ny2q Prova

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b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** Usando a propriedade \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \), temos \( 
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2 \). 
 
39. Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 3) \). 
 a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 3} \) 
 b) \( \frac{1}{x^3 + 3} \) 
 c) \( \frac{3}{x^3 + 3} \) 
 d) \( \frac{3x^2 + 3}{x^3 + 3} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 3} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^3 + 3} \cdot (3x^2) = 
\frac{3x^2}{x^3 + 3} \). 
 
40. Calcule a integral \( \int (4x^3 + 3x^2 - 2) \, dx \). 
 a) \( x^4 + x^3 - 2x + C \) 
 b) \( x^4 + x^3 - x + C \) 
 c) \( x^4 + x^3 - \frac{2}{3} + C \) 
 d) \( x^4 + x^3 - 2 + C \) 
 **Resposta: a) \( x^4 + x^3 - 2x + C \)** 
 **Explicação:** Aplicando a regra de potência, temos \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \), \( \int 
3x^2 \, dx = x^3 \), e \( \int -2 \, dx = -2x \). 
 
41. Determine o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** A primitiva é \( \frac{x^5}{5} - x^3 + 2x \). Avaliando de 0 a 1, obtemos \( 
\left( \frac{1}{5} - 1 + 2 \right) - (0) = 1 \). 
 
42. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2(x)}{x^4} \). 
 a) 0 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta: b) \( \frac{1}{2} \)** 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor para \( \sin(x) \), temos \( \sin(x) \approx x - 
\frac{x^3}{6} + O(x^5) \). Assim, \( \sin^2(x) \approx x^2 - \frac{x^4}{3} \), resultando em \( 
\frac{x^2 - (x^2 - \frac{x^4}{3})}{x^4} = \frac{\frac{x^4}{3}}{x^4} = \frac{1}{3} \). 
 
43. Encontre a derivada de \( f(x) = x^2 e^x \). 
 a) \( x^2 e^x + 2x e^x \) 
 b) \( e^x \) 
 c) \( 2x e^x + x^2 e^x \) 
 d) \( (x^2 + 2x)e^x \) 
 **Resposta: d) \( (x^2 + 2x)e^x \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = e^x \cdot x^2 + 2x e^x = (x^2 + 
2x)e^x \). 
 
44. Calcule a integral \( \int (2x^2 + 5) \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3}x^3 + 5x + C \) 
 b) \( \frac{2}{3}x^3 + 5 + C \) 
 c) \( \frac{2}{3}x^3 + 5x^2 + C \) 
 d) \( 2x^3 + 5 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2}{3}x^3 + 5x + C \)** 
 **Explicação:** Aplicando a regra de potência, temos \( \int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}x^3 \) 
e \( \int 5 \, dx = 5x \). 
 
45. Determine o valor de \( \int_0^1 (3x^2 - 4x + 2) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** A primitiva é \( x^3 - 2x^2 + 2x \). Avaliando de 0 a 1, obtemos \( (1 - 2 + 2) 
- (0) = 1 \). 
 
46. Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** O limite apresenta uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Fatorando, 
temos \( \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \), que simplifica para \( x + 1 \). Assim, \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 
2 \). 
 
47. Encontre a derivada de \( f(x) = \cos(x^2) \). 
 a) \( -2x \sin(x^2) \) 
 b) \( -\sin(x^2) \) 
 c) \( 2x \cos(x^2) \) 
 d) \( -2x \cos(x^2) \) 
 **Resposta: a) \( -2x \sin(x^2) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = -\sin(x^2) \cdot (2x) = -2x \sin(x^2) \). 
 
48. Calcule a integral \( \int (x^2 + 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C \) 
 b) \( \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 2x + C \) 
 c) \( \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + x + C \) 
 d) \( \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C \)**