><p>Portanto:</p><p>𝑚𝑔ℎ + 𝑞(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵) = (</p><p>𝑇 −𝑚𝑔</p><p>2</p><p>) 𝑟</p><p>Substituindo valores, vem:</p><p>2 ⋅ 10 ⋅ 0,4 + 1 ⋅ 10−3(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵) =</p><p>40 − 2 ⋅ 10</p><p>2</p><p>⋅ 0,4</p><p>8 + 10−3(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵) = 4</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = −4 ⋅ 10</p><p>−3</p><p>∴ 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = −4 𝑘𝑉</p><p>Gabarito: D</p><p>10. Lista de exercícios nível 3</p><p>(Simulado EN)</p><p>Uma esfera de 1 kg e com carga igual a +20𝜇𝐶 é abandonado do ponto A. No ponto mais baixo da</p><p>trajetória, a força de reação normal deve ser igual a:</p><p>Despreze eventuais atritos.</p><p>a) 25 N b) 30 N c) 40 N d) 50 N e) 60 N</p><p>112</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>(Simulado EN)</p><p>Inicialmente o sistema se encontra em equilíbrio e a tração no fio ideal é de 8 N. Em um dado</p><p>instante, o fio é cortado e a esfera superior de 0,2 kg começa a se mover. Sabendo que a aceleração</p><p>da gravidade é igual a 10 m/s², o máximo deslocamento da esfera é de:</p><p>a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m</p><p>(ITA – 1981)</p><p>Uma partícula de massa 𝑚 e outra de massa 2𝑚 tem cargas elétricas 𝑞 de mesmo módulo, mas de</p><p>sinais opostos. Estando inicialmente separadas de uma distância 𝑅, são soltas a partir do repouso.</p><p>Nestas condições, quando a distância entre as partículas for 𝑅/2, desprezando a ação gravitacional</p><p>terrestre, se 𝐾 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>, pode-se afirmar que:</p><p>a) Ambas terão a mesma velocidade 𝑣 = 𝑞 (</p><p>𝐾</p><p>3𝑚𝑅</p><p>)</p><p>1/2</p><p>.</p><p>b) Ambas terão a mesma velocidade 𝑣 = 𝑞 (</p><p>𝐾</p><p>𝑚𝑅</p><p>)</p><p>1/2</p><p>.</p><p>c) Ambas terão a mesma velocidade 𝑣 = 2𝑞 (</p><p>𝑘</p><p>3𝑚𝑅</p><p>)</p><p>1/2</p><p>.</p><p>d) uma terá velocidade 𝑣 = 𝑞 (</p><p>𝐾</p><p>𝑚𝑅</p><p>)</p><p>1/2</p><p>e a outra terá velocidade de 𝑣 = 2𝑞 (</p><p>𝐾</p><p>3𝑚𝑅</p><p>)</p><p>1/2</p><p>.</p><p>e) uma terá velocidade 𝑣 = 𝑞 (</p><p>𝐾</p><p>3𝑚𝑅</p><p>)</p><p>1/2</p><p>e a outra terá velocidade de 𝑣 = 2𝑞 (</p><p>𝐾</p><p>3𝑚𝑅</p><p>)</p><p>1/2</p><p>.</p><p>(Simulado EFOMM)</p><p>Observe a figura abaixo.</p><p>A figura acima representa uma carga positiva +𝑄 fixada em uma parede vertical e um bloco onde é</p><p>encrustada uma pequena partícula de massa desprezivel e com carga +𝑞. O bloco com a partícula</p><p>possui massa de 2 kg e a superficie plana horizontal é áspera, com um coeficiente de atrito igual a</p><p>0,5. Na situação apresentada, a tração no fio isolante é de 40 N. Em um certo instante o fio é cortado.</p><p>A máxima velocidade adquirida pelo bloco, em m/s, é de:</p><p>Considere 𝑔 = 10 𝑚𝑠/² e o coeficiente de atrito cinético é igual ao estático.</p><p>(A) 2√5 (B) √10 (C) 5 (D) 10 (E) 5√2</p><p>(ITA-1988)</p><p>113</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Na figura, C é um condutor em equilíbrio eletrostático, que se encontra próximo de</p><p>outros objetos eletricamente carregados. Considere a curva tracejada L que une os pontos A e B da</p><p>superfície do condutor.</p><p>Podemos afirmar que:</p><p>a) A curva L não pode representar uma linha de força do campo elétrico.</p><p>b) A curva L pode representar uma linha de força, sendo que o ponto B está a um potencial mais</p><p>baixo que o ponto A.</p><p>c) A curva L pode representar uma linha de força, sendo que o ponto B está a um potencial mais alto</p><p>que o ponto A.</p><p>d) A curva L pode representar uma linha de força, desde que L seja ortogonal à superfície do</p><p>condutor nos pontos A e B.</p><p>e) A curva L pode representar uma linha de força, desde que a carga total do condutor seja nula.</p><p>(ITA-1990)</p><p>Um condutor esférico oco, isolado, de raio R, tem no seu interior uma pequena esfera de raio r < R.</p><p>O sistema está inicialmente neutro. Eletriza-se a pequena esfera com carga positiva. Uma vez</p><p>atingido o equilíbrio eletrostático, pode-se afirmar que:</p><p>a) A carga elétrica na superfície externa do condutor é nula.</p><p>b) A carga elétrica na superfície interna do condutor é nula.</p><p>c) O campo elétrico no interior do condutor é nulo.</p><p>d) O campo elétrico no exterior do condutor é nulo.</p><p>e) Todas as afirmativas acima estão erradas.</p><p>(ITA-2009)</p><p>Três esferas condutoras, de raio a e carga 𝑄, ocupam os vértices de um triângulo equilátero de lado</p><p>𝑏 >> 𝑎, conforme mostra a figura (1). Considere as figuras (2), (3) e (4), em que, respectivamente,</p><p>cada uma das esferas se liga e desliga da Terra, uma de cada vez. Determine, nas situações (2), (3)</p><p>e (4), a carga das esferas 𝑄1, 𝑄2 e 𝑄3, respectivamente, em função de 𝑎, 𝑏 e 𝑄.</p><p>114</p><p>Prof. Toni</p><p>Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>(ITA-2010)</p><p>Considere as cargas elétricas 𝑞1 = 1 𝐶, situada em 𝑥 = – 2𝑚, e 𝑞2 =–2 𝐶, situada em 𝑥 = – 8 𝑚.</p><p>Então, o lugar geométrico dos pontos de potencial nulo é</p><p>a) uma esfera que corta o eixo x nos pontos 𝑥 = – 4 𝑚 e 𝑥 = 4𝑚.</p><p>b) uma esfera que corta o eixo x nos pontos 𝑥 = – 16 𝑚 e 𝑥 = 16 𝑚.</p><p>c) um elipsoide que corta o eixo x nos pontos 𝑥 = – 4 𝑚 e 𝑥 = 16 𝑚.</p><p>d) um hiperboloide que corta o eixo x no ponto 𝑥 = – 4 𝑚.</p><p>e) um plano perpendicular ao eixo x que o corta no ponto 𝑥 = – 4 𝑚.</p><p>(IME – 79)</p><p>A figura mostra, esquematicamente, uma campainha eletrostática A e B são condutores esféricos,</p><p>com diâmetros de 20𝑐𝑚 e 4 𝑐𝑚, respectivamente. 𝐵 é suspenso de 𝑃 por um fio isolante. A placa</p><p>metálica 𝐶 é ligada à Terra. A esfera 𝐴, carregada inicialmente a um potencial de 50𝑘𝑣, atrai 𝐵 que,</p><p>após o contato, é repelida e se choca com a placa 𝐶, descarregando-se. A operação se repete</p><p>enquanto o potencial de 𝐴 for superior a 25 𝑘𝑉. Determine o número de vezes que 𝐵 baterá em 𝐴.</p><p>(ITA – 2008)</p><p>Considere um condutor esférico A de 20𝑐𝑚 de diâmetro colocado sobre um pedestal fixo e isolante.</p><p>Uma esfera condutora B de 0,5𝑚𝑚 de diâmetro, do mesmo material da esfera A, é suspensa por</p><p>um fio fixo e isolante. Em posição oposta à esfera A, é colocada uma campainha C ligada à terra,</p><p>conforme mostra a figura. O condutor A é, então, carregado a um potencial eletrostático 𝑉0, de</p><p>forma a atrair a esfera B. As duas esferas entram em contacto devido à indução eletrostática e, após</p><p>a transferência de carga, a esfera B é repelida, chocando-se com a campainha C, onde a carga</p><p>adquirida é escoada para a terra. Após 20 contatos com a campainha, verifica-se que o potencial da</p><p>115</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>esfera A é de 10 000 𝑉. Determine o potencial inicial da esfera A. Considere (1 + 𝑥)𝑛 ≅ 1 + 𝑛𝑥</p><p>se |𝑥| < 1</p><p>(FEI-SP)</p><p>Duas esferas condutoras concêntricas A e B possuem raios 𝑅1 = 10 𝑐𝑚, 𝑅2 = 20 𝑐𝑚 e 𝑅3 = 25 𝑐𝑚</p><p>e estão eletrizadas de forma que a diferença de potencial entre elas é 𝑉𝐴 – 𝑉𝐵 = 9 𝑘𝑉 e a carga</p><p>total da esfera 𝐵 é de 0,3 𝜇𝐶. Determine as cargas 𝑄1, 𝑄2 e 𝑄3 existentes nas superfícies dessas</p><p>esferas.</p><p>Dado:</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>= 9 × 109 𝑁𝑚2𝐶–2.</p><p>OBS: o meio entre as esferas é o vácuo.</p><p>Considere dois condutores esféricos, sendo o menor maciço de raio 𝑅𝐴 e o outro 𝐵 oco de raio</p><p>interno 𝑅1 e raio externo 𝑅2. O condutor maciço está eletrizado com carga 𝑞𝐴, enquanto 𝐵 está</p><p>ligado à Terra, como mostra a figura:</p><p>Calcule:</p><p>116</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>a) O potencial na esfera A.</p><p>b) O potencial na esfera B.</p><p>c) O potencial num ponto P entre A e B.</p><p>Faça o esboço gráfico do potencial em função da distância do centro das esferas.</p><p>7 cargas positivas 𝑄 encontram-se no infinito. As cargas têm módulo 𝑄 = 40𝜇𝐶 e o hexágono abaixo</p><p>tem lado 12 𝑐𝑚.</p><p>Pede-se:</p><p>a) a energia gasta para trazer 6 dessas cargas do infinito e dispô-las nos vértices do hexágono.</p><p>b) a energia gasta para, em seguida, trazer a sétima carga do infinito e colocá-la no centro O do</p><p>hexágono.</p><p>c) a energia liberada se essa "molécula" for totalmente destruída e as cargas voltarem para o</p><p>infinito.</p><p>Considere: 𝐾 = 9,0 × 109 𝑁𝑚2/𝐶2 e √3 ≅ 1,5.</p><p>Na figura a seguir, temos um quadrado de lado 2 m. Nos vértices A e B estão fixas duas cargas</p><p>puntiformes idênticas +Q.</p><p>117</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Determine a mínima energia potencial adquirida por uma carga +𝑄, puntiforme, colocada dentro</p><p>do quadrado.</p><p>(Mack – 2005)</p><p>Uma partícula de massa igual a 2cg e carga de +1𝜇𝐶 é lançada com velocidade de 300 𝑚/𝑠, em</p><p>direção a uma carga fixa de +3 𝜇𝐶. O lançamento é feito no vácuo de um ponto bastante afastado</p><p>da carga fixa. Desprezando ações gravitacionais, qual a mínima distância entre as cargas?</p><p>Adote: 𝐾0 = 9,0 × 10</p><p>9 𝑁.𝑚2/𝐶2.</p><p>Três esferas metálicas idênticas de raio 𝒓 estão localizadas nos vértices de um triângulo isósceles,</p><p>como se mostra na figura (supor 𝑟 << 𝑎). As esferas estão inicialmente com carga 𝒒 cada. As</p><p>esferas 1 e 2 são ligadas por um curto período de tempo, com um fio condutor, em seguida, o fio é</p><p>retirado. Determine as cargas finais das esferas 1 e 2 após o processo.</p><p>Caso necessário, utilize a aproximação (1 + 𝑥)𝑛 ≅ 1 + 𝑛𝑥, quando 𝑥 ≪ 1.</p><p>(ITA – 2020)</p><p>Um capacitor 1 de placas paralelas está submetido a uma d.d.p. 𝑉1 = 12 𝑉, e um capacitor 2,</p><p>idêntico ao primeiro, a uma d.d.p. 𝑉2. Um elétron em repouso parte do ponto 𝑃, atravessa um</p><p>orifício no primeiro capacitor e adentra o segundo através de outro orifício, a 60° em relação à placa,</p><p>conforme indica a figura. Desconsiderando a ação da gravidade, determine a d.d.p. 𝑉2 para que o</p><p>elétron tangencie a placa superior do capacitor 2.</p><p>(ITA - 2021)</p><p>Três esferas metálicas maciças 𝐸1, 𝐸2 e 𝐸3, feitas de um mesmo material e de raios 𝑅1, 𝑅2 e 𝑅3,</p><p>respectivamente, podem trocar cargas elétricas entre si a partir do acionamento de contatos</p><p>elétricos. Inicialmente, apenas 𝐸1 encontra-se eletricamente carregada. Em um primeiro momento</p><p>estabelece-se contato elétrico entre 𝐸1 e 𝐸2, que é cortado quando o sistema atinge o equilíbrio</p><p>elétrico. A seguir, estabelece-se o contato entre 𝐸2 e 𝐸3. Ao final do processo, observa-se que a</p><p>118</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>carga elétrica líquida das três esferas é igual. Desprezando a capacitância mútua entre as esferas,</p><p>assinale a proporção entre as massa de 𝐸1, 𝐸2 e 𝐸3, respectivamente.</p><p>a) 1:1:1 b) 1:2:2 c) 2:1:1 d) 8:1:1 e) 1:8:8</p><p>(ITA - 2021)</p><p>Um anel circular de raio R e densidade linear de carga elétrica 𝝀 está localizado no plano 𝒚𝒛 com o</p><p>seu centro na origem do sistema de coordenadas O, como mostra a figura. Uma partícula de massa</p><p>𝒎 e carga 𝒒 é projetada a partir do ponto 𝑷(− √𝟑𝑹, 𝟎, 𝟎) em direção ao ponto O, com velocidade</p><p>inicial 𝒗. Qual o menor valor de v para que a partícula não retorne ao ponto 𝑷?</p><p>(IME – 2020)</p><p>Uma partícula com carga positiva viaja em velocidade constante até aproximar-se de uma esfera</p><p>oca com carga negativa uniformemente distribuída em sua casca. Ao encontrar a esfera, a partícula</p><p>entra em seu interior por um pequeno furo, passa pelo centro e deixa a esfera por um segundo furo,</p><p>prosseguindo o movimento. Bem distante da esfera, a partícula se aproxima de uma placa metálica</p><p>plana de grande dimensão, com carga negativa uniformemente distribuída pela placa, conforme</p><p>esquema da figura.</p><p>Observações:</p><p>• a carga da partícula não redistribui a carga da casca esférica e nem da placa plana; e</p><p>• a distribuição das cargas da casca esférica e da placa plana não interferem entre si.</p><p>O gráfico que melhor exprime a velocidade da partícula em função de sua posição é:</p><p>A)</p><p>B)</p><p>119</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>C)</p><p>D)</p><p>E)</p><p>(IME – 2021)</p><p>“Espaço: a fronteira final.” Certa vez, essa conhecida nave interplanetária teve seu disco defletor</p><p>destruído e entrou, logo em seguida, em movimento. Sabe-se que o disco defletor tem a</p><p>funcionalidade de desviar qualquer partícula espacial que, mesmo que pequena, em altas</p><p>velocidades, poderia destruir a nave.</p><p>Considere uma outra nave espacial, de menor porte, que tenha sofrido o mesmo dano em seu disco</p><p>defletor e seja obrigada a usar o escudo de força para se proteger. Seu escudo, ao invés de repelir,</p><p>absorve a massa das partículas espaciais, como em choques perfeitamente inelásticos. O excesso</p><p>de energia cinética, após cada choque, é dissipado pelo escudo, mas qualquer qualquer carga</p><p>elétrica encontrada permanece no escudo, deixando-o carregado. A nave</p><p>Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>1.4. Determinação do trabalho em função da diferença de potencial (DDP)</p><p>Dada uma carga elétrica 𝑞 que se desloca de 𝐴 para 𝐵, em uma região onde existe um campo</p><p>elétrico qualquer. Como o campo é conservativo, vimos anteriormente que o trabalho não depende da</p><p>trajetória. Dessa forma, podemos escrever que:</p><p>𝜏𝐴→𝐵 = 𝜏𝐴→𝑅 + 𝜏𝑅→𝐵</p><p>Da mesma maneira que vimos na mecânica, quando o campo é conservativo, podemos escrever</p><p>que:</p><p>𝜏𝑅−𝐵 = −𝜏𝐵→𝑅</p><p>Assim, reescrevemos nossa equação do trabalho de 𝐴 até 𝐵.</p><p>𝜏𝐴→𝐵 = 𝜏𝐴→𝑅 − 𝜏𝐵→𝑅</p><p>Por outro lado, a definição de energia potencial nos permite escrever que:</p><p>𝜏𝐴→𝑅 = (𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐴</p><p>𝜏𝐵→𝑅 = (𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐵</p><p>Portanto, o trabalho da força elétrica para a carga ir de 𝐴 até 𝐵 é dado pela diferença das energias</p><p>potenciais de cada ponto:</p><p>𝜏𝐴→𝐵 = (𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐴 − (𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐵</p><p>Em outras palavras, o trabalho (𝜏𝐴→𝐵) é a diferença da energia potencial inicial e a energia</p><p>potencial final.</p><p>Agora, podemos usar a definição de potencial elétrico de um ponto e escrever o trabalho em</p><p>função da diferença de potenciais:</p><p>𝑉𝐴 =</p><p>(𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐴</p><p>𝑞</p><p>⇒ (𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐴 = 𝑞. 𝑉𝐴</p><p>𝑉𝐵 =</p><p>(𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐵</p><p>𝑞</p><p>⇒ (𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐵 = 𝑞. 𝑉𝐵</p><p>Sendo assim, chegamos que:</p><p>𝜏𝐴→𝐵 = 𝑞. 𝑉𝐴 − 𝑞. 𝑉𝐵</p><p>𝜏𝐴→𝐵 = 𝑞. (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵)</p><p>Diante desse resultado, concluímos que o trabalho é igual ao produto da carga elétrica deslocada</p><p>pela diferença de potencial (d.d.p.) 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 entre os pontos inicial e final. Note que novamente o trabalho</p><p>9</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>independe da trajetória realizada pela carga e não depende da existência de outras forças que podem ou</p><p>não agirem sobre a partícula.</p><p>Para o caso de um campo elétrico uniforme, vimos anteriormente no item 2.1 desse capítulo que</p><p>o trabalho era calculado da seguinte forma:</p><p>𝜏𝐴→𝐵 = 𝑞. 𝐸. 𝑑</p><p>Onde 𝑑 é a distância de 𝐴 até 𝐵, em uma mesma linha de força. Portanto, chegamos a seguinte</p><p>relação entre o campo elétrico e os potenciais:</p><p>𝑞. 𝐸. 𝑑 = 𝑞. (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵)</p><p>𝐸. 𝑑 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵</p><p>Com base nessa última expressão, temos a unidade oficial de campo elétrico justificada no SI como</p><p>sendo:</p><p>𝐸 =</p><p>(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵)</p><p>𝑑</p><p>Se tomarmos 𝑑 = 1 𝑚 e 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 1𝑉, concluímos que:</p><p>𝐸 = 1 𝑉/𝑚</p><p>A partir de agora usaremos 𝑉/𝑚 como unidade do campo elétrico.</p><p>1.5. Determinação do potencial elétrico caso geral</p><p>Como vimos, o potencial elétrico em um ponto 𝐴 é dado por:</p><p>𝑉𝐴 =</p><p>(𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐴</p><p>𝑞</p><p>Mas, (𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐴 = 𝜏𝐴→𝑅 = −𝜏𝑅→𝐴, logo:</p><p>𝑉𝐴 =</p><p>−𝜏𝑅→𝐴</p><p>𝑞</p><p>Sendo assim, precisamos definir um referencial que irá facilitar nossa vida no cálculo do potencial.</p><p>Adota-se como ponto de referência o infinito e dizemos que o potencial no infinito é nulo:</p><p>10</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑉∞ = 0</p><p>Além disso, o trabalho realizado pela força elétrica pode ser dado pela definição de trabalho de</p><p>uma força, trazendo a carga do infinito (nosso referencial) até o ponto 𝐴:</p><p>𝜏∞→𝐴 = ∫𝑞. �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑙</p><p>𝐴</p><p>∞</p><p>Portanto, o potencial é dado por:</p><p>𝑉𝐴 = −</p><p>(∫ 𝑞. �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑙</p><p>𝐴</p><p>∞</p><p>)</p><p>𝑞</p><p>⇒ 𝑉𝐴 = − ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑙</p><p>𝐴</p><p>∞</p><p>Figura 4: Gráfico auxiliar do campo elétrico em função da distância para o cálculo do potencial.</p><p>1.6. Cálculo do campo elétrico a partir do potencial</p><p>Se conhecemos o potencial, podemos utilizá-lo para determinar o campo elétrico. Para isso, vamos</p><p>considerar um pequeno deslocamento 𝑑𝑙 em um campo elétrico qualquer �⃗⃗�. Dado que:</p><p>𝑉𝐴 = − ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑙</p><p>𝐴</p><p>∞</p><p>A variação do potencial nesse deslocamento pode ser expressa como:</p><p>𝑑𝑉 = −�⃗⃗� ∙ 𝑑𝑙 = 𝐸. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑑𝑙 = 𝐸𝑡. 𝑑𝑙</p><p>Se tomarmos 𝐸𝑡 = 𝐸. 𝑐𝑜𝑠𝜃 como a componente de �⃗⃗� na direção de 𝑑𝑙, teremos que:</p><p>𝑑𝑉 = −𝐸𝑡. 𝑑𝑙</p><p>Pulando as formalidades matemáticas, o campo pode expresso por:</p><p>11</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝐸𝑡 = −</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑙</p><p>Observe que:</p><p>𝑑𝑉 = −�⃗⃗� ∙ 𝑑𝑙</p><p>Se o deslocamento 𝑑𝑙 for perpendicular ao campo �⃗⃗�, 𝑑𝑉 é nulo. Assim, o maior aumento em 𝑉 só</p><p>ocorrerá quando 𝑑𝑙 estiver na mesma direção de �⃗⃗�. Dessa forma, as linhas do campo elétrico são</p><p>orientadas na direção da maior taxa de decréscimo da função potencial.