uni 2

Prévia do material em texto

Imprimir
INTRODUÇÃO
Olá, estudante! Se você já se perguntou como aqueles jogos viciantes são criados, saiba que existe uma forte
teoria embasada em vetores por trás deles. Na verdade, os vetores estão presentes em muitas áreas da
ciência, como a computação, engenharias, matemática e arte.
Nesta aula, vamos explorar a relação entre segmentos orientados e vetores, bem como a noção de segmentos
equipolentes. 
Vamos aprender sobre os vetores e sua representação cartesiana no plano e no espaço. E, por �m, vamos
discutir a decomposição de vetores, uma técnica importante para analisar a ação de um vetor em diferentes
direções.
Compreender esses conceitos é essencial para entender tópicos avançados em diversas áreas da ciência e
tecnologia. 
Aula 1
REPRESENTAÇÃO DE VETORES E DECOMPOSIÇÃO
Nesta aula, vamos explorar a relação entre segmentos orientados e vetores, bem como a noção de
segmentos equipolentes. 
25 minutos
VETORES MULTIDIMENSIONAIS
 Aula 1 - Representação de vetores e decomposição
 Aula 2 - Vetores: operações
 Aula 3 - Produto escalar
 Aula 4 - Produto vetorial e produto misto
 Aula 5 - Revisão da unidade
 Referências
137 minutos
Então, vamos mergulhar nessa aventura vetorial e aprender mais sobre essas entidades matemáticas
fascinantes!
SEGMENTO ORIENTADO E VETOR
Antes de abordarmos o tema dos vetores, é fundamental compreender o conceito de segmento orientado
(direcionado) e sua representação no espaço cartesiano. Para isso, empregaremos o sistema de coordenadas
cartesianas (ortogonal e bidimensional) com valores reais, que, para simpli�car, será referido apenas como
"plano" e indicado por R .
Os pontos exibidos em um plano indicam a localização dele em relação a cada um dos eixos. Por exemplo, se
mencionarmos que A=(2,3), isso implica que A está a duas unidades positivas (à direita) da origem no eixo x e
a três unidades positivas (acima) da origem O=(0,0). Essa informação é representada visualmente da seguinte
forma:
Figura 1| Ponto representado no plano cartesiano
Fonte: elaborada pela autora.
Dados dois pontos A e B do plano, podemos considerar o segmento orientado ⃗, com ponto inicial A e
ponto �nal B.
Figura 2 | Reta AB
2
→
AB
Fonte: elaborada pela autora.
Re�etindo sobre esse tema, podemos introduzir as seguintes de�nições:
De�nição 1: Dois segmentos orientados são equivalentes se tiverem o mesmo comprimento, a mesma
direção e o mesmo sentido (CAMARGO E BOULOS, 2009, p. 04).
A veri�cação da direção é feita por meio da análise das retas-suporte. Dois segmentos possuem a mesma
direção se as suas retas-suporte forem paralelas.
Uma reta possui dois sentidos possíveis. Para que duas retas tenham o mesmo sentido, elas precisam
apresentar a mesma direção. Se isso ocorrer, podemos veri�car se os sentidos são iguais.
Ao observarmos a Figura 2, notamos que, como conjunto de pontos, os segmentos  e  são idênticos
(mesma direção), no entanto, como segmentos orientados, eles são diferentes, pois têm sentidos opostos.
Dessa forma, podemos a�rmar que eles são opostos.
Figura 3 | Segmentos orientados
→
AB
→
BA
Fonte: elaborada pela autora
Ao analisar os segmentos  e  da Figura 3 percebemos que são orientados pela mesma direção e
sentido. 
Quando os comparamos a , vemos que tem sentido oposto em relação aos outros dois. Os segmentos
orientados  e   também têm mesma direção e sentido. Os segmentos  e   são ortogonais, ou
seja, formam um ângulo de 90º, o que demonstra que não têm a mesma direção. 
Ainda, pensando em classi�car os segmentos orientados, temos os segmentos chamados de equipolentes.
De�nição 2: A equipolência é uma relação de equivalência que pode ser aplicada a segmentos orientados. 
Essa relação ocorre quando dois segmentos possuem o mesmo módulo (ou comprimento), a mesma direção
e o mesmo sentido. Existem dois casos em que a relação de equipolência se veri�ca:
  • Quando ambos os segmentos são nulos.
  • Quando nenhum dos segmentos é nulo e ambos têm o mesmo comprimento, direção e sentido.
Essa noção de equipolência é importante para entendermos as propriedades dos vetores, que são entidades
matemáticas fundamentais em várias áreas da ciência e tecnologia. 
Dessa forma, ao continuar a análise da Figura 3, vemos segmentos orientados, que representados na
ilustração possuem orientação similar, isto é, que são equipolentes, são os segmentos  e  . Essas
propriedades consistem em:
  a.   (re�exiva).
→
AB
→
AB
→
AB
→
GH
→
IJ
→
KL
→
MN
→
CD
→
EF
−
AB~
−
AB
  b.  (simétrica).
  c.  (transitiva).
Uma relação que admite as propriedades a, b e c é chamada de relação de equivalência. O símbolo “~"
representa semelhança. Assim, dizer que  é dizer que esses dois segmentos são semelhantes.
Para qualquer segmento orientado no plano, existe outro equivalente a esse, cujo ponto inicial é a origem.
Consideraremos, a partir de agora, apenas os segmentos orientados com ponto inicial na origem. Esse tipo de
segmento é chamado de vetor. 
Os vetores são entidades (objetos) matemáticas que possuem magnitude (tamanho), direção e sentido. Eles
são representados gra�camente como setas que indicam a direção do vetor e seu sentido. O comprimento
desse vetor representará sua magnitude.
Com o conceito de vetor de�nido, podemos denotar um vetor  pelas coordenadas do seu ponto �nal
. Podemos também usar a notação da matriz-coluna , ou simplesmente adotar a notação
v= (a,b).
Figura 4 | Segmento orientado  . Vetor 
Fonte: elaborada pela autora.
É importante destacarmos que um vetor não apresenta posição �xa no plano. Isso se dá pois ele pode ser
transladado. Já um segmento orientado possui posição �xa determinada pelos pontos inicial e �nal.
−
AB~
−
CD ⇒
−
CD~
−
AB
−
AB~
−
CD
−
CD~
−
EF ⇒
−
AB~
−
EF
−
CD~
−
EF
v = →
OP
P = (a; b) v = ( )
a
b
−
OP
→
v
EXPRESSÃO ANALÍTICA DE VETORES
Ao tratarmos vetores e suas formas de representação, talvez a maneira mais simples de os entender seja
através de uma representação geométrica, visto que a representação física talvez seja a abordagem mais
aplicada. 
Contudo, adotar apenas o ponto de vista geométrico faz com que tenhamos uma abordagem limitada,
tamanha a profundidade desse conceito. 
A abordagem algébrica pode ser utilizada para que possamos entender muitas das suas propriedades e
aplicações. Mas para que possamos continuar usufruindo da simplicidade geométrica, adotaremos uma
vinculação entre a parte algébrica e os sistemas cartesianos bi e tri dimensionais
A expressão analítica de um vetor é uma forma de representá-lo por meio de equações ou expressões
matemáticas que relacionam as suas coordenadas com outras variáveis, tais como parâmetros, constantes ou
outras grandezas.
Como vimos, no plano, um vetor pode ser representado por um par ordenado de números (a,b), que
correspondem às suas componentes horizontal e vertical, respectivamente. A expressão analítica de um vetor
no plano pode envolver essas coordenadas e outras variáveis, como por exemplo:
Onde a(t) e b(t) são funções das coordenadas do ponto terminal do vetor.
Já no espaço tridimensional, R , um vetor é representado por uma tripla ordenada de números (a,b,c),
correspondendo às suas componentes nas direções x, y e z, respectivamente. 
A expressão analítica de um vetor no espaço pode envolver essas coordenadas e outras variáveis, como por
exemplo:
Assim, alguns exemplos de vetores representados analiticamente são:
Um vetor no plano representado analiticamente por    , em que 3 é a sua componente na
direção x e -2 é a sua componente na direção y.
Figura 5 | representação geométrica de 
→
v =  (a,  b)  =  (a(t),  b(t))
3
→
v  =  (a,  b,  c)  =  (a(t),  b(t),  c(t))
→
v  =  (3,   − 2)
→
v  =  (2,  3)
Fonte: elaborada pela autora.
Assim, assumindo que  , podemos escrever que  .
Um vetor no espaço representado analiticamente por  , onde 2 é a sua componente na
direção x, 4 é a sua componente na direção y e -3 é a sua componente na direção z.
Figura2012.
CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 3. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2009.
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia; tradução: Daniel Vieira; revisão técnica: José Maria
Campos dos Santos, 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
Aula 2
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 9.ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 3. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2009.
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia; tradução: Daniel Vieira; revisão técnica: José Maria
Campos dos Santos, 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson, 2012.
VENTURI, J. J. Álgebra vetorial e geometria analítica. 10 ed. Curitiba: Ed. UFPR, 2015.
Aula 3
BOLDRINI, J. J. L.; COSTA, S. S. I. RodriguesR.; FIGUEIREDO, Vera V. LúciaL.; WETZLER, Henry H. G. Álgebra
linear. 3.a ed. São Paulo:  Harbra, 1986.
CALLIOLI, C. C. A.; DOMINGUES, H. H. H.; COSTA, R. C. F. Álgebra linear e aplicações. 6. ed. São Paulo: Atual,
2003.
HALLACK, A. A. Álgebra linear. (2017) Disponível em:
http://www.ufjf.br/andre_hallack/�les/2018/04/linear17.pdf.  Acesso em: 10 de abr. de 2023.
LEON, S. J. Álgebra linear com aplicações. 9. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Cientí�cos, 2019.
LIMA, E. L. Álgebra linear. 7. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2003.
REFERÊNCIAS
5 minutos
Imagem de capa: Storyset e ShutterStock.
PELLEGRINI, J. C. Álgebra linear. (2015). Disponível em: https://www.ime.unicamp.br/~deleo/MA327/ld4.pdf.
