MF-UECE-2024-2 (1)

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Marcos Barbosa
INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA 
“Ei, você aí! Me dá um dinheiro aí! Me dá um dinheiro aí!”
Marchinha de Carnaval – Composição: Homero Ferreira / Renato Ferreira / Ivan Ferreira
Jornada Acadêmica
1 Conceitos gerais de Matemática Financeira
- Por mais que não nos interessemos por finanças, esse assunto é presente em nosso cotidiano. Seja em uma simples compra a prazo até investimentos mais sofisticados.
- Quem nunca ficou na dúvida de como efetuar uma compra ou liquidar uma dívida? A mídia está repleta de ofertas. 
1.1 Definição
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
Todo início de ano temos vários impostos e taxas a serem pagas: Imposto sobre a Propriedade Territorial Urbana (IPTU), Imposto sobre a Propriedade de Veículos Automotores (IPVA), Anuidade dos Conselhos de Classe. Então: é melhor pagar à vista ou a prazo?
É melhor fazer um financiamento pelo Sistema Price ou de Amortização Constante?
Taxa Mínima de Atratividade, Taxa Interna de Retorno, Valor Presente Líquido: o que isso pode nos dizer no tocante ao melhor investimento?
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Jornada Acadêmica
 Onde a Matemática Financeira se 
 encaixa nesse contexto?
- A Matemática Financeira trata, em essência, da avaliação do valor do dinheiro no tempo através da aplicação de uma série de técnicas e conceitos de matemática. O objetivo é o de efetuar comparações e análises dos vários fluxos de entradas e saídas de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos.
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A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Jornada Acadêmica
Receber uma quantia hoje ou no futuro não são evidentemente a mesma coisa. Em princípio, uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária disponível amanhã. 
É intuitivo entender que R$ 1.000,00 em seu bolso hoje tenham mais valor do que R$ 1.000,00 que chegarão às suas mãos daqui a seis meses.
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Jornada Acadêmica
A Matemática Financeira reconhece que o dinheiro tem valor no tempo. Adiar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros. 
Dessa forma, são os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos na economia.
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Jornada Acadêmica
1.2 Objetivo
- A Matemática Financeira tem como principal objetivo a realização de cálculos em fluxos de caixa, com a aplicação de taxas de juros para obter valores equivalentes, que permitam uma correta tomada de decisão do ponto de vista financeiro, levando em consideração o valor do dinheiro no tempo.
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Jornada Acadêmica
- É extremamente útil na análise de diversas operações financeiras de investimentos e financiamentos, e em diversos outros ambientes econômicos que demandam comparações do dinheiro no tempo. 
qual o valor de um capital de R$ 100.000,00 daqui a um ano?
quanto deve ser pago por uma dívida se for quitada antes de seu vencimento (pagamento antecipado)?
como comparar dois ou mais valores no tempo?
quais as alternativas mais atraentes (mais rentáveis) de investimentos?
como devem ser analisadas as alternativas de empréstimos?
qual a melhor decisão de compra?
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A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Situação prática: 
Você necessita de R$ 50.000,00 para atender a uma necessidade financeira. Um banco lhe propõe um empréstimo nesse valor que deverá ser pago após três meses; o banco depositará R$ 50.000,00 em sua conta e você pagará a ele R$ 60.000,00 ao final desse período. 
Essa situação permite a você identificar os elementos básicos que serão estudados em Matemática Financeira. Nessa situação, você pode ver que: 
existiu uma transação financeira entre o banco (agente credor) e o cliente (agente devedor) que será denominada de operação financeira; 
essa operação financeira tem um valor inicial de R$ 50.000,00 que será denominado de capital e um valor final de R$ 60.000,00 que será denominado montante e teve uma duração de três meses; 
há uma diferença entre o montante e o capital que será denominada juro da operação. Esse juro será um custo para você e uma remuneração para o banco; e 
existe um agente que empresta o dinheiro que é denominado credor e existe um agente que toma o dinheiro emprestado que é denominado devedor.
Jornada Acadêmica
1.3 Fluxo de Caixa
Denomina-se fluxo de caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo.
Podemos ter fluxos de caixa de empresas, investimentos, projetos, operações financeiras, etc.
O fluxo de caixa e a taxa de juros são as duas matérias-primas mais importantes da Matemática Financeira.
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Jornada Acadêmica
- A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação. O ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam os períodos de tempo (datas).
- As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas (ou recebimentos) de dinheiro, e as setas para baixo da linha indicam saídas (ou aplicações) de dinheiro.
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Por exemplo: 
Determinado financiamento de R$ 30.000,00 a ser pago em 6 prestações mensais e iguais de R$ 5.200,00 cada.
 Tomador do recurso
 Credor do recurso
Jornada Acadêmica
1.4 Juro
Juro pode ser entendido como o preço pago pelo uso de um capital por um certo período de tempo. 
Representa, portanto, o valor da remuneração de um investimento ou o valor pago pelo empréstimo de um capital.
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Jornada Acadêmica
Todo empréstimo ou aplicação de dinheiro envolve um sacrifício de adiar um consumo ou gasto, devendo a pessoa, portanto, ser remunerada por isso através da cobrança de juros.
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Jornada Acadêmica
As taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:
a) o risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado genericamente pela incerteza com relação ao futuro;
b) a perda do poder de compra do capital motivada pela inflação;
c) o capital emprestado/aplicado. 
Os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo. Este ganho é estabelecido basicamente em função das diversas outras oportunidades de investimentos e definido por custo de oportunidade.
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1.5 Taxa de juros
Taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital utilizado durante certo período de tempo.
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Jornada Acadêmica
As taxas de juros sempre se referem a uma unidade de tempo: mês, semestre, ano, bimestre, etc; e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária.
A taxa percentual refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital. E vem acompanhada do intervalo de tempo a que se refere, ou seja:
10% a.a. (ao ano); 8% a.s. (ao semestre)
4% a.q. (ao quadrimestre); 2% a.t. (ao trimestre)
1% a.m. (ao mês)
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Por exemplo: 
um capital de R$ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende juros, ao final deste período:
Juro = 1.000,00 x 20
 100
 
