professor BLVRPH

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**Explicação**: A derivada de \(y = x^2\) é \(2x\). Em \(x = 1\), a inclinação da tangente é 
2, então a inclinação da normal é -\(\frac{1}{2}\). A equação da reta normal é \(y - 1 = -2(x - 
1)\). 
 
16. **Problema 16**: Calcule a integral \(\int_1^2 (x^2 + 2x) \, dx\). 
 a) \(\frac{5}{3}\) 
 b) \(\frac{7}{3}\) 
 c) \(\frac{8}{3}\) 
 d) \(\frac{9}{3}\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{8}{3}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\left[\frac{x^3}{3} + x^2\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3} + 
4\right) - \left(\frac{1}{3} + 1\right) = \frac{8}{3}\). 
 
17. **Problema 17**: Determine o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x}{3x^3 - 4}\). 
 a) \(\frac{5}{3}\) 
 b) \(\frac{2}{3}\) 
 c) 0 
 d) 1 
 **Resposta**: a) \(\frac{5}{3}\) 
 **Explicação**: Dividindo todos os termos por \(x^3\), obtemos \(\lim_{x \to \infty} 
\frac{5 + \frac{2}{x^2}}{3 - \frac{4}{x^3}} = \frac{5}{3}\). 
 
18. **Problema 18**: Qual é a integral \(\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx\)? 
 a) \(\frac{1}{3}\) 
 b) \(\frac{2}{3}\) 
 c) \(\frac{5}{6}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{5}{6}\) 
 **Explicação**: A integral resulta em \(\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1 - 1 + 1 = 
\frac{5}{6}\). 
 
19. **Problema 19**: Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação**: A derivada de \(\ln(u)\) é \(\frac{1}{u} \cdot u'\). Aqui, \(u = x^2 + 1\) e \(u' 
= 2x\), resultando em \(\frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 
20. **Problema 20**: Qual é a integral \(\int (4x^3 - 2x + 1) \, dx\)? 
 a) \(x^4 - x^2 + x + C\) 
 b) \(x^4 - x^2 + 2x + C\) 
 c) \(x^4 - 2x^2 + x + C\) 
 d) \(x^4 - 2x^2 + 2x + C\) 
 **Resposta**: a) \(x^4 - x^2 + x + C\) 
 **Explicação**: Integrando cada termo separadamente, obtemos a resposta correta. 
 
21. **Problema 21**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta**: b) 1 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} 
= 1\). 
 
22. **Problema 22**: Determine a derivada de \(f(x) = x^2 e^{3x}\). 
 a) \(2xe^{3x} + 3x^2 e^{3x}\) 
 b) \(e^{3x}(2x + 3x^2)\) 
 c) \(e^{3x}(2x + 6x^2)\) 
 d) \(e^{3x}(3x^2 + 2x)\) 
 **Resposta**: b) \(e^{3x}(2x + 3x^2)\) 
 **Explicação**: Usamos a regra do produto: \(f'(x) = e^{3x}(2x) + x^2(3e^{3x})\). 
 
23. **Problema 23**: Calcule a integral \(\int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx\). 
 a) \(\frac{5}{5}x^5 - x^3 + 2x + C\) 
 b) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C\) 
 c) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C\) 
 d) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2 + C\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C\) 
 **Explicação**: Integrando cada termo, obtemos a resposta correta. 
 
24. **Problema 24**: Encontre o valor de \(\int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{7}{3}\) 
 b) \(\frac{5}{3}\) 
 c) \(\frac{4}{3}\) 
 d) \(\frac{8}{3}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{7}{3}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\left[\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x\right]_0^1 = 
\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 1 = \frac{7}{3}\). 
 
25. **Problema 25**: Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe 
 **Resposta**: c) 3 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador. A 
derivada de \(\sin(3x)\) é \(3\cos(3x)\) e a de \(x\) é 1, resultando em 3. 
 
26. **Problema 26**: Qual é a derivada de \(f(x) = \cos(2x)\)? 
 a) \(-2\sin(2x)\) 
 b) \(2\sin(2x)\) 
 c) \(-\sin(2x)\) 
 d) \(\sin(2x)\) 
 **Resposta**: a) \(-2\sin(2x)\)