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Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Bruno Leonardo Silva Tardelli
Revisão Textual:
Profa. Esp. Kelciane da Rocha Campos
Teste de hipóteses: distribuição normal e qui-quadrado
• Introdução
• Distribuição normal: teste sobre a média quando a variância é 
conhecida
• Distribuição qui-quadrado: testando a variância
• Considerações finais
 · Esta unidade pretende apresentar a aplicação de testes de hipóteses 
ao testar a média quando a variância é conhecida e testar a variância, 
a partir das distribuições de probabilidade normal e qui-quadrado, 
respectivamente.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Teste de hipóteses: distribuição normal 
e qui-quadrado
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.
No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também 
encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, 
pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Teste de hipóteses: distribuição normal e qui-quadrado
Introdução
Nesta unidade, você terá a oportunidade de compreender melhor a natureza 
dos testes de hipótese através de exemplos aplicados com o uso das distribuições 
de probabilidade normal e qui-quadrado. As distribuições serão utilizadas para 
avaliar hipóteses sobre a média quando a variância é conhecida e sobre a variância, 
respectivamente.
Nas próximas seções, trataremos de exemplificar de diversas formas estes testes 
com uso das distribuições de probabilidade supracitadas, cujas informações para 
cálculo de área e valores-limites estão contidas nos anexos desta unidade.
Ao longo dessa trajetória, estaremos testando afirmações previamente colocadas 
e decidiremos se aceitamos a hipótese inicial ou a rejeitamos. A hipótese inicial é 
denominada hipótese nula (H0) e a rejeição desta implica a hipótese alternativa (H1).
Distribuição normal: teste sobre a média 
quando a variância é conhecida
Ao longo desta seção, você terá contato com exemplos de testes de hipóteses, a 
partir do teste sobre a média quando a variância é conhecida. A hipótese nula (H0) 
parte de uma hipótese inicial levantada sobre a média populacional (verdadeira). 
Por outro lado, a hipótese alternativa (H1) representa um confronto à afirmação 
inicial. Desta forma, o teste envolve aceitar a hipótese nula (H0) ou rejeitá-la. Se 
aceitar a hipótese nula (H0), o pesquisador não poderá contestar a afirmação inicial; 
caso contrário, sob a hipótese alternativa (H1), o pesquisador estará refutando a 
hipótese nula (H0), de modo a afirmar o equívoco da hipótese original.
Exemplo 1
Afirma-se que o peso médio dos bebês de 1 ano de idade em determinada 
cidade é de 10 quilos. Numa amostra de 36 bebês, foi encontrada uma média 
de 9,5 quilos. Sabe-se que a variância dos pesos dos bebês nessa idade é de 
3 quilos. Teste, com um nível de significância de 10%, se a afirmação inicial 
é verdadeira.
Resolução:
O primeiro ponto a ser observado neste exemplo é que se trata de testar a média 
de peso, a qual se afirma ser igual a 10 quilos. Entretanto, conhecemos a variância 
dos pesos dos bebês, dado que a informação do desvio-padrão foi apresentada ao 
longo do enunciado. Quando o teste é sobre a média e a informação da variância 
populacional dos pesos dos bebês é dada no exercício, precisamos utilizar a 
distribuição normal. A razão disto está fundamentada no chamado Teorema do 
Limite Central (TLC).
8
9
Teorema do Limite Central
Quando for mencionada a realização de um teste sobre a média quando a variância é 
conhecida, devemos levar em consideração o chamado teorema do limite central (TLC).
Conforme Sartoris (2003, p. 179),
dada uma variável X, i.i.d. (independente e identicamente 
distribuída) com média µ e variância σ2, a média amostral X 
segue (desde que a amostra seja sufi cientemente grande) uma 
distribuição normal, com média µ e variância σ
2
n
, qualquer 
que seja a distribuição de X.
Para maiores detalhes, ver Sartoris (2003, p. 176-180).
