Transformações Lineares em R2

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Instituto de F́ısica - DFT
F́ısica Matemática III
Prof. Marcelo Chiapparini
Lista 2 - Transformações lineares
1. Quais das seguintes funções T de R2 em R2 são transformações lineares?
(a) T (x1, x2) = (1 + x1, x2);
(b) T (x1, x2) = (x2, x1);
(c) T (x1, x2) = (x2
1, x2);
(d) T (x1, x2) = (sinx1, x2);
(e) T (x1, x2) = (x1 − x2, 0).
2. Encontre a imagem, rango, núcleo e nulidade para a transformação zero e para a trans-
formação identidade de um espaço vetorial de dimensão finita V .
3. Descreva a imagem e o núcleo para a transformação diferenciação do Exemplo 2 das
Notas de Aula 2. Faça o mesmo para a transformação de integração do Exemplo 5 das
Notas de Aula 2.
4. Existe alguma transformação linear T de R3 em R2 tal que T (1,−1, 1) = (1, 0) e
T (1, 1, 1) = (0, 1)?
5. Se
v1 = (1,−1), w1 = (1, 0)
v2 = (2,−1), w2 = (0, 1)
v3 = (−3, 2), w3 = (1, 1)
existe alguma transformação linear T de R2 em R2 tal que T (vi) = wi para i = 1, 2, 3?
6. Descreva explicitamente a transformação linear de R2 em R2 tal que T (ε1) = (a, b),
T (ε2) = (c, d).
7. Seja F um subcampo de C e seja T a função de F3 em F3 definida por
T (x1, x2, x3) = (x1 − x2 + 2x3, 2x1 + x2,−x1 − 2x2 + 2x3).
(a) Verifique que T é uma transformação linear.
(b) Se (a, b, c) é um vetor em F3, quais são as condições sobre a, b, e c para que o vetor
esteja na imagem de T? qual é o rango de T?
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(c) Quais são as condições sobre a, b, e c para que (a, b, c) esteja no núcleo de T? qual
é a nulidade de T?
8. Seja V = Fn×n, e seja B uma matriz fixa em Fn×n. Se T (A) = AB − BA, verifique que
T é uma transformação linear de V em V.
9. Seja V = Fn×1 e seja W = Fm×1. Seja A uma matriz fixa em Fm×n e seja T a trans-
formação linear de V em W definida por T (X) = AX. Prove que T é a transformação
zero se e somente se A é a matriz zero.
10. Seja V um espaço vetorial e T uma transformação linear de V em V. Prove que as
seguintes afirmações são equivalentes.
(a) Im(T ) ∩ Nu(T ) = 0.
(b) Se T (T (v)) = 0, então T (v) = 0.
11. Sejam T e U operadores lineares sobre R2 definidos por T (x1, x2) = (x2, x1) e U(x1, x2) =
(x1, 0).
(a) Como descreveria T e U geometricamente?
(b) Forneça regras como as que definem T e U para cada uma das seguintes trans-
formações: (U + T ), UT , TU , T 2
12. Seja T o operador linear sobre R3 definido por T (x1, x2, x3) = (3x1, x1−x2, 2x1+x2+x3).
É T inverśıvel? Se for, encontre uma regra para T−1 como a que define T .
13. Seja a seguinte matriz B em C2×2:
B =
(
1 −1
−4 4
)
e seja T o operador linear sobre C2×2 definido por T (A) = BA. Qual é o rango de T?
Pode descrever T 2?.
14. Encontre dois operadores lineares T e U sobre R2 tais que TU = 0 mas UT 6= 0.
15. Seja V um espaço vetorial sobre o campo F e seja T um operador linear sobre V. Se
T 2 = 0, que pode ser dito sobre a relação entre a imagem de T e o núcleo de T? Dê um
exemplo de um operador linear T em R2 tal que T 2 = 0 mas T 6= 0.
16. Seja V o conjunto dos números complexos e seja F o campo dos números reais. Com as
operações usuais, V é um espaço vetorial sobre F. Descreva explicitamente um isomor-
fismo desse espaço sobre R2.
17. Seja W o conjunto de todas as matrizes 2 × 2 complexas hermitianas (Aij = A∗
ji). W,
dotado das operações usuais, é um espaço vetorial sobre o campo dos números reais R.
Verifique que
(x, y, z, t) −→
(
x+ 7y 5y
−10y x− 7y
)
é um isomorfismo de R4 sobre W.
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18. Sejam V e W espaços vetoriais sobre o campo F e seja U um isomorfismo de V sobre W.
Prove que T → UTU−1 é um isomorfismo de L(V,V) sobre L(W,W).
19. Seja T a transformação de R3 em R2 definida por T (x1, x2, x3) = (x1 + x2, 2x3 − x1).
(a) Se B e B′ são as bases ordenadas estândar de R3 e R2 respectivamente, qual é a
matriz de T relativa ao par B, B′?
(b) Se B = {v1, v2, v3} e B′ = {w1, w2} onde
v1 = (1, 0,−1), v2 = (1, 1, 1), v3 = (1, 0, 0), w1 = (0, 1), ww = (1, 0)
qual é a matriz de T relativa ao par B, B′?
