MPVC geometria

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**Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + x \right]_1^3 = \left(18 - 18 + 
3\right) - \left(\frac{2}{3} - 2 + 1\right) = 3 - \frac{2}{3} = 2 \). 
 
12. **Problema 12:** Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x^2) \)? 
 - A) \( \frac{2x}{1 + x^4} \) 
 - B) \( \frac{2x}{1 + x^2} \) 
 - C) \( \frac{1}{1 + x^4} \) 
 - D) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{2x}{1 + x^4} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, \( f'(x) = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot 2x = 
\frac{2x}{1 + x^4} \). 
 
13. **Problema 13:** Calcule \( \int (3x^2 + 2) e^{x^3 + 2x} \, dx \). 
 - A) \( e^{x^3 + 2x} + C \) 
 - B) \( e^{x^3 + 2x} + x + C \) 
 - C) \( \frac{1}{3} e^{x^3 + 2x} + C \) 
 - D) \( e^{x^3 + 2x} + \frac{2}{3} + C \) 
 **Resposta:** A) \( e^{x^3 + 2x} + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^3 + 2x \), temos \( du = (3x^2 + 2)dx \), 
resultando em \( \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^3 + 2x} + C \). 
 
14. **Problema 14:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) Não existe 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** O limite é uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Fatorando, temos \( 
\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \). Avaliando em \( x = 1 \), obtemos \( 2 \). 
 
15. **Problema 15:** Calcule a integral \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) \( \pi \) 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** A integral é \( \left[-\cos(x)\right]_0^{\pi} = -(-1 - 1) = 2 \). 
 
16. **Problema 16:** Qual é a derivada de \( f(x) = x^4 \ln(x) \)? 
 - A) \( 4x^3 \ln(x) + x^3 \) 
 - B) \( 4x^3 \ln(x) + 4x^3 \) 
 - C) \( 4x^3 \ln(x) - x^3 \) 
 - D) \( 4x^3 \ln(x) + 4x^3 + x^3 \) 
 **Resposta:** A) \( 4x^3 \ln(x) + x^3 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, \( f'(x) = x^4 \cdot \frac{1}{x} + \ln(x) \cdot 
4x^3 = 4x^3 \ln(x) + x^3 \). 
 
17. **Problema 17:** Calcule \( \int_0^1 (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{2} \) 
 - B) \( \frac{5}{4} \) 
 - C) \( \frac{3}{4} \) 
 - D) \( 1 \) 
 **Resposta:** B) \( \frac{5}{4} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[\frac{1}{2}x^4 + x^3 + x\right]_0^1 = \frac{1}{2} + 1 + 1 
= \frac{5}{2} \). 
 
18. **Problema 18:** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) \( \infty \) 
 - D) Não existe 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** Usando a definição da derivada de \( e^x \) em \( x = 0 \), temos \( \lim_{x 
\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = e^0 = 1 \). 
 
19. **Problema 19:** Calcule a integral \( \int (5x^4 - 3x^3 + 2) \, dx \). 
 - A) \( x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C \) 
 - B) \( x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x^2 + C \) 
 - C) \( x^5 - \frac{3}{3}x^4 + 2x + C \) 
 - D) \( x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x^2 + C \) 
 **Resposta:** A) \( x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C \) 
 **Explicação:** Integrando, temos \( \frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C = x^5 - 
\frac{3}{4}x^4 + 2x + C \). 
 
20. **Problema 20:** Determine a equação da reta tangente à curva \( y = x^2 + 1 \) no 
ponto \( (1, 2) \). 
 - A) \( y = 2x \) 
 - B) \( y = 2x - 1 \) 
 - C) \( y = 2x + 1 \) 
 - D) \( y = x + 1 \) 
 **Resposta:** B) \( y = 2x - 1 \) 
 **Explicação:** A derivada \( f'(x) = 2x \). Avaliando em \( x = 1 \), temos \( f'(1) = 2 \). A 
equação da reta tangente é \( y - 2 = 2(x - 1) \), que simplifica para \( y = 2x - 2 \). 
 
21. **Problema 21:** Calcule \( \int_0^1 (6x^5 - 5x^4 + 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1) \, dx \). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) 3 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** A integral é \( \left[x^6 - x^5 + \frac{4}{4}x^4 - x^3 + x^2 - x\right]_0^1 = 0 
\). 
 
22. **Problema 22:** Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{5x^2 + 2} 
\). 
 - A) 0 
 - B) \( \frac{2}{5} \)