perry T4C

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b) \( \frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2} i \) 
c) \( 5\sqrt{3} + 5i \) 
d) \( \frac{5\sqrt{3}}{3} + \frac{5}{2} i \) 
**Resposta:** b) \( \frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2} i \) 
**Explicação:** Para converter de forma exponencial para retangular, usamos \( z = 
r(\cos(\theta) + i \sin(\theta)) \). Portanto, \( z = 5\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 
i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = 5\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \). 
 
### Questão 25 
Qual é o valor de \( \overline{z} \) se \( z = 4e^{i\frac{\pi}{2}} \)? 
a) \( 4e^{-i\frac{\pi}{2}} \) 
b) \( -4i \) 
c) \( 4e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
d) \( 4 + 0i \) 
**Resposta:** a) \( 4e^{-i\frac{\pi}{2}} \) 
**Explicação:** O conjugado de um número complexo em forma exponencial é obtido ao 
trocar o sinal do argumento. Assim, \( \overline{z} = 4e^{-i\frac{\pi}{2}} \). 
 
### Questão 26 
Determine a expressão \( z^2 \) se \( z = 4 + 3i \). 
a) \( 16 + 24i \) 
b) \( 7 + 24i \) 
c) \( -5 + 24i \) 
d) \( 16 + 24i - 9 \) 
**Resposta:** a) \( 16 + 24i \) 
**Explicação:** Para calcular \( z^2 \), utilizamos \( (4 + 3i)^2 = 16 + 24i - 9 = 7 + 24i \), 
portanto a expressão total é \( 16 + 24i \). 
 
### Questão 27 
Qual é a soma dos argumentos de \( z_1 = 2 + 2i \) e \( z_2 = -2 + 2i \)? 
a) \( \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} \) 
b) \( \pi \) 
c) \( \frac{3\pi}{4} \) 
d) Não existe soma de argumentos 
 
**Resposta:** b) \( \pi \) 
**Explicação:** O argumento de \( z_1 = 2 + 2i \) é \( \frac{\pi}{4} \) e o de \( z_2 = -2 + 2i \) é 
\( \frac{3\pi}{4} \). Portanto, a soma dos argumentos é \( \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi \). 
 
### Questão 28 
Qual é o valor de \( z \) que satisfaz a equação \( z^2 - 4z + 5 = 0 \)? 
a) \( 2 + i \) 
b) \( 2 - i \) 
c) \( 2 + i \; \text{e} \; 2 - i \) 
d) Não possui soluções 
**Resposta:** c) \( 2 + i \; \text{e} \; 2 - i \) 
**Explicação:** Utilizamos a fórmula de Bhaskara: \( z = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 
\cdot 5}}{2 \cdot 1} \). O discriminante é \( 16 - 20 = -4 \), então as raízes são \( 2 \pm i \). 
 
### Questão 29 
Qual é a matriz que representa a multiplicação por \( z = 1 + i \) em \( \mathbb{R}^2 \)? 
a) \( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) 
b) \( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) 
c) \( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) 
d) \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) 
**Resposta:** a) \( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) 
**Explicação:** A matriz correspondente à multiplicação por \( z = a + bi \) em \( 
\mathbb{R}^2 \) é dada por \( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \). Portanto, a 
matriz é \( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \). 
 
### Questão 30 
Se \( z_1 = r_1 e^{i\theta_1} \) e \( z_2 = r_2 e^{i\theta_2} \), qual é a relação entre \( z_1 \) e 
\( z_2 \)? 
a) \( |z_1 z_2| = r_1 r_2 \) e \( \theta_{z_1 z_2} = \theta_1 + \theta_2 \) 
b) \( |z_1 z_2| = r_1 + r_2 \) e \( \theta_{z_1 z_2} = \theta_1 + \theta_2 \) 
c) \( |z_1 z_2| = r_1 - r_2 \) e \( \theta_{z_1 z_2} = \theta_1 + \theta_2 \) 
d) \( |z_1 z_2| = r_1 r_2 \) e \( \theta_{z_1 z_2} = \theta_1 - \theta_2 \) 
**Resposta:** a) \( |z_1 z_2| = r_1 r_2 \) e \( \theta_{z_1 z_2} = \theta_1 + \theta_2 \) 
**Explicação:** Quando multiplicamos dois números complexos na forma polar, o 
módulo é o produto dos módulos e os argumentos são somados. 
 
### Questão 31 
Qual é a fórmula de Moivre que relaciona potenciação e funções trigonométricas? 
a) \( z^n = n e^{i\theta} \) 
b) \( z^n = r^n e^{in\theta} \) 
c) \( z^n = r e^{i n \theta} \) 
d) \( z^n = n \cos(n\theta) + i n \sin(n\theta) \) 
**Resposta:** b) \( z^n = r^n e^{in\theta} \) 
**Explicação:** A fórmula de Moivre estabelece que quando elevamos um número 
complexo \( z \) na forma polar a uma potência \( n \), o resultado terá o módulo elevado a 
\( n \) e o argumento multiplicado por \( n \). 
 
### Questão 32 
Qual é a soma das raízes da equação \( z^3 + 3z^2 + 3z + 1 = 0 \)? 
a) \( -3 \) 
b) \( 3 \) 
c) \( 1 \) 
d) \( -1 \) 
**Resposta:** a) \( -3 \) 
**Explicação:** Pela regra de Viète, a soma das raízes de uma equação polinomial \( az^3 
+ bz^2 + cz + d = 0 \) é dada por \( -\frac{b}{a} \). Aqui, \( b = 3 \) e \( a = 1 \), portanto a soma 
é \( -3 \). 
 
### Questão 33 
Qual é a solução da equação \( z^3 = 8 \)? 
a) \( 2 + i \) 
b) \( 3 + 0i \) 
c) \( 2, \; 2e^{i\frac{2\pi}{3}}, \; 2e^{i\frac{4\pi}{3}} \)