Lista 2 ALGEBRA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: Álgebra Linear - 2020.2
PROFESSOR: André Vinicius Santos Dória
2o Lista
1 Sejam T (x, y) = (x− y, x) e G(x, y) = (x,−y). Determinar:
(a) 2T + 3G; (b) TG; (c) GT ; (d) T 2; (e) G2; (f) (TG)2;
(g) T (G+ T ); (h) (G+ T )T ; (i) (G+ T )2; (j) (G+ T )(T −G).
2 Seja T : R2 → R3 dada por T (a1, a2) = (a1 − a2, a1, 2a1 + a2). Encontrar [T ]γβ nos
casos abaixo.
(a) β = {(1, 0), (0, 1)} e γ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)};
(b) β = {(1, 1), (2, 1)} e γ = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)};
(c) β = {(1, 2), (2, 3)} e γ = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (2, 2, 3)}.
3 Seja T : M2(R)→ R dada por T (A) = tr(A). Encontrar [T ]γβ nos casos abaixo.
(a) β é a base canônica de M2(R) e γ = {1};
(b) β é a base canônica de M2(R) e γ = {2}.
4 Seja T : M2(R) → M2(R) dada por T (A) = At. Encontrar [T ]β, onde β é a base
canônica de M2(R).
5 Seja T : V → V transformação linear. Encontrar β e γ bases de V tal que [T ]γβ é
uma matriz diagonal.
6 (a) Encontrar duas transformações lineares U : R2 → R2 e T : R2 → R2 tal que
UT = T0 e TU 6= T0, onde T0(v) = 0, para todo v ∈ V .
(b) Use o item (a) para encontrar A,B ∈M2(R) tal que A.B = 0 e B.A 6= 0.
7 Seja T : V → V transformação linear. Provar que, T 2 = T0 se, somente se,
I(T ) ⊂ N(T ), onde T0(v) = 0, para todo v ∈ V .
8 Seja T : V → V transformação linear. Provar que,
(a) Se o posto de T e T 2 são iguais, então N(T ) ∩ I(T ) = {0}.
(b) V = N(T )⊕ I(T )
9 Mostrar que T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) = (x + z, x − z, y) é isomorfismo.
Encontrar T−1.
10 Mostrar que T : R3 → R4 dado por T (x, y, z) = (x, x − y, y − z, z) é injetora,
mas não é isomorfismo.
11 Mostrar que R2 é isomorfo a U = {(x, y, z) ∈ R3 | x = −y}.
12 Sejam V,W e E espaços vetoriais e T : V → W e U : W → E transformações
lineares.
(a) Se UT é injetiva, verificar que T é injetiva. Podemos afirmar que U é injetiva?
(b) Se UT é sobrejetiva, verificar que U é sobrejetiva. Podemos afirmar que T é
sobrejetiva?
(c) Se U e T são isomorfismos, provar que UT é isomorfismo.
13 Sejam T : V → W isomorfismo e β base de V . Mostrar que T (β) é base de W .
14 Para cada par de base ordenadas β e β′ de R2 encontrar a matrix de mudança
de base de β′ para β.
(a) β = {(1, 0), (0, 1)} e β′ = {(a1, a2), (b1, b2)};
(b) β = {(−1, 3), (2,−1)} e β′ = {(0, 10), (5, 0)};
(c) β = {(−4, 3), (2,−1)} e β′ = {(2, 1), (−4, 1)}.
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15 Para cada par de base ordenadas β e β′ de P2(R) encontrar a matrix de mudança
de base de β′ para β.
(a) β = {2x2 − x, 3x2 + 1, x2} e β′ = {1, x, x2};
(b) β = {1, x, x2} e β′ = {2x2 − x, 3x2 + 1, x2};
(c) β = {x2 − x+ 1, x+ 1, x2 + 1} e β′ = {x2 + x+ 4, 4x2 − 3x+ 2, 2x2 + 3}.
16 Seja T : R2 → R2 definida por T (a, b) = (2a+ b, a− 3b). Se β = {(1, 0), (0, 1)} e
β′ = {(1, 1), (1, 2)}, encontrar:
(a) A mudança de base de β′ para β;
(b) A mudança de base de β para β′;
(c) [T ]β; (d) [T ]β′ ; (e) [T ]β
′
β ; (f) [T ]ββ′ .
17 Determinar T : R2 → R2 transformação linear cuja matriz em relação à base
β = {(1, 2), (0, 5)} é
 3 1
2 −1
 .
18 Se a matriz de uma transformação linear T : R3 → R3 em relação à base canônica
é 
1 1 0
0 1 0
0 1 −1

