61_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
5 6 7
(–x,–y)
(x,y)
v
u
α = C30º
0
Figura 3. Transformação geométrica rotacionando vetores 180º em torno da origem o x.
De maneira geral, algumas transformações geométricas no plano R2 podem 
ser induzidas, ou representadas, por transformações matriciais. Se T é uma 
transformação geométrica do plano, então, caso exista uma matriz A que 
induza tal transformação, ela deve satisfazer:
para todo v→ no plano R2.
A igualdade acima deve ser válida para v→ no plano R2. Perceba, por exemplo, que a 
rotação de 180º apresentada no exemplo anterior é igual à transformação de reflexão 
em torno do eixo y para os vetores v→ = 1
0
 e u→ = –1
0
, mas não para os demais do 
plano. Com efeito, a matriz que induz a transformação de reflexão em torno do eixo 
y apresenta a seguinte forma:
Ref = –1 0
 0 1
Geometria vetorial e transformações lineares4
Ainda sobre matrizes de rotação no plano, é importante destacar que elas 
apresentam uma forma geral. Dada uma transformação geométrica no plano 
de rotação em torno da origem por um ângulo de θº, a matriz que induz essa 
transformação é dada por: 
Vamos determinar a matriz que induz a rotação de 45º em torno da origem no plano 
euclidiano. Pela forma geral apresentada anteriormente, tem-se: 
Rθ =
cos 45º –sen 45º
sen 45º cos 45º
Lembrando-se de que cos 45º = sin 45º =
√2
2 , obtemos:
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
–
Rθ =
A seguir, você verá um importante resultado apresentado em Nicholson 
(2006), que nos permite determinar as matrizes que induzem reflexões e 
projeções para uma reta que passa pela origem do plano R2.
Teorema: considere a reta y = mx que passa pela origem e tem inclinação m. 
Então, a projeção Pm sobre a reta e a reflexão Qm em torno da reta são ambas 
as transformações matriciais no plano euclidiano. Mais precisamente:
Você poderá encontrar a demonstração desse teorema em Nicholson (2006). 
Veja, a seguir, um exemplo de como podemos utilizar esse resultado.
5Geometria vetorial e transformações lineares
Considere a reta de equação y = 2x. Vamos determinar a reflexão do vetor v→ = 1
–3
 em 
torno dessa reta. Primeiramente, utilizaremos o teorema anteriormente apresentado 
para encontra a matriz Q que induz tal transformação. Como o coeficiente angular 
da reta é m = 2, temos:
Q = ×1
1 + 22
1 – 22 2 × 2
2 × 2 22–1
Q = ×1
5
–3 4
 4 3
Q =
–3
5
4
5
4
5
3
5
Agora, vamos calcular o resultado da ação da matriz Q sobre o vetor v→ = 1
–3
. Obtemos:
Q = = =
–3
5
4
5
4
5
3
5
–3
5
4
5
4
5
3
5
1
–3
–3
–1
× 1 +
× 1 +
× (–3)
× (–3)
Veja, na Figura 4, a representação dessa transformação.
4
2
–2
0–2 2 4 6
–4
–4–6
y = 2x
E
Qv
v
A
D
Figura 4. Reflexão do vetor v
→ = 1
–3 em torno da reta y = 2x.
Cabe destacar que nem toda matriz de ordem 2x2 representa uma transformação 
geométrica do plano.
Geometria vetorial e transformações lineares6