Apostila finanças

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Dinheiro eTemporalidade 
 
Figura1.1:Moeda 
Fonte:http://www.fatosdaeconomia.com.br 
 
Quando tratamos de dinheiro e temporalidade, alguns elementos básicos 
devem ser levados em consideração, tais como: 
 
Inflação = Os preços não são os mesmos sempre; 
 
Risco = Investimentos envolvem risco que geram perda 
ou ganho de dinheiro; 
 
Incerteza = Não há como saber que tipo de investimento 
é mais rentável sem estudo prévio; 
 
Utilidade = Se não é útil, deve ser adquirido? 
Figura1.2:Dinheiro 
Fonte:http://www.jogoscelular.net
Oportunidade = Sem dinheiro as oportunidades dizem adeus. 
 
 A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema econômico. A 
palavra finanças remete especificamente àquelas relações da matemática com o dinheiro tal e 
qual o concebemos nas diversas fases da história da humanidade. 
 
Muitas situações estão presentes no cotidiano das pessoas e têm ligação imediata com o dinheiro, 
seja o fato de ter um pouco de dinheiro, nada de dinheiro ou muito dinheiro. Em todas as 
situações ter educaçãofinanceira torna-se fator determinante da ascensão profissional e saúde 
financeira pessoal eempresarial. 
No decorrer desta aula você irá aprender sobre o que são finan-ças e 
educação financeira, saberá também a razão de 
utilizarmatemáticanessesprocedimentos. 
 
 O contexto das finanças na 
história da matemática 
http://www.fatosdaeconomia.com.br/
http://www.jogoscelular.net/
 
 
 
 
 
Você sabia que existem 
váriaspassagensnaBíbliaquetratam 
definanças?C
onfiraem1Cr.29:12-14; 
1Tm.6:9-10. 
Em suma, todo cristão, 
comofilhodeDeus,recebecoisas,inclusi
veodinheiro, 
quedeveserutilizadodemaneiracorreta,s
ensata etemente a Deus 
para a glória do nome 
dele.Temos que ser 
equilibrados,ganhandocompráticasho
nestasefugindo das práticas ilícitas. 
É lícito desfrutarmos 
dosbenefícios que o dinheiro 
traz,masnãodevemosnosapegar(apeg
armos)àcobiçaaqualquercusto para 
conseguir 
dinheiro.Podemosusarodinheiroparad
ízimos,ofertas,nolar,notrabalho e em 
lazer. As 
pessoasdevemevitarcontrairdívidasfora 
do alcance, comprar sempreque 
possível à vista, fugir 
dosfiadores,pagar osimpostos, 
ecomopatrãopagarjustossalário
s.Alémdisso,deve havereconomia 
doméstica, comliberdade moral e 
responsável,evitando conflitos, pois 
afinal odinheiro éde usodo casal. 
Fonte: 
www.discipuladosemfronteiras.com
/contato.phpacessadoem 
03/2009. 
Os financiamentos são os mais diversos e criativos. Essa “mania” é muito antiga, 
remete as relações de troca entre mercadorias que como passar das eras e 
diferentes civilizações evoluíram naturalmente quando o Homem percebeu 
existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo - “tempo é dinheiro”. 
Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariam 
intuitivamente a ideia de juros, pois se realizavam basicamente de-vido 
aovalortemporal dodinheiro. 
Juros 
O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a 
existência de uma afinidade entre o dinheiro e o tempo. As situações de 
acúmulo de capital e desvalorização monetária davam a ideia de juros devido 
ao valor momentâneo do dinheiro (cada dia as diferentes moedas tinham 
econtinuam tendo um valor). Algumas tábuas matemáticas se 
caracterizavampela organização dos dados e textos relatavam o uso e a 
repartição de insumos agrícolas através de operações matemáticas. 
Os sumérios, povos que habitaram o Oriente Médio, de-senvolveram o mais 
antigo sistema numérico conhecido, registravam documentos em tábuas de 
argila. Essas tábuas retratavam documentos de empresas comerciais. 
Algumas eram utilizadas como ferramentas auxiliares nos assuntos 
relacionados ao sistema de peso e medida. Havia tábuas para a multiplicação, 
números quadrados, números cúbicos e exponenciais (ideia de função). 
 
 
 
 
Figura1.3:Tempo 
Fonte:http://bloglucrativo.blogspot.com 
 Figura1.4:Escrita dos sumérios 
 Fonte:http://www.cyberartes.com.br/ 
http://www/
http://bloglucrativo.blogspot.com/
http://www.cyberartes.com.br/
 
 
 
Consequentemente existe a relação da escrita antiga dos sumérios com o nosso sistema de 
numeração, o sistema indo-arábico (inventado pelos hin-dus e transmitido à Europa Ocidental 
pelos árabes). 
 
E os juros? Sempre existiram? 
 
Na época dos sumérios, os juros eram 
pagos pelo uso de sementes e de outros 
bens emprestados. Os agricultores 
realizavam transações comerciais onde 
adquiriam sementes para efetivar em suas 
plantações. Após a colheita, os agricul-
tores realizavam o pagamento através de 
sementes com a seguida 
quantidadeproveniente dos juros do 
empréstimo. A forma de pagamento dos 
juros foi modificada para suprir as 
exigências atuais, no caso dos agricultores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura1.5:Hindu 
Fonte:http://portaldoprofessor.mec.gov.br 
claro que o pagamento era feito na próxima colheita. A relação tempo/juros foi se ajustando de acordo 
com a necessidade de cada época. Atualmente, nas transações de empréstimos, o tempo é 
preestabelecido pelas partes negociantes. 
Vale observar que os juros sempre sofreram com as intempéries. Naquela época, muito mais 
relacionadas como clima, época de plantio e colheita. Atualmente, os juros sofrem alterações de base 
por conta das políticas monetárias, do banco central, ou seja, a oscilação do juro depende não apenasda 
vontade política/econômica do Ministro da Fazenda e das decisões doCOPOM (Comitê de Política 
Monetária do Banco Central), mas também das políticas econômicas nacionais e internacionais de 
diferentes gestões, período de crises financeiras, alta e baixa da taxa de desemprego, da 
instalaçãodeindústriasedeíndicesdedesenvolvimentohumano(IDH). 
 Atualmente se utiliza o financiamento para as mais diversas situações do 
universo capitalista, porque o“ter” é a engrenagem da máquina financeira 
mundial. A compra da casa própria, carro, moto, reali-zações pessoais 
(empréstimos), compras a crediárioou com cartão de crédito, aplicações 
financeiras, investimentos em bolsa de valores, entre outras situa-ções 
financeiras, dependem do quantos e ganha e de quanto está disposto a arriscar 
em financiamentos a curto prazo médio e longo prazo. Em resumo, todas as 
movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros e 
envolvem o tempo para quitar a dívida 
 
Figura1.6:Índices 
Fonte:http://www.cgimoveis.com.br 
 
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/
http://www.cgimoveis.com.br/
 
 
 
Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas de 
juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo. A essa diferença 
damos o nome de juros, ou seja, o bem adquirido tem valor agregado maior do quese fosse comprado à vista 
(em parcela única). Uma questão pertinente: émelhor comprar parcelado ou guardar o dinheiro para comprar 
à vista? Esseé o grande objetivo da formação para a Educação Financeira, nossa metapara estecurso. 
Resumo 
Aprendemos nessa aula o que são finanças e um pouco sobre a nova lei que regulamenta a inserção da 
Educação Financeira nos currículos escolares. Vi-mos também a razão de utilizar conceitos de matemática 
nos procedimentos financeiros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juros?E os juros? 
Os juros são representados em taxas (por cento), muitas vezes prefixadas por algum a política financeira 
ou índice predefinido pelo governo.O importante é que ambas (taxas e coeficientes) são modos de 
expressar os índices que determinada gestão ou diretoria utiliza para controlar e reajustar preços e 
demais aplicações financeiras. 
E quando aparecem anúncios sedutores de prestações semjuros? 
 
Figura7.1:Prestação Figura7.2:Semjuros 
Fonte:www.divulgacred.blogspot.com Fonte:www.lojaseller.com.br 
 
 
É possível vender com parcelas a perder de vista pelo cartão de crédito, e sem cobrança de nenhum 
centavo de juros? 
 
A maioria dos lojistas sabem que determinado produto vendido é - via de regra - parcelado, então se 
ele trabalha na política do "n vezes sem juros",os juros serão embutidos juntamente com a comissão da 
administradora do cartão, por isso sempre que o pagamento é “à vista” a tentativa do cliente é conseguir 
um desconto maior, mas nem sempre ele consegue um desconto maior do que 10%. 
 
 
 
Nesta aula de hoje faremos uma introdução aos juros, em especial o significado dos juros 
como linguagem própria para repre-sentar as aplicações de capitalização na Matemática 
Financeira. 
 
Juros e aplicações financeiras 
http://www.divulgacred.blogspot.com/
http://www.lojaseller.com.br/
 
Sendo assim, as lojas antecipam aação do cliente acrescentando juros, seja da operadora de cartões 
ou da margem de lucro determinada pela empresa. É da saúde financeira, dos lucros, que as 
empresas sobrevivem. Não há empresa (exceto as filantrópicas) que não visem o lucro como processo 
final de suas atividades. 
 
 
 
 
SegundoCastanheiraeMacedo(2010
,p.167),devemoslembrarque como 
determina a 
lei8.078/90(CódigodeDefesa 
doConsumidor),aformadeaplica
ção do juro deve serdefinida 
nocontrato entre as 
partes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura7.3:Bolsos vazios 
Fonte:blog.timesunion.com 
Diante deste cenário, os juros são necessários para que as empresas tenham 
lucro nas operações de empréstimo, por exemplo. Emprestar dinheiro e 
cobrar por isso é bem lucrativo. Por outro lado aquele que recebe o 
empréstimo também se beneficia, pois consegue efetivar, finalizar o que 
necessitava e que não conseguiapor falta de dinheiro. 
Algumas definições usuais 
“Juro é o valor que se paga pelo uso de dinheiro que se toma emprestado”, refere-
se ao quanto será acrescentado à parcela de compra para cobrir as despesas 
financeiras, que por vezes é uma das partes do lucro. 
 
“Juro é o dinheiro produzido quando o capital é investido”, referese à ren-
tabilidade de fundos de investimento. Por exemplo, a poupança,títulos de 
capitalização,investimentos de alto e baixo risco. 
 
Segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 22), o juro é calculado por intermédio 
de uma taxa percentual aplicada sobre o capital que “sempre se refe-re a uma 
unidade de tempo: ano, semestre, bimestre, trimestre, mês, dia”. 
 
Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes de Capitalização Sim-ples 
ou Juros Simples e Capitalização Composta ou Juros Compostos. 
 
Os juros podem ajudar (crescimento do patrimônio) ou atrapalhar (queda 
daqualidade de vida e do patrimônio); portanto dependendo de onde se faz 
um empréstimo pode-se resolver ou criar outro problema financeiro. 
 
Escolher um Empréstimo Pessoal 
 
Algumas opções para crédito pessoal é o cheque especial e o empréstimo 
pessoal. A questão é complicada porque quem precisa de dinheiro para já, ou 
daquele produto a ser comprado com prazo de se perder de vista, pareceignorar a 
questão de que vai pagar juros por querer resolver o seu problema na hora. É o 
que chamamos de imediatismo financeiro. 
 
O que verdadeiramente sabemos é que não dá 
para contar com empréstimos para quitar 
dívidas de outros empréstimos já contraídos, 
definitivamente 
Não é um bom negócio. Se a pessoa gastao 
que tem, não dá para vender o almoço 
para comprar a janta! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura7.5:FrederichGauss 
Fonte: www.fotopedia.com 
 
Curiosidade 
 
 Figura7.4:Dinheiro feliz 
 Fonte:www.blogs.freshminds.co.uk 
Alguns ditos famosos sobre dinheiro e finanças: 
 
"O dinheiro não tem a mínima importância, desde que a gente tenha muito."(Truman Capote) 
 
"Não tente pagar os seus impostos com um sorriso. Os fiscais preferem em dinheiro."(Autor 
desconhecido) 
 
"Os jovens, hoje em dia, imaginam que o dinheiro é tudo e, quando ficam velhos, descobrem que 
é isso mesmo." (OscarWilde) 
 
"Quando se trata de dinheiro, todos têm a mesma religião."(Voltaire) 
 
"O dinheiro não nos traz necessariamente a felicidade. Uma pessoa quetem dez milhões de 
dólares não é mais feliz do que a que tem só novemilhões."(H.Brown) 
 
"Dinheiro semeia dinheiro e o primeiro franco é, muitas vezes, mais difícil de ganhar que o 
segundo milhão."(Jean-Jacques Rousseau) 
 
"Quando o dinheiro vai na frente, todos os caminhos se abrem."(Willia Shakespeare) 
Dinheiro no banco é como a pasta de dentes: fácil de tirar,mas muito difícil de voltar a 
pôr."(Aldo Cammarota) 
 
"O dinheiro é melhor do que a pobreza, nem que seja por razões financeiras."(WoodyAllen) 
 
"Quem não tem dinheiro, meio se paz,carece de três bons amigos."(WilliamShakespeare) 
 
"O dinheiro não pode comprar a felicidade, mas pode, com certeza,ajudar-nos a procurá-la 
nos melhores lugares."(DavidBiggs) 
 
"Nada estabelece limites tão rígidos à liberdade de uma pessoa quanto à falta de 
dinheiro."(JohnKenneth) 
http://www.fotopedia.com/
http://www.blogs.freshminds.co.uk/
 
 

 
 
 
O CAPITAL E O JURO 
 
Denomina-se capital a qualquer quantidade de moeda ou dinheiro que uma pessoa, física ou jurídica, 
aplica ou empresta para outra durante certo tempo. 
O juro pode ser definido como a compensação financeira conseguida por um aplicador durante certo 
tempo ou ainda o custo do capital para uma pessoa, que durante certo tempo, usa o capital de outra. 
O juro é cobrado em função de um coeficiente, chamado taxa de juro, que é dado geralmente em 
termos percentuais e semprereferidoa um intervalo detempo,tomadocomounidade, denominado 
períodofinanceiro. 
A taxa de juro é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no fim de um período financeiro e o 
capital aplicado. 
Exemplo: Suponhamos que a aplicação de R$ 150,00 tenha produzido, ao fim de um mês, a quantia 
de R$ 4,50 de juros. 
Valor aplicado = R$150,00 
Juros obtidos = R$ 4,50 
Taxa de juro = 
 
Observação: 
4,50 
150,00 
= 0,03 = 3% ao mês 
A taxa de juros pode ser representada sob duas formas: 
 
 Taxa percentual: quando representar os juros de 100(cem) unidades de capital durante o período financeiro a que 
se refere; 
 Taxa unitária: quando representar, nas mesmas condições,os juros de uma unidade de capital. 
 
Exemplo: Seja a taxa de juros de 15% ao ano. 
 
15% = 
15 = 0,15 
100 
15% ao ano = taxa percentual 
0,15 ao ano = taxa unitária 
As taxas de juros, neste trabalho, quando inseridas nos enunciados e nas respostas dos exercícios serão, 
sempre, indicadas na forma percentual, porém, todos os cálculos e desenvolvimento de fórmulas serão 
feitos através da notação em fração decimal (taxa unitária). 
 
 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
 A sucessiva incorporação dos juros ao principal ao longo dos períodos financeiros, denomina-
se capitalização. 
 Regime de capitalização simples: quando os rendimentos são devidos única e exclusivamente 
sobre o principal, ao longo dos períodos financeiros a que se refere a taxa de juros. 
 