20. Seja T o operador linear sobre R2 definido por
T (x1, x2) = (−x2, x1).
(a) Qual é a matriz de T na base ordenada estândar de R2?
(b) Qual é a matriz de T na base ordenada B = {v1, v2}, onde v1 = (1, 2) e v2 = (1,−1)?
(c) Prove que para todo numero real c o operador (T − cI) é inverśıvel.
(d) Prove que se B é qualquer base ordenada para R2 e [T ]B = A, então A12A21 6= 0.
21. Seja T o operador linear sobre R3 definido por
T (x1, x2, x3) = (3x1 + x3,−2x1 + x2,−x1 + 2x2 + 4x3).
(a) Qual é a matriz de T na base ordenada estândar de R3?
(b) Qual é a matriz de T na base ordenada {v1, v2, v3}, onde v1 = (1, 0, 1), v2 =
(−1, 2, 1), e v3 = (2, 1, 1)?
(c) Prove que T é inverśıvel e forneça uma regra para T−1 análoga à que define T .
22. Seja θ um numero real. Prove que as seguintes matrizes são similares sobre o campo dos
números complexos: (
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)
,
(
eiθ 0
0 e−iθ
)
(Dica: Seja T o operador linear sobre C2 que é representado pela primeira matriz na
base ordenada estândar. Então, encontre vetores v1 e v2 tais que T (v1) = eiθv1, T (v2) =
e−iθv2, e {v1, v2} formando uma base.)
23. Em sala de aula foi visto que o operador T sobre R2 definido por T (x1, x2) = (x1, 0) está
representado na base ordenada estândar pela matriz
A =
(
1 0
0 0
)
.
Este operador satisfaz T 2 = T . Prove que se S é um operador linear sobre R2 tal que
S2 = S, então S = 0, ou S = I, ou existe uma base ordenada B de R2 tal que [S]B = A.
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24. Em R3, sejam v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1,−2), v3 = (−1,−1, 0).
(a) Se f é um funcional lineal sobre R3 tal que f(v1) = 1, f(v2) = −1, e f(v3) = 3, e
se v = (x, y, z), encontre f(v).
(b) Descreva explicitamente um funcional linear sobre R3 tal que f(v1) = f(v2) = 0,
mas f(v3) 6= 0.
(c) Seja f qualquer funcional linear tal que f(v1) = f(v2) = 0, mas f(v3) 6= 0. Se
v = (2, 3,−1), mostre que f(v) 6= 0.
25. Seja B = {v1, v2, v3} a base de C3 definida por v1 = (1, 0,−1), v2 = (1, 1, 1), e v3 =
(2, 2, 0). Encontre a base dual de B.
26. Se A e B são matrizes de Fn×n, mostre que tr(AB)=tr(BA). Mostre agora que matrizes
similares têm o mesmo traço.
27. Sejam m e n inteiros positivos e F um campo. Sejam f1, . . . , fm funcionais lineares sobre
Fn. Para v em Fn defina
T (v) = (f1(v), . . . , fm(v)).
Mostre que T é uma transformação linear de Fn em Fm. Mostre então que toda trans-
formação linear de Fn em Fm é da forma acima, para algumas f1, . . . , fm.
28. Sejam v1 = (1, 0,−1, 2) e v2 = (2, 3, 1, 1), e seja W o subespaço de R4 gerado por v1 e v2.
Quais funcionais lineares f(x1, x2, x3, x4) = c1x1+c2x2+c3x3+c4x4 estão no aniquilador
de W?
29. Seja W o subespaço de R5 gerado pelos vetores v1 = ε1+2ε2+ ε3, v2 = ε2+3ε3+3ε4+ ε5,
v3 = ε1 + 4ε2 + 6ε3 + 4ε4 + ε5. Encontre uma base para W0.
30. Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial de dimensão finita V.
(a) Prove que (W1 +W2)
0 = W0
1 ∩W0
2.
(b) Prove que (W1 ∩W2)
0 = W0
1 +W0
2.
31. Seja W o espaço das matrizes Fn×n, e seja W0 o subespaço gerado pelas matrizes C da
forma C = AB − BA. Prove que W0 é exatamente o subespaço das matrizes de traço
zero. (Ajuda: qual é a dimensão do espaço das matrizes de traço zero? Use as matrizes
com exatamente um elemento não-zero, para construir um número suficiente de matrizes
linearmente independentes da forma AB −BA.)
32. Seja n um inteiro positivo e F um campo. Seja W o conjunto de todos os vetores
(x1, . . . , xn) em Fn tais que x1 + · · ·+ xn = 0.
(a) Prove que W0 consiste de todos os funcionais lineares da forma f(x1, . . . , xn) =
c
∑n
j=1 xj.
(b) Mostre que o espaço dual W∗ de W pode ser identificado “naturalmente”com os
funcionais lineares f(x1, . . . , xn) = c1x1+ · · ·+ cnxn de Fn que satisfazem c1+ · · ·+
cn = 0.
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