perry S9I

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### Questão 6 
Qual é o valor de \( z \) na equação \( z - \overline{z} = 4i \)? 
a) \( 4i \) 
b) \( 2 + 2i \) 
c) \( 2i \) 
d) \( 2 - 2i \) 
**Resposta:** b) \( 2 + 2i \) 
**Explicação:** Sabemos que \( z - \overline{z} \) é sempre um número imaginário puro, 
então podemos escrever \( z = x + yi \) (onde \( x \) e \( y \) são reais). Assim, \( (x + yi) - (x - 
yi) = 4i \) simplifica para \( 2yi = 4i \), resultando em \( y = 2 \). Assim, \( z \) deve ter a parte 
real \( x = 2 \), o que nos leva a \( z = 2 + 2i \). 
 
### Questão 7 
Se \( z_1 = 1 + 2i \) e \( z_2 = 3 - 4i \), qual é a soma \( z_1 + z_2 \)? 
a) \( 4 + i \) 
b) \( 4 - 2i \) 
c) \( 4 - 6i \) 
d) \( -2 + 6i \) 
**Resposta:** a) \( 4 - 2i \) 
**Explicação:** Para somar dois números complexos, somamos suas partes reais e suas 
partes imaginárias separadamente. Assim, temos \( (1 + 3) + (2 - 4)i = 4 - 2i \). 
 
### Questão 8 
Qual é o módulo do número complexo \( z = 3 - 4i \)? 
a) \( 5 \) 
b) \( 7 \) 
c) \( 6 \) 
d) \( 1 \) 
**Resposta:** a) \( 5 \) 
**Explicação:** O módulo de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por \( |z| = 
\sqrt{a^2 + b^2} \). No caso de \( z = 3 - 4i \), temos \( |z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} 
= \sqrt{25} = 5 \). 
 
### Questão 9 
Qual é a diferença \( z_1 - z_2 \) se \( z_1 = 7 + i \) e \( z_2 = 2 - 3i \)? 
a) \( 5 + 4i \) 
b) \( 5 - 4i \) 
c) \( 9 + 4i \) 
d) \( 9 - 2i \) 
**Resposta:** a) \( 5 + 4i \) 
**Explicação:** Para subtrair, subtraímos as partes reais e as partes imaginárias. Assim, 
temos \( (7 - 2) + (1 + 3)i = 5 + 4i \). 
 
### Questão 10 
A função \( f(z) = z^2 + 3z + 2 \) tem quantas raízes complexas? 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) Infinitas 
**Resposta:** c) 2 
**Explicação:** Esta é uma equação quadrática e, segundo o teorema de fundamentos 
algébricos, toda equação polinomial de grau \( n \) possui exatamente \( n \) raízes, 
contando multiplicidades. Portanto, \( f(z) \) tem 2 raízes, que podem ser reais ou 
complexas. 
 
### Questão 11 
Qual é a equação que representa o círculo no plano complexo cujo centro é \( 2 + 3i \) e 
raio é \( 4 \)? 
a) \( |z - (2 + 3i)| = 4 \) 
b) \( |z + 2 + 3i| = 4 \) 
c) \( |z| = 4 \) 
d) \( |z + 2 + 3i| = 16 \) 
**Resposta:** a) \( |z - (2 + 3i)| = 4 \) 
**Explicação:** A forma padrão da equação de um círculo no plano é dada por \( |z - z_0| = 
r \), onde \( z_0 \) é o centro e \( r \) é o raio. Aqui, \( z_0 = 2 + 3i \) e \( r = 4 \), resultando em 
\( |z - (2 + 3i)| = 4 \). 
 
### Questão 12 
Qual é o argumento do número complexo \( z = -1 - i \)? 
a) \( \frac{3\pi}{4} \) 
b) \( \frac{5\pi}{4} \) 
c) \( \frac{\pi}{4} \) 
d) \( -\frac{3\pi}{4} \) 
**Resposta:** b) \( \frac{5\pi}{4} \) 
**Explicação:** O argumento de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por \( \tan^{-
1}(\frac{b}{a}) \). Aqui, \( a = -1 \) e \( b = -1 \), então \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \). Como \( z 
\) está no terceiro quadrante, somamos \( \pi \) para obter o argumento verdadeiro: \( 
\frac{5\pi}{4} \). 
 
### Questão 13 
Determine as raízes da equação \( z^3 + 1 = 0 \). 
a) \( 1, \; -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, \; -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \) 
b) \( 1, \; 0, \; -1 \) 
c) \( 1, \; 1, \; -1 \) 
d) \( -1, \; -2, \; 2 \) 
**Resposta:** a) \( 1, \; -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, \; -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \) 
**Explicação:** A equação pode ser escrita como \( z^3 = -1 \). As raízes são \( z = -1 \) e as 
duas raízes complexas correspondentes a \( z = 1 \). 
 
### Questão 14 
Qual é a forma padrão do número complexo \( z = 3 + 4i \)? 
a) \( 4 + 3i \) 
b) \( 3\sqrt{5} \) 
c) \( |z| = 5 \, \text{e} \, \theta = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) \) 
d) \( 5i \) 
**Resposta:** c) \( |z| = 5 \, \text{e} \, \theta = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) \) 
**Explicação:** A forma padrão de um número complexo é dada pelo módulo e 
argumento. O módulo é \( |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \) e o argumento é \( \tan^{-1} \left( 
\frac{4}{3} \right) \).