</p><p>De forma análoga, para distribuições de cargas com simetria esférica, como por exemplo uma</p><p>carga puntiforme, o potencial é função apenas da distância radial 𝑟. Deslocamentos perpendiculares à</p><p>direção radial não provocam qualquer variação em 𝑉(𝑟), já que o campo elétrico é radial.</p><p>Para um dado deslocamento radial 𝑑𝑟 = 𝑑𝑙 = 𝑑𝑟. �̂�. Dessa maneira, temos que:</p><p>𝑑𝑉(𝑟) = −�⃗⃗� ∙ 𝑑𝑙 = −�⃗⃗�. 𝑑𝑟. �̂� = −𝐸𝑡. 𝑑𝑟 ∴ 𝐸𝑡 = −</p><p>𝑑𝑉(𝑟)</p><p>𝑑𝑟</p><p>Geralmente, calcular o potencial é sempre mais fácil, já que ele é uma função escalar e o campo</p><p>elétrico é uma função vetorial. Observe que para calcular o campo elétrico, é necessário conhecer o</p><p>potencial não apenas em um ponto, mas conhecer 𝑉 em uma região do espaço, saber como é a função</p><p>𝑉(𝑥).</p><p>1)</p><p>Encontre o campo elétrico para a função potencial elétrico 𝑉 dada por 𝑉 = 50𝑉 − (20𝑉/𝑚)𝑥.</p><p>Comentários:</p><p>De acordo com a direção de 𝑉(𝑥), podemos dizer que o campo será dado na direção 𝑥, pela</p><p>seguinte relação:</p><p>�⃗⃗� = −</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑖̂</p><p>�⃗⃗� = −</p><p>𝑑(50 − 20𝑥)</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑖̂</p><p>�⃗⃗� = +(20𝑉/𝑚)𝑖̂</p><p>12</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>1.7. O Potencial elétrico de carga elétrica puntiforme</p><p>Considere uma carga 𝑄 , fixa em um certo ponto do espaço, gerando um campo elétrico à sua</p><p>volta. Seja a carga 𝑞 trazida do infinito até um ponto 𝑃. Vimos que o trabalho para trazer a carga 𝑞 do</p><p>infinito até o ponto 𝑃 pode ser calculado por:</p><p>𝜏∞→𝑃 = 𝑞(𝑉∞ − 𝑉𝑃)</p><p>Como 𝑉∞ = 0, temos:</p><p>𝑉𝑃 = −</p><p>𝜏∞→𝑃</p><p>𝑞</p><p>= − ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑟</p><p>𝑃</p><p>∞</p><p>Sabemos que o campo elétrico de uma carga puntiforme é radial e o módulo dado por:</p><p>𝐸 =</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑟2</p><p>Portanto, podemos determinar o potencial por:</p><p>Figura 5: Campo elétrico gerado por uma carga puntiforme.</p><p>𝑉𝑃 = − ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑟</p><p>𝑃</p><p>∞</p><p>= − ∫𝐾.𝑄. 𝑟−2 ∙ 𝑑𝑟</p><p>𝑃</p><p>∞</p><p>= [</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑟</p><p>]</p><p>∞</p><p>𝑃</p><p>=</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑟</p><p>Isto é, o potencial elétrico de uma carga puntiforme 𝑄 em um ponto 𝑃 que dista 𝑟 da carga fonte</p><p>é dado por:</p><p>𝑉𝑃(𝑟) =</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑟</p><p>Observações:</p><p>1. 𝑉𝑃(𝑟) é uma grandeza escalar.</p><p>13</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>2. O potencial é função de ponto, já que se trata de uma grandeza associada a cada um dos</p><p>pontos da região do campo elétrico.</p><p>3. 𝑉𝑃(𝑟) não depende de eventual carga elétrica que esteja em 𝑃.</p><p>4. 𝑉𝑃(𝑟) depende da carga fonte 𝑄, geradora do campo elétrico no ponto 𝑃.</p><p>5. O valor de 𝑉𝑃(𝑟) gerado pela carga puntiforme 𝑄 possui o mesmo sinal que a carga:</p><p>{</p><p>𝑄 > 0 ⇒ 𝑉 > 0</p><p>𝑄 < 0 ⇒ 𝑉 < 0</p><p>Se plotarmos o gráfico do potencial elétrico em função da distância, obteremos um arco de</p><p>hipérbole equilátera:</p><p>Figura 6: Gráfico do potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme em função da distância, para os dois possíveis valores de Q.</p><p>1.8. Potencial elétrico gerado por várias cargas puntiformes</p><p>Sejam 𝑛 cargas elétricas gerando um campo elétrico em um dado ponto 𝑃 do espaço.</p><p>Cada uma das cargas gera um potencial em 𝑃 dado por:</p><p>𝑉1 = 𝐾</p><p>𝑄1</p><p>𝑟1</p><p>, 𝑉2 = 𝐾</p><p>𝑄2</p><p>𝑟2</p><p>, … , 𝑉𝑖 = 𝐾</p><p>𝑄𝑖</p><p>𝑟𝑖</p><p>, … , 𝑉𝑛 = 𝐾</p><p>𝑄𝑛</p><p>𝑟𝑛</p><p>Pelo Princípio da Superposição, temos que o potencial elétrico resultante é dado pela soma</p><p>algébrica (colocar as cargas com os respectivos sinais algébricos + ou -) dos potenciais parciais:</p><p>𝑉𝑟𝑒𝑠 = 𝑉1 + 𝑉2 +⋯+ 𝑉𝑛</p><p>14</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑉𝑟𝑒𝑠 = 𝐾</p><p>𝑄1</p><p>𝑟1</p><p>+𝐾</p><p>𝑄2</p><p>𝑟2</p><p>+⋯+ 𝐾</p><p>𝑄𝑛</p><p>𝑟𝑛</p><p>𝑉𝑟𝑒𝑠 = 𝐾 (</p><p>𝑄1</p><p>𝑟1</p><p>+</p><p>𝑄2</p><p>𝑟2</p><p>+⋯+</p><p>𝑄𝑛</p><p>𝑟𝑛</p><p>)</p><p>∴ 𝑉𝑟𝑒𝑠 = 𝑘∑</p><p>𝑄𝑖</p><p>𝑟𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>2)</p><p>O gráfico abaixo mostra o potencial gerado por uma carga elétrica puntiforme, em</p><p>resolve se dirigir para o</p><p>planeta ocupado mais próximo, para sofrer reparos. Por conta dos danos, só foi possível gerar uma</p><p>velocidade inicial 𝑣0 de 8% da velocidade da luz e seus motores foram desligados até o momento</p><p>de entrar em órbita. Durante o percurso, a nave encontra uma nuvem de partículas eletricamente</p><p>carregadas, realizando um trajeto retilíneo de comprimento L. Em média, uma partícula por</p><p>quilômetro é encontrada pela nave. Essa nuvem localiza-se em uma região distante de qualquer</p><p>influência gravitacional. Sabe-se que a nave permanecerá em uma órbita equatorial ao redor do</p><p>planeta, cujo campo magnético apresenta intensidade uniforme, no sentido do polo norte (N) para</p><p>o polo Sul (S).</p><p>Dados:</p><p>Nave: massa inicial 𝑚0 = 300 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 e carga inicial 𝑞0 nula;</p><p>Partículas: massa média 𝑚 = 100 𝑚𝑔 e carga elétrica média 𝑞 = 715 𝜇𝐶;</p><p>Planeta: massa 𝑀 = 6,3 ⋅ 1024 𝑘𝑔, raio 𝑅 = 7000 𝑘𝑚 e intensidade do campo magnético 𝐵 = 5 ⋅</p><p>10−5 𝑇.</p><p>Constante da gravitação universal: 𝐺 = 6,67 ⋅ 10−11 𝑁 ⋅ 𝑚2 ⋅ 𝑘𝑔−2;</p><p>120</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Velocidade da luz: 𝑐 = 3 ⋅ 108 𝑚/𝑠; e</p><p>Comprimento da nuvem: 7,5 ⋅ 108 𝑘𝑚.</p><p>Observação: despreze a intensidade da força de repulsão entre as cargas de mesmo sinal.</p><p>Diante do exposto, pede-se a:</p><p>a) a velocidade final da nave logo após o último choque.</p><p>b) energia máxima dissipada pelo escudo em um único choque; e</p><p>c) velocidade mínima da nave para manter uma órbita de altura 𝐻 = 35 ⋅ 103 km acima da</p><p>superfície do planeta.</p><p>(Simulado IME)</p><p>Quatro placas metálicas idênticas são colocadas conforme a figura acima. A placa 2 possui uma carga</p><p>𝑄 e todas as outras estão neutras. Em um dado momento, as placas 1 e 4 são aterradas. Sabendo</p><p>que as placas possuem área 𝐴, então a diferença de potencial entre 1 e 2 é dada por:</p><p>(A)</p><p>3𝑄𝑑</p><p>4𝜀0𝐴</p><p>(B)</p><p>4𝑄𝑑</p><p>3𝜀0𝐴</p><p>(C)</p><p>3𝑄𝑑</p><p>2𝜀0𝐴</p><p>(D)</p><p>2𝑄𝑑</p><p>3𝜀0𝐴</p><p>(E)</p><p>𝑄𝑑</p><p>4𝜀0𝐴</p><p>(Simulado ITA)</p><p>Uma carga positiva 𝑞 de massa 𝑚 é lançada com velocidade 𝑣 no interior de um túnel muito estreito,</p><p>conforme mostrado na figura abaixo.</p><p>O túnel foi criado no interior de uma esfera isolante que está uniformemente carregado com uma</p><p>carga 𝑄. A mínima velocidade com a carga deve ser lançada para que consiga sair do túnel é igual a:</p><p>(A) √</p><p>3𝑘𝑄𝑞</p><p>4𝑚𝑅</p><p>(B) √</p><p>𝑘𝑄𝑞</p><p>𝑚𝑅</p><p>(C) √</p><p>4𝑘𝑄𝑞</p><p>3𝑚𝑅</p><p>(D) √</p><p>𝑘𝑄𝑞</p><p>2𝑚𝑅</p><p>(E) 0</p><p>(Simulado ITA 2ª fase)</p><p>121</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Uma carga elétrica +𝑞 de massa 𝑚 está em frente a uma associação de dois de planos metálicos</p><p>aterrados. O ângulo entre os planos é de 90°. A carga está presa por duas molas de mesma</p><p>constante elástica. A mola vertical se mantém na vertical e a mola horizontal se mantem na</p><p>horizontal. A permissividade elétrica do meio vale 𝜀0. Determine a razão entre as elongações nas</p><p>molas.</p><p>11. Gabarito sem comentários nível 3</p><p>1) E</p><p>2) D</p><p>3) E</p><p>4) B</p><p>5) A</p><p>6) E</p><p>7) 𝑄1 = −</p><p>2𝑄𝑎</p><p>𝑏</p><p>, 𝑄2 =</p><p>𝑄∙𝑎</p><p>𝑏</p><p>(</p><p>2𝑎</p><p>𝑏</p><p>− 1) e 𝑄3 =</p><p>𝑄𝑎2</p><p>𝑏2</p><p>(3 −</p><p>2𝑎</p><p>𝑏</p><p>)</p><p>8) A</p><p>9) 4 vezes</p><p>10) 10500 V</p><p>11) 𝑄1 = +0,2𝜇𝐶, 𝑄2 = −0,2𝜇𝐶 e 𝑄3 = +0,5𝜇𝐶</p><p>122</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>12) Ver comentários</p><p>13) a) 1380 J b) 720 J c) 2100 J</p><p>14) 𝑘𝑄2</p><p>15) 3 𝑐𝑚</p><p>16) 𝑄1</p><p>′ = 𝑞 [1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑟</p><p>𝑎</p><p>(1 −</p><p>√2</p><p>2</p><p>)], 𝑄2</p><p>′ = 𝑞 [1 −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑟</p><p>𝑎</p><p>(1 −</p><p>√2</p><p>2</p><p>)]</p><p>17) 9 𝑉</p><p>18) E</p><p>19) √</p><p>|𝑞|⋅|𝜆|</p><p>2⋅𝑚⋅𝜀</p><p>20) Sem alternativa</p><p>21) a) 𝑣0 = 1,92 ⋅ 10</p><p>7 𝑚/𝑠 ; b) −2,88 ⋅ 1010 𝐽 ; c) 2000 𝑚/𝑠</p><p>22) A</p><p>23) A</p><p>24)</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>=</p><p>2𝑞²(2−√2)</p><p>16𝑚𝑔𝜋𝜀0𝐿2−𝑞²(4−√2)</p><p>12. Lista de exercíciso nível 3 comentada</p><p>(Simulado EN)</p><p>Uma esfera de 1 kg e com carga igual a +20𝜇𝐶 é abandonado do ponto A. No ponto mais baixo da</p><p>trajetória, a força de reação normal deve ser igual a:</p><p>Despreze eventuais atritos.</p><p>123</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>a) 25 N b) 30 N c) 40 N d) 50 N e) 60 N</p><p>Comentários:</p><p>Pelo teorema da energia cinética, temos:</p><p>𝜏𝐹𝑅 = Δ𝐸𝑐</p><p>𝜏𝑃𝑒𝑠𝑜 + 𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒 + 𝜏𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = 𝐸𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>Em que a energia cinética corresponde a energia cinética do ponto mais baixo. Como a normal é</p><p>sempre perpendicular à trajetória, seu trabalho é nulo. O trabalho da força elétrica é dado por:</p><p>𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒 = 𝑞Δ𝑉</p><p>Mas com temos um campo elétrico uniforme, Δ𝑉 = 𝐸 ⋅ 𝑑. Logo:</p><p>𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑅 + 𝑞 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑅 =</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣2</p><p>2</p><p>2(𝑚𝑔 + 𝑞𝐸) =</p><p>𝑚𝑣2</p><p>𝑅</p><p>Quando o corpo está no ponto mais baixo, temos:</p><p>𝑁 − (𝐹𝑒𝑙𝑒 + 𝑃) = 𝑅𝑐𝑝 =</p><p>𝑚𝑣2</p><p>𝑅</p><p>𝑁 = 𝑞𝐸 +𝑚𝑔 +</p><p>𝑚𝑣2</p><p>𝑅</p><p>𝑁 = 𝑞𝐸 +𝑚𝑔 + 2(𝑚𝑔 + 𝑞𝐸)</p><p>𝑁 = 3(𝑞𝐸 +𝑚𝑔)</p><p>Substituindo valores, temos:</p><p>𝑁 = 3 ⋅ (20 ⋅ 10−6 ⋅ 5 ⋅ 105 + 1 ⋅ 10)</p><p>𝑁 = 3 ⋅ (10 + 10)</p><p>𝑁 = 60 𝑁</p><p>Gabarito: E</p><p>(Simulado EN)</p><p>Inicialmente o sistema se encontra em equilíbrio e a tração no fio ideal é de 8 N. Em um dado</p><p>instante, o fio é cortado e a esfera superior de 0,2 kg começa a se mover. Sabendo que a aceleração</p><p>da gravidade é igual a 10 m/s², o máximo deslocamento da esfera é de:</p><p>124</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m</p><p>Comentários:</p><p>Inicialmente, antes de cortar o fio, se o sistema se encontra em equilíbrio, com as cargas de mesmo</p><p>sinal, devemos ter que:</p><p>𝐹𝑒𝑙𝑒 = 𝑚𝑔 + 𝑇</p><p>𝐾 ⋅ 𝑄 ⋅ 𝑄</p><p>12</p><p>= 0,2 ⋅ 10 + 8</p><p>𝐾 ⋅ 𝑄2 = 10</p><p>Após cortar o fio, quando o corpo atingir a altura máxima, sua velocidade deverá ser nula. Por</p><p>conservação de energia, tomando o solo como nível de referência, temos:</p><p>𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ 1 +</p><p>𝐾 ⋅ 𝑄 ⋅ 𝑄</p><p>1</p><p>= 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ (𝑑𝑚á𝑥 + 1) +</p><p>𝐾 ⋅ 𝑄 ⋅ 𝑄</p><p>𝑑𝑚á𝑥 + 1</p><p>2 + 𝐾𝑄2 = 2(𝑑𝑚á𝑥 + 1) +</p><p>𝐾𝑄2</p><p>𝑑𝑚á𝑥 + 1</p><p>2 + 10 = 2𝑥 +</p><p>10</p><p>𝑥</p><p>6 = 𝑥 +</p><p>5</p><p>𝑥</p><p>𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0</p><p>𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑥 = 5</p><p>Se 𝑥 = 1, então 𝑑𝑚á𝑥 + 1 = 1, isto é, 𝑑𝑚á𝑥 = 0 (não serve). Se 𝑥 = 5, então 𝑑𝑚á𝑥 + 1 = 5,</p><p>portanto, 𝑑𝑚á𝑥 = 4 𝑚.</p><p>Gabarito: D</p><p>(ITA – 1981)</p><p>Uma partícula de massa 𝑚 e outra de massa 2𝑚 tem cargas elétricas 𝑞 de mesmo módulo, mas de</p><p>sinais opostos. Estando inicialmente separadas de uma distância 𝑅, são soltas a partir do repouso.</p><p>125</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Nestas condições, quando a distância entre as partículas for 𝑅/2, desprezando a ação gravitacional</p><p>terrestre, se 𝐾 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>, pode-se afirmar que:</p><p>a) Ambas terão a mesma velocidade 𝑣 = 𝑞 (</p><p>𝐾</p><p>3𝑚𝑅</p><p>)</p><p>1/2</p><p>.</p><p>b) Ambas terão a mesma velocidade 𝑣 = 𝑞 (</p><p>𝐾</p><p>𝑚𝑅</p><p>)</p><p>1/2</p><p>.</p><p>c) Ambas terão a mesma velocidade 𝑣 = 2𝑞 (</p><p>𝑘</p><p>3𝑚𝑅</p><p>)</p><p>1/2</p><p>.</p><p>d) uma terá velocidade 𝑣 = 𝑞 (</p><p>𝐾</p><p>𝑚𝑅</p><p>)</p><p>1/2</p><p>e a outra terá velocidade de 𝑣 = 2𝑞 (</p><p>𝐾</p><p>3𝑚𝑅</p><p>)</p><p>1/2</p><p>.</p><p>e) uma terá velocidade 𝑣 = 𝑞 (</p><p>𝐾</p><p>3𝑚𝑅</p><p>)</p><p>1/2</p><p>e a outra terá velocidade de 𝑣 = 2𝑞 (</p><p>𝐾</p><p>3𝑚𝑅</p><p>)</p><p>1/2</p><p>.</p><p>Comentários:</p><p>Vamos fazer um desenho representativo do nosso sistema:</p><p>O sistema é isolado, já que não existe forças externas atuando nele e a força elétrica de atração as</p><p>cargas é interna, podemos dizer que a quantidade de movimento do sistema se conserva, logo:</p><p>�⃗⃗�𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = �⃗⃗�𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠</p><p>𝑚. 0 + 𝑚. 0 = 𝑚. 𝑣1 − 2𝑚. 𝑣2</p><p>𝑣1 = 2𝑣2 𝑒𝑞 1</p><p>Dado que o sistema é conservativo, temos que a energia mecânica se conserva, portanto:</p><p>(𝐸𝑀)𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = (𝐸𝑀)𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠</p><p>𝐾𝑞(−𝑞)</p><p>𝑅</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣1</p><p>2 +</p><p>1</p><p>2</p><p>2𝑚𝑣2</p><p>2 +</p><p>𝐾𝑞(−𝑞)</p><p>𝑅</p><p>2</p><p>𝑒𝑞 2</p><p>126</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Substituindo 1 em 2 e manipulando algebricamente, temos que:</p><p>𝐾𝑞2</p><p>𝑅</p><p>= 3𝑚𝑣2</p><p>2 ⇒ 𝑣2 = 𝑞√</p><p>𝐾</p><p>3𝑚𝑅</p><p>Então:</p><p>𝑣1 = 2𝑣2 = 2𝑞√</p><p>𝐾</p><p>3𝑚𝑅</p><p>Gabarito: E</p><p>(Simulado EFOMM)</p><p>Observe a figura abaixo.</p><p>A figura acima representa uma carga positiva +𝑄 fixada em uma parede vertical e um bloco onde é</p><p>encrustada uma pequena partícula de massa desprezivel e com carga +𝑞. O bloco com a partícula</p><p>possui massa de 2 kg e a superficie</p><p>plana horizontal é áspera, com um coeficiente de atrito igual a</p><p>0,5. Na situação apresentada, a tração no fio isolante é de 40 N. Em um certo instante o fio é cortado.</p><p>A máxima velocidade adquirida pelo bloco, em m/s, é de:</p><p>Considere 𝑔 = 10 𝑚𝑠/² e o coeficiente de atrito cinético é igual ao estático.</p><p>(A) 2√5 (B) √10 (C) 5 (D) 10 (E) 5√2</p><p>Comentários:</p><p>Fazendo um diagrama de força entre os instantes em que temos a o bloco preso ao fio no início e</p><p>o ponto de máxima velocidade, temos:</p><p>Como as cargas possuem mesmo sinal, na partícula de carga +𝑞 temos uma força de repulsão.</p><p>Enquanto a força elétrica for maior que a força de atrito, então o corpo estará acelerado, ou seja, o</p><p>127</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>módulo da velocidade aumenta. Quando a força elétrica for igual a força de atrito, então a velocidade</p><p>será máxima, pois um deslocamento depois disso e a força de atrito passa a ser maior que a força elétrica,</p><p>ou seja, ele passa a se mover em um movimento retardado, pois agora tem aceleração contrária a</p><p>velocidade.</p><p>Pelo teorema da energia cinética entre o instante que cortamos o fio e o ponto de máxima</p><p>velocidade, temos:</p><p>𝜏𝐹𝐸𝐿 + 𝜏𝑓𝑎𝑡 =</p><p>𝑚𝑣𝑚á𝑥</p><p>2</p><p>2</p><p>− 0</p><p>𝑞(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵) − 𝑓𝑎𝑡 ⋅ (𝑑𝐵 − 𝑑𝐴) =</p><p>𝑚𝑣𝑚á𝑥</p><p>2</p><p>2</p><p>𝑞 (</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑑𝐴</p><p>−</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑑𝐵</p><p>) − 𝜇 ⋅ 𝑚𝑔 ⋅ (𝑑𝐵 − 𝑑𝐴) =</p><p>𝑚𝑣𝑚á𝑥</p><p>2</p><p>2</p><p>𝐾𝑞𝑄 (</p><p>1</p><p>𝑑𝐴</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑑𝐵</p><p>) − 𝜇 ⋅ 𝑚𝑔 ⋅ (𝑑𝐵 − 𝑑𝐴) =</p><p>𝑚𝑣𝑚á𝑥</p><p>2</p><p>2</p><p>(𝑒𝑞. 1)</p><p>No momento que temos o fio, para o equilíbrio do corpo, temos:</p><p>𝐾𝑄𝑞</p><p>𝑑𝐴</p><p>2 = 𝑇</p><p>𝐾𝑄𝑞</p><p>12</p><p>= 40</p><p>𝐾𝑄𝑞 = 40 (𝑒𝑞. 2)</p><p>Na situação de velocidade máxima, a aceleração do corpo é nula, então:</p><p>𝐾𝑄𝑞</p><p>𝑑𝐵</p><p>2 = 𝑓𝑎𝑡</p><p>40</p><p>𝑑𝐵</p><p>2 = 0,5 ⋅ 2 ⋅ 10</p><p>𝑑𝐵 = 2 𝑚</p><p>Substituindo tudo na eq. 1, vem:</p><p>𝐾𝑞𝑄 (</p><p>1</p><p>𝑑𝐴</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑑𝐵</p><p>) − 𝜇 ⋅ 𝑚𝑔 ⋅ (𝑑𝐵 − 𝑑𝐴) =</p><p>𝑚𝑣𝑚á𝑥</p><p>2</p><p>2</p><p>40 (</p><p>1</p><p>1</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>) − 0,5 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ (2 − 1) =</p><p>2𝑣𝑚á𝑥</p><p>2</p><p>2</p><p>(𝑒𝑞. 1)</p><p>20 − 10 = 𝑣𝑚á𝑥</p><p>2</p><p>128</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>∴ 𝑣𝑚á𝑥 = √10 𝑚/𝑠</p><p>Gabarito: B</p><p>(ITA-1988)</p><p>Na figura, C é um condutor em equilíbrio eletrostático, que se encontra próximo de</p><p>outros objetos eletricamente carregados. Considere a curva tracejada L que une os pontos A e B da</p><p>superfície do condutor.</p><p>Podemos afirmar que:</p><p>a) A curva L não pode representar uma linha de força do campo elétrico.</p><p>b) A curva L pode representar uma linha de força, sendo que o ponto B está a um potencial mais</p><p>baixo que o ponto A.</p><p>c) A curva L pode representar uma linha de força, sendo que o ponto B está a um potencial mais alto</p><p>que o ponto A.</p><p>d) A curva L pode representar uma linha de força, desde que L seja ortogonal à superfície do</p><p>condutor nos pontos A e B.</p><p>e) A curva L pode representar uma linha de força, desde que a carga total do condutor seja nula.</p><p>Comentários:</p><p>Um condutor em equilíbrio eletrostático apresenta o mesmo potencial em toda sua extensão.</p><p>Assuma, por absurdo, que existe uma linha de força ligando dois pontos, A e B, desse condutor. Considere</p><p>uma região bem pequena dessa linha, de comprimento Δ𝑙, de modo que podemos considerar a direção</p><p>do campo constante nesse trecho:</p><p>Δ𝑉 = −𝐸 Δ𝑙</p><p>A linha como um todo pode ser considerar uma some de trechos, logo:</p><p>∑Δ𝑉 = −𝐸∑Δ𝑙 = −𝐸𝑙 ≠ 0</p><p>O que é um absurdo, pois não existe diferença de potencial entre os pontos do condutor.</p><p>Gabarito: A</p><p>(ITA-1990)</p><p>129</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Um condutor esférico oco, isolado, de raio R, tem no seu interior uma pequena esfera de raio r < R.</p><p>O sistema está inicialmente neutro. Eletriza-se a pequena esfera com carga positiva. Uma vez</p><p>atingido o equilíbrio eletrostático, pode-se afirmar que:</p><p>a) A carga elétrica na superfície externa do condutor é nula.