Ex
pl
or
Note que alguém declarou que o peso médio da população seria igual a 10 quilos. 
Esta afirmação é a hipótese nula (H0). A hipótese alternativa (H1), por outro lado, 
é o contrário de ser igual a 10 quilos, ou seja, o peso médio populacional seria 
diferente de 10 quilos.
Por fim, o teste é dito bicaudal, pois trata de uma igualdade versus a diferença, 
de modo que se o valor da média amostral for diferente “estatisticamente”, tanto 
para cima quanto para baixo, em relação à hipótese nula (H0) de peso igual a 10 
quilos, então poderemos rejeitar H0; caso contrário, teremos de aceitá-la.
Partindo dessas ideias, temos:
 · Teste sobre a média quando a variância é conhecida → Distribuição 
Normal (pelo TLC)
 · Teste bicaudal: H0 igual versus H1 diferente
H0: μ = 10
H1: μ ≠ 10
μ=10
σ=3 (dado que o enunciado aponta que a variância dos pesos é igual a 9)
n=36
X =9,5
nível de significância=10%
em que μ é a afirmação sobre a média populacional, σ é o desvio-padrão 
populacional, n é o número de observações na amostra e X é a média amostral.
Pelo TLC, X segue uma distribuição normal com média μ e desvio-padrão 
σ
n
(sendo este a raiz quadrada da variância σ
2
n
). Padronizando a distribuição das médias 
amostrais (ou seja, dos X ’s), temos
9
UNIDADE Teste de hipóteses: distribuição normal e qui-quadrado
z X
n
=
− µ
σ
em que z~N(0,1) [lê-se: z segue uma distribuição normal com média 0 e desvio-
padrão 1], tem-se
z = 
X - 
 = 
9,5-10
3
 = 
0,5
 = 
µ
σ
n 6
1
2
0 5
0 5
1
−
−
−
= −
,
,
O z calculado foi de -1.
Pela tabela z (tabela de distribuição normal padronizada), o teste bicaudal a 10% 
de nível de significância corresponde a 5% de área de cada cauda da distribuição 
(“extremos”), de modo que o valor observado na tabela z é o que mais se aproximar 
de 0,45 (observando o “miolo” da tabela). O valor de z correspondente mais 
próximo a 0,45 é o 1,64 (ou 1,65) (ver ANEXO I).
Importante!
A distribuição normal é simétrica e a distância em relação à média – a qual é zero para 
a distribuição normal padronizada – é a mesma, seja o número positivo ou negativo. 
Assim, a distância entre o 0 e o 1,64 representa, aproximadamente, 0,45 – ou seja, 45% 
– de área total da distribuição e entre o -1,64 e o 0, também 0,45 de área da distribuição 
– ou seja, 45% –, totalizando 0,90 ou 90%. Também deve ficar claro que, como o 
nível de significância é de 10% e o teste é bicaudal, cada caudapossui 5% de área – 
as quais correspondem à hipótese alternativa. Somando as áreas das hipóteses nula e 
alternativa, têm-se os 100% de área da distribuição. Portanto, o nível de significância 
aponta a área total das caudas da distribuição, as quais representam neste exemplo a 
hipótese alternativa (H1).
Importante!
10
11
Gráfi co 1 – Teste de hipóteses do exemplo 1
A área interna da distribuição (com a cor azul) é a área da hipótese nula (H0). 
Esta região é chamada de região de aceitação (RA). Para este exemplo,
RA = [-1,64; 1,64]
Conclusão do teste
Como o z calculado é de -1, este valor está dentro da RA, e, portanto, aceita-se 
H0 a 10% de significância. Assim, nada se pode dizer contrariamente à afirmação 
de que o peso médio dos bebês de 1 ano de idade em determinada cidade é de 
10 quilos.
Importante!