 
 Regime de capitalização composta: quando ao fim de cada período de tempo, a que se refere a 
taxade juros, os rendimentos são incorporados ao capital anterior e passam, por sua vez, a render juros 
no período seguinte. 
 
O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 
 
Do ponto de vista da Matemática Financeira, R$ 10.000,00 hoje não são iguais a R$ 10.000,00 
em uma outra data qualquer, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos, devido à presença 
da taxa de juros. 
 
Assim, sob a ótica da Matemática Financeira devemos observar que: 
a) os valores presentes em uma mesma data são grandezas que podem ser comparadas e somadas 
algebricamente; 
b) os valores presentesem datas diferentes são grandezas que só podem ser comparadas e 
somadas algebricamente após serem movimentadas para uma mesma data, com a devida aplicação de 
uma taxa de juros. 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS JUROS 
 
Os juros são classificados em simples ou compostos, de acordo com o regimede capitalização 
em que se está trabalhando. 
 
-Exemplo Numérico de Juros simples: 
Suponhamos que um indivíduo tenha feito, hoje, uma aplicação no valor de R$100,00, em um 
banco que remunera suas aplicações a juros simples, à razão de 20% ao ano. Qual será seu saldo credor 
no final decada um dos próximos cinco anos? 
 
PLANILHA DO CRESCIMENTO DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO 
 
ESCALA FINALDO SALDO INICIAL JUROS SALDO FINAL 
0 - - - R$100,00 
1 1oano R$100,00 0,20 x 100,00= 20,00 R$120,00 
2 2oano R$120,00 0,20 x 100,00= 20,00 R$140,00 
3 3oano R$140,00 0,20 x 100,00= 20,00 R$160,00 
4 4oano R$160,00 0,20 x 100,00= 20,00 R$180,00 
5 5oano R$180,00 0,20 x100,00= 20,00 R$200,00 
 
É importante observar, que neste caso, o banco sempre aplica a taxa de juros de 20% a.a. sobre o capital 
inicial de R$ 100,00, e não permite que o indivíduo retire os juros produzidos em cada período. Assim, 
apesar dos juros estarem sempre à disposição do banco, eles não são remunerados por parte da 
Instituição. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo Numérico de Juros Compostos: 
Vamos supor,agora,queaaplicaçãodoexemploanterior,tenhasidofeitaajuros compostos.Qualseria o saldo 
credor do indivíduo ao final de cada um dos próximos cinco anos? 
PLANILHADO CRESCIMENTO DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO 
 
ESCALA FINALDO SALDO INICIAL JUROS SALDO FINAL 
0 - - - R$100,00 
1 1oano R$100,00 0,20 x 100,00= 20,00 R$120,00 
2 2oano R$120,00 0,20 x120,00= 24,00 R$144,00 
3 3oano R$144,00 0,20 x144,00= 28,80 R$172,80 
4 4oano R$172,80 0,20 x 172,80= 34,56 R$207,36 
5 5oano R$207,36 0,20 x 207,36= 41,47 R$248,83 
É importante observar, que neste caso, o banco sempre aplicou a taxa de juros de 20%a.a.sobre o 
saldo existente no início de cada período financeiro. Assim, após cada período, os juros são 
incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render juros no período seguinte. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) Um investidor aplicou R$ 2.000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma 
taxa de 6% ao trimestre, no regime de juros simples. Mostrar o crescimento desse capital no final de 
cadatrimestre, a contar da data da aplicação dos recursos, e informar o montante que poderá ser 
retirado pelo investidor no final do quinto trimestre, após a efetivação do depósito. 
02) Um investidor aplicou R$ 2.000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma 
taxa de 6% ao trimestre, no regime de juros compostos. Mostrar o crescimento desse capital no final 
de cada trimestre, a contar da data da aplicação dos recursos, e informar o montante que poderá ser 
retirado pelo investidor no final do quinto trimestre, após a efetivação do depósito. 
03) Suponha que a aplicação de R$ 5.000,00 tenha produzido ao final de um trimestre a quantia de R$ 
190,00 de juros. Qual foi a taxa percentual trimestral da aplicação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 Aula8–Osjurossimples,aprogressãoaritméticaeas funções e-TecBrasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SegundoSouzaeClemente(2000),ojurorepresentaocustodaimobilizaçãodeumaunidad
ecapitalporcertoperíododetempo.Normalmente,ojuroéexpressoatravésdeumataxaq
ueincidesobreovalorimobilizado(base). 
 
• Odinheiroqueseemprestaouquesepedeemprestadoéchamadodevalorpresenteo
ucapital“C”. 
 
• Ataxadeporcentagemquesepagaouserecebepeloalugueldodinheiroédenominadat
axadejuros“J”. 
 
• O tempo n deve sempre ser indicado na mesma unidade a que 
estásubmetidaataxa,eemcasocontrário,deve-
serealizaraconversãoparaquetantoataxacomoaunidadedetempoestejamcompatí
veis,istoé,estejam na mesma unidade. 
 
• O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais 
osjuros,édenominadodevalorfuturooumontante“M”. 
Os juros simples incidem unicamente sobre o principal e geram rentabilidade ou custo, que são diretamente proporcionais 
ao capital e ao prazo da operação. 
 
Assim, o valor dos juros no final do primeiro período é dado por Pi, no final do segundo período por 2Pi, no final do 
terceiro período por 3Pi e assim, sucessivamente. 
 
8.1 Fórmulaparacálculodojurosimples 
Paracalcularosjurossimplesdeumvalorpresenteoucapital“C”,durante“t” períodos 
com a taxa percentual “i”, utilizamos uma variação temporaldafunçãolinear: 
 
 
 
Noteasemelhançadafórmulaf(t)comafórmulaJ 
Exemplo: CalcularosjurossimplesreferentesaumempréstimonovalordeR$8.000,00,àtaxade3%ao mês, durante 4 meses. 
Solução: 
 
 
 
Os juros simples 
f(t)=a.t J=C.i.t 
53 Aula8–Osjurossimples,aprogressãoaritméticaeas funções e-TecBrasil 
M=J+C 
M =C.(1+i.t) 
 c=R$8.000,00 
i=3% a.m. 
t=4 meses 
j=Cit j=8.000 ×0,03 ×4 j=R$ 960,00 
 
8.2 Fórmulaparacálculodomontante 
Para calcular o valor futuro ou montante “M”, durante “t” períodos 
comumataxapercentual“i”,sobreumvalorpresenteoucapital“C”,utilizamosuma 
variação temporal da função afim: 
 
 
 
Noteasemelhançadafórmulaf(t)comafórmulaM,quepodeevoluirpara: 
 
 
 
 
Exemplo:Determinaromontante,aofimde5meses,correspondenteaumaaplicaçãonovalorde R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao 
mês, no regime de juros simples. 
 
Solução: 
 c=R$6.000,00 
i= 4% a.m. 
 t=5meses M=P(1+in) 
M=6.000(1+0,04×5) M =R$ 7.200,00 
Exemplo 
 
Qual o montante de um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de juros sim-plesde10 
%ao anopelo prazode 2anos ? 
Dados:C=1.000 
i=10%=0,1 
t=2anosM
=? 
M = C.(1+i. t) 
M=1.000.(1+0,1.2) 
M=1.000.(1+0,2) 
M = 1.000. (1,2) 
M=1.200 
Omontante,após2anos,ataxadejurossimplesde10%aoano,serádeR$1.200,00. 
 
Exemplo 
 
Qualovalordeumcapitalque,aplicadoàtaxadejurossimplesde2%aomês,rendeudep
f(t)=a.t+b M=C.i.t+C 
53 Aula8–Osjurossimples,aprogressãoaritméticaeas funções e-TecBrasil 
Aotrabalharcomasfórmulasdejurossimplesdevemosnosatentarparaalguma
s particularidades: 
oisdeumanoR$240,00dejuros? 
 
Comoataxamensalé2%=0,02,devemosconsiderar,paraotempode1ano,12meses,poi
stempoetaxadevemestarnareferênciatemporal(nestecasoem meses).Assim: 
 
J=C.i.t 
 
240 =C .0,02. 12 
 
240 = C .0,24 
 
C= 240 
0,24 
C=1000 
 
OcapitalaplicadoinicialmentefoideR$1.000,00. 
 
a) A taxa percentual “i” deve ser OBRIGATORIAMENTE transformada 
emcoeficiente (forma decimal). Por exemplo, se a taxa for de (10%), deve-
mosdividi-lapor100,transformando-anocoeficiente(0,10); 
 
EmResumo 
FormaPercentual Transformação FormaDecimal 
12%a.a. 
12 
100 
0,12 
 
0,5%a.m. 
 
0,5 
100 
 
0,005 
b) Seoperíodoeataxadejurosnãopossuíremomesmoreferencialtem-poral, deve ser 
feita a conversão de um deles (preferencialmente o maisfácil). Por exemplo, uma 
taxa de 5% a.m. e o período de 2 anos necessi-
tamserconvertidos:ataxaparaanoouoperíodoparamês: 
 
1ª Opção: convertendo o período para mês (2 anos equivalem a 24 
meses).Portando,teríamosamesmareferênciatemporal(taxamensalde5%eoperíodo 
de24meses). 
 
54 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
2ªOpção:convertendoataxaparaanos(1mêsequivalea 1/12 anos) 
 
Portando, teríamos a mesma referência temporal (taxa anual de 0,41% 
eperíodode2anos). 
 
Exemplo 
 
UmempréstimodeR$10.000,00rendeujurossimplesdeR$2.700,00aofinalde6mese
s.Qualataxamensaldejurosdoempréstimo? 
 
Dados:C=10.000 
 
J=2.700 
 
t = 6 
mesesi=? 
J=C.i.t 
 
i=
 J 
C.t 
i=
 2.700 
10.000x6 
i=
 2.700 
60.000 
i=0,045 
 
i=4,5% 
 
Ataxadejurosdoempréstimofoide4,5%aomês. 
 
Exemplo4 
 
DeterminaromontantecorrespondenteaumaaplicaçãodeR$450.000,00por225diascom
taxadejurossimplesde5,6%aomês. 
 
Dados:C=450.000 
 
i=5,6%aomês 
 
t=225dias 
54 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
 
M=? 
 
Antesdealimentarmosafórmuladomontantecomosdados,precisamosconverter,poi
sataxaestáemmeseseoperíodoestáemdias:1ª Opção: convertendo o período para mês (1 mês equivale a 30 dias). Por-tando, 
teríamos a mesma referência temporal (taxa mensal de 5,6% e operíodo 
de225meses). 
30 
2ªOpção:convertendo ataxa para dias(1 dia equivalea
 1 
meses). 
305.6 
Portando,teríamosamesmareferênciatemporal(taxadiáriadee 
períodode225 dias). 
3
0
%
 
54 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
 
M 
C
1iT 
Resolvendopela1ªopção: 
 
M =C.(1+i.t) 
 
M=450.000.(1+0,056.
225 
) 
30 
M=450.000.(1+.
12,6
) 
30 
 
M =450.000.(1+ 0,42) 
 
M=450.000.(1,42) 
 
M=639.000 
 
Resolvendopela2ªopção: 
 
M =C.(1+i.t) 
 
M=450.000.(1+
0,056
.225) 
30 
 
M =450.000.(1+ 0,42) 
 
M=450.000.(1,42) 
 
M=639.000 
 
OmontanteserádeR$639.000,00 
 
 
Expressãoparaocálculodovaloratual 
Para o cálculo do valor atual (C) que produzirá o montante (M) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros 
simples basta inverter a relação anterior, isto é: 
 
Exemplo:Qual o valor que se deve aplicar hoje para se obter o montante de R$ 8.000,00, daqui a 6 meses, a 
uma taxa de juros de 4% ao mês. 
Solução: 
 
S=R$8.000,00 
I=4%aomês T 
= 6 meses 
 8000 
C
10,04.6 
 
C= 8000/1,024 
= 6.451,61 
 
57 e-TecBrasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício1 
 
UminvestidoraplicouR%15.000,00àtaxadejurosimplesde30%a.a.Sendoassim,qual
seráojuroobtidoaofimde80dias? 
 
Solução: 
 
Comoaunidadedataxaestáemanoseoperíodoestáemdias,vamoscon-verter o número 
de dias em anos. 
 
t = 80dias =80=2 ano 
360 9 
J=C.i.t;J=15.000.0,30.2;J=1.000 
9 
Resposta: 
 
R$1.000,00 
 
Exercício2 
 
Determineoprazoemqueduplicaumcapitalaplicadoàtaxadejurosimplesde4%a.m. 
 
Resolução: 
 
ParaqueumcapitalCsetransformeemummontanteM=2C,deveremoster: 
 
M=2C 
 
i=4%a.m.=0,04 
 
O objetivo agora consiste no intenso treinamento do conceito 
dejuros simples através de exercícios resolvidos e de 
aprendizagem,sendoestesúltimosconsideradosprimordiaisnasuar
esolução. 
 
Aula9–Osjurossimples 
 
58 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
M =C +J;M =C +C.i.t ; M=C.(1+i.t) 
 
SubstituindoMpor2Ceipor0,04,obteremos: 
 
2C=C.(1 +0,04.t) ;2= 1+ 0,04.t;0,04.t =1 ;t= 25meses 
 
Resposta: 
 
25meses 
 
Exercício3 
 
UmcapitaldeR$8.000,00,aplicadodurante6meses,resultaemummon-tante de 
R$9.200,00. Sendo assim, determine a taxa mensal de juro simplesdessa aplicação. 
 
Resolução: 
 
M=9.200 
 
C=8.000 
 
t=6meses 
UtilizandoafórmuladomontantesimplesM=C.(1+i.t),teremos:9.200=8.0
00.(1+6.i);1,15=1+6.i;0,15=6.i;i= 0,15 
6 
i=0,025=2,5%a.m. 
 
Resposta: 
 
Ataxamensaléde2,5% 
59 Aula9–Osjurossimples,aprogressãoaritméticaeasfunções-II e-TecBrasil 
Atividadesdeaprendizagem 
1. QualéojurosimplesqueumcapitaldeR$7.000,00rendequandoapli-cado: 
 
a) durante2meses,aumataxade2,5%a.m.? 
 
 
 
 
 
b) durante1ano,aumataxade1,5%a.m.? 
 
 
 
 
 
c) durante3meses,aumataxade0,075%a.d.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (UEPI)Uminvestidoraplicou30%doseucapitalajurosimplesde1,5a.m., durante 
um ano. O restante foi aplicado a juro simples, durante umano a, à taxa de 2% 
a.m. Se o total de juros recebidos foi de R$1.776,00,qual era o capitaldo 
investidor? 
 
a)R$5.000,00 
 
b)R$6.000,00 
 
c)R$7.000,00 
 
d)8.000,00 
 
e)9.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
1- INTRODUÇÃO 
 
1.1-Conceitos: 
 descontodeveserentendidocomosendooabatimentoqueodevedorfazjusquandoantecipao pagamento de um título. 
 título é um documento usado para formalizar uma dívida que não pode ser paga imediatamente mas que deverá ser 
liquidada dentro de um determinado prazo previamente estipulado. 
1.2-TaxadeDescontoeTaxadeRentabilidade 
ExemploNumérico: 
UmbancorealizaoperaçõesdedescontodeNotasPromissóriasdeacordocomosseguintescritérios: 
 oprazodaoperaçãoéde45 dias; 
 ataxacobradapelobancoéde6%ao mês; 
 osjurossãopagosantecipados. 
Assim, se o cliente desejar realizar uma operação de R$10.000,00, deverá assinar uma Nota Promissória nesse 
valor, com vencimento dentro de 45 dias. 
Ototaldosjurosaserpagoantecipadamenteé: 
 
 
45
900,00 
30 
Osdadosdessaoperaçãopodem,então,serassim resumidos: 
 principalPliberadopelobanco:R$9.100,00 
 prazondaoperação:45dias 
 montanteSaserpagonofinalde45dias:R$10.000,00 
EssesvalorespodemserrelacionadospelaexpressãoS=P(1+in),isto é: 
 
10.000=9.100(1+i 
45
a.m. 
30 
A taxa i = 6,5934%a.m. é conhecida como taxa de rentabilidade, pois, ao ser aplicada sobre o principal de 
R$ 9.100,00, proporcionará uma rentabilidade total de R$ 900,00 em 45 dias. Ela é sempre aplicada sobre o 
principal, pelo prazo que for estabelecido. 
Ataxai=6%a.m.éconhecidacomotaxadedesconto,pois,aoseraplicadasobreomontantede R$10.000,00, 
provocaráum descontode R$900,00 em 45dias.Elaésempreaplicadasobreomontante, pelo prazo que for 
estabelecido. 
 