</p><p>b) A carga elétrica na superfície interna do condutor é nula.</p><p>c) O campo elétrico no interior do condutor é nulo.</p><p>d) O campo elétrico no exterior do condutor é nulo.</p><p>e) Todas as afirmativas acima estão erradas.</p><p>Comentários:</p><p>a) Incorreto. Veja b).</p><p>b) Incorreto. O campo dentro do condutor em equilíbrio é nulo, assim, usando a Lei de Gauss com</p><p>qualquer gaussiana Ω que esteja inteiramente no seu interior resulta em:</p><p>∑ �⃗⃗� ⋅ Δ𝑠</p><p>Ω</p><p>=</p><p>𝑞𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎</p><p>𝜀0</p><p>0 = +𝑄 + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟,𝑖𝑛𝑡</p><p>𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟,𝑖𝑛𝑡 = −𝑄</p><p>Como o condutor externo é neutro, temos:</p><p>𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟,𝑖𝑛𝑡 + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟,𝑒𝑥𝑡 = 0</p><p>𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟,𝑒𝑥𝑡 = 𝑄</p><p>Logo, não é nula a carga na superfície interna, nem na superfície externa, como mostrada a</p><p>indução, utilizando a Lei de Gauss.</p><p>c) Incorreto. Usando a Lei de Gauss:</p><p>∑ �⃗⃗� ⋅ Δ𝑠</p><p>Ω</p><p>=</p><p>𝑞𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎</p><p>𝜀0</p><p>Usando qualquer gaussiana Ω cobrindo 𝑄 e contida na cavidade do condutor oco, chegamos em:</p><p>∑ �⃗⃗� ⋅ Δ𝑠</p><p>Ω(Q)</p><p>=</p><p>𝑄</p><p>𝜀0</p><p>> 0</p><p>�⃗⃗� ≠ 0</p><p>Notamos que na região entre a casca esférica e a esfera menor, existe um campo elétrico não-</p><p>nulo. O ITA fez uma pegadinha nesse item.</p><p>d) Incorreto. Usando a Lei de Gauss:</p><p>130</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>∑ �⃗⃗� ⋅ Δ𝑠</p><p>Ω</p><p>= 𝑞𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎</p><p>Usando qualquer gaussiana Ω cobrindo o condutor oco, chegamos em:</p><p>∑ �⃗⃗� ⋅ Δ𝑠</p><p>Ω(Q)</p><p>= 𝑄 + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟,𝑖𝑛𝑡 + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟,𝑒𝑥𝑡 = 𝑄 > 0</p><p>�⃗⃗� ≠ 0</p><p>Gabarito: E</p><p>(ITA-2009)</p><p>Três esferas condutoras, de raio a e carga 𝑄, ocupam os vértices de um triângulo equilátero de lado</p><p>𝑏 >> 𝑎, conforme mostra a figura (1). Considere as figuras (2), (3) e (4), em que, respectivamente,</p><p>cada uma das esferas se liga e desliga da Terra, uma de cada vez. Determine, nas situações (2), (3)</p><p>e (4), a carga das esferas 𝑄1, 𝑄2 e 𝑄3, respectivamente, em função de 𝑎, 𝑏 e 𝑄.</p><p>Comentários:</p><p>Em (2) o condutor ligado à Terra deve ter potencial nulo, logo:</p><p>𝑉1 =</p><p>𝑘𝑄1</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝑘𝑄</p><p>𝑏</p><p>+</p><p>𝑘𝑄</p><p>𝑏</p><p>= 0 ⇒ 𝑄1 =</p><p>2𝑎𝑄</p><p>𝑏</p><p>Em (3) o condutor ligado à Terra deve ter potencial nulo, assim:</p><p>𝑉2 =</p><p>𝑘𝑄2</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝑘𝑄1</p><p>𝑏</p><p>+</p><p>𝑘𝑄</p><p>𝑏</p><p>= 0 ⇒ 𝑄2 = −</p><p>𝑎𝑄</p><p>𝑏</p><p>(1 −</p><p>2𝑎</p><p>𝑏</p><p>)</p><p>Do mesmo modo, em (4) o condutor ligado à Terra deve ter potencial nulo:</p><p>𝑉3 =</p><p>𝑘𝑄3</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝑘𝑄2</p><p>𝑏</p><p>+</p><p>𝑘𝑄1</p><p>𝑏</p><p>= 0 ⇒ 𝑄3 =</p><p>𝑄𝑎2</p><p>𝑏2</p><p>(3 −</p><p>2𝑎</p><p>𝑏</p><p>)</p><p>Gabarito: 𝑸𝟏 = −</p><p>𝟐𝑸𝒂</p><p>𝒃</p><p>, 𝑸𝟐 =</p><p>𝑸∙𝒂</p><p>𝒃</p><p>(</p><p>𝟐𝒂</p><p>𝒃</p><p>− 𝟏) e 𝑸𝟑 =</p><p>𝑸𝒂𝟐</p><p>𝒃𝟐</p><p>(𝟑 −</p><p>𝟐𝒂</p><p>𝒃</p><p>)</p><p>(ITA-2010)</p><p>Considere as cargas elétricas 𝑞1 = 1 𝐶, situada em 𝑥 = – 2𝑚, e 𝑞2 =–2 𝐶, situada em 𝑥 = – 8 𝑚.</p><p>Então, o lugar geométrico dos pontos de potencial nulo é</p><p>b) uma esfera que corta o eixo x nos pontos 𝑥 = – 4 𝑚 e 𝑥 = 4𝑚.</p><p>131</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>b) uma esfera que corta o eixo x nos pontos 𝑥 = – 16 𝑚 e 𝑥 = 16 𝑚.</p><p>c) um elipsoide que corta o eixo x nos pontos 𝑥 = – 4 𝑚 e 𝑥 = 16 𝑚.</p><p>d) um hiperboloide que corta o eixo x no ponto 𝑥 = – 4 𝑚.</p><p>e) um plano perpendicular ao eixo x que o corta no ponto 𝑥 = – 4 𝑚.</p><p>Comentários:</p><p>Calculando o potencial de um ponto arbitrário (𝑥, 𝑦, 𝑧) (considere o eixo 𝑧 saindo do plano da</p><p>folha):</p><p>𝑉(𝑥, 𝑦) =</p><p>𝑘𝑞1</p><p>√(2 + 𝑥)2 + 𝑦2 + 𝑧2</p><p>+</p><p>𝑘𝑞2</p><p>√(8 + 𝑥)2 + 𝑦2 + 𝑧2</p><p>= 0</p><p>√(8 + 𝑥)2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2√(2 + 𝑥)2 + 𝑦2 + 𝑧2</p><p>(8 + 𝑥)2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4[(2 + 𝑥)2 + 𝑦2 + 𝑧2]</p><p>3𝑥2 + 3𝑦2 + 3𝑧2 = 48</p><p>𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 16</p><p>A equação representa uma esfera centrada em (0,0,0) de raio 4, cortando o eixo 𝑥 em 4 e −4.</p><p>Gabarito: A</p><p>(IME – 79)</p><p>A figura mostra, esquematicamente, uma campainha eletrostática A e B são condutores esféricos,</p><p>com diâmetros de 20𝑐𝑚 e 4 𝑐𝑚, respectivamente. 𝐵 é suspenso de 𝑃 por um fio isolante. A placa</p><p>metálica 𝐶 é ligada à Terra. A esfera 𝐴, carregada inicialmente a um potencial de 50𝑘𝑣, atrai 𝐵 que,</p><p>após o contato, é repelida e se choca com a placa 𝐶, descarregando-se. A operação se repete</p><p>enquanto o potencial de 𝐴 for superior a 25 𝑘𝑉. Determine o número de vezes que 𝐵 baterá em 𝐴.</p><p>132</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial</p><p>elétrico</p><p>Comentários:</p><p>Calculando a carga inicial de 𝐴:</p><p>𝑉𝐴 =</p><p>𝑘𝑄𝐴</p><p>𝑅𝐴</p><p>(𝑒𝑞. 1) ⇒ 𝑄𝐴 =</p><p>𝑉𝐴𝑅𝐴</p><p>𝑘</p><p>(𝑒𝑞. 2)</p><p>Quando 𝐴 e 𝐵 entram em contato, seus potenciais se igualam:</p><p>𝑉 =</p><p>𝑘𝑄𝐴</p><p>′</p><p>𝑅𝐴</p><p>=</p><p>𝑘𝑄𝐵</p><p>′</p><p>𝑅𝐵</p><p>(𝑒𝑞. 3) ⇒</p><p>𝑄𝐴</p><p>′</p><p>𝑅𝐴</p><p>=</p><p>𝑄𝐵</p><p>′</p><p>𝑅𝐵</p><p>(𝑒𝑞. 4)</p><p>Por conservação de carga, temos:</p><p>𝑄𝐴</p><p>′ +𝑄𝐵</p><p>′ = 𝑄𝐴</p><p>Usando (4):</p><p>𝑄𝐴</p><p>′ +</p><p>𝑅𝐵</p><p>𝑅𝐴</p><p>𝑄𝐴</p><p>′ = 𝑄𝐴 ⇒ 𝑄𝐴</p><p>′ = (</p><p>𝑅𝐴</p><p>𝑅𝐴 + 𝑅𝐵</p><p>)𝑄𝐴</p><p>Note que a carga 𝑄𝐴 pode ser trata como a carga inicial antes de qualquer colisão (não</p><p>necessariamente a primeira) e 𝑄𝐴</p><p>′ a carga após a colisão, logo cada colisão multiplica a carga de 𝐴 pelo</p><p>fator mostrado. Assim, após 𝑛 colisões a carga de A será:</p><p>𝑄𝐴(𝑛) = (</p><p>𝑅𝐴</p><p>𝑅𝐴 + 𝑅𝐵</p><p>)</p><p>𝑛</p><p>𝑄𝐴</p><p>Queremos a colisão que deixará A com um potencial menor que 25 𝑘𝑉:</p><p>𝑉 < 25 𝑘𝑉</p><p>𝑘𝑄𝐴(𝑛)</p><p>𝑅𝐴</p><p>< 25</p><p>133</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑘𝑄𝐴</p><p>𝑅𝐴</p><p>(</p><p>𝑅𝐴</p><p>𝑅𝐴 + 𝑅𝐵</p><p>)</p><p>𝑛</p><p>< 25</p><p>Por (1), temos:</p><p>𝑉𝐴 (</p><p>𝑅𝐴</p><p>𝑅𝐴 + 𝑅𝐵</p><p>)</p><p>𝑛</p><p>< 25</p><p>(</p><p>20</p><p>24</p><p>)</p><p>𝑛</p><p><</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑛 ≥ 4</p><p>Após a primeira colisão que satisfaz a desigualdade não haverá outras, logo:</p><p>𝑛 = 4 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠õ𝑒𝑠</p><p>Gabarito: 4 vezes</p><p>(ITA – 2008)</p><p>Considere um condutor esférico A de 20𝑐𝑚 de diâmetro colocado sobre um pedestal fixo e isolante.</p><p>Uma esfera condutora B de 0,5𝑚𝑚 de diâmetro, do mesmo material da esfera A, é suspensa por</p><p>um fio fixo e isolante. Em posição oposta à esfera A, é colocada uma campainha C ligada à terra,</p><p>conforme mostra a figura. O condutor A é, então, carregado a um potencial eletrostático 𝑉0, de</p><p>forma a atrair a esfera B. As duas esferas entram em contacto devido à indução eletrostática e, após</p><p>a transferência de carga, a esfera B é repelida, chocando-se com a campainha C, onde a carga</p><p>adquirida é escoada para a terra. Após 20 contatos com a campainha, verifica-se que o potencial da</p><p>esfera A é de 10 000 𝑉. Determine o potencial inicial da esfera A. Considere (1 + 𝑥)𝑛 ≅ 1 + 𝑛𝑥</p><p>se |𝑥| < 1</p><p>Comentários:</p><p>Calculando a carga inicial de 𝐴:</p><p>𝑉0 =</p><p>𝑘𝑄𝐴</p><p>𝑅𝐴</p><p>(𝑒𝑞. 1)</p><p>𝑄𝐴 =</p><p>𝑉0𝑅𝐴</p><p>𝑘</p><p>(𝑒𝑞. 2)</p><p>134</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Quando 𝐴 e 𝐵 entram em contato, seus potenciais se igualam:</p><p>𝑉 =</p><p>𝑘𝑄𝐴</p><p>′</p><p>𝑅𝐴</p><p>=</p><p>𝑘𝑄𝐵</p><p>′</p><p>𝑅𝐵</p><p>(𝑒𝑞. 3) ⇒</p><p>𝑄𝐴</p><p>′</p><p>𝑅𝐴</p><p>=</p><p>𝑄𝐵</p><p>′</p><p>𝑅𝐵</p><p>(𝑒𝑞. 4)</p><p>Por conservação de carga, temos:</p><p>𝑄𝐴</p><p>′ +𝑄𝐵</p><p>′ = 𝑄𝐴</p><p>Usando (4):</p><p>𝑄𝐴</p><p>′ +</p><p>𝑅𝐵</p><p>𝑅𝐴</p><p>𝑄𝐴</p><p>′ = 𝑄𝐴 ⇒ 𝑄𝐴</p><p>′ = (</p><p>𝑅𝐴</p><p>𝑅𝐴 + 𝑅𝐵</p><p>)𝑄𝐴</p><p>Note que a carga 𝑄𝐴 pode ser trata como a carga inicial antes de qualquer colisão (não</p><p>necessariamente a primeira) e 𝑄𝐴</p><p>′ a carga após a colisão, logo cada colisão multiplica a carga de 𝐴 pelo</p><p>fator mostrado. Assim, após 𝑛 colisões a carga de A será:</p><p>𝑄𝐴(𝑛) = (</p><p>𝑅𝐴</p><p>𝑅𝐴 + 𝑅𝐵</p><p>)</p><p>𝑛</p><p>𝑄𝐴</p><p>Assim, o potencial após a enésima colisão é dado por:</p><p>𝑉𝐴(𝑛) =</p><p>𝑘𝑄𝐴(𝑛)</p><p>𝑅𝐴</p><p>=</p><p>𝑘𝑄𝐴</p><p>𝑅𝐴</p><p>(</p><p>𝑅𝐴</p><p>𝑅𝐴 + 𝑅𝐵</p><p>)</p><p>𝑛</p><p>Usando (1), temos:</p><p>𝑉𝐴(𝑛) = 𝑉0 (</p><p>𝑅𝐴</p><p>𝑅𝐴 + 𝑅𝐵</p><p>)</p><p>𝑛</p><p>⇒ 𝑉0 = 𝑉𝐴(𝑛) (1 +</p><p>𝑅𝐵</p><p>𝑅𝐴</p><p>)</p><p>𝑛</p><p>Como 𝑅𝐵 ≪ 𝑅𝐴, podemos fazer a aproximação fornecida no enunciado: (𝑛 = 20)</p><p>𝑉0 = 10000 (1 +</p><p>20 ⋅ 0,5</p><p>200</p><p>) = 10500 𝑉</p><p>Gabarito: 𝑽𝟎 = 𝟏𝟎𝟓𝟎𝟎 𝑽</p><p>(FEI-SP)</p><p>Duas esferas condutoras concêntricas A e B possuem raios 𝑅1 = 10 𝑐𝑚, 𝑅2 = 20 𝑐𝑚 e 𝑅3 = 25 𝑐𝑚</p><p>e estão eletrizadas de forma que a diferença de potencial entre elas é 𝑉𝐴 – 𝑉𝐵 = 9 𝑘𝑉 e a carga</p><p>total da esfera 𝐵 é de 0,3 𝜇𝐶. Determine as cargas 𝑄1, 𝑄2 e 𝑄3 existentes nas superfícies dessas</p><p>esferas.</p><p>Dado:</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>= 9 × 109 𝑁𝑚2𝐶–2.</p><p>OBS: o meio entre as esferas é o vácuo.</p><p>135</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Comentários:</p><p>Usaremos o fato de o potencial causado pela carga na superfície de um condutor ser constante no</p><p>seu interior e igual a:</p><p>𝑉(𝑟) =</p><p>𝑘𝑄</p><p>𝑅</p><p>, ∀𝑟 < 𝑅</p><p>No exterior temos:</p><p>𝑉(𝑟) =</p><p>𝑘𝑄</p><p>𝑟</p><p>, ∀𝑟 ≥ 𝑅</p><p>Por indução temos:</p><p>𝑄2 = −𝑄1 (𝑒𝑞. 1)</p><p>Pela carga total de 𝐵, temos:</p><p>𝑄3 + 𝑄2 = 3 ⋅ 10</p><p>6 𝐶</p><p>𝑄3 − 𝑄1 = 3 ⋅ 10</p><p>6 𝐶 (𝑒𝑞. 2)</p><p>Calculando a ddp entre 𝐴 e 𝐵, obtemos:</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = (</p><p>𝑘𝑄3</p><p>𝑅3</p><p>+</p><p>𝑘𝑄2</p><p>𝑅2</p><p>+</p><p>𝑘𝑄1</p><p>𝑅1</p><p>) − (</p><p>𝑘𝑄3</p><p>𝑅3</p><p>+</p><p>𝑘𝑄2</p><p>𝑅2</p><p>+</p><p>𝑘𝑄1</p><p>𝑅2</p><p>)</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = (</p><p>𝑘𝑄3</p><p>𝑅3</p><p>−</p><p>𝑘𝑄1</p><p>𝑅2</p><p>+</p><p>𝑘𝑄1</p><p>𝑅1</p><p>) − (</p><p>𝑘𝑄3</p><p>𝑅3</p><p>−</p><p>𝑘𝑄1</p><p>𝑅2</p><p>+</p><p>𝑘𝑄1</p><p>𝑅2</p><p>)</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑘𝑄1 (</p><p>1</p><p>𝑅1</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑅2</p><p>)</p><p>9 ⋅ 103 = 9 ⋅ 109𝑄1(</p><p>1</p><p>0.1</p><p>−</p><p>1</p><p>0.2</p><p>)</p><p>𝑄1 = 0,2 𝜇𝐶</p><p>136</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Substituindo o resultado acima em (1) e (2), obtemos:</p><p>𝑄2 = −0,2 𝜇𝐶</p><p>𝑄3 = 0,5 𝜇𝐶</p><p>Gabarito: 𝑸𝟏 = +𝟎, 𝟐𝝁𝑪, 𝑸𝟐 = −𝟎, 𝟐𝝁𝑪 e 𝑸𝟑 = +𝟎,𝟓𝝁𝑪</p><p>Considere dois condutores esféricos, sendo o menor maciço de raio 𝑅𝐴 e o outro 𝐵 oco de raio</p><p>interno 𝑅1 e raio externo 𝑅2. O condutor maciço está eletrizado com carga 𝑞𝐴, enquanto 𝐵 está</p><p>ligado à Terra, como mostra a figura:</p><p>Calcule:</p><p>a) O potencial na esfera A.</p><p>b) O potencial na esfera B.</p><p>c) O potencial num ponto P entre A e B.</p><p>Faça o esboço gráfico do potencial em função da distância do centro das esferas.</p><p>Comentários:</p><p>a) Como bem sabemos, a carga da esfera A induzira na superfície interna da esfera B uma carga de mesma</p><p>intensidade e sinal contrário. Por outro lado, a superfície externa ficará com falta de elétrons, deixando-</p><p>a com carga positiva, mas como a casca esférica B está conectada à Terra, elétrons fluíram para neutralizar</p><p>essas cargas positiva e, dessa forma, a superfície externa ficará com carga nula.</p><p>Dado que a esfera A é condutora e nos condutores o potencial é constante, podemos determinar</p><p>o seu potencial pela expressão:</p><p>𝑉𝐴 = 𝐾</p><p>𝑞𝐴</p><p>𝑅𝐴</p><p>+ 𝐾</p><p>(−𝑞𝐴)</p><p>𝑅1</p><p>𝑉𝐴 = 𝐾𝑞𝐴 (</p><p>1</p><p>𝑅𝐴</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑅1</p><p>)</p><p>b) Devido ao fato da esfera B estar conectada à Terra, temos que seu potencial será nulo.</p><p>c) Para um ponto P situado na região entre a esfera A e a casca esférica B, temos que o potencial é dado</p><p>pela soma dos potenciais:</p><p>137</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑉𝑃 = 𝐾</p><p>𝑞𝐴</p><p>𝑟</p><p>− 𝐾</p><p>𝑞𝐴</p><p>𝑅1</p><p>𝑉𝑃 = 𝐾𝑞𝐴 (</p><p>1</p><p>𝑟𝑃</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑅1</p><p>)</p><p>Para pontos externos, temos que o potencial será nulo, pois:</p><p>𝑉 = 𝐾</p><p>𝑞𝐴</p><p>𝑟</p><p>− 𝐾</p><p>𝑞𝐴</p><p>𝑟</p><p>𝑉 = 0</p><p>Portanto o gráfico é dado por:</p><p>Gabarito: a) 𝑽𝑨 = 𝑲𝒒𝑨 (</p><p>𝟏</p><p>𝑹𝑨</p><p>−</p><p>𝟏</p><p>𝑹𝟏</p><p>) b) zero c) 𝑽𝑷 = 𝑲𝒒𝑨 (</p><p>𝟏</p><p>𝒓𝑷</p><p>−</p><p>𝟏</p><p>𝑹𝟏</p><p>)</p><p>7 cargas positivas 𝑄 encontram-se no infinito. As cargas têm módulo 𝑄 = 40𝜇𝐶 e o hexágono abaixo</p><p>tem lado 12 𝑐𝑚.</p><p>Pede-se:</p><p>a) a energia gasta para trazer 6 dessas cargas do infinito e dispô-las nos vértices do hexágono.</p><p>138</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>b) a energia gasta para, em seguida, trazer a sétima carga do infinito e colocá-la no centro O do</p><p>hexágono.</p><p>c) a energia liberada se essa "molécula" for totalmente destruída e as cargas voltarem para o</p><p>infinito.</p><p>Considere: 𝐾 = 9,0 × 109 𝑁𝑚2/𝐶2 e √3 ≅ 1,5.</p><p>Comentários:</p><p>a) A energia gasta deve ser a diferença de energia entre o sistema inicial e final:</p><p>𝐸𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎 = 𝑈𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑈0</p><p>A energia final deve levar em consideração a interação de cada par de cargas contidas no</p><p>hexágono:</p><p>Vamos separar a energia potencial elétrica em três grupos de acordo com a distância:</p><p>Grupo 1): energia potencial para cargas que estão a distância de 𝑙:</p><p>𝑈1 =</p><p>𝑘𝑞2</p><p>𝑙</p><p>Grupo 2): energia potencial para cargas que estão a distância de 𝑙√3:</p><p>𝑈2 =</p><p>𝑘𝑞2</p><p>𝑙√3</p><p>Grupo 3): energia potencial para cargas que estão a distância de 2𝑙:</p><p>139</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑈3 =</p><p>𝑘𝑞2</p><p>2𝑙</p><p>Logo a energia gasta deve ser:</p><p>𝐸𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎,1 = (6𝑈1 + 6𝑈2 + 3𝑈3) − 0</p><p>𝐸𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎,1 =</p><p>3𝑘𝑞2</p><p>𝑙</p><p>(2 +</p><p>2</p><p>√3</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>𝐸𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎,1 = 1380 𝐽</p><p>b) Novamente:</p><p>𝐸𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎,2 = 𝑈𝑓 − 𝑈0</p><p>𝐸𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎,2 = (𝐸𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎,1 + 6𝑈1) − 𝐸𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎,1</p><p>𝐸𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎,2 =</p><p>6𝑘𝑞2</p><p>𝑙</p><p>𝐸𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎,2 = 720 𝐽</p><p>A energia liberada</p><p>é a energia perdida pelo sistema, assim:</p><p>𝐸𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑈0 − 𝑈𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>𝐸𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = (𝐸𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎,1 + 𝐸𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎,2) − 0</p><p>𝐸𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝐸𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎,1 + 𝐸𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎,2 = 2100 𝐽</p><p>Gabarito: a) 𝟏𝟑𝟖𝟎 𝑱; b)𝟕𝟐𝟎 𝑱; c) 𝟐𝟏𝟎𝟎 𝑱</p><p>Na figura a seguir, temos um quadrado de lado 2 m. Nos vértices A e B estão fixas duas cargas</p><p>puntiformes idênticas +Q.</p><p>Determine a mínima energia potencial adquirida por uma carga +𝑄, puntiforme, colocada dentro</p><p>do quadrado.</p><p>Comentários:</p><p>140</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Seja 𝑟1 a distância de 𝑄 a 𝐴 e 𝑟2 a distância de 𝑄 a 𝐵. Desse modo, a energia potencial adquirida</p><p>pela carga deve ser:</p><p>𝑈(𝑄) = 𝑘𝑄2 (</p><p>1</p><p>𝑟1</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑟2</p><p>)</p><p>Como</p><p>1</p><p>𝑟1</p><p>> 0 e</p><p>1</p><p>𝑟2</p><p>> 0 podemos usar a desigualdade das médias:</p><p>𝑀.𝐴.≥ 𝑀. 𝐺.⇒</p><p>1</p><p>𝑟1</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑟2</p><p>≥</p><p>2</p><p>√𝑟1𝑟2</p><p>Onde o mínimo ocorre quando</p><p>1</p><p>𝑟1</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑟2</p><p>, ou seja, quando:</p><p>𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟</p><p>[𝑈(𝑄)]𝑚𝑖𝑛 =</p><p>2𝑘𝑄2</p><p>𝑟</p><p>Obviamente o menor potencial será alcançado no maior 𝑟, isto é, 𝑟 = 2 𝑚, logo:</p><p>[𝑈(𝑄)]𝑚𝑖𝑛,𝑟=2𝑚 = 𝑘𝑄</p><p>2</p><p>Gabarito: 𝒌𝑸𝟐</p><p>(Mack – 2005)</p><p>Uma partícula de massa igual a 2cg e carga de +1𝜇𝐶 é lançada com velocidade de 300 𝑚/𝑠, em</p><p>direção a uma carga fixa de +3 𝜇𝐶. O lançamento é feito no vácuo de um ponto bastante afastado</p><p>da carga fixa. Desprezando ações gravitacionais, qual a mínima distância entre as cargas?</p><p>Adote: 𝐾0 = 9,0 × 10</p><p>9 𝑁.𝑚2/𝐶2.</p><p>Comentários:</p><p>Inicialmente, vamos considerar que a energia potencial eletrostática é nula, já que a carga no</p><p>momento do lançamento está muito afastada. Como apenas a força elétrica é considerada no problema,</p><p>temos um sistema conservativo. Logo, a energia mecânica é conservada:</p><p>(𝐸𝑀)𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = (𝐸𝑀)𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 ⇒</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2 +</p><p>(𝐾𝑞1𝑞2)</p><p>𝑑</p><p>Notamos que devido ao fato de as duas cargas serem positivas, a força elétrica está freando a</p><p>carga. Dessa forma, a distância será mínima quando a velocidade for nula, marcando a inversão do</p><p>movimento. Portanto:</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2 =</p><p>(𝐾𝑞1𝑞2)</p><p>𝑑𝑚𝑖𝑛</p><p>⇒ 𝑑𝑚𝑖𝑛 =</p><p>2𝐾𝑞1𝑞2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2</p><p>Substituindo valores, temos que:</p><p>141</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑑𝑚𝑖𝑛 =</p><p>2.9 × 109. 1 × 10−6. 