Obviamente que à primeira vista, o procedimento para a resolução do teste deve gerar 
algumas dúvidas, o que é bastante normal, dada a complexidade do tema. Entretanto, 
se você observar, o procedimento adotado foi:
1º) Identifi cação da distribuição de probabilidade a ser adotada;
2º) Análise sobre se o teste seria bicaudal ou monocaudal;
3º) Cálculo da estatística do teste, a qual neste caso foi o z calculado;
4º) Encontrar o z tabelado, ou seja, o valor de z na tabela normal; e,
5º) Conclusão do teste com o confronto entre o z calculado e o z tabelado.
Importante!
A seguir, traremos mais dois exemplos envolvendo testes sobre a média quando 
a variância é normal para elucidar melhor a ideia.
11
UNIDADE Teste de hipóteses: distribuição normal e qui-quadrado
Exemplo 2
Em uma amostra com 100 famílias em uma cidade, foi identificada uma 
renda média de R$ 790,00. Conforme um secretário da prefeitura, essa 
pesquisa está errada, pois a renda média em sua cidade é de, no mínimo, R$ 
800,00. Teste a afirmação do prefeito com 10% de significância, sabendo-se 
que o desvio-padrão da renda é de R$ 50,00.
Resolução:
1. Identificação da distribuição de probabilidade a ser adotada;
 · Teste sobre a média quando a variância é conhecida → Distribuição Normal.
2. Análise sobre se o teste seria bicaudal ou monocaudal;
 · Teste monocaudal à esquerda → as hipóteses implicam uma desigualdade. 
Adicionalmente, como a hipótese alternativa (H1) implica contradizer 
a hipótese nula (H0) – ou seja, se opor à afirmação de renda média na 
cidade é maior ou igual a R$ 800,00 –, então a cauda utilizada para a 
hipótese alternativa (H1) é a cauda inferior, ou seja, a cauda da esquerda 
da distribuição.
H0: μ ≥ 800
H1: μ < 800
μ = 800
σ = 50
n = 100
X =790
3. Cálculo da estatística do teste, a qual neste caso foi o z calculado;
Pelo TLC, X segue uma distribuição normal com média μ e desvio-padrão 
σ
n 
(sendo este a raiz quadrada da variância σ
2
n
). Padronizando a distribuição das 
médias amostrais (ou seja, dos X ’s), temos
z X
n
=
− µ
σ
em que z~N(0,1) [lê-se: z segue uma distribuição normal com média 0 e desvio-
padrão 1].
12
13
z = 
X - 
 = = =
µ
σ
n
790 800
50
10
10
5
2
− −
−
O z calculado foi de -2.
4. Encontrar o z tabelado, ou seja, o valor de z na tabela normal;
Pela tabela z (tabela de distribuição normal padronizada), o teste monocaudal a 
10% implica observar o que mais se aproximar de 0,40 (observando o “miolo” da 
tabela). O valor de z correspondente mais próximo a 0,40 é o 1,28 (ver ANEXO I). 
Simetricamente, é equivalente a -1,28. Assim, sabemos que do -∞ até o -1,28 
possui, aproximadamente, 10% de área da distribuição de probabilidade. Lembre-
se de que o nível de significância aponta a área sob hipótese alternativa (H1), a qual 
não está preenchida em azul.
Gráfi co 2 – Teste de hipóteses do exemplo 2
A área em que está a hipótese nula (H0), ou seja, a região de aceitação (RA), é 
dada por
RA=]-1,28;+∞]
5. Conclusão do teste com o confronto entre o z calculado e o z tabelado.
Conclusão do teste
O z calculado é igual a -2; portanto, não está na região de aceitação. Assim, a 
partir da pesquisa, rejeita-se H0, na qual o secretário da prefeitura afirmava que a 
renda média das famílias era, no mínimo, de 800, a 10% de nível de significância.
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UNIDADE Teste de hipóteses: distribuição normal e qui-quadrado
Exemplo 3
Estudo feito sobre a idade média dos cidadãos do país X, realizado em 
256 cidades, apontou 52 anos. O presidente afirma, no entanto, que a média 
da idade da população não passa de 50. Teste esta afirmação utilizando 
significância de 1%, sabendo que o desvio-padrão das idades é 20.