Juro = 10 x 20 = R$ 200,00
O capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração total da aplicação no período é, portanto, de R$ 200,00.
Jornada Acadêmica
A taxa unitária centra-sena unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo período de tempo.
No exemplo anterior, a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 (20%/100) por unidade de capital aplicada, ou seja:
J = 1.000,00 x 20 => 1.000,00 x 0,20 = R$ 200,00
 100
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Jornada Acadêmica
A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela divisão da notação em percentual por 100.
	TAXA PERCENTUAL	TAXA UNITÁRIA
	1,50%	0,015
	8%	0,08
	17%	0,17
	86%	0,86
	120%	1,20
	1.500%	15,00
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IMPORTANTE!
Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros.
Jornada Acadêmica
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Jornada Acadêmica
1.6 Regras básicas
Nas fórmulas de matemática financeira, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem estar necessariamente expressos na mesma unidade de tempo.
Somente após a definição do prazo e da taxa de juro na mesma unidade de tempo é que as formulações da matemática financeira podem ser operadas.
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Jornada Acadêmica
1.6 Regras básicas
Apenas valores monetários da mesma data podem ser comparados e somados algebricamente.
Valores monetários de datas diferentes são grandezas que não podem ser somadas algebricamente ou comparadas entre si, a menos que sejam previamente movimentadas para a mesma data, com a correta aplicação de uma taxa de juros.
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1.7 Critérios de capitalização dos juros
Os critérios (regimes) de capitalização demonstram como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. 
Nesta conceituação podem ser identificados dois regimes de capitalização dos juros: 
simples (ou linear) e 
composto (ou exponencial).
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1.8 Capital, Montante, Valor Presente, Valor Futuro e Valor Nominal
Capital (C) é o valor inicial de uma operação financeira expresso em unidades monetárias. Esse valor inicial pode ser:
numerário ou depósitos bancários disponíveis;
valor de um título de dívida no início de um processo financeiro; e
valor de ativos físicos (prédios, máquinas, veículos e outros) no início de um processo financeiro.
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Jornada Acadêmica
Montante (M) é a soma do capital (C) e do juro (J) que foi acordado na operação financeira e que é devido ao seu final. Essa definição mostra a você a seguinte relação:
M = C + J
 Essa relação é denominada equação básica da Matemática Financeira.
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Jornada Acadêmica
Valor presente (PV) é o valor de uma operação financeira na data presente. É um valor intermediário entre o montante (M) e o capital (C), conforme você pode ver na Figura 2.
Veja que, para uma operação financeira iniciada hoje, o capital (C) e o valor presente (PV) coincidem; por essa razão, a expressão valor presente (PV) é, frequentemente, utilizada como sinônima de capital (C), apesar da diferença conceitual existente.
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Jornada Acadêmica
Valor futuro (FV) é o valor de uma operação financeira em qualquer data compreendida entre a data atual e o vencimento da operação (Figura 2). De modo análogo ao valor presente (PV) e ao capital (C), também o valor futuro (FV) é, frequentemente, tomado como sinônimo de montante (M).
Valor nominal (VN) é o valor de uma operação financeira constante do título de crédito que a documenta. Pode ser tanto o valor inicial, ou capital (C), quanto o valor final, ou montante (M), da operação. Alguns autores adotam a nomenclatura “valor de face” em vez de “valor nominal”. Frequentemente, valor nominal (VN), valor de futuro (FV) e montante (M) são tomados como sinônimos apesar das diferenças conceituais existentes.
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Jornada Acadêmica
1.9 Porcentagem
É comum vermos nas lojas os encartes, e na internet a quantidade de vezes que a representação % (por cento) está presente na comunicação das mais diversas empresas e órgãos públicos.
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1.9 Porcentagem
Fonte: https://www.baratocoletivo.com.br/
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Jornada Acadêmica
1.9 Porcentagem
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1.9 Porcentagem
- Trata-se de uma linguagem amplamente difundida, e é senso comum entre a população de que se trata de um modo de comunicação com vistas em representar a parte de um todo de 100 unidades.
- Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.
- Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades.
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Jornada Acadêmica
1.9 Porcentagem
- O cálculo de 10% de 80, por exemplo, pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é: 10% x 80 = (10 / 100) x 80 = 800 / 100 = 8.
- Situações mais elementares, como a citada anteriormente, podem ser resolvidas “de cabeça” (cálculo mental). 
- Imagine que os 80 citados são na verdade o valor da conta de um jantar em família; sobre esse valor vamos acrescentar a taxa de serviço de garçom que é de 10% sobre o consumo total. Sendo assim, basta dividir por 10 o valor da conta, resultando em 8, ou melhor, em 8,00 reais e somar este resultado ao total consumido: 
R$8,00 + R$80,00 = R$88,00 ou 80,00 X 1,10 = R$ 88,00
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Jornada Acadêmica
1.9 Porcentagem
- Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos o produto:
Produto = M% x N = ( M / 100) x N
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Por exemplo: 
1: Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? Quantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?
Resolução:
Etiquetas Pares = 52% de 25 fichas = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13. 
O restante, (100% - 52% = 48% são de fichas número ímpar).
Nesse fichário, há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com
número ímpar.
Por exemplo: 
2: Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Pagou-se R$ 690,00 pela mercadoria. Qual o preço original da mercadoria?
Resolução:
Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço original, e isto significa que 92% de X = 690
Assim temos:
92% .x = 690
(92/100) . x = 690
(92x / 100) = 690
92x = 69.000
x = 69.000 / 92 = 750
O preço original da mercadoria era de R$750,00.
https://exame.com/economia/brasil-tem-maior-juro-real-do-mundo-o-que-isso-significa-na-pratica/
Leitura 1: 
Brasil tem maior juro real do mundo. O que isso significa na prática?
Leitura 2: 
A inflação, a taxa Selic e o seu bolso
https://meubolsoemdia.com.br/Materias/a-inflacao-os-juros-e-o-seu-bolso
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Dica de PodCast: Matemática Financeira
https://brasilescola.uol.com.br/podcasts/matematica-financeira.htm
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CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
“De grão em grão a galinha enche o papo”
Ditado popular
Jornada Acadêmica
1 Juros Simples
- No regime de juros simples a taxa de juro incide somente sobre o principal, não ocorrendo “juros sobre juros”, mesmo considerando que os juros não tenham sido pagos.
- A taxa é aplicada somente sobre o principal (valor inicial).
- Este critério de capitalização dos juros é utilizada geralmente em operações de curto prazo. 
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Jornada Acadêmica
1.1 Fórmulas de juros simples
- O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão:
J = C x i x n
 
Onde: 
J = valor dos juros expresso em unidades monetárias;
C = capital. É o valor (em R$) representativo de determinado momento;
i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária;
n = prazo (tempo).
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Jornada Acadêmica
1.1 Fórmulas de juros simples
- Esta fórmula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores financeiros mediante simples dedução algébrica:
C = J ; i = J ; n = J .
 i x n C x n C x i
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
1. Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxade 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.
Resposta:
C = R$ 80.000,00
i = 2,5% ao mês (0,025)
n = 3 meses
J = ?
 
