t7qd Prova

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d) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta: a) \( -\frac{1}{x^2} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da potência: \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \). 
 
28. Calcule a integral \( \int (6x^5 - 2x^3 + 3) \, dx \). 
 a) \( x^6 - \frac{1}{2}x^4 + 3x + C \) 
 b) \( x^6 - \frac{1}{4}x^4 + 3x + C \) 
 c) \( x^6 - \frac{1}{3}x^4 + 3 + C \) 
 d) \( x^6 - \frac{1}{4}x^4 + 3 + C \) 
 **Resposta: a) \( x^6 - \frac{1}{2}x^4 + 3x + C \)** 
 **Explicação:** Aplicando a regra de potência, temos \( \int 6x^5 \, dx = x^6 \), \( \int -
2x^3 \, dx = -\frac{1}{2}x^4 \), e \( \int 3 \, dx = 3x \). 
 
29. Determine o valor de \( \int_0^1 (2x + 1) \, dx \). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) \( \frac{3}{2} \) 
 **Resposta: c) 3** 
 **Explicação:** A primitiva é \( x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, obtemos \( (1 + 1) - (0) = 2 \). 
 
30. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \). 
 a) 0 
 b) \( -\frac{1}{2} \) 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta: b) \( -\frac{1}{2} \)** 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor para \( \cos(x) \), temos \( \cos(x) \approx 1 - 
\frac{x^2}{2} + O(x^4) \). Assim, \( \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \approx -\frac{1}{2} \). 
 
31. Encontre a derivada de \( f(x) = x^3 \sin(x) \). 
 a) \( 3x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x) \) 
 b) \( 3x^2 \cos(x) + x^3 \sin(x) \) 
 c) \( 3x^2 \sin(x) - x^3 \cos(x) \) 
 d) \( 3x^2 \sin(x) + 3x^3 \cos(x) \) 
 **Resposta: a) \( 3x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = x^3 \cos(x) + 3x^2 \sin(x) \). 
 
32. Calcule a integral \( \int (5x^3 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{4}x^4 - x^2 + x + C \) 
 b) \( \frac{5}{3}x^4 - x^2 + x + C \) 
 c) \( \frac{5}{4}x^4 - x + C \) 
 d) \( \frac{5}{4}x^4 - x^2 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{5}{4}x^4 - x^2 + x + C \)** 
 **Explicação:** Aplicando a regra de potência, temos \( \int 5x^3 \, dx = \frac{5}{4}x^4 \), 
\( \int -2x \, dx = -x^2 \), e \( \int 1 \, dx = x \). 
 
33. Determine o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 4) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{3} \) 
 b) 2 
 c) \( \frac{7}{3} \) 
 d) \( \frac{11}{3} \) 
 **Resposta: b) 2** 
 **Explicação:** A primitiva é \( \frac{x^3}{3} + 4x \). Avaliando de 0 a 1, obtemos \( \left( 
\frac{1}{3} + 4 \right) - (0) = \frac{1}{3} + 4 = \frac{13}{3} \). 
 
34. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 5x^2}{2x^3 - x + 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{3}{2} \) 
 d) \( \frac{5}{2} \) 
 **Resposta: c) \( \frac{3}{2} \)** 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^3 \), obtemos \( 
\frac{3 + \frac{5}{x}}{2 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}} \). Quando \( x \to \infty \), os termos 
com \( x \) no denominador tendem a 0, resultando em \( \frac{3}{2} \). 
 
35. Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). 
 a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 c) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 d) \( \sqrt{x^2 + 1} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (2x) = 
\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 
36. Calcule a integral \( \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( x^3 + x^2 + x + C \) 
 b) \( x^3 + x^2 + 2x + C \) 
 c) \( x^3 + 2x^2 + x + C \) 
 d) \( x^3 + 2x + C \) 
 **Resposta: a) \( x^3 + x^2 + x + C \)** 
 **Explicação:** Aplicando a regra de potência, temos \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \), \( \int 2x \, 
dx = x^2 \), e \( \int 1 \, dx = x \). 
 
37. Determine o valor de \( \int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta: a) 0** 
 **Explicação:** A primitiva é \( \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \). Avaliando 
de 0 a 1, obtemos \( \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right) - (0) = 0 \). 
 
38. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
 a) 0