desafios lrqodf

Prévia do material em texto

**Explicação:** Sabendo que \( \tan(\phi) = \frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)} \), podemos 
considerar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é 3 e o adjacente é 1. A 
hipotenusa será \( \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \). Então, \( \sin(\phi) = \frac{3}{\sqrt{10}} \). 
 
22. Qual é o valor de \( \cos(30^\circ) \)? 
 A) \( \frac{1}{2} \) 
 B) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 C) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 D) \( 1 \) 
 **Resposta: B) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)** 
 **Explicação:** O cosseno de 30 graus é conhecido e é igual a \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) em 
um triângulo retângulo. 
 
23. Se \( \sin(\theta) = \frac{5}{13} \), qual é o valor de \( \tan(\theta) \)? 
 A) \( \frac{5}{12} \) 
 B) \( \frac{12}{5} \) 
 C) \( \frac{5}{3} \) 
 D) \( \frac{5}{13} \) 
 **Resposta: B) \( \frac{12}{5} \)** 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \). 
Primeiro, calculamos \( \cos(\theta) \) usando \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \). 
Assim, \( \cos^2(\theta) = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} \) e \( \cos(\theta) = 
\frac{12}{13} \). Portanto, \( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 
\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12} \). 
 
24. Qual é o valor de \( \cos(90^\circ) \)? 
 A) \( 0 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( -1 \) 
 D) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta: A) \( 0 \)** 
 **Explicação:** O cosseno de 90 graus é 0, pois em um círculo unitário, o ponto 
correspondente a 90 graus tem coordenadas (0, 1). 
 
25. Se \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \), qual é o valor de \( \theta \) em graus? 
 A) \( 30^\circ \) 
 B) \( 150^\circ \) 
 C) \( 210^\circ \) 
 D) \( 330^\circ \) 
 **Resposta: A) \( 30^\circ \) e B) \( 150^\circ \)** 
 **Explicação:** O seno é positivo em \( 30^\circ \) e negativo em \( 150^\circ \), portanto 
as soluções são \( \theta = 30^\circ \) e \( \theta = 150^\circ \). 
 
26. Qual é o valor de \( \tan(90^\circ) \)? 
 A) \( 0 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( \infty \) 
 D) \( -1 \) 
 **Resposta: C) \( \infty \)** 
 **Explicação:** A tangente de 90 graus é indefinida, pois \( \tan(90^\circ) = 
\frac{\sin(90^\circ)}{\cos(90^\circ)} = \frac{1}{0} \), resultando em infinito. 
 
27. Se \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \), qual é o valor de \( \cos(2\alpha) \)? 
 A) \( \frac{24}{25} \) 
 B) \( \frac{9}{25} \) 
 C) \( \frac{16}{25} \) 
 D) \( \frac{12}{25} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{24}{25} \)** 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) \). Assim, \( 
\cos(2\alpha) = 1 - 2\left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - 2\cdot\frac{9}{25} = 1 - \frac{18}{25} = 
\frac{7}{25} \). 
 
28. Qual é o valor de \( \sin(45^\circ + 45^\circ) \)? 
 A) \( 1 \) 
 B) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 C) \( \sqrt{2} \) 
 D) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta: A) \( 1 \)** 
 **Explicação:** Usando a fórmula de soma de ângulos, \( \sin(45^\circ + 45^\circ) = 
\sin(90^\circ) = 1 \). 
 
29. Se \( \cos(\beta) = \frac{4}{5} \), qual é o valor de \( \sin(2\beta) \)? 
 A) \( \frac{24}{25} \) 
 B) \( \frac{12}{25} \) 
 C) \( \frac{16}{25} \) 
 D) \( \frac{9}{25} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{24}{25} \)** 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin(2\beta) = 2\sin(\beta)\cos(\beta) \). 
Primeiro, calculamos \( \sin(\beta) \) usando \( \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1 \). Assim, 
\( \sin^2(\beta) = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \) e \( \sin(\beta) = \frac{3}{5} \). 
Portanto, \( \sin(2\beta) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \). 
 
30. Qual é o valor de \( \sin(150^\circ) \)? 
 A) \( \frac{1}{2} \) 
 B) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 C) \( -\frac{1}{2} \) 
 D) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{1}{2} \)** 
 **Explicação:** O seno de 150 graus é positivo, pois está no segundo quadrante. 
Usando a relação \( \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} 
\). 
 
31. Se \( \tan(\phi) = \frac{5}{12} \), qual é o valor de \( \sin(\phi) \)? 
 A) \( \frac{5}{13} \) 
 B) \( \frac{12}{13} \) 
 C) \( \frac{13}{5} \) 
 D) \( \frac{5}{12} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{5}{13} \)**