Acesso em: 11 de abr. de 2023.
ZANI, S. L. Álgebra linear (2010). Disponível em: https://sites.icmc.usp.br/szani/alglin.pdf. Acesso em 16 de
mar de 2020.
Aula 4
CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES, H. H. H; COSTA, Roberto R. C. F. Álgebra linear e aplicações. 6. ed. São Paulo:
Atual, 2003.
CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 3. ed. São Paulo: Prentice Hall,
2009.
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. Tradução: Daniel Vieira; Revisão técnica: José Maria
Campos dos Santos. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
LEON, S. L. Álgebra linear com aplicações. 9. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Cientí�cos, 2019.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson, 2012.
VENTURI, J. J. Álgebra vetorial e geometria analítica. 10 ed. Curitiba: Ed. UFPR, 2015. Disponível em
http://www.eletrica.ufpr.br/armando/index_arquivos/Jacir%20Venturi.pdf
Aula 5
BOLDRINI, José J. L.uiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues; FIGUEIREDO, Vera Lúcia; WETZLER, Henry G. Álgebra linear.
3.a ed. São Paulo:  Harbra, 1986.
CALLIOLI, Carlos C. A.; DOMINGUES, Hygino H. H; COSTA, Roberto R. C. F. Álgebra linear e aplicações. 6. ed.
São Paulo: Atual, 2003.
CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 3. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2009.
HIBBELER, R.C. Estática: mecânica para engenharia. ; tradução: Daniel Vieira; revisão técnica: José Maria
Campos dos Santos, 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
LEON, S. L. Álgebra linear com aplicações. 9. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Cientí�cos, 2019.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson, 2012.
VENTURI, J. J. Álgebra vetorial e geometria analítica. 10 ed. Curitiba: Ed. UFPR, 2015.
https://storyset.com/
https://www.shutterstock.com/pt/6 | Representação geométrica de 
x
–1–1 11 22 33
y
11
22
33
00
vv
P = (2, 3)P = (2, 3)
O = (0, 0)O = (0, 0)
→
v =
−
OP
→
v =
−
OP = P − O = (2,3) − (0,0) = (2,3).
→
w  =  (2,  4,   − 3)
→
w = (2,4, −3)
Fonte: elaborada pela autora.
O mesmo ocorre para  .
Podemos comparar vetores a segmentos de reta orientados no plano cartesiano, mas essa comparação pode
trazer algumas dúvidas. 
Normalmente, localizamos os vetores partindo da origem do sistema, mas os vetores podem ter início em
qualquer ponto do plano. No entanto, os vetores geralmente partem da origem por facilidade algébrica em
sua interpretação e manipulação. 
É possível escrever a expressão analítica de um vetor a partir de sua direção e sentido, como no caso do vetor 
 ou  , onde O é a origem do sistema. 
Mas como escrever a expressão analítica de um vetor dado pelo segmento de reta orientado  , com
 e   ?
Figura 7 | Vetor  a partir dos vetores   e  
→
w =
−
OP = P − O = (2,4, −3) − (0,0, 0) = (2,4, −3).
OB =  (x2,  y2)
−→
OA = (x1, y1)
−→
AB
−→
A  =  (x1,  y1) B  =  (x2,  y2)
AB
−→
OA
−→
OB
−→
Fonte: elaborada pela autora.
Podemos usar a regra do triângulo para soma de vetores (que veremos com mais detalhes na próxima
unidade), que nos permite escrever  . 
Dessa forma, a expressão analítica para o vetor   é dada por .
A partir das expressões analíticas, podemos construir a ideia de expressão cartesiana. Para isso vamos
considerar um paralelepípedo, conforme a �gura a seguir:
Figura 8 | Paralelepípedo formado pelos vetores xi, yj e zk
Fonte: elaborada pela autora.
OA + AB = OB
−→−→−→
AB
−→
(x2  −  x1,  y2  −  y1)
Vemos que:
 é a diagonal para esse paralelepípedo. 
Temos que {i,j,k} são três vetores de comprimento igual a 1 (unitário), ortogonais dois a dois, e que os lados
desse paralelepípedo são formados pelos vetores   e 
Como ,   e  tem-se:
Essa expressão é chamada de expressão cartesiana do vetor , onde x, y e z são coordenadas e 
 ,    e   as componentes desse vetor. 
Baseado nessa informação, de�niremos a decomposição de vetores. 
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
Antes de trazermos o conceito de decomposição de vetores, vamos de�nir vetores complanes e vetores
colineares.
O pre�xo “co” traz o sentido de simultaneidade, e no caso da geometria, quando falamos em colinearidade,
queremos dizer pontos sobre uma mesma linha. 
Já no caso de coplanaridade, podemos estar falando de pontos no mesmo plano. 
Quando expandimos esse conceito para vetores, temos as seguintes de�nições:
De�nição 3: Vetores colineares
Dois vetores são colineares quanto têm a mesma direção. Podem ser vetores coincidentes (pertencentes a
uma mesma reta de apoio) ou vetores paralelos.
Figura 9 | Vetores colineares
Fonte: elaborada pela autora.
Na Figura 9 vemos os vetores   e   , assim, temos   e   colineares. Também percebemos que   e   são
colineares e, nesse caso, paralelos. Podemos fazer a mesma interpretação para os vetores  e  . 
→
u =
−
OP = P − O = (x, y, z) − (0,0, 0) = (x, y, z)
−
OPx = xi,
−
OPy =yj
−
OPz = zk
 (P − O) = (Px − O) + (Py − O) + (Pz − O)
(Px − O) = x
→
i (Px − O) = x
→
i (Pz − O) = z
→
k
(P − O) = u = x
→
i + y
→
j + z
→
k
(
→
u = P − O)
x
→
i y
→
j z
→
k
→
u,  
→
v
→
w
→
u
→
v
→
u
→
w
Com relação a coplanaridade, temos que “dois vetores são sempre coplanares”. A coplanaridade começa a ser
discutida quando temos 3 ou mais vetores. 
De�nição 4: Vetores Coplanares (Venturi, 2015)
Três ou mais vetores são coplanares quando suas imagens geométricas são paralelas ao mesmo plano. 
Figura 10 | Coplanaridade entre três ou mais vetores
Fonte: elaborada pela autora.
Pela Figura 10 vemos que os vetores    e   são coplanares. Já os vetores  e    , assim como os
vetores    e  , ou mesmo os vetores  ⃗ e    não são coplanares.
Por convenção, um vetor nulo é colinear e coplanar a qualquer outro vetor ou par de vetores.
Dessa forma, temos que dois vetores não colineares dados por u e u e um vetor �complanar a u e u . 
Obs.: (por simplicidade de notação, usaremos u e u no lugar de (u ) � e (u ) .
Este vetor u pode ser escrito como a soma entre qualquer a u e a u , sendo a e a escalares quaisquer. 
É fácil observar essa de�nição através do paralelogramo apresentado a seguir.
Figura 11 | Paralelogramo formado pelos vetores u e u
→
u,  
→
v
→
w
→
k,  
→
u
→
v
→
k,  
→
v
→
w
→
k,  
→
u
→
w
1 2
→
u 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
u = a1u1 + a2u2
1 2
Fonte: elaborada pela autora.
Assim, olhando para a Figura 11 percebemos que o vetor a u é a projeção de u sobre u na direção de u . O
mesmo ocorre com o vetor a u , sendo que esse é a projeção de u sobre u na direção de u . 
Podemos estender esse conceito para espaços de maior dimensão. Dessa forma, um vetor u ∈ R pode ser
escrito como:
As variáveis a , a e a são escalares chamados de componentes ou coordenadas de u em relação aos vetores
{u , u , u }.
O vetor nulo é gerado por u , u , u quaisquer que sejam estes vetores. De fato, é possível escolher a =a =a ,
e teremos:
De�nição 5: Vetores linearmente dependentes
Uma sequência de vetores, {u ,u ,u } é dita linearmente dependente (LD) se e somente se algum desses
vetores for uma combinação linear dos outros.
Exemplo 1:
Um vetor no R pode ser escrito através de uma combinação linear entre dois vetores LI {u , u }, então: 
Se u estiver representado através de uma combinação entre três vetores: 
Com certeza, um desses vetores, u , u ou u , é gerado pelos outros dois.
Portanto  � é a decomposição dos vetores   e  �. 
1 1 1 2
2 2 2 1
3
→
u = a1u1 + a2u2 + a3u3
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
0 = 0u1 + 0u2 + u3
1 2 3
2
1 2
→
u = a1u1 + a2u2
→
u = a1u1 + a2u2 + a3u3
1 2 3
→
u u1
−→
u2
−→
VIDEO RESUMO
Você está pronto para aprender sobre vetores e suas aplicações? Nesta aula, vamos explorar a de�nição de
vetor e sua expressão analítica no plano e no espaço, além de igualdade de vetores, segmentos orientados
equipolentes e decomposição de vetores. 
Não perca a oportunidade de expandir seus conhecimentos matemáticos e entender como os vetores são
usados em diferentes áreas do conhecimento . 
 Saiba mais
Con�ra a plataforma adaptativa e gami�cada da Khan Academy, contém riquíssimos materiais na área de
matemática, desde o Ensino Fundamental até o Ensino Superior. Há muitos exercícios on-line para
praticar.
Criada por Salman Khan, a plataforma permite que cada estudante progrida de acordo com seu próprio
aprendizado, garantindo que o conteúdo seja absorvido 100% antes de seguir adiante.  
Para aprimorar o aprendizado nesta unidade, recomendamos a leitura e visualização dos vídeos
disponíveis no seguinte link:
KHAN ACADEMY. Álgebra: vetores.
INTRODUÇÃO
Nesta aula, abordaremos os vetores, estruturas matemáticas fundamentais para a compreensão de conceitos
em diversas áreas da ciência, com ênfase na física e na geometria analítica. Estudaremos as operações básicas
com vetores, incluindo soma, subtração e multiplicação por escalar. Ao dominar essas operações, você
adquirirá habilidades importantes para resolver problemas complexos de maneira e�ciente. 