3 × 10−6</p><p>1 × 10−5. (300)2</p><p>𝑑𝑚𝑖𝑛 = 3 𝑐𝑚</p><p>Gabarito: 𝒅𝒎𝒊𝒏 = 𝟑 𝒄𝒎</p><p>Três esferas metálicas idênticas de raio 𝒓 estão localizadas nos vértices de um triângulo isósceles,</p><p>como se mostra na figura (supor 𝑟 << 𝑎). As esferas estão inicialmente com carga 𝒒 cada. As</p><p>esferas 1 e 2 são ligadas por um curto período de tempo, com um fio condutor, em seguida, o fio é</p><p>retirado. Determine as cargas finais das esferas 1 e 2 após o processo.</p><p>Caso necessário, utilize a aproximação (1 + 𝑥)𝑛 ≅ 1 + 𝑛𝑥, quando 𝑥 ≪ 1.</p><p>Comentários:</p><p>Inicialmente, consideramos o fio condutor com capacidade de acumular cargas desprezível. Dessa</p><p>forma, temos pelo Princípio da Conservação das Cargas que:</p><p>𝑄1 + 𝑄2 = 𝑄1</p><p>′ + 𝑄2</p><p>′</p><p>2𝑞 = 𝑄1</p><p>′ + 𝑄2</p><p>′</p><p>Quando fazemos o contato das cargas 1 e 2, o potencial elétrico é o mesmo das esferas, logo:</p><p>𝑉𝑄1′ = 𝐾</p><p>𝑄1</p><p>′</p><p>𝑟</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑄2</p><p>′</p><p>𝑎</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑎√2</p><p>𝑉𝑄2′ = 𝐾</p><p>𝑄2</p><p>′</p><p>𝑟</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑄1</p><p>′</p><p>𝑎</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑎</p><p>𝑉𝑄1′ = 𝑉𝑄2′</p><p>𝐾</p><p>𝑄1</p><p>′</p><p>𝑟</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑄2</p><p>′</p><p>𝑎</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑎√2</p><p>= 𝐾</p><p>𝑄2</p><p>′</p><p>𝑟</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑄1</p><p>′</p><p>𝑎</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑎</p><p>𝐾</p><p>𝑄1</p><p>′</p><p>𝑟</p><p>+ 𝐾</p><p>2𝑞 − 𝑄1</p><p>′</p><p>𝑎</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑎√2</p><p>= 𝐾</p><p>2𝑞 − 𝑄1</p><p>′</p><p>𝑟</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑄1</p><p>′</p><p>𝑎</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑎</p><p>142</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑄1</p><p>′ . 2. (</p><p>1</p><p>𝑟</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>) = 𝑞 (</p><p>2</p><p>𝑟</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑎√2</p><p>) (× 𝑟)</p><p>𝑄1</p><p>′ . 2. (1 −</p><p>𝑟</p><p>𝑎</p><p>) = 𝑞 (2 −</p><p>𝑟</p><p>𝑎</p><p>−</p><p>𝑟</p><p>𝑎√2</p><p>)</p><p>𝑟 ≪ 𝑎 ⇒ (1 −</p><p>𝑟</p><p>𝑎</p><p>)</p><p>𝑛</p><p>≅ (1 + 𝑛</p><p>𝑟</p><p>𝑎</p><p>)</p><p>∴</p><p>1</p><p>1 −</p><p>𝑟</p><p>𝑎</p><p>≅ 1 +</p><p>𝑟</p><p>𝑎</p><p>𝑄1</p><p>′ = 𝑞 (1 +</p><p>𝑟</p><p>𝑎</p><p>) (</p><p>2</p><p>2</p><p>−</p><p>𝑟</p><p>2𝑎</p><p>−</p><p>𝑟</p><p>2𝑎√2</p><p>)</p><p>𝑄1</p><p>′ = 𝑞 [</p><p>2</p><p>2</p><p>−</p><p>𝑟</p><p>2𝑎</p><p>−</p><p>𝑟</p><p>2𝑎√2</p><p>+</p><p>2𝑟</p><p>2𝑎</p><p>−</p><p>𝑟2</p><p>2𝑎2</p><p>−</p><p>2𝑟2</p><p>2𝑎2√2</p><p>]</p><p>Desconsiderando termos quadráticos de (</p><p>𝑟</p><p>𝑎</p><p>)</p><p>2</p><p>já que 𝑟 ≪ 𝑎, temos que:</p><p>𝑄1</p><p>′ = 𝑞 [1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑟</p><p>𝑎</p><p>(1 −</p><p>√2</p><p>2</p><p>)]</p><p>Como 𝑄2</p><p>′ = 2𝑞 − 𝑄1</p><p>′ , vem:</p><p>𝑄2</p><p>′ = 𝑞 [1 −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑟</p><p>𝑎</p><p>(1 −</p><p>√2</p><p>2</p><p>)]</p><p>Gabarito: 𝑸𝟏</p><p>′ = 𝒒 [𝟏 +</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝒓</p><p>𝒂</p><p>(𝟏 −</p><p>√𝟐</p><p>𝟐</p><p>)], 𝑸𝟐</p><p>′ = 𝒒 [𝟏 −</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝒓</p><p>𝒂</p><p>(𝟏 −</p><p>√𝟐</p><p>𝟐</p><p>)]</p><p>(ITA – 2020)</p><p>Um capacitor 1 de placas paralelas está submetido a uma d.d.p. 𝑉1 = 12 𝑉, e um capacitor 2,</p><p>idêntico ao primeiro, a uma d.d.p. 𝑉2. Um elétron em repouso parte do ponto 𝑃, atravessa um</p><p>orifício no primeiro capacitor e adentra o segundo através de outro orifício, a 60° em relação à placa,</p><p>conforme indica a figura. Desconsiderando a ação da gravidade, determine a d.d.p. 𝑉2 para que o</p><p>elétron tangencie a placa superior do capacitor 2.</p><p>Comentários:</p><p>143</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Pelo teorema da energia cinética, podemos determinar a velocidade do corpo ao sair da região</p><p>definida pelo capacitor 1:</p><p>𝜏𝑓𝑒𝑙 = Δ𝐸𝐶</p><p>𝑞 ⋅ 𝑉1 =</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣𝑒</p><p>2</p><p>2</p><p>− 0</p><p>𝑞 ⋅ 𝑉1 =</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣𝑒</p><p>2</p><p>2</p><p>(𝑒𝑞. 1)</p><p>Como ele considera desprezível a ação da gravidade, então o corpo chega com 𝑣𝑒 na nova região</p><p>definida pelo capacitor 2, mas com o ângulo de 60°. Assim, podemos decompor a velocidade nas direções</p><p>normal e tangencial as placas do capacitor 2. Note que na direção tangencial não há forças atuando,</p><p>portanto, não há variação da velocidade nesta direção. Por outro lado, temos a ação de uma força elétrica</p><p>freando o elétron, devido a orientação do campo, definida pela diferença de potencial aplicada nas placas.</p><p>Portanto, podemos novamente aplicar o teorema da energia cinética:</p><p>𝜏𝐹𝑒𝑙 = Δ𝐸𝐶</p><p>−𝑞 ⋅ 𝑉2 =</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣𝑦𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>2</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>2</p><p>2</p><p>− (</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣𝑦𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>2</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>2</p><p>2</p><p>)</p><p>Com:</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>2</p><p>2</p><p>Então:</p><p>−𝑞 ⋅ 𝑉2 =</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣𝑦𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>2</p><p>2</p><p>−</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣𝑦𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>2</p><p>2</p><p>Para que ele tangencie a placa superior do capacitor 2, temos que 𝑣𝑦𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 0:</p><p>−𝑞 ⋅ 𝑉2 = −</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣𝑦𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>2</p><p>2</p><p>𝑞 ⋅ 𝑉2 =</p><p>𝑚 ⋅ (𝑣𝑒 ⋅ 𝑠𝑒𝑛</p><p>2(60°))</p><p>2</p><p>2</p><p>𝑞 ⋅ 𝑉2 =</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣𝑒</p><p>2</p><p>2</p><p>⋅ 𝑠𝑒𝑛2(60°)</p><p>Pela equação 1, temos:</p><p>144</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑞 ⋅ 𝑉2 =</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣𝑒</p><p>2</p><p>2⏟</p><p>𝑞⋅𝑉1</p><p>⋅ 𝑠𝑒𝑛2(60°)</p><p>𝑞 ⋅ 𝑉2 = 𝑞 ⋅ 𝑉1 ⋅ (</p><p>√3</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>𝑉2 =</p><p>3 𝑉1⏞</p><p>12 𝑉</p><p>4</p><p>𝑉2 = 9 𝑉</p><p>Gabarito: 9 V</p><p>(ITA - 2021)</p><p>Três esferas metálicas maciças 𝐸1, 𝐸2 e 𝐸3, feitas de um mesmo material e de raios 𝑅1, 𝑅2 e 𝑅3,</p><p>respectivamente, podem trocar cargas elétricas entre si a partir do acionamento de contatos</p><p>elétricos. Inicialmente, apenas 𝐸1 encontra-se eletricamente carregada. Em um primeiro momento</p><p>estabelece-se contato elétrico entre 𝐸1 e 𝐸2, que é cortado quando o sistema atinge o equilíbrio</p><p>elétrico. A seguir, estabelece-se o contato entre 𝐸2 e 𝐸3. Ao final do processo, observa-se que a</p><p>carga elétrica líquida das três esferas é igual. Desprezando a capacitância mútua entre as esferas,</p><p>assinale a proporção entre as massa de 𝐸1, 𝐸2 e 𝐸3, respectivamente.</p><p>a) 1:1:1 b) 1:2:2 c) 2:1:1 d) 8:1:1 e) 1:8:8</p><p>Comentários:</p><p>Inicialmente, apenas a esfera 𝐸1 possui carga (𝑄). Portanto, após o equilíbrio eletrostático entre 1</p><p>e 2, temos:</p><p>𝑄1</p><p>′ + 𝑄2</p><p>′ = 𝑄</p><p>𝑉1 = 𝑉2 →</p><p>𝑄1</p><p>′</p><p>𝑅1</p><p>=</p><p>𝑄2</p><p>′</p><p>𝑅2</p><p>Portanto:</p><p>𝑄1</p><p>′ = (</p><p>𝑅1</p><p>𝑅1 + 𝑅2</p><p>)𝑄</p><p>𝑄2</p><p>′ = (</p><p>𝑅2</p><p>𝑅1 + 𝑅2</p><p>)𝑄</p><p>Após o contato de 2 e 3, temos:</p><p>𝑄2</p><p>′′ + 𝑄3</p><p>′′ = 𝑄2</p><p>′</p><p>𝑉2 = 𝑉3 →</p><p>𝑄2</p><p>′′</p><p>𝑅2</p><p>=</p><p>𝑄3</p><p>′′</p><p>𝑅3</p><p>145</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Logo:</p><p>𝑄2</p><p>′′ = 𝑄2</p><p>′ (</p><p>𝑅2</p><p>𝑅2 + 𝑅3</p><p>)</p><p>𝑄3</p><p>′′ = 𝑄2</p><p>′ (</p><p>𝑅3</p><p>𝑅2 + 𝑅3</p><p>)</p><p>Substituindo 𝑄2</p><p>′ , temos:</p><p>𝑄2</p><p>′′ = 𝑄 (</p><p>𝑅2</p><p>𝑅1 + 𝑅2</p><p>) (</p><p>𝑅2</p><p>𝑅2 + 𝑅3</p><p>)</p><p>𝑄3</p><p>′′ = 𝑄 (</p><p>𝑅2</p><p>𝑅2 + 𝑅3</p><p>) (</p><p>𝑅3</p><p>𝑅2 + 𝑅3</p><p>)</p><p>Igualando as cargas, temos:</p><p>𝑄1</p><p>′ = 𝑄2</p><p>′′ = 𝑄3</p><p>′′</p><p>(</p><p>𝑅1</p><p>𝑅1 + 𝑅2</p><p>)𝑄 = 𝑄 (</p><p>𝑅2</p><p>𝑅1 + 𝑅2</p><p>) (</p><p>𝑅2</p><p>𝑅2 + 𝑅3</p><p>) = 𝑄 (</p><p>𝑅2</p><p>𝑅2 + 𝑅3</p><p>) (</p><p>𝑅3</p><p>𝑅2 + 𝑅3</p><p>)</p><p>Logo:</p><p>𝑄 (</p><p>𝑅2</p><p>𝑅1 +</p><p>𝑅2</p><p>) (</p><p>𝑅2</p><p>𝑅2 + 𝑅3</p><p>) = 𝑄 (</p><p>𝑅2</p><p>𝑅2 + 𝑅3</p><p>) (</p><p>𝑅3</p><p>𝑅2 + 𝑅3</p><p>)</p><p>𝑅2 = 𝑅3</p><p>Por outro lado, temos:</p><p>(</p><p>𝑅1</p><p>𝑅1 + 𝑅2</p><p>)𝑄 = 𝑄 (</p><p>𝑅2</p><p>𝑅1 + 𝑅2</p><p>) (</p><p>𝑅2</p><p>𝑅2 + 𝑅3</p><p>)</p><p>𝑅1 =</p><p>𝑅2</p><p>2</p><p>Chamando 𝑅1 de 𝑅, temos 𝑅2 = 2𝑅 e 𝑅3 = 2𝑅, portanto 𝑉1 =</p><p>4𝜋</p><p>3</p><p>𝑅3 = 𝑉, então 𝑉2 = 8𝑉 e 𝑉3 =</p><p>8𝑉. Como é o mesmo material, mesma massa especifica, então a relação entre as massa (𝑚 = 𝜌𝑉), então</p><p>a proporção é de 1:8:8.</p><p>Gabarito: E</p><p>(ITA - 2021)</p><p>Um anel circular de raio R e densidade linear de carga elétrica 𝝀 está localizado no plano 𝒚𝒛 com o</p><p>seu centro na origem do sistema de coordenadas O, como mostra a figura. Uma partícula de massa</p><p>𝒎 e carga 𝒒 é projetada a partir do ponto 𝑷(− √𝟑𝑹, 𝟎, 𝟎) em direção ao ponto O, com velocidade</p><p>inicial 𝒗. Qual o menor valor de v para que a partícula não retorne ao ponto 𝑷?</p><p>146</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Comentários:</p><p>Inicialmente, devemos perceber que se 𝑞 e 𝜆 possuem o mesmo sinal, basta soltar a carga do</p><p>repouso, pois ela será repelida pelo, isto é, 𝑣𝑚í𝑛 = 0.</p><p>Por outro lado, se 𝑞 e 𝜆 possuem sinais opostos, haverá atração entre elas. Portanto, o corpo deve</p><p>possuir energia cinética o suficiente para ter velocidade nula no infinito. Portanto:</p><p>0 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀</p><p>⋅</p><p>|𝑞| ⋅ |𝜆| ⋅ 2𝜋𝑅</p><p>𝑑</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑚 ⋅ 𝑣𝑚í𝑛</p><p>2 = 0</p><p>Pela geometria, temos:</p><p>𝑑2 = 𝑅2 + (√3𝑅)</p><p>2</p><p>𝑑 = 2𝑅</p><p>Portanto:</p><p>𝑣𝑚í𝑛 = √</p><p>|𝑞| ⋅ |𝜆|</p><p>2 ⋅ 𝑚 ⋅ 𝜀</p><p>Gabarito: √</p><p>|𝒒|⋅|𝝀|</p><p>𝟐⋅𝒎⋅𝜺</p><p>(IME – 2020)</p><p>Uma partícula com carga positiva viaja em velocidade constante até aproximar-se de uma esfera</p><p>oca com carga negativa uniformemente distribuída em sua casca. Ao encontrar a esfera, a partícula</p><p>entra em seu interior por um pequeno furo, passa pelo centro e deixa a esfera por um segundo furo,</p><p>prosseguindo o movimento. Bem distante da esfera, a partícula se aproxima de uma placa metálica</p><p>147</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>plana de grande dimensão, com carga negativa uniformemente distribuída pela placa, conforme</p><p>esquema da figura.</p><p>Observações:</p><p>• a carga da partícula não redistribui a carga da casca esférica e nem da placa plana; e</p><p>• a distribuição das cargas da casca esférica e da placa plana não interferem entre si.</p><p>O gráfico que melhor exprime a velocidade da partícula em função de sua posição é:</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>E)</p><p>Comentários:</p><p>Nesta questão o aluno deveria lembrar dos conceitos de blindagem eletrostática. Não era</p><p>necessário a análise numérica do problema. Para o primeiro trecho, enquanto a partícula está fora do</p><p>alcance de atuação da esfera (e por consequência da placa), sua velocidade não varia. Ao aproximar-se</p><p>suficientemente da esfera de carga negativa, a partícula é atraída pela esfera e adquiri uma aceleração</p><p>não nula.</p><p>Portanto, o primeiro trecho está representado corretamente em todas as alternativas.</p><p>A etapa seguinte é o efeito da casca esférica sobre a partícula enquanto essa caminha no interior</p><p>da casca esférica. Aqui, é importante lembrar que ocorre o fenômeno de blindagem eletrostática (visto</p><p>que nas observações despreza-se a redistribuição de carga da casca por efeito da partícula). Por conta do</p><p>fenômeno da blindagem eletrostática, o campo elétrico no interior da casca esférica é nulo, logo, a</p><p>variação de velocidade em seu interior também é nula.</p><p>Assim, o segundo trecho está corretamente indicado somente nas alternativas B e C.</p><p>O terceiro trecho é após a saída da casca esférica. A desaceleração é simétrica à aceleração</p><p>anterior à entrada, ou seja, considera-se somente o efeito da esfera. Devido à distância até a placa, seu</p><p>efeito é desprezível. Dessa forma, as alternativas B e C permanecem ambas corretas.</p><p>Para o trecho final a análise é mais complicada e foge do escopo da prova, no entanto, será feita</p><p>aqui. Ao afastar-se suficientemente da esfera, considera-se somente o efeito da placa plana. Como a placa</p><p>é dita “de grandes dimensões”, considera-se que ela atua como uma placa infinita.</p><p>Assim, o campo é dado por:</p><p>148</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝐸 =</p><p>𝜎</p><p>2 ⋅ 𝜖</p><p>Este campo é constante, assim, a aceleração em função do tempo é constante e a velocidade varia</p><p>linearmente com o tempo. Entretanto, o gráfico a ser analisado é da velocidade em função da distância.</p><p>Portanto, por Torricelli:</p><p>𝑣2 = 𝑣0</p><p>2 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑥</p><p>Tem-se 𝑣2 em função de 𝑥. Para analisar o comportamento da figura, é necessário encontrar-se</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>. Utilizando-se de Torricelli:</p><p>𝑑(𝑣2)</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>𝑑(𝑣2)</p><p>𝑑𝑣</p><p>⋅</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>= 2 ⋅ 𝑣 ⋅</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>Mas:</p><p>𝑑(𝑣2)</p><p>𝑑𝑥</p><p>= 2 ⋅ 𝑎</p><p>Assim:</p><p>2 ⋅ 𝑎 = 2 ⋅ 𝑣 ⋅</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>⇒</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>𝑣</p><p>A aceleração é constante, entretanto, a velocidade aumenta conforme o passar do tempo. Dessa</p><p>forma, a derivada da velocidade em relação a 𝑥 é decrescente. Portanto, o gráfico obtido no último trecho</p><p>deveria apresentar uma concavidade para baixo, e não se tem esta opção dentre as alternativas.</p><p>Observações:</p><p>É interessante notar que, caso fosse ignorado a observação acerca da não capacidade de</p><p>redistribuição de cargas, poderia tratar-se a placa com uso do conceito de carga imagem. Nesse caso:</p><p>𝐸 =</p><p>𝑘 ⋅ 𝑞</p><p>𝑙 − 𝑥</p><p>Assim, a força seria dada por:</p><p>𝐹 = 𝑞 ⋅ 𝐸 = 𝑚 ⋅ 𝑎</p><p>𝑚 ⋅</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑡</p><p>=</p><p>𝑘 ⋅ 𝑞2</p><p>𝑙 − 𝑥</p><p>Mas:</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑡</p><p>=</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>⋅</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑𝑡</p><p>=</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>⋅ 𝑣</p><p>Substituindo:</p><p>149</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣 ⋅</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>𝑘 ⋅ 𝑞2</p><p>𝑙 − 𝑥</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>𝑘 ⋅ 𝑞2</p><p>𝑚</p><p>⋅</p><p>1</p><p>𝑣</p><p>⋅</p><p>1</p><p>𝑙 − 𝑥</p><p>O termo</p><p>𝑘⋅𝑞2</p><p>𝑚</p><p>é constante. A velocidade é crescente, entretanto não se sabe até que valor,</p><p>entretanto, (𝑙 − 𝑥) tende a 0. Portanto, considera-se que 𝑣 ⋅ (𝑙 − 𝑥) tende a 0 (conceito de limites). Ou</p><p>seja, a derivada tenderia a infinito. Nesse caso, a figura iria se aproximar mais da alternativa C.</p><p>Ressalta-se novamente que esta análise foge completamente do escopo da prova. Portanto, de</p><p>forma rigorosa, não há alternativa correta.</p><p>Gabarito: Sem alternativa</p><p>(IME – 2021)</p><p>“Espaço: a fronteira final.” Certa vez, essa conhecida nave interplanetária teve seu disco defletor</p><p>destruído e entrou, logo em seguida, em movimento. Sabe-se que o disco defletor tem a</p><p>funcionalidade de desviar qualquer partícula espacial que, mesmo que pequena, em altas</p><p>velocidades, poderia destruir a nave.</p><p>Considere uma outra nave espacial, de menor porte, que tenha sofrido o mesmo dano em seu disco</p><p>defletor e seja obrigada a usar o escudo de força para se proteger. Seu escudo, ao invés de repelir,</p><p>absorve a massa das partículas espaciais, como em choques perfeitamente inelásticos. O excesso</p><p>de energia cinética, após cada choque, é dissipado pelo escudo, mas qualquer qualquer carga</p><p>elétrica encontrada permanece no escudo, deixando-o carregado. A nave resolve se dirigir para o</p><p>planeta ocupado mais próximo, para sofrer reparos. Por conta dos danos, só foi possível gerar uma</p><p>velocidade inicial 𝑣0 de 8% da velocidade da luz e seus motores foram desligados até o momento</p><p>de entrar em órbita. Durante o percurso, a nave encontra uma nuvem de partículas eletricamente</p><p>carregadas, realizando um trajeto retilíneo de comprimento L. Em média, uma partícula por</p><p>quilômetro é encontrada pela nave. Essa nuvem localiza-se em uma região distante de qualquer</p><p>influência gravitacional. Sabe-se que a nave permanecerá em uma órbita equatorial ao redor do</p><p>planeta, cujo campo magnético apresenta intensidade uniforme, no sentido do polo norte (N) para</p><p>o polo Sul (S).</p><p>Dados:</p><p>Nave: massa inicial 𝑚0 = 300 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 e carga inicial 𝑞0 nula;</p><p>150</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Partículas: massa média 𝑚 = 100 𝑚𝑔 e carga elétrica média 𝑞 = 715 𝜇𝐶;</p><p>Planeta: massa 𝑀 = 6,3 ⋅ 1024 𝑘𝑔, raio 𝑅 = 7000 𝑘𝑚 e intensidade do campo magnético 𝐵 = 5 ⋅</p><p>10−5 𝑇.</p><p>Constante da gravitação</p><p>universal: 𝐺 = 6,67 ⋅ 10−11 𝑁 ⋅ 𝑚2 ⋅ 𝑘𝑔−2;</p><p>Velocidade da luz: 𝑐 = 3 ⋅ 108 𝑚/𝑠; e</p><p>Comprimento da nuvem: 7,5 ⋅ 108 𝑘𝑚.</p><p>Observação: despreze a intensidade da força de repulsão entre as cargas de mesmo sinal.</p><p>Diante do exposto, pede-se a:</p><p>a) a velocidade final da nave logo após o último choque.</p><p>b) energia máxima dissipada pelo escudo em um único choque; e</p><p>c) velocidade mínima da nave para manter uma órbita de altura 𝐻 = 35 ⋅ 103 km acima da</p><p>superfície do planeta.