 
2- Descontocomercialouporfora: 
2.1-Conceitos: 
Odescontocomercialouporforaéamplamenteutilizadonasoperaçõesbancáriasecomerciais. As 
principais variáveis dessa operação são as seguintes: 
 recursos. 
 IOF breoperaçõesfinanceirascobradocombasenovalornominaldotítulo,noatoda liberação dos recursos. 
 
liberação dos recursos e a data do vencimento do título. 
Exemplo: Umaempresadesconta, num banco,um títulono valor deR$60.000,00,no dia 10/06/97,com 
vencimentopara15/07/97.Ataxadedescontosimplescobradapelobancoéde6%aomês.Sabendo-seque a taxa de IOF 
é de 0,0041% ao dia, determinar o custo efetivo desse empréstimo, em termos de taxa mensal. 
 
 
 
–DESCONTO SIMPLES 
 
Diagramadaoperação: 
 
 
 Cálculodovalorlíquido: 
 
 
 
35
=4.200,00 
30 
86,10 
Valorlíquido=60.000,00–4.200,00-86,10=55.713,90 
 
 Cálculodocustoefetivo: 
S=P(1+in) 
60.000,00=55.713,90(1+i 
 
2.2-ConsideraçõessobreoSaldoMédio: 
35
a.m. 
30 
Para obter uma faixa de desconto de uma duplicata ou de uma promissória nos bancos comerciais, 
normalmente são consideradas as reciprocidades que o cliente (tomador) oferece. A mais importante costuma 
ser o saldo médio, que nada mais é que a média diária dos saldos mantidos em conta corrente durante o período 
considerado. 
Quandooclienteprecisadescontarumanotapromissóriaparaobterdinheiroemprestadoseráconsiderado pelo 
banco o seu saldo médio, isto é, se não tiver saldo médio poderá ser difícil obter o empréstimo. 
Assim sendo, quando fazemos essa operação estamos pagando por nosso próprio capital que está em 
reciprocidade no saldo médio. Por isso, esse saldo médio deve ser considerado como custo para quem opera 
freqüentemente com bancos, como é o caso de empresas que descontam títulos. 
 
Exemplo:UmaempresadescontanumbancoumanotapromissórianovalordeR$40.000,00,comprazode 45 dias e 
taxa de desconto de 6 % ao mês. Sabendo-se que a taxa de IOF é de 0,0041% ao dia, e, que obanco exige um 
saldo médio de 20 % do valor do título, determinar o custo efetivo desse empréstimo. 
 Cálculodocustoefetivo: 
S=P(1+in) 
Diagramadaoperação: 
 
Solução: 
8.000,00 
 
 73,80 
45
= 3.600,00 
30 
 
-8.000,00–3.600,00-73,80=28.326,20 
 
N 
P= 
1in 
 
Dc=Ndn 
-8.000,00=32.000,00 
Cálculodataxamensaldecustoefetivo: 
 
S=P(1+in) 
32.000,00=28.326,20(1+i 
 
45
i =8,646 % a.m. 
30 
2.3-RelaçãoEntreTaxadeDescontoeTaxadeRentabilidade 
 Simbologiaaseradotada: 
d=taxadedescontoporperíodo 
i=taxaderentabilidadeporperíodo Dc = 
desconto comercial 
N = valor nominal do título (valor de face) 
P=principal,valorpresenteouvaloratual n = 
número de períodos (prazo) 
Conforme podemos observar nos exercícios anteriores, o desconto comercial equivale aos juros 
simplescobrados sobre o valor nominal do título, isto é: 
 
Ovaloratualouvalorpresentedeumtítuloé,pordefinição,igualaovalornominal menoso desconto,isto 
é: 
 
P=N– Dc P=N-Sdn (1) 
 
 
Ataxaderentabilidadei,écalculadaatravésdafórmuladomontante,istoé: 
 
 
N=P(1+in) (2) 
 
Comparandoasrelações(1)e(2),podemosescrever: 
 
N(1– dn)= 
N 
 
 
i
n 
 
,deondeseconclui que: 
 
n) 
 
 
n) 
 
 
Aplicações: 
Consideremos,comoexemplo,oproblemaseguinte,jámencionadoanteriormente:Uma empresa desconta, num banco, um título no valor de R$ 60.000,00, no dia 10/06/97, com vencimento 
para 15/07/97. A taxa de desconto cobrada pelo banco é de 6% a.m. Sabendo-se que a taxa de IOF é de 0,0041% 
ao dia, determinar: 
a) ovalordodescontocomercial; 
b) ovaloratualouvalorpresentedotítulo; 
c) ataxaderentabilidadedobanco; 
i 
d
 
1dn 
d= 
i
 
1in 
P=N(1–dn) 
 
d) ocustoefetivodesseempréstimoparaaempresa. 
 
Solução: 
N=R$ 60.000,00 
d=6%a.m. n 
= 35 dias 
TaxadeIOF=0,0041%aodia 
 
a) Dc c 
 
 
 
 
 
 
35
Dc=R$ 4.200,00 
30 
b) P=N(1- - 0,06 
35
P=R$ 55.800,00 
30 
 
c) i= 
d 
n 
 
= 
0,06 
35
 
30 
 
 i=0,0,064516 ou i=6,4516% a.m. 
d) IOF=0,0041%a.d.ou0,123%a.m. 
 
a.m. 
 
i = 
d 
1
n 
= 
0,06123 
35
 
30 
ou i=6,59404%a.m. 
2.4-Operaçõescomumconjuntodetítulos: 
Nocasodeumconjuntodetítulos,ovaloratualcomercialserádadop
elasomadosvaloresatuais de cada título. 
Exemplo: Uma empresa apresenta o seguinte borderô de duplicatas para serem descontadas num banco à taxa 
de desconto comercial de 4% a.m.. Qual o valor líquido recebido pela empresa? 
 
Duplicata Valor Prazo 
A R$10.000,00 45dias 
B R$15.000,00 60dias 
C R$14.000,00 75dias 
 
Solução: 
DuplicataA 
Dc=10.000×0,04× 
 
DuplicataB 
 
 
 
45
liq=9.400,00 
30 
Dc=15.000×0,04×2= 1.200 liq= 13.800,00 
DuplicataC 
 
Dc=14.000×0,04× 
75
liq=12.600,00 
30 
Resposta:Vliq=9.400+13.800+12.600=35.800,00 
 
Ototaldosdescontosé:Dc=600,00+1.200,00+1.400,00=3.200,00 
 
2.5-Taxamédia-Prazomédio 
Aimportânciadoconhecimentodosconceitosdetaxamédia,prazomédiosedeveaogrande desenvolvimento 
verificado no mercado financeiro e no mercado de capitais, no Brasil, nos últimos anos. 
 
 
2.5.1-Taxamédia 
Ataxamédiaéataxacomaqualsedevedescontarumconjuntodetítulosparaseobteromesmo desconto que seria 
obtido, caso esses títulos fossem descontados com suas respectivas taxas de descontos. 
 




n=N 1d1n1N2d2n2N3d3n3...NhdhnhN 1d1N2d2N3d3...Nhd h 
Ataxamédiaéobtidapormeiodamédiaponderada,ondeovalornominaleoprazorepresentamos pesos. 
Sejam: N1, N2, N3, ..., Nhos valores nominais dos títulos comprazos iguais a n1,n2, n3, ..., nhe taxas de desconto 
comercial iguais a d1, d2, d3, ..., dh, respectivamente. 
 
Chamandodedataxamédiadedesconto,teremos: 
 
 
 
N1dn1 +N2d n2+N3d n3+... +Nhd nh=N1d1n1 +N2d2n2 +N3d3n3 +... +Nhdhnh(N1n1+ N2n2 
+ N3n3 +... + Nhnh)d = N1 d1 n1 + N2d2n2 + N3d3n3 + ... + Nhdhnh 
2d2n2 3d3n3 hdhnh 
111 
N1n1 2n2 3n3 hnh 
Exemplo:Calcularataxamédianodescontocomercialdoseguinteconjuntodetítulos: 
 
VALORNOMINAL PRAZO TAXADEDESCONTO 
R$5.000,00 4 meses 3%a.m. 
R$2.000,00 5 meses 4%a.m. 
R$8.000,00 6 meses 5%a.m. 
d=
6 
6 
d= 
2400 
48000 
3400 
78000 
 
=0,043590ou4,3590%a.m. 
 
Observação: Esta taxa média significa que, se os três títulos fossem descontados a uma taxa única de 
4,359%aomês,produziriam omesmodescontoqueseriaproduzidocasoessestítulosfossem descontadosàs taxas de 
3% ao mês, 4% ao mês e5% ao mês, respectivamente. 
Comprovação: 
a) Valordo desconto calculado combase nosvaloresnominais, taxase prazosespecificadospara cada título. 
D1 
D2 c=R$3.400,00 
D3 2.400,00 
a) Valor do desconto calculado com base nos valores nominais e nos prazos especificados em cada título e, 
na taxa média. 
 
D1 
D2 c =R$3.400,02 
D3 2.092,32 
2.5.2-Prazomédio 
Oprazomédioéoprazoúnicocomoqualsedevedescontarumconjuntodetítulosparaseobtero mesmo desconto que 
seria obtido caso os títulos fossem descontados com os seus respectivos prazos. 
Oprazomédioéobtidopelamédiaponderada,ondeovalornominaleataxarepresentamospesos. 
Assim,representandopornoprazomédiodeum conjuntodetítulos,nodescontocomercial,temos: N1d1n+ 
N2d2n+ N3d3n+ ... + Nhdhn= N1d1n1 + N2d2n2 + N3d3n3 + ... Nhdhnh 
Colocandonemevidência,resulta: 
(N1d1+N2d2+N3d3+...+Nhdh)n=N1d1n1+N2d2n2+N3d3n3+...Nhdhnh 
 
 




Exemplo:Calcularo prazomédiodo seguinteconjuntodetítulosnodescontocomercial. 
 
VALOR NOMINAL PRAZO TAXADEDESCONTO 
R$10.000,00 4meses 6%a.m. 
R$5.000,00 3meses 4%a.m. 
R$8.000,00 5meses 5%a.m. 
Solução: 
 
n=
5 
0,05 
n=
 
 
n=
5.000,00
4,1667 
1.200,00 
 
Resposta.:Oprazomédioéde4,1667mesesou4mesese5dias. 
Observação: Este prazo médio significa que, se os três títulos fossem descontados com um prazo único de 4 
meses e 5 dias, produziriam o mesmo desconto que seria produzido caso estes títulos fossem descontados com 
os prazos de 4 meses, 3 meses e 5 meses, respectivamente. 
 
Comprovação: 
a) Valordodescontocalculadocombasenosvaloresnominais,taxaseprazosespecificadosparacadatítulo. 
D1 2.400,00 
D2 600,00 c=R$ 5.000,00 
D3 
 
b) Valordodescontocalculadocom basenos valores nominaisenastaxasespecificadosem cadatítuloe,no prazo médio. 
D1 2.500,00 
D2 833,33 c=R$5.000,00 
D3 
 
EXERCÍCIOSRESOLVIDOS: 
 
01- Uma empresa desconta uma nota promissória no valor de R$ 9.000,00, 72 dias antes do vencimento, emum banco, a 
uma taxa de desconto comercial de 5% ao mês. Sabendo-se que a taxa de IOF cobrada é de 0,0041% 
aodiaequeobancocobraumataxaadministrativade0,5% sobreovalor nominaldotítuloparaesse tipo de operação, determinar: 
a) ovalordo desconto; 
b) ovalorlíquidorecebidopelaempresa; 
c) ataxaefetivadejurosdaoperaçãonoperíodo. 
Solução: 
a) Dc=Ndn 
 
Dc=9.000×0,05× 
72
=1.080,00 
30 
b) IOF=9.000×0,000041×72=26,57 
Desp.adm.=9.000×0,005=45,00 
 
 
ValorLíq.=9.000,00–1.080–26,57–45,00=7.848,43 
 
c) i= 
S
P 
 i= 
9.000,00 
7.848,43 
 i=14,67% em72 dias. 
02- Diante da alternativa de substituir os três títulos abaixo por um único, de valor igual à soma dos três. Pede- sedeterminar 
oprazo de vencimentodonovotítulo(prazomédio), de modoque oseu descontocomercialseja igual àsomados descontos 
comerciais dos outros três.Considerar a taxa de descontode2,5% a.m.para essa operação: 
 
a) R$5.000,00,comvencimentoem60dias 
b) R$4.300,00,comvencimentoem45dias 
c) R$3.500,00,comvencimentoem20dias 
Solução: 
Observação: Sendoataxaconstante,isto é,amesmaparatodos os títulos,podemos ignorá-lapara efeito de 
cálculo. 
 
n=
563500
44,0234
 
 
 
Resposta:44,0234dias 
3500 12800 
 
03- Considerandoostítulosseguintes,determinar:a)ataxamédia;b)oprazomédio. 
 
VALOR NOMINAL TAXADEDESCONTO PRAZO 
R$15.000,00 6,0%a.m. 3 meses 
R$10.000,00 6,5%a.m. 4 meses 
R$18.000,00 4,5%a.m. 6 meses 
R$12.000,00 5,4%a.m. 2 meses 
 
Solução: 
a) d=
 
d= 
 
=
 
 
11.456 
 
 
217.00
0 
 
=0,052793ou5,2793%a.m. 
 
 
b) n= 
 
n= 
2 
 
 
0,054 
=
11.456 
=3,8085mesesou24dias
 
64
8 
 
3008 
 
 
EXERCÍCIOSPROPOSTOS: 
01- Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 1.800,00 é descontada 3 meses antes do vencimento, com taxa de desconto 
de 5% ao mês. Pede-se: 
a) odescontocomercialdotítulo;RespostaR$270,00. 
b) ovaloratualcomercialdotítulo;Resposta:R$1.530,00. 
c) ataxaefetivadejurossimplesdaoperação.Resposta:5,88%a.m. 
02- Umaduplicata édescontada 50 dias antes do vencimento.Sabendo-sequea taxade descontocomercialé de6% 
aomês,queovalor nominaldotítuloéR$40.000,00,queataxadeIOF éde1,5% a.a.equeataxa de serviço cobrada pelo banco é 
de 0,5%, pede-se: 
a) odescontocomercialdotítulo;Resposta:R$4.000,00. 
b) ovalorlíquidorecebidopelotomador;Resposta:R$35.716,67 
c) ataxaefetivadejurossimplesdaoperação.Resposta:7,20%a.m. 
 
d) ataxaderentabilidademensaldaoperaçãoparaobanco.Resposta:7,04%a.m. 
 