J = C x i x n
J = 80.000 x 0,025 x 3
J = R$ 6.000,00
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
2. Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determine o valor do empréstimo.
Resposta:
C = ?
i = 6% ao mês (0,06)
n = 9 meses
J = R$ 270.000,00
 
C = J / i x n
C = 270.000 / 0,06 x 9
C = 270.000 / 0,54
C = R$ 500.000,00
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
3. Um capital de R$ 40.000,00 é aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de R$ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação.
Resposta:
C = R$ 40.000,00
i = ?
n = 11 meses
J = R$ 9.680,00
i = J / C x n
i = 9.680 / 40.000 x 11
i = 9.680 / 440.000
i = 0,022 ou 2,2% ao mês
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
4. Uma aplicação de R$ 250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês, produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$ 27.000,00. Calcular o prazo da aplicação.
Resposta:
C = R$ 250.000,00
i = 1,8% ao mês (0,018)
n = ?
J = R$ 27.000,00
n = J / C x i
n = 27.000 / 250.000 x 0,018
n = 27.000 / 4.500
n = 6 meses
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Jornada Acadêmica
1.2 Montante e Capital
- Montante é formado pelo capital mais o valor acumulado dos juros, isto é:
M = C + J
- Tal expressão também pode ser evidenciada assim:
M = C (1 + i x n)
 - O valor de C desta fórmula pode ser obtido através de simples transformação algébrica:
 C = M . 
 (1 + i x n)
 
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Jornada Acadêmica
- A expressão (1 + i x n) é definida como fator de capitalização (ou de valor futuro) dos juros simples. Ao multiplicar um capital por este fator, corrige-se o seu valor para uma data futura, determinando o montante.
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
1. Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período.
Resposta:
C = R$ 18.000,00
i = 1,5% ao mês (0,015)
n = 8 meses
M = ?
M = C (1+ i x n)
M = 18.000 (1+ 0,015 x 8)
M = 18.000 (1 + 0,12)
M = 18.000 x 1,12
M = R$ 20.160,00
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
2. Uma dívida de R$ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.
Resposta:
M = R$ 900.000,00
i = 7% ao mês (0,07)
n = 4 meses
C = ?
C = M / (1+ i x n)
C = 900.000 / (1+0,07 x 4)
C = 900.000 / 1,28
C = R$ 703.125,00
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Jornada Acadêmica
1.3 Taxa proporcional e taxa equivalente
- Inicialmente, temos que entender que toda operação envolve dois prazos: 
o prazo a que se refere a taxa de juros; e 
o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros.
Por exemplo:
(a) Juanes fez um empréstimo bancário a uma taxa (custo) nominal de 24% ao ano. E os encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano.
Neste caso, identificamos os dois prazos coincidem: taxa de juros (anual) e prazo de capitalização (anual).
(b) crédito direto do consumidor promovido pelas Financeiras é outro exemplo de operações com prazos iguais. Caracteristicamente, a taxa cobrada é definida ao mês e os juros capitalizados também mensalmente.
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Jornada Acadêmica
No entanto, em diversas outras operações estes prazos não são coincidentes. O juro pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo nesta situação ser definido como o prazo da taxa será rateado ao período de capitalização.
Por exemplo:
a Caderneta de Poupança para aos seus depositantes uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é agregada (capitalizada) ao principal todo mês através de um percentual proporcional de 0,5%.
Neste caso, temos dois prazos: prazo da taxa (anual) e prazo de capitalização (mês).
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Jornada Acadêmica
Como já vimos na aula 1, é necessário para o uso das fórmulas de matemática financeira expressar os prazos diferentes na mesma base de tempo. 
Ou transforma-se o prazo específico da taxa para o de capitalização ou, de maneira inversa, o período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros.
Então, vamos lá para as definições...
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Jornada Acadêmica
- Taxas proporcionais (também conhecida como taxa linear ou nominal) são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas ao mesmo principal durante o mesmo prazo, produzem o mesmo montante acumulado no final daquele prazo.
- Esta taxa proporcional é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização).
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalização for definida mensalmente (ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será:
Taxa proporcional = 18% = 1,5% ao mês
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Jornada Acadêmica
 A aplicação de taxas proporcionais é muito difundido, principalmente em operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre saldo devedor de conta corrente bancária, etc.
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Jornada Acadêmica
- Taxas equivalentes: as taxas de juros simples se dizem equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros.
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
em juros simples, um capital de R$ 500.000,00, se aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros.
J (2,5% a.m.) = 500.000 x 0,025 x 12 = R$ 150.000,00
J (15% a.s.) = 500.000 x 0,15 x 2 = R$ 150.000,00
Os juros produzidos pelas duas taxas lineares de juros são iguais, logo são definidas como equivalentes.
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Jornada Acadêmica
- No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente a classificação de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes.
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
1. Calcular a taxa anual proporcional a:
a) 6% ao mês;
b) 10% ao bimestre.
Resposta:
a) i = 6% x 12 = 72% ao ano
b) i = 10% x 6 = 60% ao ano.
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
2. Calcular a taxa de juros semestral proporcional a:
a) 60% ao ano;
b) 9% ao trimestre.
Resposta:
a) i = 60% / 2 = 30% ao semestre
b) i = 9% x 2 = 18% ao semestre.
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
3. Demonstre se 36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre.
Resposta:
12 = 36
 3 12
Efetua-se o produto dos meios (3 x 36) pelos produtos dos estremos (12 x 12). 
E vê-se que os resultados não são iguais (108 ≠ 144), logo, as taxas não são proporcionais.
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
4. Calcular o montante de um capital de R$ 600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses.
Resposta:
M =?
C = R$ 600.000,00
n = 1 ano e 5 meses (17 meses)
i = 2,3% ao mês (0,023)
 
M = C (1 + i x n)
M = 600.000 (1 + 0,023 x 17)
M = 600.000 x 1,391
M = R$ 834.600,00
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
5. Uma dívida de R$ 30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes. Para a sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente.
Resposta:
M = R$ 30.000,00
C = ?
n = 3 meses)
i = 15% ao ano (15% / 12 = 1,25% ao mês = 0,0125) 
C = M . 
 (1 + i x n)
 