1. Identificação da distribuição de probabilidade a ser adotada;
 · Teste sobre a média quando a variância é conhecida → Distribuição Normal
2. Análise sobre se o teste seria bicaudal ou monocaudal;
 · Teste monocaudal à direita → as hipóteses implicam uma desigualdade. 
Adicionalmente, como a hipótese alternativa (H1) implica contradizer a 
hipótese nula (H0) – ou seja, se opor à afirmação de que a média de idade 
é menor ou igual a 50 –, então a cauda utilizada para a hipótese alternativa 
(H1) é a cauda superior, ou seja, a cauda da direita da distribuição.
H0: μ ≤50
H1: μ>50
μ = 50
σ = 20
n = 256
nível de significância de 1%
3. Cálculo da estatística do teste, a qual neste caso foi o z calculado;
Pelo TLC, X segue uma distribuição normal com média μ e desvio-padrão σ
n (sendo este a raiz quadrada da variância 
σ 2
n
). Padronizando a distribuição das 
médias amostrais (ou seja, dos X ’s), temos
z X
n
=
− µ
σ
em que z~N(0,1) [lê-se: z segue uma distribuição normal com média 0 e desvio-
padrão 1].
z = 
X - 
 = = =
µ
σ
n
52 50
20
256
2
20
16
32
20
1 60
−
= ,
Assim, o z calculado é 1,60.
14
15
4. Encontrar o z tabelado, ou seja, o valor de z na tabela normal;
Pela tabela z (tabela de distribuição normal padronizada), o teste monocaudal 
a 1%, de modo que o valor observado na tabela z é o que mais se aproximar de 
0,49 (observando o “miolo” da tabela). O valor de z correspondente mais próximo 
a 0,49 é o 2,33 (ver ANEXO I).
Gráfi co 3 – Teste de hipóteses do exemplo 3
RA=[0; 2,33]
5. Conclusão do teste com o confronto entre o z calculado e o z tabelado.
Como o z calculado é igual a 1,60, então está dentro da região de aceitação 
(RA). Portanto, aceita-se H0, a 1% de nível de significância, ou seja, nada se pode 
dizer contra a afirmação inicial do presidente de que a média da idade da população 
não passaria de 50 anos.
Distribuição qui-quadrado: testando 
a variância
O cálculo da variância populacional representa a média dos desvios dos elementos 
de uma população em relação à média elevados ao quadrado.
var(X)
( ) (X x) ... (X x)j=
− + − + + −X x
N
1
2
2
2 2
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UNIDADE Teste de hipóteses: distribuição normal e qui-quadrado
em que
X é uma variável com j elementos;
N é o número de elementos da população; e
X é a média populacional (ou seja, a verdadeira).
Como a obtenção de todas as informações da população comumente não é de 
fácil alcance, o pesquisador que quiser rebater alguma afirmação terá de proceder 
a um teste para a variância.
No caso de um teste sobre a média quando a variância é conhecida, a distribuição 
de probabilidade utilizada para o teste é a distribuição normal. Entretanto, se 
naquele instante não tínhamos a média populacional (ou seja, a média verdadeira), 
como sabíamos a variância populacional (ou seja, a dispersão média dos desvios em 
relação à média ao quadrado das informações da população)? Pois é, na realidade, 
raramente conheceremos a variância populacional. Então, assim como procedemos 
ao teste sobre a média, um teste para a variância também será plausível, dado que 
normalmente não conhecemos o parâmetro verdadeiro.
