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- A) \( \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} + C \) 
 - B) \( \frac{x^3}{3} \ln(x) + \frac{x^3}{9} + C \) 
 - C) \( \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{6} + C \) 
 - D) \( \frac{x^3}{3} \ln(x) + \frac{x^3}{6} + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes, onde \( u = \ln(x) \) e \( dv = x^2 \, dx \). 
Assim, \( du = \frac{1}{x} dx \) e \( v = \frac{x^3}{3} \). A integral se torna \( \frac{x^3}{3} \ln(x) 
- \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx \), resultando em \( \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} + 
C \). 
 
27. **Problema 27:** Calcule \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 - A) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 - B) \( -\frac{1}{3x^2} + C \) 
 - C) \( -\frac{1}{4x^2} + C \) 
 - D) \( -\frac{1}{x^2} + C \) 
 
 **Resposta:** B) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 **Explicação:** A integral \( \int x^{-3} \, dx \) resulta em \( -\frac{1}{2x^2} + C \). 
 
28. **Problema 28:** Determine a integral \( \int x e^{2x} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C \) 
 - B) \( \frac{1}{2}x e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} + C \) 
 - C) \( \frac{1}{3}x e^{2x} - \frac{1}{6}e^{2x} + C \) 
 - D) \( \frac{1}{4}x e^{2x} - \frac{1}{8}e^{2x} + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes, onde \( u = x \) e \( dv = e^{2x} dx \). 
Assim, \( du = dx \) e \( v = \frac{1}{2}e^{2x} \). A integral se torna \( \frac{1}{2}x e^{2x} - \int 
\frac{1}{2}e^{2x} dx \), resultando em \( \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C \). 
 
29. **Problema 29:** Calcule \( \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx \). 
 - A) \( \frac{2}{5} \) 
 - B) \( \frac{2}{3} \) 
 - C) \( \frac{4}{15} \) 
 - D) \( \frac{1}{5} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( x = \sin(\theta) \), o que implica \( dx = 
\cos(\theta) d\theta \). A integral se transforma em \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) \, 
d\theta \), que pode ser resolvido usando a fórmula de redução. O resultado final é \( 
\frac{2}{5} \). 
 
30. **Problema 30:** Determine o valor de \( \int_0^1 x^5(1 - x)^{2} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{42} \) 
 - B) \( \frac{1}{30} \) 
 - C) \( \frac{1}{24} \) 
 - D) \( \frac{1}{36} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{42} \) 
 **Explicação:** Usamos a fórmula da Beta, onde \( B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} 
\, dx \). Aqui, \( p = 6 \) e \( q = 3 \), então \( B(6, 3) = \frac{5! \cdot 2!}{(5+2)!} = \frac{120 
\cdot 2}{5040} = \frac{1}{42} \). 
 
31. **Problema 31:** Calcule \( \int x^3 \cos(x^4) \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{4} \sin(x^4) + C \) 
 - B) \( \frac{1}{2} \sin(x^4) + C \) 
 - C) \( \frac{1}{3} \sin(x^4) + C \) 
 - D) \( x^4 \sin(x^4) + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{4} \sin(x^4) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^4 \), então \( du = 4x^3 \, dx \) ou \( 
\frac{1}{4} du = x^3 \, dx \). A integral se torna \( \frac{1}{4} \int \sin(u) \, du = -\frac{1}{4} 
\cos(u) + C = \frac{1}{4} \sin(x^4) + C \). 
 
32. **Problema 32:** Determine \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 - B) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{4}\right) + C \) 
 - C) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 - D) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 **Explicação:** A integral \( \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \tan^{-
1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \). Aqui, \( a = 2 \), então \( \frac{1}{2} \tan^{-
1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \). 
 
33. **Problema 33:** Calcule \( \int e^{3x} \sin(4x) \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{25}(e^{3x}(4 \sin(4x) - 3 \cos(4x))) + C \) 
 - B) \( \frac{1}{25}(e^{3x}(3 \sin(4x) + 4 \cos(4x))) + C \) 
 - C) \( \frac{1}{25}(e^{3x}(3 \sin(4x) - 4 \cos(4x))) + C \) 
 - D) \( \frac{1}{25}(e^{3x}(4 \sin(4x) + 3 \cos(4x))) + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{25}(e^{3x}(4 \sin(4x) - 3 \cos(4x))) + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes. A fórmula geral para \( \int 
e^{ax} \sin(bx) \, dx \) resulta em \( \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(b \sin(bx) - a \cos(bx)) + C \). 
 
34. **Problema 34:** Calcule \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). 
 - A) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 - B) \( \ln(x) + C \) 
 - C) \( \frac{1}{x} + C \) 
 - D) \( x + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = \ln(x) \), então \( du = \frac{1}{x} dx \). A 
integral se torna \( \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln(\ln(x)) + C \). 
 
35. **Problema 35:** Determine a integral \( \int (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \, dx \). 
 - A) \( \frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{3x^2}{2} + x + C \) 
 - B) \( \frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{3x^2}{3} + x + C \)