Aula 2
VETORES: OPERAÇÕES
Nesta aula, abordaremos os vetores, estruturas matemáticas fundamentais para a compreensão de
conceitos em diversas áreas da ciência, com ênfase na física e na geometria analítica.
27 minutos
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-vectors
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-vectors
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-vectors
Adicionalmente, aprenderemos sobre o módulo ou norma de um vetor, conceito que se relaciona à
magnitude das grandezas vetoriais e é essencial para comparar diferentes vetores. Na sequência,
examinaremos os vetores unitários e versores, ferramentas relevantes para representar direções no espaço e
simpli�car cálculos em diversas aplicações. O domínio desses conceitos, juntamente com o conhecimento das
operações básicas, proporcionará uma compreensãomais aprofundada do mundo ao seu redor.
Prepare-se para explorar o universo dos vetores e compreender como eles podem aprimorar sua experiência
acadêmica e pro�ssional. 
OPERAÇÕES COM VETORES
Ao abordarmos operações envolvendo vetores, podemos considerar as interações entre "escalar e vetor" e
"vetor e vetor". A seguir, apresentaremos algumas dessas operações.
A primeira operação a ser discutida é a "Multiplicação de um vetor por um escalar".
Multiplicar um vetor v por um escalar  resulta em um novo vetor w = αv, que têm a mesma direção de v
e seu comprimento é α vezes o comprimento de v, sendo seu sentido determinado pelo sinal de α. Assim:
•  Se α>0, o vetor w = αv  será um vetor de mesma direção e sentido ao vetor v.
•  Se α 0
w = (α. a;α.  b)
Podemos observar que a representação geométrica da multiplicação por um escalar resulta em novos vetores
no plano cartesiano. Esses vetores podem ser contrações ou expansões (quando α>0 ou apresentar um
sentido oposto (quando α2 (potências superiores a 2). 
•  com, e r=1.
Note que se r=2 na norma de Minkowski, encontraremos exatamente a norma euclidiana.
Essas diferentes normas são úteis em várias aplicações, como na otimização, análise de dados e aprendizado
de máquina em que diferentes medidas de distância e comprimento podem fornecer insights e resultados
distintos, dependendo do contexto e das características dos dados analisados.
É importante notar que as normas possuem algumas propriedades fundamentais que são úteis em várias
aplicações matemáticas e de engenharia:
• Homogeneidade: a norma de um vetor multiplicado por um escalar é igual ao valor absoluto do escalar
multiplicado pela norma do vetor original: .
• Desigualdade triangular: a norma da soma de dois vetores é menor ou igual à soma das normas dos
vetores individuais: .
• Não negatividade: a norma de um vetor é sempre um valor não negativo: . Além disso, a norma
de um vetor é igual a zero se, e somente se, o vetor for o vetor nulo (todas as componentes são iguais a zero).
• Subaditividade: a norma de uma soma de vetores é menor ou igual à soma das normas de cada vetor:
.
Essas propriedades são fundamentais para a análise e manipulação de vetores em diversos campos da
matemática, física e engenharia, e ajudam a entender como os vetores se comportam e interagem em
diferentes contextos.
Compreender a norma de um vetor e suas propriedades é crucial para resolver problemas envolvendo
distâncias, intensidades, similaridades e direções.
AB ∈ R
n̄
A = (x1, … , xn) B = (y1,   … , yn)
v = √(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + … + (yn − xn)2
v = [ n
j=1
|yj − xj|
r]
1/r
,     i, j = 1,… ,  n     r > 0.
v = [ n
j=1
|yj − xj|],      i, j = 1,  … ,  n   
||αv||  =   |α|  ||v||
||v||  ≥  0
||u  +  v||  ≤   ||u||  +   ||v||
Na física, a norma de um vetor força representa a intensidade da força aplicada, enquanto na análise de
dados e aprendizado de máquina as normas são frequentemente utilizadas para medir a similaridade ou
dissimilaridade entre vetores de características (também chamados de feature vectors), que podem
representar informações de imagens, textos, áudios ou outros tipos de dados.
VETOR UNITÁRIO E VERSOR
Vetores unitários são vetores cuja norma (ou magnitude) é igual a 1. Eles são especialmente importantes
porque mantêm a direção original do vetor, mas têm comprimento normalizado, o que os torna úteis em
várias aplicações, como na análise de direções e no cálculo de componentes de outros vetores.
Muitos são os casos em que não possuímos um vetor com norma unitária e precisamos obtê-lo. Nesses casos
podemos calcular o versor desse vetor. Esse processo é comumente reconhecido como uma normalização.
Mas o que é isso de fato?
De�nição 1: Versor.
Seja  . O versor de  é um vetor unitário de mesma direção e sentido de v. 
Assim, qualquer vetor (desde que este não seja nulo) pode ser normalizado, ou seja, podemos calcular ser
versor. 
Obs.: Um vetor nulo é aquele em que o segmento de reta que o representa tem medida igual a zero. Para
diferenciá-lo do número zero, traremos sua notação em negrito. 
Venturi (2015) traz uma representação geométrica muito fácil de ser compreendida. Vamos nos basear nessa
representação nas Figuras 7 e 8:
Figura 7 | vers u
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 8 | vers v
v ≠ 0
vers v = v
v
Fonte: elaborada pela autora.
Na Figura 7: vers u, observamos que o vetor u tem norma igual a 3, ou seja,  e o versor  é unitário, ou seja, 
O mesmo ocorre na Figura 8, mas nesse caso temos  e  .
Os versores são normalmente usados para indicar a direção em sistemas de coordenadas ortogonais. No
espaço tridimensional, por exemplo, os versores mais comuns são os versores i, j e k, que estão alinhados aos
eixos cartesianos x, y e z, respectivamente:
• 
• 
• 
Quando falamos em base de um espaço vetorial (e, no nosso caso,  e , ou seja, plano e espaço), na maior
parte dos casos usamos vetores unitários e que formam um ângulo de  dois a dois.  Esse tipo de base é dito
ortonormal, pois é formada por vetores ortogonais (  dois a dois) e unitários.
É usual representarmos uma base ortonormal com a notação
•  , onde  – Base para 
•  {e1,e2,e3} , onde  – Base para .
Figura 9 | Combinação linear entre os vetores 𝑢 e 𝑢
vers v = v
v = v
2
i  =   (1, 0, 0)
j  =   (0, 1, 0)
k  =   (0, 0, 1)
R
2
R
3
{e1, e2} ||e1|| = ||e2|| = 1 R
2
||e1|| = ||e2|| = ||e _ 3|| = 1 R
3
1 2
Fonte: elaborada pela autora.
Na Figura 9  temos uma base ortonormal formada pelos vetores e e e e que estão projetados sobre os eixos
x e y. O vetor é a soma entre os vetores 2e e 3e , ou seja, é a combinação linear dada por u=2e +3e
Como já comentamos, vetores unitários e versores são usados em uma ampla gama de áreas e aplicações.
Algumas delas são:
• Física: vetores unitários e versores são usados para representar direções e quantidades em problemas que
envolvem movimento, forças e campos. Eles são essenciais para calcular componentes de forças e velocidades
em diferentes direções, bem como para representar campos elétricos e magnéticos.
• Engenharia: em engenharia mecânica, civil, elétrica e outras áreas, vetores unitários e versores são
aplicados para modelar e analisar sistemas e estruturas. Eles são usados para descrever direções de forças,
momentos, tensões e outras grandezas relevantes.
• Computação grá�ca: vetores unitários são usados para representar direções e orientações de objetos em
ambientes virtuais tridimensionais. Eles são essenciais para cálculos de transformações, rotações e iluminação
em aplicações como jogos eletrônicos, animações e simulações.
• Robótica e Controle: vetores unitários são aplicados na modelagem e controle de robôs e sistemas
dinâmicos. Eles são usados para descrever a orientação de componentes e a direção de movimentos,
ajudando a planejar e otimizar trajetórias e ações.
Dentre muitas outras áreas.
1 2
1 2 1 2
VÍDEO RESUMO
Nesta aula, aprenderemos sobre o fascinante universo dos vetores! Estudaremos operações básicas como
soma, subtração e multiplicação por escalar, e desenvolveremos habilidades essenciais para resolver
problemas complexos. Exploraremos o módulo e a norma de vetores, compreenderemos a importância dos
vetores unitários e versores na representação de direções no espaço e aprimoraremos nossa visão do mundo
ao nosso redor.
 Saiba mais
Além da sugestão do conteúdo da Khan Academy sobre Álgebra: Vetores, você também pode aprofundar
seu aprendizado nesta unidade com os conteúdos e exercícios de Operações com Vetores.
INTRODUÇÃO
Hoje, vamos explorar alguns conceitos fundamentais da álgebra linear, começando pela combinação linear de
vetores. Veremos como identi�car se os vetores são dependentes ou independentes linearmente, o que nos
ajudará a compreender a estrutura de um espaço vetorial. Em seguida, discutiremos o produto escalar, suas
propriedades e como ele nos permite determinar o ângulo entre dois vetores. Isso nos levará a analisar a
importância do produto escalar para compreender a geometria e a projeção de vetores. Por �m, abordaremos
o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, que nos permite construir conjuntos de vetores ortogonais a
partir de um conjunto linearmente independente. Esse método tem aplicações signi�cativas em várias áreas,
como análise numérica e processamento de sinais. Vamos entender. 
COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES
Para de�nirmos a dependência ou independência linear entre vetores, vamos inicialmente trazer o conceito
de espaço vetorial.
Aula 3
PRODUTO ESCALAR
Vamos explorar alguns conceitos fundamentais da álgebra linear, começando pela combinação linear de
vetores.
23 minutos
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-vectors
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-vectors
http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap91s4.html
Assim, um espaço vetorial real é um conjunto , não vazio, com duas operações (BOLDRINI, 1986):
• Soma: 
• Multiplicação por escalar: .
Para  e , as propriedades abaixo precisam ser satisfeitas.
•  (Associativa).
•  (Comutativa).