e H = IR3 + T + 2T 2, determinar a matriz de H em relação à base canônica do R3.
Achar H(x, y, z).
19 Para cada item abaixo determinar todos as transformações lineares T : R2 → R2
com as propriedades dadas.
(a) T 2 = T e T (x, y) = (ax, bx+ cy);
(b) T 2 = 0 e T (x, y) = (ax+ by, cy).
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20 Seja T : V → V uma transformação linear tal que dim(V ) = 2. Se a matriz de
T em relação a uma certa base β de V é
 a b
c d
 . Mostrar que
T 2 − (a+ d)T + (ad− bc)IV = 0.
21 Para cada operador linear T : Rn → Rn associado a matriz A ∈Mn(R)
(i) Determinar todos os autovalores de T ;
(ii) Para cada autovalor λ de T , encontrar o conjunto dos autovetores correspon-
dente a λ;
(iii) Se posśıvel, encontrar uma base de Rn consistindo de autovetores de T , a matriz
diagonal D que representa T nesta base e a matriz Q tal que D = Q−1AQ.
(a) A =
 1 2
3 2
; (b) A =

0 −2 −3
−1 1 −1
2 2 5
; (c) A =

2 0 −1
4 1 −4
2 0 −1
;
(d) A =

3 1 0 0
0 3 0 0
0 0 4 0
0 0 0 3
.
22 Calcular o polinômio caracteŕıstico e os valores próprios do operador linear as-
sociado a matriz 
2 1 0 0
0 2 0 0
0 0 1 1
0 0 −2 4
 .
23 Seja T : P2(R)→ P2(R) definido por T (f(x)) = f(x) + xf ′(x). Encontrar todos
os autovalores de T e uma base β de P2(R) tal que [T ]β é uma matriz diagonal.
24 Seja λ autovalor de um operador T . Mostrar que λn é autovalor de T n.
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25 Seja T : V → V operador linear tal que a dimensão de V é finita.
(a) Mostrar que T é invert́ıvel se, e somente se, 0 não é autovalor de T ;
(b) Se T é invert́ıvel e λ é autovalor de T , então verificar que λ−1 é autovalor de
T−1.
26 Seja T : Mn(R) → Mn(R) definido por T (A) = At. Encontrar todos os auto-
valores de T e para cada autovalor achar o conjunto dos autovetores.
27 Para cada matriz A ∈Mn(R) verifique se existe uma matriz Q tal que Q−1AQ é
uma matriz diagonal, no caso positivo exibir Q.
(a) A =
 1 2
0 1
; (b) A =
 1 3
3 1
; (c) A =

7 −4 0
8 −5 0
6 −6 3
;
(d) A =

1 1 0
0 1 2
0 0 3
; (e) A =

3 1 1
2 4 2
−1 −1 1
.
28 Para cada operador linear T , verificar se T é diagonalizável. Se T é diagona-
lizável, encontrar uma base β tal que [T ]β é diagonal.
(a) T : P3(R)→ P3(R) dada por T (f) = f ′ + f ′′;
(b) T : P2(R)→ P2(R) definida por T (ax2 + bx+ c) = cx2 + bx+ a;
(c) T (a1, a2, a3) = (a2,−a1, 2a3);
(d) T : P2(R)→ P2(R) definida por T (f)(x) = f(0) + f(1)(x+ x2);
(e) T : M2(R)→M2(R) definida por T (A) = At.
29 Se
A =
 1 4
2 3
 ∈M2(R),
encontrar An para qualquer n inteiro positivo.
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