</p><p>Comentários:</p><p>a) Primeiramente, iremos calcular o número de partículas que colidem com a nave:</p><p>1 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎</p><p>1 𝑘𝑚</p><p>=</p><p>𝑁 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠</p><p>7,5 ⋅ 108 𝑘𝑚</p><p>𝑁 = 7,5 ⋅ 108 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠</p><p>Podemos conservar o momento linear do instante inicial até o instante final. Chamaremos a massa</p><p>inicial da nave de 𝑚0 e a massa de cada partícula de Δ𝑚. Assim, temos:</p><p>𝑚0 ⋅ 𝑣0 = (𝑚0 + 𝑁 ⋅ Δ𝑚) ⋅ 𝑣𝑛</p><p>300 ⋅ 103 ⋅ 0,08 ⋅ 3 ⋅ 108 = (300 ⋅ 10³ + 7,5 ⋅ 108 ⋅ 10−4)</p><p>𝑣0 = 1,92 ⋅ 10</p><p>7 𝑚/𝑠</p><p>b) Considere dois choques consecutivos. O choque número (N) e o choque número (N+1). As velocidade</p><p>são:</p><p>𝑣𝑁 =</p><p>𝑚0 ⋅ 𝑣0</p><p>𝑚0 + 𝑁 ⋅ Δ𝑚</p><p>𝑣𝑁+1 =</p><p>𝑚0 ⋅ 𝑣0</p><p>𝑚0 + (𝑁 + 1) ⋅ Δ𝑚</p><p>A energia dissipada no choque é dado por:</p><p>Δ𝐸 =</p><p>𝑚𝑛+1 ⋅ 𝑣𝑛+1</p><p>2</p><p>2</p><p>−</p><p>𝑚𝑛 ⋅ 𝑣𝑛²</p><p>2</p><p>151</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Δ𝐸 =</p><p>(𝑚0 + (𝑁 + 1) ⋅ Δ𝑚) ⋅ 𝑚0² ⋅ 𝑣0²</p><p>2 ⋅ (𝑚0 + (𝑁 + 1) ⋅ Δ𝑚)2</p><p>−</p><p>(𝑚0 + 𝑁 ⋅ Δ𝑚) ⋅ 𝑚0² ⋅ 𝑣0²</p><p>2 ⋅ (𝑚0 + 𝑁 ⋅ Δ𝑚)2</p><p>Δ𝐸 =</p><p>𝑚0</p><p>2 ⋅ 𝑣0</p><p>2</p><p>2</p><p>(</p><p>1</p><p>𝑚0 + (𝑁 + 1) ⋅ Δ𝑚</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑚0 + 𝑁 ⋅ Δ𝑚</p><p>)</p><p>Δ𝐸 = −</p><p>𝑚0</p><p>2 ⋅ 𝑣0</p><p>2 ⋅ Δ𝑚</p><p>2 ⋅ (𝑚0 + (𝑁 + 1) ⋅ Δ𝑚) ⋅ (𝑚0 + 𝑁 ⋅ Δ𝑚)</p><p>Quanto menor o valor de N, maior será a dissipação de energia. Dessa maneira, a maior dissipação</p><p>ocorre para a primeira interação. Ou seja, 𝑁 = 0.</p><p>Δ𝐸(𝑚á𝑥) = −</p><p>𝑚0 ⋅ 𝑣0</p><p>2 ⋅ Δ𝑚</p><p>2 ⋅ (𝑚0 + Δ𝑚)</p><p>Substituindo os valores, temos:</p><p>Δ𝐸(𝑚á𝑥) = −</p><p>300 ⋅ 103 ⋅ (0,08 ⋅ 3 ⋅ 108)² ⋅ 10−4</p><p>2 ⋅ (300 ⋅ 103 + 10−4)</p><p>Δ𝐸(𝑚á𝑥) = −2,88 ⋅ 1010 𝐽</p><p>c) A menor velocidade será quanto a nave percorrer o planeta no sentido horário.</p><p>Aplicando a resultante centrípeta, temos:</p><p>𝑚𝑣2</p><p>𝑅 + ℎ</p><p>= 𝐹𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 − 𝐹𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎</p><p>𝑚𝑣2</p><p>𝑅 + ℎ</p><p>=</p><p>𝐺𝑀𝑚</p><p>(𝑅 + ℎ)²</p><p>− 𝑞 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝐵</p><p>(37,5 ⋅ 104) ⋅ 𝑣2</p><p>42 ⋅ 106</p><p>=</p><p>6.6 ⋅ 10−11 ⋅ 6.3 ⋅ 1024 ⋅ (37,5 ⋅ 104)</p><p>(42 ⋅ 106)²</p><p>− 7,5 ⋅ 108 ⋅ 715 ⋅ 10−6 ⋅ 𝑣 ⋅ 5 ⋅ 10−5</p><p>Chegamos na seguinte equação:</p><p>𝑣2 + 3000𝑣 − 107 = 0</p><p>152</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑣 = 2000 𝑚/𝑠</p><p>Gabarito: a) 𝒗𝟎 = 𝟏, 𝟗𝟐 ⋅ 𝟏𝟎</p><p>𝟕 𝒎/𝒔 ; b) −𝟐, 𝟖𝟖 ⋅ 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝑱 ; c) 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝒎/𝒔</p><p>(Simulado IME)</p><p>Quatro placas metálicas idênticas são colocadas conforme a figura acima. A placa 2 possui uma carga</p><p>𝑄 e todas as outras estão neutras. Em um dado momento, as placas 1 e 4 são aterradas. Sabendo</p><p>que as placas possuem área 𝐴, então a diferença de potencial entre 1 e 2 é dada por:</p><p>(A)</p><p>3𝑄𝑑</p><p>4𝜀0𝐴</p><p>(B)</p><p>4𝑄𝑑</p><p>3𝜀0𝐴</p><p>(C)</p><p>3𝑄𝑑</p><p>2𝜀0𝐴</p><p>(D)</p><p>2𝑄𝑑</p><p>3𝜀0𝐴</p><p>(E)</p><p>𝑄𝑑</p><p>4𝜀0𝐴</p><p>Comentários:</p><p>Por indução elétrica, as faces que se opõem devem ter cargas iguais, mas de sinais contrários. Na</p><p>superfície para fora das placas 1 e 4 não devemos ter carga, já que elas estão aterradas. Vamos dizer que</p><p>no lado direito de 2, temos uma carga 𝑞. Então, por indução, temos:</p><p>Logo, os módulos dos campos elétricos são dados por:</p><p>𝐸1 =</p><p>𝑄 − 𝑞</p><p>𝜀0𝐴</p><p>𝐸2 = 𝐸3 =</p><p>𝑞</p><p>𝜀0𝐴</p><p>Portanto:</p><p>𝑉1 + 𝐸1𝑑 − 𝐸2(2𝑑) − 𝐸3𝑑 = 𝑉4</p><p>Mas as placas 1 e 4 estão aterradas, ou seja, 𝑉1 = 𝑉4 = 0, então:</p><p>𝑄 − 𝑞</p><p>𝜀0𝐴</p><p>⋅ 𝑑 −</p><p>𝑞</p><p>𝜀0𝐴</p><p>⋅ 2𝑑 −</p><p>𝑞</p><p>𝜀0𝐴</p><p>⋅ 𝑑 = 0</p><p>153</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑄 − 𝑞 − 2𝑞 − 𝑞 = 0</p><p>𝑞 =</p><p>𝑄</p><p>4</p><p>Logo, a diferença de potencia entre 1 e 2 é:</p><p>𝑈 = 𝐸1 ⋅ 𝑑</p><p>𝑈 =</p><p>𝑄 − 𝑞</p><p>𝜀0𝐴</p><p>⋅ 𝑑 ⇒ 𝑈 =</p><p>𝑄 −</p><p>𝑄</p><p>4</p><p>𝜀0𝐴</p><p>⋅ 𝑑</p><p>𝑈 =</p><p>3𝑄𝑑</p><p>4𝜀0𝐴</p><p>Gabarito: A</p><p>(Simulado ITA)</p><p>Uma carga positiva 𝑞 de massa 𝑚 é lançada com velocidade 𝑣 no interior de um túnel muito estreito,</p><p>conforme mostrado na figura abaixo.</p><p>O túnel foi criado no interior de uma esfera isolante que está uniformemente carregado com uma</p><p>carga 𝑄. A mínima velocidade com a carga deve ser lançada para que consiga sair do túnel é igual a:</p><p>(A) √</p><p>3𝑘𝑄𝑞</p><p>4𝑚𝑅</p><p>(B) √</p><p>𝑘𝑄𝑞</p><p>𝑚𝑅</p><p>(C) √</p><p>4𝑘𝑄𝑞</p><p>3𝑚𝑅</p><p>(D) √</p><p>𝑘𝑄𝑞</p><p>2𝑚𝑅</p><p>(E) 0</p><p>Comentários:</p><p>Se a carga atingir o ponto 𝐵, automaticamente ela atingirá o ponto C, pois as cargas são positivas.</p><p>154</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Pela conservação da energia entre A e B, temos:</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2 = 𝑞(𝑉𝐵 − 𝑉𝐴)</p><p>O potencial no ponto 𝐵 é dado por:</p><p>𝑉𝐵 =</p><p>𝑘𝑄</p><p>2𝑅3</p><p>(3𝑅2 −</p><p>𝑅2</p><p>4</p><p>) =</p><p>11𝑘𝑄</p><p>8𝑅</p><p>Portanto:</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2 = 𝑞 (</p><p>11𝑘𝑄</p><p>8𝑅</p><p>−</p><p>𝑘𝑄</p><p>𝑅</p><p>)</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2 =</p><p>3</p><p>8</p><p>𝑘𝑞𝑄</p><p>𝑅</p><p>𝑣 = √</p><p>3𝑘𝑄𝑞</p><p>4𝑚𝑅</p><p>Gabarito: A</p><p>(Simulado ITA 2ª fase)</p><p>Uma carga elétrica +𝑞 de massa 𝑚 está em frente a uma associação de dois de planos metálicos</p><p>aterrados. O ângulo entre os planos é de 90°. A carga está presa por duas molas de mesma</p><p>constante elástica. A mola vertical se mantém na vertical e a mola horizontal se mantem na</p><p>horizontal. A permissividade elétrica do meio vale 𝜀0. Determine a razão entre as elongações nas</p><p>molas.</p><p>155</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Comentários:</p><p>Devemos utilizar o conceito de carga imagem. A associação dos planos aterrados fornecerá 3</p><p>cargas imagens.</p><p>Do equilíbrio de forças, temos:</p><p>Vertical:</p><p>𝑚𝑔 + 𝐹 =</p><p>𝐹</p><p>2</p><p>⋅</p><p>√2</p><p>2</p><p>+ 𝐾 ⋅ 𝑦</p><p>156</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑦 =</p><p>4𝑚𝑔 − 𝐹(4 − √2)</p><p>4𝐾</p><p>Horizontal:</p><p>𝐹 = 𝐾 ⋅ 𝑥 + 𝐹 ⋅</p><p>√2</p><p>2</p><p>𝑥 =</p><p>𝐹(2 − √2)</p><p>2𝐾</p><p>A força eletrostática 𝐹 é dada por:</p><p>𝐹 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>⋅</p><p>𝑞²</p><p>𝐿²</p><p>Assim, temos:</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>=</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>⋅</p><p>𝑞²</p><p>𝐿²</p><p>(2 − √2)</p><p>2𝐾</p><p>4𝑚𝑔 −</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>⋅</p><p>𝑞²</p><p>𝐿²</p><p>(4 − √2)</p><p>4𝐾</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>=</p><p>2𝑞²(2 − √2)</p><p>16𝑚𝑔𝜋𝜀0𝐿2 − 𝑞²(4 − √2)</p><p>Gabarito:</p><p>𝒙</p><p>𝒚</p><p>=</p><p>𝟐𝒒²(𝟐−√𝟐)</p><p>𝟏𝟔𝒎𝒈𝝅𝜺𝟎𝑳𝟐−𝒒²(𝟒−√𝟐)</p><p>13. Referências bibliográficas</p><p>[1] Calçada, Caio Sérgio. Física Clássica volume 5. 2. Ed. Saraiva Didáticos, 2012. 576p.</p><p>[2] Bukhovtsev, B.B. Krivtchenkov, V.D. Miakishev, G.Ya. Saraeva, I. M. Problemas Selecionados de Física</p><p>Elementar. 1 ed. MIR, 1977.518p.</p><p>[3] Newton, Gualter, Helou. Tópicos de Física volume 3. 11ª ed. Saraiva, 1993. 303p.</p><p>[4] Toledo, Nicolau, Ramalho. Os Fundamentos da Física volume 3. 9ª ed. Moderna. 490p.</p><p>[5] Resnick, Halliday, Jearl Walker. Fundamentos de Física volume 3. 10ª ed. LTC. 365p.</p><p>[6] G. Iezzi, C. Murakami, N. J. Machado. Fundamentos de Matemática Elementar volume 8. 7ª ed. Atual</p><p>Editora, 2013. 280p.</p><p>157</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>14. Considerações finais</p><p>Chegamos ao final da nossa aula. Relembramos conceitos estudados no ensino fundamental e</p><p>aprofundamos o nosso conhecimento em alguns assuntos.</p><p>Estude com calma e muita concentração. Essa parte da Física é bem difícil e bem abstrata.</p><p>Conte comigo nessa jornada. Quaisquer dúvidas, críticas ou sugestões entre em contato pelo</p><p>fórum de dúvidas do Estratégia ou se preferir:</p><p>@proftoniburgatto</p><p>função da distância.</p><p>Calcule:</p><p>a) o potencial elétrico 𝑉.</p><p>b) a distância 𝑑.</p><p>Comentários:</p><p>a) Vamos pegar dois pontos do gráfico de forma estratégica:</p><p>𝑉(2) =</p><p>𝐾𝑄</p><p>2</p><p>= 80</p><p>𝑉(1) =</p><p>𝐾𝑄</p><p>1</p><p>= 𝑉</p><p>Portanto:</p><p>15</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑉</p><p>80</p><p>=</p><p>𝐾𝑄</p><p>1</p><p>𝐾𝑄</p><p>2</p><p>∴ 𝑉 = 160𝑉</p><p>b) Novamente, podemos repetir a ideia e pegar dois pontos estratégicos:</p><p>𝑉(2) =</p><p>𝐾𝑄</p><p>2</p><p>= 80</p><p>𝑉(𝑑) =</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑑</p><p>= 20</p><p>Logo:</p><p>𝐾𝑄</p><p>2</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑑</p><p>=</p><p>80</p><p>20</p><p>∴ 𝑑 = 8 𝑚</p><p>3)</p><p>Determine a razão</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>para que o potencial resultante seja nulo no ponto 𝑃.</p><p>Comentários:</p><p>𝑉𝑃 = 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵</p><p>Mas queremos 𝑉𝑃 = 0, então:</p><p>0 = 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑟𝐴</p><p>+ 𝐾</p><p>(−𝑄𝐵)</p><p>𝑟𝐵</p><p>𝑟𝐴</p><p>𝑟𝐵</p><p>=</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑄𝐵</p><p>∴</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>=</p><p>3</p><p>4</p><p>4)</p><p>Considere duas cargas elétricas puntiformes fixas em 𝐴 e 𝐵 sobre um segmento orientado 𝑥, como na</p><p>figura:</p><p>16</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Determine as abscissas onde o potencial é nulo.</p><p>Comentários:</p><p>Podemos escrever os potenciais para cada carga da seguinte forma:</p><p>𝑉𝐴 = 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑟𝐴</p><p>𝑒 𝑉𝐵 = 𝐾</p><p>𝑄𝐵</p><p>𝑟𝐵</p><p>𝑉𝐴 = 𝐾.</p><p>3𝜇𝐶</p><p>𝑟𝐴</p><p>𝑒 𝑉𝐵 = 𝐾.</p><p>(−4𝜇𝐶)</p><p>𝑟𝐵</p><p>Repare que em módulo, o numerador de 𝑉𝐵 > 𝑉𝐴, portanto, devem existir pontos próximos de 𝑄𝐴,</p><p>onde a distância 𝑟𝐴 é menor, para que 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0. Vamos supor um ponto 𝑃1 a direita de A onde o</p><p>potencial é nulo, então:</p><p>Para que o potencial elétrico no ponto 𝑃1 seja nulo, temos:</p><p>𝑉𝑃1 = 0</p><p>⇒ 𝐾.</p><p>3𝜇𝐶</p><p>𝑥1</p><p>+ 𝐾</p><p>(−4𝜇𝐶)</p><p>𝑑 − 𝑥1</p><p>= 0</p><p>⇒</p><p>3</p><p>𝑥1</p><p>=</p><p>4</p><p>𝑑 − 𝑥1</p><p>⇒ 𝑥1 =</p><p>3𝑑</p><p>7</p><p>=</p><p>3</p><p>7</p><p>∙ 7</p><p>∴ 𝑥1 = 3𝑚</p><p>Agora, vamos procurar um ponto 𝑃2 a esquerda de 𝐴, onde o potencial elétrico também é nulo:</p><p>Então, para que o potencial elétrico no ponto 𝑃1 seja nulo, devemos ter:</p><p>𝑉𝑃2 = 0</p><p>⇒ 𝐾.</p><p>3𝜇𝐶</p><p>|𝑥2|</p><p>+ 𝐾</p><p>(−4𝜇𝐶)</p><p>𝑑 + |𝑥2|</p><p>= 0</p><p>⇒ 3𝑑 + 3|𝑥2| = 4|𝑥2|</p><p>⇒ |𝑥2| = 3𝑑</p><p>∴ |𝑥2| = 21𝑚</p><p>Como a abscissa 𝑥2 está à esquerda da origem do segmento orientado, sabemos 𝑥2 < 0. Portanto:</p><p>17</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑥2 = −21𝑚</p><p>5)</p><p>Duas cargas −𝑞 distam 𝑎 do ponto 𝐴, como indicado na figura.</p><p>a) A que distância de A, sobre a reta 𝐴𝑥, devemos colocar uma carga +𝑞 para que o potencial eletrostático</p><p>em 𝐴 seja nulo?</p><p>b) É este o único ponto do plano da figura em que a carga +𝑞 pode ser colocada para anular o potencial</p><p>em 𝐴? Justifique a resposta.</p><p>Comentários:</p><p>a) O potencial elétrico gerado pelas cargas −𝑞 em 𝐴 são dados por:</p><p>𝑉1 = 𝐾</p><p>(−𝑞)</p><p>𝑎</p><p>𝑒 𝑉2 = 𝐾</p><p>(−𝑞)</p><p>𝑎</p><p>𝑉1 + 𝑉2 = −2𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑎</p><p>Assim, devemos colocar uma carga +𝑞 a uma distância 𝑑 igual a:</p><p>𝑉𝐴 = 0</p><p>𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑑</p><p>− 2𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑎</p><p>= 0</p><p>∴ 𝑑 =</p><p>𝑎</p><p>2</p><p>b) Quando fomos encontrar a distância 𝑑 sobre a reta 𝐴𝑥 onde o potencial é nulo, nós não restringimos</p><p>apenas para pontos na reta 𝐴𝑥. Apenas colocamos a carga +𝑞 a uma distância 𝑑, pois dessa forma</p><p>garantimos que o potencial em 𝐴 será nulo.</p><p>Dessa forma, basta que a carga +𝑞 esteja a uma distância 𝑑 do ponto 𝐴 que o potencial em 𝐴 será</p><p>nulo. Em outras palavras, qualquer ponto da circunferência, com centro em 𝐴 e raio 𝑑 =</p><p>𝑎</p><p>2</p><p>, fará com que</p><p>a carga +𝑞 anule o potencial elétrico em 𝐴.</p><p>18</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Portanto, o ponto encontrado no item a) não é único. O lugar geométrico dos pontos onde</p><p>podemos colocar a carga +𝑞 para zerar o potencial em 𝐴 é uma circunferência centrada em 𝐴 e raio 𝑑 =</p><p>𝑎</p><p>2</p><p>.</p><p>1.9. As propriedades do potencial elétrico</p><p>Propriedade 1)</p><p>As linhas de força do campo elétrico orientam-se do maior para o menor potencial.</p><p>Figura 7: Linha de força de um campo elétrico qualquer.</p><p>Se desejarmos levar uma carga elétrica positiva 𝑞 > 0 de 1 para 2, sabemos que o trabalho</p><p>realizado pela força elétrica é positivo, pois a força elétrica tem a mesma direção do deslocamento:</p><p>𝜏1→2 = 𝑞. (𝑉1 − 𝑉2)</p><p>Como 𝜏1→2 > 0 e 𝑞 > 0, então 𝑉1 − 𝑉2 > 0, logo:</p><p>𝑉1 > 𝑉2</p><p>Tal fato é evidenciado claramente quando analisamos o potencial elétrico de uma carga</p><p>puntiforme 𝑄 > 0 que gera um campo elétrico:</p><p>Figura 8: Direção da força elétrica em uma carga positiva em uma linha de força.</p><p>Em cada ponto, sabemos que o potencial elétrico é dado por:</p><p>𝑉 = 𝐾</p><p>𝑄</p><p>𝑟</p><p>19</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Se pegarmos dois pontos (𝑃1 e 𝑃2), onde as distâncias à carga 𝑄 são 𝑑1 e 𝑑2, com 𝑑1 < 𝑑2, os</p><p>potenciais serão:</p><p>𝑉1 = 𝐾</p><p>𝑄</p><p>𝑑1</p><p>𝑒 𝑉2 = 𝐾</p><p>𝑄</p><p>𝑑2</p><p>Dado que 𝑑1 < 𝑑2 e 𝑄 > 0, portanto 𝑉1 > 𝑉2.</p><p>Propriedade 2)</p><p>As linhas de força de um campo elétrico não podem sair e retornar ao mesmo ponto, isto é, as</p><p>linhas de campo gerado por uma carga elétrica em repouso não podem ser linhas fechadas.</p><p>Podemos verificar essa propriedade utilizando a propriedade 1. Vamos provar por absurdo.</p><p>Imagine que exista uma linha de força fechada num campo eletrostático, ou seja, gerado por cargas</p><p>elétricas em repouso. Se tomarmos um ponto 𝑃 e percorrer no sentido da linha de força, de acordo com</p><p>a propriedade 1, os potenciais seriam cada vez menor que os anteriores.</p><p>Desse modo, quando retornamos ao ponto 𝑃 (a linha de força é fechada), o potencial em 𝑃 seria</p><p>menor que o inicial. Claramente, chegamos a um absurdo. Como o campo é eletrostático, ele é invariável</p><p>no tempo para aquele ponto, portanto, o potencial deveria ser o mesmo.</p><p>1.10. Superfícies equipotenciais</p><p>Chamamos de superfícies equipotenciais o lugar geométrico dos pontos que apresentam um</p><p>mesmo potencial elétrico.</p><p>Exemplo: seja a carga puntiforme 𝑞 > 0, em repouso, criando um campo elétrico, onde as linhas</p><p>de força são representadas na figura abaixo:</p><p>Figura 9: Campo elétrico de uma carga positiva tem direção radial, "saindo" da carga.</p><p>Dado que o potencial de uma carga puntiforme é dado por:</p><p>20</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑉 = 𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑟</p><p>Quando ponto do espaço a uma distância 𝑟1 bem definida terá o mesmo potencial. Em outras</p><p>palavras, criamos uma superfície esférica de centro em 𝑞 e raio 𝑟1. Nessa superfície, teremos o mesmo</p><p>potencial em todos os pontos.</p><p>Figura 10: Superfície esférica equipotencial a uma distância 𝒓𝟏.</p><p>Quando variamos a distância 𝑟 em relação à carga 𝑞, estamos criando várias superfícies esféricas</p><p>equipotenciais. Dizemos que geramos uma família de superfícies equipotenciais.</p><p>Figura 11: Família de superfícies equipotenciais.</p><p>21</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>1.10.1. As propriedades das superfícies equipotenciais</p><p>Propriedade 1)</p><p>Em uma superfície equipotencial, o trabalho da força elétrica ao longo de um deslocamento é</p><p>nulo.</p><p>Podemos verificar essa propriedade através da equação do trabalho da força elétrica:</p><p>𝜏𝐴→𝐵 = 𝑞. (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵)</p><p>Como estamos em uma superfície equipotencial, temos que 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵, portanto:</p><p>𝜏𝐴→𝐵 = 0</p><p>Propriedade 2)</p><p>As superfícies equipotenciais são ortogonais ao vetor �⃗⃗�.</p><p>Figura 12: Superfície equipotencial ortogonal ao vetor �⃗⃗⃗�.</p><p>Também podemos verificar essa propriedade por redução ao absurdo. Vamos supor que existe um</p><p>�⃗⃗�1 que não seja ortogonal à superfície equipotencial. Dessa forma, ele admitiria uma componente</p><p>tangencial na superfície equipotencial.</p><p>Então, quando uma carga elétrica se deslocar nessa superfície, haverá trabalho elétrico realizado</p><p>não-nulo. Tal fato é um absurdo, pois contraria a propriedade 1.</p><p>Exemplos de aplicações de superfícies equipotenciais perpendiculares as linhas de campo:</p><p>1. Campo elétrico uniforme:</p><p>Nesse caso, sabemos que as linhas de força constituem um feixe de retas paralelas e, portanto, as</p><p>superfícies equipotenciais são planos perpendiculares as retas.</p><p>22</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Figura 13: Linhas de campo perpendiculares</p><p>às superfícies equipotenciais.</p><p>2. Campo gerado por carga puntiforme:</p><p>Como visto, as linhas de força nesse caso são radiais para fora (𝑞 > 0), portanto, as superfícies</p><p>equipotenciais são superfícies esféricas centradas na carga geradora do campo.</p><p>Figura 14: Superfícies equipotenciais geradas por uma carga puntiforme positiva.</p><p>3. Dipolo elétrico:</p><p>Considere um conjunto formado por duas cargas elétricas de valores simétricos (+𝑞 e −𝑞),</p><p>formando um dipolo elétrico.</p><p>23</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Figura 15: Dipolo elétrico a uma distância 2d.</p><p>Se tomarmos qualquer ponto do espaço que equidista das cargas +𝑞 e −𝑞, ou seja, 𝑑+𝑞 = 𝑑−𝑞 =</p><p>𝑟, teremos um potencial nulo, pois:</p><p>𝑉+𝑞 = 𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑟</p><p>𝑒 𝑉−𝑞 = −𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑟</p><p>∴ 𝑉+𝑞 + 𝑉−𝑞 = 0</p><p>Figura 16: Plano onde o potencial elétrico das cargas é nulo.</p><p>Sabendo que as superfícies equipotenciais são ortogonais as linhas de campo, temos a seguinte</p><p>representação das equipotenciais para o dipolo elétrico.</p><p>24</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Figura 17: Representação das equipotenciais e linhas de campo para o dipolo elétrico.