03- O desconto comercial de um título foi de R$ 150,00, adotando-se uma taxa de desconto de 30% ao ano. Quanto tempo 
faltaria para o vencimento do título se o seu valor nominal fosse de R$ 4.000,00? Resp.: 45 dias. 
04- Determine o valor a ser pago hoje por um título de R$ 27.000,00, cujo vencimento ocorrerá daqui a quatro meses, 
supondo que a taxa de desconto comercial simples seja de 4,8% ao mês.Resposta:R$ 21.816,00. 
05- Uma pessoa precisa de R$ 18.000,00 para saldar um compromisso. Que valor deverá pedir emprestadoem um banco 
que cobra 4,5% ao mês de descontocomercial, mais uma taxa de serviço de 2% sobre o valor nominal do título, com 
prazo de 60 dias? Resposta: R$ 20.224,72. 
06- Uma duplicata no valor de R$ 5.000,00 foi descontada em um banco, 45 dias antes do seu vencimento, à taxa de 
desconto comercial de 4,5% ao mês. Determinar o valor creditado ao cliente, sabendo-se que a taxa de IOF é de 1,5% 
ao ano. Resposta:R$ 4.653,13. 
07- (QC-MM)ParapagarumadívidadeR$4.027,50,certocomerciantejuntouumchequeaoportadorde 
R$1.332,50àimportâncialíquida(valoratual)produzidapelodescontocomercialdeumaletradeR$2.750,00,vencívelem 
trêsmeses.Aquetaxaanualfoicalculadoodescontodoreferidotítulo?Resposta.: 8% a.a. 
08- Uma letra do Tesouro Nacional está sendo negociada com um prazo de 48 dias, com taxa de desconto comercial de 7% 
a.m. Calcule o valor da taxa de rentabilidade mensal do papel. Resposta: 7,88% a.m. 
09- Foram aplicados,namesmadata, os seguintes valores,ajuros simples:R$ 2.400,00,com taxade4,5% ao mês, em quatro 
meses; R$ 5.000,00, com taxa de 4% ao mês, em seis meses e R$ 3.500,00, com taxa de 5%aomês,em 
trêsmeses.Objetivandoestabelecerum vencimentoúnicoparaastrêsaplicações,calcular o prazo médio, ou seja, em quanto 
tempo esses valores colocados com suas respectivas taxas renderão o mesmo total de juros? Resposta: 4 meses e 14 dias, 
aproximadamente. 
10- (TCI-RJ) Um título com 180 dias a decorrer até seu vencimento está sendo negociado, no regime de juros 
simples, com uma taxa de desconto comercial de 15% ao ano. Determine o valor da aplicação, que 
proporciona um resgate de R$ 2.000,00. Resposta: R$ 1.850,00.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 e-TecBrasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diz-se que um capital está aplicado a juros compostos ou no regime de capitalização composta, quando, no fim de cada 
período financeiro, previamente estabelecido, os juros são adicionados ao capital anterior e passam a render juros no período 
seguinte. 
O valor dos juros em cada período financeiro, no regime de juros compostos, é obtido pela aplicação da 
taxadejurossobreosaldoexistentenoiníciodoperíodocorrespondente. 
 
 
11.1Exemplo 
CapitaldeR$500,00;jurosde1%a.m.períodode4meses. 
 
Tabela11.1:Demonstração 
Período Capital Taxa Juros Montante 
1 500 0,01 5 505 
2 505 0,01 5,05 510,05 
3 510,05 0,01 5,10 515,15 
4 515,15 0,01 5,15 520,30 
Fonte:Elaborado pelo autor 
 
1ºperíodo:M1=C+Ci=C(1+i)2ºperíodo:
M
2
=M
1
+M
1
.i 
Logo:C(1+i)+C(1+i).i 
 
C(1+i).(1+i)=C(1+i)² 
 
3º período: M
3
= M
2
+ M
2
. i = C(1 + 
i)34ºperíodo:M
4
=M
3
+M
3.i
=C(1+i)4 
Porinduçãofinita,chegamosàfórmulageraldejuroscompostos: 
 
 
 
 
 
–JurosCompostos 
 
M=C.(1+i)n 
66 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
Onde M = montante, C = capital inicial, i = taxa de juros e n = número 
deperíodos(podetambémserrepresentadopelaletra“t”). 
 
Percebam que agora o número de períodos (n) é um expoente (nosjuros 
simples só havia multiplicações), mostrando que os juros 
sobrejurosterãoumaformaexponencialnolongoprazo. 
 
Na fórmula de juros (simples ou compostos), as unidades de tempo referen-tes à taxa 
de juros (i) e do período (n), tem de ser necessariamente iguais.Este é um detalhe 
importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, 
porexemplo,seataxafor2%aomêseoperíodo3anos,deveremosconsiderar2%aomêsdur
ante36meses(3x12=36meses). 
 
Relembrando! 
Naaulade juros 
simplesaplicamosumcapitaldeR$1.000pordezmesesaumataxade10%a.m.,acumula
ndoummontantedeR$2.000nofinal.Masesefossema juroscompostos? 
Separando os dados fornecidos no enunciado do 
problema:C=1.000,00i=10%a.m.(aomês)n=10mesesM=? 
M=Cx(1+i)n 
M=1.000x(1+ 0,1)10 
M=1.000x(1,1)10 
M=1.000x2,59374 
M=2.593,74 
 
OmontanteéR$2.593,74 
01- UminvestidoraplicouR$50.000,00por8meses,àtaxade6%aomês,noregimedejuroscompostos. 
Calcularomontanteaofimdesseprazo. 
Solução: 
P=R$50.000,00 
i=6% a.m. n=8meses S = ? 
Utilizandoafórmula 
S=P(1+i)
n 8
79.692,40 
02- Você recebe uma proposta para investir hoje a importância de R$ 300.000,00 para receber R$ 440.798,42 ao fim de 5 meses. Qual a 
taxa de rentabilidade mensal desse investimento? 
 
Solução: 
P=R$300.000,00 
S=R$440.798,42 
n=5 meses 
66 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
i =? 
S=P(1+i)
n
 
5
 
5 5 51,469328 a.m. 
 
 
1.3-Expressãoparaocálculodovaloratual 
AexpressãoM=C(1+i)
n
nospermiteescrever: 
 
 
 
 
 
 
 
M 
C=
1i
n
 
 
P=S(1+i)
-n
 
67 Aula11–JurosCompostosversusFunçãoExponencial e-TecBrasil 
 
 
69 e-TecBrasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício1 
 
UminvestidoraplicouR$14.000,00ajurocompostode2%a.m.Sendoas-
sim,quantosreaisteráapós8mesesdeaplicação? 
 
Solução: 
 
Sabendoqueodinheiroaplicado(capital)C=14.000equeacadamêssãocreditados 
2%dejuros, temos: 
 
C=14.000 
 
t=8meses 
 
i=2%a.m.=0,02 
 
SubstituindoosvaloresnafórmuladomontantecompostoM=C.(1+i)t,obteremos: 
 
M=14.000.(1+0,02)8;M=14.000.(1,02)8;M=14.000.1,1717 
 
M=16.403,23 
 
Resposta: 
 
Após8meses,eleteráR$16.403,23 
 
 
JurosCompostos 
 
70 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
 
Comentecomseuscolegasapossibilidadederesolveresteproblemadeoutra
maneira. 
Exercício2 
 
CalculeojurocompostoqueseráobtidonaaplicaçãodeR$25.000,00a25% 
a.a.,durante72meses. 
 
Solução: 
 
Inicialmente,vamoscalcularomontantedessaaplicação.Doenunciado,temos: 
 
C=25.000 
 
i=25%a.a.=0,25 
 
t=72meses=72=6anos 
12 
Usandoafórmuladomontante: 
 
M=C.(1+i)t;M=25.000.(1+0,25)6;M=25.000.(1,25)6;M=25.000.3,8147 
 
M=95.367,43 
 
Comoomontanteéigualaocapitalincorporadoaosjuros:M=C +J; 
J=M -C; J= 95.367,43-25.000 
J=70.367,43 
 
Resposta: 
 
SeráobtidoumjurodeR$70.367.43 
Exercício3 
 
UmapessoaaplicouR$10.000,00ajurocompostode1,8%a.a.Apósquan-
totempoteráumtotaldeR$11.534,00? 
71 Aula12–JurosCompostosversusFunçãoExponencial-II e-TecBrasil 
Solução: 
 
C=10.000 
 
i=1,8%a.m.=0,018 
 
M=11.534 
 
Usandoafórmuladomontante: 
 
M=C.(1+i)t;11.534=10.000.(1+0,018)t;1,018t=
11534 
;1,018t= 
10.000 
1,1534 
 
t=8 
 
Resposta: 
 
Logo,após8mesesdeaplicação,elateráummontantedeR$11.534,00 
 
Atividadesdeaprendizagem 
1. Uma dívida de R$2.000,00 deverá ser paga 3 meses antes do seu venci-
mento,em20dedezembro.Sabendoqueataxadejuroparaessadívidaé de 5% m., em 
regime de juro composto, qual deverá ser o valor dodesconto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (UEM-PR) A taxa de juros de uma aplicação financeira é de 2% 
a.m.;aplicando-seR$100,00aessataxa,éincorretoafirmarque: 
 
a) após5meses,haveráR$110,00 
 
b) após3meses,haverámaisqueR$106,00 
 
c) depoisdeummês,haveráR$102,00 
72 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
d) se, no final de cada mês, forem retirados R$2,00, após 6 meses o máxi-
moquepoderásersacadoserádeR$102,00 
e) após4meses,ocapitalinicialterásofridoumacréscimodemaisde8%. 
 
 
 
3. (IBMEC) Investindo-se um capital a uma taxa de juros mensais de 7%,em 
regime de capitalização composta, em quanto tempo o capital inicialdobrará? 
 
a) 10meses 
 
b) 11meses 
 
c) 12meses 
 
d) 13meses 
 
e) 14meses 
 
4. (Unesp-SP)UmcapitaldeR$1.000,00éaplicadodurante4meses. 
 
a) Encontre o rendimento da aplicação no período considerando a taxa 
dejurosimplesde10%a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determine o rendimento da aplicação no período considerando a taxa 
dejurocompostode10%a.m. 
73 e-TecBrasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Aplicou-
seajuroscompostosumcapitaldeR$1.400.000.00,a4%aomês,durante3meses.De
termineomontanteproduzidonesteperíodo. 
 
Separando os dados fornecidos no enunciado do 
problema:C=1.400.000,00i=4%a.m.(aomês)n=3mesesM=?M=C
x(1+i)n 
M=1.400.000 x(1 +0,04)3 
 
M=1.400.000x(1,04)3 
 
M=1.400.000x1,124864 
 
M=1.574.809,600 
 
OmontanteéR$1.574.809,600 
 
Obs.:devemoslembrarque4%=4/100=0,04 
 
2. Qualocapitalque,aplicadoajuroscompostosa8%aomês,produzem2mesesummont
antedeR$18.915,00dejuros. 
 
Separando os dados fornecidos no enunciado do 
problema:C=?i=8%a.m.(aomês)n=2mesesM=18.915,00 
 
Nesta aulafaremos a revisão de juros compostos por meio 
deexercícios práticos e cotidianos das relações financeiras com 
omercadodasfinançaspessoaiseempresariais. 
 
 
Aula13–
Juroscompostos,exercícios
resolvidoserevisão 
74 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
Obs.:devemoslembrarque8%=8/100=0,08 
 
M=Cx(1+i)n 
 
18.915=Cx(1+0,08)2 
 
18.915=Cx(1,08)2 
 
18.915=Cx1,1664 
 
C = 18915 :1,1664 
 
C=16.216,56379queéaproximadamenteigualaC=R$16.216,56. 
 
3. A que taxa ao mês esteve aplicado, em uma caderneta de 
poupança,umcapitaldeR$1.440,00para,em2meses,produzirummontantedeR$
1.512,90? 
 
C=1.440,00i=?%a.m.(aomês)t=2mesesM=1.512,90M=Cx(1+i)n 
1512,90=1440x(1+i)2 
 
(1+i)2=1512,90:1440 
 
(1+i)2=1,050625 
 
1+i=1,050625 
 
1+i=1,025 
 
i=0,025(x100) 
 
i=2,5% 
 
Ataxaé2,5%aomês 
 
A grande diferença dos juros é que no final das contas quem financia por ju-ros 
simples obtém um montante (valor total a pagar) inferior ao que 
financiaporjuroscompostos. 
75 Aula13–Juroscompostos,exercíciosresolvidoserevisão e-TecBrasil 
Vamos comparar as duas aplicações de capitalização (simples e 
composto)paraummesmovalordecapitalaplicado. 
 
Lembreque a fórmula do Juro Simples é: J=C.i.tou J=C.i.n 
 
Onde: 
 
J=juros,C=capital,i=taxa,nout=tempo. 
 
ConsiderandoqueumapessoaemprestaparaoutraaquantiadeR$2.000,00,ajurossimples,
peloprazode3meses,àtaxade3%aomês.Quantodeveráser pagodejuros? 
 
Antesdeiniciarmosaresoluçãodesteproblema,devemosretirardoenun-
ciadoosdadosnecessáriosaresoluçãodoproblema: 
 
Capitalaplicado(C):R$2.000,00Tempo de 
Aplicação (t): 3 
mesesTaxa(i):3%ou0,03aomês(a.m.)Faz
endoocálculo,teremos: 
 
 
Querdizerqueaofinaldoempréstimo,aofinaldostrêsmeses,apessoapagará 
R$180,00de juros. 
 
Observequesefizermosacontamêsamês,ovalordosjurosserádeR$60,00pormêseessevalors
erásomadomêsamês,nuncamudará. 
 
Agoraesefossemjuroscompostos? 
 
AfórmuladosJurosCompostosé:M=C.(1+i)n 
 
Onde: 
 
M=Montante,C=Capital,i =taxadejuros,nout =tempo. 
76 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
Considerando o mesmo problema anterior, da pessoa que 
emprestouR$2.000,00aumataxade3%(0,03)durante3meses,emjurossimples,tere
mos: 
 
CapitalAplicado(C)=R$2.000,00Temp
odeAplicação(t)=3meses 
Fazendoaconversãoparadecimal:taxadeAplicação(i)=0,03(3%aomês)Fazendooscálc
ulos,teremos: 
 
 
Aofinaldoempréstimo,apessoapagaráR$185,45dejuros. 
 
Observe que se fizermos a conta mês a mês, no primeiro mês ela pagaráR$60,00, no 
segundo mês ela pagará R$61,80 e no terceiro mês ela pagaráR$63,65. 
 
Ou seja, no primeiro mês o juro corresponde a R$60,00; no segundo mês 
ojurocorrespondeaR$61,80;enoterceiromêsojurocorrespondeaR$63,65. 
 
No final das contas no regime de juros simples o montante seria deR$2.180,00 
(pagaria os R$2000,00 + R$180,00 de juros). Já no caso dosjuros compostos o 
montante seria de R$2.185,45 (pagaria os R$2000,00 +R$185,45 dejuros). 
 
Quandousamosjurossimplesejuroscompostos? 
 