•   tal que  (Elemento neutro da adição).
•   tal que  (Elemento Inverso).
•  (Distributiva).
•  (Distributiva)  (Associativa).
•  (Elemento neutro da multiplicação).
É comum chamarmos os elementos de um espaço vetorial de vetor, independente da natureza deles.
Também chamamos de escalares os números reais quando estes desempenham o seu papel na ação de
multiplicar um vetor.
Talvez o espaço vetorial mais “importante” seja o  munido das oito propriedades citadas acima.
Com esse conceito introduzido, trazemos a de�nição de combinação linear.
De�nição 1: Sejam   elementos de um espaço vetorial V. Dizemos que v é uma combinação linear
de  se existirem números reais  tais que:
Na sequência, apresentamos alguns exemplos.
Exemplo 1: Em P , o polinômio p(x)=2+x é uma combinação linear dos polinômios p (x)=1, p (x)=x e p (x)=x .
Basta ver que  .
Exemplo 2: Seja  Temos que o elemento  é uma combinação linear dos elementos 
 e  , pois é possível escrever:
Geometricamente o que estamos dizendo é que existem escalares  e  tais que 
Figura 1 | Combinação linear entre v e v
V xV
+
→  V  
RxV →̇ V
u, v, w ∈ V a, b ∈ R
(u + v) + w = u + (v + w)
u + v = v + u
∃! 
→
0 ∈ V u +
→
0 =
→
0 + u = u
∃!  − u ∈ V u + (−u) =
→
0
a (u + v) = au + av
(a + b)v = av + bv (ab)v = a (bv)
1u = u
R
n
v1, ⋯ , vn
v1, ⋯ , vn α1, ⋯ ,αn
v = α1v1 + ⋯ + αnvn
2
2
1 2 3
2
p (x) = 2p1 (x) + 0p2 (x) + p3 (x)
V = R
2 v = (−5,3) ∈ V
v1 = (1,0) v2 = (0,1)
(−5,3) = −5 (1,0) + 3 (0,1) = −5v1 + 3v2
α1 = −5 α2 = 3v = α1v1 + α2v2
1 2
Fonte: elaborada pela autora.
De�nição 2: Dizemos que uma sequência de vetores  de um espaço vetorial V é linearmente
independente (L.I.) se a combinação linear  só for satisfeita quando
.
De�nição 3: Dizemos que uma sequência  de um espaço vetorial V é linearmente dependente (L.D.)
se não for linearmente independente.
A de�nição de dependência linear para a sequência  é equivalente a dizer que é possível encontrar
números reais  não todos nulos tais que .
Exemplo 3: O conjunto unitário  é linearmente dependente. Logo, qualquer n-upla que contenha o vetor
nulo também é L.D.
Se dispusermos os vetores que desejamos analisar, em uma matriz quadrada A (quando possível) e
calcularmos seu determinante, podemos ter dois tipos de solução:
•   vetores L. D.
•   vetores L.I.
Exemplo 4: Sejam os vetores   e . .. Queremos classi�car os três
vetores em L.I. ou L. D. Assim fazemos:
Reduzindo a matriz a forma escada (escalonada) obtemos:
v1, ⋯ , vn
α1v1 + ⋯ + αnvn = 0
α1 = ⋯ = αn = 0
v1, ⋯ , vn
v1, ⋯ , vn
α1, ⋯ ,αn α1v1 + ⋯ + αnvn = 0
{
→
0}
detA = 0 
detA ≠ 0 
u = (1,2,3) v = (3, − 1,6 w = (4,2,1)
A = ∣1 2 3
3 −1 6
4 2 1∣
Logo, os vetores u.v e w são linearmente independentes.
Note que, ao usarmos a dependência e independência linear para classi�car vetores representados na
estrutura de uma matriz, também abrimos caminho para usarmos esse conceito na classi�cação de sistemas
de equações lineares descritos matricialmente.
Algumas conclusões importantes:
Em  sempre que tivermos três vetores da forma u=(a,b), um deles será combinação linear dos outros
dois.
Em  , sempre que tivermos quatro vetores da forma u=(a,b,c), um desses será combinação linear dos
outros três.
Nesse sentido, é importante de�nir conjuntos de vetores que geram determinado espaço vetorial. Assim, um
conjunto de geradores para um espaço vetorial V é um conjunto S  de vetores de V,  , tal que
qualquer vetor de V pode ser expresso como uma combinação linear (�nita) dos vetores de S, isto é, 
, onde cada  e cada  . Nesse caso dizemos que S gera V e denotamos
por  .
Dizemos que o espaço vetorial V é �nitamente gerado quando V é não nulo e existe um conjunto �nito de
vetores que gera .
De�nição 4: Dizemos que um conjunto  é uma base para o espaço V se  é L.I.
Exemplo 5:
Um exemplo clássico de base são as bases canônicas para  e  , por exemplo.
Para  , temos  e  . 
Esses dois vetores geram qualquer outro vetor de  e são L.I.
Para  temos     e  . 
Esses três vetores geram qualquer outro vetor de  e são L.I..
 PRODUTO ESCALAR
Um produto interno, também conhecido como produto escalar, resulta em um valor escalar, conforme
indicado pelo nome. 
Isso signi�ca que, ao realizar o produto escalar de dois vetores, obtemos um único número, veremos o
signi�cado desse número.
A = = 1. (−7). (− 59
7 ) = 59∣1 2 3
0 −7 −3
0 0 − 59
7 ∣
V = R
2
V = R
3
S = {v1, ⋯ , vk}
v = α1v1 + ⋯ + αkvk αi ∈ R vi ∈ S
V = [S]
S ⊂ V V = [S]
R
2
R
3
R
2 e1 = (1,0) e2 = (0,1)
R
2
R
3 e1 = (1,0,0),e2 = (0,1,0) e3 = (0,0,1)
R
3
De�nição 5: Seja um espaço vetorial V. O produto interno ou escalar de dois vetores u e v de V, com  e 
 é uma aplicação que gera um número real (escalar) tal que:
Onde  é a medida do ângulo formado entre os vetores u e v. 
Podemos exempli�car usando vetores no espaço tridimensional  . Assim, se  e 
, então, podemos escrever que:
Desde que as coordenadas sejam extraídas de uma base ortonormal tridimensional. Esse resultado pode ser
extrapolado para espaços n-dimensionais. 
Seja  com  , então o produto interno pode ser
escrito como:
O produto interno sobre  é conhecido como produto interno usual do  .
A ortogonalidade entre vetores de um espaço V pode ser entendida a partir da seguinte propriedade:
Nulidade do produto escalar  , se:
•  um dos vetores for nulo.
•  os vetores forem ortogonais, pois  .
Assim, uma das maneiras de se veri�car a ortogonalidade entre vetores se dá pelo uso do produto interno. 
Dado um espaço vetorial V com produto interno, a cada par de vetores   teremos algumas
propriedades associadas. Vejamos essas propriedades na sequência.
•  Comutatividade (ou simetria):  .
•  Associatividade em relação à multiplicação por um escalar k:  .
•  Distributividade em relação à adição de vetores:  .
•  Positividade:  se 
Callioli, Domingues e Costa (2003, p. 157) dizem que “Em geral existem muitos produtos internos diferentes
sobre o mesmo espaço vetorial”. 
Dizemos que um espaço vetorial munido de produto interno é um “espaço vetorial euclidiano” ou
simplesmente “espaço euclidiano”.
A interpretação geométrica para o produto interno segue a seguinte ideia: vamos supor dois vetores u e v,
sendo u=1, ou seja, u é um versor (vetor unitário). 
Ainda, seja v uma combinação linear dada por v=x+y, com x e y ortogonais entre si.
u ≠ 0
v ≠ 0,
u ⋅ v = ‖u‖‖v‖cosθ
θ
R
3 u = (x1, y1, z1)
v = (x2, y2, z2)
u ⋅ v = x1x2 + y1y2 + z1z2
V = R
n u = (x1,x2, … ,xn), v = (y1, y2, … , yn) ∈ R
n
u ⋅ v = uTv = x1y1 + x2y2 + … + xnyn
V = R
n
R
n
u ⋅ v = 0
cos90o = 0
(u, v) ∈ V xV  
u ⋅ v = v ⋅ u
k (u ⋅ v) = (ku) ⋅ v = u ⋅ (kv)
u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w
u ⋅ u ≥ 0 u ≠ 0.
Figura 2 | Projeção de v em u
Fonte: elaborada pela autora.
Ao analisar a Figura 2, percebemos facilmente que   Como x é paralelo a u, então, x=au. Sendo y
ortogonal a u, então  . Multiplicando escalarmente a expressão  temos:
Como  , então:
Como u é um vetor unitário, temos que  . Dessa forma, podemos escrever:
Então:
Logo:
O que encontramos após essa manipulação pode ser traduzido como: “o produto escalar, em módulo, entre
os vetores u e v, é igual ao tamanho da projeção do vetor v na direção do versor u”.
Para dois vetores, u e v quaisquer, chegamos na expressão: 
Um conjunto de vetores  é chamado de ortonormal se todos os seus vetores são
unitários e ortogonais, dois a dois, entre si.
Exemplo 6: 
projuv = x.  
y ⋅ u = 0 v = x + y,
u ⋅ v = a (u ⋅ u) + y ⋅ u
y ⋅ u = 0
u ⋅ v = a (u ⋅ u)
a = u⋅v
u⋅u = u⋅v
‖u‖2
‖u‖2 = 12
x = projvu = au = ( u⋅v
‖1‖2 )u
projvu = (u ⋅ v).u
∥proju v∥ = ∥ (u ⋅ v).u∥ = ‖u ⋅ v‖‖u‖
∥proju v∥ = ‖u ⋅ v‖
projuv = ( u⋅v
‖u‖2 )u
B = {u1,u2, … ,un} ⊂ V
Seja  , uma base canônica. Então, temos que os vetores
,  e  , são unitários e ortogonais, dois. Para veri�car, basta calcular o
produto interno entre eles e a norma de cada um deles.