</p><p>O potencial gerado pelas cargas, quando deslocamos ao longo da reta que une as cargas, temos</p><p>que:</p><p>𝑉(𝑥) = 𝑉1 + 𝑉2 =</p><p>𝐾𝑞</p><p>𝑥</p><p>−</p><p>𝐾𝑞</p><p>2𝑑 − 𝑥</p><p>Se plotarmos o gráfico do potencial elétrico entre as cargas em função da distância, teríamos o</p><p>seguinte gráfico:</p><p>Figura 18: Potencial elétrico em função da distância para o dipolo elétrico.</p><p>6)</p><p>25</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>A figura representa algumas superfícies equipotenciais de um campo eletrostático e os valores dos</p><p>potenciais correspondentes.</p><p>a) Copie a figura, representando o vetor campo elétrico nos pontos a e b.</p><p>b) Qual é o trabalho realizado pela força elétrica para levar uma carga 𝑞, de 2 × 10–6𝐶, do ponto a ao</p><p>ponto b?</p><p>Comentários:</p><p>a) Sabemos que em cada ponto da superfície equipotencial, o vetor campo elétrico é perpendicular ao</p><p>plano tangente à superfície no ponto. Além disso, como visto em teoria orientamos o campo no sentido</p><p>decrescentes dos potenciais. Logo, a representação é dada por:</p><p>b) O trabalho realizado pela carga elétrica 𝑞 = 2 × 10–6𝐶, conhecendo os potenciais nos pontos desejado</p><p>é dado por:</p><p>𝜏𝑎→𝑏 = 𝑞. (𝑉𝑎 − 𝑉𝑏) = 2 × 10</p><p>–6𝐶. (20 − (−10)) = 6 × 10−5𝐽</p><p>7)</p><p>Qualquer que seja a situação física envolvendo campo elétrico e potencial elétrico, podemos afirmar que:</p><p>a) quando o campo elétrico for nulo num ponto, o potencial necessariamente também o será;</p><p>26</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>b) quando o campo elétrico for diferente de zero num ponto, o potencial necessariamente também o</p><p>será;</p><p>c) quando o campo elétrico for constante numa região, o potencial necessariamente também o será;</p><p>d) quando o campo elétrico for nulo numa região, o potencial será necessariamente constante nessa</p><p>região.</p><p>Comentários:</p><p>a) Incorreta. Se o campo elétrico é nulo, quer dizer que o potencial é constante, basta lembrarmos que</p><p>𝐸 = −</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑟</p><p>. O potencial é constante, mas não necessariamente nulo.</p><p>b) Incorreta. Basta pegarmos o exemplo do dipolo elétrico:</p><p>c) Incorreta. Basta lembrarmos do campo elétrico uniforme. O campo é invariante, mas os potenciais são</p><p>cada vez menores à medida que caminhamos no sentido das linhas de campo.</p><p>d) Correta. Essa alternativa corrige o texto escrito na alternativa a. Quando o campo é nulo, o potencial é</p><p>constante podendo ser nulo ou não.</p><p>8)</p><p>Na figura ao lado vemos uma pequena esfera metálica de carga 𝑞, presa à extremidade inferior de uma</p><p>haste de vidro e situada entre duas placas condutoras. A extremidade superior da haste está presa a uma</p><p>mola e todo o sistema pode oscilar verticalmente. A diferença de potencial entre as placas é 𝑉12. A mola</p><p>fica:</p><p>27</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>a) comprimida quando q < 0 e V1 2 < 0;</p><p>b) comprimida quando q = 0 e V1 2 > 0;</p><p>c) distendida quando q > 0 e V1 2 < 0;</p><p>d) nenhuma dessas.</p><p>Comentários:</p><p>a) Incorreta. Se 𝑉12 = 𝑉1 − 𝑉2 < 0, então 𝑉1 < 𝑉2 ou 𝑉2 > 𝑉1. Portanto, o campo elétrico está orientado</p><p>da placa 2 para a placa 1. Por isso, a força elétrica na carga 𝑞 < 0, estará orientada para baixo, portanto,</p><p>a mola está sendo alongada e não comprimida.</p><p>b) Incorreta. Se 𝑞 = 0, não existe força elétrica atuando na carga. Como é desconsiderado o efeito da</p><p>força peso, a mola não sofrerá ação de mais nenhuma força.</p><p>c) Incorreta. Semelhante ao item a, 𝑉2 > 𝑉1, campo orientado da placa 2 para a placa 1. Assim, quando</p><p>colocamos uma carga positiva entre as placas, a força elétrica está orientada para cima. Portanto, a mola</p><p>está sendo comprimida.</p><p>d) Correta. Nenhuma das anteriores estão corretas.</p><p>1.11. Espontaneidade e trabalho</p><p>Vamos analisar o trabalho e a espontaneidade para os dois tipos de cargas:</p><p>1. 𝒒 > 𝟎:</p><p>Podemos calcular o trabalho realizado pela força elétrica para ir de 𝐴 até 𝐵 da seguinte forma:</p><p>𝜏𝐴→𝐵 = 𝑞. (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵)</p><p>Se 𝑞 > 0, ao abandonarmos uma carga em 𝐴 e as linhas de força se orientam de 𝐴 para 𝐵, então</p><p>nosso 𝜏𝐴→𝐵 > 0. Portanto, 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 > 0, isto é, 𝑉𝐴 > 𝑉𝐵.</p><p>Podemos dizer que:</p><p>Cargas positivas tendem espontaneamente potenciais menores</p><p>28</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Se analisarmos em relação a energia potencial elétrica, lembramos que:</p><p>𝜏𝐴→𝐵 = (𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐴 − (𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐵 > 0</p><p>Portanto:</p><p>(𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐴 > (𝐸𝑝𝑜𝑡)𝐵</p><p>Podemos afirmar que:</p><p>Cargas positivas procuram minimizar a sua energia potencial.</p><p>Para onde vai essa energia, já que a energia apenas se transforma? Dado que o campo eletrostático</p><p>é conservativo, essa energia foi transformada em energia cinética. Assim, a carga sempre terá módulo</p><p>crescente e se movimento espontâneo é acelerado.</p><p>2. 𝒒 < 𝟎:</p><p>Se 𝑞 < 0 e 𝜏𝐴→𝐵 > 0, então 𝑉𝐴 < 𝑉𝐵. Em outras palavras:</p><p>Cargas elétricas negativas espontaneamente procuram potencial maiores.</p><p>2. Energia potencial eletrostática</p><p>Vimos que uma carga puntiforme 𝑞𝐴, em um ponto A, o potencial no ponto B a uma distância 𝑟𝐴,𝐵</p><p>é dado por:</p><p>𝑉𝐵 = 𝐾</p><p>𝑞𝐴</p><p>𝑟𝐴,𝐵</p><p>Se desejamos trazer uma carga puntiforme 𝑞𝐵 em repouso no infinito para o repouso no ponto B,</p><p>é necessário realizar um trabalho calculado por:</p><p>𝜏∞→𝐵 = 𝑞𝐵(𝑉∞ − 𝑉𝐵) = −𝑞𝐵. 𝑉𝐵</p><p>O trabalho realizado pela força elétrica é menos o trabalho realizado pelo operador para trazer a</p><p>carga do infinito e colocar no ponto 𝐵 em repouso. Então:</p><p>𝜏𝐵 = 𝑞𝐵. 𝑉𝐵 = 𝐾</p><p>𝑞𝐴. 𝑞𝐵</p><p>𝑟𝐴,𝐵</p><p>29</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Se desejarmos trazer uma terceira carga 𝑞𝐶, semelhante ao processo feito pela carga 𝑞𝐵, temos</p><p>que o trabalho para trazer a carga será:</p><p>𝜏𝐶 = 𝑞𝐶 . 𝑉𝐶</p><p>Mas o potencial em C é definido pelas cargas 𝑞𝐴 e 𝑞𝐵:</p><p>𝑉𝐶 = 𝐾</p><p>𝑞𝐴</p><p>𝑟𝐴,𝐶</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞𝐵</p><p>𝑟𝐵,𝐶</p><p>Portanto:</p><p>𝜏𝐶 = 𝐾</p><p>𝑞𝐴. 𝑞𝐶</p><p>𝑟𝐴,𝐶</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞𝐵. 𝑞𝐶</p><p>𝑟𝐵,𝐶</p><p>Assim, o trabalho total para definir a configuração das três cargas conforme fizemos é dado pela</p><p>soma dos trabalhos e isso corresponde a energia potencial eletrostática 𝐸𝑇 do sistema de três cargas</p><p>puntiformes:</p><p>𝐸𝑇 = 𝐾</p><p>𝑞𝐴. 𝑞𝐵</p><p>𝑟𝐴,𝐵</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞𝐴. 𝑞𝐶</p><p>𝑟𝐴,𝐶</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞𝐵. 𝑞𝐶</p><p>𝑟𝐵,𝐶</p><p>Note que o trabalho não depende da ordem com que trazemos as cargas do infinito para suas</p><p>respectivas posições finais. De um modo geral:</p><p>A energia potencial eletrostática de um sistema de cargas elétricas puntiformes é igual ao</p><p>trabalho para trazer as cargas do infinito para suas respectivas posições finais.</p><p>Podemos manipular algebricamente a equação de 𝐸𝑇 da seguinte forma:</p><p>𝐸𝑇 = 𝐾</p><p>𝑞𝐴. 𝑞𝐵</p><p>𝑟𝐴,𝐵</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞𝐴. 𝑞𝐶</p><p>𝑟𝐴,𝐶</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞𝐵. 𝑞𝐶</p><p>𝑟𝐵,𝐶</p><p>𝐸𝑇 =</p><p>1</p><p>2</p><p>[𝐾</p><p>𝑞𝐴. 𝑞𝐵</p><p>𝑟𝐴,𝐵</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞𝐴.</p><p>𝑞𝐶</p><p>𝑟𝐴,𝐶</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞𝐵. 𝑞𝐶</p><p>𝑟𝐵,𝐶</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞𝐴. 𝑞𝐵</p><p>𝑟𝐴,𝐵</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞𝐴. 𝑞𝐶</p><p>𝑟𝐴,𝐶</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞𝐵. 𝑞𝐶</p><p>𝑟𝐵,𝐶</p><p>]</p><p>𝐸𝑇 =</p><p>1</p><p>2</p><p>[𝑞𝐴 (𝐾</p><p>𝑞𝐵</p><p>𝑟𝐴,𝐵</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞𝐶</p><p>𝑟𝐴,𝐶</p><p>) + 𝑞𝐵 (𝐾</p><p>𝑞𝐶</p><p>𝑟𝐵,𝐶</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞𝐴</p><p>𝑟𝐴,𝐵</p><p>) + 𝑞𝐶 (𝐾</p><p>𝑞𝐴</p><p>𝑟𝐴,𝐶</p><p>+ 𝐾</p><p>𝑞𝐵</p><p>𝑟𝐵,𝐶</p><p>)]</p><p>𝐸𝑇 =</p><p>1</p><p>2</p><p>[𝑞𝐴. 𝑉𝐴 + 𝑞𝐵. 𝑉𝐵 + 𝑞𝐶 . 𝑉𝐶]</p><p>Este resultado mostra que para o caso de 𝑛 cargas, a energia potencial eletrostática é dada por:</p><p>𝐸𝑇 =</p><p>1</p><p>2</p><p>∑𝑞𝑖. 𝑉𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>30</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>9)</p><p>Um sistema formado por três cargas puntiformes iguais, colocadas em repouso nos vértices de um</p><p>triangulo equilátero, tem energia potencial eletrostática igual a 𝑈. Substitui-se uma das cargas por outra,</p><p>na mesma posição, mas com o dobro do valor. A energia potencial eletrostática do novo sistema será igual</p><p>a:</p><p>a)</p><p>4</p><p>3</p><p>𝑈 b)</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑈 c)</p><p>5</p><p>3</p><p>𝑈 d) 2𝑈 e)3𝑈</p><p>Comentários:</p><p>Podemos calcular a energia potencial eletrostática para o sistema, fazendo a soma de todas as</p><p>energias tomando as cargas em combinações 2 a 2, da seguinte forma:</p><p>𝑈 =</p><p>𝐾. 𝑞1. 𝑞2</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝐾. 𝑞1. 𝑞3</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝐾. 𝑞2. 𝑞3</p><p>𝑎</p><p>Em que 𝑎 é o lado do triângulo equilátero.</p><p>Como as cargas são iguais, a energia 𝑈 pode ser escrita como:</p><p>𝑈 =</p><p>3𝑘𝑞2</p><p>𝑎</p><p>Se uma das cargas dobra de valor, por exemplo a carga 𝑞1 passa a ser 2𝑞, então temos a nova</p><p>energia potencial eletrostática dada por:</p><p>𝑈′ =</p><p>𝐾. 𝑞′1. 𝑞2</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝐾. 𝑞′1. 𝑞3</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝐾. 𝑞2. 𝑞3</p><p>𝑎</p><p>𝑈′ =</p><p>𝐾. 2𝑞. 𝑞</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝐾. 2𝑞. 𝑞</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>𝐾. 𝑞. 𝑞</p><p>𝑎</p><p>𝑈′ =</p><p>5𝐾𝑞2</p><p>𝑎</p><p>Fazendo</p><p>𝑈′</p><p>𝑈</p><p>, vem:</p><p>𝑈′</p><p>𝑈</p><p>=</p><p>5𝐾𝑞2</p><p>𝑎</p><p>3𝐾𝑞2</p><p>𝑎</p><p>∴ 𝑈′ =</p><p>5</p><p>3</p><p>𝑈</p><p>Gabarito: C</p><p>10)</p><p>31</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Considere três partículas de mesma massa 𝑀, eletricamente carregadas e dispostas no plano 𝑋 − 𝑌, como</p><p>mostra a figura.</p><p>Duas delas, ambas com carga positiva +𝑄, estão fixadas, uma na posição (−3,0) e a outra na posição</p><p>(3,0). A terceira, de carga negativa −𝑄 e originalmente na posição (0,4), quando abandonada desloca-se</p><p>ao longo do eixo 𝑌 devido à ação das partículas fixas, positivamente carregadas. Sabendo que |+𝑄| =</p><p>|−𝑄| = 5 × 10−6𝐶, 𝑀 = 1,2 × 10−3𝑘𝑔 e 𝐾0 = 9 × 10</p><p>9𝑁𝑚2/𝐶2, determine o módulo da velocidade, em</p><p>𝑚/𝑠, com a qual a partícula de carga −𝑄 passa pela origem (0,0). Despreze atritos e efeitos de forças</p><p>gravitacionais.</p><p>Comentários:</p><p>Devido ao fato de somente agir no corpo a força elétrica e sabendo que essa força e conservativa,</p><p>podemos utilizar o teorema da enérgica cinética.</p><p>𝜏𝐹𝑅𝑒𝑠 = Δ𝐸𝑐</p><p>Como a resultante é a força elétrica, temos que:</p><p>𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒 = (−𝑄). (𝑉(0,4) − 𝑉(0,0))</p><p>Os potenciais nos pontos (0,4) e (0,0) são dados por:</p><p>𝑉(0,4) = 𝐾0</p><p>𝑄</p><p>√(−3 − 0)2 + (0 − 4)2</p><p>+ 𝐾0</p><p>𝑄</p><p>√(3 − 0)2 + (0 − 4)2</p><p>𝑉(0,4) = 2.9 × 10</p><p>9.</p><p>5 × 10−6</p><p>5</p><p>= 18 × 103𝑉</p><p>𝑉(0,0) = 2.9 × 10</p><p>9.</p><p>5 × 10−6</p><p>3</p><p>= 30 × 103𝑉</p><p>Portanto, utilizando o teorema, lembrando que a carga é abandonada no ponto (0,4), temos:</p><p>(−5 × 10−6). (18 × 103 − 30 × 103) =</p><p>1</p><p>2</p><p>. 1,2 × 10−3. 𝑣2</p><p>𝑣2 = 100</p><p>32</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>∴ 𝑣 = 10 𝑚/𝑠</p><p>11) (E. Naval)</p><p>𝐴, 𝐵 e 𝐶 são os vértices de um triângulo equilátero de 3 metros de lado e 𝐷 é o ponto médio do lado 𝐵𝐶.</p><p>Em cada um dos vértices 𝐵 e 𝐶 há uma carga elétrica puntiforme, positiva, fixa, de 1,0 nanocoulomb</p><p>(1 𝑛𝑎𝑛𝑜 = 10−9). Uma terceira carga, puntiforme, positiva, de 1,0 nanocoulomb é lançada, com energia</p><p>cinética de 10 nanojoules, do vértice 𝐴 em direção ao ponto 𝐷. Considerando que a constante</p><p>eletrostática do meio (vácuo) seja 9 × 109 uSI e que as únicas forças atuantes na carga móvel sejam as</p><p>decorrentes da interação elétrica com as duas cargas fixas mencionadas, a energia cinética da carga</p><p>móvel, em nanojoules, ao passar pelo ponto 𝐷 é:</p><p>a) 0 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16</p><p>Comentários:</p><p>Vamos construir uma figura que representa a disposição física das cargas:</p><p>Novamente, devido ao fato de as forças atuantes serem apenas da interação elétrica, podemos</p><p>utilizar o teorema da energia cinética:</p><p>𝜏𝐹𝑟𝑒𝑠 = Δ𝐸𝑐</p><p>⇒ 𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒 = (𝐸𝑐)𝐷 − (𝐸𝑐)𝐴</p><p>𝑞. (𝑉𝐴 − 𝑉𝐷) = (𝐸𝑐)𝐷 − (𝐸𝑐)𝐴</p><p>Calculamos os potenciais em 𝐴 e em 𝐷 pela expressão:</p><p>𝑉𝐴 = 𝐾0</p><p>𝑞𝐵</p><p>𝑑</p><p>+ 𝐾0</p><p>𝑞𝐶</p><p>𝑑</p><p>=</p><p>9 × 109. 2 × 10−9</p><p>3</p><p>= 6 𝑉</p><p>𝑉𝐷 = 𝐾0</p><p>𝑞𝐵</p><p>𝑑</p><p>2</p><p>+ 𝐾0</p><p>𝑞𝐶</p><p>𝑑</p><p>2</p><p>= 2 (𝐾0</p><p>𝑞𝐵</p><p>𝑑</p><p>+ 𝐾0</p><p>𝑞𝐶</p><p>𝑑</p><p>) = 2𝑉𝐴 = 12 𝑉</p><p>Logo, a energia cinética no ponto 𝐷, em nanojoules (𝑛𝐽), é de:</p><p>(𝐸𝑐)𝐷 = 𝑞. (𝑉𝐴 − 𝑉𝐷) + (𝐸𝑐)𝐴</p><p>(𝐸𝑐)𝐷 = 1 × 10</p><p>−9(6 − 12) + 10 × 10−9</p><p>33</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>(𝐸𝑐)𝐷 = 4 × 10</p><p>−9</p><p>∴ (𝐸𝑐)𝐷 = 4 𝑛𝐽</p><p>Gabarito: B</p><p>3. Potencial elétrico de condutor carregado e em equilíbrio</p><p>eletrostático</p><p>Devido ao fato de não haver movimento de cargas no condutor em equilíbrio eletrostático,</p><p>podemos afirmar que não existe diferença de potencial em quaisquer dois pontos. De outra forma,</p><p>dizemos que o potencial elétrico é o mesmo em todos os seus pontos internos ou da superfície.</p><p>Figura 19: Propriedades de um condutor em equilíbrio eletrostático.</p><p>Além disso, quando todos os pontos da superfície do condutor possuem o mesmo potencial,</p><p>dizemos que ela é uma superfície equipotencial e, conforme vimos, o campo elétrico é ortogonal a</p><p>equipotencial, ou seja, �⃗⃗�𝑡 = 0⃗⃗.</p><p>12)</p><p>Considere uma pequena esfera metálica de raio 𝑟 carregado com carga +𝑞. Uma outra esfera metálica de</p><p>raio 𝑅, tal que 𝑅 > 𝑟, inicialmente neutra. Coloca-se a esfera menor no interior da esfera maior por um</p><p>orifício, sem que ache contato entre as esferas. Em seguida, faz-se o contato da esfera menor com o</p><p>interior da casca da esfera maior. Em seguida, retira-se a esfera menor de dentro da outra, sem haver</p><p>qualquer outro contato. Determine as cargas finais de cada esfera.</p><p>34</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Comentários:</p><p>Quando colocamos a esfera menor em contato com o interior da esfera maior, os dois corpos</p><p>passam a ser apenas um.</p><p>Dessa forma, a carga tende a se distribuir na superfície da esfera maior, que envolve todo o</p><p>conjunto. Após a retirada da esfera menor, temos que a esfera menor se tornará neutra, já que seu</p><p>excesso de cargas foi transferido para a superfície externa da esfera maior.</p><p>Portanto:</p><p>𝑞𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 0 e 𝑞𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = +𝑞</p><p>Notamos aqui um processo para neutralização de cargas.</p><p>3.1. Potencial de um condutor esférico</p><p>Vimos anteriormente que o campo elétrico de um condutor esférico para regiões externas, isto é,</p><p>pontos fora da esfera, tudo se passa como se o campo fosse gerado por uma carga puntiforme colocada</p><p>no centro da esfera. Dessa forma, para pontos exteriores da esfera ocorrerá o mesmo para o potencial,</p><p>ou seja:</p><p>𝑉𝑃 = 𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑟</p><p>Figura 20: Potencial elétrico de um condutor esférico em função da distância ao centro dela.</p><p>Pode-se demonstrar que para pontos na superfície do condutor, o potencial é dado por:</p><p>𝑉𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = 𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑅</p><p>35</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Como vimos agora a pouco, o potencial é o mesmo em qualquer ponto da esfera, portanto:</p><p>𝑉𝑒𝑠𝑓 = 𝑉𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = 𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑅</p><p>Assim, temos os seguintes gráficos para os potenciais das esferas condutoras em função da</p><p>distância:</p><p>Figura 21: Potencial elétrico de um condutor esférico carregado com carga elétrica positiva em função da distância.</p><p>Figura 22: Potencial elétrico de um condutor esférico carregado com carga elétrica negativa em função da distância.</p><p>Embora tenhamos tirados conclusões para um condutor carregado, isolado e em equilíbrio</p><p>eletrostático, podemos tomar como validas para cargas uniformemente distribuídas em uma superfície</p><p>esférica qualquer, ainda que a superfície externa seja de um material isolante.</p><p>Não podemos esquecer que o</p><p>campo elétrico de condutor carregado e em equilíbrio eletrostático</p><p>é dado por:</p><p>36</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Figura 23: Campo elétrico em função da distância de um condutor carregado e em equilíbrio eletrostático.</p><p>3.2. O potencial da Terra</p><p>A Terra pode ser considerada um grande condutor esférico negativamente eletrizada com carga</p><p>próxima de -580 000 C. Como seu raio é em torno de 6400 km, se considerada isolada no universo, o</p><p>potencial elétrico da Terra é próximo de:</p><p>𝑉𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 = 9 ×</p><p>109(−580 × 103)</p><p>6400 × 103</p><p>≅ −8 × 108 𝑉</p><p>Valor este calculado tomando como referencial o infinito.</p><p>Contudo, outros corpos celestes vizinhos influenciam no potencial elétrico resultante na Terra.</p><p>Com isso, os efeitos nas cargas elétricas devido a fatores humanos são praticamente desprezíveis sobre o</p><p>potencial da Terra.</p><p>Dessa forma, podemos considerar a Terra com um potencial invariável e, assim, comporta-se como</p><p>um referencial de potencial para o homem. Por exemplo, em um laboratório, se dizermos que um corpo</p><p>tem potencial de +5000 V em relação à Terra, estamos falando que ele tem 5000 V a mais que a Terra.