desafios mlchjn

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**Resposta: A) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)** 
 **Explicação:** O seno de 240 graus é negativo, pois está no terceiro quadrante. 
Usando a relação \( \sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). 
 
63. Se \( \sin(\theta) = 0.5 \), qual é o valor de \( \theta \) em graus? 
 A) \( 30^\circ \) 
 B) \( 150^\circ \) 
 C) \( 210^\circ \) 
 D) \( 330^\circ \) 
 **Resposta: A) \( 30^\circ \) e B) \( 150^\circ \)** 
 **Explicação:** O seno é positivo em \( 30^\circ \) e negativo em \( 150^\circ \), portanto 
as soluções são \( \theta = 30^\circ \) e \( \theta = 150^\circ \). 
 
64. Qual é o valor de \( \sin(150^\circ) \)? 
 A) \( \frac{1}{2} \) 
 B) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 C) \( -\frac{1}{2} \) 
 D) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{1}{2} \)** 
 **Explicação:** O seno de 150 graus é positivo, pois está no segundo quadrante. 
Usando a relação \( \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} 
\). 
 
65. Se \( \tan(\phi) = 3 \), qual é o valor de \( \sin(\phi) \)? 
 A) \( \frac{3}{\sqrt{10}} \) 
 B) \( \frac{3}{5} \) 
 C) \( \frac{5}{3} \) 
 D) \( \frac{1}{\sqrt{10}} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{3}{\sqrt{10}} \)** 
 **Explicação:** Sabendo que \( \tan(\phi) = \frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)} \), podemos 
considerar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é 3 e o adjacente é 1. A 
hipotenusa será \( \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \). Então, \( \sin(\phi) = \frac{3}{\sqrt{10}} \). 
 
66. Qual é o valor de \( \cos(240^\circ) \)? 
 A) \( -\frac{1}{2} \) 
 B) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 C) \( \frac{1}{2} \) 
 D) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 **Resposta: A) \( -\frac{1}{2} \)** 
 **Explicação:** O cosseno de 240 graus é negativo, pois está no terceiro quadrante. 
Usando a relação \( \cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} \). 
 
67. Se \( \sin(\alpha) = \frac{2}{5} \), qual é o valor de \( \cos^2(\alpha) \)? 
 A) \( \frac{21}{25} \) 
 B) \( \frac{4}{25} \) 
 C) \( \frac{2}{5} \) 
 D) \( \frac{1}{25} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{21}{25} \)** 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), temos \( 
\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = 
\frac{21}{25} \). 
 
68. Qual é o valor de \( \tan(30^\circ) \)? 
 A) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) 
 B) \( \sqrt{3} \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( 0 \) 
 **Resposta: A) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)** 
 **Explicação:** A tangente de 30 graus é a razão entre o seno e o cosseno de 30 graus, 
que são \( \frac{1}{2} \) e \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), respectivamente. Portanto, \( \tan(30^\circ) 
= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \). 
 
69. Se \( \cos(\beta) = \frac{4}{5} \), qual é o valor de \( \sin(2\beta) \)? 
 A) \( \frac{24}{25} \) 
 B) \( \frac{12}{25} \) 
 C) \( \frac{9}{25} \) 
 D) \( \frac{15}{25} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{24}{25} \)** 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin(2\beta) = 2\sin(\beta)\cos(\beta) \). 
Primeiro, calculamos \( \sin(\beta) \) usando \( \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1 \). Assim, 
\( \sin^2(\beta) = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \) e \( \sin(\beta) = \frac{3}{5} \). 
Portanto, \( \sin(2\beta) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \). 
 
70. Qual é o valor de \( \sin(270^\circ) \)? 
 A) \( 0 \) 
 B) \( -1 \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta: B) \( -1 \)** 
 **Explicação:** O seno de 270 graus é -1, pois em um círculo unitário, o ponto 
correspondente a 270 graus tem coordenadas (0, -1). 
 
71. Se \( \tan(\theta) = 2 \), qual é o valor de \( \sin(\theta) \)? 
 A) \( \frac{2}{\sqrt{5}} \) 
 B) \( \frac{2}{5} \) 
 C) \( \frac{5}{2} \) 
 D) \( \frac{1}{\sqrt{5}} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{2}{\sqrt{5}} \)** 
 **Explicação:** Sabendo que \( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \), 
podemos considerar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é 2 e o adjacente é 1. A 
hipotenusa será \( \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \). Então, \( \sin(\theta) = \frac{2}{\sqrt{5}} \). 
 
72. Qual é o valor de \( \cos(150^\circ) \)? 
 A) \( -\frac{1}{2} \) 
 B) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 C) \( \frac{1}{2} \) 
 D) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 **Resposta: A) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)** 
 **Explicação:** O cosseno de 150 graus é negativo, pois está no segundo quadrante. 
Usando a relação \( \cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).