Assim, se  é um conjunto de vetores ortogonais, dois a dois, com todos os  , teremos um
conjunto ortonormal fazendo  
ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT
O Processo conhecido com ortogonalização de Gram-Schmidt é um algoritmo para obter uma base ortogonal
(ou ortonormal) de um espaço euclidiano a partir de uma base qualquer. 
A estruturação desse algoritmo se dá no transcorrer da prova matemática do Teorema a seguir:
Teorema 1: Todo espaço vetorial euclidiano de dimensão �nita possui uma base ortonormal.
Dessa forma, o procedimento que desenvolveremos na sequência é a demonstração dele, que nos permite
transformar um conjunto de vetores linearmente independentes em um conjunto ortogonal que gera o
mesmo espaço vetorial.
Ates de entrarmos propriamente na demonstração do teorema, vamos entender o seguinte conceito:
De�nição 6: Se um vetor  é uma combinação linear de um conjunto ortogonal  de
dimensão �nita, em que  , ou seja,  , então os coe�cientes 
dessa combinação podem ser escritos como:
Nesse caso, os coe�cientes  são conhecidos como coe�cientes de Fourier (HALLACK, 2017).
Essa de�nição, será importante para entendermos alguns passos do algoritmo de Gram-Schimidt.
Demonstração do Teorema:
Seja  uma base de V qualquer, queremos obter uma base  que seja
ortogonal para V.
Assim, vamos iniciar o processo supondo dois vetores v e v de  que serão ortogonalizados. Após a
obtenção de  e sua normalização, trabalharemos com a hipótese de indução para extrapolar o
resultado. 
B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ⊂ V = R
3
e1 = (1,0,0) e2 = (0,1,0) e3 = (0,0,1)e1 ⋅ e2 = 1.0 + 0.1 + 0.0 = 0 e1 = √12 + 02 + 02 = 1
e1 ⋅ e3 = 1.0 + 0.0 + 0.1 = 0 e2 = √02 + 12 + 02 = 1
e2 ⋅ e3 = 0.0 + 1.0 + 0.1 = 0 e3 = √02 + 02 + 12 = 1
ui ≠ 0, i = 1, … ,n 
B´= { u1
u1
, … , un
un
}
w ∈ V {v1, … , vn}
vi ≠
→
0,  i = 1, … ,n w = α1v1 + … + αnvn
αi = w⋅vi
vi⋅vi
αi
β = {v1, … , vn} β´= {v′
1, … , v′
n}
1 2 β
β′ = {v′
1, v′
2}
A abordagem por indução pode ser vista em outras obras como em Boldrini (1986, p. 230); Hallack (2017, p.
127); Lima (2003, p. 125); Zani (2010, p. 178), dentre outros.
Figura 3 | v'  ortogonal a v'
Fonte: adaptada de Boldrini (1986).
Inicialmente de�nimos: 
Assim, precisamos encontrar um vetor v' que carregue as características de v mas que seja ortogonal a v' .
Esse vetor será:
A de�nição parte da interpretação geométrica que pode ser vista na Figura 4. Note que v' é a subtração entre
v e a projeção do vetor v na direção do vetor v' dada por  . 
Dessa forma podemos escrever que:
 e 
Assim, temos que v' é ortogonal a v' e  é uma base ortogonal para o espaço gerado por 
.
Vamos agora incluir mais um vetor na base β, �cando essa igual a  e ao fazer isso,
precisaremos encontrar  que componha a base ortogonal β' de forma que essa permaneça com a
característica de ser composta por vetores ortogonais (ou seja, continue sendo uma base dita ortogonal). Para
isso, vamos simpli�car a notação de forma que transformemos os processos em um algoritmo mais limpo e
simpli�cado. Escreveremos:
 com 
Agora precisamos encontrar v' que por analogia ao processo já realizado pode ser escrito como:
1 2
v′
1 = v1 
2 2 1
v′
2 = v2 − v2⋅v′
1
v′
1⋅v′
1
v′
1
2
2 2 1 projv′
1
v2 =
v2⋅v′
1
v′
1⋅v′
1
v′
1
[v1, v2] = [v′
1, v′
2] v′
1 ⋅ v′
2 = v2. v′
1 − v2⋅v′
1
v′
1⋅v′
1
(v′
1 ⋅ v′
1) = 0
1 2 β′ = {v′
1, v′
2}
{v1, v2}
β = {v1, v2, v3}
v′
1 = v1
v′
2 = v2 − cv′
1 c =
v2⋅v′
1
v′
1⋅v′
1
.
3
v′
3 = v3 − dv′
2 − ev′
1
Portanto, precisamos determinar os valores para d  e  e  de forma que  seja ortogonal ao mesmo tempo a v' e
v' , ou seja, de forma que  e  .
Fazendo  temos:
Mas  , portanto  se e somente se: 
Fazendo  temos:
Mas  , portanto  se e somente se: 
Logo, teremos:
Uma importante observação nesse momento é a de que os coe�cientes d e e já são nossos conhecidos, são os
mesmos coe�cientes encontrados na De�nição 6:, portanto são coe�cientes de Fourier.
Por Boldrini (1986) vemos que é possível prolongar o algoritmo para encontrarmos uma base ortogonal,β' , a
partir de uma base qualquer, β, com dimensão �nita. 
Para isso podemos escrever:
Com isso temos um algoritmo que nos permite transformar uma base de um espaço vetorial em uma base
ortogonal para esse espaço. 
O processo de normalização de vetores já foi visto nas seções anteriores, portanto, se queremos uma base
ortonormal, basta calcular os versores desses vetores da base β e assim obteremos uma base ortonormal
para o espaço em questão. 
1
2 (v′
3 ⋅ v′
1) = 0 (v′
3 ⋅ v′
2) = 0
(v′
1 ⋅ v′
3) = 0
(v′
3 ⋅ v′
1) = 0 ⇔ (v3 − dv′
2 − ev′
1) ⋅ v′
1 = 0
(v′
3 ⋅ v′
1) = 0 ⇔ (v3 ⋅ v′
1) − d (v′
2 ⋅ v′
1) − e (v′
1 ⋅ v′
1) = 0
(v′
2 ⋅ v′
1) = 0 (v′
3 ⋅ v′
1) = 0
e = (v3⋅v1′)
v′
1⋅v′
1
(v′
3 ⋅ v′
2) = 0
(v′
3 ⋅ v′
2) = 0 ⇔ (v3 − dv′
2 − ev′
1) ⋅ v′
2 = 0
(v′
3 ⋅ v′
2) = 0 ⇔ (v3 ⋅ v′
2) − d (v′
2 ⋅ v′
2) − e (v′
1 ⋅ v′
2) = 0
(v′
1 ⋅ v′
2) = 0 (v′
3 ⋅ v′
2) = 0
d = (v3⋅v2′)
v′
2⋅v′
2
v′
3 = v3 −
(v3⋅v′
2)
v′
2⋅v′
2
v′
2 −
(v3⋅v′
1)
v′
1⋅v′
1
v′
1
⎧⎪⎨⎪⎩ v′
1 = v1
v′
2 = v2 −
(v2⋅v′
1)
(v′
1⋅v′
1)
v′
1
v′
3 = v3 −
(v3⋅v′
2)
(v′
2⋅v′
2)
v′
2 −
(v3⋅v′
1)
(v′
1⋅v′
1)
v′
1
⋮
v′
n = vn −
(vn⋅v′
n−1)
(v′
n−1⋅v′
n−1)
v′
n−1 − … −
(vn⋅v′
1)
(v′
1⋅v′
1)
v′
1
VIDEO RESUMO
Olá, estudante! No vídeo desta aula, abordaremos conceitos fundamentais da álgebra linear, tais como
combinação linear, dependência e independência linear, produto escalar e ortogonalização de Gram-Schmidt. 
Com explanações claras e exemplos práticos, nosso objetivo é facilitar a compreensão desses tópicos. Esta é
uma oportunidade valiosa para aprimorar seu conhecimento e dominar habilidades essenciais no campo da
matemática. 
Convidamos você a participar conosco nesta jornada, a �m de explorar e aplicar esses importantes conceitos.
 Saiba mais
Aprofunde seu conhecimento no processo de ortogonalização de Gram-Schmidt com exemplos incríveis
disponíveis na plataforma da Khan Academy! Con�ra!
• Exemplo do processo de Gram-Schmidt
• Exemplo de Gram-Schmidt com três vetores de base
Não perca a chance de aprimorar suas habilidades e se tornar um expert em álgebra linear!  
INTRODUÇÃO
Olá, estudante! Nesta etapa exploraremos alguns conceitos fundamentais da álgebra vetorial e da geometria
analítica que são amplamente aplicados em diversas áreas da ciência e da engenharia.
Falaremos sobre o produto vetorial e o produto misto, dois tipos de operações vetoriais que desempenham
papéis importantes em muitos problemas geométricos e físicos. 
Vamos aprofundar nosso entendimento de como esses produtos funcionam, bem como suas propriedades e
aplicações práticas. Além disso, discutiremos as representações geométricas associadas a eles, o que nos
permitirá visualizar e interpretar melhor os conceitos estudados. Trabalharemos com exemplos e exercícios
Aula 4
PRODUTO VETORIAL E PRODUTO MISTO
Nesta etapa exploraremos alguns conceitos fundamentais da álgebra vetorial e da geometria analítica
que são amplamente aplicados em diversas áreas da ciência e da engenharia.
24 minutos
https://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate-bases/orthonormal-basis/v/linear-algebra-gram-schmidt-process-example
https://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate-bases/orthonormal-basis/v/linear-algebra-gram-schmidt-example-with-3-basis-vectors
que ilustrarão a aplicação desses conceitos. 
Bons estudos! 
PRODUTO VETORIAL
O produto vetorial entre dois vetores pode ser entendido também como a “real multiplicação” entre eles pois
é a partir desse produto que vamos obter outro vetor. Mas claro que não será um vetor qualquer. 
Imagine dois vetores u e v. O resultado de um produto vetorial, u∧v=w, será o vetor w ortogonal ao plano
gerado pelos vetores u e v. 