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. 
Estãoincluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de 
crédito,empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta 
dePoupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Os bancos utilizam osjuros 
compostos, é o modo dessas Instituições lucrarem com a 
concessãodecrédito,financiamentos,todasasoperaçõesbancáriasenvolvemjurose 
riscos. As operações de baixo risco rendem pouco juro e as de alto riscorendem 
maisjuros. 
77 Aula13–Juroscompostos,exercíciosresolvidoserevisão e-TecBrasil 
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso dasoperações 
de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de dupli-catas. Tal fato 
ocorre dado o risco de se emprestar dinheiro e não receber opagamento pela dívida, 
como o risco de uma pessoa (ou empresa) contrairuma dívida alta e não poder pagar, 
as instituições financeiras optam por re-gimesmaisrentáveisdecobrançadejuros. 
. 
 
 
79 e-TecBrasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Acompanheacitação: 
 
"Nomercadofinanceirobrasileiro,mesmoentreostécnicoseexecuti-
vos,reinamuitaconfusãoquantoaosconceitosdetaxasdejurosprinci-
palmentenoqueserefereàstaxasnominal,efetivaereal.Odesconhe-
cimentogeneralizadodessesconceitostemdificultadoofechamentodenegóciospel
aconsequentefaltadeentendimentoentreaspartes.Den-
trodosprogramasdosdiversoscursosdeMatemáticaFinanceiraexisteumaverdadei
ra'poluição'detaxasdejuros."(SOBRINHO,2000) 
 
Interessou? Vamos estudar a questão com maior profundidade e verificarqual seria a 
melhor definição para as taxas e aplicações no mercado de fi-nanças. 
 
14.1 Taxasequivalentes 
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes e aplicadas ao mesmo Capital © duranteo mesmo 
período de tempo, através de diferentes sistemas de 
capitalização,produzemomesmoMontante(M). 
 
Sendoassimemumanoarelaçãoentretaxamensaleanualéexpressapor: 
 
1+i
a
=(1+i
m
)12 
 
Ampliando a lógica, podemos concluir que a relação entre taxa semestral eanual é 
expressapor: 
 
1+i
a
=(1+i
s
)6 
 
Trataremos da conversão de taxas equivalentes. Você aprende-
rá a transformar taxas para períodos distintos e equivalentes 
eclassificar os tipos de taxas de acordo com o período 
observadoecondiçõespolítico-econômicas. 
 
 
 
Aula14–Equivalênciadetaxas 
80 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
Ocorrequeporcontadosjurosserememregimecompostoaconversãoentre
semestreeanonãoéexatamente“odobrode”.Nonossoexemplo,ataxasem
estralde8%nãoéigualaduasvezesoito. 
Damesmamaneiraocorrequeporcontadosjurosserememregimecom-posto 
a conversão entre mês e ano não são exatamente 12 x 0,5 = 
6.Existeumacréscimoporcontadoregimedecapitalizaçãocomposto. 
Exemplos: 
 
1. Qualataxaanualequivalentea8%aosemestre? 
 
Solução: 
 
1+i
a
=(1+i
s
)2 
 
1+i
a
=(1+0,08)2 
 
1+i
a
=1,1664 
 
i
a
=0,1664=16,64%a.a. 
 
 
2. Qualataxaanualequivalentea0,5%aomês? 
 
Solução: 
 
1+i
a
=(1+i
m
)12 
 
1+i
a
=(1+0,005)12 
 
1+i
a
=1,0616 
 
i
a
=0,0616=6,16%a.a. 
 
 
14.2 ATaxaNominal 
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros 
aoCapitalnãocoincidecomaqueleaqueataxaestáreferida.Algunsexemplos: 
81 Aula14–Equivalênciadetaxas e-TecBrasil 
- 340%aosemestrecomcapitalizaçãomensal. 
 
- 1150%aoanocomcapitalizaçãomensal. 
 
- 300%aoanocomcapitalizaçãotrimestral. 
 
Exemplos: 
 
1. Umataxade15%a.a.comcapitalizaçãomensalterá16,08%a.a.comotaxaefetiva: 
 
15 
12 
1,2512 
 
2. QualomontantedeumprincipaldeR$15.000,00,nofimde1ano,comjurosde12%a.a./
a.t. 
 
Calculadoras científicas têm teclas que operam com expoentes e base novalor que 
desejar, sendo assim (1,03)4 = 1,125508810 aproximadamente1,125. 
 
Solução: 
 
C=R$15.000,00 
 
n= 1 ano 
 
i=12%a.a./a.t. 
 
x=4(umanopossui4trimestres) 
 
i=i 
x 
x
 
 
Assimtemos: 
 
i=0,12=0,03a.t. 
4 
4
 
 
n=1ano,sabendoqueumanotem4trimestres. 
82 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
M=C.(1+i)n 
 
M=15.000.(1+0,03)4 
 
M=15.000.1,1255M=R
$16.882,50 
14.3 ATaxaEfetiva 
A Taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros 
aoCapitalcoincidecomaqueleaqueataxaestáreferida.Algunsexemplos: 
 
- 140%aomêscomcapitalizaçãomensal. 
 
- 250%aosemestrecomcapitalizaçãosemestral. 
 
- 1250%aoanocomcapitalizaçãoanual. 
 
Resumo 
Vocêaprendeunestaaulaatransformartaxasparaperíodosdistintoseequi-valentes, a 
classificar os tipos de taxas de acordo com o período observadoe condições político-
econômicas, e a tomar cuidado em verificar se a capita-
lizaçãoenvolvidaésimplesoucomposta. 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 e-TecBrasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15.1 Taxareal 
É a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da 
operação,podendoser inclusive negativa. 
 
15.1.1 O caso BBB 
VamosanalisarumasituaçãobempopularnoBrasil:ocasoBBB. 
 
Milhões de brasileiros assistiram, pelo menos em parte, o Big Brother Brasilnas suas 
diversas edições. Não foi em vão que esseprograma atingiu altosíndices de 
audiência. O prêmio de R$1.500.000,00 atrai várias pessoas 
paraparticipardoprogramaeatiçaodesejodeganharoprêmio. 
 
Não cabe aqui discutir o mérito do programa, mas sim analisar o que o sen-so 
comum aponta como solução imediata da questão: o que fazer com 
1milhãodereais? 
 
Partindo do pressuposto de que você necessitasse de um tempo maior paradecidir o 
que iria adquirir com essa importância, então, enquanto pensa noque fazer aplicaria 
imediatamente essa quantia na rede bancária para o ca-pitalnão ficar se 
desvalorizando. 
 
Se investisse toda essa importância a juros pós–fixados num prazo determi-nado, 
verificando que já possuía ao final desse período o montante de R$1,1milhão (no 
caso de um prêmio de, por exemplo, R$1 000 000), estaria 
entãoauferindoumrendimentobrutode10%.Diantedessarealidade,apessoateria a 
intenção de sacar apenas os juros reais auferidos, reaplicando o sal-
doqueobviamenteteriaomesmopoderdecompradaépocadaprimeiraaplicação. 
 
Oobjetivodestaaulaéconheceroutrotipodetaxamaisade-
quadaaomercadofinanceiro:ataxareal. 
 
 
 
Aula15–Ataxareal 
84 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
Seataxadeinflaçãodoperíodofossede4%,entãoataxade10%obtidaseria aparente, ou 
seja, ilusória, uma vez que teria que descontar a 
inflação.Àprimeiravistapareceentãoqueorendimentolíquidoseriade6%.Essataxa 
significa que para cada R$100,00 aplicados, R$6,00 seria o ganho real.Acontece, 
porém, que o correto seria de cada R$104,00 se auferiria R$6,00de juros reais, 
porque R$4,00 seria somente a atualização do capital peloíndiceinflacionário. 
 
Dessa maneira fica bem claro que a taxa real de uma aplicação financeira ésempre 
menor que a diferença entre a taxa de rendimento bruto e a taxa deinflação. 
Atividadesdeaprendizagem 
1. Qualataxaanualequivalentea2%aotrimestre? 
 
2. Qualataxasemestralequivalentea5,6%aomês? 
 
85 Aula15–Ataxareal e-TecBrasil 
3. QualomontantedeumprincipaldeR$72.000,00,nofimde1ano,comjurosde8%a.a./a
.t? 
 
4. Determinar: 
 
a) Taxapara183 diasequivalentesa 65%a.a. 
 
 
b) Taxaanualequivalentea2%a.m. 
 
86 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
c) Taxapara27dias,equivalentea13%aotrimestre. 
 
 
d) Taxaanualequivalentea1%aoquadrimestre. 
 
e) Taxatrimestralequivalentea47,746%emdoisanos. 
 
5. Dadaataxade3,96%em37dias,calculeataxaequivalenteemjuroscompostos 
para93 dias. 
 
86 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
 
6. Dadaataxade10,27%em93dias,calculeataxaequivalenteemjuro
scompostos para37 dias. 
 
Resumo 
Vimosoconceitodetaxarealeasuaimportâncianocenáriofinanceiro. 
 
EXERCÍCIOSPROPOSTOS: 
01- Determinar o montante que um investimento de R$ 80.000,00 produzirá em dois semestres, à taxa de 15% ao trimestre, 
no regime de capitalização composta. Resposta : R$ 139.920,50 
02- Você vai adquirir dois títulos, o primeiro tem valor de resgate deR$ 50.000,00e prazo de resgate 6 meses; o segundo 
tem valor de resgate de R$ 30.000,00 e prazo de resgate de 9 meses. Qual o valor da aplicação, se a instituição 
financeira está oferecendo uma taxa de 6% ao mês, no regime de juros compostos? Resposta: R$ 53.004,98 
03- Quantos períodos serão necessários para triplicar um capital, a juros compostos, à taxa de 10% ao período? Resposta: 
11,53. 
103 e-TecBrasil 
04- Qual a taxa mensal de juros compostos que transforma um capital de R$ 30.000,00 em R$ 212.537,21 em dois anos?Resposta: 8,5% a.m. 
05- O capital de R$ 100.000,00 colocado a juros compostos, capitalizados mensalmente durante 8 meses, elevou-se, no final desse prazo, a 
R$ 156.994,83. Calcular a taxa de juros aplicada. Resposta: 5,8% a.m. 
06- DeterminaroprazonecessárioparaqueumaaplicaçãonovalordeR$20.000,00setransformeem R$ 35.246,83, à taxa de 12% ao mês, no 
regime de juros compostos. Resposta: 5 meses. 
07- Ricardo fez uma aplicação de R$ 15.000,00 por 15 meses à taxa de 45% a.a., no regime de juros 
compostos.Determineomontanterecebido,utilizandoasconvençõeslineareexponencial.Resposta: R$ 24.196,88 pela convenção linear; R$ 
23.867,19 pela convenção exponencial. 
08- O rendimento das cadernetas de poupança atingiu no período de abril a agosto de 1989 os seguintes percentuais: Abril 11,52%; Maio 
10,48%; Junho 29,40%; Julho 25,45%; Agosto 29,99%. 
a) Determineopercentualderendimentoacumuladonesseperíodonascadernetasdepoupança. 
Resposta:159,9868%. 
b) Determineataxamédiamensalderendimentodascadernetasdepopançanesseperíodo. 
Resposta:21,06%a.m. 
09- Em quatro meses sucessivos um fundo de renda fixa rendeu 1,2%, 1,4%, 1,5% e 1,6%. Qual a taxa de rentabilidade acumulada deste 
fundo no período? Resposta.: 5,8225%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descontoracionalou 
p 
Descontoracionalou 
103 e-TecBrasil 
N.i.n
D
r
=
1+i.n 
V=N-Dr 
N 
V= 
1+i.n 
por dentro e 
descontocomposto 
 
 
 
 
 
 
 
19.1 DescontoRacional 
Odescontoracionalequivaleaosjurossimples,calculadosobreovaloratualdotítulo.Ouse
ja,éaqueleemqueataxadedescontoincidesobreovalorlíquidodotítulo. 
 
Assimtemos: 
 
Dr=descontoracional 
 
Sendoovaloratualadiferençaentreovalornominaleodesconto,temos: 
 
Valoratual 
 
 
 
SabendoqueDr=(N.i.n)/(1+i.n),então: 
Exemplo: 
 
UmtítulodeR$6.000,00aserdescontadoàtaxade2,1%a.m.faltando45dias para o 
vencimento do título, determine o desconto racional e o valoratualracional 
DESCONTORACIONAL EOCOMPOSTO. 
104 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
r 
Solução: 
 
N=6000,00 
 
n=45dias 
 
i=2,1%a.m.=0,021a.m.=0,0007a.d. 
 
D= 
N.i.n 
=
6000.0,0007.45 
= 
189 
=183,22 
1+i.n 
V=N-D
r
 
1+0,0007.45 1,0315 
 
V = 6000 - 
183,22V=R$5.186,
78 
19.2 DescontoComposto 
A definição de desconto composto é a mesma que do sistema de capita-lização 
simples. O que diferencia um do outro é justamente o sistema 
decapitalização,quenestecasoécomposto. 
 
Afórmulageraldedescontoé:D=N–
VaAfórmuladedescontocompostoé:VA= 
Exemplos: 
 
1. CalcularodescontocompostodeumtítulodeR$3.600,00,ataxade4,5%a.m. e 
antecipado em 2 meses. 
 
Va=3600/(1+0,045)2 
 
Va=3600/1,092=3.296,70 
 
Utilizandoafórmulageraldedesconto: 
 
D=N–Va,temos:D=3600–3296,70=303,30 
N 
(1+i)n 
105 Aula19–Descontoracionaloupordentroedescontocomposto e-TecBrasil 
2. Um título deR$10.000,00 será negociadoem 3 mesesantes do seuven-
cimento,ataxade8%a.m.Determineovalorpresente. 
 
Va=10000/(1+0,08)3 
 
Va=10000/1,26=7.936,50 
 
Atividadesdeaprendizagem 
1. DequantoseráodescontoqueumtítulodeR$8.000,00,ataxade8%a.m., sofre 
aoser resgatadoem dois mesesantes doseu vencimento? 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Umaduplicata,novalordeR$120.000,00ecomvencimentoem4anos,porquantoseráp
agahojesesofrerumdescontocompostode14%a.a? 
 
Solução 
106 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
3. QualfoiodescontocompostoobtidoparasaldarumadívidadeR$80.000,00doisme
sesantesdovencimentoeataxade12%a.m? 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Umaletradecâmbiofoipaga4mesesantesdoseuvencimento,comumdesconto 
composto de 9% a.m, tendo se reduzido para R$75.600,00.Qualera o seu 
valorde face? 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. QualodescontocompostoobtidonoresgatedeumtítulodeR$85.000,00,5mesesantes
dovencimento,ataxade8%a.m? 
107 Aula19–Descontoracionaloupordentroedescontocomposto e-TecBrasil 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. QualomontantedeR$152.000,00,ataxadejuroscompostosde7%a.m,durante 
3meses e 12dias? 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. AquantiadeR$60.000,00foiaplicadaajuroscompostos.Determineomontante 
depoisum quartode anoa10% a.m. 
 
Solução: 
108 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
Solução 
8. Determineocapitalqueaplicadoajuroscompostosde6%a.m,durante3mesesresultou
emummontantedeR$5.730,48. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. UmaaplicaçãonovalordeR$780,00,durante35diasaumataxadejuroscompostosde23% a.a,rendequanto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Foi descontado um título no valor de R$6.800,00, quando faltavam 63dias 
para seu vencimento, a uma taxa de desconto composto de 3% 
a.m.Calcularovalordodesconto.(Resposta:R$409,26) 
87 Aula15–Ataxareal e-TecBrasil 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. CalcularodescontodeumtítulonovalordeR$60.800,00,descontadoaumataxade42,58%
a.a,quandofaltavam128diasparaoseuvencimento. 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. UmtítulonovalordeR$6.800,00foiresgatado58diasantesdovenci-
mento,pelovalordeR$6.422,30.Calcularataxadedescontomensal. 
 