C = 30.000 . 
 (1 + 0,125 x 3)
 
C = 30.000 . = R$ 28.915,66
 (1,0375)
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Jornada Acadêmica
1.4 Juro exato e juro comercial- O número de dias pode ser calculado de duas maneiras:
a) pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira denomina-se juro exato. Acontece em determinada data e vai até determinada data. Portanto, os meses não serão sempre de trinta dias.
b) pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário.
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
12% ao ano equivale, pelos critérios acima, à taxa de:
a) juro exato: 
12% / 365 dias = 0,032877% ao dia
b) juro comercial: 
12% / 360 dias = 0,033333% ao dia
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Jornada Acadêmica
- Existe, ainda, os juros bancários, onde o ano tem 365 dias, mas a taxa diária é obtida dividindo-se por 360, portanto, é o que proporciona o maior juro, pois o numerador, de modo geral, é o maior possível e o denominador, o menor possível.
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Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
uma quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada de 28 de agosto até 7 de outubro a uma taxa de 18% ao ano. Calcule os juros comerciais, exatos e bancários:
a) juros comerciais: 
n = 39 dias (de 28/08 a 28/10 teríamos 60 dias, então até 7/10 é 60-21)
i = 18% ao ano = 0,18/360
J = C x i x n = 10.000 x (0,18/360) x 39 = R$ 195,00
 
70
Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
b) juros exatos: 
n = 40 dias (3 dias de agosto + 30 dias de setembro + 7 dias de outubro)
i = 18% ao ano = 0,18/365
J = C x i x n = 10.000 x (0,18/365) x 40 = R$ 197,24
 
c) juros bancários: 
n = 40 dias (3 dias de agosto + 30 dias de setembro + 7 dias de outubro)
i = 18% ao ano = 0,18/360
J = C x i x n = 10.000 x (0,18/360) x 40 = R$ 200,00
71
Jornada Acadêmica
1.5 Equivalência financeira
- Conceitualmente, dois ou mais capitais representativos de uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum.
Por exemplo, R$ 120,00 vencíveis daqui a um ano e R$ 100,00, hoje, são equivalentes a uma taxa de juros simples de 20%, uma vez que os R$ 100,00, capitalizados, produziriam R$ 120,00 dentro de um ano, ou os R$ 120,00, do final do primeiro ano, resultariam em R$ 100,00 se atualizados hoje. Ou seja, ambos os capitais produzem, numa data de comparação (data focal) e à taxa de 20% ao ano, resultados idênticos. 
72
Jornada Acadêmica
Graficamente:
73
Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
1. Determinar se R$ 438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber hoje R$ 296.000,00, admitindo uma taxa de juros simples de 6% ao mês.
Resposta:
Os capitais são equivalentes à taxa de 6% ao mês. Portanto, a esta taxa de juros é indiferente receber R$ 296.000,00 hoje ou R$ 438.080,00 daqui a 8 meses.
74
Jornada Acadêmica
2 Desconto Simples
- O desconto deve ser entendido como o prêmio a ser dado a alguém que resolveu antecipar a quitação de um débito, e deve ser concedido por todo credor que, antecipadamente, isto é, antes da data de vencimento, poderá dispor de um numerário.
- Dessa forma, desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento.
75
Jornada Acadêmica
- Assim, o valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja:
 
Valor Descontado = Valor Nominal - Desconto
 
76
Jornada Acadêmica
- Um exemplo clássico de desconto ocorre nos descontos de duplicatas. É uma operação financeira criada para atender a detentores de títulos de crédito, como nota promissória e duplicata mercantil e de serviços, que necessitam transformá-los em dinheiro antes da data do vencimento; nesse caso, o detentor poderá negociar com um agente financeiro que lhe antecipará um valor inferior ao valor nominal.
77
Jornada Acadêmica
- Um exemplo clássico de desconto ocorre nos descontos de duplicatas. É uma operação financeira criada para atender a detentores de títulos de crédito, como nota promissória e duplicata mercantil e de serviços, que necessitam transformá-los em dinheiro antes da data do vencimento; nesse caso, o detentor poderá negociar com um agente financeiro que lhe antecipará um valor inferior ao valor nominal.
- Os descontos são classificados ainda em dois tipos: desconto “por dentro” (ou racional) e desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial).
78
Jornada Acadêmica
2.1 Desconto racional (ou “por dentro”)
- O desconto racional, também denominado de desconto “por dentro”, incorpora os conceitos e relações básicas de juros simples, conforme vistos nessa seção.
 - Fórmulas do desconto racional:
  Dr = Vr x i x n ; Dr = N x i x n . ; Vr = N . 
 1+ i x n 1+ i x n 
 Onde: 
Dr = valor do desconto racional;
N = valor nominal (ou valor de resgate ou montante);
i = taxa periódica de juros, expressa em sua forma unitária;
n = prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado antes de seu vencimento);
Vr = valor descontado racional (ou valor atual).
 
79
Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
Uma duplicata tem valor de face de R$ 6.100,00 e a taxa de desconto de 2,75% ao mês. Qual o valor do desconto racional simples e o valor pago (atual), sabendo-se que o resgate ocorreu oito meses antes do vencimento?
80
Jornada Acadêmica
2.2 Desconto bancário (ou comercial, ou “por fora”)
- Nesse tipo de desconto, a taxa incide sobre o valor nominal (ou valor de resgate, ou valor futuro) do título.
- Proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações.
- A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo mercado, notadamente em operações de crédito bancário e comercial a curto prazo.
 
81
Jornada Acadêmica
- Fórmulas do desconto bancário:
 
DF = N x d x n ; VF = N (1 - d x n) .
 
Onde: 
DF = valor do desconto por fora;
N = valor nominal (ou valor de resgate ou montante);
d = taxa de desconto periódica “por fora”, expressa em sua forma unitária;
n = prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado antes de seu vencimento);
VF = valor descontado por fora (ou valor atual).
 
