teste de algortimo CAGZRF

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**Explicação:** Usamos a substituição \( u = 1 + x^2 \), então \( du = 2x \, dx \). A integral 
se transforma e, após resolver, resulta em \( -\frac{1}{4(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + C \). 
 
54. **Problema 54:** Calcule \( \int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{3} \ln|x + 1| + C \) 
 - B) \( \frac{1}{3} \ln|x - 1| + C \) 
 - C) \( \frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C \) 
 - D) \( \frac{1}{3} \ln|x^3 - 1| + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{3} \ln|x + 1| + C \) 
 **Explicação:** A integral \( \int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx \) pode ser resolvida usando a 
decomposição em frações parciais. O resultado final é \( \frac{1}{3} \ln|x + 1| + C \). 
 
55. **Problema 55:** Determine \( \int x^2 e^{x^2} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 - B) \( \frac{1}{3} e^{x^2} + C \) 
 - C) \( \frac{1}{4} e^{x^2} + C \) 
 - D) \( \frac{1}{5} e^{x^2} + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \) ou \( 
\frac{1}{2} du = x \, dx \). A integral se torna \( \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^{x^2} + 
C \). 
 
56. **Problema 56:** Calcule \( \int (x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 - B) \( \frac{1}{4}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 - C) \( \frac{1}{5}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 - D) \( \frac{1}{6}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 + 1 \), então \( du = 2x \, dx \). A integral 
se transforma e, após resolver, resulta em \( \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \). 
 
57. **Problema 57:** Calcule \( \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{5}{2}} \, dx \). 
 - A) \( \frac{8}{15} \) 
 - B) \( \frac{4}{15} \) 
 - C) \( \frac{2}{15} \) 
 - D) \( \frac{6}{15} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{8}{15} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( x = \sin(\theta) \), o que implica \( dx = 
\cos(\theta) d\theta \). A integral se transforma e, após resolver, resulta em \( \frac{8}{15} 
\). 
 
58. **Problema 58:** Determine \( \int \frac{x^3}{(1 + x^2)^{\frac{5}{2}}} \, dx \). 
 - A) \( -\frac{1}{4(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + C \) 
 - B) \( \frac{1}{4(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + C \) 
 - C) \( -\frac{1}{5(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + C \) 
 - D) \( \frac{1}{5(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( -\frac{1}{4(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = 1 + x^2 \), então \( du = 2x \, dx \). A integral 
se transforma e, após resolver, resulta em \( -\frac{1}{4(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + C \). 
 
59. **Problema 59:** Calcule \( \int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{3} \ln|x + 1| + C \) 
 - B) \( \frac{1}{3} \ln|x - 1| + C \) 
 - C) \( \frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C \) 
 - D) \( \frac{1}{3} \ln|x^3 - 1| + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{3} \ln|x + 1| + C \) 
 **Explicação:** A integral \( \int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx \) pode ser resolvida usando a 
decomposição em frações parciais. O resultado final é \( \frac{1}{3} \ln|x + 1| + C \). 
 
60. **Problema 60:** Determine \( \int x^2 e^{x^2} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 - B) \( \frac{1}{3} e^{x^2} + C \) 
 - C) \( \frac{1}{4} e^{x^2} + C \) 
 - D) \( \frac{1}{5} e^{x^2} + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \) ou \( 
\frac{1}{2} du = x \, dx \). A integral se torna \( \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^{x^2} + 
C \). 
 
61. **Problema 61:** Calcule \( \int (x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 - B) \( \frac{1}{4}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 - C) \( \frac{1}{5}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 - D) \( \frac{1}{6}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 + 1 \), então \( du = 2x \, dx \). A integral 
se transforma e, após resolver, resulta em \( \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \). 
 
62. **Problema 62:** Calcule \( \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{5}{2}} \, dx \). 
 - A) \( \frac{8}{15} \) 
 - B) \( \frac{4}{15} \) 
 - C) \( \frac{2}{15} \) 
 - D) \( \frac{6}{15} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{8}{15} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( x = \sin(\theta) \), o que implica \( dx = 
\cos(\theta) d\theta \). A integral se transforma e, após resolver, resulta em \( \frac{8}{15} 
\). 
 
63. **Problema 63:** Determine \( \int \frac{x^3}{(1 + x^2)^{\frac{5}{2}}} \, dx \).