desafios ldbgez

Prévia do material em texto

B) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 C) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 D) \( 1 \) 
 **Resposta: A) \( \frac{1}{2} \)** 
 **Explicação:** O seno de 30 graus é uma das razões trigonométricas mais conhecidas. 
Em um triângulo retângulo, o seno é a razão entre o comprimento do cateto oposto e a 
hipotenusa. Para um triângulo isósceles de 30-60-90 graus, o cateto oposto ao ângulo de 
30 graus é metade da hipotenusa. 
 
2. Se \( \tan(\theta) = \frac{3}{4} \), qual é o valor de \( \sin(\theta) \)? 
 A) \( \frac{3}{5} \) 
 B) \( \frac{4}{5} \) 
 C) \( \frac{5}{4} \) 
 D) \( \frac{1}{5} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{3}{5} \)** 
 **Explicação:** Usando o triângulo retângulo, onde \( \tan(\theta) = 
\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}} = \frac{3}{4} \). Usando o teorema de Pitágoras, a 
hipotenusa será \( \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \). Assim, \( \sin(\theta) = 
\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{3}{5} \). 
 
3. Qual é o valor de \( \cos(45^\circ) \)? 
 A) \( 0 \) 
 B) \( \frac{1}{2} \) 
 C) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 D) \( 1 \) 
 **Resposta: C) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)** 
 **Explicação:** O cosseno de 45 graus é igual ao seno de 45 graus, e ambos são \( 
\frac{\sqrt{2}}{2} \) em um triângulo isósceles. 
 
4. Qual é o valor de \( \tan(60^\circ) \)? 
 A) \( \sqrt{3} \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) 
 D) \( 2 \) 
 **Resposta: A) \( \sqrt{3} \)** 
 **Explicação:** O valor da tangente de 60 graus é a razão entre o seno e o cosseno de 60 
graus, que são \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) e \( \frac{1}{2} \), respectivamente. Portanto, \( 
\tan(60^\circ) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \). 
 
5. Se \( \sin(\alpha) = \frac{1}{3} \), qual é o valor de \( \cos^2(\alpha) \)? 
 A) \( \frac{8}{9} \) 
 B) \( \frac{1}{9} \) 
 C) \( \frac{2}{3} \) 
 D) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{8}{9} \)** 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), temos \( 
\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} 
\). 
 
6. Qual é o valor de \( \sin(90^\circ) \)? 
 A) \( 0 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( \frac{1}{2} \) 
 D) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 **Resposta: B) \( 1 \)** 
 **Explicação:** O seno de 90 graus é igual a 1, pois em um círculo unitário, o ponto 
correspondente a 90 graus tem coordenadas (0, 1). 
 
7. Se \( \cos(\beta) = \frac{5}{13} \), qual é o valor de \( \sin(\beta) \)? 
 A) \( \frac{12}{13} \) 
 B) \( \frac{5}{12} \) 
 C) \( \frac{3}{5} \) 
 D) \( \frac{13}{5} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{12}{13} \)** 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1 \), temos \( 
\sin^2(\beta) = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \). 
Portanto, \( \sin(\beta) = \frac{12}{13} \). 
 
8. Qual é o valor de \( \tan(45^\circ) \)? 
 A) \( 0 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( \sqrt{3} \) 
 D) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) 
 **Resposta: B) \( 1 \)** 
 **Explicação:** A tangente de 45 graus é igual a 1, pois \( \tan(45^\circ) = 
\frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \). 
 
9. Se \( \sin(\theta) = \frac{4}{5} \), qual é o valor de \( \tan(\theta) \)? 
 A) \( \frac{3}{4} \) 
 B) \( \frac{4}{3} \) 
 C) \( \frac{5}{4} \) 
 D) \( \frac{4}{5} \) 
 **Resposta: B) \( \frac{4}{3} \)** 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \), temos \( 
\cos^2(\theta) = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \), então \( 
\cos(\theta) = \frac{3}{5} \). Portanto, \( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 
\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \). 
 
10. Qual é o valor de \( \sin(180^\circ - \theta) \)? 
 A) \( \sin(\theta) \) 
 B) \( -\sin(\theta) \) 
 C) \( \cos(\theta) \) 
 D) \( -\cos(\theta) \) 
 **Resposta: A) \( \sin(\theta) \)** 
 **Explicação:** A função seno é positiva no segundo quadrante. Portanto, \( 
\sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta) \). 
 
11. Se \( \tan(\phi) = 2 \), qual é o valor de \( \cot(\phi) \)? 
 A) \( \frac{1}{2} \) 
 B) \( 2 \) 
 C) \( \frac{3}{4} \)