82
Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
Determine a taxa mensal de desconto “por fora”, a juros simples, utilizada em uma operação de desconto de 140 dias, de uma duplicata cujo valor de face é de R$ 4.000,00 e o Principal é de R$ 1.200,00.
83
Jornada Acadêmica
Atividade de aprendizagem
1. Qual o montante de um empréstimo de R$ 2.000,00 a ser pago em 3 anos, a juros simples de 15% ao ano?
Resposta
Dados:
C = R$ 2.000
i = 15% a.a. => 0,15
n = 3 anos
J = C x i x n 
J = 2.000 x 0,15 x 3 
J = R$ 900
M = C + J
M = 2.000 + 900 = R$ 2.900
Há uma fórmula que calcula direto:
M = C (1 + i x n )
M = 2.000 (1 + 0,15 X 3)
M = 2.000 (1 + 0,45)
M = 2.000 X 1,45 = R$ 2.900
84
Jornada Acadêmica
Atividade de aprendizagem
1. Qual o montante de um empréstimo de R$ 2.000,00 a ser pago em 3 anos, a juros simples de 15% ao ano?
85
Jornada Acadêmica
Atividade de aprendizagem
1) Você foi ao banco solicitar um empréstimo de R$ 1.000,00 por um mês, e o banco cobrou uma taxa de juros de 1,5% a.m. Quanto você pagará de juros?
2) Um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros simples de 60% ao ano, rendeu R$ 900,00. Qual é o prazo da aplicação?
3) Qual é o capital que, investido por 4 meses a uma taxa de juros simples de 2% a.m., gera um montante de R$ 1.080,00?
4) As taxas de juros simples mensais equivalentes 24% a.a. , 6% a.s. , 16% a.q. , 9% a.t. , 3% a.b., são, respectivamente:
5) Um banco aplica R$ 100.000,00 à 15% a.m. por n meses; depois o montante à 20% a.m., por 4 meses, obtendo R$ 234.000,00. O prazo da primeira aplicação:
6) Paguei R$ 144,00 num item , já com desconto de 20%. Se pagasse após um mês, pagariaa mais 5% sobre o preço à vista. Quanto pagaria a prazo?
86
Jornada Acadêmica
Atividade de aprendizagem
Resoluções
1)
Resposta
Dados:
C = R$ 1.000
i = 1,5% a.m. => 0,015
n = 1 mês
J = C x i x n 
J = 1.000 x 0,015 x 1 
J = R$ 15
M = C + J
M = 1.000 + 15 = R$ 1.015
87
Jornada Acadêmica
Atividade de aprendizagem
2)
Resposta
Dados:
C = R$ 6.000
i = 60% a.a. => 0,60
J = R$ 900
n = ?
J = C x i x n 
900 = 6.000 x 0,60 x n 
900 = 3.600n 
n = 900 / 3600
n = 0,25 ano 
n = 0,25 ano X 12
n = 3 meses
88
Jornada Acadêmica
Atividade de aprendizagem
3)
Resposta
Dados:
C = ?
i = 2% a.m. => 0,02
n = 4 meses
M = R$ 1.080
M = C (1 + i x n )
1.080 = C (1 + 0,02 x 4) 
1.080 = 1,08C 
C = 1.080 / 1,08 
C = R$ 1.000
89
Jornada Acadêmica
Atividade de aprendizagem
4)
Resposta
Dados:
24% a.a. , 6% a.s. , 16% a.q. , 9% a.t. , 3% a.b.
Taxas mensais equivalentes?
24% a.a. => / 12 = 2% a.m.
6% a.s. => / 6 = 1% a.m.
16% a.q. => / 4 = 4% a.m.
9% a.t. => / 3 = 3% a.m.
3% a.b. => / 2 = 1,5% a.m.
90
Jornada Acadêmica
Atividade de aprendizagem
5)
Resposta
Dados:
Situação 1:
C = R$ 100.000
i = 15% a.m. => 0,15
n = ?
M1 = ?
Situação 2:
C = M1
i = 20% a.m. => 0,20
n = 4 meses
M = 234.000
Resposta
Situação 2
M = C (1 + i x n )
234.000 = M1 (1 + 0,20 x 4) 
234.000 = M1
M1 = 234.000 / 1,80 
M1 = R$ 130.000
Situação 1
M = C + J => 130.000 = 100.000 + J
=> J = 30.000
J = Cin => 30.000 = 100.000x0,15xn
n = 30.000 / 15.000
n = 2 meses
91
Jornada Acadêmica
Atividade de aprendizagem
6)
Resposta
Dados:
Valor pago: R$ 144,00 => 80% do preço à vista
i = 5% a.m. => 0,05
n = 1 mês
M = ?
Preço à vista=> 144 --------- 0,80
 X ----------1
 X = 144 / 0,80 = R$ 180,00
M = C (1 + i x n )
M = 180 (1 + 0,05 x 1) 
M = 180 x 1,05 
M = R$ 189,00
92
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
“Os juros compostos são a oitava maravilha do mundo moderno”
(Albert Einstein)
Jornada Acadêmica
1 Juros Compostos
- O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte, formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.
- No regime de juros compostos, os juros de cada período são sempre calculados sobre o saldo devedor/credor do início dos respectivos períodos, que inclui os juros vencidos e não pagos.
94
Jornada Acadêmica
1.1. Fórmulas de juros compostos
- O valor dos juros compostos é calculado a partir da seguinte expressão:
Onde: 
M = montante, ou seja, o Valor Futuro da aplicação, ou FV (Future Value);
C = capital. É o valor (em R$) representativo de determinado momento;
i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária;
n = prazo (tempo).
M = C (1 + i)n
95
Jornada Acadêmica
1.1. Fórmulas de juros compostos
- Para melhor adequar as formulações da Matemática Financeira com o uso de Calculadoras Financeiras, a expressão anterior será expressa da seguinte forma:
Onde: 
FV = é o Valor Futuro da aplicação ou Future Value;
PV = é o Valor Presente ou Present Value;
i = é a taxa de juros ou interest.
FV = PV (1 + i)n
96
Jornada Acadêmica
1.1. Fórmulas de juros compostos
- Demais fórmulas:
 
 
 