Para melhor entendimento da natureza do problema, suponha, por exemplo, 
que ao apontar estatísticas sobre a desigualdade de renda da população de uma 
região, o ministério do desenvolvimento social afirme que a variância da renda 
desta é de 20 reais. Entretanto, um pesquisador ao coletar 169 informações de 
renda da regiãoencontrou a variância amostral de 30 reais por meio da equação
S
n
2 1
2
2
2 2
1
=
− + − + + −
−
(X X) (X X) ... (X X)n
X1,X2, … Xn representam o conjunto de observações da amostra;
X é a média amostral; e
n é o número de observações da amostra.
A partir de uma amostra com n observações, como podemos testar se uma 
hipótese inicial levantada pelo ministério será ou não considerada razoável? Para 
realizarmos este teste, necessitaremos de encontrar a estatística da distribuição 
qui-quadrado e compará-la com o valor do qui-quadrado tabelado, assim como 
realizado no caso do teste sobre a média com a distribuição normal.
A estatística do qui-quadrado é obtida por meio da equação
( )n S−1
2
2σ
16
17
em que
S2 representa a variância amostral;
σ2 é a (suposta) variância populacional;
n é o número de observações da amostra.
O objetivo desta seção é analisar e testar situações como essa!
Iremos apresentar a seguir a distribuição qui-quadrado e executar os passos de 
forma análoga aos testes anteriormente realizados com a distribuição normal.
Exemplo 4
Os vendedores de lojas de vestuário no varejo em determinada cidade 
possuem remuneração fixa distinta. Os funcionários que desempenham a 
mesma função obtêm ganhos distintos em função do tempo de casa e pelo 
que é oferecido pelo proprietário de cada loja. O presidente da associação 
dos lojistas afirma que o desvio-padrão da remuneração de certa função 
em determinado mês é de R$ 100,00. Ao se entrevistar seis vendedores 
em lojas distintas, foram encontrados os seguintes valores: R$1.000,00, 
R$1.250,00, R$1.150,00, R$ 1.200,00, R$ 1.500,00 e R$ 1.250. Teste 
a afirmação da empresa com nível de significância de 5%, supondo que a 
distribuição das remunerações é normalmente distribuída.
1. Identifi cação da distribuição de probabilidade a ser adotada;
 · Teste sobre a variância (ou desvio-padrão) → Distribuição Qui-quadrado
2. Análise sobre se o teste seria bicaudal ou monocaudal;
 · Teste bicaudal: H0 igual versus H1 diferente
H0: σ2 = 10.000
H1: σ2 ≠ 10.000
Lembrar que o desvio-padrão ao quadrado retorna o valor da variância!
3. Cálculo da estatística do teste, a qual neste caso foi o qui-quadrado 
calculado;
 · Calcular a média amostral ( X ).
X
X
X
=
+ + + + +
=
=
1000 1 250 1 150 1 200 1 500 1 250
6
7 350
6
1 225
. . . . .
.
.
17
UNIDADE Teste de hipóteses: distribuição normal e qui-quadrado
 · Calcular a variância amostral (S2)
S
X X
n
S
ii
n
2
2
1
2
2 2
1
1 000 1 225 1 250 1 225 1 150
=
−
−
=
− + − + −
=∑ ( )
( . . ) ( . . ) ( . 11 225 1 200 1 225 1 500 1 225 1250 1 225
6 1
2 2 2 2
2
. ) ( . . ) ( . . ) ( . )+ − + − + −
−
=S (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. .
− + + − + − + +
=
+ +
225 25 75 25 275 25
5
50 625 625 5
2 2 2 2 2 2
2S 6625 75 625 625
5
133 750
5
26 750
2
2
+ +
=
=
.
.
.
S
S
S2 = 26.750
σ2 = 10.000
n = 6
 · Qui-quadrado calculado:
( ) ( )
.
.
, ,n S− = − = × ≅1 6 1 26 750
10 000
5 2 68 13 40
2
2σ
4. Encontrar o qui-quadrado tabelado
Ao analisar o qui-quadrado na tabela, deve-se atentar para aquilo que a literatura 
de estatística chama de graus de liberdade. No caso do teste para a variância a 
partir da distribuição qui-quadrado, o grau de liberdade (G.L.) é (n-1).
Importante!
O grau de liberdade pode ser compreendido como uma forma de mostrar quando é 
possível calcular a estimativa, a depender do número de observações (n). Por exemplo, 
no caso da variância amostral, a estimativa de dispersão média dos desvios em relação 
à média amostral não é possível de ser calculada com apenas uma observação. Caso o 
n seja igual a 1, ao aplicar este valor no denominador da equação, (n-1), resultará em 
0. Dado que um denominador igual a 0 em uma fração será considerado um número 
indeterminado, então teremos de ter pelo menos n=2 para podermos proceder o cálculo.
Importante!
Assim, temos:
 · Graus de Liberdade (n-1) = 6 – 1 = 5
 · Nível de Significância = 5%
Teste bicaudal: observar na tabela qui-quadrado a coluna dos 2,50% e o 97,50% 
com os graus de liberdade (G.L) igual a 5 (ou seja, 2,50% em cada cauda, totalizando 
os 5% de nível de significância).
18
19
Portanto, analisando o ANEXO II, os qui-quadrado tabelados, os quais mostram 
os limites entre H0 e H1 com 5 graus de liberdade são:
 · 2,5%: 0,83
 · 97,50%: 12,83
Gráfi co 4 – Teste de hipóteses do exemplo 4
Assim,
RA = [0,83;12,83]
5. Conclusão do teste com o confronto entre o qui-quadrado calculado 
e o qui-quadrado tabelado.
Conclusão do teste
Como o qui-quadrado calculado encontrado foi de 13,40 e não está presente na 
região de aceitação, então se rejeita H0, a 5% de significância, de que a variância 
seria de 10.000 reais (ou seja, de que o desvio-padrão seria de 100 reais).
Exemplo 5
Um fabricante de cotonetes registra na embalagem que cada caixa 
“contém, em média, 40 palitos”. Conforme a empresa, “o desvio-padrão é 
de, no máximo, quatro cotonetes”. Contudo, a partir de uma amostra com 
31 caixas foi identificado um desvio-padrão amostral de cinco cotonetes. 
Considerando que o número de cotonetes seja uma variável normal, será que 
podemos contestar a afirmação, a um nível de significância de 10%, sobre o 
desvio-padrão apontado pelo fabricante?
19
UNIDADE Teste de hipóteses: distribuição normal e qui-quadrado
1. Identificação da distribuição de probabilidade a ser adotada;
 · Teste sobre a variância → Distribuição Qui-quadrado
2. Análise sobre se o teste seria bicaudal ou monocaudal;
 · Teste monocaudal à direita
H0: σ2 ≤ 16
H1: σ2 > 16
S = 5
σ = 4
n = 31
3. Cálculo da estatística do teste, a qual neste caso foi o qui-quadrado 
calculado;
 · Qui-quadrado calculado:
( ) ( ) ( ) ,n S− = − = ≅1 31 1 5
4
30
25
16
46 88
2
2
2
2σ
Importante!
Observe que no caso deste exemplo, os cálculos da média amostral e variância amostral 
não foram realizados, pois o valor da variância amostral (na realidade o do desvio-
padrão amostral, S) já foi colocado diretamente no enunciado.
Importante!
4. Encontrar o qui-quadrado tabelado.
 · Graus de Liberdade (n-1) = 31 – 1 = 30
 · Nível de Significância = 10%
Observar na tabela qui-quadrado a coluna dos 90% - dado que o nível de 
significância é de 10%, sendo que a cauda de H1 é a da direita – e os graus de 
liberdade (G.L) igual a 30. O qui-quadrado tabelado, o qual mostra o limite entre 
H0 e H1, é o número 40,26 (ver ANEXO II).
20
21
Gráfi co 5 - Teste de hipóteses do exemplo 5
Assim,
RA = [0;40,26]
5. Conclusão do teste com o confronto entre o qui-quadrado calculado 
e o qui-quadrado tabelado.
Conclusão do teste
Como o valor calculado do qui-quadrado foi de, aproximadamente, 46,88 e a 
região de aceitação está entre 0 e 40,26, então rejeita-se H0 a 10% de nível de 
significância. Portanto, rejeita-se a hipótese inicial de que o desvio-padrão seria de, 
no máximo, quatro cotonetes. Reescrevendo de outra forma, rejeita-se H0 de que 
a variância seria de, no máximo, 16.
Exemplo 6
Imagina-se que o desvio-padrão dos preços no varejo da vodca da marca 
Baskolof seja, no mínimo, de 5 reais. Tomando-se 4 pontos de venda de 
forma aleatória, os preços foram de: 28, 25, 32 e 35. Teste com 1% de 
significância a validade da afirmação inicial, supondo distribuição normal 
dos preços da vodca.
1. Identifi cação da distribuição de probabilidade a ser adotada;
 · Teste sobre a variância → Distribuição Qui-quadrado
21
UNIDADE Teste de hipóteses: distribuição normal e qui-quadrado
A afirmação de que a distribuição normal dos preços é apenas uma condição para a 
validade do teste qui-quadrado e não um indicativo de utilização desta distribuição. 
Para maiores detalhes, ver Sartoris (2003, p. 208-210). O mesmo é válido para os 
exemplos anteriores envolvendo distribuição qui-quadrado.
2. Análise sobre se o teste seria bicaudal ou monocaudal;
 · Teste monocaudal à esquerda
H0: σ2 ≥ 25
H1: σ2 < 25
3. Cálculo da estatística do teste, a qual neste caso foi o qui-quadrado 
calculado;
 · Calcular amédia amostral ( X ).
( ) ( ) ( ) ,n S− = − = ≅1 31 1 5
4
30
25
16
46 88
2
2
2
2σ
 · Calcular a variância amostral (S2).
S
X X
n
S
ii
n
2
2
1
2
2 2 2 2
1
4
28 30 25 30 32 30 35 30
=
−
−
=
−
− + − + − + −
=∑ ( )
( ) ( ) ( ) ( )
11
3
4 25 4 25
3
58
3
19 33
2 5 2 52
2
2
2
2 2 2 2
S
S
S
S
=
=
+ + +
=
≅
− + − + +( ) ( ) ( ) ( )
,
Qui-quadrado calculado:
( ) ( ) ( ) ,n S− = − = ≅1 31 1 5
4
30
25
16
46 88
2
2
2
2σ
4. Encontrar o qui-quadrado tabelado.
 · Graus de Liberdade (n-1) = 4 – 1 = 3
 · Nível de Significância = 1%
22
23
Observar na tabela qui-quadrado a coluna dos 1% com 3 graus de liberdade 
(G.L). O qui-quadrado tabelado, o qual mostra o limite entre H0 e H1 é o número 
0,115 (ver ANEXO II).
Gráfi co 6 - Teste de hipóteses do exemplo 6
Assim,
RA = [0,115;+∞]
5. Conclusão do teste com o confronto entre o qui-quadrado calculado 
e o qui-quadrado tabelado.
Conclusão do teste
Como o qui-quadrado calculado resultou em, aproximadamente, 2,32, este está 
dentro da região de aceitação, a 1% de nível de significância. Portanto, aceita-se 
H0 de que o desvio-padrão dos preços da vodca Baskolof seria de, no mínimo, de 
5 reais (ou seja, de que a variância dos preços seria de, no mínimo, de 25 reais).
Considerações fi nais
Para finalizar esta unidade, frisa-se que a aplicação de testes de hipóteses, 
independentemente de quais forem, sempre deve levar em consideração os 
seguintes passos:
I. Identificação da distribuição de probabilidade a ser adotada;
II. Análise sobre se o teste seria bicaudal ou monocaudal; se monocaudal, 
verificar se à direita ou à esquerda;
III. Cálculo da estatística do teste;
IV. Encontrar o(s) valor(es) limite(s) tabelado(s) da distribuição de 
probabilidade a ser utilizada; e
V. Conclusão do teste com o confronto entre o valor calculado e o(s) 
valor(es) tabelado(s).
23
UNIDADE Teste de hipóteses: distribuição normal e qui-quadrado
Naturalmente, dada a complexidade do assunto abordado, em uma primeira 
leitura alguns pontos ainda ficam a ser esclarecidos. Assim, o ideal é reler o material 
para poder montar toda a estrutura em sua mente.
Anexo I – Tabela de distribuição normal padronizada
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0,004 0,008 0,012 0,016 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,17 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,195 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,219 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,258 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,291 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,334 0,3365 0,3389
1 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,398 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,437 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,4767
2 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,483 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,485 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,489
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,492 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,499
3,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
24
25
Anexo II – Tabela de distribuição qui-quadrado
G.L 0,50% 1% 2,50% 5% 10% 90% 95% 97,50% 99% 99,50%
1 0,0000 0,0002 0,0010 0,0039 0,0158 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88
2 0,01 0,0201 0,0506 0,103 0,211 4,61 5,99 7,38 9,21 10,6
3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84
4 0,21 0,3 0,48 0,71 1,06 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86
5 0,41 0,55 0,83 1,15 1,61 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75
6 0,68 0,87 1,24 1,64 2,2 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55
7 0,99 1,24 1,69 2,17 2,83 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28
8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 13,36 15,51 17,53 20,09 21,95
9 1,73 2,09 2,7 3,33 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59
10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19
11 2,6 3,05 3,82 4,57 5,58 17,28 19,68 21,92 24,72 26,76
12 3,07 3,57 4,4 5,23 6,3 18,55 21,03 23,34 26,22 28,3
13 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82
14 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32
15 4,6 5,23 6,26 7,26 8,55 22,31 25 27,49 30,58 32,8
16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 23,54 26,3 28,85 32 34,27
17 5,7 6,41 7,56 8,67 10,09 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72
18 6,26 7,01 8,23 9,39 10,86 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16
19 6,84 7,63 8,91 10,12 11,65 27,2 30,14 32,85 36,19 38,58
20 7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 40
25 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93
30 13,79 14,95 16,79 18,49 20,6 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67
40 20,71 22,16 24,43 26,51 29,05 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77
50 27,99 29,71 32,36 34,76 37,69 63,17 67,5 71,42 76,15 79,49
60 35,53 37,48 40,48 43,19 46,46 74,4 79,08 83,3 88,38 91,95
70 43,28 45,44 48,76 51,74 55,33 85,53 90,53 95,02 100,43 104,21
80 51,17 53,54 57,15 60,39 65,28 96,58 101,88 106,63 112,33 116,32
90 59,2 61,75 65,65 69,13 73,29 107,57 113,15 118,14 124,12 128,3
100 67,33 70,06 74,22 77,93 82,36 118,5 124,34 129,56 135,81 140,17
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UNIDADE Teste de hipóteses: distribuição normal e qui-quadrado
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Estatística aplicada à Administração e Economia
DOANE, David P.; SEWARD, Lori E. Porto Alegre: Grupo A, 2012. (e-book)
Estatística para Administração e Economia
MCCLAVE, James T.; BENSON, P. George; SINCICH, Terry. 10 ed. São Paulo: 
Pearson, 2009. (e-book)
Probabilidade
MEYER, P. L. 2 ed. São Paulo: LTC, 2000. 426p.
Estatística aplicada: administração, economia e negócios
SHARPE, Norean R.; DE VEAUX, Richard D.; VELLEMAN, Paul F. Porto Alegre: 
Grupo A, 2011. (e-book)
26
27
Referências
MORETTIN, L. G. Estatística básica: inferência. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 2005.
SARTORIS, A. Estatística e introdução à Econometria. São Paulo: Saraiva, 
2003.
27