Solução 
 
 
89 e-TecBrasil 
FV 
0 
PV 
i 
n 
 
 
PMT 
 
Figura16.1:Elementosprincipaisdodiagrama 
Fonte:Elaborado pelo autor 
 
Legenda: 
Escala Horizontal – expressa unidade temporal, podendo ser: dias, semanas, meses, anos 
etc.;Setas paracima –consistem ementrada ourecebimentode dinheiro; 
Setasparabaixo–consistememsaídasoupagamentos. 
PV–
PresentValue(ValorPresente).Simbolizaovalordocapitalnomomentopresente,chamadodevaloratual,capitalouprincip
al. 
PMT–Payment(Pagamento)ouaindaPeriodicPaymentAmount(valordopagamentoperiódico).Éovalor deuma 
parcelaquepode seradicionadaou subtraídadomontante acadaperíodo. 
FV–FutureValue(ValorFuturo).Simbolizaomontante,ovalordocapitalapóscertoperíododetempo,tambémchamadode 
valor futuro.É a soma do Capital com os juros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16.1 Diagramadefluxodecaixa 
 
 
16.2 Valorpresente 
Na fórmula M = C. (1 + i)n, o capital inicial C é também conhecido 
comoValorPresente(PV=presentvalue)eomontanteMétambémconhecidocomo 
Valor Futuro (FV = future value).i é o índice de interesse (do inglêsinterestrate)–
representaataxadejuros. 
 
Veremos nesta aula um tema de grande importância nas finan-
ças: o valor presente e o valor futuro nas operações de fluxo 
decaixa. 
 
 
Aula16–Operaçõesdefluxode 
caixa 
90 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
Então essa fórmula pode ser escrita 
comoFV=PV (1+ i)n 
SeisolarmosPVnafórmulatemos: 
 
PV=
FV 
(1+i)n 
 
Observação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Nestelink, vocêencontra o emulador 
dacalculadoraHP-
12Cdisponívelgratuitamente para 
teste 
nainternet:http://www.epx.com. 
br/ctb/hp12c.php 
2. Casopossuaaversãomais
atualdoWindowsemseucomputador, 
poderá 
tambémfazerodownloaddaHP-
12Cpara a sua área de 
trabalho,dessemodonãoprecisarádec
onexão com a internet paraacessá-
la. Em 
http://h10032.www1.hp.com/ctg/
Manual/bpia5314.pdfestádisponíve
lomanualdousuárioedesoluçãodepro
blemasfrequentesnaHP- 
12C. 
Veremos que a maioria dos cálculos com as fórmulas apresentadas podemser 
realizados com o auxílio de calculadoras financeiras. É o caso da HP-
12C,calculadoralançadapelaempresadeinformáticaetecnologiaestadunidenseHewlett-
Packard em 1981. O valor presente é representado, por exemplo,pela tecla PV 
(present value), sendo assim as siglas apareceram sempre 
cominiciaisdalínguainglesa.Comestamesmafórmulapodemoscalcularovalorfuturo a 
partir do valor presente. Tendo em vista que a linguagem de cál-culo e entrada de 
valores nas calculadoras HP é diferente das calculadorasconvencionais, deixaremos 
de lado o uso desse tipo de calculadora, apenassugerimos alguns links com o manual 
do usuário e emuladores para utilizaracalculadoraemseucomputadorouonline. 
 
Exemplo: 
 
1. Quantoteremosdaquia12mesesseaplicarmosR$1.500,00a2%aomês? 
 
Solução: 
 
FV=1.500.(1+0,02)12=R$1.902,36 
 
2. Quantoteremosdaquia12mesesseaplicarmos$1.000,00a2,5%aomês? 
 
Solução: 
 
FV=1000.(1+0,025)12=R$1.344,89 
http://www.epx.com/
http://h10032/
91 Aula16–Operaçõesdefluxodecaixa e-TecBrasil 
16.3 Sériesdepagamentos 
Este estudo busca um entendimento das operações financeiras que envol-vem 
pagamentos ou recebimentos parcelados. As séries podem assim serclassificadas: 
 
► Quantoaoprazo: 
 
Temporárias–
duraçãolimitadaPerpétuas–
duraçãoilimitada 
► Quanto ao valor:Constantes–
parcelasiguais 
Variáveis–parcelasdiferentes 
 
► Quantoàforma: 
 
Imediatas–quandoocorrenoprimeiroperíodo,podendoseranteci-
pada(iníciodoperíodo)oupostecipada(finaldoperíodo) 
 
Diferidas–
operaçõescomcarência,podendoserantecipadasoupostecipadas. 
 
► Quantoaoperíodo: 
 
Periódicas–
osintervalosentreasprestaçõessãoiguais.Nãoperiódicas–
osintervalossãodiferentes. 
16.3.1 Operaçõespostecipadas 
Caracterizam-se as operações postecipadas como sendo aquelas em que 
ovencimentoda1ªprestaçãoénofinaldoperíodo.Umtermodemercado,porexemplo,p
araestaoperaçãoé:“aprimeirasóem30dias”. 
92 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
Iníciodospagamentos 
 
0 1 2 3 ... n–1 n 
 
Ailustraçãoacimamostraacompradeumbemnoinstantezeroesuasprestaçõesvencen
doaofinaldo1ºperíodo. 
 
Aquiestãoasfórmulaspararealizarmosoperaçõespostecipadas: 
 
PV=
PMT[1–(1+i)–n] 
i 
PMT=
 PV.i 
1–(1+i)–n 
 
Exemplos: 
1. Qual o valor das prestações que serão pagas mensalmente, se uma TVque custa 
R$690,00 à vista, fosse vendida em 10 vezes, a taxa de jurosde5%a/m? 
PMT=
 690.0,05 
1–(1+0,05)–10 
PMT=
34,50 
0,3861 
 
PMT=89,36 
2. Quanto custou à vista uma mercadoria que foi comprada em oito vezes,a taxa de 
3,7%a.m e prestações mensais, consecutivas e postecipadasdeR$733,47? 
PV=
733,47[1–(1+0,037)–8] 
0,037 
PV=
733,47.0,25223 
0,037 
PV=
185 
0,037 
 
PV=5.000 
93 Aula16–Operaçõesdefluxodecaixa e-TecBrasil 
 
 
95 e-TecBrasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você já deve ter percebido que quando vamos a uma loja e pedimos para 
ovendedorfazerocálculodequantocustaumdeterminadoproduto,parce-lado, em um 
período de tempo, ele recebe do gerente de vendas uma tabelaque contém todos os 
coeficientes para efetuar os cálculos de prestações,conforme o pedido dos clientes. 
Para calcularmos estes coeficientes, utiliza-remos aseguintefórmula: 
Fatorpostecipado= 
i
 
[1–(1+i)–n] 
 
Exemplo: 
Com relação à questãoda TV que custa R$690,00, o cliente quer o parcela-
mentoem10vezesataxadejurosutilizadaé5%a/m. 
fator= 
0,05
 
[1–(1+0,05)–10] 
fator=0,129504 
prestação=690.0,129504 
prestação=89,36 
Atividadedeaprendizagem 
Elaborar uma tabela para parcelamento, parcelas consecutivas e postecipa-
das,até6vezes,comumataxade3,5%a.m.Depoisaplicaremumagela-deira quecusta 
R$890,00. 
 
17.1 Operaçõesantecipadas 
Sãooperaçõesondeospagamentoscomeçamnoiníciodo1ºperíodo,ouseja,noato. 
 
Nomercadoécomumveraseguintesituação:“entradamais‘n’parcelas”ou”30%deen
tradaeosaldoem30/60e90dias”. 
 
Ofocodestaaulaétrabalharoutrostiposdesériesdepagamen-
to:antecipadasepostecipadascomcarência. 
 
 
Aula17–Outrassériesde 
pagamento 
96 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
Paraefetuarmosestasoperações,vamosprecisardasseguintesfórmulas: 
 
PV=
PMT[1–(1+i)–n](1+i) 
i 
PMT=
 PVi
 [1–(1+i)–
n](1+i) 
 
Exemplo: 
Calcule o valor das prestações pagas na compra de um bem que 
custaR$690,00àvista,equefoivendidoem1+9vezescomjurosde5%a.m. 
PMT=
 690.0,05 
[1–(1+0,05)–10](1+0,05) 
 
PMT=
34,50 
0,4054 
PMT=85,10 
 
 
17.2 Operaçõescomcarênciapostecipada 
As operações com carência possuem a característica de o vencimento daprimeira 
parcela ocorrer em um período superior ao primeiro período subse-quente ao da 
compra. Caso o pagamento seja feitono início deste 
períodosuperior,acarênciaentãopassaaserchamadadepostecipada.Ovalorpre-
sentepodesercalculadoatravésdaseguintefórmula: 
PMT
[1–(1+i)–n] 
PV=
 i 
 
(1+i)n 
Nsignificaoperíododecarência. 
 
Exemplo: 
Quanto custa à vista um televisor que foi comprado em cinco prestaçõesmensais 
de R$499,90, sem entrada, com a primeira paga três meses após 
adatadacompra,esealojacobrar3,98%aomêsdetaxadejuro? 
97 Aula17–Outrassériesdepagamento e-TecBrasil 
499,90 
[1–(1+0,0398)–5] 
PV=
 0,0398 
(1+0,0398)3 
499,90.0,1773 
PV=
 0,0398 
1,1242 
 
PV=
499,90.0,1773
.
 1 
 
PV=
92,1598 
0,0398 
0,0398 
.
 1 
1,1242 
PV=2.059,72 
1,1242 
PV=
92,15980,0447 
 
OpreçoàvistadamercadoriaédeR$2.059,72. 
 
Resumo 
Vimosconceitosdassériesdepagamentoantecipadasecomcarênciapos-tecipada. 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula23–
AcalculadoraFinanceira
HP-12CIV 
127 e-TecBrasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24.1 Oqueéamortização? 
Éopagamentodeumadívidaoudeumaprestaçãodecapitalcomvenci-mento futuro, 
antes do prazo estabelecido inicialmente. Muitas vezes 
osacordosdecréditocomasentidadesfinanceiraspreveemapossibilidadede 
amortizações antecipadas, embora, geralmente são cobradas taxas pe-nalizadoras 
como forma de compensar parte dos juros que deixarão de serrecebidos. 
 
Amortizar que dizer abater, quitar parceladamente uma dívida, normalmen-te em 
partes, mas também pode ser de uma única vez, ou seja, amortizar 
épagamentodeuma dívidademodo antecipado. 
 
Uma parcela de financiamento é composta por duas partes, amortizaçãomais 
juros. A parte que corresponde à amortização é deduzida do saldodevedor, 
fazendo com que a dívida seja diminuída a cada período. Existemdois sistemas de 
amortização mais usados no sistema bancário e comercial: oPRICE ou FRANCÊS e o 
SAC. No caso específico da Caixa Econômica 
FederaléutilizadooSistemaSACRE(SistemadeAmortizaçãoCrescente). 
 
Segundo a NBC T 19.5, é obrigatório o reconhecimento da 
depreciação,amortização e exaustão. Veja na integra a lei que versa sobre as 
NormasBrasileiras deContabilidade:Depreciação,Amortização eExaustão. 
 
Fonte:http://www.portaldecontabilidade.com.br/nbc/nbct19_5.htm 
 
Depreciação é a redução do valor dos bens pelo desgaste ou perda de uti-
lidadeporuso,açãodanaturezaouobsolescência. 
 
No decorrer desta aula vamos definir e nos aprofundar 
nastécnicas de amortização, utilizando três tipos de tabelas: a 
SAC(Sistema de Amortização Constante), a SACRE (Sistema 
deAmortizaçãoCrescente)eaPRICEouSistemaFrancês(tabelasd
ejurocompostopeloautorRichardPrice). 
 
 
 
Aula24–Amortizações 
http://www.portaldecontabilidade.com.br/nbc/nbct19_5.htm
128 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
A depreciação de um ativo começa quando o item está em condições 
deoperarnaformapretendidapelaadministração,ecessaquandooativoébaixado ou 
transferidodo imobilizado. 
 
Aamortizaçãoconsistenarecuperaçãocontábil: 
 
1. do capital aplicado na aquisição de bens e direitos classificados no 
ativoimobilizado, cuja existência ou exercício tenha duração limitada, ou 
cujautilizaçãopelocontribuintetenhaoprazolimitadoporleioucontrato;e 
 
2. doscustos,encargosoudespesas,registradosnoativodiferido,quecontri-
buirãoparaaformaçãodoresultadodemaisdeumperíododeapuração. 
 
A principal distinção entre esses dois encargos é que, enquanto a depre-ciação 
incide sobre os bens físicos de propriedade do próprio contribuin-te, a 
amortização relaciona-se com a diminuição de valor dos direitos 
(oudespesasdiferidas)comprazolimitado(legaloucontratualmente). 
 
 
24.2 SistemasdeAmortização(pagamento)do 
seufinanciamentoimobiliário 
 
Figura24.1:Imóvel 
Fonte:http//:www.tropicimoveis.com.br 
Existemdiversosmecanismosdeamortizaçãodedívidasreconhecidasinter-
nacionalmenteedisponíveisnosmanuaisdeMatemáticaFinanceira.NoBra-sil, para 
atuar no sistema financeiro imobiliário (SFI) os bancos operam 
comosistemadeamortizaçãoconstante(SAC),aTabelaPrice(TP)eosistema 
http://www.tropicimoveis.com.br/
129 Aula24–Amortizações e-TecBrasil 
de amortização crescente (SACRE), trata-se de formas distintas de 
cálculodasprestaçõesdoseufinanciamentoimobiliário.Vocêprecisasaberqueemtodosos
sistemasdeamortizaçãoumaparceladaprestaçãoquevocêpagaédestinadaaopagamentod
ejuros,eoutraparcelaédestinadaàamortização(pagamento) da dívida. Além disto, 
ainda podem constar na prestação umaparcela do seguro de morte e invalidez 
permanente (MIP) e outra parcela doseguroparadanosfísicosdoimóvel(DFI). 
 
Os juros no sistema financeiro imobiliário estão atualmente na faixa de TR(Taxa de 
Referência) +6% ao ano, TR + 8,16% ao ano e TR + 10,5% ao anopara família com 
renda de 1 salário mínimo até R$4.900,00 através da 
CartadeCréditoFGTSeTR+12%aoanoTJLP+5,5%aoanoouINCC+1%aomês para 
famílias com renda superior a R$4.900,00 em outras modalidadescom Recursos da 
Poupança, do Fundo de Amparo ao Trabalhador - FAT, ououtras fontes de Recursos 
(Funding) de Construtoras e Incorporadoras. 
Aprincipaldiferençaentreovalordasprestaçõesestánaparceladadívidaqueestásendoamo
rtizada,eéestaadiferençaentreestastrêsmetodologias. 
 
24.2.1 SistemasdeAmortizaçãoConstante(SAC) 
No sistema de amortização constante (SAC) a parcela de amortização da dí-vida é 
calculada tomando por base o total da dívida (saldo devedor) divididopelo prazo do 
financiamento, como um percentual fixo da dívida, desta for-
maéconsideradoumsistemalinear.NoSAC,aprestaçãoinicialéumpoucomaiorquenaTab
elaPrice,poisovalorqueépagodadívida(amortização)émaior, assim, você estará 
liquidando mais da dívida desde o início do finan-
ciamentoepagandomenosjurosaolongodecontrato. 
 
