2WB40 logica

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**Explicação:** A integral de \(e^{x^2}\) não possui uma antiderivada expressável em 
termos de funções elementares. 
 
12. **Calcule a integral:** 
 \(\int_0^{\pi} \sin(x) \, dx\) 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\pi\) 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** A integral de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x)\), avaliando de \(0\) a \(\pi\) resulta 
em \(2\). 
 
13. **Qual é a equação da reta tangente à curva \(y = x^2\) no ponto (2,4)?** 
 a) \(y = 4x - 4\) 
 b) \(y = 2x - 4\) 
 c) \(y = 4x - 8\) 
 d) \(y = 2x + 0\) 
 **Resposta:** a) \(y = 4x - 4\) 
 **Explicação:** A derivada \(f'(x) = 2x\) em \(x = 2\) é 4. Usando a fórmula da tangente, 
\(y - 4 = 4(x - 2)\). 
 
14. **Qual é o valor de \( \frac{d^2}{dx^2} (x^3 - 6x^2 + 9x) \) em \(x = 1\)?** 
 a) 0 
 b) -6 
 c) 6 
 d) 3 
 **Resposta:** b) -6 
 **Explicação:** A primeira derivada é \(3x^2 - 12x + 9\) e a segunda derivada é \(6x - 
12\). Avaliando em \(x = 1\) dá \(-6\). 
 
15. **Calcule o limite:** 
 \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\) 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 4 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \(\lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k\), onde \(k = 2\). 
 
16. **Determine a integral indefinida:** 
 \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\) 
 a) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 b) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
 c) \(\ln(x) + C\) 
 d) \(\frac{1}{x} + C\) 
 **Resposta:** a) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = \ln(x)\), levando a \(\int \frac{1}{u} \, du\). 
 
17. **Qual é a equação da reta normal à curva \(y = x^2\) no ponto (1,1)?** 
 a) \(y = -2x + 3\) 
 b) \(y = 2x - 1\) 
 c) \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\) 
 d) \(y = 2x + 1\) 
 **Resposta:** a) \(y = -2x + 3\) 
 **Explicação:** A derivada em \(x = 1\) é \(2\), então a inclinação da normal é \(-
\frac{1}{2}\). Usando a fórmula da reta, temos \(y - 1 = -2(x - 1)\). 
 
18. **Calcule a integral:** 
 \(\int_1^2 (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx\) 
 a) 5 
 b) 4 
 c) 3 
 d) 6 
 **Resposta:** a) 5 
 **Explicação:** A integral é \(\left[ \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x \right]_1^2 = (8 - 8 + 8) - (0.5 - 
1 + 4) = 5\). 
 
19. **Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\)?** 
 a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 b) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 c) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 d) \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(\frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x\). 
 
20. **Calcule a integral:** 
 \(\int (3x^2 + 2x + 1)e^x \, dx\) 
 a) \(e^x(3x^2 + 2x + 1) + C\) 
 b) \(e^x(3x^2 + 2x) + C\) 
 c) \(e^x(3x^2 + 2x + 1) - e^x + C\) 
 d) \(e^x(3x^2 + 2x + 1) + e^x + C\) 
 **Resposta:** c) \(e^x(3x^2 + 2x + 1) - e^x + C\) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes repetidamente. 
 
21. **Qual é o valor do determinante da matriz \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix}\)?** 
 a) -2 
 b) 2 
 c) 4 
 d) 1 
 **Resposta:** a) -2 
 **Explicação:** O determinante é calculado como \(1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2\). 
 
22. **Calcule o limite:**