Vamos entender esse conceito começando pelo produto vetorial dos versores i, j e k apresentados conforme
�gura a seguir:
Figura 1 | Versores i, j e k
Fonte: elaborada pela autora.
Podemos observar que, na prática, a noção de uma circunferência com um ciclo anti-horário é adotada para
realizar o produto vetorial entre dois versores. O versor ausente será o resultado obtido. 
Se o sentido for anti-horário, obteremos um resultado positivo; caso contrário, o resultado será negativo.
Assim, podemos expressar isso da seguinte maneira:
i∧j=k
k∧i=j
j∧i=-k
i∧k=-j
Com esse conceito é possível obter a expressão cartesiana para o produto vetorial conforme de�nição.
De�nição 1: Dados os vetores u=x i+y j+z k e v=x i+y j+z k, tomados nesta ordem, chama-se produto
vetorial dos vetores u e v (lê-se: u vetorial v), e se representa por u∧v, ao vetor:
1 1 1 2 2 2
u ∧ v = (y1z2 − z1y2)i + (z1x2 − x1z2)j + (x1y2 − y1x2)k.
Cada componente deste vetor pode, ainda, ser expressa na forma de um determinante de segunda ordem.
Podemos representá-lo, também, em formato de matriz de terceira ordem, bastando reorganizar os três
determinantes de segunda ordem.
Exemplo 1: Calcule o produto vetorial dos vetores u=5i+4j+3k e v=i+k
Solução:
Seja   então 
ou
Se trocarmos a ordem dos vetores, recaímos em uma propriedade para determinantes de matrizes que nos
diz: “ao calcularmos um determinante, a troca de posição entre linhas ou colunas, faz com que o sinal desse
determinante também seja trocado, ou seja, multiplicado por (-1)", dessa forma v∧u será um vetor oposto ao
vetor u∧v:
 então v∧u=0143i+1135j+1054k.
ou
Portanto, o produto vetorial não é comutativo. 
Como acabamos de perceber, as propriedades do produto vetorial estão diretamente ligadas as propriedadesdos determinantes: Assim:
  • u∧u=0 para qualquer u:
Pela propriedade dos determinantes: Linhas iguais, então det=0.
Portanto, det(u∧u)=0.
u ∧ v = i + j + k∣y1 z1
y2 z2∣ ∣z1 x1
z2 x2∣ ∣x1 y1
x2 y2∣u ∧ v = ∣ i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2∣u ∧ v = ∣i j k
5 4 3
1 0 1∣ u ∧ v = i + j + k.∣4 3
0 1∣ ∣3 5
1 1∣ ∣5 4
1 0∣u ∧ v = (4 − 0)i + (3 − 5)j + (0 − 4)k
u ∧ v = 4i − 2j − 4k
v ∧ u = ∣i j k
1 0 1
5 4 3∣ v ∧ u = (0 − 4)i + (5 − 3)j + (4 − 0)k
v ∧ u = −4i + 2j + 4k
u ∧ u = ∣ i j k
x1 y1 z1
x1 y1 z1∣
Obs.: i∧i=j∧j=k∧k=0.
  • Anti-Comutativa: u∧v=-v∧u.
De acordo com a de�nição:
e
Obs.:
  • u∧(v+w)=u∧v+u∧w.
Seja w=x i+y j+z k e v+w=(x +x )i+(y +y )j+(z +z )k, então:
Pela propriedade dos determinantes: Cada elemento de uma linha é uma soma de duas parcelas.
Assim,
Portanto, u∧(v+w)=u∧v+u∧w.
  • (mu)∧v=m(u∧v).
mu=mx i+my j+mz k, logo:
Pela propriedade dos determinantes: Quando se multiplica uma linha de uma matriz por um número m, o
determinante desta matriz �ca multiplicado por m.
Assim:
u ∧ v = ∣ i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2∣v ∧ u = ∣ i j k
x2 y2 z2
x1 y1 z1∣i ∧ j = −j ∧ i
j ∧ k = −k ∧ j
k ∧ i = −i ∧ k
3 3 3 2 3 2 3 2 3
u ∧ v + w =
⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ∣ i j k
x1 y1 z1
x2 + x3 y2 + y3 z2 + z3∣u ∧ v + w = +
⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ∣ i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2∣ ∣ i j k
x1 y1 z1
x3 y3 z3∣1 1 1
mu ∧ v =
⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ∣ i j k
mx1 my1 mz1
x2 y2 z2 ∣mu ∧ v = m
⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ∣ i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2∣
Portanto, (mu)∧v=m(u∧v).
Do mesmo modo, demonstra-se que:
•  u∧v=0 se e somente se, um dos vetores é nulo ou se u e v são colineares.
Se u é nulo, as suas componentes são (0,0,0):
Pela propriedade dos determinantes: Se existe uma linha formada por elementos nulos então o determinante
da matriz é nulo.
•  Se nem u, nem v são nulos, mas se u e v são colineares, então u=mv.
u=mx i+my j+mz k, logo
Pela propriedade dos determinantes: Se a matriz possui duas linhas proporcionais então o determinante da
matriz é nulo.
Reciprocamente, se u∧v=0, as componentes de u∧v são todas nulas, isto é, os determinantes.
São todos nulos. Isto signi�ca que, ou x =y =z =0 ou x ,y ,z são proporcionais a x ,y ,z ; por conseguinte, ou
u=0, ou u e v são colineares.
•  u∧v é ortogonal simultaneamente aos vetores u e v.
Seja u⋅(u∧v)=v⋅(u∧v)=0, então u e v são ortogonais simultaneamente aos vetores u e v.
Logo,
De forma análoga,
Logo:
(mu) ∧ v = m(u ∧ v) = u ∧ (mv).
u ∧ v = m∣ i j k
0 0 0
x2 y2 z2∣2 2 2
u ∧ v = m∣ i j k
mx2 my2 mz2
x2 y2 z2 ∣, ,∣y1 z1
y2 z2∣ ∣z1 x1
z2 x2∣ ∣x1 y1
x2 y2∣1 1 1 1 1 1 2 2 2
u ⋅ (u ∧ v) = x1 + y1 + z1∣y1 z1
y2 z2∣ ∣z1 x1
z2 x2∣ ∣x1 y1
x2 y2∣u ⋅ u ∧ v = = 0
⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ∣x1 y1 z1
x2 y2 z2
x2 y2 z2∣v ⋅ (u ∧ v) = x2 + y2 + z2∣y1 z1
y2 z2∣ ∣z1 x1
z2 x2∣ ∣x1 y1
x2 y2∣
Por conseguinte, u∧v é ortogonal simultaneamente aos vetores u e v.
•  ‖u∧v‖ =‖u‖ ‖v‖ -(u⋅v)  (Igualdade de Lagrange)
De fato,
Assim, 
Por outro lado:
e:
Calculando as expressões, veri�ca-se que:
Equação 1
Logo:
•  O produto vetorial não é associativo.
O vetor u∧(v∧w) é coplanar com v e w, ao passo que o vetor (u∧v)∧w é coplanar com u e v.
Então, em geral:
Dessa forma, fechamos as propriedades do produto vetorial e foi possível perceber a importância do
entendimento de outros conceitos, muitas vezes negligenciados, por não sabermos onde serão aplicados,
como o conceito de determinantes de matrizes.
v ⋅ u ∧ v = = 0
⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ∣x2 y2 z2
x1 y1 z1
x2 y2 z2∣2 2 2 2
(u ∧ v) = i + j + k∣y1 z1
y2 z2∣ ∣z1 x1
z2 x2∣ ∣x1 y1
x2 y2∣||u ∧ v ||2 = (y1z2 − z1y2)2 + (x2z1 − x1z2)2 + (x1y2 − y1x2)2
||u ||2||v ||2 = (x2
1 + y2
1 + z2
1)(x
2
2 + y2
2 + z2
2)
(u ⋅ v)2 = (x1x2 + y1y2 + z1z2)2
||u ∧ v ||2 = ||u ||2||v ||2 − (u ⋅ v)2
||u ∧ v ||2 = ||u ||2||v ||2 − (||u || ||v || cos θ)2
||u ∧ v ||2 = ||u ||2||v ||2 − ||u ||2||v ||2 cos2 θ   
||u ∧ v ||2 = ||u ||2||v ||2 − ||u ||2||v ||2(1 − sen2 θ)
||u ∧ v ||2 = ||u ||2||v ||2(sin2 θ)
||u ∧ v|| = ||u || ||v || (sin θ)
u ∧ (v ∧ w) ≠ (u ∧ v) ∧ w.
PRODUTO MISTO
Ao tratarmos de produto misto, o que estamos calculando é um produto que usa tanto as propriedades do
produto escalar, como as propriedades do produto vetorial. 
Assim, dados os vetores u, v e w, o produto misto destes três vetores é um escalar representado por u∧v⋅w.
Quanto à ordem das operações, realiza-se inicialmente o produto externo e em seguida o produto interno.
A nulidade do produto misto, ou seja, u∧v⋅w=0, veri�ca-se em algumas situações. São elas:
  • Pelo menos um dos vetores for nulo;
  • u for paralelo a v (pois, u∧v=0);
  • os três vetores forem coplanares.
Assim como no produto vetorial, podemos pensar na expressão cartesiana do produto misto
Consideremos os vetores por suas expressões cartesianas
A expressão cartesiana do produto misto é dada por:
Que pode ser facilmente transformada em um determinante de ordem três.
Portanto, conhecendo a combinação linear dos três vetores u,v e w, conseguimos rapidamente obter o
número que representa o produto misto operado. Note que, novamente, recaímos na análise de
determinantes e, sendo assim, todas as propriedades conhecidas para o determinante de matrizes são aqui
também validadas.
O produto misto também apresenta propriedades que devem ser destacadas. São elas:
Cíclica: a permuta circular ou cíclica dos fatores não altera o produto misto. Por outro lado, o produto misto
troca de sinal quando se permuta não ciclicamente seus fatores.