À medida que a dívida começa a ser amortizada, a parcela dos juros e con-
sequentemente a prestação como um todo tendem a decrescer, uma 
vezqueoprópriosaldodevedorsereduz.Comisso,noSAC,osaldodevedore a sua 
prestação tendem a decrescer de forma constante desde o início dofinanciamento e 
não deixa resíduo desta forma, você estará menos 
expostoemcasodeaumentodoindexadordocontrato(aTR,TJLPouINCC)duranteofinan
ciamento. 
24.2.2 SistemadeAmortizaçãoCrescente(SACRE) 
AdiferençadoSAC(Sistemadeamortizaçãoconstante)paraoSACRE(Sis-tema de 
Amortização Crescente) é apenas o recálculo, ou seja, um novocálculo após um 
determinado período de andamento do contrato. O SACREé baseado na mesma 
metodologia do SAC, mas, sempre considerando oprazo remanescente (que falta) 
para pagar. Assim o recálculo força o cresci-
mentodaamortizaçãoearapidezdopagamento. 
130 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
AocontráriodoqueacontecenoSACaparceladeamortizaçãonãoé constante e sim 
crescente, o que permite que a dívida seja paga maisrapidamente. O primeiro 
recálculo acontece com 12 (doze) meses e poderátornar-
setrimestralnahipótesedaprestaçãonãoestaramortizando(pagando/ 
quitando)adívida. 
 
NoSACRE,apartirdeumdeterminadoperíodo,duranteoprazodefinan-ciamento, a 
prestação tende a cair continuamente até o final do financia-mento. Exatamente 
por isto, o percentual de comprometimento da rendaneste tipo de mecanismo de 
amortização tende a ser mais alto, em cerca de30%, pois no decorrer do prazo do 
financiamento as prestações devem 
cair,ecomistodiminuiráograudecomprometimentodarenda.AtualmenteoSACRE é 
adotado pela Caixa Econômica Federal nas suas linhas que 
usamrecursosdoFGTS,comoaCartadeCréditoFGTSIndividual. 
 
24.2.3 ATabelaPrice(TP)ouSistemaFrancêsdeAmortizaçã
o(SFA) 
AocontráriodosistemaSACondeaamortizaçãoéigual,naTabelaPricetodas as 
prestações são iguais. Este sistema seria ideal se não existisse nofinanciamento 
imobiliário a figura do indexador da prestação (índices: 
TR,TJLP,INCC,CUB,IGPM,etc.). 
 
Para um financiamento de igual valor, a prestação da Tabela Price é 
sempremenorqueaprestaçãonosistemaSACouSACRE.Assim,nomecanismodeCálculo 
da Tabela Price, a parcela que serve para amortizar a dívida é maisbaixa (menor) no 
início do financiamento e cresce ao longo do contrato. Estefinanciamento é ideal 
para pagamento de veículos e crediário em geral quetem prazo curto e a prestação é 
fixa, mas, pode ser inadequado para finan-
ciamentosemlongoprazoquecontenhamumindexadorque,nahipótesedeacelerarpod
erádeixarresíduoaserrenegociadonofinaldocontrato. 
 
Na Tabela Price, as prestações podem aumentar durante todo o prazo 
definanciamento. Nesse sistema, você estará mais exposto a um aumento 
nosindexadoresprovocadosporumaumentodainflaçãoenãotemosboladecristalpara
adivinharoqueocorrerádaquiavinteanosmesmocomapre-tensa estabilidade. 
 
Apesardo risco de aumento nos indexadores, pode também existir nosdemais 
mecanismos de amortização. Ele é mais atenuado no sistema SACou SACRE já que 
o saldo devedor decresce mais rapidamente. Exatamenteporisso, as instituições que 
adotam a Tabela Price nos seus financiamentos 
131 Aula24–Amortizações e-TecBrasil 
imobiliários tendem a aceitar um percentual menor de comprometimento 
darendadoqueoaceitonoSACouSACRE. 
Resumo 
No decorrer desta aula foram estudadas as técnicas de amortização, utili-zando três 
tipos de tabelas: a SAC (Sistema de Amortização Constante), aSACRE (Sistema de 
Amortização Crescente) e a PRICE ou sistema 
Francês(tabelasdejurocompostopeloseuautorRichardPrice). 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Sistema de AmortizaçãoCrescente 
(SACRE)erautilizadoSOMENTEpela
CaixaEconômicaFederal. Atualmente 
outrosbancos de capital 
estrangeirotambémaderiram 
aosistema. 
A diferença básica entre 
estesistemaeosoutros(PRICEeSAC)
éodeapresentarovalorda parcela de 
amortizaçãosuperior,proporcionand
o 
umareduçãomaisrápidadosaldo 
devedor. Também neste plano 
aprestaçãoinicialpodecomprometera
té30%darenda,enquantonosoutrosoc
omprometimentomáximoé25%eoval
ordasprestaçõesédecrescente.Napági
nadaCaixa 
Econômica 
Federalvocêencontraumsimuladordefi
nanciamentohabitacional:http://www.c
aixa.gov.br/habitacao/index.asp 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
133 e-TecBrasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25.1 SistemadeamortizaçãoPRICE 
Asprincipaiscaracterísticasdestesistemasão: 
 
► Prestaçõesconstantes 
 
► Amortizaçõescrescentes 
 
► Jurosdecrescentes. 
 
Paracalcularasprestações,utilizaremosaseguintefórmula: 
 
PMT= PV. (1+i)
n. 
I(1+i)n-1 
Exemplo: 
 
1. ElaboraraplanilhaPricedeumempréstimodeR$120.000,00,ataxade5%a.m.emtrês
prestaçõesiguaiseconsecutivas. 
 
PMT=120000 (1+0,05)
3x0,05 
(1+0,05)3–1 
PMT=120000x(0,05788/0,15763) 
 
PMT=120000x0,3672=R$44.065,00 
 
n PMT Juros Amortização SaldoDevedor 
0 120.000,00 
1 44.065,00 6.000,00 38.065,00 81.935,00 
2 44.065,00 4.096,75 39.968,25 41.966,75 
3 44.065,00 2.098,38 41.996,66 0 
 
Nesta aula faremos um resumo dos principais sistemas 
deamortização úteis ao entendimento dos financiamentos 
deimóveis. 
 
 
Aula25–Sistemasdeamortização–
formulário 
134 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
2. Considerar um empréstimo de R$100.000,00 tomado por uma empresa,para ser 
liquidado em três vezes iguais, com taxa de juros de 4,5% 
a.m.ElaboraraplanilhaPRICE. 
 
 
n PMT Juros Amortização SaldoDevedor 
0 100.000,00 
1 
2 
3 
 
25.2 Sistemadeamortizaçãoconstante(SAC) 
Estesistemaémuitoutilizadoemcréditosimobiliários.Asprincipaiscaracte-rísticasdeste 
sistemasão: 
 
► Amortizaçõesconstantes 
 
► Jurosdecrescentes 
 
► Parcelasdecrescentes. 
 
Como este sistema tem por característica as amortizações constantes, bas-
ta,paracalcularasamortizações,dividirovalordadívidapelonúmerodeprestações. 
 
Amortização= PV 
n 
Exemplo: 
 
1.Considerar um financiamento de R$50.000,00 a taxa de 4,8% a.m., 
paraserquitadoemcincoprestaçõesnosistemaSAC. 
 
Amortização=50.000/5=R$10.000,00 
 
 
N SaldoDevedor Amortização Juros PMT 
0 50.000,00 
1 40.000,00 10.000,00 2.400,00 12.400,00 
2 30.000,00 10.000,00 1.920,00 11.920,00 
3 20.000,00 10.000,00 1.440,00 11.440,00 
4 10.000,00 10.000,00 960,00 10.960,00 
5 0 10.000,00 480,00 10.480,00 
135 Aula25–Sistemasdeamortização–formulário e-TecBrasil 
“EntendoaTabela"Price"comoumadasmaispráticaseharmônicasapli-
caçõesdosconhecimentosdaengenhariaeconômicaparaobemestardocidad
ão.Lembro-
mebemquandocomeceiaestudarmatemáticanoginásio(5ªsériedoprimeirogra
udehoje).Nãovislumbravaasaplicaçõesparatudoaquilo. O mesmo 
aconteceu no científico. Por incrível que pareça na facul-dade.Deparei–
mecomaTabela"Price"quandocursavaoprimeiroanodafaculdadeejátrabalha
va.Ocasoqueapareceuemminhasmãosfoioiníciodeuma"paixão",queduraat
éhoje.Convivercomasnuançasdo"Valordo Dinheiro no Tempo" 
simplesmente é um alimento para novos 
desafios.ATabela"Price"éumadasfilhasdaMatemáticaFinanceiraouEngenh
ariaEconômica.Elaestánonossocotidianoeàsvezespassadespercebida.Ofa
todepensarmosemcompraralgumacoisaaprazoouàvistajáenvolveaTabela"P
rice".Seiqueosvendedoresdaslojasdeeletrodomésticos 
Emresumo: 
Tabela25.1:TabelaPrice 
Fonte:Elaborado pelo autor 
 
Aideiaéaumentarotamanhodatabelaeimprimiremformatopaisagemparaficarmaior
evisível.Pensoquedeveserrefeita,pois,aimagemficaruimno livro impresso, tendo em 
vista que as imagens no momento da impressãopodem ficarfora 
defoco,dificultando aleitura. 
 
Agoravamosanalisaroseguintedepoimento: 
 
136 e-TecBrasil MatemáticaFinanceira 
 
Um financiamento de 120 meses para um imóvel com valor de R$50.000,00;taxa de 
juros de 12% a.a. e TR (taxa referencial de juros obrigatória por 
lei)mensalde0,2149%. 
 
Sistema de amortização adotado: SACRE (Sistema de Amortização Crescente)Fórmula: 
Prestação=saldodevedorx{(1/n)+(taxajurosmês/100)} 
Sendoassim: 
 
Prestação=50.000x{(1/120)+(0,01)}=916,67 
 
Assim temos o valor da primeira parcela. Consideramos n como sendo operíodo 
total do financiamento menos o período já pago. Neste 
exemplo,paraaprimeiraparcelanéiguala120.Paraa13ªparcelanseráiguala108(120–
12). 
 
O saldo devedor do financiamento é corrigido mensalmente pela TR(0,21490%). 
Desta forma, primeiro corrige-se o saldo devedor, depois dimi-
nuiaparceladaamortização,eassim,teráosaldodevedorcorrigido. 
 
Cálculodovalormensaldosjurosapagar: 
 
Valorjurosmensal=taxajurosmêsxsaldodevedormêsxTRCálculodov
alordaamortizaçãodoseufinanciamento 
Valoramortização=prestação-valorjurosmês 
 
Sendoassimtemosaseguintetabela: 
 
N Amortização Juros Prestação SaldoDevedor 
0 - - - 50000,00 
1 809,22 107,45 916,67 49190,78 
2 810,96 105,71 916,67 48379,82 
 
nunca, na sua grande maioria, ouviram falar dessa genialidade, mas 
ausam constantemente quando fazem contas de valores de 
prestaçõesusando"fatores"quelhesforamfornecidosparalhesfacilitaravi
da.” 
 
Fonte:http://www.portaldefinancas.com/indextp.htm,acessadoem27/10/09. 
http://www.portaldefinancas.com/indextp.htm
137 Aula25–Sistemasdeamortização–formulário e-TecBrasil 
Passados os 12 primeiros meses, o saldo devedor será corrigido, 
gerandoumanovaprestaçãoquedurarápormais12meses. 
Resumo 
Nesta aula, revisamos os principais sistemas de amortização úteis ao enten-
dimentodosfinanciamentosdeimóveisparaoentendimentodequalseriaomelhorsistema
paraacompradeumimóvelemlongoprazo. 
Atividadesdeaprendizagem 
1. Faça a simulação para o valor de um financiamento de R$60.000,00 
comasmesmastaxaseperíodode10mesesparapreencheratabela,forman-
doumanovacomosistemaSACRE. 
 
 
 
 
 
 
 
2. ElaboraraplanilhaPrice,paraumempréstimodeR$85.000,00aumataxa de 
6%a.m. em10 vezes. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Elaborar a planilha SAC, para um empréstimo de R$98.000,00 a umataxa de 
5,5%a.m. emoito vezes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
155 e-TecBrasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.Quantoé13%deR$850,00? 
 
a)R$130,00 
 
b)R$120,50 
 
c)R$110,50 
 
d)R$108,00 
 
e)R$100,00 
 
2.30%deR$640,00éiguala: 
 
a)R$182,00 
 
b)R$192,00 
 
c)R$198,00 
 
d)R$207,00 
 
e)R$190,50 
3. UmalugueldeR$550,00sofreuumaumentode18%.Elepassouavaler:a)R$649,0
0 
b)R$612,00 
 
c)R$504,00 
 
d)R$99,00 
 
e)R$200,10 
4. (CESCEM-SP) 3% de 0,009 
vale:a)0,00027 
 
 
 
Atividadesautoinstrutivas 
155 e-TecBrasil 
b)0,0027 
156 e-TecBrasil ModelosdeGestão 
c)0,00009 
 
d)0,09 
 
e)0,0081 
 
5. AssinaleaalternativaCORRETA: 
 
a)6%=0,6 
 
b)13%=1,3 
 
c)140%=1,4 
 
d)20,5%=0,0205 
 
e)100%=1,001 
 
6.0,5%deR$550,00éiguala: 
 
a)R$2,75 
 
b)R$25,00 
 
c)R$55,75 
 
d)R$5,50 
 
e)R$5,55 
 
7. AssinaleaalternativaCORRETA: 
 
a)60%=0,06 
 
b)13%=1,03 
 
c)140%=1,04 
 
d)20,5%=0,250 
 
e)100%=1 
 
8. Em 20/03/2005 o saldo bancário deRoberto era de R$1.500,00positivo. 
Entre os dias 20 a 28 de março de 2005, o extrato 
bancáriodeRobertomostrouaseguintemovimentação: 
 
• 21/03/2005,retiradadeR$400,00 
157 Atividadesautoinstrutivas e-TecBrasil 
• 22/03/2005,retiradadeR$350,00 
 
• 23/03/2005,depósitodeR$100,00 
 
• 24/03/2005,retiradadeR$990,00 
 
• 26/03/2005,depósitodeR$560,00 
 
• 28/03/2005,retiradadeR$230,00 
QualseráosaldobancáriodeRoberto,nofinaldodia28/03/2005?a)R$180,00 
 
b)R$190,00 
 
c)R$198,00 
 
d)R$270,00 
 
e)R$280,00 
 
9. Ao verificar seu controle de despesas, Gustavopercebeu quealguns 
débitos e créditos ainda não haviam sido anotados para 
orespectivosaldo(?). 
 