</p><p>Quando ligamos à Terra um condutor carregado negativamente, notamos que haverá fluxo de</p><p>elétrons do condutor para a Terra, até o momento em que se anule a carga elétrica do corpo. Como visto</p><p>anteriormente, os elétrons procuram, espontaneamente, potenciais maiores.</p><p>37</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Figura 24: Carga negativa ligada à Terra.</p><p>No momento em que o condutor se neutralizar, seu potencial será o mesmo que o da Terra.</p><p>Em contrapartida, quando ligamos à Terra um condutor carregado positivamente, notamos que</p><p>haverá fluxo de elétrons da Terra para o condutor, até o momento em que se anule a carga elétrica do</p><p>corpo. Novamente, os elétrons (cargas negativas) procuram, espontaneamente, potenciais maiores.</p><p>Figura 25: Carga positiva ligada à Terra.</p><p>Da mesma forma, quando o condutor se neutralizar, seu potencial será o mesmo que o da Terra.</p><p>Sendo assim, é muito importante para o homem usar ligações à Terra para descarregar os corpos.</p><p>Utilizamos esse artificio para descarregar corpos que foram atingidos por raios, por exemplo. Em vias de</p><p>regra, sempre que ligamos um corpo metálico à Terra, asseguramos que o seu potencial elétrico se anule.</p><p>3.3. Aplicação do uso de Potenciais para Condutores em Equilíbrio</p><p>Eletrostático</p><p>Vamos considerar dois corpos 𝐴 e 𝐵 isolados, eletrizados com cargas 𝑄𝐴 e 𝑄𝐵, com os potenciais</p><p>𝑉𝐴 e 𝑉𝐵, bem distantes uma da outra.</p><p>38</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Figura 26: Corpos com formatos quaisquer com suas respectivas cargas e potenciais elétricos.</p><p>Se considerarmos 𝑉𝐴 > 𝑉𝐵, e conectarmos os dois corpos, por causa da diferença de potencial,</p><p>haverá um fluxo de elétrons de 𝐵 para 𝐴 (elétrons, que são cargas negativas, procuram potenciais</p><p>maiores).</p><p>Dessa forma, o corpo 𝐵 vai perdendo seus elétrons e sua carga está aumentando, logo seu</p><p>potencial está aumentando. Em contrapartida, ao receber elétrons, o corpo 𝐴 tem sua carga diminuída e,</p><p>portanto, seu potencial está diminuindo.</p><p>Essa movimentação de cargas ocorre até que ambos tenham o mesmo potencial 𝑉𝑒𝑞.</p><p>Figura 27: Contato elétrico entre as duas cargas.</p><p>De acordo com o Princípio da Conservação das Cargas, podemos escrever que:</p><p>𝑄𝐴 +𝑄𝐵 = 𝑄𝐴</p><p>′ + 𝑄𝐵</p><p>′ + 𝑄𝑓𝑖𝑜</p><p>Quando utilizamos um fio muito fino, a quantidade de cargas armazenadas nele é praticamente</p><p>nula (estudaremos o conceito de capacitância mais para frente), isto é, 𝑄𝑓𝑖𝑜 ≅ 0 e chegamos que:</p><p>𝑄𝐴 + 𝑄𝐵 = 𝑄𝐴</p><p>′ + 𝑄𝐵</p><p>′</p><p>Vamos particularizar nosso estudo para o caso de condutores esféricos. Sejam 𝐴 e 𝐵 dois</p><p>condutores esféricos de raios 𝑟𝐴 e 𝑟𝐵. Se ambos estão inicialmente carregados com cargas 𝑄𝐴 e 𝑄𝐵,</p><p>respectivamente, quando colocados em contato por um fio muito fino, podemos determinar o potencial</p><p>equivalente e as cargas finais de cada corpo da seguinte forma:</p><p>𝑉𝐴 = 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑟𝐴</p><p>𝑒 𝑉𝐵 = 𝐾</p><p>𝑄𝐵</p><p>𝑟𝐵</p><p>Pelo Princípio da Conservação das Cargas, temos que:</p><p>𝑄𝐴 + 𝑄𝐵 = 𝑄𝐴</p><p>′ + 𝑄𝐵</p><p>′</p><p>⇒ 𝑄𝐴 + 𝑄𝐵 =</p><p>𝑉𝑒𝑞. 𝑟𝐴</p><p>𝐾</p><p>+</p><p>𝑉𝑒𝑞. 𝑟𝐵</p><p>𝐾</p><p>39</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑉𝑒𝑞 = 𝐾 (</p><p>𝑄𝐴 + 𝑄𝐵</p><p>𝑟𝐴 + 𝑟𝐵</p><p>)</p><p>Ou ainda em função dos potenciais 𝑉𝐴 e 𝑉𝐵:</p><p>𝑄𝐴 + 𝑄𝐵 = 𝑄𝐴</p><p>′ + 𝑄𝐵</p><p>′</p><p>⇒</p><p>𝑉𝐴. 𝑟𝐴</p><p>𝐾</p><p>+</p><p>𝑉𝐵. 𝑟𝐵</p><p>𝐾</p><p>=</p><p>𝑉𝑒𝑞. 𝑟𝐴</p><p>𝐾</p><p>+</p><p>𝑉𝑒𝑞. 𝑟𝐵</p><p>𝐾</p><p>𝑉𝑒𝑞 =</p><p>𝑉𝐴. 𝑟𝐴 + 𝑉𝐵. 𝑟𝐵</p><p>𝑟𝐴 + 𝑟𝐵</p><p>Notamos que o potencial no equilíbrio eletrostático é a média ponderada dos potenciais, tendo</p><p>como peso os raios dos condutores esféricos.</p><p>As novas cargas são dadas em função das iniciais da seguinte forma:</p><p>𝑄𝐴</p><p>′ =</p><p>𝑉𝑒𝑞 . 𝑟𝐴</p><p>𝐾</p><p>=</p><p>𝐾</p><p>(𝑄𝐴 + 𝑄𝐵)</p><p>(𝑟𝐴 + 𝑟𝐵)</p><p>𝑟𝐴</p><p>𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>′ = 𝑟𝐴 (</p><p>𝑄𝐴 + 𝑄𝐵</p><p>𝑟𝐴 + 𝑟𝐵</p><p>)</p><p>Analogamente, a carga final de 𝐵 será:</p><p>𝑄𝐵</p><p>′ = 𝑟𝐵 (</p><p>𝑄𝐴 + 𝑄𝐵</p><p>𝑟𝐴 + 𝑟𝐵</p><p>)</p><p>Observe que se considerarmos (</p><p>𝑄𝐴+𝑄𝐵</p><p>𝑟𝐴+𝑟𝐵</p><p>) = 𝑐, podemos dizer que as cargas são proporcionais aos</p><p>seus raios.</p><p>Caso tenhamos 𝑛 esferas, teremos que:</p><p>𝑉𝑒𝑞 =</p><p>𝑉1𝑟1 + 𝑉2𝑟2 +⋯+ 𝑉𝑛𝑟𝑛</p><p>𝑟1 + 𝑟2 +⋯+ 𝑟𝑛</p><p>𝑄𝑖</p><p>′ = 𝑟𝑖 (</p><p>𝑄1 + 𝑄2 +⋯+ 𝑄𝑛</p><p>𝑟1 + 𝑟2 +⋯+ 𝑟𝑛</p><p>)</p><p>13)</p><p>40</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Duas esferas condutoras A e B distantes possuem o mesmo raio 𝑅 e estão carregadas com cargas 𝑄𝐴 =</p><p>−𝑞 e 𝑄𝐵 = +2𝑞, respectivamente. Uma terceira esfera condutora C, de mesmo raio 𝑅 porém</p><p>descarregada, é trazida desde longe e é levada a tocar primeiramente a esfera A, depois a esfera B e em</p><p>seguida é levada novamente para longe.</p><p>a) qual é a diferença de potencial entre as esferas A e B antes de a esfera C tocá-las?</p><p>b) qual é a carga final da esfera C?</p><p>Comentários:</p><p>a) antes do contato, os potenciais são:</p><p>𝑉𝐴 = 𝐾</p><p>𝑞𝐴</p><p>𝑟𝐴</p><p>= −𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑅</p><p>e 𝑉𝐵 = 𝐾</p><p>𝑞𝐵</p><p>𝑟𝐵</p><p>= +2𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑅</p><p>Portanto, a diferença de potencial 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 é de:</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = −𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑅</p><p>− 2𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑅</p><p>= −3𝐾</p><p>𝑞</p><p>𝑅</p><p>b) carga da esfera C quando entra em contato com a esfera A:</p><p>𝑄𝐶</p><p>′ = 𝑅𝐶 (</p><p>𝑄𝐴 + 𝑄𝐶</p><p>𝑅𝐴 + 𝑅𝐶</p><p>) = 𝑅 (</p><p>−𝑞 + 0</p><p>𝑅 + 𝑅</p><p>) = −</p><p>𝑞</p><p>2</p><p>Esfera C carregada com carga −</p><p>𝑞</p><p>2</p><p>, colocada em contato com B:</p><p>(𝑄𝐶)𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑅𝐶 (</p><p>𝑄𝐶</p><p>′ + 𝑄𝐵</p><p>𝑅𝐶 + 𝑅𝐵</p><p>) = 𝑅(</p><p>−</p><p>𝑞</p><p>2 + 2𝑞</p><p>𝑅 + 𝑅</p><p>) =</p><p>3</p><p>4</p><p>𝑞</p><p>14)</p><p>O sistema de condutores perfeitos da figura consta de duas esferas de raios 𝑟1 = 𝑎 e 𝑟2 = 2𝑎, interligados</p><p>por um fio condutor de capacidade nula. Quando o sistema é eletrizado com carga positiva 𝑄, após o</p><p>equilíbrio eletrostático ser alcançado, o condutor de raio 𝑟1 apresenta densidade superficial de carga 𝜎1 e</p><p>o de raio 𝑟2 apresenta densidade superficial de carga 𝜎2. Nessa situação, a relação 𝜎1/𝜎2 vale:</p><p>a) zero b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0</p><p>Comentários:</p><p>Os dois condutores possuem o mesmo potencial após o equilíbrio eletrostático:</p><p>𝑉1 = 𝑉2</p><p>41</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>⇒ 𝐾</p><p>𝑄1</p><p>𝑟1</p><p>= 𝐾</p><p>𝑄2</p><p>𝑟2</p><p>⇒</p><p>𝑄1</p><p>𝑄2</p><p>=</p><p>𝑟1</p><p>𝑟2</p><p>As densidades superficiais de carga são dadas por:</p><p>𝜎1 =</p><p>𝑄1</p><p>4𝜋𝑟1</p><p>2 𝑒 𝜎2 =</p><p>𝑄2</p><p>4𝜋𝑟2</p><p>2</p><p>Portanto:</p><p>𝜎1</p><p>𝜎2</p><p>=</p><p>𝑄1</p><p>4𝜋𝑟1</p><p>2</p><p>𝑄2</p><p>4𝜋𝑟2</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑄1 ∙ 𝑟2</p><p>2</p><p>𝑄2 ∙ 𝑟1</p><p>2</p><p>Mas como</p><p>𝑄1</p><p>𝑄2</p><p>=</p><p>𝑟1</p><p>𝑟2</p><p>, então:</p><p>𝜎1</p><p>𝜎2</p><p>=</p><p>𝑟1 ∙ 𝑟2</p><p>2</p><p>𝑟2 ∙ 𝑟1</p><p>2</p><p>∴</p><p>𝜎1</p><p>𝜎2</p><p>=</p><p>𝑟2</p><p>𝑟1</p><p>Com isso, vemos que se 𝑟2 > 𝑟1, a esfera de raio menor possui maior densidade de cargas.</p><p>Este fato evidencia nosso resultado acerca do poder das pontas:</p><p>Se tomarmos um condutor não esférico, as cargas em excesso concentram-se mais nas regiões de</p><p>menores raios de curvatura.</p><p>Para o nosso caso, 𝑟1 = 𝑎 e 𝑟2 = 2𝑎, logo:</p><p>𝜎1</p><p>𝜎2</p><p>=</p><p>𝑟2</p><p>𝑟1</p><p>=</p><p>2𝑎</p><p>𝑎</p><p>∴</p><p>𝜎1</p><p>𝜎2</p><p>= 2</p><p>Gabarito: E</p><p>14) (IME – RJ)</p><p>Uma esfera de plástico, maciça, é eletrizada, ficando com uma densidade de carga superficial igual a</p><p>+0,05 𝐶/𝑚2.</p><p>Em consequência, se uma carga puntiforme 𝑞 = +1𝜇𝐶 fosse colocada exteriormente a 3</p><p>metros do centro da esfera, sofreria repulsão de intensidade 𝐹 = 0,02𝜋 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠. A esfera é</p><p>descarregada e cai livremente de uma altura de 750 m, adquirindo, ao fim da queda, uma energia cinética</p><p>de 0,009 𝜋 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠. Sabendo que 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2, calcule a massa específica do plástico da esfera.</p><p>Comentários:</p><p>Dado que a densidade superficial da esfera é dada por:</p><p>42</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝜎 =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝑅2</p><p>A carga é expressa por:</p><p>𝑄 = 4𝜋𝑅2 ∙ 𝜎</p><p>A força entre a carga e a esfera é dada por:</p><p>𝐹 = 𝐾</p><p>𝑄𝑞</p><p>𝑑2</p><p>Com isso, podemos calcular o raio da esfera:</p><p>0,02𝜋 = 9 × 109</p><p>(4𝜋𝑅2 ∙ 0,05)(1 × 10−6)</p><p>32</p><p>⇒ 𝑅 = 10−2𝑚</p><p>Na segunda parte do problema, quando a esfera é descarregada e cai livremente, temos um novo</p><p>problema de energia. Quando a esfera está caindo, ela está transformando energia potencial gravitacional</p><p>em energia cinética. Considerando a conservação da energia mecânica, já que não foi mencionado</p><p>nenhuma força dissipativa, temos que:</p><p>𝐸𝑃 = 𝐸𝐶</p><p>𝑚𝑔ℎ = 0,009𝜋 ⇒ 𝑚 =</p><p>0,009𝜋</p><p>10 ⋅ 750</p><p>𝑘𝑔</p><p>Vamos deixar as contas para o final. Portanto, a massa específica da esfera de plástico é de:</p><p>𝜌 =</p><p>𝑚</p><p>𝑉</p><p>=</p><p>0,009𝜋</p><p>10 ⋅ 750</p><p>4</p><p>3𝜋𝑅</p><p>3</p><p>𝜌 = 0,9𝑘𝑔/𝑚3</p><p>3.4. Aplicação do potencial elétrico na indução total</p><p>A indução total ocorre quando todas as linhas de força que partem de um corpo carregado chegam</p><p>a um outro corpo. Como exemplo, temos dois corpos carregados na qual um deles envolve</p><p>completamente o outro, como visto abaixo:</p><p>43</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Figura 28: Indução total.</p><p>Como já vimos anteriormente, a carga do corpo interno provocará a separação das cargas da casca</p><p>condutora, de tal forma que a superfície interna terá carga −𝑄𝑖𝑛𝑑 e na externa uma carga +𝑄𝑖𝑛𝑑, mas</p><p>sabemos que:</p><p>𝑄 = +𝑄𝑖𝑛𝑑 = −(−𝑄𝑖𝑛𝑑)</p><p>Vamos estudar o potencial em função da distância para o seguinte sistema:</p><p>Figura 29: Cálculo do potencial em função da distância de uma carga dentro de uma casca esférica.</p><p>Considere uma esfera 𝐴 tem carga 𝑄𝐴 e uma casca esférica B tem carga 𝑄𝐵. De acordo com a</p><p>indução total, a superfície interna da casca B terá carga −𝑄𝐴 e a superfície externa carga 𝑄𝐴 + 𝑄𝐵, pois</p><p>sabemos que a carga total da casca 𝐵 deve permanecer 𝑄𝐵.</p><p>Vamos determinar o potencial nos seguintes pontos 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 e 𝑃4, utilizando o Princípio da</p><p>Superposição, vamos adotar três esferas tais que:</p><p>44</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Figura 30: Princípio da superposição para determinação do potencial em função da distância.</p><p>O ponto 𝑃1 é interior as três esferas, portanto, o potencial nele é a soma dos potenciais constantes</p><p>nas três esferas adotadas:</p><p>𝑉𝑃1(𝑟 ≤ 𝑅𝐴) = 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎1 + 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎2 + 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎3</p><p>𝑉𝑃1(𝑟 ≤ 𝑅𝐴) = 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑅𝐴</p><p>+ (−𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑅1</p><p>) + (𝐾</p><p>𝑄𝐴 + 𝑄𝐵</p><p>𝑅𝐵</p><p>)</p><p>𝑉𝑃1 = 𝐾(𝑄𝐴</p><p>(𝑅1 − 𝑅𝐴)</p><p>𝑅1𝑅𝐴</p><p>) + (𝐾</p><p>𝑄𝐴 + 𝑄𝐵</p><p>𝑅𝐵</p><p>)</p><p>Como esperado, o potencial no interior do condutor A é constante. O ponto 𝑃2 é externo a esfera</p><p>1 e interior as outras, logo:</p><p>𝑉𝑃2(𝑅𝐴 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅1) = 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑟</p><p>− 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑅1</p><p>+ 𝐾</p><p>(𝑄𝐴 + 𝑄𝐵)</p><p>𝑅2</p><p>𝑉𝑃2 = 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑟</p><p>− 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑅1</p><p>+ 𝐾</p><p>(𝑄𝐴 + 𝑄𝐵)</p><p>𝑅𝐵</p><p>O ponto 𝑃3 é externo a esfera 1 e a esfera 2, então:</p><p>𝑉𝑃3(𝑅1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅𝐵) = 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑟</p><p>− 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑟</p><p>+ 𝐾</p><p>(𝑄𝐴 + 𝑄𝐵)</p><p>𝑅𝐵</p><p>𝑉𝑃3 = 𝐾</p><p>(𝑄𝐴 + 𝑄𝐵)</p><p>𝑅𝐵</p><p>No ponto 𝑃4 , ponto fora do conjunto, o potencial é expresso por:</p><p>𝑉𝑃4(𝑟 ≥ 𝑅𝐵) = 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑟</p><p>− 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑟</p><p>+ 𝐾</p><p>(𝑄𝐴 + 𝑄𝐵)</p><p>𝑟</p><p>45</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑉𝑃4 = 𝐾</p><p>(𝑄𝐴 + 𝑄𝐵)</p><p>𝑟</p><p>Graficamente, podemos expressar o potencial em função da distância:</p><p>Figura 31: Gráfico do potencial em função da distância.</p><p>Vale a pena lembrar que o campo elétrico na direção radial é dado por 𝐸 = −</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑟</p><p>e a</p><p>descontinuidade na superfície do condutor. Assim, temos o campo elétrico em cada região:</p><p>a) 𝑟 < 𝑅𝐴:</p><p>(�⃗⃗�𝑖𝑛𝑡)𝐴 = 0⃗⃗</p><p>Para um ponto muito próximo da superfície de A, temos que:</p><p>𝐸 = 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑅𝐴</p><p>2</p><p>Logo, na superfície do condutor A (𝑟 = 𝑅𝐴), o campo é dado por:</p><p>𝐸𝑠𝑢𝑝 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐸𝑝𝑟𝑜𝑥 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑅𝐴</p><p>2</p><p>b) 𝑅𝐴 < 𝑟 < 𝑅1</p><p>𝐸 = 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑟2</p><p>Para um ponto muito próximo da superfície interna de B, temos que:</p><p>𝐸 = 𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑅1</p><p>2</p><p>Logo, na superfície interna do condutor B (𝑟 = 𝑅1), o campo é dado por:</p><p>𝐸𝑠𝑢𝑝 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐸𝑝𝑟𝑜𝑥 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐾</p><p>𝑄𝐴</p><p>𝑅1</p><p>2</p><p>46</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>c) 𝑅1 < 𝑟 < 𝑅𝐵:</p><p>(�⃗⃗�𝑖𝑛𝑡)𝐵 = 0⃗⃗</p><p>Para um ponto muito próximo da superfície externa de B, temos que:</p><p>𝐸 = 𝐾</p><p>𝑄𝐴 + 𝑄𝐵</p><p>𝑅𝐵</p><p>2</p><p>Logo, na superfície externa do condutor B (𝑟 = 𝑅𝐵), o campo é dado por:</p><p>𝐸𝑠𝑢𝑝 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐸𝑝𝑟𝑜𝑥 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐾</p><p>𝑄𝐴 + 𝑄𝐵</p><p>𝑅𝐵</p><p>2</p><p>d) 𝑟 > 𝑅𝐵:</p><p>Para pontos externos da casca esférica B, tudo se passa como existisse uma carga puntiforme 𝑄𝐴 +</p><p>𝑄𝐵 no centro das esferas. Portanto:</p><p>𝐸 = 𝐾</p><p>(𝑄𝐴 + 𝑄𝐵)</p><p>𝑟</p><p>Portanto, o gráfico é dado por:</p><p>Figura 32: Gráfico do campo elétrico em função da distância.</p><p>47</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Vamos estudar agora um problema que pode vir a cair na prova do ITA ou parte dele. Trata-se de</p><p>um problema clássico.</p><p>Considere uma esfera isolante carregada com uma carga 𝑄 positiva. Nessa esfera, existe uma</p><p>cavidade bem pequena, na qual existe uma carga elétrica negativa −𝑞 (𝑞 > 0), massa 𝑚, que é lançada</p><p>com uma velocidade 𝑣, como mostra a figura:</p><p>Figura 33: Carga sendo lançada do interior de uma cavidade carregada.</p><p>Qual deve ser a mínima velocidade para que a carga −𝑞 consiga escapar da esfera?</p><p>Para resolver esse problema, vamos usar o conceito de energia. Pelo teorema da energia cinética,</p><p>temos que:</p><p>(𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒)𝑃→∞</p><p>= Δ𝐸𝑐 ⇒ −𝑞(𝑉𝑃 − 𝑉∞) =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣∞</p><p>2 −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2</p><p>No infinito, temos que o potencial é nulo e dada a condiçao de velocidade mínima que desejamos,</p><p>a carga deve chegar no infinito com velocidade praticamente nula, portanto:</p><p>𝑞. 𝑉𝑃 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2 ⇒ 𝑣 = √</p><p>2. 𝑞. 𝑉𝑃</p><p>𝑚</p><p>Com isso, nosso problema agora passou a ser encontrar o potencial elétrico no ponto 𝑃.</p><p>48</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>(𝐸𝑀)𝑃 = (𝐸𝑀)∞</p><p>Para isso, vamos lembrar como é o gráfico do campo eletrico de uma esfera isolante:</p><p>Figura 34: Gráfico da esfera isolante carregada.</p><p>Portanto, a área sombreada corresponde ao potencial elétrico. Logo:</p><p>𝑉𝑃 =</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑅</p><p>+ á𝑟𝑒𝑎 𝐴</p><p>A área 𝐴 é a area de um trapézio (𝐴 = (</p><p>𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟+𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟</p><p>2</p><p>) . 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎), logo:</p><p>𝑉𝑃 =</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑅</p><p>+ (</p><p>𝐾𝑄</p><p>𝑅2</p><p>+</p><p>𝐾𝑄𝑟</p><p>𝑅2</p><p>2</p><p>) (𝑅 − 𝑟)</p><p>Manipulando algebricamente, temos que:</p><p>𝑉𝑃 =</p><p>3</p><p>2</p><p>𝐾</p><p>𝑄</p><p>𝑅</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐾</p><p>𝑄</p><p>𝑅3</p><p>𝑟2</p><p>Podemos dizer que o gráfico do potencial é dado por:</p><p>Figura 35: Gráfico do potencial elétrico em função da distância 𝒓.</p><p>Portanto, a velocidade mínima para que a carga −𝑞 chegue no infinito é de:</p><p>49</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>𝑣 = √</p><p>2. 𝑞</p><p>𝑚</p><p>(</p><p>3</p><p>2</p><p>𝐾</p><p>𝑄</p><p>𝑅</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐾</p><p>𝑄</p><p>𝑅3</p><p>𝑟2)</p><p>3.5. Método das imagens</p><p>Vamos imaginar o seguinte problema: suponha uma carga 𝑞 a uma distância 𝑑 de um plano</p><p>condutor aterrado.</p><p>Figura 36: Interação entre uma carga e um plano condutor aterrado.</p><p>A pergunta que surge é: qual o potencial na região acima do plano? Obviamente, não é apenas</p><p>𝐾𝑞/𝑟, pois há carga induzida no plano condutor e não sabemos quanta carga é induzida, nem como ela</p><p>está distribuída. Outra situação análoga é a interação entre uma carga e uma esfera condutora.</p><p>Figura 37: Esfera próxima de uma carga.</p><p>Para atacar esse tipo de problema, vamos relembrar um problema simples: duas cargas +𝑞 e −𝑞.</p><p>50</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Figura 38: Plano mediador onde o potencial elétrico é nulo.</p><p>Note que para o potencial nulo, temos que:</p><p>𝑉𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 =</p><p>𝐾𝑞</p><p>𝑥1</p><p>+</p><p>𝐾(−𝑞)</p><p>𝑥2</p><p>𝑉𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 = 𝐾𝑞 (</p><p>1</p><p>𝑥1</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>)</p><p>Se o potencial do plano for nulo, podemos dizer que a distância 𝑥1 = 𝑥2, ou seja, qualquer ponto</p><p>cuja distância entre a carga +𝑞 e o ponto for igual a distância entre a carga −𝑞 e o mesmo ponto, sabemos</p><p>que o potencial é nulo. O lugar geométrico que contém esses pontos é o plano mediador. Assim, qualquer</p><p>ponto deste plano terá potencial elétrico nulo.</p><p>Além disso, se eu pegasse qualquer configuração com uma carga +𝑄 simétrica a uma carga −𝑄,</p><p>em relação ao plano mediador, o potencial elétrico seria nulo no plano.</p><p>Agora, vamos aplicar essa ideia no problema da carga +𝑞 próxima ao plano metálico aterrado.</p><p>Como o plano metálico está aterrado, podemos dizer que o potencial elétrico do plano é nulo. Então,</p><p>podemos imaginar que existe uma carga simetricamente oposta à carga +𝑞, mas de sinal contrário (−𝑞),</p><p>de tal forma que o plano mediador funcione como um espelho e essa carga −𝑞 é a carga imagem que</p><p>gera um potencial nulo no plano mediador.</p><p>Figura 39: Carga imagem -q definindo um plano (o plano mediador) que possui potencial nulo.</p><p>51</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Assim, o grande ponto é analisar onde estão situadas as cargas-imagens para que a condição de</p><p>potencial nulo possa ser satisfeita.</p><p>4. Lista de exercícios nível 1</p><p>(Simulado EN)</p><p>Analise a figura abaixo.</p><p>A figura representa as linhas de campo elétrico em uma dada região do espaço. Em relação as linhas</p><p>de campo são feitas as seguintes afirmações.</p><p>I. A intensidade do campo elétrico é nula em A, se o potencial elétrico em A é zero.</p><p>II. O potencial elétrico de B é maior que o potencial elétrico de A.</p><p>III. Se uma partícula com carga −𝑞 é solta em A, então ela terá a mesma velocidade em B,</p><p>independente do caminhos 1 e 2, considerando apenas as interações elétricas.</p><p>Pode-se afirmar que:</p><p>(A) apenas I e II estão corretas. (B) apenas I e III estão corretas.</p><p>(C) apenas II e III estão corretas. (D) apenas III está correta.</p><p>(E) todas estão falsas.</p><p>(EFOMM – 2021)</p><p>Considere que duas esferas metálicas de raios 𝑅1 e 𝑅2 (com 𝑅1 > 𝑅2) estão, em princípio, isoladas</p><p>e no vácuo. Considere ainda que elas foram eletrizadas com cargas elétricas positivas e iguais. Num</p><p>dado momento, elas são postas em contato e, logo em seguida, afastadas.</p><p>Pode-se afirmar, então, em relação às cargas, 𝑄1 e 𝑄2 e potenciais 𝑉1 e 𝑉2 das esferas 1 e 2,</p><p>respectivamente, que:</p><p>(A) 𝑉1 < 𝑉2 e 𝑄1 = 𝑄2 (B) 𝑉1 = 𝑉2 e 𝑄1 = 𝑄2 (C) 𝑉1 > 𝑉2 e 𝑄1 > 𝑄2</p><p>(D) 𝑉1 = 𝑉2 e 𝑄1 > 𝑄2 (E) 𝑉1 > 𝑉2 e 𝑄1 = 𝑄2</p><p>(AFA – 2012)</p><p>52</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>A figura abaixo representa as linhas de força de um determinado campo elétrico.</p><p>Sendo 𝑉𝐴, 𝑉𝐵 e 𝑉𝐶 os potenciais eletrostáticos em três pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶, respectivamente, com 0 <</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 < 𝑉𝐵 − 𝑉𝐶, pode-se afirmar que a posição desses pontos é melhor representada na</p><p>alternativa</p><p>a)</p><p>c)</p><p>b)</p><p>d)</p><p>(Simulado EFOMM)</p><p>Uma partícula de 4 gramas e carga de −2 𝑚𝐶 é conduzida por um agente externo de P até o ponto</p><p>N. Sabe-se que em P a velocidade da partícula é nula e que para cumprir a tarefa, o operador realiza</p><p>um trabalho de 0,36 J. Dessa forma, a velocidade da partícula, em m/s, que ela terá em N é dado</p><p>por:</p><p>Despreze os efeitos gravitacionais.</p><p>(A) 15,2 (B) 13,4 (C) 10,0 (D) 8,60 (E) 7,20</p><p>(AFA – 2014)</p><p>Uma partícula 𝐴, de massa 𝑚 e carga elétrica 𝑞, está em repouso no momento em que uma segunda</p><p>partícula 𝐵, de massa e carga elétrica iguais às de 𝐴, é lançada com velocidade de módulo igual a</p><p>𝑣0, na direção 𝑥, conforme ilustra a figura abaixo.</p><p>53</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>A partícula 𝐵 foi lançada de um ponto muito distante de 𝐴, de tal forma que, no instante do</p><p>lançamento, as forças elétricas coulombianas entre elas possam ser desprezadas. Sendo 𝐾 a</p><p>constante eletrostática do meio e considerando apenas interações eletrostáticas entre essas</p><p>partículas, a distância mínima entre A e B será igual a</p><p>a)</p><p>8</p><p>3</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2</p><p>𝐾𝑞2</p><p>b)</p><p>3</p><p>4</p><p>𝐾𝑣0</p><p>2</p><p>𝑚𝑞2</p><p>c) 2</p><p>𝐾𝑞</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2 d) 4</p><p>𝐾𝑞2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2</p><p>(AFA – 2013)</p><p>Uma partícula de massa 𝑚 e carga elétrica negativa gira em órbita circular com velocidade escalar</p><p>constante de módulo igual a 𝑣, próxima a uma carga elétrica positiva fixa, conforme ilustra a figura</p><p>abaixo.</p><p>Desprezando a interação gravitacional entre as partículas e adotando a energia potencial elétrica</p><p>nula quando elas estão infinitamente afastadas, é correto afirmar que a energia deste sistema é</p><p>igual a</p><p>a) −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2 b) +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2 c) +</p><p>√2</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2 d) −</p><p>√2</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2</p><p>(AFA – 2012)</p><p>A figura abaixo ilustra um campo elétrico uniforme, de módulo 𝐸, que atua na direção da diagonal</p><p>𝐵𝐷 de um quadrado de lado 𝑙.</p><p>Se o potencial elétrico é nulo no vértice 𝐷, pode-se afirmar que a ddp entre o vértice 𝐴 e o ponto</p><p>𝑂, intersecção das diagonais do quadrado, é</p><p>a) nula b) 𝑙</p><p>√2</p><p>2</p><p>𝐸 c) 𝑙√2𝐸 d) 𝑙𝐸</p><p>(AFA – 2009)</p><p>Os valores do potencial elétrico 𝑉 em cada vértice de um quadrado estão indicados na figura abaixo.</p><p>54</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Os valores desses potenciais condizem com o fato de o quadrado estar situado num campo</p><p>eletrostático</p><p>a) uniforme, na direção do eixo 𝑥.</p><p>b) uniforme, na direção da bissetriz do 1° quadrante.</p><p>c) criado por duas cargas puntiformes situadas no eixo 𝑦.</p><p>d) criado por duas cargas puntiformes situadas nas bissetrizes dos quadrantes ímpares.</p><p>(EN – 2014)</p><p>Observe a figura a seguir.</p><p>A figura acima mostra uma região de vácuo onde uma partícula puntiforme, de carga elétrica</p><p>positiva 𝑞1 e massa 𝑚, está sendo lançada com velocidade 𝑣0 em sentido ao centro de um núcleo</p><p>atômico fixo de carga 𝑞2. Sendo 𝐾0 a constante eletrostática no vácuo e sabendo que a partícula 𝑞1</p><p>está muito longe do núcleo, qual será a distância mínima de aproximação, 𝑥, entre as cargas?</p><p>a)</p><p>𝐾0𝑞1𝑞2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2 b)</p><p>2𝐾0𝑞1𝑞2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2 c)</p><p>𝐾0𝑞1𝑞2</p><p>2𝑚𝑣0</p><p>2 d) √</p><p>𝐾0𝑞1𝑞2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2 e) √</p><p>𝐾0𝑞1𝑞2</p><p>2𝑚𝑣0</p><p>2</p><p>(Simulado EFOMM)</p><p>Uma partícula de massa igual a 0,01 g e carga 2,5 ⋅ 10−9 𝐶 está em equilíbrio no interior das placas</p><p>de um capacitor, cuja distância entre as placas é de 5 cm. A diferença de potencial entre as placas,</p><p>em kV, é de:</p><p>Considere 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2.</p><p>(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5</p><p>(ITA-1993)</p><p>Entre as armaduras de um capacitor plano com placas horizontais, existe uma diferença de potencial</p><p>𝑉. A separação entre as armaduras é 𝑑. Coloca-se uma pequena carga 𝑄 > 0, de massa m entre as</p><p>armaduras e esta fica em equilíbrio. A aceleração da gravidade é 𝑔. Qual é o valor da carga 𝑄?</p><p>a) 𝑄 = 𝑚𝑔𝑑−1/𝑉. b) 𝑄 = 𝑉𝑑/𝑚. c) 𝑄 = 𝑚𝑔𝑑/𝑉.</p><p>d) 𝑄 = 𝑉𝑔𝑑/𝑚. e) 𝑄 = 𝑔𝑑/𝑉𝑚.</p><p>55</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>5. Gabarito sem comentários nível 1</p><p>1) E</p><p>2) D</p><p>3) C</p><p>4) C</p><p>5) D</p><p>6) A</p><p>7) A</p><p>8) A</p><p>9) B</p><p>10) B</p><p>11) C</p><p>6. Lista de exercíciso nível 1 comentada</p><p>(Simulado EN)</p><p>Analise a figura abaixo.</p><p>56</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>A figura representa as linhas de campo elétrico em uma dada região do espaço. Em relação as linhas</p><p>de campo são feitas as seguintes afirmações.</p><p>I. A intensidade do campo elétrico é nula em A, se o potencial elétrico em A é zero.</p><p>II. O potencial elétrico de B é maior que o potencial elétrico de A.</p><p>III. Se uma partícula com carga −𝑞 é solta em A, então ela terá a mesma velocidade em B,</p><p>independente</p><p>do caminhos 1 e 2, considerando apenas as interações elétricas.</p><p>Pode-se afirmar que:</p><p>(A) apenas I e II estão corretas. (B) apenas I e III estão corretas.</p><p>(C) apenas II e III estão corretas. (D) apenas III está correta.</p><p>(E) todas estão falsas.</p><p>Comentários:</p><p>I. INCORRETA. De acordo com as linhas de campo, o vetor campo elétrico é tangente a linha de campo.</p><p>Em A, o campo elétrico não será nulo, se for adotado que em A o potencial é nulo.</p><p>II. INCORRETA. Se as linhas de campo estão orientadas de A para B, então o potencial elétrico de A é maior</p><p>que o potencial elétrico de B.</p><p>III. INCORRETA. Se uma partícula com carga negativa é abandonada em A, então ela buscará potenciais</p><p>maiores, ou seja, ela não desloca no sentido de A para B.</p><p>Gabarito: E</p><p>(EFOMM – 2021)</p><p>Considere que duas esferas metálicas de raios 𝑅1 e 𝑅2 (com 𝑅1 > 𝑅2) estão, em princípio, isoladas</p><p>e no vácuo. Considere ainda que elas foram eletrizadas com cargas elétricas positivas e iguais. Num</p><p>dado momento, elas são postas em contato e, logo em seguida, afastadas.</p><p>Pode-se afirmar, então, em relação às cargas, 𝑄1 e 𝑄2 e potenciais 𝑉1 e 𝑉2 das esferas 1 e 2,</p><p>respectivamente, que:</p><p>(A) 𝑉1 < 𝑉2 e 𝑄1 = 𝑄2 (B) 𝑉1 = 𝑉2 e 𝑄1 = 𝑄2 (C) 𝑉1 > 𝑉2 e 𝑄1 > 𝑄2</p><p>(D) 𝑉1 = 𝑉2 e 𝑄1 > 𝑄2 (E) 𝑉1 > 𝑉2 e 𝑄1 = 𝑄2</p><p>Comentários:</p><p>57</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Após o contato e estabelecido o equilíbrio eletrostático entre as esferas que inicialmente tem</p><p>cargas iguais, o potencial elétrico deve ser o mesmo em 1 e em 2. Portanto, 𝑉1 = 𝑉2. Lembre-se que essa</p><p>condição estabelece o equilíbrio eletrostático.</p><p>Como o potencial de uma esfera é dado por 𝑉 = 𝐾𝑄/𝑅 e 𝑉1 = 𝑉2, a esfera que apresenta o maior</p><p>raio deve acumular maior quantidade de cargas, portanto, 𝑄1 > 𝑄2.</p><p>Gabarito: D</p><p>(AFA – 2012)</p><p>A figura abaixo representa as linhas de força de um determinado campo elétrico.</p><p>Sendo 𝑉𝐴, 𝑉𝐵 e 𝑉𝐶 os potenciais eletrostáticos em três pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶, respectivamente, com 0 <</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 < 𝑉𝐵 − 𝑉𝐶, pode-se afirmar que a posição desses pontos é melhor representada na</p><p>alternativa</p><p>a)</p><p>c)</p><p>b)</p><p>d)</p><p>Comentários:</p><p>Como 0 < 𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 < 𝑉𝐵 − 𝑉𝐶, então:</p><p>0 < 𝑉𝐴 − 𝑉𝐶</p><p>𝑉𝐶 < 𝑉𝐴</p><p>E:</p><p>𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 < 𝑉𝐵 − 𝑉𝐶</p><p>𝑉𝐴 < 𝑉𝐵</p><p>Portanto, os potenciais estão ordenados da seguinte forma:</p><p>𝑉𝐶 < 𝑉𝐴 < 𝑉𝐵</p><p>58</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Como as linhas de força vão do maior potencial para o menor potencial, a figura que melhor</p><p>representa as ordens dos potenciais elétricos é dada pela letra C.</p><p>Gabarito: C</p><p>(Simulado EFOMM)</p><p>Uma partícula de 4 gramas e carga de −2 𝑚𝐶 é conduzida por um agente externo de P até o ponto</p><p>N. Sabe-se que em P a velocidade da partícula é nula e que para cumprir a tarefa, o operador realiza</p><p>um trabalho de 0,36 J. Dessa forma, a velocidade da partícula, em m/s, que ela terá em N é dado</p><p>por:</p><p>Despreze os efeitos gravitacionais.</p><p>(A) 15,2 (B) 13,4 (C) 10,0 (D) 8,60 (E) 7,20</p><p>Comentários:</p><p>Aplicando o teorema da energia cinética, temos:</p><p>𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒 + 𝜏𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣𝑁</p><p>2 −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣𝑃</p><p>2</p><p>𝑞(𝑉𝑃 − 𝑉𝑁) + 0,36 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣𝑁</p><p>2</p><p>−2 ⋅ 10−3(120 − 40) + 0,36 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 4 ⋅ 10−3 ⋅ 𝑣𝑁</p><p>2</p><p>0,2 = 2 ⋅ 10−3 ⋅ 𝑣𝑁</p><p>2</p><p>𝑣𝑁</p><p>2 = 100</p><p>𝑣𝑁 = 10 𝑚/𝑠</p><p>Gabarito: C</p><p>(AFA – 2014)</p><p>Uma partícula 𝐴, de massa 𝑚 e carga elétrica 𝑞, está em repouso no momento em que uma segunda</p><p>partícula 𝐵, de massa e carga elétrica iguais às de 𝐴, é lançada com velocidade de módulo igual a</p><p>𝑣0, na direção 𝑥, conforme ilustra a figura abaixo.</p><p>59</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>A partícula 𝐵 foi lançada de um ponto muito distante de 𝐴, de tal forma que, no instante do</p><p>lançamento, as forças elétricas coulombianas entre elas possam ser desprezadas. Sendo 𝐾 a</p><p>constante eletrostática do meio e considerando apenas interações eletrostáticas entre essas</p><p>partículas, a distância mínima entre A e B será igual a</p><p>a)</p><p>8</p><p>3</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2</p><p>𝐾𝑞2</p><p>b)</p><p>3</p><p>4</p><p>𝐾𝑣0</p><p>2</p><p>𝑚𝑞2</p><p>c) 2</p><p>𝐾𝑞</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2 d) 4</p><p>𝐾𝑞2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2</p><p>Comentários:</p><p>Por conservação de energia, podemos notar que no lançamento da partícula temos apenas energia</p><p>cinética da carga lançada com 𝑣0 e, no ponto mais próximo, temos apenas a energia potencial elétrica.</p><p>Dessa forma:</p><p>𝐸𝑚𝑒𝑐</p><p>𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = 𝐸𝑚𝑒𝑐</p><p>𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣0</p><p>2 =</p><p>𝐾 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝑞</p><p>𝑑𝑚í𝑛</p><p>𝑑𝑚í𝑛 = 2</p><p>𝐾𝑞2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2</p><p>Para essa solução, foi considerada que a carga A estava o tempo todo em repouso. Como se ela</p><p>estivesse fixa. Entretanto, a questão apenas menciona que a carga A está em repouso no momento em</p><p>que B é lançada. Sendo assim, temos que considerar que a carga A pode se mover sim.</p><p>Dado que temos apenas interações elétricas entre as cargas, então o sistema é isolado. Assim,</p><p>força de interação entre elas é de repulsão (cargas iguais) e a mínima distância entre elas ocorre quando</p><p>as velocidades das cargas são iguais, garantindo que não há mais movimento relativo entre elas, ou seja,</p><p>B não consegue se aproximar mais.</p><p>Pela conservação da quantidade de movimento no sistema isolado, já na condição de mínima</p><p>distância, temos:</p><p>𝑚𝑣0 = 𝑚𝑣 +𝑚𝑣</p><p>𝑣 =</p><p>𝑣0</p><p>2</p><p>Pela conservação de energia, temos:</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚 ⋅ 𝑣0</p><p>2 =</p><p>𝐾 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝑞</p><p>𝑑𝑚í𝑛</p><p>+</p><p>𝑚𝑣2</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑚𝑣2</p><p>2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑘𝑞2</p><p>𝑑𝑚í𝑛</p><p>+𝑚(</p><p>𝑣0</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>∴ 𝑑𝑚í𝑛 = 4</p><p>𝑘𝑞2</p><p>𝑚𝑣0</p><p>60</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Gabarito: D</p><p>(AFA – 2013)</p><p>Uma partícula de massa 𝑚 e carga elétrica negativa gira em órbita circular com velocidade escalar</p><p>constante de módulo igual a 𝑣, próxima a uma carga elétrica positiva fixa, conforme ilustra a figura</p><p>abaixo.</p><p>Desprezando a interação gravitacional entre as partículas e adotando a energia potencial elétrica</p><p>nula quando elas estão infinitamente afastadas, é correto afirmar que a energia deste sistema é</p><p>igual a</p><p>a) −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2 b) +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2 c) +</p><p>√2</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2 d) −</p><p>√2</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2</p><p>Comentários:</p><p>Se a partícula negativa descreve um movimento circular e o módulo da velocidade é constante,</p><p>então ela realiza um MCU, em que a força elétrica é a única força na direção do centro (direção de +𝑄).</p><p>Por isso, ela desempenhará o papel de resultante centrípeta:</p><p>𝐹𝑒𝑙𝑒 = 𝑅𝑐𝑝</p><p>𝐾𝑞𝑄</p><p>𝑅2</p><p>=</p><p>𝑚𝑣2</p><p>𝑅</p><p>𝐾𝑞𝑄</p><p>𝑅</p><p>= 𝑚𝑣2</p><p>A energia do sistema é dada pela soma da energia potencial eletrostática com a energia cinética</p><p>da carga −𝑞. Portanto:</p><p>𝐸 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑐</p><p>𝐸 =</p><p>𝐾𝑄(−𝑞)</p><p>𝑅</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2</p><p>𝐸 = −</p><p>𝐾𝑞𝑄</p><p>𝑅⏟</p><p>=𝑚𝑣2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2</p><p>𝐸 = −𝑚𝑣2 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2</p><p>𝐸 = −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2</p><p>61</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>Gabarito: A</p><p>(AFA – 2012)</p><p>A figura abaixo ilustra um campo elétrico uniforme, de módulo 𝐸, que atua na direção da diagonal</p><p>𝐵𝐷 de um quadrado de lado 𝑙.</p><p>Se o potencial elétrico é nulo no vértice 𝐷, pode-se afirmar que a ddp entre o vértice 𝐴 e o ponto</p><p>𝑂, intersecção das diagonais do quadrado, é</p><p>a) nula b) 𝑙</p><p>√2</p><p>2</p><p>𝐸 c) 𝑙√2𝐸 d) 𝑙𝐸</p><p>Comentários:</p><p>Se a diagonal 𝐵𝐷 está em uma linha de força, como na figura, então a diagonal AC, que é</p><p>perpendicular a 𝐵𝐷 (propriedade do quadrado), pertence a uma superfície equipotencial que contém a</p><p>reta que liga 𝐴𝐶. Portanto, os pontos 𝐴, 𝑂 e 𝐶 possuem o mesmo potencial elétrico. Portanto, a ddp 𝑉𝐴 −</p><p>𝑉𝑂 é nula.</p><p>Gabarito: A</p><p>(AFA – 2009)</p><p>Os valores do potencial elétrico 𝑉 em cada vértice de um quadrado estão indicados na figura abaixo.</p><p>Os valores desses potenciais condizem com o fato de o quadrado estar situado num campo</p><p>eletrostático</p><p>a) uniforme, na direção do eixo 𝑥.</p><p>b) uniforme, na direção da bissetriz do 1° quadrante.</p><p>62</p><p>Prof. Toni Burgatto</p><p>AULA 02 – Potencial elétrico</p><p>c) criado por duas cargas puntiformes situadas no eixo 𝑦.</p><p>d) criado por duas</p>