Permutação dos Símbolos: não se altera o produto misto quando se permuta os símbolos da multiplicação
interna e externa.
u = x1i + y1j + z1k
v = x2i + y2j + z2k
w = x3i + y3j + z3k
u ∧ v ⋅ w = x3(y1z2 − y2z1) + y3(z1x2 − x1z2) + z3(x1y2 − x2y1)
u ∧ v ⋅ w = ∣x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3∣
u ∧ v ⋅ w = v ∧ w ⋅ u
= w ∧ u ⋅ v
= −v ∧ u ⋅ w
= −u ∧ w ⋅ v
u ∧ v ⋅ w = u ⋅ v ∧ w
(u,v,w)=0 se um dos vetores é nulo, se dois deles estão alinhados, ou seja, são colineares, ou se os três estão
no mesmo plano, ou seja, são coplanares.
Com os conceitos de produto vetorial e produto misto de�nidos, é possível observar que tais conceitos são
comumente utilizados em outras áreas do conhecimento. Vamos deixar alguns desses exemplos na
sequência.
Produto Vetorial
• Física: na mecânica clássica, o produto vetorial é usado para calcular o momento angular e o torque. O
momento angular é o produto vetorial da posição de uma partícula e seu momento linear, enquanto o torque
é o produto vetorial da posição e da força aplicada.
• Engenharia: em engenharia eletromagnética, o produto vetorial é usado para descrever o campo
magnético produzido por correntes elétricas, de acordo com a Lei de Biot-Savart, e, também, para calcular a
força sobre uma partícula carregada em movimento, utilizando a força de Lorentz.
• Computação grá�ca: o produto vetorial é útil para encontrar vetores normais a superfícies, que são
usados para calcular a iluminação e sombreamento em renderização 3D.
Produto Misto
• Geometria: o produto misto é usado para calcular o volume de um paralelepípedo, determinar se três
vetores são coplanares (no mesmo plano) e encontrar a equação de um plano que passa por três pontos.
• Física: em termodinâmica, o produto misto é aplicado no cálculo de grandezas relacionadas à energia,
como trabalho e calor, especialmente quando há processos que envolvem mudanças em três variáveis
independentes (volume, pressão e temperatura, por exemplo).
• Análise de sistemas: o produto misto é útil em aplicações como análise de estabilidade e otimização, onde
se busca encontrar soluções ótimas em sistemas que envolvem múltiplas variáveis e restrições.
Desses exemplos citados, aqueles que são da alçada da geometria analítica e álgebra vetorial.
GEOMETRIA E APLICAÇÕES
A representação geométrica do produto vetorial nos dá um resultado muito importante, pois através do
produto vetorial obtemos um vetor ortogonal aos vetores calculados. Assim, podemos interpretar conforme a
�gura a seguir:
Figura 2 | Representação geométrica do produto vetorial
Fonte: elaborada pela autora.
A interpretação geométricado produto vetorial pode ser observada em muitos problemas de engenharia,
como problemas aplicados a estática conforme é possível veri�car na obra de Hibbeler (2011). 
Também podemos mostrar aplicações na geometria plana, que são posteriormente adotadas em muitos
outros campos da engenharia, não só na estática. Uma delas é a possibilidade de cálculo da área de um
paralelogramo. 
Imagine um paralelogramo construído sobre u=(B-A) e v=(D-A) e h a sua altura.
Figura 3 | Paralelogramo reto
Fonte: elaborada pela autora.
Da geometria plana temos que a área do paralelogramo pode ser calculada pela equação: Área da base.
altura, dessa forma escrevemos:
A =(BC).h
Mas BC=‖v‖ e h=‖u‖sinθ.
ABCD
Substituindo esses valores na equação A =(BC).h obtemos:
Ou seja, geometricamente o módulo do produto externo de u e v coincide com a área do paralelogramo
construído sobre u e v.
Se conseguimos calcular a área do paralelogramo, basta um simples ajuste para que tenhamos a área de um
triângulo.
Figura 4 | Triângulo a partir de um paralelepípedo
Fonte: elaborada pela autora.
Dessa forma, a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Se conseguimos calcular a área de um
triângulo, podemos calcular a área de qualquer polígono, desde que consigamos dividi-lo em triângulos. 
Dessa forma, temos a seguinte interpretação geométrica do produto, sendo os três vetores não coplanares u,
v e w representam arestas de um paralelepípedo:
Figura 5 | Paralelepípedo
Fonte: adaptada de Venturi (2015, p.116).
Da geometria espacial temos que o volume do paralelepípedo V é o produto da área da base pela altura do
paralelepípedo:
Mas, sendo A =‖u∧v‖ e h=‖w‖ cos θ (do triângulo retângulo AEF), substituindo em V =(A )h. obtemos:
V =‖u∧v‖ ‖w‖ cos θ, podemos obter:
ABCD
AABCD = ||u || ||v || sin θ = ||u ∧ v ||
p
Vp = (AABCD)h.
ABCD p ABCD
p
Geometricamente, o módulo do produto misto u∧v⋅w representa o volume de um paralelepípedo de arestas
u, v e w.
Também podemos obter o volume de um tetraedro, basta lembrarmos que este é 1/6 do volume de um
paralelepípedo. Dessa forma, podemos escrever: 
Exemplo 2: Sejam os vetores u=(1,2,3), v=(-1,5,3) e w=(-1,7,2). Os três vetores são suporte para um
paralelepípedo, ou seja, são formadores deste e, dessa forma, é possível usar o produto misto para obtermos
seu volume. 
Assim, analise as alternativas e assinale a que representa corretamente o volume para o paralelepípedo
formado por u,v,w.
Solução:
Se os vetores u=(1,2,3), v=(-1,5,3) e w=(-1,7,2) são formadores de um paralelepípedo e queremos conhecer o
seu volume, podemos escrever:
E podemos resolver esse produto misto através do determinante:
Uma imagem de Venturi (2015) representa muito bem o valor desse determinante negativo. Ou seja, sem o
módulo, podemos compreender o sentido dos vetores, mas precisamos lembrar que o volume sempre será
um valor positivo.
Figura 6 | Paralelepípedo
Fonte: Venturi (2015, p.117).
Conseguimos, portanto, calcular o volume do paralelepípedo simplesmente conhecendo os vetores base de
sua estrutura.
Vp = ||u ∧ v ⋅ w ||
Vt = 1
6 Vp = 1
6 || u ∧ v ⋅ w ||
Vp = ||u ∧ v ∙ w ||
= |−19| = 19∣ 1 2 3
−1 5 3
−1 7 2∣ = |−19| = 19∣ 1 2 3
−1 5 3
−1 7 2∣
VIDEO RESUMO
Olá, estudante! Neste vídeo, abordaremos os temas centrais desta unidade: produto vetorial, produto misto e
suas representações geométricas. 
Apresentaremos os conceitos e propriedades dessas operações, juntamente com exemplos ilustrativos que
facilitarão a compreensão. Não percam esta oportunidade de aprender sobre álgebra vetorial e geometria
analítica de maneira envolvente e dinâmica. Vamos juntos explorar esses fundamentos essenciais !
 Saiba mais
Nossa recomendação para que você se aprofunde nessa temática é o Capítulo 2 do livro de Hibbeler -
Estática: Mecânica para Engenharia.
Essa obra é direcionada a estudantes de engenharia, como o próprio título indica, e aborda os conceitos
de Estática. O Capítulo 2, especi�camente, tem como objetivo mostrar aos estudantes que muitos
conceitos da geometria analítica serão utilizados no estudo da mecânica dos objetos. As aplicações de
engenharia são resolvidas usando as ferramentas apresentadas nesta disciplina.
Bons estudos!
ÁLGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES
Nesta unidade, exploramos diversos conceitos importantes relacionados a vetores e suas aplicações no plano
e no espaço. Vamos fazer um breve resumo dos principais tópicos abordados, lembrando que o objetivo é
fortalecer seu entendimento e relacionar os conteúdos com situações práticas do dia a dia.
Começamos aprendendo sobre a de�nição de vetor e a expressão analítica de vetores no plano e no espaço.
Vetores são entidades matemáticas que representam grandezas físicas com magnitude e direção, como força,
velocidade e deslocamento.
Aula 5
REVISÃO DA UNIDADE
33 minutos
https://doceru.com/doc/n08ee10
Figura 1| Segmento orientado . Vetor 
Fonte: elaborada pela autora.
Em seguida, estudamos a igualdade de vetores, segmentos orientados equipolentes e a decomposição de
vetores. Aprender a decompor vetores em componentes é fundamental para resolver problemas envolvendo
várias grandezas vetoriais.
Avançamos para as operações com vetores, como soma, subtração e multiplicação por escalar. Essas
operações nos permitem combinar e manipular vetores de maneira e�ciente em diversas aplicações, como
física e engenharia.
Vamos ver um exemplo no plano bidimensional (x, y). Suponha que você tenha um vetor A com uma
magnitude de 10 unidades e uma direção de 30 graus em relação ao eixo x positivo. Para decompor o vetor A
em seus componentes, você pode usar as funções trigonométricas seno e cosseno:
Figura 2 | Decomposição de vetores
−
OP
−
v
Ax  =  A cos(30°)  =  10 cos(30°)  =  10 ( √3
2 )  ≈  8.66
Ay =  A sin(30°)  =  10 sin(30°)  =  10 ( 1
2 )  =  5
Fonte: elaborada pela autora.
Nesse exemplo, A e A são os componentes do vetor A ao longo dos eixos x e y, respectivamente.
Em seguida, exploramos o conceito de módulo ou norma de um vetor, que representa sua magnitude.
Aprendemos sobre vetor unitário e versor de um vetor, que são vetores com norma igual a 1, úteis para
representar direções sem alterar a magnitude.
Para relembrar esse conceito, considere o vetor v representado através do segmento de reta  (plano
cartesiano n  dimensional ou hiperespaço), com  . e  . 
Para calcularmos a norma desse vetor, estendemos o conceito visto para vetores no plano e no espaço. Dessa
forma, escrevemos:
Investigamos a combinação linear de vetores e os conceitos de dependência e independência linear. Esses
conceitos são fundamentais na álgebra linear e permitem entender melhor a estrutura dos vetores e seu
comportamento em diferentes contextos.