DataMêsabril Descrição Crédito(R$) Débito(R$) Saldo(R$) 
02 Saldoanterior R$480,30 R$480,30 
03 Pagto.docartão de crédito -R$430,15 R$50,15 
05 TarifaBanco(c/cespecial) -R$20,15 R$30,00 
06 Pagtodaparceladainternet -R$50,30 -R$20,30 
09 Contadetelefone -R$161,95 -R$182,25 
14 Depósito ? R$567,60 
19 Contadeágua ? -R$277,40 
23 Prestaçãodocarro ? -R$314,20 
29 Contadeluz ? -R$403,40 
30 Depósitosalário R$1.596,60 
Levando em consideração que não houve mais entrada nem saídade 
valores da C/C de Gustavo, o saldo final da conta corrente 
deGustavoapósodia30deabril,éiguala: 
 
a)R$1.266,40 
 
b)R$1.193,20 
158 e-TecBrasil ModelosdeGestão 
c)R$1.488,55 
 
d)R$1.570,59 
 
e)R$1.616,56 
 
10. CalcularosjurossimplesdeR$1.200,00a13%a.t.porquatromesese15dias. 
 
a)R$234,00 
 
b)R$199,20 
 
c)R$148,50 
 
d)R$150,00 
 
e)R$166,00 
 
11. CalcularosjurossimplesproduzidosporR$40.000,00,aplicadosàtaxade36
%a.a.,durante125dias. 
 
a)R$5000,00 
 
b)R$9999,20 
 
c)R$4488,55 
 
d)R$5857,59 
 
e)R$1616,56 
 
12. Qualocapitalqueaplicadoajurossimplesde1,2%a.m.rendeR$3.500,00deju
rosem75dias? 
 
a)R$116.666,67 
 
b)R$125.445,20 
 
c)R$441.488,55 
 
d)R$581.657,59 
 
e)R$161.216,56 
159 Atividadesautoinstrutivas e-TecBrasil 
13. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos mesesserão 
necessários para dobrar um capital aplicado através 
decapitalizaçãosimples? 
 
a) 8meses 
 
b) 10meses 
 
c) 15meses 
 
d) 20meses 
 
e) 25meses 
 
14. Aplicou-se a juros compostos uma capital de R$1.400.000.00, a4%ao mês, 
durante 3 meses. O montante produzido neste período éiguala: 
Obs.:devemoslembrarque4%=4/100=0,04a)R$1.880.
809,60 
b)R$1.990.555,00 
 
c)R$1.988.520,00 
 
d)R$2.700.790,00 
 
e)R$1.574.809,60 
 
15. Qualocapitalaproximadoqueaplicadoajuroscompostosa8%ao mês, 
produz em dois meses um montante de R$18.915,00 dejuros. 
 
a)R$12.880,60 
 
b)R$13.990,20 
 
c)R$14.988,55 
 
d)R$15.700,59 
 
e)R$16.216,56 
160 e-TecBrasil ModelosdeGestão 
16. Aquetaxaaomêsesteveaplicado,emumacadernetadepoupança, um capital 
de R$1.440,00 para, em dois meses, produzirummontantedeR$1.512,90? 
 
a) 2,5%aomês 
 
b) 2,4%aomês 
 
c) 2,3%aomês 
 
d) 2,2%aomês 
 
e) 2,1%aomês 
 
17. Emquantotempoumcapitaltriplicadevaloraplicadoaumataxadejurossim
plesde20%a.a.? 
 
a) 5anos 
 
b) 10anos 
 
c) 15anos 
 
d) 20anos 
 
e) 25anos 
 
18. Quanto renderá de juros simples de uma quantia de 
R$80.000,00aplicadadurante6mesesaumataxade3%aomês? 
 
a)R$14.880,20 
 
b)R$14.990,20 
 
c)R$14.988,05 
 
d)R$14.700,50 
 
e)R$14.400,00 
 
19.(FGV-SP) Um capital C foi aplicado a juros simples durante 10meses, 
gerando um montante de R$10.000,00; esse montante, porsua vez, foi 
também aplicado a juros simples, durante 15 meses,à mesma taxa da 
aplicação anterior, gerando um montante 
deR$13.750,00.QualovalordeC? 
161 Atividadesautoinstrutivas e-TecBrasil 
a)R$8.880,20 
 
b)R$8.990,20 
 
c)R$8.988,05 
 
d)R$8.700,50 
 
e)R$8.000,00 
 
20. Uma aplicação de R$40 000,00 rendeu, em 3 meses, a quantia 
deR$4800,00dejurossimples.Qualfoiataxamensaldejuro? 
 
a) 2% 
 
b) 4% 
 
c) 3% 
 
d)2,2% 
 
e)1% 
 
21. Certa quantia, aplicada durante 5 meses a uma taxa de jurossimples 
mensal de 3%, rendeu R$8 250,00. Qual foi a quantiaaplicada? 
 
a)R$64900,00 
 
b)R$61200,00 
 
c)R$50000,00 
 
d)R$99000,00 
 
e)R$55000,00 
 
22.(FGV-SP) Antônio investiu a quantia recebida de herança em 
trêsaplicaçõesdistintas:35%dototalrecebidoemumfundoderendafixa;40
%dovalorherdadoemumfundocambialeorestanteda herança em ações. 
No final de um ano as aplicações renderamde juro, um total de R$28 
500,00. Determine a quantia herdadapor Antônio, sabendo que os 
rendimentos anuais foram de 30%,20% e 40%, respectivamente, no 
fundo de renda fixa, no fundocambialenasações. 
 
a)R$105900,00 
162 e-TecBrasil ModelosdeGestão 
b)R$110200,00 
 
c)R$150000,00 
 
d)R$199000,00 
 
e)R$100000,00 
 
23.(FGV-SP) Um investidor aplicou a juros simples na mesma data,por 20 
dias, em fundos diferentes que operam no sistema de jurosimples, os 
capitais de R$110 000,00 e R$80 000,00. No final doperíodo o maior 
valor, aplicado à taxa de 9% ao mês, rendeu, dejuro, R$ 3 400,00 a mais 
que a aplicação do menor valor. 
Determineataxamensaldejurosdeaplicaçãodomenorvalor. 
 
a) 2%a.m. 
 
b) 4%a.m. 
 
c) 3%a.m. 
 
d)22%a.m. 
 
e)6%a.m. 
 
24.(FGV) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00 ou aprazo, 
em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro noato da compra e 
o outro um mês depois. A taxa mensal de 
jurosdasparcelaséaproximadamenteiguala: 
 
a)6,7% 
 
b)7,7% 
 
c)8,7% 
 
d)9,7% 
 
e)10,7% 
 
25.MáriotomouemprestadoR$240000,00durante3meses,àtaxade 60% ao ano. 
Que quantia devolveu após os 3 meses, no regimesimplesdeformação? 
 
a)R$115000,00 
 
b)R$111000,00 
163 Atividadesautoinstrutivas e-TecBrasil 
c)R$155000,00 
 
d)R$196000,00 
 
e)R$276000,00 
 
26.(FGV-SP)PedroaplicouR$20000,00porumanoemdoisfundosAe B. O 
fundo A rendeu 10% e B rendeu 25%. Sabendo que o 
ganhoproporcionado pelo fundo B foi superior ao de A em R$100, 
00,podemos afirmar que a diferença (em valor absoluto) dos 
valoresaplicadosemcadafundofoide: 
 
a)R$8000,00 
 
b)R$7000,00 
 
c)R$5000,00 
 
d)R$6000,00 
 
e)R$9000,00 
 
27. CalculeojuroproduzidoporR$90000,00,durante90dias,aumataxadejuros
simplesde3,5%aomês. 
 
a)R$8100,00 
 
b)R$7200,00 
 
c)R$5300,00 
 
d)R$6500,00 
 
e)R$9450,00 
 
28. Calcular o juro que um capital de R$12 000,00 rende, durante 
23dias,àtaxadejurossimplesde30%aomês. 
 
a)R$1100,00 
 
b)R$2200,00 
 
c)R$3300,00 
 
d)R$2760,00 
 
e)R$2790,00 
164 e-TecBrasil ModelosdeGestão 
29. QualéomontanteproduzidopelocapitaldeR$18.500,00durante1anoemeio,
aumataxadejurossimplesde7,5%aomês? 
 
a)R$15.975,00 
 
b)R$11.200,00 
 
c)R$15.900,00 
 
d)R$29.975,00 
 
e)R$24.975,00 
 
30. Um comerciante tomou emprestado de um banco R$ 400 
000,00.Obancoemprestouaumataxadejurossimplesde38%aoano.O 
comerciante teve que pagar R$ 304 000,00 de juros. Por 
quantosanosodinheiroesteveemprestado? 
 
a) 6anos 
 
b) 7anos 
 
c) 8anos 
 
d) 9anos 
 
e) 2anos 
 
31.(TTN)Carlosaplicou1/4deseucapitalajurossimplescomerciaisde 18% a.a., 
pelo prazo de 1 ano, e o restante do dinheiro a umataxa de 24% a.a., 
pelo mesmo prazo e regime de capitalização.Sabendo-se que uma das 
aplicações rendeu R$594,00 de 
juros,maisdoqueaoutra,ocapitalinicialeradeR$ 
 
a)4.200,00 
 
b)4.800,00 
 
c)4.900,00 
 
d)4.600,00 
 
e)4.400,00 
165 Atividadesautoinstrutivas e-TecBrasil 
32.(TTN)Trêscapitaissãocolocadosajurossimples:oprimeiroa25%a.a., 
durante 4 anos; o segundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6meses e o 
terceiro a 20% a.a., durante 2 anos e quatro meses.Juntos renderam um 
juro de R$27.591,80. Sabendo que o 
segundocapitaléodobrodoprimeiroequeoterceiroéotriplodosegundo,ovalo
rdoterceirocapitaléde: 
 
a)R$30.210,00 
 
b)R$10.070,00 
 
c)R$15.105,00 
 
d)R$20.140,00 
 
e)R$5.035,00 
 
33.(TTN)CalcularataxaquefoiaplicadaaumcapitaldeR$4.000,00,durante 3 
anos, sabendo-se que se um capital de R$10.000,00fosse aplicado 
durante o mesmo tempo, a juros simples de 
5%a.a.,renderiamaisR$600,00queoprimeiro.Ataxaéde: 
 
a)8,0% 
 
b)7,5% 
 
c)7,1%d)6,9% 
 
e)6,2% 
 
34.(MACK-SP)Trêsmesesatrás,depositeinapoupançaR$10000,00.No 
primeiro mês ela rendeu 1,6%, no segundo mês 1,0% e 
noterceiromês1,2%.Quantotenhoagora? 
 
a)R$10.200,70 
 
b)R$14.800,50 
 
c)R$12.900,05 
 
d)R$11.600,98 
 
e)R$10384,73 
166 e-TecBrasil ModelosdeGestão 
35. Para render juros de R$4 375,00 à taxa de 2,5% ao mês, 
devoaplicarmeucapitaldeR$50000,00durantequantotempo? 
 
a) trêsmeses 
 
b) setemeses 
 
c) oitomeses 
 
d) doismeses 
 
e) 3,5meses 
 
36.(FGV) Um aparelho de TV é vendido por R$1.000,00 em 
doispagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1º como entrada e 
o2ºummêsapósacompra.Seopagamentoforfeitoàvista,háumdesconto de 
4% sobre o preço de R$1.000,00. A taxa mensal 
dejurossimplesdofinanciamentoéaproximadamenteiguala: 
 
a)8,7% 
 
b)7,7% 
 
c)6,7% 
 
d)5,7% 
 
e)4,7% 
 
37. A quantia de R$27 000,00, emprestada a taxa de juros simples 
de1,2%aomês,quantorendeem6meses? 
 
a)R$1200,70 
 
b)R$1800,50 
 
c)R$1950,05 
 
d)R$1650,98 
 
e)R$1944,00 
167 Atividadesautoinstrutivas e-TecBrasil 
38. Um capital de $5 000,00, aplicado a juros a juros simples, à taxamensal 
de 3%, por um prazo de 1 ano e 3 meses, produzirá 
ummontantenovalorde: 
 
a)$7225,00 
 
b)$7250,00 
 
c)$7320,00 
 
d)$7500,00 
 
e)$7550,00 
 
39. Umapessoatem$20000,00paraaplicarajurossimples.Seaplicar 
$5 000,00 à taxa mensal de 2,5% e $7 000,00 à taxa mensal 
de1,8%,então,paraobterumjuroanualde$4932,00,deveaplicarorestanteàt
axamensalde: 
 
a)2% 
 
b)2,1% 
 
c)2,4% 
 
d)2,5% 
 
e)2,8% 
 
40.(FGV-SP)No regime de juros compostos, a taxa de juro anual 
queproduz um montante 44% superior ao capital inicial, no prazo 
deaplicaçãodedoisanosé: 
 
a)20% 
 
b)21,5% 
 
c)21% 
 
d)20,5% 
 
e)22% 
168 e-TecBrasil ModelosdeGestão 
41. 
UmcapitaldeR$1.000.000,00foiaplicadoajuroscompostos,durante1ano,àtax
ade60%a.a.comcapitalizaçãomensal.Qualomontantedessaaplicação? 
 
a)R$1.795.900,00 
 
b)R$1.600.567,00 
 
c)R$1.700.000,00 
 
d)R$1.450.340,00 
 
e)R$1.450.800,00 
 
42.(FGV)OSr.Vítorcostumaaplicarsuaseconomiasnumfundoque rende 
juros compostos. Se ele aplicar hoje R$10 000,00 eR$20.000,00 daqui a 1 
ano, qual seu saldo daqui a 2 anos, se ataxaforde15%a.a.? 
 
a)R$12200,70 
 
b)R$15800,50 
 
c)R$12950,05 
 
d)R$17650,98 
 
e)R$36225,00 
 
43. Qual o montante de uma aplicação de R$1.000.000,00, a 
juroscompostos, durante 6 meses à taxa de 36% a.a., 
capitalizadosmensalmente? 
 
a)R$1.167.066,00 
 
b)R$1.450.597,00 
 
c)R$1.194.100,00 
 
d)R$1.190.340,00 
 
e)R$1.200.350,00 
169 Atividadesautoinstrutivas e-TecBrasil 
44. Determine o prazo de uma aplicação de R$550.000,00, a 
juroscompostos,capitalizadosmensalmente,sedesejoobterummontantede
R$1272183,00,ataxadejurode15%a.m. 
 
a) 2meses 
 
b) 3meses 
 
c) 4meses 
 
d) 5meses 
 
e) 6meses 
 
45. Qual a taxa efetiva para que o capital de R$1.200.000,00, aplicadodurante 1 
ano, com capitalização mensal, atinja um montante deR$3.021.720,00? 
 
a) 4%a.m. 
 
b) 8%a.m. 
 
c) 5%a.m. 
 
d) 9%a.m. 
 
e)10%a.m. 
 
46. Qual a taxa efetiva para que o capital de R$1.200.000,00, aplicadodurante 1 
ano, com capitalização mensal, atinja um montante deR$2.155.027,20. 
 
a) 4%a.m. 
 
b) 8%a.m. 
 
c) 5%a.m. 
 
d) 9%a.m. 
 
e)10%a.m. 
170 e-TecBrasil ModelosdeGestão 
47. O montante gerado por um capital de R$160.400,00, no fim de 
5anos,comjurosde40%a.a.capitalizadostrimestralmenteéde: 
(1+10%)20=6,7275a)
R$1.079.090,84 
b)R$2.079.090,84 
 
c)R$3.079.090,84 
 
d)R$4.079.090,84 
 
e)R$5.079.090,84 
 
48.(A.F. CAIXA) Quanto se deve investir hoje, à taxa nominal 
dejurosde20%aoano,capitalizadostrimestralmente,paraseobterR$100.00
0,00daquia3anos? 
 
a)R$14200,70 
 
b)R$60800,50 
 
c)R$22950,05 
 
d)R$55.683,74 
 
e)R$64461,00 
 
49. Qual o capital que produz o montante de R$750.000,00 
vencívelem8meses,aumataxadejuroscompostosde5%aomêsé: 
 
a)R$532.222,22 
 
b)R$407.449,23 
 
c)R$507.614,20 
 
d)R$568.689,59 
 
e)R$533.639,33 
171 Atividadesautoinstrutivas e-TecBrasil 
50. Qualocapitalqueaplicadoa10%a.m.durante5meses,produzummontantec
ompostodeR$1.610.510,00 
 
a)R$1.000.000,00 
 
b)R$1.500.000,00 
 
c)R$1.800.000,00 
 
d)R$1.300.000,00 
 
e)R$1.100.000,00 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
175 e-TecBrasil