 PV = FV . ; J = PV x [(1 + i)n – 1]
 (1 + i)n
 
 
97
Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
1. Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?
98
Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
2. Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?
99
Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 40.000,00 que produz um montante de R$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre.
100
Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
4. Determinar o juro pago de um empréstimo de R$ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês.
101
HP12C
Jornada Acadêmica
103
Jornada Acadêmica
Realizando operações simples
- Efetue a seguinte operação
2 x 1200
2 ENTER
1200 X
104
Jornada Acadêmica
Realizando operações complexas
- Efetue a seguinte operação
1.700 + 470 x 7 – 4.970
470 ENTER
7 X 
1700 + 
4970 -
105
Jornada Acadêmica
Realizando operações complexas
- Efetue a seguinte operação
( 20 X 5) + (15 X 6)
20 ENTER
5 X 
15 ENTER
6 X 
+
106
Jornada Acadêmica
Realizando operações complexas
- Efetue a seguinte operação
( 3 + 4) X (5 + 6)
3 ENTER
4 + 
5 ENTER
6 +
X
107
Jornada Acadêmica
PORCENTAGEM
 %T % %
 20 é quantos % de 80
 80 ENTER
20 %T
108
Jornada Acadêmica
PORCENTAGEM
 %T % %
 Qual é variação percentual de 80 para 100
 80 ENTER
100 %
109
Jornada Acadêmica
PORCENTAGEM
 %T % %
 Quanto é 25% de 80?
 80 ENTER
25 %
110
Jornada Acadêmica
JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS
Um empresário deseja fazer uma aplicação financeira no valor de R$ 50.000. Considerando os sistemas de juros simples e compostos, o tempo de aplicação e a taxa de juros correspondente, é INCORRETO afirmar que:
A) Para obter um montante de R$ 82.500,00 sob um regime de juros simples após dez semestres, a taxa de juros anual é 13%. 
B) Sob o regime de juros compostos com uma taxa de 10% ao ano, o tempo para receber um rendimento de R$ 23.205,00 é quatro anos. 
C) Se a aplicação for feita sob um regime de juros compostos com uma taxa de 9% ao ano, por um período de dois anos, o empresário obterá um rendimento que representa 14,5% do capital original.
D) Se a aplicação for feita sob um regime de juros simples com uma taxa de 13,2% ao ano, por um período de cinco semestres, o empresário obterá um montante 33% maior que o capital original.
111
Jornada Acadêmica
JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS
Um empresário deseja fazer uma aplicação financeira no valor de R$ 50.000. Considerando os sistemas de juros simples e compostos, o tempo de aplicação e a taxa de juros correspondente, é INCORRETO afirmar que:
A) Para obter um montante de R$ 82.500,00 sob um regime de juros simples após dez semestres, a taxa de juros anual é 13%. 
50.000 CHS PV
13 i => é sempre anual
1800 n => é sempre em dias (6 X 30 X 6)
F INT => é a função para calcular os juros simples
+ => para se obter o Montante, basta apertar +
 
112
Jornada Acadêmica
JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS
Um empresário deseja fazer uma aplicação financeira no valor de R$ 50.000. Considerando os sistemas de juros simples e compostos, o tempo de aplicação e a taxa de juros correspondente, é INCORRETO afirmar que:
B) Sob o regime de juros compostos com uma taxa de 10% ao ano, o tempo para receber um rendimento de R$ 23.205,00 é quatro anos. 
50.000 CHS PV
10 i
4 n 
FV
RCL PV + 
113
Jornada Acadêmica
JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS
Um empresário deseja fazer uma aplicação financeira no valor de R$ 50.000. Considerando os sistemas de juros simples e compostos, o tempo de aplicação e a taxa de juros correspondente, é INCORRETO afirmar que:
C) Se a aplicação for feita sob um regime de juros compostos com uma taxa de 9% ao ano, por um período de dois anos, o empresário obterá um rendimento que representa 14,5% do capital original.
50.000 CHS PV
9 i
2 n 
FV
RCL PV CHS
RCL FV % 
114
Jornada Acadêmica
JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOSUm empresário deseja fazer uma aplicação financeira no valor de R$ 50.000. Considerando os sistemas de juros simples e compostos, o tempo de aplicação e a taxa de juros correspondente, é INCORRETO afirmar que:
D) Se a aplicação for feita sob um regime de juros simples com uma taxa de 13,2% ao ano, por um período de cinco semestres, o empresário obterá um montante 33% maior que o capital original.
50.000 CHS PV
13,2 i => é sempre anual
900 n => é sempre em dias (5 X 6 X 30)
F INT => é a função para calcular os juros simples
+ => para se obter o Montante, basta apertar +
 