Sobre esse conceito vimos a possibilidade de aplicação de determinante de matrizes.
Se dispusermos os vetores que desejamos analisar, em uma matriz quadrada A (quando possível) e
calcularmos seu determinante, podemos ter dois tipos de solução:
•  vetores L. D.
•   vetores L.I.
Abordamos o produto escalar e suas propriedades, bem como o ângulo entre dois vetores. O produto escalar
é uma operação útil para projetar vetores e calcular ângulos, sendo amplamente utilizado em geometria e
análise de sistemas físicos.
x y
AB ∈ R
n̄
A = (x1, … , xn) B = (y1,   … , yn)
v = √(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + … + (yn − xn)2
detA = 0 
detA ≠ 0 
Sobre o produto escalar de�nimos:
Seja um espaço vetorial V. O produto interno ou escalar de dois vetores u e v de V, com  e  é uma
aplicação que gera um número real (escalar) tal que:
onde  é a medida do ângulo formado entre os vetores u e v. 
Estudamos a ortogonalização de Gram-Schmidt, um processo que permite transformar um conjunto de
vetores linearmente independentes em um conjunto ortogonal ou ortonormal, facilitando a análise e a
resolução de problemas em diversas áreas.
Trazendo a referência de Boldrini (1986, p. 232), apresentamos um algoritmo que permite encontrarmos uma
base ortogonal, β,a partir de uma base qualquer, β', com dimensão �nita. Segue o algoritmo:
O produto vetorial e o produto misto foram apresentados juntamente com suas de�nições e propriedades.
Essas operações são importantes para calcular áreas, volumes e vetores ortogonais, além de serem aplicadas
em várias situações práticas.
Do produto vetorial temos:
Dados os vetores  e  , tomados nesta ordem, chama-se produto
vetorial dos vetores u e v (lê-se: u vetorial v ), e se representa por , ao vetor:
Já para o produto misto, consideremos os vetores por suas expressões cartesianas:
Assim teremos:
Observe que ambos podem ser calculados a partir do determinante da matriz formada por esses vetores.
Aprendemos sobre a projeção de um vetor sobre outro vetor, uma técnica útil para analisar componentes de
vetores em diferentes direções e resolver problemas envolvendo forças e movimentos.
u ≠ 0 v ≠ 0,
u ⋅ v = ‖u‖‖v‖cosθ
θ
⎧⎪⎨⎪⎩ v′
1 = v1
v′
2 = v2 − (v2⋅v′
1)
(v′
1⋅v′
1) v
′
1
v′
3 = v3 − (v3⋅v′
2)
(v′
2⋅v′
2) v
′
2 − (v3⋅v′
1)
(v′
1⋅v′
1) v
′
1
⋮
v′
n = vn −
(vn⋅v′
n−1)
(v′
n−1⋅v′
n−1)
v′
n−1 − … −
(vn⋅v′
1)
(v′
1⋅v′
1) v
′
1
u = x1i + y1j + z1k v = x2i + y2j + z2k
u ∧ v
u ∧ v = ∣ i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2∣u = x1i + y1j + z1k
v = x2i + y2j + z2k
w = x3i + y3j + z3k
u ∧ v ⋅ w = ∣x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3∣
Por �m, exploramos as aplicações de produto vetorial e produto misto na determinação de vetores
ortogonais, áreas e volumes. Essas aplicações são fundamentais em diversas áreas, como engenharia, física e
arquitetura.
Ao longo desta unidade, você teve a oportunidade de aprofundar seus conhecimentos em vetores e suas
operações, aplicando esses conceitos em situações reais e desenvolvendo habilidades importantes, como
raciocínio lógico e capacidade de resolver problemas complexos.
Lembre-se de que a prática é essencial para consolidar seu aprendizado, e continue explorando
essesconteúdos em suas atividades acadêmicas e pro�ssionais. 
REVISÃO DA UNIDADE
Olá, estudante! Neste vídeo faremos uma revisão abrangente dos conceitos e aplicações dos vetores no plano
e no espaço. Vamos relembrar as operações com vetores, decomposição, ângulos entre vetores, produto
escalar e produto vetorial, entre outros tópicos. Essa revisão irá reforçar seu entendimento, ajudando você a
aplicar esses conceitos em situações reais, de modo a aprimorar suas habilidades em raciocínio lógico e
resolução de problemas. 
Convidamos você a participar desta revisão e fortalecer sua compreensão sobre o tema .
ESTUDO DE CASO
Projeto de uma torre de celularContexto:
Imagine que você trabalha como engenheiro em uma empresa de telecomunicações e foi designado para
projetar uma torre de celular em um terreno irregular. Seu trabalho é analisar a viabilidade do projeto,
considerando as condições do terreno e os requisitos técnicos do equipamento. 
Para isso, você precisará aplicar seus conhecimentos em vetores, operações com vetores e aplicações de
produtos vetoriais e mistos. Além disso, o trabalho em equipe e a comunicação e�ciente serão essenciais para
o sucesso do projeto.
Situação-problema:
O terreno onde a torre será construída apresenta uma inclinação e você precisa garantir que a base da torre
esteja nivelada. Você tem acesso às coordenadas dos pontos do terreno e precisa calcular a inclinação do
plano. A altura da torre deve ser determinada com base na cobertura de sinal desejada e na posição
geográ�ca dos pontos de interesse.
Para projetar a torre de forma e�ciente, é necessário realizar os seguintes passos:
1.  Representar a inclinação do terreno e a posição da torre através de vetores.
2.  Calcular o ângulo entre a base da torre e o terreno.
3.  Identi�car os pontos de interesse e calcular os vetores que representam a distância e a direção desses
pontos em relação à torre.
4.  Utilizar o produto escalar e o produto misto para determinar se a torre está posicionada corretamente e se
há interferências entre a torre e os pontos de interesse.
5.  Calcular a área e o volume do terreno onde a torre será construída.
Lembre-se de que o sucesso do projeto depende não apenas de sua capacidade de aplicar conhecimentos
matemáticos, mas também de suas habilidades interpessoais e de comunicação para trabalhar em equipe e
apresentar suas conclusões de forma clara e concisa. 
 Re�ita
Como você representaria a inclinação do terreno e a posição da torre usando vetores no plano e no
espaço?
Quais operações com vetores (soma, subtração e multiplicação por escalar) são necessárias para calcular
o ângulo entre a base da torre e o terreno?
Como você usaria a combinação linear de vetores e a ortogonalização de Gram-Schmidt para determinar
a posição da torre e a relação entre a torre e os pontos de interesse?
Como você aplicaria o produto escalar e o produto misto para veri�car se a torre está corretamente
posicionada e se há interferências entre ela e os pontos de interesse?
Que informações você precisaria para calcular a área e o volume do terreno onde a torre será
construída? 
RESOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – MÃO NA MASSA
Resposta de um estudante com nível de excelência:
1.  Representação da inclinação e posição da torre:
Suponha que P (1,2,0), Q (4,1,0) e R (2,5,0) sejam os vértices da base do terreno. Podemos calcular os vetores
PQ e PR, obtendo PQ = (3,-1,0) e PR = (1,3,0). A posição da base da torre é representada pelo vetor B = (2,3,4).
2.  Cálculo do ângulo entre a base da torre e o terreno:
Encontre o vetor normal ao plano do terreno (N) calculando o produto vetorial entre PQ e PR, obtendo N = (0,
0, 10). Usando a fórmula do produto escalar, encontramos o ângulo θ entre N e B:
Logo, , e o ângulo θ ≈ 52.04°.
 3. Vetores em relação aos pontos de interesse:
N  .  B  =   N   B  cos(θ)  =>  0  +  0  +  40  =  10 * √29 cos(θ)∣ ∣ ∣ ∣cos(θ) = 4
√29
Considerando os pontos de interesse S(6,7,2),T(8,4,6) e U(3,9,1), podemos calcular os vetores BS,BT e BU,
obtendo BS = (4,4,-2),BT = (6,1,2) e BU = (1,6,-3).
 4. Veri�cação da posição e interferências:
Calcule os ângulos entre a torre e os pontos de interesse usando o produto escalar e veri�que se atendem aos
requisitos de cobertura de sinal. Além disso, analise se os vetores BS, BT e BU são linearmente independentes
usando o produto misto:
(BS ∧ BT) .BU = ((-8 - 4),(12 - 12),(24 - 6)) .(1,6,-3) = (-12,0,18) .(1,6,-3)
O produto misto é diferente de zero, o que indica que os vetores são linearmente independentes e não há
interferências.
  5. Cálculo da área e volume do terreno:
A área do triângulo formado pelos pontos P, Q e R pode ser calculada usando o produto vetorial:
Área = 0.5 |PQ ∧ PR| = 0.5 |N| = 0.5 (10) = 5 unidades quadradas.
No caso do volume, como o terreno é representado por um triângulo, não podemos calcular um volume
diretamente usando o produto misto. 
No entanto, podemos calcular o volume das escavações e fundações, caso necessário, usando outras técnicas
de geometria e cálculo de volumes.
Com base nessa análise, podemos concluir que a torre está corretamente posicionada, não há interferências
com os pontos de interesse, e temos informações su�cientes para prosseguir com o planejamento das
fundações e escavações no terreno.
Algumas questões adicionais podem ser levantadas:
  • Como a variação da altura da torre afetaria a cobertura de sinal nos pontos de interesse?
  • Quais são as implicações de ter vetores linearmente dependentes entre a torre e os pontos de interesse?
Lembre-se de que este é apenas um exemplo de resolução. Outros valores ou abordagens podem ser
adotados, e os resultados podem variar de acordo com os dados e informações utilizadas. O importante é
aplicar os conceitos aprendidos na Unidade e adaptar a solução às necessidades especí�cas do projeto em
questão. 
RESUMO VISUAL
fonte: elaborada pela autora.
Aula 1
VENTURI, J. J. Álgebra vetorial e geometria analítica. 10 ed. Curitiba: Ed. UFPR, 2015.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson,