Prévia do material em texto

40. **Problema 40:** Calcule a integral \( \int_0^1 (3x^2 - 2x) \, dx \). 
 A) \( 0 \) 
 B) \( \frac{1}{4} \) 
 C) \( \frac{1}{3} \) 
 D) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** A) \( 0 \) 
 **Explicação:** A primitiva é \( x^3 - x^2 \). Avaliando de 0 a 1: \( [1 - 1] - [0] = 0 \). 
 
41. **Problema 41:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 C) \( \frac{1}{2x} \) 
 D) \( 2x \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
42. **Problema 42:** Calcule \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) \( 2 \) 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** A primitiva de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Avaliando de 0 a \( \pi \): \( [-
\cos(\pi) + \cos(0)] = [1 + 1] = 2 \). 
 
43. **Problema 43:** Determine o valor de \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2) \, dx \). 
 A) \( \frac{1}{4} \) 
 B) \( \frac{1}{2} \) 
 C) \( \frac{5}{12} \) 
 D) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** D) \( \frac{1}{3} \) 
 **Explicação:** A primitiva é \( \frac{x^4}{4} + x^3 \). Avaliando de 0 a 1: \( [\frac{1}{4} + 1] 
- 0 = \frac{5}{4} \). 
 
44. **Problema 44:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) Não existe 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k \), onde \( k = 2 \). 
 
45. **Problema 45:** Encontre a integral \( \int e^{x} \cos(e^{x}) \, dx \). 
 A) \( e^{x} \sin(e^{x}) + C \) 
 B) \( e^{x} \cos(e^{x}) + C \) 
 C) \( e^{x} \cos(e^{x}) + C \) 
 D) \( e^{x} \sin(e^{x}) + C \) 
 **Resposta:** A) \( e^{x} \sin(e^{x}) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a técnica de integração por partes, onde \( u = \cos(e^{x}) \) e \( 
dv = e^{x} \, dx \). 
 
46. **Problema 46:** Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx \). 
 A) \( \frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C \) 
 B) \( \ln|x - 1| + C \) 
 C) \( \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C \) 
 D) \( \ln|x^2 + 1| + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C \) 
 **Explicação:** A integral pode ser resolvida usando frações parciais, resultando em \( 
\frac{1}{2} \ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C \). 
 
47. **Problema 47:** Determine a derivada de \( f(x) = \tan(x) \). 
 A) \( \sec^2(x) \) 
 B) \( \cos^2(x) \) 
 C) \( \sin^2(x) \) 
 D) \( \sec(x) \) 
 **Resposta:** A) \( \sec^2(x) \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é conhecida e resulta em \( \sec^2(x) \). 
 
48. **Problema 48:** Calcule \( \int \sec^2(x) \, dx \). 
 A) \( \tan(x) + C \) 
 B) \( \sec(x) + C \) 
 C) \( -\sec(x) + C \) 
 D) \( \tan^2(x) + C \) 
 **Resposta:** A) \( \tan(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sec^2(x) \) é conhecida como a derivada de \( \tan(x) \), 
resultando em \( \tan(x) + C \). 
 
49. **Problema 49:** Determine o valor da integral \( \int_0^1 (2x + 3) \, dx \). 
 A) \( 3 \) 
 B) \( 4 \) 
 C) \( 5 \) 
 D) \( 6 \) 
 **Resposta:** B) \( 4 \) 
 **Explicação:** A primitiva é \( x^2 + 3x \). Avaliando de 0 a 1: \( [1 + 3] - 0 = 4 \). 
 
50. **Problema 50:** Calcule \( \int e^{-x} \sin(e^{-x}) \, dx \). 
 A) \( -e^{-x} \cos(e^{-x}) + C \) 
 B) \( e^{-x} \sin(e^{-x}) + C \) 
 C) \( -e^{-x} \sin(e^{-x}) + C \) 
 D) \( e^{-x} \cos(e^{-x}) + C \) 
 **Resposta:** A) \( -e^{-x} \cos(e^{-x}) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a técnica de integração por partes, onde \( u = \sin(e^{-x}) \) e \( 
dv = e^{-x} \, dx \).