115
Jornada Acadêmica
JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS
Uma pessoa contraiu um financiamento no valor de R$ 20.000,00 para pagamento em 6 prestações bimestrais, iguais e sucessivas, devendo a primeira prestação ser paga 60 dias após contrair o financiamento. A taxa de juros compostos contratada para esta dívida foi de 3% ao bimestre e os juros bimestrais estão embutidos no valor das prestações.
Considerando somente as informações apresentadas e desconsiderando a incidência de impostos e taxas, assinale o valor mais próximo de cada prestação a pagar. Caso necessário, admita o ano comercial com 360 dias.
a) R$ 3.333,33.
b) R$ 3.433,33.
c) R$ 3.510,50.
d) R$ 3.691,95.
20.000 PV
3 i
6 n 
PMT
116
Jornada Acadêmica
Taxas equivalentes
Qual a taxa anual equivalente aos juros de 2,40% a.m.
100 CHS PV
2,40 i
12 n
FV
Fórmula (if) = (1+i)q - 1
117
Jornada Acadêmica
Taxas equivalentes
Qual a taxa mensal equivalente aos juros de 12,75% a.a.
100 CHS PV
112,75 FV
12 n
i
Fórmula
118
Jornada Acadêmica
Taxas equivalentes
Calcule o valor resgatado, após 148 dias, de uma aplicação de R$ 15.000,00, no sistema de capitalização composta, a uma taxa de 22% a.a.
100 CHS PV
122 FV
360 n
i
i
15000 CHS PV
148 n
FV
119
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM
"O sucesso é a soma de pequenos esforços repetidos dia após dia" - Robert Collier
Jornada Acadêmica
JUROS SIMPLES
1. Maria emprestou R$ 500,00 a um amigo por 8 meses, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Quanto Maria receberá de juros ao final do período?
2. João investiu R$2.000,00 em um fundo de investimento que paga juros simples de 5% ao trimestre. Qual será o valor dos juros recebidos após 1 ano?
3. Ana tomou um empréstimo de R$1.500,00 para pagar em 6 meses com uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Quanto Ana pagará ao todo ao final do período?
121
Jornada Acadêmica
JUROS SIMPLES
4. Pedro aplicou R$800,00 em uma poupança que rende 1,5% de juros simples ao mês. Qual será o montante acumulado após 10 meses?
5. Carla emprestou R$1.000,00 para um amigo durante 1 ano a uma taxa de juros simples de 10% ao ano. Quanto Carla receberá ao final do período?
6. Um comerciante tomou um empréstimo de R$5.000,00 para ser pago em 9 meses, com uma taxa de juros simples de 4% ao mês. Qual será o valor total pago pelo comerciante ao final do empréstimo?
122
Jornada Acadêmica
JUROS SIMPLES
7. Lucas investiu R$1.200,00 em uma aplicação que paga juros simples de 6% ao semestre. Qual será o valor dos juros recebidos após 1 ano e meio?
8. Uma pessoa aplicou R$3.500,00 em um título que paga 2% de juros simples ao mês. Quanto ela terá de juros acumulados após 7 meses?
9. Um empresário pegou um empréstimo de R$10.000,00 para ser pago em 1 ano com uma taxa de juros simples de 15% ao ano. Qual será o montante total a ser pago ao final do período?
10. Josefa investiu R$2.500,00 em uma aplicação com juros simples de 5% ao trimestre. Quanto ela terá ao final de 2 anos?
123
Jornada Acadêmica
JUROS COMPOSTOS
1. João investiu R$1.000,00 em uma aplicação que rende 2% ao mês, por 12 meses. Qual será o montante ao final do período?
2. Maria aplicou R$2.500,00 em uma poupança que rende 1,5% ao mês, por 10 meses. Qual será o valor final da poupança?
3. Pedro tomou um empréstimo de R$5.000,00 a uma taxa de 3% ao mês, a ser pago em 8 meses. Qual será o valor total a ser pago ao final do período?
4. Ana investiu R$1.200,00 em um fundo que rende 4% ao trimestre. Qual será o montante após 1 ano?
124
Jornada Acadêmica
JUROS COMPOSTOS
5. Carla emprestou R$800,00 a um amigo por 6 meses, a uma taxa de juros de 5% ao mês. Quanto ela receberá ao final do período?
6. Um comerciante aplicou R$10.000,00 em um investimento que rende 10% ao semestre. Qual será o valor final após 3 anos?
7. Lucas investiu R$2.000,00 em uma aplicação que rende 3% ao mês. Quanto ele terá ao final de 15 meses?
8. Uma pessoa investiu R$4.000,00 em um título que rende 2,5% ao mês. Quanto ela terá acumulado após 9 meses?
125
Jornada Acadêmica
JUROS COMPOSTOS
9. Um empresário pegou um empréstimo de R$6.000,00 a uma taxa de 1,5% ao mês, a ser pago em 2 anos. Qual será o valor total a ser pago?
10. Maria investiu R$1.500,00 em uma aplicação com juros compostos de 7% ao trimestre. Quanto ela terá ao final de 1 ano e meio?
126
Jornada Acadêmica
EXAME CFC – 2024 - FGV
Um determinado investimento foi realizado em 31/12/20X1, sob o regime de juros compostos, cuja taxa era de 2% ao mês.
O aporte inicial foi de R$ 12.000.
O valor total dos juros obtidos na operação, se ela for liquidada em 31/12/20X2, é de
(A) R$ 15.218,90.
(B) R$ 14.880,00.
(C) R$ 3.218,90.
(D) R$ 2.880,00.
127
Jornada Acadêmica
MAIS QUESTÕES...
1 Determine o tempo necessário para o capital de R$20.000,00 gerar um montante de R$28.142,00 quando aplicado à taxa composta de 5% ao mês.
2 Uma loja financia a venda de uma mercadoria no valor de R$2.600,00 da seguinte forma:
Entrada: 10% de R$2.600,00
Ao final de 8 meses: R$3.270,00
3 No final de dois anos, o Sr. Misterioso de Lima deverá efetuar um pagamento de R$ 2.000,00; referente ao valor de um empréstimo contratado na data de hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Qual o valor emprestado?
128
SÉRIE DE PAGAMENTOS
“O que frustra não é tanto a falta de pontualidade, mas o fato de você não ser prioridade.”
Vânia Franca (adaptado)
Jornada Acadêmica
1 Séries uniformes de pagamento
- São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalos iguais.
Série - número de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, dispostos ou ocorrendo em sucessão espacial ou temporal.
Uniformes - que tem uma só forma, que tem a mesma forma, igual, idêntico, muito semelhante.
Pagamento - cumprimento efetivo da obrigação exigível.
130
Jornada Acadêmica
Podemos representar graficamente as séries uniformes de pagamentos da seguinte forma:
a) Do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos:
131
Jornada Acadêmica
b) Do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos:
132
Jornada Acadêmica
1.2 Série uniforme de pagamento postecipada
- São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0+n).
Dada a PMT e achar o PV
Dada o PV e achar a PMT
Dada o FV e achar a PMT
Dada o PV e achar o n
Dada o FV e achar o n
133
A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Situação prática 1: 
Calcule o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$ 1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operação.
Solução na HP12C
1.500 PMT
6 n
3,5% i
PV
(R$ 7.992,83)
A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Situação prática 2: 
Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o comprador resolver financiar em cinco prestações mensaisiguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês? 
Solução na HP12C
500 CHS PV
5 n
5% i
PMT
(R$ 115,49)
A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Situação prática 3: 
Determine o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7 meses, produz um montante de R$ 5.000,00, pelo regime de juros compostos.
Solução na HP12C
5000 CHS FV
7 n
4% i
PMT
(R$ 633,05)
A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Situação prática 4: 
Um produto é comercializado à vista por R$ 1.750,00. Uma outra alternativa seria financiar este produto a uma taxa de 3% a.m., gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que o comprador escolha a segunda alternativa, determine a quantidade de prestações deste financiamento. 
Solução na HP12C
1.750 CHS PV
3% i
175,81 PMT
n
(12)
A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Situação prática 5: 
Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um determinado tempo observou-se que o saldo da conta era R$ 30.032,62. Considerando uma taxa média de poupança de 0,08% a.m., determine a quantidade de depósito efetuado por este poupador. 
Solução na HP12C
150 CHS PMT
30.032,62 FV
0,08% i
n
(186 depósitos)
A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Situação prática 6: 
Um automóvel é comercializado por R$ 17.800,00 à vista; sabendo-se que pode ser financiado em 36 parcelas mensais de R$ 1.075,73, determinar a taxa de juros da operação. 
Solução na HP12C
17.800,00 CHS PV
36 n
1.075,73 PMT
i
(5,00% a.m)
A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Situação prática 7: 
Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança; considerando uma taxa de 0,8% a.m., e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumulado após este período? 
Solução na HP12C
100 CHS PMT
0,8 i
360 n
FV
(R$ 207.641,32)
A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Situação prática 8: 
Um automóvel 0 km é vendido à vista por R$ 50.000,00 e a concessionária oferece a seguinte opção de financiamento: 10% de entrada e o restante em 60 prestações iguais, com a 1ª para 30 dias. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros
compostos do financiamento for de 1,99% ao mês?
Solução na HP12C
50.000 ENTER
90 %
ENTER CHS PV
1,99 i
60 n
PMT
(R$ 1.291,43)
Jornada Acadêmica
1.3 Série uniforme de pagamento antecipada
São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento e também chamado de sistema de pagamento com entrada (1+n).
142
A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Situação prática 9: 
Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos iguais de R$185,00; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 5% a.m.; e um dos pagamentos foi considerado como entrada, determine o preço à vista desta mercadoria. 
Solução na HP12C
g BEG
185 CHS PMT
5 i
4 n
PV
(R$ 688,80)
A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Situação prática 10: 
Um produto custa à vista R$ 1.500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$ 170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 3% a.m., qual a quantidade de prestações deste financiamento? 
Solução na HP12C
g BEG
1500 CHS PV
170,72 PMT
3 i
n
(10 meses)
Jornada Acadêmica
1.3 Série uniforme de pagamento diferida
São aquelas em que, entre a data da aquisição e o primeiro pagamento, há uma carência concedida pelo vendedor.
É quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da série, ou seja, ocorrerá em período subsequentes.
145
A Matemática Financeira é, portanto, um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. 
Situação prática 11: 
Um produto custa à vista R$ 300.000,00, e pode ser parcelado, sem entrada em 48 prestações mensais e sucessivas, sendo que a primeira será paga em 180 dias sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 0,8% a.m., qual o valor das prestações deste financiamento? 
Solução na HP12C
Passo 1: levar o PV para o tempo 5
300.000 CHS PV
0,80 i
5 n
FV
(R$ 312.193,54)
Solução na HP12C
Passo 2: calcular o PMT a partir do tempo 5
312.193,54 CHS PV
0,80 i
48 n
PMT
(R$ 7.858,20)
Jornada Acadêmica
Atividade de aprendizagem
1. Um automóvel à vista é R$ 32.000,00 ou a prazo com 20% de entrada mais 24 prestações iguais. Qual o valor da prestação com taxa de 1,80% a.m.?
2. Você comprou uma bicicleta em 6 vezes de R$ 797,05, sendo a primeira parcela paga no ato da compra, a uma taxa de 2,5% a.m. Qual o valor à vista?
3. Uma máquina custa R$ 500.000 parcelada, sem entrada, em 36 prestações mensais, com a primeira para 180 dias. A taxa é 0,9%a.m. Calcule as prestações.
4. Você deseja viajar daqui a 2 anos, por isso, pretende guardar, mensalmente, R$ 1.500,00 numa aplicação que possui taxa de 0,80% a.m. Qual valor final?
147
Jornada Acadêmica
R$ 1.323,03
R$ 4.390,25
R$ 17.069,88
R$ 39.514,73
Gabarito:
148
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Jornada Acadêmica
- Amortização é o mesmo que redução da dívida. 
- Amortizar é pagar uma parte da dívida para que ela reduza de tamanho até a sua eliminação. 
- Porém, em toda dívida, há cobrança de juros. 
- Assim, para amortizar uma dívida, é necessário que o pagamento seja maior que os juros cobrados no período. 
- Ou seja, o valor amortizado é o que sobra do pagamento depois de descontados os juros.
PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS
150
Jornada Acadêmica
- Dentre os principais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimos, abordaremos o sistema de amortização:
• Sistema de Amortização Francês;
• Sistema de Amortização Constante;
• Sistema de Amortização Misto;
• Sistema Americano de Amortização.
151
Jornada Acadêmica
1 Sistema de Amortização Francês (SAF): Price
- O Sistema Francês ou Sistema Price é o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. 
- O empréstimo é pago em prestações periódicas iguais e postecipadas.
152
Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
Um financiamento de $20.000,00 deverá ser amortizado, através do Sistema Francês de Amortização, em 8 prestações mensais, com juros compostos de 2% ao mês.
a) Calcule o valor da prestação;
b) Calcule o saldo devedor após o pagamento da terceira prestação;
c) Calcule as parcelas de juro e de amortização da quinta prestação;d) Faça uma planilha com o desenvolvimento mensal das prestações, os juros pagos, a evolução das quotas de amortização e o saldo devedor.
153
Jornada Acadêmica
1) PMT
20.000 CHS PV
2 i
8 n
PMT
R$ 2.730,20
154
Jornada Acadêmica
2 Sistema de Amortização Constante (SAC)
- No Sistema de Amortização Constante, as parcelas de amortização do principal são sempre iguais (ou constantes). 
- O valor da amortização A é calculado através da divisão do capital emprestado PV pelo número de amortizações n. 
- Os juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada pelo saldo devedor existente sobre o período anterior, assumindo valores decrescentes nos períodos. 
- A prestação, a cada período, é igual à soma da amortização e dos encargos financeiros (juros, comissões, entre outros), sendo periódica, sucessiva e decrescente em progressão aritmética, de razão igual ao produto da taxa de juros pela parcela de amortização.
155
Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
O financiamento de $20.000,00 deverá ser amortizado, através do Sistema de Amortização Constante, em 8 prestações mensais, com juros compostos de 2% ao mês. Faça uma planilha com o desenvolvimento mensal das prestações, os juros pagos, a evolução das quotas de amortização e o saldo devedor.
156
Jornada Acadêmica
157
Jornada Acadêmica
- No Sistema Americano de Amortização, o devedor obriga-se a pagar periodicamente apenas os juros do capital emprestado e a restituí-lo, integralmente, no final do prazo estabelecido.
- Os juros sempre incidem sobre o valor original da dívida. Com isso o devedor pode quitar sua dívida quando quiser. Este sistema tem como desvantagem que o pagamento de juros pode, em tese, ser perpétuo mesmo quando já se pagou o equivalente à dívida em si.
3 Sistema Americano de Amortização (SAA)
158
Jornada Acadêmica
Exemplificando... 
Um empréstimo de R$ 50.000,00 será pago através do sistema americano no prazo de 10 meses, a juros mensais de 3% ao mês.
Calcule o dispêndio mensal e construa a planilha de reembolso.
159
Jornada Acadêmica
160
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